期末模拟题(五)

线性代数期末试卷B 卷（周三） 一 填空题（每题4分，共20分） 1． 已知1
232ααα=，则22312αααα-= 。

2． n 元方程组AX θ=的系数矩阵A 的秩为3n -，则其基础解系所含向量个数
为 。

3． A ，B 均为n 阶方阵，则2()A B -= 。

4． 设向量组123(1,1,1),(1,2,2),(1,4,)t ααα===线性相关，则t = 。

5． n 阶方阵A 满足22A A E O --=，则1()A E --= 。

二 选择题
1．设A ，B ，C 均为n 阶方阵并满足A B C E =，则必有（ ） （A ）A C B E = （B ）B A C E =（C ）C B A E =（D ）B C A E =
2．设,a b 是实数，0
001
1
a
b b
a -=--，则（ ） （A ）0,1a
b ==- （B ）0,0a b ==（C ）1,0a b ==（D ）1,1a b ==- 3．设向量组12,,,m ααα 的秩为r ，则下面结论正确的是（ ） （A ）必有r m <；
（B ）向量组中任意含有向量个数小于r 的部分组都线性无关； （C ）向量组中任意含有向量个数大于1r +的部分组都线性相关； （D ）向量组中任意r 个向量都线性无关
4．设12,ββ是非齐次方程组AX β=的两个不同的解，
12,αα是其导出组的基础解系，12,k k 是任意常数，则方程组AX β=的通解为（ ） （A ）1122121()2
k k ααββ+++ （B ）1122121()2
k k ααββ++
-
（C ）11212121()()2k k αααββ+-+- （D ）11212121()()2
k k αββββ+-+
+
5．已知A ，B 均为n 阶方阵，则必有（ ）
（A ） 2
2
2
()2A B A AB B -=-+ （B ）()T
T
T
AB B A =
（C ） A B O =时，A O =或B O = （D ） ***
()AB A B =
三 计算题（每题9分，共54分）
1． 设A ，B 为三阶矩阵，已知2AB A B =+，其中2020
4020
2B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
，求1()A E --
2． 设向量组123(1,1,1),(1,2,1),(1,3,)t ααα===，求当t 为何值时此向量组是3R 的一组
基
3．求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关向量组线性表示
11213α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，31335α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，445
26α⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
4．设向量1γ、2γ、3γ是方程组AX β=的3个解，()2R A =，且 121212γγ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，233233γγ⎛⎫ ⎪
+=- ⎪ ⎪⎝⎭
求AX β=的通解
5．设有三维向量组111,1a α+⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭211,1a α⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭311,1a α⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪+⎝⎭
20a a β⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
问当a 为何值时：
（1）β不能由123,,ααα线性表示；
（2）β可由123,,ααα线性表示，且表示唯一；
（3）β可由123,,ααα线性表示，但表示不唯一，写出该表示式。

6． 已知A X X λ=，其中4000
3101
3A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
，其中X 是3维列向量，问当λ为何值时此方程组存在非零解，并求其通解。

四 证明题（本题6分）
设A ，B 均为n 阶方阵，并且B 可逆，证明()()R A R AB =。