高二数学单元测试——向量、直线和圆

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第二章直线与圆的方程单元测试卷-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册

第二章直线与圆的方程满分卷-2021-2020人教A （2019）高二（上）选择性必修第一册一．选择题（共8小题）1．如图中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则( )A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<2．已知直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，则“2a =”是“12l l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．经过点(0,1)P -的直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[1-，1] B ．(-∞，1][1-，)+∞C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ4．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．两条直线1:20l x y c ++=，2:210l x y -+=的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定6．已知实数x ，y 满足224x y +=，则函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3C D ．77．已知直线l 经过点(1,2)P -，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为( ) A ．2340x y ++=B ．2380x y +-=C ．3270x y --=D ．3210x y --=8．关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线（图中实线）可能是( )A ．B ．C ．D ．二．多选题（共4小题）9．已知直线:20l kx y k -+=和圆222:O x y r +=，则( ) A ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直B ．直线l 恒过定点(2,0)C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为 10．下列结论错误的是( )A ．若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l lB ．若直线的斜率121k k ⋅=，则12l l ⊥C ．若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l lD ．若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 不平行11．已知动直线:0m x y λλ-+=和:320n x y λλ+--=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是( ) A ．B 点的坐标为(3,2)- B ．m n ⊥C ．P 的轨迹是一条直线D ．PA PB ⨯的最大值为1012．已知直线1:40l x y +-=与圆心为(0,1)M 且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2:22350l mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值可以是()A ．B ．C ．D ．1)三．填空题（共4小题）13．在平面直角坐标系中，已知(2,2)A 、(1)B -若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率的取值范围是．14．直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是． 15．直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离为．16．圆222440x y x y +-++=上的点到3490x y -+=的最大距离是，最小距离是．四．解答题（共6小题）17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(3,0)A -，(1,2)B -．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求弦MN 的长． 18．（1）求直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长；（2）已知圆22:430C x y x +-+=，求过点(3,2)M 的圆的切线方程．19．在直角坐标系xOy 中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切．（1）求圆O 的方程；（2）设点0(N x ，0)y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知直线10l y -+=，圆C 的方程为224210x y x y ++-+=．（Ⅰ）判断直线l 与该圆的位置关系；（Ⅱ）若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离． 21．已知圆M 过点(4,0)A ，(2,0)B -，(1,3)C ．（Ⅰ）求圆M 的标准方程；（Ⅱ）若过点(2,3)P且斜率为k的直线l与圆M相切，求k的值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线:20l x y++=和圆22+=，P是直线l上一O x y:1点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．（1）若PA PB⊥，求点P的坐标；（2）求线段PA长的最小值；（3）设线段AB的中点为Q，是否存在点T，使得线段TQ长为定值？若存在，求出点T；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则( )A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<解：由图象知，直线1l 、2l 、3l 的倾斜角分别为1α，2α，3α，且1(2πα∈，)π，3202παα<<<；所以对应的斜率分别为10k <，320k k <<，即132k k k <<．故选：D ．2．已知直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，则“2a =”是“12l l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，12l l ⊥， (1)40a a ∴⨯+-⨯=，240a ∴-=，2a ∴=±， 2a ∴=是12l l ⊥的充分不必要条件，故选：A ．3．经过点(0,1)P -的直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[1-，1]B ．(-∞，1][1-，)+∞C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ解：如图所示，设直线l 的倾斜角为α，[0α∈，)π． 12101PA k -+==--，11102PB k --==-．直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 的线段总有公共点，1tan 1α∴-．[0α∴∈，3][44ππ，)π．故选：D ．4．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(,)(1,1)22a a-=-．圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=．故选：D ．5．两条直线1:20l x y c ++=，2:210l x y -+=的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定解：直线1l 的斜率是：2-，直线2l 的斜率是：12，由1212-⨯=-，得直线垂直，故选：B ．6．已知实数x ，y 满足224x y +=，则函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3CD ．7解：22226825(3)(4)S x y x y x y =+--+=-+-，实数x ，y 满足224x y +=，22(3)(4)S x y ∴=-+-的几何意义为圆224x y +=上的动点与定点(3,4)M 的距离的平方，如图，||5OM =，2(52)49max S ∴=+=，2(52)9min S =-=．∴函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为49，9．故选：A ．7．已知直线l 经过点(1,2)P -，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为( ) A ．2340x y ++=B ．2380x y +-=C ．3270x y --=D ．3210x y --=解：直线l 与直线2310x y +-=垂直，所以直线l 的斜率为32，又直线l 经过点(1,2)P -，所以直线l 的方程为：3(2)(1)2y x --=-，化简得：3270x y --= 故选：C ．8．关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线（图中实线）可能是( )A ．B ．C ．D ．解：关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线，直线的斜率为a ，在y 轴上的截距为1a-，直线的斜率和它在y 轴上的截距的乘积等于1-，图A 中，直线的斜率和它在y 轴上的截距都是正的，这不满足条件，故排除A ；图B 中，直线的斜率小于1，它在y 轴上的截距大于1-小于零，这不满足条件，故排除B ；图C 中，直线的斜率和它在y 轴上的截距都是负值，这不满足条件，故排除C ；图D 中，直线的斜率小于1-，它在y 轴上的截距大于零小于1，能满足条件，故D 可能成立，故选：D ．二．多选题（共4小题）9．已知直线:20l kx y k -+=和圆222:O x y r +=，则( ) A ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直B ．直线l 恒过定点(2,0)C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为解：对于A ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故A 正确；对于B ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，∴直线l 恒过定点(2,0)-，故B 错误；对于C ，若4r >，则直线l 所过定点(2,0)-在圆O 内部，则直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于D ，若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的最大值为8，最小值为=即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为，8]，故D 错误．故选：AC ．10．下列结论错误的是( )A ．若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l lB ．若直线的斜率121k k ⋅=，则12l l ⊥C ．若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l lD ．若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 不平行解：若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l l 或重合，A 错误；若直线的斜率121k k ⋅=-，则12l l ⊥，B 错误；若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l l 或重合，C 错误；若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 一定不平行，D 正确．故选：ABC ．11．已知动直线:0m x y λλ-+=和:320n x y λλ+--=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是( ) A ．B 点的坐标为(3,2)- B ．m n ⊥C ．P 的轨迹是一条直线D ．PA PB ⨯的最大值为10解：对于A ，直线:(2)30n y x λ-+-=，所以直线n 过点(3,2)，故A 错误；对于B ，1(1)0λλ⨯+-⨯=，所以m n ⊥，故B 正确；对于C ，因为PA PB ⊥，所以P 的轨迹是以AB 为直径的圆，故C 错误；对于D ，222202PA PB AB PA PB +==⨯，所以D 正确．故选：BD ．12．已知直线1:40l x y +-=与圆心为(0,1)M 且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2:22350l mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值可以是()A ．B ．C ．D ．1)解：根据题意，圆M 的圆心为(0,1)M 且半径为3，则圆M 的方程为22(1)9x y +-=，即22280x y y +--=，直线1:40l x y +-=与圆M 相交于A ，B 两点，则有2228040x y y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解可得：31x y =⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩，即A 、B 的坐标为(3,1)，(0,4)，则||AB AB 的中点为3(2，5)2，直线2:22350l mx y m +--=，变形可得(23)250m x y -+-=，直线2l 恒过定点3(2，5)2，设3(2N ，5)2，当CD 与AB 垂直时，四边形ACBD 的面积最大，此时CD 的方程为5322y x -=-，变形可得1y x =+，经过点(0,1)M ，则此时||6CD =，故ACBD S 四边形的最大值162ACB ADB S S ∆∆=+=⨯⨯=故92ACBD S 四边形，分析选项：BC 符合题意，故选：BC ．三．填空题（共4小题）13．在平面直角坐标系中，已知(2,2)A 、(1)B -若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率的取值范围是．解：如图，显然点P 在直线AB 下方，直线AP 的斜率为21121AP k +==+，直线BP 的斜率BP k == 所以若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率BP k k ，或者AP k k ，所以3k -或者1k ，故答案为：(-∞，[1，)+∞．14．直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是．解：圆222410x y x y +---=化简可得22(1)(2)6x y -+-=，圆心坐标为(1,2)，，圆心到直线210x y -+==< ∴直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是相交，故答案为：相交．15．直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离为．解：直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离85d ==．故答案为：85．16．圆222440x y x y +-++=上的点到3490x y -+=的最大距离是，最小距离是．解：圆222440x y x y +-++=即22(1)(2)1x y -++=，表示以(1,2)C -为圆心，半径为1的圆．由于圆心(1,2)C -到直线3490x y -+=的距离4d ==，故动点P 到直线3490x y -+=的距离的最小值与最大值分别为3，5，故答案为：5，3．四．解答题（共6小题）17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(3,0)A -，(1,2)B -．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求弦MN 的长．解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则(2,1)D -，由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-，所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =--，设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为(0)r r >，由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =-，所以圆心(1,0)C -，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y ++=；（Ⅱ）因为直线l 过点(0,2)P 斜率为34，则直线l 的方程为324y x =+，圆心(1,0)C -到直线l的距离为3|2|1d -==，所以MN ==18．（1）求直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长；（2）已知圆22:430C x y x +-+=，求过点(3,2)M 的圆的切线方程．解：（1）根据题意，圆22(2)4x y +-=的圆心为(0,2)，半径2r =，圆心到直线y x =的距离d =则直线y x =被圆截得的弦长2l == 故直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为（2）圆22:430C x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，其圆心为(2,0)，半径1r =，若切线的斜率不存在，则切线的方程为3x =，符合题意；若切线的斜率存在，则设切线的斜率为k ，则切线的方程为2(3)y k x -=-，即320kx y k --+=，则有1d ==，解可得：34k =，此时切线的方程为3410x y --=．综上可得，圆的切线方程为3x =或3410x y --=．19．在直角坐标系xOy 中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切．（1）求圆O 的方程；（2）设点0(N x ，0)y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）直线:40l x -=交x 轴于(4,0)M ，圆心半径2r ==，所以圆的方程224x y +=．（2）如图，直线NP 与圆相切，设PNO α∠=，则2sin ONα=，根据图象，N 越靠近O 点，ON 越小，sin α越大，由2sin 452ON ︒==，得ON = 设(,3)N x x -，由距离公式22(3)8x x +-=，解得x =0372x +．（3）AMO BMO ∠=∠，若直线L 的斜率不存在，显然S 点存在；当斜率存在时，设:L y kx m =+，L 与圆的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，根据题意只需0AM BM k k +=，即1212044y yx x +=--，把11y kx m =+，22y kx m =+带人并化简得12122(4)()80kx x m k x x m +-+-=，把L 与圆联立解方程224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得12221kmx x k +=-+，212241m x x k -=+，带入上式222422(2)8011m kmk m k m k k ----=++，化简得0k m +=，即m k =-，所以:(1)L y k x =-，恒过(1,0)点．20．已知直线10l y -+=，圆C 的方程为224210x y x y ++-+=．（Ⅰ）判断直线l 与该圆的位置关系；（Ⅱ）若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离．解：（Ⅰ）圆的方程为224210x y x y ++-+=，即22(2)(1)4x y ++-=，∴圆心为(2,1)-，半径为2r =，则圆心到直线的距离d r =，∴直线与圆相交．（Ⅱ）弦长2l ==． 21．已知圆M 过点(4,0)A ，(2,0)B -，(1,3)C ．（Ⅰ）求圆M 的标准方程；（Ⅱ）若过点(2,3)P 且斜率为k 的直线l 与圆M 相切，求k 的值．解：（Ⅰ）设圆M 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，则有222222222(4)(0)(2)(0)(1)(3)a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪-+-=⎩，解得1a =，0b =，3r =，所以圆M 的标准方程为22(1)9x y -+=；（Ⅱ）因为直线l 过点(2,3)P 且斜率为k ，则直线l 的方程为：3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=，因为直线l 与圆M 相切，所以圆心到直线l3=，解得0k =或34-．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标；（2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由．解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形，则P=P 在直线20x y ++=上，设(,2)P x x --，则||OP =1x =-，故(1,1)P --；（2）由22||||1PA PO =-，可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小．线段PO 长的最小值，即点O 到直线l 的距离，故||min PO ==∴||1min PA ==；（3）设0(P x ，02)x --，则以OP 为直径的圆的方程为222200002(2)()()224x x x x x y --+---+-=，化简得：2200(2)0x x x x y y -+++=，与221x y +=联立，可得AB 所在直线方程为00(2)1x x x y -+=，联立0022(2)11x x x y x y -+=⎧⎨+=⎩，得22200000(244)2430x x x x x x x ++----=， Q ∴的坐标为002200002(,)244244x x x x x x --++++，可得Q 点轨迹为22111()()448x y +++=，圆心11(,)44--，半径4R =．故存在点11(,)44T --，使得线段TQ 长为定值．。

