2020版高考一轮复习(江苏专版)第13章 第1节 机械振动

?波与相对论[选修3－4] 第十三章

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第1节机械振动

(1)简谐运动是匀变速运动。(×)

(2)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。(√)

(3)振幅等于振子运动轨迹的长度。(×)

(4)简谐运动的回复力可以是恒力。(×)

(5)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。(√)

(6)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(×)

(7)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。(√)

(8)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(×)

突破点(一) 简谐运动

1．动力学特征

F ＝－kx ，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。 2．运动学特征

简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x 、F 、a 、E p 均增大，v 、E k 均减小，靠近平衡位置时则相反。

3．运动的周期性特征

相隔T 或nT 的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。 4．对称性特征 (1)相隔T

2

或

2n ＋1T

2

(n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度

大小相等，方向相反。

(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P 、P′(OP ＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。

(3)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P′所用时间，即t PO ＝t OP′。 (4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即t OP ＝t PO 。 5．能量特征

振动的能量包括动能E k 和势能E p ，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。

[典例] [多选]如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y ＝0.1sin(2.5πt)m。t ＝0时刻，一小球从距物块h 高处自由落下；t ＝0.6 s 时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g ＝10 m/s 2

。以下判断正确的是( )

A ．h ＝1.7 m

B ．简谐运动的周期是0.8 s

C ．0.6 s 内物块运动的路程为0.2 m

D ．t ＝0.4 s 时，物块与小球运动方向相反 [思路点拨]

(1)由物块做简谐运动的表达式确定物块的振幅和振动周期。 (2)确定0.6 s 时物块所在的位置。

(3)确定0.6 s 时小球下落的高度与h 的关系。

[解析] 由物块做简谐运动的表达式y ＝0.1sin(2.5πt)m 知，ω＝2.5π，T ＝

2πω＝2π2.5π

s ＝0.8 s ，选项B 正确；t ＝0.6 s 时，y ＝－0.1 m ，对小球：h ＋|y|＝12gt 2

，解得h ＝1.7 m ，选项A 正确；物块0.6

s 内运动的路程为0.3 m ，t ＝0.4 s 时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同。故选项C 、D 错误。

[答案] AB

[方法规律] 分析简谐运动的技巧

(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。

(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。

[集训冲关]

1．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝5sin ? ??

??π4t cm 。下列关于质点运动的说法正确的是( )

A ．质点做简谐运动的振幅为10 cm

B ．质点做简谐运动的周期为4 s

C ．在t ＝4 s 时质点的加速度最大

D ．在t ＝4 s 时质点的速度最大

解析：选D 由位移的表达式x ＝5sin ? ??

??π4t cm ，可知质点做简谐运动的振幅为5 cm ，故A 错误；由位移的表达式读

出ω＝π4 rad/s ，则周期为T ＝2πω＝8 s ，故B 错误；在t ＝4 s 时质点的位移x ＝5sin ? ????π4×4cm ＝0，说明质点通过平衡位置，加速度最小，故C 错误；在t ＝4 s 时质点通过平衡位置，加速度最小而速度最大，故D 正确。

2．[多选]质点A 、B 做简谐运动，其振动位移的表达式分别为x A ＝3sin ? ????100t ＋π2m ，x B ＝5sin ? ????100t ＋π6m 。比较A 、B 两质点的运动，下列说法正确的是( )

A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，

B 的振幅是10 m B ．周期是标量，A 、B 的周期相等，均为100 s

C ．A 振动的频率f a 等于B 振动的频率f b

D ．A 的相位始终超前B 的相位π

3

解析：选CD 由两个质点振动位移的表达式可知，A 的振幅为3 m ，B 的振幅为5 m ，故A 错误；周期表示质点振动的快慢，没有方向，是标量，由表达式读出两个质点角速度均为ω＝100 rad/s ，周期T ＝

2π

ω＝2π

100

s ＝0.02π s，故B 错误；两质点振动的周期相同，则频率一定相同，故C 正确；A 的相位是100t ＋

π2，B 的相位是100t ＋π6，相位差：Δφ＝?

????100t ＋π2－? ????100t ＋π6＝π3，所以A 的相位始终超前B 的相位π

3

，故D 正确。

突破点(二) 简谐运动的图像

1．对简谐运动图像的认识

(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。

(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，不代表质点运动的轨迹。

2．图像信息

(1)由图像可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率。

(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。

(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度的方向在图像上总是指向t轴。

(4)确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增加，振动质点的速度方向就是远离t轴，若下一时刻位移减小，振动质点的速度方向就是指向t轴。

(5)比较不同时刻回复力、加速度的大小。

(6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小。

[典例] (2017·北京高考)某弹簧振子沿x 轴的简谐运动图像如图所示，下

列描述正确的是( )

A ．t ＝1 s 时，振子的速度为零，加速度为负的最大值

B ．t ＝2 s 时，振子的速度为负，加速度为正的最大值

C ．t ＝3 s 时，振子的速度为负的最大值，加速度为零

D ．t ＝4 s 时，振子的速度为正，加速度为负的最大值

[审题指导] 根据简谐运动的位移图像直接读出质点的位移与时间的关系。当位移为零时，质点的速度最大，加速度为零；当位移为最大值时，速度为零，加速度最大。加速度方向总是与位移方向相反，位移为负值，加速度为正值。

