Ch12(3)均值-方差偏好下的投资组合选择

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b 2 u (W ) W W。 (3)经济主体的效用函数是二次的,即 2
(4)经济主体以期望收益率(亦称收益率均值)来衡量未 来实际收益率的总体水平,以收益率的方差(或标准差) 来衡量收益率的不确定性(风险),因而经济主体在决策 中只关心资产的期望收益率和方差。 (5)经济主体都是非饱和的和厌恶风险的,遵循占优原 则,即:在同一风险水平下,选择收益率较高的证券;在 同一收益率水平下,选择风险较低的证券。
股市的牛市
概率 收益率%
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股市的熊市
糖的生产 危机
0.5 25
0.3 10
0.2 -25
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假定某投资者考虑下列几种可供选择的资产,一种是 持有A公司的股票,一种是购买无风险资产,还有一种是 持有糖业公司B的股票。 现已知投资者持有50%A公司的股票,另外的50%在 无风险资产和持有糖业公司股票之间进行选择。无风险资 产的收益率为5%。糖业公司B的股票收益率变化如下:
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3.马科维茨均值-方差组合理论的基本内容: 在禁止融券和没有无风险借贷的假设下,以资产组合 中个别资产收益率的均值和方差找出投资组合的有效前沿 (Efficient Frontier),即一定收益率水平下方差最小的 投资组合,并导出投资者只在有效组合前沿上选择投资组 合。 欲使投资组合风险最小,除了多样化投资于不同的资 产之外,还应挑选相关系数较低的资产。
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投资者不同投资策略下期望收益与标准差:
资产组合 全部投资在于A 公司股票 组合一:A公司 股票和无风险资 产各投资50% 组合二:A公司 和B公司股票各 投资50%
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预期收益率% 10.5 7.75
标准差(%) 18.90 9.45
8.25
4.59
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(二)资产的期望收益(均值)
(1)单一资产的期望收益 在任何情况下,资产的均值或期望收益是其收益的概率 加权平均值。Pr(s)表示s状态下的概率,r(s)为该状态 下的收益率,则期望收益E(r)为
E (r ) Pr( s)r ( s)
s
在上例中,我们可以算出投资于A公司股票的期望收益 率为10.5%。
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n
但是,如果财富的高阶矩为0或者财富的高阶矩可用财 富的期望和方差来表示,则期望效用函数就仅仅是财富的
期望和方差的函数。
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(三)均值—方差分析的基本假设 定理一:在经济主体的未来收益或财富为任意分布的情 况下,如果经济主体的效用函数为二次效用函数
b 2 u (W ) W W 2
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糖生产的正常年份
异常年份
股市的牛市 概率 收益率% 0.5 1
股市的熊市 0.3 -5
糖的生产 危机 0.2 35
B公司股票收益为6%,标准差为14.43%
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E(rArB)
25%×1% 10%×(-5%) 35%×(-25%)
0.5
0.3
0.2
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4.均值-方差组合选择的实现方法:
(1)收益——证券组合的期望报酬 (2)风险——证券组合的方差 (3)风险和收益的权衡——求解二次规划 首先,投资组合的两个相关特征是:(1)它的期望回 报率(均值)(2)可能的回报率围绕其期望偏离程度的某 种度量,其中方差作为一种度量在分析上是最易于处理 的。
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二、资产组合收益与风险的度量及分散化效应
(一)先行案例 A公司的股票价值对糖的价格很敏感。多年以来,当 当地糖的产量下降时,糖的价格便猛涨,而A公司便会遭 受巨大的损失。该公司股票收益率在不同状况下的情况如 下:A公司股票收益10.5%,标准差为18.9%。 糖生产的正常年份 异常年份
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假定市场上有资产1,2,,N。资产i的期望收益率 为 E ( rr ) ,方差为i,资产i与资产j的协方差为ij(或相 关系数为ij)(i=1,2,,n,j=1,2,,m)投 资者的投资组合为:投资于资产i的比例为 Wi ,i=1,2, ,N, 则资产组合的期望收益为
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其次,理性的投资者将选择并持有有效率投资组合, 即那些在给定的风险水平下的期望回报最大化的投资组 合,或者那些在给定期望回报率水平上使风险最小化的 投资组合。 再次,通过对某种资产的期望回报率、回报率的方差 和某一资产与其它资产之间回报率的相互关系(用协方差 度量)这三类信息的适当分析,辨识出有效投资组合在理 论上是可行的。
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例1: 假设有两个博彩L1和L2,其中: L1=[0.75;10,100], L2=[0.99;22.727,1000] E(R1)=32.5 E(R2)=32.5 Var(R1)=1518.75 Var(R2)=9455.11 显然,L2的风险比L1大。
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CH12 均值-方差偏好下的投资组合 选择
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本章教学目的和要求
1.了解和掌握投资组合理论中的均值—方差分析 的假设条件及其与期望效用理论的兼容性; 2.掌握投资组合收益与风险度量的基本方法及其 计算; 3.掌握均值-方差模型描述的构建最优投资组合 的技术路径的规范数理模型; 4.掌握两基金分离定理的内容及其经济学含义。
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教学重点
1.均值—方差分析方法的合理性及其含义; 2.选择最优投资组合的数理方法及其中蕴涵的多 元化投资、风险、收益间关系; 3.掌握两基金分离定理的内容及其经济学含义。
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一、均值—方差分析的假设条件
(一)问题的提出
1.前章对最优投资组合的分析是建立在一般期望效用理 论基础之上的。在这种分析中,我们对经济主体的效用函 数和资产的收益分布只做了一般性的规定。其结论的应用 范围难以确定,也限制了期望效用理论在资产定价中的应 用。 2.Markowitz(1952)发展了一个在不确定条件下严 格陈述的可操作的资产组合选择理论:均值-方差方法 Mean-Variance methodology.
