中考数学复习指导抛物线内接三角形面积计算通法.doc

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抛物线上的三角形的面积

抛物线上的三角形的面积
抛物线是一种二次函数的图像，其形式为$y=ax^2+bx+c$（其中$a$ 不等于0）。

如果在抛物线上存在一个三角形，则它的底边一定是抛物线的某一条直线切线，并且顶点在抛物线的极值处。

如果要计算抛物线上三角形的面积，可以使用以下步骤：
找出抛物线的极值点。

极值点的坐标为$(h,k)$，其中$h$ 是抛物线的横坐标，$k$ 是抛物线的纵坐标。

极值点的横坐标可以通过求解方程$ax^2+bx+c=0$ 来获得，其中$a$、$b$ 和$c$ 分别是抛物线的系数。

求出抛物线的切线方程。

切线的斜率为抛物线的导数$2ax+b$，可以使用斜截式$y=mx+b$ 来表示切线的方程，其中$m$ 是斜率，$b$ 是切线的截距。

求出抛物线的底边长。

底边的两个端点的坐标分别为抛物线的两个交点，可以使用切线的方程求解。

计算三角形的面积。

可以使用海伦公式求解三角形的面积，公式为$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中$s$ 为三角形的半周长，即$s=\frac{a+b+c}{2}$，$a$、$b$ 和$c$ 分别是三角形的三条边长。

因此，计算抛物线上三角形的面积的步骤如下：
求出抛物线的极值点$(h,k)$。

求出抛物线的切线方程$y=mx+b$。

求出抛物线的底边长$a$。

计算三角形的半周长$s$。

使用海伦公式计算三角形的面积。

举个例子，假设抛物线的方程为$y=x^2-2x+1$，底边长为$a=2$，那么抛物线上三角形的面积就是$\sqrt{s(s-2)(s-2)(s-2)}=\sqrt{s(s-2)^3}$。

第五讲+抛物线中三角形的面积问题

第五讲抛物线中三角形的面积问题一、抛物线内接三角形的面积问题：例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。

⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；⑵求S△MBC；归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：二、抛物线中三角形的等积变化：1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由。

2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。

S△ABC。

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 134、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。

练习：1、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2010玉溪）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，△AOB（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD 把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．yAB。

抛物线与三角形的面积

抛物线与三角形的面积抛物线与三角形面积相结合的问题涉及代数、几何的许多定理、公式，有一定的难度，近年来的中考试题中，经常出现抛物线与三角形面积结合的综合题，以考查学生的综合运用所学知识解决问题的能力。

这节课我们共同来探索一下顶点都在抛物线2y ax bx c =++上的三角形面积的求法。

1、已知抛物线: 224233y x x =--+(1)求抛物线与坐标轴交点坐标及顶点坐标; (2)画出抛物线的草图;(3)设抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，顶点为D 。

求：①△DAB 和△CAB 的面积； ②四边形ABCD 的面积； ③△ACD 的面积(4)求直线AC 的解析式；（5）抛物线上有一动点P 在直线AC 上方，问：是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大，若存在，求出△PAC 的最大面积及P 点坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.练习：1、在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM重合的面积ABC为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？2、如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．ABMND 图 2OABMN 图 3O图13、(2011漳州中考题)如图1，抛物线y=mx2-1lmx+24m(m<0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=900．(1)填空：OB=________，）OC=________；(2)连结OA，将△OAC沿x轴翻折后得到△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；(3)如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与(2)中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值。

高中抛物线三角形面积公式

高中抛物线三角形面积公式高中数学中，抛物线是一个常见的曲线类型。

而抛物线的一个重要性质是，它可以被用来构造出一个三角形，其面积可以通过一个简单的公式来计算。

我们需要了解抛物线的基本概念。

抛物线是一个平面曲线，其形状类似于一个开口向上或向下的碗。

它可以由一个二次方程来描述，即y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，x和y是抛物线上的点的坐标。

