友元函数
复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
成员函数、非成员函数和友元函数介绍
成员函数、非成员函数和友元函数介绍 一、成员函数、非成员函数和友元函数 成员函数和非成员函数最大的区别在于成员函数可以是虚拟的而非成员函数不行。 成员函数的优势是能够方便的进行动态绑定，实现多态。 说明一个函数为一个类的友元函数则该函数可以访问此类的私有数据和方法。 二、成员函数介绍 1、显式构造函数 C++中的e xplicit关键字用来修饰类的构造函数，表明该构造函数是显式的。 隐式构造函数能够实现将该构造函数对应数据类型的数据转换为该类对象。 class MyClass { public: MyClass( int num); } MyClass obj = 10; //ok,convert int to MyClass 如果在构造函数前加上关键字explicit，上述编译出错。 2、静态函数： 类中，static型的成员函数，由于是类所拥有的，而不是具体对象所有的。 静态函数屏蔽了this指针，因此，如果成员函数作为回调函数，就应该用static去修饰它。 3、虚函数： 虚函数首先是一种成员函数，它可以在该类的派生类中被重新定义并被赋予另外一种处理功能。 注意多态不是函数重载。函数重载属于静态绑定，虚函数实现多态是动态绑定。 4、纯虚函数： 在抽象类中定义纯虚函数，必须在子类实现，不过子类也可以只是声明为纯虚函数，由 子类的子类实现。 5、协变返回类型： 一般来说，一个重写的函数与被它重写的函数必须具有相同的返回类型。 这个规则对于”协变返回类型(covariant return type)”的情形来说有所放松. 也就是说,若B是一个类类型,并且一个基类虚拟函数返回B *,那么一个重写的派生类函数可以返回D *, 其中的D公有派生于B(即D是一个(is-a)B).若基类虚函数返回B &,那么一个重写的派生类函数可以返回一个D&. 考虑如下一个shape层次结构的clone操作: Class Shape { Public: //… Virtual Shape *clone () const = 0; //prototype(原型) //… }; Class Circle : public Shape {
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数
这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理
友元函数及友元类
友元函数及友元类 已有 20621 次阅读 2009-5-9 15:43 |个人分类:C/C++ 什么是友元（friend）？ 允许另一个类或函数访问你的类的东西。 友元可以是函数或者是其他的类。类授予它的友元特别的访问权。通常同一个开发者会出于技术和非技术的原因，控制类的友元和成员函数（否则当你想更新你的类时，还要征得其它部分的拥有者的同意）。 分清成员函数，非成员函数和友元函数 成员函数和非成员函数最大的区别在于成员函数可以是虚拟的而非成员函数不行。所以，如果有个函数必须进行动态绑定，就要采用虚拟函数，而虚拟函数必定是某个类的成员函数。关于这一点就这么简单。如果函数不必是虚拟的，情况就稍微复杂一点。 ?类的主要特点之一是数据隐藏，即类的私有成员只能在类定义的范围内使用，也就是说私有成员只能通过它的成员函数来访问。 ?但是，有时候需要在类的外部访问类的私有成员。为此，就需要寻找一种途径，在不放弃私有数据安全性的情况下，使得类外部的函数或类能够访问类中的私有成员，在C++中就用友元作为实现这个要求的辅助手段。 ?C++中的友元为数据隐藏这堵不透明的墙开了一个小孔，外界可通过这个小孔窥视类内部的秘密，友元是一扇通向私有成员的后门。 ?友元可分为：友元函数，友元成员，友元类。 ?友元函数不是当前类的成员函数，而是独立于当前类的外部函数，但它可以访问该类的所有对象的成员，包括私有成员和公有成员。 ?在类定义中声明友元函数时，需在其函数名前加上关键字friend。此声明可以放在公有部分，也可以放在私有部分。友元函数可以定义在类的内部，也可以定义在类的外部。
1.友元函数虽然可以访问类对象的私有成员，但它毕竟不是成员函数。因此，在类的外部定义友元函数时，不必像成员函数那样，在函数名前加上“类名::”。 2.友元函数一般带有一个该类的入口参数。因为友元函数不是类的成员，所以它不能直接引用对象成员的名称，也不能通过this指针引用对象的成员，它必须通过作为入口参数传递进来的对象名或对象指针来引用该对象的成员。 3.当一个函数需要访问多个类时，友元函数非常有用，普通的成员函数只能访问其所属的类，但是多个类的友元函数能够访问相应的所有类的数据。 例程序2使用一个友元函数访问两个不同的类 4.友元函数通过直接访问对象的私有成员，提高了程序运行的效率。在某些情况下，如运算符被重载时，需要用到友元。但是友元函数破坏了数据的隐蔽性，降低了程序的可维护性，这与面向对象的程序设计思想是背道而驰的，因此使用友元函数应谨慎。 ?除了一般的函数可以作为某个类的友元外,一个类的成员函数也可以作为另一个类的友元,这种成员函数不仅可以访问自己所在类对象中的私有成员和公有成员,还可以访问friend声明语句所在类对象中的私有成员和公有成员,这样能使两个类相互合作、协调工作,完成某一任务。 ?例程序3使用友元成员函数访问另一个类 说明： 1.一个类的成员函数作为另一个类的友元函数时，必须先定义这个类。例如上例中，类boy的成员函数为类girl的友元函数，必须先定义类boy。并且在声明友元函数时，要加上成员函数所在类的类名，如： friend void boy::disp(girl &); 2.程序中还要使用“向前引用”，因为函数disp()中将girl &作为参数，而girl要晚一些时候才定义。 ?不仅函数可以作为一个类的友元，一个类也可以作为另一个类的友元。这种友元类的说明方法是在另一个类声明中加入语句“friend 类名;”，其中的“类名”即为友元类的类名。此语句可以放在公有部分也可以放在私有部分，例如： class Y{
专题3.9 函数的实际应用(精讲)(原卷版)