[解析] t ＝1 s 时，振子在正的最大位移处，振子的速度为零，由a ＝－kx

m 知，加速度为负的最大值，

A 项正确；t ＝2 s 时，振子位于平衡位置，由a ＝－

kx

m

知，加速度为零，B 项错误；t ＝3 s 时，振子在负的最大位移处，由a ＝－kx

m 知，加速度为正的最大值，C 项错误；t ＝4 s 时，振子位于平衡位置，由a ＝

－

kx

m

知，加速度为零，D 项错误。 [答案] A [方法规律]

(1)简谐运动图像中，任意时刻图线上某点切线的斜率表示该时刻质点的速度；斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负反映速度的方向。

(2)振动质点的加速度的大小变化规律与质点的位移的大小变化规律相同，两者方向始终相反。在振动图像中，根据位移的大小和方向比较加速度的大小比较直观。

[集训冲关]

1．(2018·宿迁期末)如图为弹簧振子在t ＝0到t ＝4 s 内在竖直方向的振

动图像，以向上为正方向。下列判断正确的是( )

A ．在t ＝2 s 时刻振子的振动方向向上

B ．在t ＝0到t ＝1 s 时间内振子的速度减小，回复力增大

C ．在t ＝1 s 到t ＝2 s 时间内振子的加速度和速度都增大

D ．从t ＝1 s 到t ＝3 s 时间内振子的位移为零

解析：选B 由振动图像可知，t ＝2 s 时刻振子的振动方向向下，故A 错误；在t ＝0到t ＝1 s 时间内振子的位移增大，速度减小，回复力增大，故B 正确；在t ＝1 s 到t ＝2 s 时间内振子的位移减小，加速度减小，速度增大，故C 错误；从t ＝1 s 到t ＝3 s 时间内振子从正向最大位移运动到负向最大位移，位移不为零，故D 错误。

2．[多选]如图是某质点做简谐运动的振动图像。根据图像中的信息，下列判断正确的是( )

A ．质点离开平衡位置的最大距离为5 cm

B ．在t ＝3 s 和t ＝5 s 这两个时刻，质点的加速度相同

C ．在t ＝3 s 和t ＝5 s 这两个时刻，质点的速度相同

D ．质点在1 s 内通过的路程为一定是5 cm

解析：选AC 由振动图像可知，质点离开平衡位置的最大距离为5 cm ，选项A 正确；在t ＝3 s 和t ＝5 s 这两个时刻，质点的位移等大反向，则加速度等大反向，选项B 错误；在t ＝3 s 和t ＝5 s 这两个时刻，图像的斜率相同，则质点的速度相同，选项C 正确；1 s ＝T

8，则质点在1 s 内通过的路程一定小于

5 cm ，选项D 错误。

突破点(三) 受迫振动和共振

1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较

振动周期或频率

由系统本身性质决

定，即固有周期T 0或

固有频率f 0

由驱动力的周期或频率决定，即T ＝T 驱或f

＝f 驱

T 驱＝T 0或f 驱＝f 0

振动能量

振动物体的机械能不

变 由产生驱动力的物体

提供

振动物体获得的能量

最大

常见例子

弹簧振子或单摆(θ≤5°)

机械工作时底座发生

的振动

共振筛、声音的共鸣

等

(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f ，纵坐标为振幅A 。它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f 0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f 与

f 0越接近，振幅A 越大；当f ＝f 0时，振幅A 最大。

(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界

时刻进行能量交换。

[题点全练]

1.为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起以达到车辆减速的目的。一排等间距设置的减速带，可有效降低车速，称为洗

衣板效应。如果某路面上的减速

带的间距为1.5 m ，一辆固有频率为2 Hz 的汽车匀速驶过这排减速带，下

列说法正确的是( )

A ．当汽车以5 m/s 的速度行驶时，其振动频率为2 Hz

B ．汽车速度越大，颠簸的就越厉害

C ．当汽车以3 m/s 的速度行驶时最不颠簸

D ．当汽车以3 m/s 的速度行驶时颠簸的最厉害

解析：选D 当汽车以5 m/s 的速度行驶时，其振动周期为：T ＝l v ＝1.55 s ＝0.3 s ，频率为：f ＝1T ＝1

0.3

Hz ＝3.3 Hz ，故A 错误；由T ＝1f 可知，汽车的固有周期为T ＝0.5 s ，则汽车的速度v ＝l T ＝1.5

0.5 m/s ＝3 m/s ，

即当速度为3 m/s 时，汽车达到共振颠簸的最厉害，故B 、C 错误，D 正确。

2．[多选](2019·赣榆高级中学检测)如图所示的装置中，在曲轴AB 上悬挂一个弹簧振子，若不转动把手C ，让其上下振动，周期为T 1。若使把手以周期T 2(T 2>T 1)匀

速转动，当运动都稳定后，下列判断正确的是( )

A ．弹簧振子的振动周期为T 1

B ．弹簧振子的振动周期为T 2

C ．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速减小

D ．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速增大

解析：选BD 弹簧振子在把手转动曲轴AB作用下做受迫振动，因此振动周期等于驱动力的周期，等于T2，故A错误，B正确。驱动力的周期与弹簧振子的固有周期越接近，振幅越大。由于T2>T1，欲使振幅增大，应使T2减小，即转速应增大，故C错误，D正确。