接下来，我们来看看如何构造一个抛物线三角形。

首先，在抛物线上任选三个点，将它们连接起来，就可以得到一个三角形。

这个三角形的一个顶点是抛物线的顶点，而另外两个顶点则是我们任选的两个点。

接着，我们来看看如何计算这个三角形的面积。

首先，我们需要求出三角形的底边长和高。

底边长可以通过两个顶点的横坐标之差来计算，而高则是从三角形的顶点到底边的垂直距离。

具体来说，我们可以先求出三角形的底边长b，即b=x2-x1，其中x1和x2分别是任选的两个点的横坐标。

接着，我们需要求出三角形的高h。

由于三角形的顶点在抛物线上，因此我们可以通过求出抛物线在顶点处的切线来得到高的长度。

在这里，我们就需要用到一些微积分的知识。

我们可以先求出抛物线在顶点处的导数，即y'=2ax+b。

由于导数表示的是曲线在某一点处的斜率，因此我们可以用这个导数来求出抛物线在顶点处的切线的斜率。

接着，我们可以得到这条切线的方程，即y=2ax0+b，其中x0是抛物线的顶点的横坐标。

我们可以求出这条切线与底边的交点的纵坐标，即三角形的高h。

具体来说，我们可以将这条切线的方程代入三角形底边的方程中，得到一个二次方程。

通过求解这个二次方程，我们可以得到这条切线与底边的交点的纵坐标y0。

因此，三角形的面积可以通过公式S=1/2bh来计算，其中b是底边长，h是三角形的高。

需要注意的是，由于抛物线的形状类似于一个碗，因此在选取三个点构成三角形时，我们需要保证这个三角形是有意义的。

具体来说，三个点应该按照从左到右或从右到左的顺序排列，这样才能够构成一个有意义的三角形。

抛物线中的内接三角形面积问题

抛物线中的内接三角形面积问题抛物线与三角形是初中数学的两个支柱型图形，而它们有机的结合，则可以构建综合题和探究型的试题．特别是有关抛物线中的内接三角形面积问题更是成为各地中考的热点题型，求解时若能灵活运用二次函数、方程、三角形等知识，充分利用数形结合、分类讨论和待定系数法等方法，就能找到求解的最佳切入点．例（重庆市）已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与轴的另一交点为，抛物线的顶点为，试求出点C、D的坐标和的面积．[注：抛物线的顶点坐标为]．（3）是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2∶3的两部分，请求出P点的坐标．解：（1）解方程，得，由，有，所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入，得解这个方程组，得所以，抛物线的解析式为．（2）由，令，得．解这个方程，得，所以C点的坐标为（－5，0）．由顶点坐标公式计算得点D（－2，9）．过D作x轴的垂线交x轴于M．则，，，所以．（3）设P点的坐标为（a，0），因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为．那么，PH与直线BC的交点坐标为．PH与抛物线的交点坐标为．由题意，得①，即．解这个方程，得或（舍去）．②，即．解这个方程，得或（舍去）．即P点的坐标为或．说明：处理抛物线的内接三角形的面积问题还要能运用相关的知识来构造出与所求点的坐标相关的方程．要注意在设抛物线上的点的坐标时，应注意与函数表达式的联用，如本题中和，这样就可以简捷求解．抛物线内三角形问题题型的覆盖面广，涉及知识点多，求解时既要求我们掌握有关抛物线的基础知识，又要求我们能够熟练地运用直角三角形、相似三角形等图形的性质，综合运用点坐标与线段长的关系，利用方程、数形结合、转化归纳、分类等数学思想方法，才能顺利解决问题．。

中考专题—抛物线与三角形面积专题

抛物线与三角形面积抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。

本文通过举例来谈这类题的解法。

一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有：（1）、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。

其面积为：SΔ=|x1-x2|·||=··||（2）、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。

其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。

其面积为：SΔ=·|x1-x2|·|c|＝··|c|（3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。

二、1．求内接于抛物线的三角形面积。

例1．已知抛物线的顶点C（2，），它与x轴两交点A、B的横坐标是方程x2-4x+3=0的两根，求ΔABC的面积。

解：由方程x2-4x+3=0，得x1=1, x2=3,∴AB=|x2-x1|=|3-1|=2.=×2×=.∴SΔABC例2．已知二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。

解：如图1，S=SΔABC+SΔABD四边形ACBD=××||+××|2|=.例3．如图：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。

解：由得点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，6）；抛物线与y轴交点C的坐标为（0，3）如图2，由A、B、C三点的坐标可知，AB=＝2，BC=＝3，AC=＝。

∵AC2+BC2=AB2，∴ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900，AC·BC=××3=3。