专题3.9 函数的实际应用 【考纲要求】 1. 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决. 2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 【知识清单】 1．常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0). (2)反比例函数模型：y ＝k x (k ≠0). (3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0). (4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (b >0，b ≠1，a ≠0). (5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (a >0，a ≠1，m ≠0). 2. 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 【重点总结】 解答函数应用题的一般步骤： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 【考点梳理】 考点一 ：一次函数与分段函数模型
【典例1】（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下： 现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（） A．1800B．1000C．790D．560 【典例2】（2018届广东省深圳中学高三第一次测试）中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下： （I）写出“套餐”中方案1的月话费y（元）与月通话量t（分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式； （II）学生甲选用方案1，学生乙选用方案2，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生甲的电话资费；
实验8--友元函数与运算符重载函数
实验十三 1．实验目的 通过本次实验 （1）理解友元函数与运算符重载函数的概念； （2）学会友元函数的定义与使用方法； （3）掌握运算符重载函数的定义与使用方法； 2．实验要求 （1）编写实验程序 （2）在VC++运行环境中，输入源程序 （3）编译运行源程序 （4）输入测试数据进行程序测试； （5）写出运行结果。 3．实验内容 （1）定义一个复数类，重载“-=”运算符，使这个运算符能直接完成复数的“-=”运算。分别用成员函数与友元函数编写运算符重载函数。在主函数中定义复数对象c1(10,20)、c2(15,30)，进行c2-=c1的复数运算，并输出c1、c2的复数值。 参考资料： （1）成员函数 # include 课程名称：VC++程序设计 专业名称 班级 学号 姓名 实验（4）： 实验日期 【实验名称】 友元 【实验目的】 1）了解为什么要使用友元 2）掌握友元函数、友元成员、友元类的定义和使用方法 【实验内容和结果】 1. 定义复数complex类，使用友元，完成复数的加法、减法、乘法、除法运算，以及对复数的输出。 #include C++_友元函数 转自：https://www.360docs.net/doc/f713500702.html,/insistgogo/article/details/6608672 1、为什么要引入友元函数：在实现类之间数据共享时，减少系统开销，提高效率 具体来说：为了使其他类的成员函数直接访问该类的私有变量 即：允许外面的类或函数去访问类的私有变量和保护变量，从而使两个类共享同一函数 优点：能够提高效率，表达简单、清晰 缺点：友元函数破环了封装机制，尽量不使用成员函数，除非不得已的情况下才使用友元函数。 2、什么时候使用友元函数： 1)运算符重载的某些场合需要使用友元。 2)两个类要共享数据的时候 3、怎么使用友元函数： 友元函数的参数： 因为友元函数没有this指针，则参数要有三种情况： 1、要访问非static成员时，需要对象做参数；--常用(友元函数常含有参数) 2、要访问static成员或全局变量时，则不需要对象做参数 3、如果做参数的对象是全局对象，则不需要对象做参数 友元函数的位置： 因为友元函数是类外的函数，所以它的声明可以放在类的私有段或公有段且没有区别。 友元函数的调用： 可以直接调用友元函数，不需要通过对象或指针 友元函数的分类： 根据这个函数的来源不同，可以分为三种方法： 1、普通函数友元函数： a) 目的：使普通函数能够访问类的友元 b) 语法：声明位置：公有私有均可，常写为公有 声明：friend + 普通函数声明 实现位置：可以在类外或类中 实现代码：与普通函数相同（不加不用friend和类::） 调用：类似普通函数，直接调用 c) 代码： [cpp]view plaincopyprint? 1.class INTEGER 2.{ 3.private: 4.int num; 5.public: 6.friend void Print(const INTEGER& obj);//声明友元函数 7.}; 8.void Print(const INTEGER& obj)//不使用friend和类：： 9.{ 10.//函数体 11.} 12.void main() 13.{ 14. INTEGER obj; 15. Print(obj);//直接调用 16.} 2、类Y的所有成员函数都为类X友元函数—友元类 a）目的：使用单个声明使Y类的所有函数成为类X的友元 VC6.0中重载操作符友元函数无法访问类的私有成员的解决办法 VC6.0中重载操作符友元函数无法访问类的私有成员的解决办法: 在C++中，操作符(运算符）可以被重载以改写其实际操作。 同时我们可以定义一个函数为类的友元函数(friend function)以便使得这个函数能够访问类的私有成员，这个定义通常在头文件中完成。 在Visual C++中定义一般的函数为友元函数通常是没有问题的。然而对某些重载操作符的函数，即使我们将它们定义为类的友元函数，VC的编译器仍然会显示出错信息，认为这些友元函数无权访问类的私有成员。我认为这应该是VC6.0编译器与标准C++不兼容的地方。 以下代码就是个例子: // 头文件“Sample.h” #include 第9讲函数的应用 【2013年高考会这样考】 1．考查二次函数模型的建立及最值问题． 2．考查分段函数模型的建立及最值问题． 