高二数学复习典型题型与知识点专题讲解4--- 圆的方程+直线与圆、圆与圆的位置关系(解析版)

高二数学复习典型题型与知识点专题讲解04 圆的方程+直线与圆、圆与圆的位置关系一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 圆与方程知识点2 直线与圆的位置关系知识点3 圆的切线知识点4 圆与圆的位置关系二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 圆与方程例1．（2021·江苏·高二专题练习）已知圆C 经过点()20M -，，()02N ，两点，且圆心在直线0x y -=上．求圆C 的方程；【答案】224x y +=根据题意，点()20M -，，()02N ，，则线段MN 的中垂线方程为0x y +=，圆心为直线0x y -=和0x y +=的交点，则有00x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得0x y ==，所以圆C 的圆心坐标为()00，；半径2r ==，所以圆C 的方程为224x y +=.练习1-1．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知圆D 经过点()1,0A -，()3,0B ，()1,2C ．求圆D 的标准方程；【答案】()2214x y -+=设圆D 的标准方程()()222x a y b r -+-=，由题意可得()()()()()()222222222103012a b r a b r a b r ⎧--+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆D 的标准方程为()2214x y -+=. 名师点评：圆的方程两种形式：(1)标准式：222()()(0)x a y b r r -+-=>，圆心为(,)a b ，半径为r .(2)一般式：220x y Dx Ey F ++++=（其中2240D E F +->）,圆心为(,)22D E--,半径r =.本例中采用两种方法即几何法和代数法.(1)代数法是利用圆的一般方程,根据条件列出关于D ,E ,F 的方程组,然后解出D ,E ,F .所以设圆的方程为一般式,代入坐标即可求解,如本例练习1-1.(2)几何法是利用圆的标准方程,结合圆的性质,找出圆心和半径,然后得到圆的标准方程.常用的性质是圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，如本例1.例2．（2021·江苏·高二专题练习）已知两个定点()()0401A B ，，，，动点P 满足2.PA PB =设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-．求曲线E 的轨迹方程；【答案】224x y += 设点P 的坐标为()x y ，，由2PA PB =整理可得224x y +=，所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=；练习2-1．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知圆O ：224x y +=，点A 是圆上一动点，点(4,0)B ，点C 是线段AB 的中点. （1）求点C 的轨迹方程；（2）求点C 到直线290x y --=的距离的最小值. 【答案】()2221x y -+=设点()00,A x y ，∵点C （x ，y ）是AB 的中点， 00422x x y y +⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，即00242x x y y =-⎧⎨=⎩，又2222004,(24)(2)4x y x y +=∴-+=，即()2221x y -+=，∴点C 的轨迹方程为()2221x y -+=练习2-2．（2021·四川·成都市温江区第二中学校高二期末（理））已知动点P 到定点()2,0A -的距离与它到定点()2,0BP 的轨迹E 的方程；【答案】()22412x y -+=设(),P x y ，由题意得=化简得：()22412x y -+=.名师点评：轨迹方程常用求解方法：（1）定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析

高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.求半径为10，且与直线相切于的圆的方程.【答案】或【解析】解题思路：设出所求圆的圆心坐标，根据题意可得，进而求出圆的标准方程.规律总结：直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识.试题解析：设圆心为，则由题意得解得或所以所求圆的方程为或【考点】直线与圆的位置关系.2.如图，圆与坐标轴交于点.⑴求与直线垂直的圆的切线方程；⑵设点是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，直线交直线于点，①若点坐标为，求弦的长；②求证：为定值.【答案】（1），（2）①：2，②：证明略.【解析】（1）所求直线与垂直，则斜率为负倒数关系，因此可依方程设出所求直线方程，利用圆心到此直线的距离为半径可求出此直线方程；（2）①为常考点，利用弦心距，半径，弦长的一半三者构成勾股定理的关系求解；②设直线的方程为：，把转化为含的代数式进行运算，也可设，把转化为含的代数式进行运算.试题解析：，直线，⑴设所求切线方程为：，则，所以：；⑵①：，圆心到直线的距离，所以弦的长为；（或由等边三角形亦可）.②解法一：设直线的方程为：存在，，则由，得，所以或，将代入直线，得，即，则，：，，，得，所以为定值．解法二：设，则，直线，则，，直线，又，与交点，，将，代入得，所以，得为定值.【考点】点到线的距离公式，直线的点斜式，斜截式方程，直线与圆相交问题，化归与转化思想3.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（其中为参数，），在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为．（1）把曲线和的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求曲线的直角坐标方程．【答案】（1）曲线的直角坐标方程为：；曲线的直角坐标方程为；（2）曲线的直角坐标方程为．【解析】（1）对于曲线，把已知参数方程第一式和第二式移向，使等号右边分别仅含、，平方作和后可得曲线的直角坐标方程；对于曲线，把代入极坐标方程的展开式中即可得到曲线的直角坐标方程．（2）由于圆的半径为，所以所求曲线与直线平行，且与直线相距时符合题意．利用两平行直线的距离等于，即可求出，进而得到曲线的直角坐标方程．试题解析：（1）曲线的参数方程为，即，将两式子平方化简得，曲线的直角坐标方程为：；曲线的极坐标方程为，即，所以曲线的直角坐标方程为．（2）由于圆的半径为，故所求曲线与直线平行，且与直线相距时符合题意．由，解得．故曲线的直角坐标方程为．【考点】圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．4.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件为()．A．m＜1B．－3＜m＜1C．－4＜m＜2D．0＜m＜1【答案】D【解析】联立直线与圆的方程得：，消去y得：2x2+（2m-2）x+m2-1=0，由题意得：△=（2m-2）2-8（m2-1）=-4（m+1）2+16＞0，变形得：（m+3）（m-1）＜0，解得：-3＜m＜1，∵0＜m＜1是-3＜m＜1的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1．故选D．【考点】直线与圆相交的性质；以及充分必要条件的判断．5.已知椭圆G：＋y2＝1.过轴上的动点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G上的点到直线的最大距离;（2）①当实数时,求A，B两点坐标;②将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．【答案】（1）；（2）①当时点的坐标分别为；② 2【解析】（1）设出与直线平行的直线，并与椭圆方程联立消去（或）得关于的一元二次方程，令判别式为0解得的值（应为2个值）。