抛物线焦点三角形面积公式

抛物线焦点三角形面积公式
抛物线焦点三角形面积公式：
1、抛物线焦点三角形的基本概念：抛物线焦点三角形是一种由抛物线的两个焦点所围成的三角形。

它是一种特殊的三角形，因为它的全部边都是由两个抛物线的焦点和一条直线组成的。

2、抛物线两个焦点间距离公式：在抛物线中，首先需要计算两个焦点之间的距离，计算公式如下：
距离=抛物线焦点距离=2*抛物线离心率。

3、抛物线焦点三角形面积公式：抛物线焦点三角形的面积可通过下式计算：
S=½*[(2*焦点距离)+(外边长)^2-4*(外边长*内边长)].
4、该公式应用场景：抛物线焦点三角形面积计算可以在有关椭圆和抛物线的数学问题中得到应用，如抛物线的焦点定理以及大约椭圆和抛物线的物理应用等。

因此，抛物线焦点三角形面积公式是在计算椭圆和抛物线方面极其重要的公式。

抛物线三角形面积最大值公式

抛物线三角形面积最大值公式在数学中，我们经常需要研究最大化或最小化某个量的问题。

本文将探讨一个有趣的数学问题：如何求解抛物线上的三角形面积的最大值，并给出相应的公式。

问题引入考虑一个抛物线y=ax2+bx+c，我们希望找到一条直线y=mx+n和抛物线所围成的三角形的最大面积。

解决方法为了求解这个问题，我们首先需要确定直线和抛物线的交点。

令二者相交时的x值为x0，则有：ax02+bx0+c=mx0+n化简可得：mx0=ax02+bx0+c−n整理后可得：ax02+(b−m)x0+(c−n)=0这是一个一元二次方程，我们可以根据二次函数的性质求解出x0。

接下来，我们需要计算三角形的面积。

设两条线与x轴围成的三角形面积为S，则有：$$ S = \\frac{1}{2}(\\text{底边} \\times \\text{高}) = \\frac{1}{2}|x_1-x_2|\\times|y_1-y_2| $$求解最大值我们的目标是求解三角形面积的最大值。

根据前面的讨论，我们将三角形的面积公式代入：$$ S = \\frac{1}{2}|x_0-x_1|\\times|y_0-y_1| $$其中，x0为抛物线和直线的交点x坐标，(x1,y1)为抛物线上的点。

将直线方程y=mx+n代入上式，求解最大值问题可以转化为对S的求导问题，即求 $\\frac{dS}{dx_0}=0$。

通过对 $\\frac{dS}{dx_0}$ 求导，并令导数为零，可以得到抛物线三角形面积的最大值。

这个最大面积对应的x坐标即为我们要找的交点x0。

结论通过以上推导和计算，我们得到了抛物线上与给定直线围成的三角形面积的最大值公式。

这个公式可以帮助我们在解决相关数学问题时快速找到最优解。

希望本文的内容能对读者有所启发，也希望读者能在实际问题中灵活运用这些数学知识。

一、抛物线中三角形面积问题

，
1、（芜湖2011）平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(1
A B OC。

0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形'''
(1)若抛物线过点C，A，'A，求此抛物线的解析式；
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△AMA'的面积最大?最大面积是多少?
并求出此时点M的坐标。

2、（2011年凉山州）如图，抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且12x x <，与y 轴
交于点()0,4C
-，其中12x x ，是方程24120x x --=的两个根。

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是线段AB 上的一个动点，过点M
作MN ∥BC ，交
AC 于点N
，连接CM ，当
CMN △的面积最大时，求点M 的坐标；
y
x
O B M N C A
3、（2010年云南玉溪）如图10，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，3），△AOB 的面积是3. （1）求点B 的坐标；
（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；
（4）在（2）中x 轴下方的抛物线上是否存在一点P ，过点P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D ，线段OD 把△AOB 分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD 面积比为2：3 ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． x
y
A
B。

抛物线内接三角形面积公式

抛物线内接三角形面积公式
抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

如果把抛物线的顶点设为坐标原点 (0,0)，那么抛物线的顶点
坐标为 (h, k)，其中 h = -b/(2a)，k = c - b^2/(4a)。

接下来，我们设抛物线上任意一点的坐标为 (x, ax^2 + bx + c)。

我们知道，任意抛物线上的一点到抛物线顶点的距离可以用欧几里得距离公式计算：
d = √((x-h)^2 + (ax^2 + bx + c - k)^2)
现在我们要求抛物线上的三个点坐标 (x1, y1)，(x2, y2)，(x3,
y3)，使得这个三角形与抛物线相内切。