3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题． 【复习指导】 函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，解答应用问题的重点在信息整理与建模上，建模后利用函数知识分析解决问题． 基础梳理 1．常见的函数模型及性质 (1)几类函数模型 ①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)． ②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ③指数函数型模型：y＝ab x＋c(b＞0，b≠1)． ④对数函数型模型：y＝m log a x＋n(a＞0，a≠1)． ⑤幂函数型模型：y＝ax n＋b. (2)三种函数模型的性质 一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 四个步骤 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质； (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题； (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于( )． A ．3～4万元 B ．4～5万元 C ．5～6万元 D ．2～3万元 解析 设存入的本金为x ，则x ·2%·20%＝138.64，∴x ＝1 386 40040＝34 660. 答案 A 2．(2012·新乡月考)某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )． A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台 解析 设利润为f (x )(万元)，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，∴x ≥150. 答案 C 3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( )． A ．1 000米2 B ．2 000米2 C ．2 500米2 D ．3 000米2 【例6.4】用友元函数重载运算符实现两字符串加法。 #include static char* str; String operator+(const String& a,const String& b) { strcpy(str,https://www.360docs.net/doc/f713500702.html,); strcat(str,https://www.360docs.net/doc/f713500702.html,); return String(str); } void main() { str=new char[256]; String demo1("Visual c++"); String demo2(" 6.0"); demo1.display(); demo2.display(); String demo3=demo1+demo2; demo3.display(); String demo4=demo3+" Programming."; demo4.display(); String demo5="Programming."+demo4; demo5.display(); delete str; } 程序的运行结果为： The string is :Visual c++ The string is : 6.0 The string is :Visual c++ 6.0 The string is :Visual c++ 6.0 Programming. The string is :Programming.Visual c++ 6.0 Programming. 【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲 函数模型及其应用学案 板块一知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1 常见的函数模型 [必会结论] “f(x)＝x＋(a＞0)”型函数模型 形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0]和(0，]上单调递减． (2)当x＞0时，x＝时取最小值2， 当x＜0时，x＝－时取最大值－2. [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( ) (2)幂函数比一次函数增长速度快．( ) (3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题 中．( ) (4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( ) (5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按 九折出售，则每件商品仍能获利．( ) (6)当x＞4时，恒有2x＞x2＞log2x.( ) 答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√(6)√2．[2018·长沙模拟]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( ) 答案C 解析出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞 停留后比原来骑得快，因此排除B. 3．[课本改编]已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( ) B．900米 A．800米 D．1200米 C．1000米 答案A 解析设这个广场的长为x米，则宽为米，所以其周长为l＝2≥800，当且仅当 x＝，即x＝200时取等号．4．[课本改编]某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获 利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) B．