空间向量单元测试题(原卷版)

2021-2022年度高二第一学期单元测试空间向量与立体几何一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M ，N 分别为1A B 和AC 上的点，123aA M AN ==，则MN 与平面11BB C C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定2. 已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是AD 、DC 中点，则(EF AB = )A ．14B ．14-C ．34D ．34-3. 三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为( )A ．12B 2C 3D 254. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，3BC =，16AA =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为( )A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．15︒5. 如图，60︒的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为( )A 17B ．7C ．217D ．96. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．52B ．62C 2213D 24137. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P 、Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( ) A 2B 3C ．34D ．18. 把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论：①AC BD ⊥；②ADC ∆是正三角形；③AB 与CD 成60︒角；④AB 与平面BCD 成60︒角．则其中正确结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ② ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）14.如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的编号） ①线段BM 的长是定值； ②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使1DE AC ⊥； ④存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．15.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱11A B ，BC 上的动点，且1A E BF =，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是．16.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 如图，直线AQ ⊥平面α，直线AQ ⊥平行四边形ABCD ，四棱锥P ABCD -的顶点P 在平面α上，7AB =3AD ，AD DB ⊥，AC BD O =，//OP AQ ，2AQ =，M ，N分别是AQ 与CD 的中点．（1）求证：//MN 平面QBC ；（2）求二面角M CB Q --的余弦值．18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是223．19. 如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为55．20. 如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ∠=∠=︒．F 为PA 中点，2PD =，112AB AD CD ===．四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ；（Ⅱ）求二面角A BC P --的大小；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求出Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由．21. 已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值．22. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且1==，PO OB（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P ABC-体积的最大值；（Ⅲ）若2BC=，点E在线段PB上，求CE OE+的最小值．。

高中数学选择性必修一第二章直线与圆单章末检测B- (解析版)

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典第二章直线与圆单元测试B 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注：本检测满分150分，用时120分钟。