由于内切三角形的性质，三个点到抛物线顶点的距离都是相同的。

因此我们可以将这个距离简化为：
d = √((x1-h)^2 + (ax1^2 + bx1 + c - k)^2)
根据欧几里得距离公式，这个内切三角形的面积可以通过海伦公式计算：
s = √(p(p-d1)(p-d2)(p-d3))
其中 p = (d1 + d2 + d3)/2 是三个边长的半周长。

我们可以进一步简化这个面积公式，将三个边长用 d 表示：s = √(3d^2(d-p))
其中d = √((x1-h)^2 + (ax1^2 + bx1 + c - k)^2) 是三个边长的距离，p = (3d)/2 是三个边长的半周长。

这就是抛物线内接三角形的面积公式。

抛物线中三角形面积问题

学生通过合作学习，讨论来完成问题
作业布置
如图：抛物线y=-(x^2)+2x+3与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左侧）.与y轴交于点C，点M((5/2)，(7/4)),N(-2,-5),
求四边形CMBN的面积。
学生自由选择一个图形进行面积的计算，鼓励用多种方法进行解决。
探究一
如图：抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，
点C是抛物线与y轴交点。
2、点E在抛物线上，且CE∥AB，求S△ABE
3、在（2）的条件下，BF∥AE，F在抛物线上，求S△AEF
4、在（2）的条件下，直线AE解析式为y=x+1，G（-2,-5)在抛物线上，求S△AEG
2、感受转化思想在数学学习中的重要作业
3、培养学生合作交流能力，语言表达能力。
教学重点：三角形面积计算和点坐标的计算
教学难点：用平行线进行三角形的转化
解决措施：利用白板，展示图形的变形转化过程，让学生对图形的变化有直观的认识。
教学设计
教学环节
教师活动
学生活动
预习检测
展示四个图形
学生解答后，老师进行方法的归纳。
应用和延伸
如图：抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
（1）点P(m,n)是抛物线与x轴所围成的封闭区域内一点（包括边界），若以D、C、P、B为顶点的四边形面积是△BCD面积的2倍，求出m的取值范围。
（2）Q是直线BC上方抛物线上的一点，求△CBQ最大面积。
在抛物线上且ceab求sabe3在2的条件下bfae在抛物线上求saef4在2的条件下直线ae解析式为yx1g25在抛物线上求saeg依次提出问题归纳结论变式练习1学生分别解决三个问题归纳出同底等高三角形面积相等2利用结论解决问题探究二如图

例析抛物线上的三角形面积问题

例析抛物线上的三角形面积问题爱心之家园有些数学题，解答时若方法不当，分析不到位，真有点“山重水复”之感，解答抛物线上的三角形面积问题，便是如此。

下面笔者将用“三角形同底等高面积相等的性质”通过例题来分析抛物线上的三角形面积问题的几个知识点。

一、已知三角形两个顶点及面积求第三个顶点的坐标1.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P为抛物线上一点，且S△BCP＝3，求P点的坐标。

（“x2”表示x的平方，下同）分析：令y＝－x2＋2x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3，令x＝0，得y＝3，∴A（－1，0），B（3，0），C（0，3）构造含有BC边且面积等于3的三角形，因OC＝3，只需在x轴取点N（1，0）和M（5，0）便有BM＝BN＝2，S△BMC＝S△BNC＝1/2BM·OC＝1/2BN·OC＝3过M点作直线a∥BC交抛物线于P1，P2，过N点作直线b∥BC 交抛物线于P3，P4，则S△BCP1＝S△BCP2＝S△BCP3＝S△BCP4＝3 ∵直线BC的解析式为：y＝－x＋3，∵a∥b∥BC，而M点的坐标为（5，0）N点的坐标为（1，0）可得a：y＝－x＋5，b：y＝－x＋12.已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P为抛物线上一点（不与B重合）且S△BCP＝2S△ABC，求P点的坐标。

分析，可求得A点的坐标为（－1，0），B（3，0），C（0，3）∵S△ABC＝3，∴S△BCP＝6，构造含有BC边的三角形使其面积为6，取点M（7，0），则MB＝4，S△BMC＝6，或取点N（－1，0）则S△BNC＝6，过M点作直线a平行BC交抛物线于P1，P2，过N点作BC的平行线，显然与抛物线无交点。

