C++友元函数及友元类全总结
C++_友元函数
转自:https://www.360docs.net/doc/1d6130634.html,/insistgogo/article/details/6608672
1、为什么要引入友元函数:在实现类之间数据共享时,减少系统开销,提高效率
具体来说:为了使其他类的成员函数直接访问该类的私有变量
即:允许外面的类或函数去访问类的私有变量和保护变量,从而使两个类共享同一函数
优点:能够提高效率,表达简单、清晰
缺点:友元函数破环了封装机制,尽量不使用成员函数,除非不得已的情况下才使用友元函数。
2、什么时候使用友元函数:
1)运算符重载的某些场合需要使用友元。
2)两个类要共享数据的时候
3、怎么使用友元函数:
友元函数的参数:
因为友元函数没有this指针,则参数要有三种情况:
1、要访问非static成员时,需要对象做参数;--常用(友元函数常含有参数)
2、要访问static成员或全局变量时,则不需要对象做参数
3、如果做参数的对象是全局对象,则不需要对象做参数
友元函数的位置:
因为友元函数是类外的函数,所以它的声明可以放在类的私有段或公有段且没有区别。
友元函数的调用:
可以直接调用友元函数,不需要通过对象或指针
友元函数的分类:
根据这个函数的来源不同,可以分为三种方法:
1、普通函数友元函数:
a) 目的:使普通函数能够访问类的友元
b) 语法:声明位置:公有私有均可,常写为公有
声明:friend + 普通函数声明
实现位置:可以在类外或类中
实现代码:与普通函数相同(不加不用friend和类::)
调用:类似普通函数,直接调用
c) 代码:
[cpp]view plaincopyprint?
1.class INTEGER
2.{
3.private:
4.int num;
5.public:
6.friend void Print(const INTEGER& obj);//声明友元函数
7.};
8.void Print(const INTEGER& obj)//不使用friend和类::
9.{
10.//函数体
11.}
12.void main()
13.{
14. INTEGER obj;
15. Print(obj);//直接调用
16.}
2、类Y的所有成员函数都为类X友元函数—友元类
a)目的:使用单个声明使Y类的所有函数成为类X的友元
它提供一种类之间合作的一种方式,使类Y的对象可以具有类X和类Y的功能
具体来说:
前提:A是B的友元(=》A中成员函数可以访问B中有所有成员,包括私有成员和公有成员--老忘)
则:在A中,借助类B,可以直接使用~B . 私有变量~的形式访问私有变量
b)语法:声明位置:公有私有均可,常写为私有(把类看成一个变量)
声明:friend + 类名---不是对象啊
调用:
c)代码:
[cpp]view plaincopyprint?
1.class girl;
2.
3.class boy
4.{
5.private:
6.char *name;
7.int age;
8.public:
9. boy();
10.void disp(girl &);
11.};
12.
13.void boy::disp(girl &x) //函数disp()为类boy的成员函数,也是类girl的友元函数
14.{
15. cout<<"boy's name is:"< disp中直接访问boy的私有变量 16. cout<<"girl's name is:"< 17.//借助友元,在boy的成员函数disp中,借助girl的对象,直接访问girl的私有变量 18.//正常情况下,只允许在girl的成员函数中访问girl的私有变量 19.} 20. 21.class girl 23.private: 24.char *name; 25.int age; 26.friend boy; //声明类boy是类girl的友元 27.public: 28. girl(); 29.}; 30.void main() 31.{ 32. boy b; 33. girl g; 34. b.disp(g); //b调用自己的成员函数,但是以g为参数,友元机制体现在函数disp中 35.} 3、类Y的一个成员函数为类X的友元函数 a)目的:使类Y的一个成员函数成为类X的友元 具体而言:而在类Y的这个成员函数中,借助参数X,可以直接以X。私有变量的形式访问私有变量 b)语法:声明位置:声明在公有中(本身为函数) 声明:friend + 成员函数的声明 调用:先定义Y的对象y---使用y调用自己的成员函数---自己的成员函数中使用了友元机制 c)代码: [cpp]view plaincopyprint? 1.class girl; 2.class boy 3.{ 4.private: 5.char *name; 6.int age; 7.public: 8. boy(); 9.void disp(girl &); 10.}; 12.class girl 13.{ 14.private: 15.char *name; 16.int age; 17.public: 18. girl(char *N,int A); 19.friend void boy::disp(girl &); //声明类boy的成员函数disp()为类girl的友元 函数 20.}; 21. 22.void boy::disp(girl &x) 23.{ 24. cout<<"boy's name is:"< 员,直接访问自己的私有变量 25. cout<<"girl's name is:"< 26.//借助友元,在boy的成员函数disp中,借助girl的对象,直接访问girl的私有变量 27.//正常情况下,只允许在girl的成员函数中访问girl的私有变量 28.} 29.void main() 30.{ 31. boy b(); 32. girl g(); 33. b.disp(g); } 4、在模板类中使用友元operator<<(对<<运算符的重载) a)使用方法: 在模板类中声明: [cpp]view plaincopyprint? 1.friend ostream& operator<< <>(ostream& cout,const MGraph ); 在模板类中定义: [cpp]view plaincopyprint? 1.template 2.ostream& operator<<(ostream& cout,const MGraph 3.{ 4.//函数定义 5.} b)注意: 把函数声明非模板函数: [cpp]view plaincopyprint? 1.friend ostream& operator<< (ostream& cout,const MGraph& G); 把函数声明为模板函数: [cpp]view plaincopyprint? 1.friend ostream& operator<< <>(ostream& cout,const MGraph ); 或: [cpp]view plaincopyprint? 1.friend ostream& operator<< ype,ArcType>& G); 说明: 在函数声明中加入operator<<<>:是将operator<<函数定义为函数模板,将函数模板申明为类模板的友员时,是一对一绑定的 实际的声明函数:这里模板参数可以省略,但是尖括号不可以省略 [cpp]view plaincopyprint? 1.friend ostream& operator<< ype,ArcType>& G); 5、友元函数和类的成员函数的区别:成员函数有this指针,而友元函数没有this指针。 6、记忆:A是B的友元《=》A是B的朋友《=》借助B的对象,在A中可以直接通过B。成员变量(可以是公有,也可以为私有变量)的方式访问B。 成员函数、非成员函数和友元函数介绍 一、成员函数、非成员函数和友元函数 成员函数和非成员函数最大的区别在于成员函数可以是虚拟的而非成员函数不行。 成员函数的优势是能够方便的进行动态绑定,实现多态。 