地球的周长

地球的周長
在哥倫布航行到美洲的時候，地球是圓的是一件眾所皆知的事實。

只有土包子仍然相信船能航行到地球的末端。

古希臘人早已察覺到地球是圓的。

其中之一是埃拉托塞尼(Eratosthenes，約公元前276-194)計算出地球的周長。

他是如何做的呢？
埃拉托塞尼做過觀察：在埃及的西耶納城，有一口不尋常的井，它座落於亞歷山大城的正南方5000 "斯塔德"(古希臘的長度單位)。

一年中白天最長的那一天(夏至正午)，這口深井底部的水面上反射出太陽光，意指著在那個時候太陽正好在井的正上方。

埃拉托塞尼知道在同時，亞歷山大城的一根垂直桿子的陰影長。

藉由想像從桿子的尖端到陰影的尖端是一個直角三角形的斜邊，埃拉托塞尼推知桿子尖端的角度是2
17o ，這個角度就等於下圖所示兩城市距離所對的圓周角。

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靠這些訊息，他便能計算出地球的周長。

你能重演他的計算過程嗎？算出地球的周長約是多少哩。

一個斯塔德約等於500呎，一哩有5280呎。

參見<<數學史概論>> p.170；187
<<數學歷史之謎>>p.45
資料來源: JP 的數學世界
/education/jeanpen/index.htm
Eratosthenes 估計地球周長
數學究竟有什麼用？這是經常被人質問，卻總是很難回答的問題。

難回答的原因並非找不到例子，而是找不到讓人聽得懂的例子。

通常問這個問題的人，對數學本身所知不多，使得我們舉例困難。

最受到質疑的，可能是所謂的純數學吧？而古希臘的平面幾何，似乎可以當做純數學之代表。

國人只要讀過國民中學的，就曾經受過平面幾何的苦或樂。

於是我們先複習一個大家都曾經在十四、五歲時候見過的，非常純又非常簡單的幾何定理。

然後舉出它的一個應用。

這個基本的幾何定理，就是說在兩平行線間作一條割線，則對頂角相等。

如下圖所示。

大約西元前 200 年，希臘人 Eratosthenes 在亞力山卓 (Alexandria，此城在今天的埃及尼羅河出海口附近) 利用這個定理，估計地球之周長是亞力山卓到亞斯文的 50 倍。

亞斯文 (Aswen) 當時叫做 Syene，在今天埃及尼羅河的中游，當時它正好在北回歸線上。

(北回歸線其實也在緩慢地移動著。

但是大致來說，我們還是可以認定亞斯文大約和臺灣嘉義在同一個緯度上。

而亞力山卓大約和中國杭州在同一個緯度上。

)
以今天的測量，亞力山卓與亞斯文之間大約距離八百公里。

所以 Eratosthenes 相當於估計了地球的周長是四萬公里。

今天，我們知道地球並非真正的球狀，而是赤道稍寬，南北稍窄的所謂地球形。

所以嚴格來說地球並沒有一個固定的周長。

但是大致來說，通過南北極的地球周長大約是 39900 公里。

所以 Eratosthenes 的估計，只有不到 0.2% 的誤差！
而他只是在後院中立了一根木桿，就完成了這個估計。

Eratosthenes 知道，在每年某日 (姑且說是六月二十二日吧) 的正午，太陽會直設入亞斯文的一口井內。

也就是說，井內不會出現井壁的影子。

現在我們知道，那一天必定是夏至，太陽直設北回歸線。

Eratosthenes 就在那天的正午，在亞力山卓垂直立起一根木桿，測量它的影子長度，然後得知陽光與木桿的夾角。

以弧度量來說，大約是 Pi/25。

以角度量來說，大約是 7.2 度。

如下圖。

Eratosthenes 假設陽光都是平行線。

那麼射到亞斯文的陽光，和射到亞力山卓的陽光是平行的。

因為陽光直射亞斯文，所以它的延長線應該通過地心，也就是球心。

同樣地，由 Eratosthenes 所立起的那根桿子，因為垂直於地面，所以它的延長線也應該通過地心。

換句話說，這兩條線交於地心。

根據前面所說的幾何定理，上述兩條線在地心的交角等於陽光與木桿的夾角。

因為這個角是 Pi/25，所以它對應的弧長 (亞力山卓到亞斯文的距離) 就是整個圓周長 (地球周長) 的 1/50。

Created: Dec 4, 1998
Last Revised: Dec 4, 1998
© Copyright 1998 Wei-Chang Shann 單維彰。