可求得直线a的解析式为：y＝－x＋7所以P点的坐标为（－1，6）或（4，3）3．已知y＝0.5x2＋mx－2m－2（m＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，抛物线上有一点D（－1，n），若△ACD的面积为5，（1）求A，B，C三点的坐标（用含m的代数式表示）；（2）求m的值分析：令y＝0.5x2＋mx－2m－2＝0，x1＝2，x2＝－2m－2，令x＝0得，y＝－2m－2∴A点的坐标为（－2m－2，0），B点的坐标为（2，0），C（0，－2m－2）（2）∵A（－2m－2，0），C（0，－2m－2）∴OA＝OC，∴AC：y＝－x－2m－2过D点作AC的平行线交x轴于E，则S△ACE＝S△ACD＝5设DE：y＝－x＋b，∵D（－1，－3m－1.5），∴－3m－1.5＝1＋b，∴b＝－3m－2.5，∴DE：y＝－x－3m－2.5令y＝0得：x＝－3m－2.5，∴A（－3m－2.5，0）∴AE＝xA－xE＝（－2m－2）－（－3m－2.5）＝m＋0.5∴S△ACE＝0.5AE·CO＝5，∴0.5(m＋0.5)(2m＋2)＝5∴m1＝1.5，x2＝－3（舍去）故m的值为1.5二、已知三角形两个顶点及面积有最大值，求第三个顶点的坐标4.如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P抛物线上一动点，当△PAC面积最大时，求P点的坐标.分析：令y＝x2－2x－3＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴ A（－1，0），B（3，0），将x＝2代入抛物线解析式得，y＝－3，∴C（2，－3）可知AC：y＝－x－1过P点作直线PD平行于AC交x轴于D，当直线PD与抛物线相切于P点时S△ACP面积最大，设PD：y＝－x＋b看来解决抛物线上的面积问题的有关题，分析思考时，灵机一动，眼前一亮，找到好的解题方法，问题迎刃而解，又有“柳暗花明”之喜。

探究抛物线中三角形面积求法

（2）点D是直线AC上方抛物线上的一个动点，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标？
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如图2：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，
抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。
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如图2：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。
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作业布置: 1.请课后每四人小组找三道你们认为很好的,并渗透抛物线中三角形面积的题目交给我.（要有答案） 2. 发下去的纸上的题目
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感
谢
各位专家和老师
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抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点（1）求抛物线的解析式？
• 解：由
得点A的坐标为（1，2），点B的坐
标为（3，6）；抛物线与y轴交点C的坐标为（0，3）
如图2，由A、B、C三点的坐标可知，AB=
＝
2 ，BC=
＝3 ，AC =。＝
＝。 = AC， 3 ＝
= BC， 2 ＝
• ∵ AC2+BC2=AB2，
• ∴ ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900， ∴
SΔABC= AC·BC= × ×3 =3。
= AB 点标的坐
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若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）若 3S△PBD=4 S△CBD，则符合条件的点P有几个?
y
3
C
P3
A（1，4）

抛物线中三角形面积最值问题的七种求解策略

图10的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，知•①易知直线S C 解析式为y-6.设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。