105元 A．118元 D．108元 C．106元 答案D 解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108. 5．[2018·抚顺模拟]某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋ 1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年它们发展到的只数为________． 答案200 解析∵alog33＝100，∴a＝100，y＝100log39＝200. 6．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾 驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经 过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时) 答案2 解析设n小时后才可以驾车，由题意得0.8(1－50%)n＝2,0.5n＝，即n＝2，即 至少经过2小时后才可以驾驶机动车． C语言中friend友元函数详细解析 友元函数是可以直接访问类的私有成员的非成员函数。它是定义在类外的普通函数，它不属于任何类，但需要在类的定义中加以声明，声明时只需在友元的名称前加上关键字friend。 我们已知道类具有封装和信息隐藏的特性。只有类的成员函数才能访问类的私有成员，程序中的其他函数是无法访问私有成员的。非成员函数可以访问类中的公有成员，但是如果将数据成员都定义为公有的，这又破坏了隐藏的特性。另外，应该看到在某些情况下，特别是在对某些成员函数多次调用时，由于参数传递，类型检查和安全性检查等都需要时间开销，而影响程序的运行效率。 为了解决上述问题，提出一种使用友元的方案。友元是一种定义在类外部的普通函数，但它需要在类体内进行说明，为了与该类的成员函数加以区别，在说明时前面加以关键字friend。友元不是成员函数，但是它可以访问类中的私有成员。友元的作用在于提高程序的运行效率（即减少了类型检查和安全性检查等都需要的时间开销），但是，它破坏了类的封装性和隐藏性，使得非成员函数可以访问类的私有成员。 友元可以是一个函数，该函数被称为友元函数；友元也可以是一个类，该类被称为友元类。 友元函数的特点是能够访问类中的私有成员的非成员函数。友元函数从语法上看，它与普通函数一样，即在定义上和调用上 与普通函数一样。 复制代码代码如下: #include cmath #include iostream using namespace std; class Point { public: Point(double xx,double yy) { x=xx; y=yy; } void GetXY(); friend double Distance(Point a,Point b); protected: private: double x,y; }; void Point::GetXY() { //cout(x,y)endl; 专题3.9函数的应用（一）（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程． 主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题. 数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力. 在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验． 学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识． 现阶段主要研究一次函数型、二次函数型、分式函数型及分段函数型 热门考点01 一次函数型 y＝kx＋b (k＞0)在定义域是增函数，其图象直线上升. 【典例1】（2020·云南省高一期末）小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x（元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元. （1）把y 表示为x 的函数； （2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出） 【答案】（1）() ()2140,4060150,60802 x x y x x ?-+≤≤? =?-+<≤??（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元时，该专卖店月 利润最大 【解析】 （1）当4060x ≤≤时，设y ax b =+， 由题意得点()()40,60,60,20在函数的图象上， ∴40606020a b a b +=??+=?，解得2 140a b =-??=? ， ∴当4060x ≤≤时，2140y x =-+． 同理，当6080x <≤时，1 502 y x =- +． ∴所求关系式为()()2140,40601 50,6080.2 x x y x x ?-+≤≤? =?-+<≤?? （2）设该店有职工m 名， 当x=50时，该店的总收入为()()()4010010021404040000y x x x -?=-+-=元， 又该店的总支出为1000m+10000元， 依题意得40000=1000m+10000, 解得：m=30. 所以此时该店有30名员工． （3）若该店只有20名职工， 第9讲 函数模型及其应用 板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1 常见的函数模型 [必会结论] “f (x )＝x ＋a x (a ＞0)”型函数模型 形如f (x )＝x ＋a x (a ＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0]和(0，a ]上单调递减． (2)当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a . [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2 的函数值大．