二面角的求法总结

α β
αβ γ
αA C Bβ
探究准备：
2、两个平面的法向量 的夹Baidu Nhomakorabea与这两个平面 所成的二面角的平面 角有怎样的关系？
答：相等或互补
α
β
互补
m α
β m
相等
探究一：
试一试：
S
例1、如图：在三棱锥S-ABC中，
SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平
E
分SC,分别交AC、SC于D、E，且
SA=AB=a,BC= 2 a.
探究准备： 答：1、二面角是指从一条直线出发的两
个半平面所组成的图形；
一、忆一忆：
平面角是指以二面角的棱上一点为
端点，在两个半平面内分别做垂直于棱
1、二面角的概念，二面角 的两条射线，这两条射线所成的角就叫 的平面角的概念，二面角 做该二面角的平面角。
的大小范围；
二面角的大小范围：
[00 ，1800];
C1 B1
C B
总一总：求二面角的方法你都
学会了哪些？每一种方法在使用 上要注意什么问题？
请同学们先自己思考，然后小 组内交流学习一下。
二面角的几种主要常用的求法：
1、垂面法。见例一和例二的解法一；
2、三垂线法。见例二的解法二；
3、射影面积法。见例二的解法三；
4、法向量夹角法。见例二的解法四。
其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的 方法 ，也称为 直接法；射影面积法和法向量 法是没有找出平面角而求之的方法，也称之为 间接法。
AC 3
∴∠CDE=900--∠SCA=600
解毕。
S E
A
D
C
B
议一议：刚才的证明过
程中，是用什么方法找到 二面角的平面角的？
请各小组讨论交流一下。
探究二：
试一试
例二：如图：直四棱柱ABCD-
A1B1C1D1,底面ABCD是菱形， AD=AA1 ，∠DAB=600,F为棱AA1的中 点。
求：平面BFD1与平面ABCD所 成的二面角的大小。
P
D1 A1
F D
A E
C1 B1
C B
思考：这种解法同解法一有什么异同？
解法三：
z
法向量法：建系如图：
设这个四棱柱各棱长均为2. 则D(0，0，0） D1（0，0，2）
B（1， 3 ，0） F（-1， 3 ，1）
D1 A1
C1 B1
F
D
Cx
∴BF
=（-2，0 ，1）
DB 1
=（1， 3 ，-2）
D1 A1
FD A
C1 B1
C B
要求：1、各人思考；2、小组讨论；
3、小组交流展示；4、总结。
解法一：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连 接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面 ABCD的交线。
∵ F是AA1的中点，∴可得A也是PD的中 点，∴AP=AB,
又∵∠ DAB=600,且底面ABCD是菱形， ∴可得正三角形ABD, 故 ∠DBA=600, ∵∠P=∠ABP=300, ∴∠DBP=900,即PB⊥DB；
又因为是直棱柱，∴DD1 ⊥ PB, ∴PB⊥面DD1B,
故 ∠DBD1就是二面角D1-PB-D的平面 角。 显然BD=AD=DD1, ∴∠DBD1=450。即为所 求. 解毕。
D1 A1
F D
A P
C1 B1
C B
解法二：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连 接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面 ABCD的交线；
2 解毕
u DD

1
u DD
1
解法四：
如图：由题意可知，这是一个直四棱柱 ， △ BFD1在底面上的射影三角形就是 △ABD, 故由射影面积关系可得COSθ= ＳABD／ ＳBＦＤ1
（θ是所求二面角的平面角） 以下求面积略。
D1 A1
F D
A
点评：这种解法叫做“射影面积法”
在选择和填空题中有时候用起来会很 好
因为是直棱柱，所以AA1 ⊥ 底面ABCD, 过A做AE⊥PB,垂足为E,连接EF, 由三垂线定理可知，EF⊥PB, ∴∠AEF即为二面角D1-PB-D的平面角；
同解法一可知，等腰△APB, ∠P=300， Rt△APB中，可求得AE= 1 ，（设四棱柱 的棱长为2）又AF= 1, ∴∠AEF=450，即 为所求。
A
B
显然，DD 就是平面ABCD的法向量，再设平面 1
y
BDD1的一个法向量为向量 u=(x0,y0,z0)。则 u⊥FB
且u⊥D1B
∴2x0+ 0y0-z0=0且x0+ 3 y0-2z0=0
令x0=1可得z0= 2 , y0= 3 ,
即 u =（ 1， 3 ，2）
设所求二面角的平面角为θ，则COSθ = = 2 ,所以所求二面角大小为450
点评
这几种方法是现在求二面角的常用
的方法，在高考中经常被考查；尤其是 向量法，更有着广泛的被考查性，在应 用的时候主要注意以下两点： 1、合理建系。本着“左右对称 就地取 材”的建系原则。 2、视图取角。由于法向量的取定有人为 的因素，其夹角不一定正好是二面角的 平面交的大小，我们要视原图形的情况 和题意条件进行正确的选择大小，即要 么是这个角，要么是它的补角。
2、三垂线定理、平面的 法向量。
2、三垂线定理：平面内的一条直线， 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它就和这条斜线垂直；
平面的法向量：直线L垂直平面α， 取直线L的方向向量，则这个方向向量叫 做平面α的法向量。 （显然，一个平面的法向量有无数个， 它们是共线向量）
探究准备： 答：1、做二面角的平面角主 要有3种方法：
D
A
C
求：平面BDE和平面BDC所成的二
面角的大小。
B
分析：1、根据已知条件提供的数量关系
通过计算证明有关线线垂直；
2、利用已得的垂直关系找出二面角的平 面角。
解：如图：
∵SA ⊥ 平面ABC,
∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA ⊥ BD;
于是SB= SA2 AB 2 = 2 a
又BC= 2a ，∴ SB=BC;
二、想一想：
1、怎样做出二面 角的平面角？
（1）、定义法：在棱上取一 点，在两个半平面内作垂直于 棱的2 条射线，这2条所夹 的 角；
（2）、垂面法：做垂直于棱 的一个平面，这个平面与2个 半平面分别有一条交线，这2 条交线所成的角；
（3）、三垂线法：过一个半 平面内一点（记为A）做另一 个半平面的一条垂线，过这个 垂足（记为B）再做棱的垂线， 记垂足为C，连接AC，则 ∠ACB即为该二面角的平面角。
∵E为SC的中点，∴BE⊥SC
又DE⊥SC 故SC⊥平面BDE
可得BD⊥SC 又BD⊥SA
∴BD⊥平面SAC
∴∠CDE为平面BDE和平面BDC所成 二面
角的平面角。
∵ AB⊥BC，∴AC= AB 2 BC 2 = a2 2a2
= 3a
在直角三角形SAC中，tan∠SCA=
SA
=
3
∴ ∠ SCA=300 ，