其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。

一、单选题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设(2,2)A -，(1,1)B ，若直线:10l ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（）． A ．3,[2,)2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】直线:10l ax y ++=恒过定点(0,1)P -，若直线:10l ax y ++=与线段AB 有交点，可知直线l 的斜率介于直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之间，解不等式即可. 【详解】由10ax y ++=得，1y ax =--，因此直线l 过定点(0,1)P -，且斜率k a =-．如图所示，当直线l 由直线PA 按顺时针方向旋转到直线PB 的位置时，符合题意．易得1(1)210PB k --==-，2(1)3202PA k --==---．结合图形知，2a -或32a --，解得2a ≤-或32a ．故选：C 【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，考查了直线的交点问题，体现了数形结合的思想，属于基础题. 2．直线0ax y a ++＝与直线0x ay a ++＝在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据a 的符号，分类讨论，利用数形结合思想和排除法能求出结果．【详解】直线ax +y +a ＝0与直线x +ay +a ＝0不可能平行，故B 错误；当a ＞0时，直线ax +y +a ＝0是减函数，直线x +ay +a ＝0是减函数，故A 错误；当a ＜0时，直线ax +y +a ＝0是增函数，与y 轴交于正半轴，直线x +ay +a ＝0是增函数，与y 轴交于负半轴，故C 错误．综上，正确答案是a ＞0，直线ax +y +a ＝0与直线x +ay +a ＝0在同一坐标系中的图象可能是D ．故选D ．【点睛】本题考查函数图象的判断，考查直线的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．无论a 取何实数，直线210ax y a --+=恒过（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】将直线化为点斜式，求出直线恒过定点即可得解；【详解】解：将直线方程化为点斜式为1(2)y a x -=-，可知直线恒过定点(2,1)，因为点(2,1)在第一象限，所以直线恒过第一象限．【点睛】本题考查直线过定点问题，属于基础题.4．经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（） A ．2x y += B ．1x y +=C ．2x y +=或y x =D ．1x =或1y =【答案】C 【解析】【分析】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程，当直线不过原点时，设直线的方程是：1x ya a+=，把点M （1，1）代入方程求得a 值,即可得直线方程. 【详解】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是 y-1=x-1，即y=x ；当直线不过原点时，设直线的方程是：1x ya a+=，把点M （1，1）代入方程得 a=2，直线的方程是 x+y=2．综上，所求直线的方程为y=x 或x+y=2 故选C. 【点睛】本题考查了直线的点斜式与截距式方程；明确直线方程的各种形式及各自的特点，是解答本题的关键；本题易错点是易忽略直线过原点时的情况.5．若动点()()1122,,,A x y B x y 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】先求AB 中点M 所在的直线方程，再求原点到直线的距离得解. 【详解】点M 一定在直线7502x y ++-=，即60x y +-=，∴M=故选：A本题主要考查点的轨迹问题，考查点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.注意夹在两条平行直线120,0ax by c ax by c ++=++=正中间的平行线方程为1202c c ax by +++=. 6．已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（） A ．22(2)(2)1x y -++= B ．22(2)(2)1x y ++-= C ．22(2)(2)1x y -+-= D ．22(2)(1)1x y -+-=【答案】A 【解析】【分析】设圆2C 的圆心为2(,)C a b ，解方程组111022111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩得22a b =⎧⎨=-⎩，即得解.【详解】圆1C 的圆心为1(1,1)C -，设圆2C 的圆心为2(,)C a b ，依题意得111022111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，又圆2C 的半径与圆1C 的半径相等，所以圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=. 故选：A . 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查点线点对称，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．我们把顶角为36︒的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．．其作法如下：①作一个正方形ABCD ；②以AD 的中点E 为圆心，以EC 长为半径作圆，交AD 延长线于F ；③以D 为圆心，以DF 长为半径作⊙D ；④以A 为圆心，以AD 长为半径作⊙A 交⊙D 于G ，则ADG ∆为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36︒=A ．514B ．514C ．534D ．534【答案】B 【解析】不妨假设2AD =，则151DG DF EC ==-=，故2222(51)51cos36⨯--+︒==,选B . 8．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A 130B 3213C 13D ．32【答案】B 【解析】【分析】设33,22A ⎛⎫'--⎪⎝⎭，则四边形AA QP '为平行四边形，故而AP PQ QB ++就是322A Q QB '++的最小值，又322A Q QB '++的最小值就是322A B '+. 【详解】因为112,P l l l Q ⊥，故()213222PQ --==， 1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q '，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++，因为13A Q QB A B ''+≥=,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++32132，选B .【点睛】本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.二、多选题（共4小题，每小题5分，满分20分；选漏得3分，选错得0分） 9．下列说法错误的是（）A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的所有直线的方程为112121y y x x y y x x --=--D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ．根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B ．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于C ．当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D ．过原点的直线也满足条件．【详解】解：对于A ．当0a =，两直线方程分别为1y =和2x =，此时也满足直线垂直，故A 错误，对于B ．直线的斜率sin k α=-，则11k -，即1tan 1θ-，则[0θ∈，3][,)44πππ，故B 正确，对于C ．当12x x =，或12y y =，时直线方程为1x x =，或1y y =，此时直线方程不成立，故C 错误，对于D ．若直线过原点，则直线方程为y x =，此时也满足条件，故D 错误，故选：ACD ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直的位置关系的判断，难度不大． 10．在平面直角坐标系x O y 中，已知点A (﹣4，0)，点B 是圆C ：22(2)4x y -+=上任一点，点P 为AB 的中点，若点M 满足MA 2＋MO 2＝58，则线段PM 的长度可能为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】BC 【解析】【分析】首先求出点PP 的轨迹方程，再设点M 求出其轨迹方程，再利用两圆的位置关系判断即可【详解】设(),P x y ,点P 为AB 的中点，所以()24,2B x y +，代入圆C ：22(2)4x y -+=，可得：22(242)(2)4x y +-+=，整理得：点P 的轨迹方程为：()2211x y ++=设(),M x y 则()()222222458225x y x y x y ++++=∴++=，则易知当两圆心和PM 共线时取得最大值和最小值37PM ≤≤ 故选：BC. 【点睛】本题考查圆的轨迹方程，考查两圆间的位置关系，考查两点间的距离最值，求得P 与M 的轨迹方程是解题关键，是中档题11．已知圆22111:0M x y D x E y F ++++=与圆22222:0N x y D x E y F ++++=的圆心不重合，直线()()121212:0l D D x E E y F F -+-+-=．下列说法正确的是（）A ．若两圆相交，则l 是两圆的公共弦所在直线B ．直线l 过线段MN 的中点C ．过直线l 上一点P （在两圆外）作两圆的切线，切点分别为A ，B ，则PA PB =D ．直线l 与直线MN 相互垂直【答案】ACD 【解析】【分析】A.直接利用两圆方程相减得到公共弦所在直线方程判断；B. 表示出线段MN 的中点判断是否在直线l 上即可；C.由切线长定理判断；D. 利用直线的斜率判断. 【详解】A. 联立两圆方程得：111222D x E y F D x E y F ++=++整理得：()()1212120D D x E E y F F -+-+-=，为两圆的公共弦所在直线，故正确；B. 设圆M 的半径为1r ，圆N 的半径为2r ，11,22DE M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,22,22D E N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，线段MN 的中点为1212,44D D E E ++⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则()()121212121244D D E E D D E E F F ++⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222212121244D DE EF F --=--+-，222222222111224444D E F D E F r r +-+-=-=-，所以当两圆半径相等时成立，故错误；C.设()00,P x y ，则()()120120120D D x E E y F F -+-+-=，由切线长定理得：22222211100101014||||4D E F PA PM x y D x E y F +-=-=++++，22222222200202024||||4D E F PB PN x y D x E y F =+--=++++，所以22||0PA PB -=，即PA PB =，故正确； D. 因为11,22D E M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，22,22DE N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 的斜率21121E E k D D -=-，直线l 的斜率为21221D D kE E -=-，则121k k =-，所以l 直线MN 相互垂直，故正确；故选：ACD 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，切线长定理，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.12．以下四个命题表述正确的是（）A ．直线()()34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:0l x y -+=的距离都等于1C ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m =D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2) 【答案】BCD 【解析】【分析】A.将直线方程进行重新整理，利用参数分离法进行求解即可；B.根据圆心到直线的距离与半径的关系可判断；C.通过题意可得两圆相切，则两圆心的距离为半径和，即可求得m 的值；D.设出点P ，求出以线段PC 为直径的圆Q 的方程，题中的切点A 、B 为圆Q 与圆C 的交点，将两圆作差求出公共弦的方程，即可发现直线AB 经过的定点. 【详解】解：A.直线()()34330m x y m m R ++-+=∈得(3)3430m x x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，得33x y =-⎧⎨=⎩，即直线恒过定点()3,3-，故A 错误；B. 圆心(0,0)C到直线:0l x y -=的距离1d =，圆的半径2r，故圆C 上有3个点到直线l 的距离为1，故B 正确；C. 曲线22120C :x y x ++=，即()2211x y ++=，曲线222480C :x y x y m +--+=，即()()222420x y m -+-=-，51==，解得4m =，故C 正确；D. 因为点P 为直线142x y+=上一动点，设点(42,)P t t -，圆22:4C x y +=的圆心为(0,0)C ，以线段PC 为直径的圆Q 的方程为(42)()0x t x y t y -++-=，即22(24)0x t x y ty +-+-=故直线圆Q 与圆C 的公共弦方程为：2222(24)()04x t x y ty x y +-+--+=-，即(24)40t x ty --+=，此直线即为直线AB ，经验证点(1,2)在直线(24)40t x ty --+=上，即直线AB 经过定点(1,2)，故D 正确. 故选BCD. 【点睛】本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，可灵活应用以下结论解题：（1）圆2211110C :x y E x F y D ++++=与圆2222220C :x y E x F y D ++++=的公共弦方程为：()22221112220x y E x F y D x y E x F y D ++++-++++=；（2）以点1122(,),(,)A x y B x y 的连线为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=.三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知直线220x y +-=与圆22)4x a y -+=（相交，且直线被圆所截得的弦长为a =______.【答案】2± 【解析】【分析】由几何法求圆的弦长的方法求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求得答案．【详解】因为圆22)4x a y -+=（的圆心为()0a ，，半径为2，所以圆心(),0a 到直线220x y +-=的距离为2223212⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，则215a -=，解得25a =±.故答案为：25±．【点睛】本题考查运用几何法求圆的弦长，以及点到直线的距离的公式的应用，属于基础题．14．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b∈R 且ab≠0，则2211a b +的最小值为___________ 【答案】9【解析】【分析】圆C 1、C 2只有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，由此可以得到a 、b 的等量关系，然后利用均值不等式求2211a b +的最小值【详解】圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0 标准方程：22x 2a y 4++=（）圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0标准方程：22x y b 1+-=（）因为圆C 1 、C 2内切，224a b 1+=,即224a b 1+=，（2211a b +）=2222114a b a b++（）（） =2222b 4a 59a b++≥（）当且仅当224a b =时等号成立.【点睛】本题考查了两圆的位置关系和均值不等式求最值；两圆位置关系有：内含、内切、相交、外切、外离，圆与圆的位置关系也决定了切线的条数，两圆相内切只有一条切线，圆心距和两圆半径的关系是解题的关键，利用该关系可以构造出均值不等式所需要的等式；均值不等式求最值要注意：一正二定三相等.15．