.qi n由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =2^",C £=^,P J lain^CED = j .②由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).综上，(?（ -8,0)或(8,0).从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在性问题，一般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段，并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很好地考查学生的综合素养[2].“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问题和解，在学习过程中，在一定学习范围或主题内，围绕一定目标或某一中心问题，按照一定的逻辑结构精心设计一组问题，即为“一题多问”，采用“一题多问” 的方式，用同一道题目将多个知识点表现出来，可以帮助学生梳理旧知，形成网络，将数学技能及方法得以综合运用.“一题多问”引导学生从不同角度、不同方位进行不同层次的思考，提高学生分析问题、解决问题和提出问题的能力，可以让学生跳出“题海”，提高解题效益，提升数学素养.参考文献：[1 ]罗峻，段利芳.一次函数与反比例函数图象相交的性质之证明与运用[J ]•数理化学习（初中版），2018(12) :23 -28.[2]罗峻，段利芳.当完美正方形偶遇美丽的45度角[J ]. 理科考试研究（初中），2019,26(22) :29 -32.(收稿日期：2020 -09 -21 )抛物线中三角形面积最值问题的七种求鮮策略段昆山(易县教育局教研室河北保定074200)摘要：以二次函数为栽体，结合几何图形求面积最值问题具有难度大、综合性强，区分度高的特表.本文以某地初三上学期期末考试试卷最后一题为例，谈一谈此类问题的七种求解策略.关键词：最值问题；转化；面积；求解策略纵观近年各地中考试卷，以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型是各地中考的高频考点之一.这类试题综合运用多种数学思想方法, 不仅考查了二次函数与三角形面积的相关知识，又为后续学习高中知识奠定了基础.1试题呈现题目如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = <M c 2 +心+2(a #0)与.t 轴交于两点（点4在点B作者简介:段昆山（1976 -),男，河北保定人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点£»(- 2，- 3) 和点£(3，2)，点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当A B P C 的面积取最大值时，求A fiP C 面积及点P 的坐标.2试题解析 2. 1第（1)问解析将点A £的坐标代人函数表达式，得丄_ 了，3_r故抛物线的表达式为y +2.2.2第（2)问解析 2. 2. 1分割法三角形面积通常用面积公式（底乘髙的一半）来求,在平面直角坐标系中求斜三角形的面积用这个公式难度大，那如何求呢？那就需要运用转化的方法把斜三角形分割成底与高分别与坐标轴平行的三角形，充分利用定点的横纵坐标来求三角形面积•如图2,过点P 作丄;c 轴于点F ，A fiP C 被分割成两个三角形，即A //P C 和所以SA B P C =S 娜c + SAW ，过点C 作C Z )丄/^于点Z ),过点B 作BE _L PF 于点 E ，S A H P C =夸PH x CD.解法1如图3,连接S C ，过点P 作W ///y 轴交S C 于点//，将点C ，S 代入一次函数表达式，可得直线的表达式为y = -+ 2.设点 P U ，+如 +2),则点+2).所以 S A P C B =-％2 +4%.f 4a -2b +2 =-3, 19a +36+2=2,解得,根据二次函数性质，利用配方法，当* = 2时， S apm 的最大值为4.故当A B P C 的面积取最大值时，点P (2,3),S A P C B 二 4.2.2.2补形法在平面直角坐标系中求斜三角形的面积不仅可以运用分割法，也可以转换思路，用补形的方法把不规则图形转化成规则图形，将斜三角形面积转化成矩形面积减去三角形的面积，再充分利用定点的横纵坐标，就可以求斜三角形面积了 • 图4如图4,过点P 作轴，垂足为点£,过点5作 fiZ )丄/)£，垂足为点£»，贝丨J 四边形为矩形•所以S APCB = S 酿形OBOE - S A P E (：一 S APDB _ S a (X b .解法2如图5,过点P 作轴，垂足为点£，过点B 作丄/)£；,垂足为点/)，所以四边形 OBD £为矩形.所以 s A PC b 二 S 四边形〇B D e : — S A P E (： - S _ s A 0C B 二(-+ ^-x + 2) x 4 - (- -^-x2 + -^-x ) x x x ~y - (4-x) x (- ~^x2 ++ 2) x -^--4=-x ~+ 4x.根据二次函数性质，利用配方法，当x =2时，^ A P C B的最大值为4.故当A B P C的面积取最大值时，点P(2,3),■5而=4_2.2.3铅垂法如图6，过A P S C的顶点分别作出水平线的垂线, 外侧两条垂线间的距离叫做水平宽.中间的垂线与 S C相交于点£，线段就叫做铅垂高.如图7,因为S apcb=S A peb+S&PCE二y PE x EU +j PE x EF =所以铅垂法本质上也是分割法.，铅垂高I图7解法3如图8,过点P作P//丄;c轴交B C于点//，设点，-+ 2)，则点 //(x，+ 2)•所以11,312^apcb =^2^~^2X+Y"x+2+y*-2)x4=-x+4x.在直线B C上.根据平行线间的距离相等，所以ABPC 和A B fiC的高相等，底是BC.所以厶B P C和A B//C的面积相等.求A B P C的面积就转化成求A//£C的面积.解法4如图10,过点Z3作户////沉交7轴于点所以 S&P C B= S A C H B-将点c，B代人一次函数表达式，可得直线C B的表达式为y= - 士;'：+ 2.