说明一个函数为一个类的友元函数则该函数可以访问此类的私有数据和方法。 二、成员函数介绍 1、显式构造函数 C++中的e xplicit关键字用来修饰类的构造函数,表明该构造函数是显式的。 隐式构造函数能够实现将该构造函数对应数据类型的数据转换为该类对象。 class MyClass { public: MyClass( int num); } MyClass obj = 10; //ok,convert int to MyClass 如果在构造函数前加上关键字explicit,上述编译出错。 2、静态函数: 类中,static型的成员函数,由于是类所拥有的,而不是具体对象所有的。 静态函数屏蔽了this指针,因此,如果成员函数作为回调函数,就应该用static去修饰它。 3、虚函数: 虚函数首先是一种成员函数,它可以在该类的派生类中被重新定义并被赋予另外一种处理功能。 注意多态不是函数重载。函数重载属于静态绑定,虚函数实现多态是动态绑定。 4、纯虚函数: 在抽象类中定义纯虚函数,必须在子类实现,不过子类也可以只是声明为纯虚函数,由 子类的子类实现。 5、协变返回类型: 一般来说,一个重写的函数与被它重写的函数必须具有相同的返回类型。 这个规则对于”协变返回类型(covariant return type)”的情形来说有所放松. 也就是说,若B是一个类类型,并且一个基类虚拟函数返回B *,那么一个重写的派生类函数可以返回D *, 其中的D公有派生于B(即D是一个(is-a)B).若基类虚函数返回B &,那么一个重写的派生类函数可以返回一个D&. 考虑如下一个shape层次结构的clone操作: Class Shape { Public: //… Virtual Shape *clone () const = 0; //prototype(原型) //… }; Class Circle : public Shape { 第二章 一元函数微分学 一、 导数 (一)、导数概念 1、导数的定义: 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义,当自变量在点0x 处取得改变量x ?时,函数)(x f 取得相应的改变量,)()(00x f x x f y -?+=?,如果当0→?x 时,x y ??的极限存在,即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在,则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数,可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤(即三步曲) ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1:根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解:223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 =当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义: 如果当)0(0-+→?→?x x 时,x y ??的极限存在,则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数(左 一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限, ● 极限x x e lim 1 →, x x sin lim x 0 →,x tan lim x 2 π→,x cot lim x 0→,x cot arc lim x 0→,x arctan lim x 1 0→都不存在, ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?,e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?,A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义:如果1=α β lim ,则称β与α失等价无穷小,记为α∽β, ● 0→x 时,(1)n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα ● 当0→)x (?时,)x (sin ?∽)x (?,11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明:极限n n x lim ∞→存在,计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤:1。证明数列或函数单调;2。证明 数列或函数是有界;3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限,或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0;6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续,下列命题错误的是: (A) 若0()lim x f x x →存在,则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在,则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在,则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在,则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→,则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤:求函数在该点的极限;求函数在该点的函数值;判断 二者是否相等,相等则连续,否则间断。 6.导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数,且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义: ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→ 第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道:多元函数的一些基本概念(n 维空间,n 元函数,二重极限,连续等);理解:偏导数;全微分. 2、重要定理 (1)二元函数中,可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 (2)(二元函数)极值的必要、充分条件 二、基本计算 (一) 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算(计算),(00y x f x ') (1)先代后求法 ),(00y x f x '=0),(0x x y x f dx d = (2)先求后代法(),(00y x f x '=00),(y y x x x y x f ==') (3)定义法(),(00y x f x '=x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000)(分段函数在分段点处的偏导数) 2、偏导函数的计算(计算(,)x f x y ') (1) 简单的多元初等函数——将其他自变量固定,转化为一元函数求导 (2) 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则(画树形图,写求导公式) (3) 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法:(地位平等)直接法:方程两边同时对或求导(地位不平等) 注:若求隐函数的二阶导数,在一阶导数的基础上,用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示,以及求导顺序 (二) 全微分的计算 1、 叠加原理 友元函数及友元类 已有 20621 次阅读 2009-5-9 15:43 |个人分类:C/C++ 什么是友元(friend)? 