MATLAB 第四章

V11 V12 V13 V14 V21 V22 V23 V24 V31 V32 V33 V34 V41 V42 V43 V44
>0
能控能观测性分析
能控能观性分析（现代控制理论针对状态空间方 • 程） x = Ax + Bu y = Cx + Du 能控的充要条件（系统输入对状态的控制能力） 能控性矩阵Qc=(B AB A2B …An-1B)满秩，即 rank(Qc)=n 能观的充要条件（系统输出对状态的反映能力） 能观性矩阵Qo=(C CA CA2…CAn-1)T满秩，即 rank(Qo)=n
0 6 −5 5 x = 1 0 2 x + 1u 3 2 4 5
•
y = (1 1 2 ) x
求系统的稳态误差
求系统的稳态误差 esr (∞)
esr (∞) = lim er (t ) = lim sE ( s )
t →∞ s →0
稳定性分析
最小相位系统——首先是一个稳定的系统， 同时，对于连续系统而言，系统的所有零点 都位于S平面的左半平面；对于离散系统而言， 系统的所有零点都位于Z平面的单位圆内。 故判断系统是否为最小相位系统，就看系统 的所有零点。
稳定性分析
系统稳定性的判别方法： 间接判别：劳斯判据和胡尔维茨判据 劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则系统 稳定。如果劳斯表中第一列中出现小于0的数值， 则系统不稳定。 胡尔维茨判据：当且仅当系统分母多项式构成的胡 尔维茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。
稳定性分析
对状态空间方程，可以求A阵的特征值，特征值 均小于0则系统稳定，否则系统不稳定。 求解Lyapunov方程。 实例分析 例1.判断如下系统的稳定性：
1 G(s) = 3 2 s + s + 2 s + 23
稳定性分析
法1：求出系统的闭环传递函数，从而得到闭 环特征方程，用roots()函数，求出闭环特征 方程的根，根据根的情况判断系统的稳定性。 法2：求出系统的零极点模型，并画出零极点 图，根据极点位置判定系统的稳定性。
稳定性分析
法3：求出系统的状态空间方程，并求出矩阵A的 特征值，根据特征值的情况判定系统的稳定性。 法4： Lyapunov稳定判据：对于线性定常系统为
x = Ax + Bu y = Cx + Du
•
稳定性分析
如果存在一个正定矩阵V，使得满足 ATV+VA=-E，则系统是稳定的。 在MATLAB中，Lyapunov方程可以由控 制系统工具箱函数lyap()函数求解，函数的调 用格式V=lyap(A,E)。 求出矩阵V，根据V是否为正定矩阵来判 断系统的是否稳定。
MATLAB判别稳定性的方法 求闭环特征方程的根。在自控原理中，采用 劳斯判据法，但在MATLAB中求解多项式的 MATLAB 方程很容易，用roots()函数直接求出特征方 roots() 程的根。 绘制零极点图，将系统模型转换为零极点模 型，用pzmap()函数绘制出系统极点看是否在 S平面的左半平面。
稳定性分析
补充：正定矩阵的条件：假设V——4*4 的方阵。
V11 V V = 21 V31 V41 V12 V22 V32 V42 V13 V14 V23 V24 V33 V34 V43 V44
V11 > 0
V11 V12 V21 V22 >0
V11 V12 V13 V21 V22 V23 > 0 V31 V32 V33
分别计算在典型输入 信号 1 2 r (t ) = 1(t ) 、 t 、 2 t 下的稳态误差终值。
例3.已知单位负反馈系统的 开环传递函数：
7( s + 1) Gk = s ( s + 3)( s 2 + 4s + 5)
求系统的稳态误差
已知输入信号r(t),对输入信号取拉氏变换，用 MATLAB中的laplace()函数。 拉氏变换的格式：F=laplace(f，s) 拉氏反变换的格式：f=ilaplace(F) 注意：如何输入？
能控能观测性分析
MATLAB中，提供了分析系统能控能观性的 函数——ctrb()和obsv()。 ctrb()用来求系统的能控性矩阵，格式为 Qc=ctrb(A,B） obsv()用来求系统的能观性矩阵，格式为 Qo=obsv(A,C)
能控能观测性分析
书上例4-4.已知系统的状态空间表达式：判断系 统是否可控、可观测。
1 1Байду номын сангаас+ Gk
能控能观测性分析
对于系统的状态反馈用能控标准型较为方便； 对于系统状态观测器的设计及系统辨识，则 采用能观测标准型更为方便。 能控性和能观性与传递函数之间的关系 如果单变量系统状态完全能控能观测，那 么也可以用传递函数描述。
能控能观测性分析
若单变量系统为
x = Ax + Bu y = Cx + Du
0 6 −5 5 x = 1 0 2 x + 1u 3 2 4 5
•
y = (1 1 2 ) x
能控能观测性分析
系统由于状态变量选择不唯一，其状态空间 描述即状态空间表达式也不唯一。在实际应 用中，我们可以根据研究问题的实际情况选 取相应的状态空间表达式。 将状态空间表达式可以转化为能控标准型、 能观测标准型或对角线标准型和约旦标准型。
在MATLAB中，函数dcgain()可求取系统给定误差 的终值，即 e (∞) = dcgain( sE ( s ))
sr
求系统的稳态误差
经过MATLAB运算，可得 则， E = R/(1+Gc*Go*H)
R( s) esr (∞) = dcgain( sE ( s)) = dcgain( s ) 1 + GcGoH
•
验算结果发现系统有s=-1的零、极点相约的现 象。因此，系统是不完全能控能观测的。再通过 求Qc、Qo来具体分析是不能控还是不能观测。 练习题：用例4-4来验证系统完全能控能观的充要 条件。
能控能观测性分析
例4-4.已知系统的状态空间表达式：判断系统是否 完全能控能观测，若完全能控能观测，验证 G ( s) = C ( SI − A) −1 B + D 是否成立。
稳定性分析
直接判别 直接求根法。 直接求根法具有比间接法更多的优势，因为他可 以直接求出系统的极点和零点，判断系统的稳定性 和是否为最小相位系统。从前面的学习的知识知道， 只要知道系统模型，无论是哪种形式的数学模型， 都可以很方便的用MATLAB求出系统的零极点，从 而判定系统的稳定性。
稳定性分析
第四章控制系统的特性分析
控制系统的稳定性分析 控制系统的能控能观性分析 求系统的稳态误差
稳定性分析
稳定性分析的原理 系统稳定及最小相位系统判据原理 由控制理论的一般规律可知，对线性系统： （1）对于连续时间系统，如果闭环极点全部在 S平面左半平面，则系统是稳定的； （2）对于离散系统，如果系统全部极点位于Z 平面的单位圆内，则系统是稳定的。
•
则系统状态完全能控能观的充要条件 充要条件为系统的输入 充要条件 和输出之间的传递函数不出现零、极点相约的现象。 G ( s ) = C ( SI − A) −1 B + D 即
能控能观测性分析
例4-9考虑系统是否可控可观。
−2 2 −1 0 x = 0 −2 0 x + 1 u 1 −4 0 1 y = (1 −1 1) x