因为W///S C,所以设直线P//的表达式为y根据二次函数性质，利用配方法，当x= 2时，S apos的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB=^*2.2.4平行线法如图9，W///B C，点//，P在直线W/上，点5，CH E P设点户(％，- y i2 + y x+ 2)，所以-2 =-—x +b,b22+ ~z~x + 2 + ~z~x2,//C=-y^2+2x+2-2TT22x.x2 +2x+PJflll S A P C B = ^H C xOB =-x2-t-4x.利用配方法，当x= 2时,S A P(：iB的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3)，^ APCB=^*2.2.5相似法如图11，求三角形的面积可以用面积公式足为点D.所以BC= VOC2 + OB2 = 7^5.求三角形的面积只要求出高就可以了.高如何求呢？我们仔细观察图形发现丄SO,所以™//y轴.所以 APHC= AOCB•因为P E±B C，所以 APEH=厶COB.所以ABOC w•所以g = I I所以= PH^~° .这样就可以求出高了.解法5如图12,过点P作丄BC,垂足为点 £，PD丄50交 SC 于点由题意，5C= VOC1+ OB2 = 2/5 ,APEH^ABOC.m i0BPH = BC'因为+ 2x,PE PH x BOBC¥(-士解法6如图13,过点P作P£//fiC,因为将点C,B代入一次函数表达式，同理可得直线C Z?的表达式为;^=-士尤+2.所以设直线的表达式为y=-+ 6.1,j=- y x + b-H i2+3+2y= - ~z~x+ ~zrx+1.1/22整理，得-士尤2 +~|~尤+2=-士a:+ 6 一士丨2 +2% +2-6=0.所以 A =4-4 x(-士）x(2 -6) =8 -26 =0.解得6=4_所以点P(2,3)，A P C fi最大值为4 .2.2.7中点法如图14,设直线S C与抛物线交于B,C两点，直线B C的解析式可设为y= ^+ n，抛物线解析式可设为y= m2 +心+ C，求其交点坐标就是联立两解析式’所以 ax2 + + c = n w c + n_ 整理，得[y= mx+ n.ax2+ (b- m)x+ c- n= 0. fffVJs x, + x2 = ——因为直a%2 +2a〇，所以 S A P C fl =^^(-士尤2 +2幻x2V^x士 =-x2 + 4x.利用配方法，当* =2时，S A P efl的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB-4-2.2.6切线法如图13,若使点P在抛物线上，S A P eB最大，则需使P£//BC，且与抛物线有且只有一个交点才能使心^8最大.因为底B C确定，只要高最大.因为点P 在抛物线上与抛物线有且只有一个交点时，SC 边上的高才最大.线B C平移到与抛物线只有一个交点时，七即& = 也就是％所以过点P作*轴的垂线，垂足M是O S的中点.所以当抛物线被直线 B C所截,P为抛物线上一动点（此时点P为线段SC 与抛物线所组成的封闭图形上抛物线上一点）丄%轴于点m,交s c于点yv,当点yv为b c中点时，s APC8 的面积有最大值.解法7如图15,过点尸作P////S C,所以& = X B+X C^所以点P 坐标为（2,3).所以=S 四边形"W /Y ;+ S APMB ""SA O R Cx (2+ 3) x 2+冬 x 2x 3_4-x 2x 4=4.' 2 2此法适用于填空、选择或验证.3感悟解法这一类以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型涉及的知识面多、难度大、综合性强, 要想顺利解答此类问题，必须抓住以下几点.（1)立足转化，抓住动点（设动为定）.合理构造辅助线，以转化思想为基本出发点，抓住动点，根据不同思路过动点作平行，或作垂直等辅助线，把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转换为已知问题.（2)数形结合，设出动点坐标.充分挖掘已知条件与隐含条件，要明确角边在数量关系变化中哪些是保持不变的量，哪些是变化的量.哪些是变化的量.这需要在充分理解的基础上，进行多方位思考、多角度着手、多层次探索m ，利用相似、面积公式、根与系数的关系等知识，表示出相关的数量关系.（3)根据相关的数量关系，把面积表示成一个含有某未知量的二次函数关系式，然后利用公式法或配方法求出最值.参考文献：[1] 段昆山.构造图形求准确数形结合找临界一•一类“儿何”型新定义压轴题解法浅析[J ].中学数学教学，2020(01) ：79 -80.[2]周威.圆锥曲线中几个特殊三角形面积最值问题探究[J ].理科考试研究,2020(09) :25 - 27.(收稿日期：2020 _08-15)指向“深度学习”的教学课壹教学策略李娜沈南山(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥230601)摘要：从认知结构观点来看，“深度学习”是一种理解性的学习，注重学习思维的批利性、学习内容的整合性、知识体系的建构性和知识学习的迁移性.指向深度学习的数学课堂教学需要深入追问学什么、怎么学、学得怎么样三个教学本源问题，其教学策略应当注重数学知识对象的多重表征、数学学习脚手架的适时搭建、数学学习问题的逻辑引领、数学学习方法的积极反思等.关键词：初中数学；深度学习；教学策略1 “深度学习”的基本特征“深度学习”（Deep Learning )最早由美国学者 Marlon 等人于1976年提出的一个比较性学习概念，是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习 (Surface Learning )而言的.随后国内外学者对“深度学习”开展理论与实践研究，其基本内涵是在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，并在这个过程中学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程,把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性感情、积极的态度、正确的价值观等m .“深度学习”的基本特征蕴含理论和实践两个层面.理论上，从知识结构观点来看，深度学习是基于学基金项目：合肥师范学院研究生创新基金项目“深度学习理念下初中数学课堂问题提出的教学实践研究”（项目编号:2020yjs 033).作者简介：李娜（ 1995 -)，女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；沈南山（1964 -),男，安徽六安人，博士，教授，研究方向：数学课程与教学论研究.。