如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点A （-1，0），B （1，0），点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，圆O上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，AP AQ ⋅的最大值是_______.【答案】2【解析】【分析】利用转速是两倍关系得转角为两倍，设出BOQ α∠=后，推出2AOP α∠=，然后根据三角函数坐标定义可得P Q 、两点的坐标，再用数量积公式计算，最后用正弦函数最值可得．【详解】设BOQ α∠=，根据题意得，2AOP α∠=，且02πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，依题意得()()cos sin cos2sin 2Q P αααα--，，，， ∴()()•cos21sin 2cos 1sin AP AQ αααα=-+-⋅+，，()()cos21cos 1sin 2sin αααα=-++-22sin 2α=≤，当且仅当2πα=时，等号成立．故答案为2【点睛】本题考查了三角函数定义，向量数量积等概念，本题根据题意求出依题意得()()cos sin cos2sin 2Q P αααα--，，，，是解决本题的关键.16．以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA '，CAB '，ABC '，则AA '，BB '，CC '三线共点，该点称为ABC 的正等角中心．当ABC 的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质：（1）120APB APC BPC ；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）222222(1)(1)(2)x y x y x y +-++-+_________ 【答案】23+【解析】【分析】由题可知，所要求的代数式恰好表示平面直角坐标系中三个距离之和，所以首先要把代数式中三个距离的对应的点找到，再根据题干所述找到相应的费马点，即可得出结果．【详解】解：根据题意，在平面直角坐标系中，令点(0,1)A ，(0,1)B -，(2,0)C ，则222222(1)(1)(2)x y x y x y +-++++-+表示坐标系中一点(,)x y 到点A 、B 、C 的距离之和，因为ABC ∆是等腰三角形，AC BC =，所以C '点在x 轴负半轴上，所以CC '与x 轴重合，令ABC ∆的费马点为(,)P a b ，则P 在CC '上，则0b =，因为ABC ∆是锐角三角形，由性质（1）得120APC ∠=︒，所以60APO ∠=︒，所以13a =，所以33a =， 3(3P ∴，0)到A 、B 、C 的距离分别为233PA PB ==，323PC =-，所以222222(1)(1)(2)x y x y x y +-++++-+的最小值，即为费马点P 到点A 、B 、C 的距离之和，则23PA PB PC ++=+．故答案为：23+．【点睛】本题考查根据题给新定义的性质解题，涉及三角形的性质和两点间的距离的应用，理解新定义是解题的关键，考查转化思想和计算能力.四、解答题（共6小题，满分70分；其中17小题满分10分，其余个小题满分为12分）17．如图，等腰直角ABC 的直角顶点(0,1)C -，斜边AB 所在的直线方程为280x y +-=．（1）求ABC 的面积；（2）求斜边AB 中点D 的坐标．【答案】（1）20（2）(2,3)【解析】【分析】（1）求出直角顶点C 到斜边AB 的距离，根据等腰直角三角形的边角关系得出斜边长，即可求出结论；（2）由CD AB ⊥，可求出直线CD 方程，与直线AB 方程联立，即可求出点D 坐标.【详解】（1）顶点C 到斜边AB 的距离为225512d ===+所以斜边||25AB d ==故ABC 的面积为11||25452022S AB d =⨯⨯=⨯=．（2）由题意知，CD AB ⊥，设直线CD 方程为20x y m -+=点(0,1)C -代入方程点1m =-，所以直线CD 的方程为210x y --=，由280210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，所以点D 的坐标为(2,3)．【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线垂直间的关系，考查了等腰直角三角形的性质，属于基础题.18．已知圆22:430C x y x +-+=.（1）求过点(3,2)M 的圆的切线方程；（2）直线l 过点31,22N ⎛⎫ ⎪⎝⎭且被圆C 截得的弦长为m ，求m 的范围；（3）已知圆E 的圆心在x 轴上，与圆C 2216x y +=相内切，求圆E 的标准方程.【答案】（1）3x =或3410x y --=；（2）m ∈；（3）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）将圆的方程化为标准形式，求出圆心为(2,0)，半径为1，讨论切线的斜率存在或不存在，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径即可求解斜率，即求.（2）当直线l CN ⊥时，弦长m 最短，求出m ，当直线l 经过圆心时，弦长最长，即求.（3）设圆222:()(0)E x a y r r -+=>，与圆C 相交于A ，B 两点，根据||AB =而求出3,22⎛± ⎝⎭或5,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭在圆E 上，代入即可求解. 【详解】（1）圆22:430C x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，其圆心为(2,0)，半径为1.当切线的斜率不存在时，切线方程为3x =，符合题意.当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为2(3)y k x -=-，即320kx y k --+=，1=，解得34k =，此时，切线方程为3410x y --=.综上可得，圆的切线方程为3x =或3410x y --=.（2）当直线l CN ⊥时，弦长m 最短，此时直线l 的方程为10x y --=，所以m ==当直线l 经过圆心时，弦长最长，长为2，所以m ∈.（3）设圆222:()(0)E x a y r r -+=>，与圆C 相交于A ，B 两点，∵||AB =2，，将234y =代入圆C 的方程，得32x =或52x =，∴3,2⎛ ⎝⎭或5,22⎛± ⎝⎭在圆E 上. ∵圆E 内切于2216x y +=，∴圆E 经过点(4,0)或(4,0)-，若圆E 经过3,2⎛ ⎝⎭和(4,0)，则其标准方程为221349525x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，若圆E 经过5,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭和(4,0)，则其标准方程为22(3)1x y -+=，若圆E 经过3,22⎛⎫± ⎪⎝⎭和(4,0)-，则其标准方程为222133************ y ⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若圆E 经过5,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭和(4,0)-，则其标准方程为22294318491313169x y ⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了圆的切线方程、弦长、圆的标准方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题.19．已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点.（1）求四边形PACB 面积的最小值；（2）直线上是否存在点P ，使60BPA ︒∠=？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）不存在；答案见解析.【解析】【分析】（1）如图 122||||||2PAC PACB S S AP AC AP ==⨯⨯⨯=四边形，而2222||||||||1AP PC CA PC =-=-，所以只要当||PC 最小时，四边形PACB 面积取最小值，而||PC 的最小值为点C 到直线3480x y ++=的距离；（2）由（1）知圆心C 到直线的最小距离为3，即||3CP ，而要使60BPA ︒∠=，就要||2PC =，所以不存在【详解】解析（1）易知(1,1),||1C AC =.如图，连接PC ，易知 122||||||2PAC PACB S SAP AC AP ==⨯⨯⨯=四边形. 因为2222||||||||1AP PC CA PC =-=-，所以当||PC 最小时，||AP 最小.||PC 的最小值即为点C 到直线3480x y ++=的距离，故min 22|31418|334PC ⨯+⨯+==+，所以2min ||9PC =，所以min ||9122AP =-=，即四边形PACB 面积的最小值为22.（2）不存在.理由：由（1）知圆心C 到直线的最小距离为3，即||3CP ，要使60BPA ︒∠=，则||2PC =，显然不成立，所以这样的点P 是不存在的.【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题20．已知()0,3A ，,B C 为222(0)x y r r +=>上三点.（1）求r 的值；（2）若直线BC 过点(0，2)，求ABC 面积的最大值；（3）若D 为曲线22(1)4(3)x y y ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+，试问直线AB 和直线AC 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）3r =；（2（3）定值为：15-.【解析】【分析】（1）由(0,3)A 为圆222:()0O x y r r +=>上的点即可得r ；（2）设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，根据1211||2ABC S x x =-利用韦达定理即可求解；（3）直线AB 和直线AC 的斜率之积为m ，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，0(D x ，0)y ，即可得121233y y m x x --=⇒2121223(1)()91m y y y y m +=-+--，12121(3)(3)x x y y m =--，由AD AB AC =+可得1212(3),D x x y y ++-，代入222125(1)4(3)()01m m x y y y y m +++=≠-⇒+=-，求得m 即可．【详解】解：（1）∵()0,3A 为圆()2220x y r r +=>上，所以()222030rr +=>∴3r = （2）由题意知直线BC 的斜率存在，设直线BC 的方程为2y kx =+，()11,B x y ，()22,C x y 将2y kx =+代人229x y +=得，()221450k x kx ++-= 所以1211||2ABC S x x =⋅⋅-=△令21k t +=，则ABC S ==△1t ≥ 当1t =，即0k =时ABC （3）设直线AB 和直线AC 的斜率之积为(0)m m ≠设()11,B x y ，()22,C x y ，()00,D x y 则121233y y m x x --⋅=()()1212133x x y y m =--①，()()22122221233y y m x x --= 因为B ，C 为圆222:O x y r +=上，所以22119x y +=，22229x y += ()()()()22122221233y y m q y q y --=--化简得()()()()222113333y y m y y --=++ 整理得()()2222113191m y y y y m +=-+--② 因为AD AB AC =+，所以()()()112200,,3,33x y x y x y -+-=-从而()1212,3D x x y y ++-，又因为D 为曲线()2214(3)x y y +-=≠-的动点所以()()22121224x x y y +++-=展开得 ()()22221122121212224()44x y x y x x y y y y +++++-++=将①代入得 ()()()21121229933240y y y y y y m++--+-+=化简得 ()()()()1212123910m y y m y y m +-++++=将②代人得()2121223(1)1()9(23)()9(1)01m m y y m y y m m ⎡⎤++-+--++++=⎢⎥-⎣⎦，整理得 ()212501m m y y m +⋅+=-，因为2133y y +≠--所以120y y +≠从而250m m +=又0m ≠所以15m =-【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查两直线的斜率之积是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用，属于中档题．21．已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ，动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-. （1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒ (O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.【答案】（1）224x y +=；（2）（3）(1,1)-.【解析】【分析】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，根据||2||PA PB =列出方程化简，即可求解轨迹方程；（2）依题意知2OC OD ==，且120COD ∠=，则点O 到边CD 的距离为1，列出方程，即可求解；（3）根据题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，联立两个圆的方程，即可求解．【详解】（1）由题，设点P 的坐标为(,)x y ，因为||2||PA PB ==整理得224x y +=，所以所求曲线E 的轨迹方程为224x y +=．（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ∠=，由圆的性质，可得点O 到边CD 的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=1=，解得k =，所以所求直线l 的斜率为（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4(,)22t t -，且经过坐标原点，即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y ，即直线MN 的方程为(4)40tx t y ，由t R ∈且()440t x y y +--=，可得0440x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线MN 过定点(1,1)-．【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式等知识点的综合应用，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题．22．在直角坐标系中，圆22:4O x y +=，圆()()22:311M x y -+-=过点()0,1P 的直线1l 与圆O 交于A ，B 两点，2l 垂直1l 于点P .（1）当2l 与圆M 相切时，求2l 方程；（2）当2l 与圆M 相交于C ，D 两点时，E 为CD 中点，求ABE ∆面积的取值范围.【答案】(1) 22:14l y x =±+; (2) 2703⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【解析】【分析】(1)分2l 的斜率不存在与存在两种情况讨论.当2l 斜率存在时,设2l 方程,再根据2l 与圆M 相切,利用圆心到直线的距离等于半径求解即可.(2)设2l 方程为1y kx =+,联立圆M 的方程求E 坐标,再求得弦长AB 与E 到AB 的距离表达出面积即可.【详解】(1)当2l 的斜率不存在时, 2l 方程为0x =显然不成立.当2l 的斜率存在时,设2:1l y kx =+,即10kx y -+=.因为2l 与圆M 相切, 231111k k -+=+,即222914k k k =+⇒=±. 故22:14l y x =±+ (2)显然2l 的斜率存在,设2:1l y kx =+.当0k =时, 2:1l y =,3,1E .此时AB 为圆O 的直径且AB 4=.此时14362ABE S ∆=⨯⨯=. 当0k ≠时,()()()222211680311y kx k x x x y =+⎧⎪⇒+-+=⎨-+-=⎪⎩. 且()2213641808k k ∆=-+⨯>⇒< 设()()1122,,,C x y D x y ,则12261x x k +=+.故E 的横坐标122321E x x x k +==+. 纵坐标2311E k y k =++.即2233,111k k E k +++⎛⎫ ⎪⎝⎭.故231k EP ==+. 又11:10l y x x ky k k =-+⇒+-=.故O 到1l距离d =. AB ===.故1122ABE S AB PE ∆=⋅=⨯=令t =因为2108k <<,故2,4t ⎛∈ ⎝⎭.则29911ABE t S t t t∆==--,因为1()f t t t =-在2,4⎛ ⎝⎭上为增函数.故13,2140t t ⎛-∈ ⎝⎭.故91ABE S t t∆⎫=∈⎪⎪⎝⎭-. 综上所述,ABE ∆面积的取值范围为,63⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,需要联立方程利用解析几何的方法求面积表达式并分析单调性求得面积最值,同时注意斜率的取值范围.属于难题.。