允许另一个类或函数访问你的类的东西。 友元可以是函数或者是其他的类。类授予它的友元特别的访问权。通常同一个开发者会出于技术和非技术的原因,控制类的友元和成员函数(否则当你想更新你的类时,还要征得其它部分的拥有者的同意)。 分清成员函数,非成员函数和友元函数 成员函数和非成员函数最大的区别在于成员函数可以是虚拟的而非成员函数不行。所以,如果有个函数必须进行动态绑定,就要采用虚拟函数,而虚拟函数必定是某个类的成员函数。关于这一点就这么简单。如果函数不必是虚拟的,情况就稍微复杂一点。 ?类的主要特点之一是数据隐藏,即类的私有成员只能在类定义的范围内使用,也就是说私有成员只能通过它的成员函数来访问。 ?但是,有时候需要在类的外部访问类的私有成员。为此,就需要寻找一种途径,在不放弃私有数据安全性的情况下,使得类外部的函数或类能够访问类中的私有成员,在C++中就用友元作为实现这个要求的辅助手段。 ?C++中的友元为数据隐藏这堵不透明的墙开了一个小孔,外界可通过这个小孔窥视类内部的秘密,友元是一扇通向私有成员的后门。 ?友元可分为:友元函数,友元成员,友元类。 ?友元函数不是当前类的成员函数,而是独立于当前类的外部函数,但它可以访问该类的所有对象的成员,包括私有成员和公有成员。 ?在类定义中声明友元函数时,需在其函数名前加上关键字friend。此声明可以放在公有部分,也可以放在私有部分。友元函数可以定义在类的内部,也可以定义在类的外部。 1.友元函数虽然可以访问类对象的私有成员,但它毕竟不是成员函数。因此,在类的外部定义友元函数时,不必像成员函数那样,在函数名前加上“类名::”。 2.友元函数一般带有一个该类的入口参数。因为友元函数不是类的成员,所以它不能直接引用对象成员的名称,也不能通过this指针引用对象的成员,它必须通过作为入口参数传递进来的对象名或对象指针来引用该对象的成员。 3.当一个函数需要访问多个类时,友元函数非常有用,普通的成员函数只能访问其所属的类,但是多个类的友元函数能够访问相应的所有类的数据。 例程序2使用一个友元函数访问两个不同的类 4.友元函数通过直接访问对象的私有成员,提高了程序运行的效率。在某些情况下,如运算符被重载时,需要用到友元。但是友元函数破坏了数据的隐蔽性,降低了程序的可维护性,这与面向对象的程序设计思想是背道而驰的,因此使用友元函数应谨慎。 ?除了一般的函数可以作为某个类的友元外,一个类的成员函数也可以作为另一个类的友元,这种成员函数不仅可以访问自己所在类对象中的私有成员和公有成员,还可以访问friend声明语句所在类对象中的私有成员和公有成员,这样能使两个类相互合作、协调工作,完成某一任务。 ?例程序3使用友元成员函数访问另一个类 说明: 1.一个类的成员函数作为另一个类的友元函数时,必须先定义这个类。例如上例中,类boy的成员函数为类girl的友元函数,必须先定义类boy。并且在声明友元函数时,要加上成员函数所在类的类名,如: friend void boy::disp(girl &); 2.程序中还要使用“向前引用”,因为函数disp()中将girl &作为参数,而girl要晚一些时候才定义。 ?不仅函数可以作为一个类的友元,一个类也可以作为另一个类的友元。这种友元类的说明方法是在另一个类声明中加入语句“friend 类名;”,其中的“类名”即为友元类的类名。此语句可以放在公有部分也可以放在私有部分,例如: class Y{ 第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39,中等题40—106,难题107—135。 1.设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时,必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数,且当0 )(x f 的( ) (A )间断点。 (B )连续而不可导的点。 (C )可导的点,且0)0(='f 。 (D )可导的点,但0)0(≠'f 。 答C 6.设函数f(x)定义在[a ,b]上,判断何者正确?( ) (A )f (x )可导,则f (x )连续 (B )f (x )不可导,则f (x )不连续 (C )f (x )连续,则f (x )可导 (D )f (x )不连续,则f (x )可导 答A 7.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是:( ) (A )0x 点的切向量 (B )0x 点的法向量 (C )0x 点的切线的斜率 (D )0x 点的法线的斜率 答C 8.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是:( ) (A )0x 点的自向量的增量 (B )0x 点的函数值的增量 (C )0x 点上割线值与函数值的差的极限 (D )没意义 答C 9.x x f = )(,其定义域是0≥x ,其导数的定义域是( ) (A )0≥x 第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集,平面点集的内点、外点、边界点、聚点,多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=(或0 lim (,)P P f x y A →=)的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法: (1)令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ,若极限值与k 有关,则可断言 函数极限不存在; (2)找两种不同趋近方式,若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在,但两者不相等, 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则(包括和差积商,连续函数的和差积商, 等价无穷小替换,夹逼法则等)与一元类似: 例1.用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2(03年期末考试 三、1,5分)当0,0→→x y 时,函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在?证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ,讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在? 例4(07年期末考试 一、2,3分)设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ,讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在? 例5.求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的,定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1. 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在(0,0)处的连续性。 例2. (06年期末考试 十一,4分)试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续,但存在一阶偏导数。 例3.求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 .