二次函数中的三角形面积

引题
如图：抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴 交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
2
y D
C
A
o y D
C
B
x
y
C
y D
y D
C
A
o
B
x
A
o
B
x
o
B
x
A
o
x
△ABC
△ABD
△BCD
△ACD
如何求这些三角形的面积呢？
引题
如图：抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴 交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
二次函数中的三角形面积
陶朱初中 金戈
引题
如图：抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴 交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
2
y D
C
A
o y D
C
B
x
y
C
y D
y D
C
A
o
B
x
A
o
B
x
o
B
x
A
o
x
△ABC
△ABD
△BCD
△ACD
以A、B、C、D为顶点的三角形有哪些？
C(3,1)
B (4,3) C(-1,1)
引题
如图：抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴 交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
2
y D
F
C
B(3,0)
C(O,3) D(1,4)
F(0,4)
o
B
x
割补法 △BCD
引题
如图：抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴 交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
9 1 9 2 S PAB S CAB , 3 ( x 3x) 3 8 2 8
练习：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结
OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB． （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方， 那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及 △PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
A
h
A
D
铅垂高
C
B
D
水平宽
a
x
a
图12-1
y A
B A(-1,5) B(4,7) C C(2,1) x
o
割补法
新公式法
运用:
例：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，
交y轴于点B。 （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）求△CAB的面积S△CAB ； （3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 9 是否存在一点P，使S△PAB＝ S ，若存在，求出P点的坐标； 8 △CAB 若不存在，请说明理由。
y
C
A h
铅垂高
C
B D 1 O 1 图1 A B
x
水平宽 a 图2
水平宽 铅垂高 S 2
解： (1)抛物线解析式为 y1 ( x 1) 2 4,即y1 x 2 2 x 3
直线AB解析式为 y2 x 3.
y C B D
1
(2) C(1,4),当x 1 时，y1 4, y2 2.
y D
A(-1,0) B(3,0) D(1,4)
A
o D/ B
△ABD
1 S ABD AB DD 2 x 1 S ABD 4 4 8 2
可以直接利用面积公式：
三角形的一边平行（或垂直）于一条坐标轴
y A A y
B
B
o
C
C
x
o A(-1,6)
x
A(1,5) B(6,5)
2
y
C
A(-1,0) B(3,0) C(0,3)
A
o
B
x
△ABC
1 S ABC AB CO 2 1 S ABC 4 3 6 2
引题
如图：抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴 交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
2
y
C
E
D
A
o
x
△ACD
延伸拓展
我们如果把△ABC 放到直角坐标系中，
A( x , y ), B( x , y ), C( x , y ), D( x , y ), 水平宽： a x x 铅垂高： h AD y y , C B
A, A
B B
C C
D D
1 1 S ABC ah ( xc xB )( y A yD ) 2 2 y
P
CAB的铅锤高 CD 4 2 2.
1 S CAB 3 2 3 2 （3）设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h
Q
1
PQ y1 y2 (x2 2x 3) (x 3) x2 3x
A x
O
3 x 代入y 1 x 2 2x 3, 2 15 3 15 P（ ， ） y1 2 4 4
2
y D
C
E
B(3,0)
C(O,3) D(1,4)
直线BC的解析式：y= –x+3
B
o
x
E(1,2)
△BCD
1 S△BCD= ×2×(1+2)= 3 2
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DE=2
引题
2 y x 2x 3 与 x 轴 如图：抛物线
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
y
B
C
A
P
O M x
小 结：
二次函数中三角形面积的求法：
1、公 式 法
2、“割补法”
3、新公式法：水平宽与铅垂高乘积的一半
注意：点的坐标与线段长度之间的相互转化
学数学要善于反思与归纳，掌握
解决问题的方法，知一题懂一类，这 样你能达到事半功倍的效果！