高二数学选一人教A版第二章直线和圆的方程+答案解析(附后)

3ngk2nmn高二数学选一人教A版第二章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离一、单选题（本大题共5小题，共25分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，，，则点M到直线NF的距离为( )A. B. C. D.2.点到直线的距离大于3，则实数a的取值范围为( )A. B.C. 或D. 或3.过点，且与点，的距离相等的直线的方程是( )A. B.C. 或D. 或4.点到直线的距离是( )A. 3B.C. 1D.5.直线与直线的距离为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30分）6.点到直线的距离为__________.7.已知点到直线的距离为，则__________.已知点到直线的距离不大于3，则a的取值范围是__________.8.若点到直线的距离等于4，则a的值为__________.9.直线与直线的距离为，则c的值为__________.10.已知动点P在直线上运动，动点Q在直线上运动，且，则的最小值为__________.11.两直线和平行，则它们之间的距离为__________.三、解答题（本大题共7小题，共84分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）12.本小题12分求点到直线的距离的最大值.13.本小题12分已知的顶点为，AB边上的中线CM所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为求顶点B，C的坐标;求的面积.14.本小题12分已知直线恒过定点若直线l经过点A，且坐标原点到l的距离等于2，求l的方程.15.本小题12分已知两条平行直线与直线，求与间的距离.16.本小题12分已知直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零，点到直线l的距离为，求直线l的方程.17.本小题12分如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为3，宽为2，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.将该矩形折叠，使点A落在线段DC上，已知折痕EF所在直线的斜率为求折痕EF所在直线的方程;若点P为BC的中点，求的面积.18.本小题12分已知平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点，其中，求点D的坐标及AD所在直线的方程;求平行四边形ABCD的面积.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式，先求出N，F所在直线方程，属于基础题【解答】解析易知直线NF的斜率，故直线NF的方程为，即，所以点M到直线NF的距离为，故选2.【答案】C【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式，列不等式求解即可，属于基础题【解答】根据题意得，即，解得或，故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式；根据题意分析直线斜率存在，设出直线方程，结合点到直线的距离公式，进而得到结果。