(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质:有界性,最值定理,介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义) 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在,则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? (相当于把y 看成常数!所以求偏导数本质是求一元函数的导数。) 实验十三 1.实验目的 通过本次实验 (1)理解友元函数与运算符重载函数的概念; (2)学会友元函数的定义与使用方法; (3)掌握运算符重载函数的定义与使用方法; 2.实验要求 (1)编写实验程序 (2)在VC++运行环境中,输入源程序 (3)编译运行源程序 (4)输入测试数据进行程序测试; (5)写出运行结果。 3.实验内容 (1)定义一个复数类,重载“-=”运算符,使这个运算符能直接完成复数的“-=”运算。分别用成员函数与友元函数编写运算符重载函数。在主函数中定义复数对象c1(10,20)、c2(15,30),进行c2-=c1的复数运算,并输出c1、c2的复数值。 参考资料: (1)成员函数 # include 数学考研:一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义(数三经济意义),会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解),了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题,主要是确定目标函数和约束条件,判定所讨论区间。 01.分析以下程序的执行结果 #include int A::set(B &b) // 由于使用了类B的定义,故本函数的定义应放在类B定义之后 { return i=b.i; } void main() { A a(1); B b(2); cout< `第八章 多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理 解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必 要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理,熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,掌握二元函数极值存在的充分条件,并会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 (1)基本概念 ①二元函数极限的定义:设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ,对于?0ε>,总?0δ>,使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈o I 时,都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立,则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限,记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续:设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点,且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=,则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 (2)关于二元函数极限的解题思路 注意:在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中,0P P →方式任意,正是由于这一点 致使二元函数有与一元函数不一样的性态,在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在:若0P P 以两种不同的方式趋于时, ()f P 的极 限不同,则0 lim ()P P f P →一定不存在(见例1)。 ②求二元函数的极限:可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的 课程名称:VC++程序设计 专业名称 班级 学号 姓名 实验(4): 实验日期 【实验名称】 友元 【实验目的】 1)了解为什么要使用友元 2)掌握友元函数、友元成员、友元类的定义和使用方法 【实验内容和结果】 1. 定义复数complex类,使用友元,完成复数的加法、减法、乘法、除法运算,以及对复数的输出。 #include 第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ,则b =________. 2. 若当0x →时,1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小,则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续,则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时,1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤=≤?-≤≤? ,()f x 在 处间断 9 当0x →时,arctan x 是x 的 阶无穷小量 10 极限2352lim sin 53x x x x →∞+=+ 二、 选择题 1. 设数列1,1,1 n n n u n n -??=??+?为奇数,为偶数, 则当n →∞时,n u 是( ) A. 无界变量 B. 无穷大量 C. 有界变量 D. 无穷小量 2. 函数()f x 在0x 连续是函数在0x 处存在极限的( ) A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 3. 0sin()sin lim x x x ββ→+-的值是 ( ) A. sin β B. cos β C. 1 D. 极限不存在 C++_友元函数 转自:https://www.360docs.net/doc/1d6130634.html,/insistgogo/article/details/6608672 1、为什么要引入友元函数:在实现类之间数据共享时,减少系统开销,提高效率 具体来说:为了使其他类的成员函数直接访问该类的私有变量 即:允许外面的类或函数去访问类的私有变量和保护变量,从而使两个类共享同一函数 优点:能够提高效率,表达简单、清晰 缺点:友元函数破环了封装机制,尽量不使用成员函数,除非不得已的情况下才使用友元函数。 2、什么时候使用友元函数: 1)运算符重载的某些场合需要使用友元。 2)两个类要共享数据的时候 3、怎么使用友元函数: 友元函数的参数: 因为友元函数没有this指针,则参数要有三种情况: 1、要访问非static成员时,需要对象做参数;--常用(友元函数常含有参数) 2、要访问static成员或全局变量时,则不需要对象做参数 3、如果做参数的对象是全局对象,则不需要对象做参数 友元函数的位置: 因为友元函数是类外的函数,所以它的声明可以放在类的私有段或公有段且没有区别。 友元函数的调用: 可以直接调用友元函数,不需要通过对象或指针 友元函数的分类: 根据这个函数的来源不同,可以分为三种方法: 1、普通函数友元函数: a) 目的:使普通函数能够访问类的友元 b) 语法:声明位置:公有私有均可,常写为公有 声明:friend + 普通函数声明 实现位置:可以在类外或类中 实现代码:与普通函数相同(不加不用friend和类::) 调用:类似普通函数,直接调用 c) 代码: [cpp]view plaincopyprint? 