抛物线中的三角形面积问题

抛物线中的三角形面积问题织里镇中学汤建平（一）、教学目标1、知识与技能：会用合理的方法求抛物线解析式；能用数形结合、分类讨论、割补法等探究抛物线中三角形面积问题；2、过程与方法：通过学生独立思考、教师设问启发、分小组讨论的方式探究抛物线中的三角形面积问题，培养学生的解题思想，发展学生的探究能力。

3、情感与态度：通过小组讨论培养学生合作交流意识、创新意识和探索精神。

（二）、重点、难点教学重点：运用三角形、函数、方程有关知识，结合数学思想，探究抛物线中三角形的面积问题是重点；教学难点：灵活运用数形结合、分类讨论、割补法等数学思想方法探究抛物线中三角形面积问题是难点。

(三)、教学方法采用启发式教学法，发扬教学民主，鼓励学生大胆实践，真正落实学生是教学的主体，教师是教学的引导者。

(四)、教学辅助多媒体平台、几何画板软件、三角板 (五)、教学过程1、问题：如图1，Rt △ABC 中，若有CO 垂直斜边AB 于点O ，你能得到哪些结论？（对学生的回答要做积极合理的评价。

）【预设】：学生应该会说出很多结论，但可能会很零乱，教师必要时可以引导学生从三个方面来考虑： 1、从角考虑；2、从边考虑；3、边角结合考虑。

图1【设计意图】：此题设计目的是开放问题，在认识上求新。

这个图是基本图形，这个问题是开放题，结论很多，可以让更多的学生充分的发表意见，这样既复习了基础知识的，又让部分学困生有机会体验成功，提高学习数学的兴趣。

2、问题生成1：如图2，以AB 所在直线为x 轴，以CO 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，若AO ＝1，OB ＝4，请写出A ，B ，C 三点的坐标. 【预设】：对于A ，B ，C 易得到（教师要关注学生A 误：A （1,0）)。

ABO【设计意图】：通过这个问题的练习，可以巩固学生根据线段确定坐标的方法。

图23、问题生成2：如图3：若一抛物线恰好经过A ，B ，C 三点，试求它的解析式？【预设】合适。

抛物线焦点三角形的面积公式

抛物线焦点三角形的面积公式
1、有一边在坐标轴上：S=1/2xa-xb×yc，有一边与坐标轴（x轴）平行：S=1/2xa-xb×yc-ya。

（得出结论）
2、抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。

它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。

它在几何光学和力学中有重要的用处。

抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。

（原因解释）
3、抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

（内容延伸）抛物线焦点三角形面积公式
P²／2Sina。

任意抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线l1，l2相交于P点。

那么△PAB称作阿基米德三角形。

该三角形满足以下特性：
1、P点必在抛物线的准线上
2、△PAB为直角三角形，且角P为直角
3、PF⊥AB（即符合射影定理）
另外，对于任意圆锥曲线（椭圆，双曲线、抛物线）均有如下特性
抛物线焦点三角形面积公式
焦点三角形面积=b*b*tan(r/2)(其中b为短半轴长，r表示椭圆周角)设焦点为f1，f2，椭圆上任意点为a，设角f1af2为角r推导方式是设三角形另外一点是a，af1+af2=2aaf1向量-af2向量=f2f1向量。

两式都两边平方再整理得mn=2b^2/(1-cosa)(0度可以不考虑)面积就是1/2mnsina，把上面带入即得。

{注：m，n为af1和af2的长}。