人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（）A ．4±B ．－4C ．4D ．2±2．已知(1,1)P ，(2,3)Q --，点P ，Q 到直线l 的距离分别为2和4，则满足条件的直线l的条数是（） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知M (3，)，N (－1，)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为（）A B ．C ．D ．4．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（） A ．1 B ．2CD ．5．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（） A ．9B ．4C ．12D ．146．已知圆1C ：224470x y x y ++-+=与圆2C ：()()222516x y -+-=的位置关系是（） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切7．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（） A ．0B ．1C ．2D ．38．过坐标原点O 作圆()()22341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )A ．5B ．5CD9．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（） A ．32B ．32-C ．32±D ．12±10．点(2,3)P 到直线：(1)30ax a y +-+=的距离d 最大时，d 与a 的值依次为( ) A ．3，－3 B ．5，2 C ．5，1D ．7，111．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()20A ，处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A 1B ．1C ．D二、填空题13．已知点M 是直线l ：22y x =--上的动点，过点M 作圆C ：()()22114x y -+-=的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，则当四边形MACB 的面积最小时，直线AB 的方程为______.14．直线()130m x my m ++++=被圆2225x y +=所截的弦长的最小值为________. 15．已知方程：22(42)20,()x y m x my m m R +-+--=∈ ①该方程表示圆，且圆心在直线210x y --=上； ②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；③当1m =-时，该方程表示的曲线关于直线:10l x y -+=的对称曲线为C ，则曲线C上的点到直线l 的最大距离为22； ④若m 1≥，过点(1,0)-作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为,A B ，则AB 所在的直线方程为420x y +-=．以上四个命题中，是正确的有_______________（填序号）16．将直线:10l x y +-=，20l nx y n +-=:，3:0l x ny n +-=（n *∈N ，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则n n lim S →∞=___________．17．已知等腰三角形的底边所在直线过点()2,1P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的直线方程是_____________.18．直线:20180l x y +-=的倾斜角为__________；19．已知直线l 过点(4,1)A -，且和直线320x y -+=的夹角为30°，则直线l 的方程为____________.20．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．已知三条直线123121323:20,:20,:210,,,l x y l x l x y l l A l l B l l C -=+=+-=⋂=⋂=⋂=．（1）求ABC 外接圆的方程；（2）若圆22:20D x y ax +-=与ABC 的外接圆相交，求a 的取值范围．22．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=，其中m R ∈. （1）当m 变化时，求点()3,4Q 到直线的距离的最大值；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值及此时的直线方程.23．已知圆C ：222430x y x y ++-+=（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；（2）若从圆C 外一点()1,2P -向该圆引切线PA 和PB （A ，B 为切点），求弦长AB 的大小.24．已知圆1C 过点(0,6)A ，且与圆222:10100C x y x y +++=相切于原点，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=．（1）求圆1C 的方程；（2）求直线l 被圆1C 截得的弦长最小值．25．（1）如图，已知直线l ： 0mx ny r ++=（0mn ≠）外一点P （a ，b ），请写出点P 到直线l 的距离PH 的公式及公式的推导过程．．．．.（2）一质点从点(4,0)A 处沿向量(1,1)a =-方向按每秒2个单位速度移动，求几秒后质点与点(2,4)B 距离最近.26．已知正方形的一条边AB 所在直线为310--=x y ，正方形的中心为()0,1R .求:（1）该正方形的面积;（2）该正方形的两条对角线所在直线的一般式方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案. 【详解】因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±. 当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去. 当4a =-时，符合题意. 所以4a =-. 故选：B 【点睛】易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题2．B解析：B 【分析】以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ，利用圆P 与圆Q 相交，两圆有两条公切线，可得结果.【详解】22||(12)(13)5PQ =+++=，以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ，因为42-<524<+，所以圆P 与圆Q 相交，所以两圆有两条公切线，所以满足条件的直线l 的条数是2. 故选：B 【点睛】关键点点睛：转化为判断两个圆的公切线的条数是解题关键.3．B解析：B 【分析】首先利用题中所给的点N (－1，，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】易知NF 的斜率kNF 的方程为y(x －1)，＋y＝0. 所以M 到NF.故选：B. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.4．C解析：C 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ．【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.5．D解析：D 【分析】根据弦长可知直线过圆心，再利用基本不等式求ab 的最大值. 【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3. 因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相交，基本不等式求最值，本题的关键是根据弦长判断直线过圆心，这样问题就变得简单易求.6．B解析：B 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，圆1C ：224470x y x y ++-+=，可得圆心坐标为1(2,2)C -，半径为11r =，圆2C ：()()222516x y -+-=，可得圆心坐标为1(2,5)C ，半径为14r =，又由125C C ==，且12145r r =+=+，即1212C C r r =+，所以圆12,C C 相外切. 故选：B. 【点睛】圆与圆的位置关系问题的解题策略：判断两圆的位置关系时常采用几何法，即利用两圆的圆心之间的距离与两圆的半径间的关系进行判断，一般不采用代数法；若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.7．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③．【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．8．A解析：A 【分析】求得圆的圆心坐标和半径，借助11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，即可求解. 【详解】如图所示，设圆()()22341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =，则5OM ==,OA ===，则11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，可得25OA MA AB OM ⨯⨯== 故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．A解析：A 【分析】先根据半径和周长计算弦长23AB =即可. 【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r，故ABC 的周长为423+2423r AB +=+23AB =又直线与圆相交后的弦心距2243144k k d k k +-+==++，故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】将直线方程整理为()()30a x y y ++-=，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，由此可得当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时PQ 的长，并且此时点P 到直线的距离达到最大值，从而可得结果. 【详解】直线()130ax a y +-+=，即()()30a x y y ++-=，∴直线()130ax a y +-+=是过直线0x y +=和30y -=交点的直线系方程，由030x y y +=⎧⎨-=⎩，得33x y =-⎧⎨=⎩，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，∴当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时，点()2,3P 到直线()130ax a y +-+=的距离最大，d ∴的最大值为5PQ ==，此时//PQ x 轴，可得直线()130ax a y +-+=斜率不存在，即1a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.11．C解析：C 【分析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可. 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =，圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.12．B解析：B 【分析】先求出点A 关于直线4x y +=的对称点'A ，点'A 到圆心的距离减去半径即为最短．【详解】解：设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，'2AA bk a =-，AA '的中点为2,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，故122422b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =，2b =，要使从点A 到军营总路程最短，即为点f A 到军营最短的距离，即为点'A 和圆上的点连线的最小值，为点'A 和圆心的距离减半径， “将军饮马”的最短总路程为4161251+-=-，故选：B 【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．二、填空题13．【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB 面积要使四边形MACB 面积最小则需最小此时CM 与直线垂直求得以CM 为直径的圆的方程再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程【详解】由圆的标准方程可知圆解析：210x y ++=【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB 面积22||||2||2||4,CAM S S CA AM MA CM ==⋅==-△要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，求得以CM 为直径的圆的方程，再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程.【详解】由圆的标准方程可知，圆心C (1，1) ，半径r =2.因为四边形MACB的面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△ 要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直. 直线CM 的方程为11(x 1)2y -=- ，即11.22y x =+联立112222y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得(1,0)M -则以CM 为直径的圆的方程为2215()24x y +-=，联立222215(),24(1)(1)4x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪-+-=⎩消去二次项可得直线AB 的方程为210x y ++=，故答案为：210x y ++= 【点睛】关键点点睛：根据四边形的面积表达式可以看出要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，此时所做圆的直径为CM ，写出圆的方程，两圆方程相减即可求出过AB 的直线方程.14．【分析】转化条件为直线过结合垂径定理可得当直线与直线垂直时弦长最小即可得解【详解】直线可变为由可得所以直线过定点又圆的圆心为半径所以点在圆内所以当直线与直线垂直时弦长最小此时弦长为故答案为：【点睛】解析：【分析】转化条件为直线过()3,2A -，结合垂径定理可得当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，即可得解.【详解】直线()130m x my m ++++=可变为()130x y m x ++++=，由1030x y x ++=⎧⎨+=⎩可得32x y =-⎧⎨=⎩，所以直线()130m x my m ++++=过定点()3,2A -，又圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，半径=5r ，所以213AO =，点()3,2A -在圆内，所以当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，此时弦长为==.故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是找到直线经过的定点，再利用几何法转化出弦长.15．③④【分析】先将方程：化为：确定出圆心半径判断选项①②；将代入得圆方程可转化为该圆上的点到直线的最大距离问题求解；先求出以圆外点与圆心连线为直径的圆方程再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程【详解析：③④ 【分析】先将方程：22(42)20x y m x my m +-+--=化为：()()22221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，确定出圆心，半径判断选项①②；将1m =-代入得圆方程，可转化为该圆上的点到直线l 的最大距离问题求解；先求出以圆外点(1,0)-与圆心连线为直径的圆方程，再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程.【详解】方程：22(42)20x y m x my m +-+--=可化为：()()22221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，当25510m m ++>即m >或m <时，方程表示圆，故①错；由①知，当m >或m <时，该方程表示圆，且圆心()21,M m m +在直线210x y --=上移动，且半径不定，故②显然不正确；当1m =-时，方程表示圆M ：()()22111x y +++=,由条件知曲线C 上的点到直线l 的最大距离即为圆M 上的点到直线l 212+=，所以③正确；当m 1≥时，22211551524r m m m ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，所以当1m =时，圆面积最小，此时圆心为()3,1M ，圆M 方程为：()()223111x y -+-=，设()1,0P -，则PM 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，217PM =，所以PM 为直径的圆方程为()22117124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，两圆方程相减即得AB 所在的直线方程为420x y +-=，故④正确. 故答案为：③④ 【点睛】方法点睛：已知圆外一点引圆的两条切线，求解切点连线的直线方程，通常先求出以圆外一点与圆心连线为直径的圆方程，然后将两圆方程相减，即可得切点连线的直线方程.16．【分析】求出三条直线的交点坐标从而可求得三角形的面积再求极限即可【详解】由得即同理可得到直线的距离为∴∴故答案为：【点睛】本题考查数列的极限解题关键是求出三角形的面积解析：12【分析】求出三条直线的交点坐标，从而可求得三角形的面积n S ，再求极限即可。