1.class INTEGER 2.{ 3.private: 4.int num; 5.public: 6.friend void Print(const INTEGER& obj);//声明友元函数 7.}; 8.void Print(const INTEGER& obj)//不使用friend和类:: 9.{ 10.//函数体 11.} 12.void main() 13.{ 14. INTEGER obj; 15. Print(obj);//直接调用 16.} 2、类Y的所有成员函数都为类X友元函数—友元类 a)目的:使用单个声明使Y类的所有函数成为类X的友元 一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限: 1.93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2.01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3.x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4.0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5.21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6.x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7.0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8.943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9.2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10.21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11.01 sin lim 20=→x x x (无穷小的性质) 第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ,求(),f x y ,(),f x y xy -。 解:()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ,故得 ()2 1,1y f x y x y -=+,()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限: 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意:在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时,θ也是变量。本题中,0r →时,2r 为无穷小量,而2 sin 2θ为有界变量,故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明:当2 y kx =时,()2242,1xy k f x y x y k ==++,故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见,(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时,函数极限不同,故极限不存在。(两路径判别法) 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性: (1)()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解: ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。 VC6.0中重载操作符友元函数无法访问类的私有成员的解决办法 VC6.0中重载操作符友元函数无法访问类的私有成员的解决办法: 在C++中,操作符(运算符)可以被重载以改写其实际操作。 同时我们可以定义一个函数为类的友元函数(friend function)以便使得这个函数能够访问类的私有成员,这个定义通常在头文件中完成。 在Visual C++中定义一般的函数为友元函数通常是没有问题的。然而对某些重载操作符的函数,即使我们将它们定义为类的友元函数,VC的编译器仍然会显示出错信息,认为这些友元函数无权访问类的私有成员。我认为这应该是VC6.0编译器与标准C++不兼容的地方。 以下代码就是个例子: // 头文件“Sample.h” #include 多元函数微分学总结内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128) `第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理,熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,掌握二元函数极值存在的充分条件,并会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 (1)基本概念 ①二元函数极限的定义:设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ,对于?0ε>,总?0δ>,使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时,都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立,则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限,记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续:设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点,且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=,则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 (2)关于二元函数极限的解题思路 注意:在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中,0P P →方式任意,正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态,在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在:若0P P 以两种不同的方式趋于时,()f P 的极 限不同,则0 lim ()P P f P →一定不存在(见例1)。 ②求二元函数的极限:可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限,比如:极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等(见例2) 例1证明:2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0()的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点,可考虑选择路径 2x ky =。 证明: 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++, k ∴不同,极限值就不同,故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。成员函数、非成员函数和友元函数介绍
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