2016中考数学复习-二次函数与三角形的面积问题

2016中考数学复习-二次函数与三角形的面积问题

二次函数与三角形的面积问题

1.运用

2铅垂高

水平宽⨯

=

s；

2.运用y；

3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。

类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行

例1.已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求:

（1）抛物线解析式；

（2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C；

（3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△

ABE、△OCD、△OCE。

一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法

求出图形的面积。

训练1.如图所示，已知抛物线()

02

≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于

两点A ()0,1

x ， B ()0,2

x ()2

1

x x

<，与y 轴负半轴相交于点C ，若抛物线

顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的面积为6。 （1）求点A 和B 的坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）求四边形ACPB 的面积。

类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀）

关于2

铅垂高

水平宽⨯=

∆

S

的知识点：如图1，过△ABC 的

三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.

x A B O C

y B

铅垂高

水平宽

h

a

图1

我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S

ABC

2

1=

∆，即

三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？

例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB

S

∆；(3)是否存在一点P ，使S

△PAB =8

9

S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

解题思路：求出直线AB 的解析式是为了求出D ．点的纵坐标．．．．．D

y ；

铅垂高D

C

y y CD -=，注意线段的长度非负性；分析P 点在直线AB

的上方还是下方?

图-2

x

C O y A

B

D

1

1

训练2.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.

C

B

A

O

y

x

D

B

A

O

y

x

P

(3)

x

y

A B

C

P

E O

x

y A B C

Q O

训练 3.如图，抛物线

c

bx x y ++-=2与x 轴交于

A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.

一般地，①所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为

D

C y y C

D -=。为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标.

因此，求出点D 的坐标，是求铅垂高度CD 的关键；

②所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为

B

A x x A

B -=.为了保证这个

差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标.因此，求出点A 、B 的坐标，是求水平宽的关键.

③在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解.

练习

1．已知如图，矩形OABC 的长3，宽OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。

（1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（ ， ）；

（2）若P ，A 两点在抛物线y=－43

x 2+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上； （3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由。