( ) (2)幂函数比一次函数增长速度快．( ) (3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．( ) (4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( ) (5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件商品仍能获利．( ) (6)当x ＞4时，恒有2x ＞x 2 ＞log 2x .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√ 2．[2018·长沙模拟]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( ) 答案 C 解析 出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B. 3．[课本改编]已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( ) A ．800米 B ．900米 C ．1000米 D ．1200米 答案 A 解析 设这个广场的长为x 米，则宽为40000x 米，所以其周长为l ＝2? ?? ? ?x ＋40000x ≥800， 当且仅当x ＝40000x ，即x ＝200时取等号． 4．[课本改编]某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相 VC6.0中重载操作符函数无法访问类的私有成员 在C++ 中，操作符(运算符）可以被重载以改写其实际操作。 同时我们可以定义一个函数为类的朋友函数(friend function)以便使得这个函数能够访问类的私有成员， 这个定义通常在头文件中完成。 在Visual C++中定义一般的函数为朋友函数通常是没有问题的。 然而对某些重载操作符的函数， 即使我们将它们定义为类的朋友函数，VC的编译器仍然会显示出错信息， 认为这些朋友函数无权访问类的私有成员。 我认为这应该是VC6.0的bug。 以下代码就是个例子: // 头文件“Sample.h” #include 第9讲函数模型及其应用 基础知识整合 1．常见的函数模型 函数模型函数解析式 一次函数型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0) 2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 □01单调递增□02单调递增□03单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与□04y轴平行 随x的增大逐渐表 现为与□05x轴平行 随n值变化而各有 不同值的比较 存在一个x0，当 x>x0时，有 log a x 上单调递减． (2)当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a . 1．(2019·嘉兴模拟)为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private －Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y ＝kx 3，若明文“4”通过加密后得到密文“2”，则接收方接到密文“1 256 ”，解密后得到的明文是( ) A ．12 B ．14 C ．2 D ．18 答案 A 解析 由已知，可得当x ＝4时，y ＝2，所以2＝k ·43，解得k ＝243＝1 32，故y ＝132x 3.令y ＝132x 3＝1256，即x 3＝18，解得x ＝1 2.故选A ． 2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝log 2x 答案 D 解析 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入其余各选项计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D ． 3．(2019·山东烟台模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税， C++实验报告 实验名称 友元函数和友元类的定义及使用 实验目的 理解对象与类的关系，掌握对象的创建和使用 掌握构造函数、析构函数的概念及使用方法 掌握内存的动态分配的概念和使用方法 掌握对象数组和对象指针 掌握函数调用中参数的传递 掌握友元函数和友元类的定义及使用 class 类名 { private: 数据成员或成员函数 protected: 数据成员或成员函数 public: 数据成员或成员函数 }; 实验内容 有Distance类和Point类，将Distance类定义为Point类的友元类来实现计算两点之间距离 实验代码 // point.h class Distance; class Point { public: Point(int xx=0,int yy=0) { X=xx; Y=yy; } friend class Distance; private: int X,Y; }; class Distance { public: float fDist(Point a,Point b); }; //point.cpp #include"iostream" #include"math.h" using namespace std; #include"point.h" #include"math.h" int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { Point myp1(1,1),myp2(4,5); Distance d; cout<<"The distance is: "; cout<友元函数实验报告
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2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数模型及其应用学案
vc中操作符重载作为友元函数错误处理
第2章第9讲 函数模型及其应用
友元函数和友元类的定义及使用