考虑一个效用函数为 u(W ) W ,显然,该个体为风险厌 恶者,其在两个博彩中的期望效用分别为: Eu(R1)=4.872 Eu(R2)=5.036 即该风险厌恶者在预期收益相等的两个博彩中,方差较 大的博彩获得的期望效用较高。
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一般地,假设经济主体在未来的全部收益或财富是一个 随机变量 W ,关于这个未来财富变量的效用函数可以通 过泰勒展开式在经济行为主体对于这个随机变量的预期值 周围展开。即
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最后,通过求解二次规划,可以算出有效投资组合的 集合,计算结果指明各种资产在投资者的投资中所占份 额,以便实现投资组合的有效性——即对给定的风险使期 望回报率最大化,或对于给定的期望回报使风险最小化。
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5.马科维茨均值-方差组合理论的假设条件: (1)单期投资 单期投资是指投资者在期初投资,在期末获得回报。单 期模型是对现实的一种近似描述,如对零息债券、欧式期 权等的投资。虽然许多问题不是单期模型,但作为一种简 化,对单期模型的分析成为我们对多期模型分析的基础。 (2)投资者事先知道资产收益率的概率分布,并且收 益率满足正态分布的条件。
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马科维茨投资组合选择理论的基本思想为:投资组合是 一个风险与收益的trade-off问题,此外投资组合通过分 散化的投资来对冲掉一部分风险。 ——“nothing ventured, nothing gained” ——"for a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk to maximize the return” ——“Don’t put all eggs into one basket”
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这一理论的问世,使金融学开始摆脱了纯粹的描述性 研究和单凭经验操作的状态, 标志着数量化方法进入金融 领域。 马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM理论中 的无套利均衡思想相结合,酝酿了一系列金融学理论的重 大突破。正因为如此,马科维茨获得了1990年诺贝尔经济 学奖。
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那么,期望效用仅仅是财富的期望和方差的函数。
证明:P180
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定理二:在经济主体的偏好为任意偏好的情况下,如果资 产收益的分布服从正态分布,则期望效用函数仅仅是财富 的期望和方差的函数。 在收益分布为正态分布的情况下,上述展开式中,三阶 以上的中心矩中,奇数项为零,偶数阶的中心矩可写成 均值和方差的函数。
1 u (W ) u ( E[W ]) u '( E[W ])(W E[W ]) u "( E[W ])(W E[W ]) 2 R3 2!
其中,
1 (n) R3 u ( E[W ])(W E[W ]) n n 3 n !
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(3)用均值-方差无法刻画函数分布中的峭度。概率论 中用四阶矩表示峭度。但这一点在正态分布中不能表达。 实际的经验统计表明,资产回报往往具有“尖峰”“胖尾” 的 特征。这显然不符合正态分布。
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尽管均值-方差分析存在缺陷,且只有在严格的假设条 件下才能够与期望效用函数的分析兼容,但由于其分析上 的灵活性,相对便利的实证检验以及简洁的预测功能,使 其成为广泛运用的金融和财务分析手段。
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6.问题:为何在马科维茨的均值-方差分析中需要对效用 函数和资产收益率的分布作出限制?
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(二)均值-方差分析的局限性
M-V模型以资产回报的均值和方差作为选择对象,但 是一般而言,资产回报的均值和方差不能完全包含个体资 产选择时的所有个人期望效用函数信息。 对于任意的效用函数和资产的收益分布,期望效用并不 能仅仅用预期收益和方差这两个元素来描述。
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2.收益正态分布的局限性 (1)资产收益的正态分布假设与现实中资产收益往往偏 向正值相矛盾。收益的正态分布意味着资产收益率可取负 值,但这与有限责任的经济原则相悖(如股票的价格不能 为负)。 (2)对于密度函数的分布而言,均值-方差分析没有考 虑其偏斜度。概率论中用三阶矩表示偏斜度,它描述分布 的对称性和相对于均值而言随机变量落在其左或其右的大 致趋势。显然,正态分布下的均值-方差分析不能做到这一 点。
2.资产组合的期望收益(均值)
资产组合的期望收益是构成组合的每一资产收益率的 加权平均,以构成比例为权重.每一资产对组合的预期收益 率的贡献依赖于它的预期收益率,以及它在组合初始价值 中所占份额,而与其他一切无关。 上例中第一种投资组合的收益率为7.75%,第二种投资 组合的收益率为8.25%.
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两边取期望值后得到:
)] u( E[W ]) 1 u ''( E[W ]) (W ) 2 E[ R ] E[u (W 3 2!
1 ( n) ~ ~ ~ E[ R3 ] u ( E[W ])E (W E[W ]) n 3 n! 显然,对于具有严格凹的递增效用函数的经济主体而 言,其评价风险资产的效用不能仅仅只考虑其期望收益率 和方差,因为三阶以上的中心矩E(R3)也影响其期望收 益。
0 ~ ~ ~ j j! [Var (W )]1/ 2 E[W E[W ]] j 21/ 2 ( )! 2
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j为奇数 j为偶数
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(三)二次效用函数与收益正态分布假设的局限性 1.二次效用函数的局限性 二次效用函数具有递增的绝对风险厌恶和满足性两个性 质。满足性意味着在满足点以上,财富的增加使效用减 少,递增的绝对风险厌恶意味着风险资产是劣质品。这与 那些偏好更多的财富和将风险视为正常商品的投资者不 符。所以在二次效用函数中,我们需要对参数b的取值范 围加以限制。
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