高二上学期第一次月考数学模拟试卷(空间向量与立体几何+直线与圆)及参考答案

2023-2024学年高二数学上学期第一次月考（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量p在空间的的一组基底{}a b c ，，下的坐标是132( )，，，则p 在基底{ }a b a b c +− ，，下的坐标是（） A ．(422)−，， B ．(2 1 2)，，C ．(2 1 2)−，， D ．132( )，，2．已知直线AB ，BC ， 1BB 不共面，若四边形11BB C C 的对角线互相平分，且1123AC xAB yBC zCC =++，则x y z ++的值为（）A ．1B ．56C ．23D ．1163．已知直线()():2110l m x m y m ++−+−=，若直线l 与连接()1,2A −、()2,1B 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为（）A ．ππ,44 −B ．3π,π4C ．π3π,44D ．π3π0,,π44 ∪4．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在OA 上，且，M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN等于（）A ．111222a b c −++B ．111222a b c ++C ．111222a b c +−D ．111222a b c −+5．已知点(),a b 在线段()3410026x y x +−−≤≤上，则222a b +−的取值范围是（）A ．[]2,18B ．[]2,38C ．[]0,38D ．0,2 −6．如图，平行六面体1111ABCD A B C D −所有棱长都为1，底面ABCD 为正方形，1160A AB A AD ∠=∠=°．则对角线1AC 的长度为（）AB C ．2 D7．已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若PBPAλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，Q ，直线1:230l kx y k −++=，直线2:320l x ky k +++=，若P 为1l ，2l 的交点，则32PO PQ +的最小值为（）A ．B ．6−C ．9−D ．38．已知点P 为直线l ：20x y +−=上的动点，过点P 作圆C ：2220x x y ++=的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（） A ．3310x y ++=B ．3310x y +−=C ．2210x y ++=D ．2210x y +−=二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得52分，有选错的得0分.9．下列选项正确的是（）A ．若直线l 的一个方向向量是(e =−，则直线l 的倾斜角是2π3B ．“1a =−”是“直线210a x y −+=与直线20x ay −−=垂直”的充要条件 C ．“4a =−”是“直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=平行”的充要条件 D ．直线sin 20x y α−+=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44∪10．如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，,O P 分别是,AC SC的中点，M 是棱SD 上的动点，则下列说法中正确的是（）A ．OM AP ⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30°D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值11．已知动直线m ：0x y λλ−+=和n ：320x y λλ+−−=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是（）A ．B 点的坐标为()3,2− B ．m n ⊥C ．PA PB ⋅的最大值为10D ．P 的轨迹方程为222230x y x y +−−−=12．已知曲线C O 为坐标原点，直线l 过()0,4和()4,0两点，P 为直线l 上一动点，过点P 作曲线C 的两条切线,,,PA PB A B 为切点，则（）A ．点P 与曲线C 上点的最小距离为B ．线段PA 长度的最小值为C ．PA PB ⋅的最小值为3D ．存在点P ，使得PAB 的面积为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，P 是空间中任意一点．给出下列四个结论： ①若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥；②若点P 在线段1AA 上运动，则过P ，B ，1D ③若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC −体积为定值； ④若点P 在线段1A B 上运动，则1AP PD +．其中所有正确结论的序号有．14．如图，在平面直角坐标系中，以点()1,0F为圆心作半径为1的圆，点B ，C 为圆F 上的动点，且BC =点()2,1E 为一定点，倍长EB 至D ，则线段CD 的最大值为．15．已知,,A B D 三点在圆22:(2)36C x y ++=上，ABD △的重心为坐标原点O ，则ABD △周长的最大值为 .16．已知圆()()22:522P x y −+−=，直线:l y ax =，点(5,2M ，点(),A s t .给出下列4个结论： ①当0a =时，直线l 与圆P 相离； ②若直线l 是圆P 的一条对称轴，则25a =； ③若直线l 上存在点A ，圆P 上存在点N ，使得90MAN ∠=°，则a 的最大值为2021；④N 为圆P 上的一动点，若90MAN ∠=°，则t 其中所有正确结论的序号是 .四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AP 的长为2，且AP 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 在棱PC 上，12PM MC = ，设AB a=，AD b =，AP c = ．(1)试用a ，b ，c表示出向量BM ；(2)求BM 与AP所成的角的余弦值．18．（12分）如图，已知ABC 的顶点为()1,1A −，()1,3B −，()3,0C ，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠的平分线．(1)求高AD 所在直线的方程；(2)求AE 所在直线的方程．（提示：在AB上取与AC 长度相等的向量1AB ，则11AE AB AC =+ 的方向就是AE的方向．）19．（12分）已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC .(1)设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；(2)若直线BE 与平面ABC 所成的角为60 ，求二面角B AD C −−的余弦值．20．（12分）如图，已知圆22:10100C x y x y +++=，点()0,6A .(1)求圆心在直线y x =上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于,P Q 两点，且圆弧 PQ恰为圆C 周长的14，求直线m 的方程.21．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为2的等边三角形，12,,CC D E =分别是线段1,AC CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D .(1)求证：1A C⊥平面BDE；(2)若点F为棱11B C的中点，求点F到平面BDE的距离；(3)若点F为线段11B C上的动点（不包括端点），求锐二面角F BD E−−的余弦值的取值范围.22．（12分）已知圆W经过(3,3),(2,A B C−三点．(1)求圆W的方程．(2)已知直线l与圆W交于M，N（异于A点）两点，若直线,AM AN的斜率之积为2，试问直线l是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．.2023-2024学年高二数学上学期第一次月考（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量p在空间的的一组基底{}a b c ，，下的坐标是132( )，，，则p 在基底{ }a b a b c +− ，，下的坐标是（） A ．(422)−，， B ．(2 1 2)，，C ．(2 1 2)−，， D ．132( )，，【答案】C【分析】设p的坐标为( )x y z ，，，得到32()()a b c x y a x y b zc ++=++−+ ，求得,,x y z 的值，即可求解. 【详解】因为p在基底{}a b c ，，下的坐标是132( )，，，所以32p a b c =++ ，设p在基底{ }a b a b c +− ，，下的坐标为( )x y z ，，，则()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++−+=++−+，因此32()()a b c x y a x y b zc ++=++−+，所以132x y x y z +=−==，，，即212x y z ==−=，，，即向量p在基底{ }a b a b c +− ，，下的坐标为(2 1 2)−，，．故选：C ．2．已知直线AB ，BC ， 1BB 不共面，若四边形11BB C C 的对角线互相平分，且1123AC xAB yBC zCC =++，则x y z ++的值为（）A ．1B ．56C ．23D ．116【答案】D【分析】由题意{}1,,AB BC CC为空间的一组基底，然后利用空间向量基本定理求解.【详解】由题意，知AB，BC ，1BB 不共面，四边形11BB C C 为平行四边形，11CC BB = ，{}1,,AB BC CC ∴为空间的一组基底.1AC AB BC =++ 1CC ，又1123AC xAB yBC zCC =++，231x y z ∴，1x ∴=，12y =，13z =，116x y z ∴++=.故选：D.3．已知直线()():2110l m x m y m ++−+−=，若直线l 与连接()1,2A −、()2,1B 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为（）A ．ππ,44 −B ．3π,π4C ．π3π,44D ．π3π0,,π44 ∪【答案】D【分析】先求出直线l 所过定点P 的坐标，数形结合可求出直线l 的斜率的取值范围，即可得出直线l 的倾斜角的取值范围.【详解】直线l 的方程可化为()()1210m x y x y +++−−=，由10210x y x y ++= −−= ，可得01x y = =− ，所以，直线l 过定点()0,1P −，设直线l 的斜率为k ，直线l 的倾斜角为α，则0πα≤<，因为直线PA 的斜率为()12101−−−=−−，直线PB 的斜率为11102−−=−，因为直线l 经过点()0,1P −，且与线段AB 总有公共点，所以11k −≤≤，即ta 11n α−≤≤，因为0πα≤<，所以π04α≤≤或3ππ4α≤<，故直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44∪．故选：D ．4．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在OA 上，且，M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN等于（）A ．111222a b c −++B ．111222a b c ++C ．111222a b c +−D ．111222a b c −+【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：11111()22222MN ON OM OB OC OA a b c =−=+−=−++，故选：A.5．已知点(),a b 在线段()3410026x y x +−−≤≤上，则222a b +−的取值范围是（）A ．[]2,18B ．[]2,38C ．[]0,38D ．0,2 −【答案】B【分析】将问题化为求原点到线段上点距离的平方的范围，进而求目标式的距离. 【详解】由()3410026x y x +−−≤≤的图象如下，又(),a b 是上图线段上的一点，且22b +为原点到该线段上点距离的平方，上述线段端点分别为(2,4),(6,2)−−，到原点距离的平方分别为20,40，由图知：原点到线段的距离2d =，则24d =，综上，22[4,40]a b +∈，故222[2,38]a b +−∈.故选：B6．如图，平行六面体1111ABCD A B C D −所有棱长都为1，底面ABCD 为正方形，1160A AB A AD ∠=∠=°．则对角线1AC 的长度为（）AB C ．2 D【答案】B【分析】利用基底法求解即可.【详解】由题知11AC AB AD AA =++，所以()2211AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AD AA AA AB=+++⋅+⋅+⋅ 2221112cos902cos 602cos 60AB AD AA AB AD AD AA AA AB =+++⋅+⋅+⋅1110115=+++++=，1AC . 故选：B.7．已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若PBPAλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，Q ，直线1:230l kx y k −++=，直线2:320l x ky k +++=，若P 为1l ，2l 的交点，则32PO PQ +的最小值为（）A ．B ．6−C ．9−D ．3【答案】A【分析】由直线方程可得12l l ⊥，则点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，得到P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠−，即()22453x y x y ++=≠−)3y ≠−，取5,02A ，则32PQ PA =，结合，可得()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥，进而求解. 【详解】由已知1:230l kx y k −++=过定点()2,3C −， 2:320l x ky k +++=过定点()2,3D −−，因为1l k k =，21l k k=−，所以121l l k k ⋅=−，即12l l ⊥，所以点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，故圆心为()2,0−，半径为3，则P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠−，即()22453x y x y ++=≠−，易知O 、Q 在该圆内，又32PO =即)332PO y =≠−，取5,02A，则32PO PA =，又所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ+=+=+≥=所以32PO PQ +的最小值为故选：A.8．已知点P 为直线l ：20x y +−=上的动点，过点P 作圆C ：2220x x y ++=的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（） A ．3310x y ++=B ．3310x y +−=C ．2210x y ++=D ．2210x y +−=【答案】A【分析】先利用圆切线的性质推得,,,A P B C 四点共圆，AB CP ⊥，从而将PC AB ⋅转化为2PA ，进而确定PC l ⊥时PC AB ⋅取得最小值，再求得以PC 为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.【详解】因为圆C ：2220x x y ++=可化为()2211x y ++=，所以圆心()1,0C −，半径为1r =，因为PA ，PB 是圆C 的两条切线，则,PA AC PB BC ⊥⊥，由圆的知识可知，,,,A P B C 四点共圆，且AB CP ⊥，PA PB =，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==×××= ，又所以当PC 最小，即PC l ⊥时，PC AB ⋅取得最小值，此时PC 的方程为1y x =+，联立120y x x y =+ +−=，解得13,22x y ==，即13,22P，故以PC 为直径的圆的方程为13(1)022x x y y−++−=，即，221031222x x y y +−+=−，又圆22:20C x x y ，两圆的方程相减即为直线AB 的方程：3310x y ++=. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将PC AB ⋅转化为2PA ，从而确定PC AB ⋅最小时P 的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列选项正确的是（）A ．若直线l 的一个方向向量是(e =−，则直线l 的倾斜角是2π3B ．“1a =−”是“直线210a x y −+=与直线20x ay −−=垂直”的充要条件 C ．“4a =−”是“直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=平行”的充要条件 D ．直线sin 20x y α−+=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44∪【答案】ACD【分析】A 项，通过求直线l 的斜率，即可得出直线l 的倾斜角；B 项，讨论1a =−时直线210a x y −+=与直线20x ay −−=是否垂直，以及直线210a x y −+=与直线20x ay −−=垂直时a 的值，即可得出结论；C 项，讨论4a =−时直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=是否平行，以及直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=平行时a 的值，即可得出结论；D 项，通过求出直线的斜率，即可求出倾斜角θ的取值范围.【详解】对于A 项，在直线l 中，一个方向向量是(e =− ，则直线l 的斜率为k ==∴直线l 的倾斜角是2π3，A 正确；对于B 项，当1a =−时，直线210a x y −+=与直线20x ay −−=变为：10x y −+=与20x y +−= 显然垂直，充分性成立.当直线210a x y −+=与直线20x ay −−=垂直时，()210a a −⋅−= 解得：1a =−或0a =，必要性不成立，故B 错误；对于C 项，当4a =−时，直线210ax +−=与直线820x ay a ++−=化为：4210x y −+−=与8460x y −+= 即122y x =+与322y x =+，两直线平行，充分性满足要求. 若直线210ax y +−=与直线820x ay a ++−=平行 ()28122a a a a ⋅=×−≠−，解得：4a =−，必要性成立，故C 正确；对于D 项，在直线sin 20x y α−+=中，该直线的斜率为[]sin 1,1k α=∈− 故倾斜角θ范围为π3π0,,π44∪.故D 正确.故选：ACD.10．如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，,O P 分别是,AC SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，则下列说法中正确的是（）A ．OM AP ⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30°D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意可知,,AB AD AS 两两相互垂直，以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设2ABAD AS ===， ()()()()0,0,2,2,2,0,1,1,1,1,1,0S C P O ，设()0,,2M t t −，()1,1,2OM t t =−−− ，所以1120OM AP t t ⊥=−+−+−=，所以OM AP ⊥，A 选项正确.点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为22t t −+=为定值，D 选项正确. ()2,0,0B ，()()2,0,2,0,2,0SB BC =−=，设平面SBC 的法向量为(),,n x y z =，则22020n SB x z n BC y ⋅=−= ⋅== ，故可设()1,0,1n = ，要使//OM 平面SBC ，OM ⊄平面SBC ，则()()1,1,21,0,11210OM n t t t t ⋅=−−−⋅=−+−=−=，解得1t =，所以存在点M ，使//OM 平面SBC ，B 选项正确.若直线OM 与直线AB 所成角为30°，则cos30， 23970,8143730tt −+=∆=−××=−<，无解，所以C 选项错误. 故选：ABD11．已知动直线m ：0x y λλ−+=和n ：320x y λλ+−−=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是（）A ．B 点的坐标为()3,2− B ．m n ⊥C ．PA PB ⋅的最大值为10D ．P 的轨迹方程为222230x y x y +−−−=【答案】BC【分析】根据直线方程求出定点,A B 的坐标，判断A ，证明直线,m n 垂直，判断B ，再结合222PA PB AB +=判断C ，D.【详解】直线m 的方程0x y λλ−+=可化为()1y x λ=+，所以直线m 过定点()1,0−，直线n 的方程320x y λλ+−−=可化为()320x y λ−+−=，所以直线n 过定点()3,2，所以点A 的坐标为()1,0−，点B 的坐标为()3,2，所以A 错误，由已知()110λλ×+−×=，所以直线m 与直线n 垂直，即m n ⊥，B 正确，因为PA PB ⊥，所以222PA PB AB +=，故()()2222312020PA PB +=++−=，所以22102PA PBPA PB +⋅≤=C 正确；因为PA PB ⊥，故222PA PB AB +=，设点P 的坐标为(),x y ，则()()()222213220x y x y +++−+−=，化简可得222230x y x y +−−−=，又点()12−，不是直线,m n 的交点，点()12−，在圆上，故点P 的轨迹为圆222230x y x y +−−−=除去点()12−，，D 错误；故选：BC.12．已知曲线C O 为坐标原点，直线l 过()0,4和()4,0两点，P 为直线l 上一动点，过点P 作曲线C 的两条切线,,,PA PB A B 为切点，则（）A ．点P 与曲线C 上点的最小距离为B ．线段PA 长度的最小值为C ．PA PB ⋅的最小值为3D ．存在点P ，使得PAB 的面积为3 【答案】CD【分析】设点(),C x y 求得222x y +=，由圆的性质，取得点P 与曲线C可判定A 不正确；由PA =求得PA 可判定B 错误；设OP t =，在直角三角形POA中，求得cos APO ∠=2286PA PB t t ⋅=+− ，结合函数的单调性，可判定C 正确.结合C 选项求出PAB 面积的最小值可判断D.【详解】对于A (),C x y ，则222x y +=，可得曲线C 的轨迹为圆.方程为直线l ： 40x y +−=，圆心O 到直线l =则点P 与曲线C 上点的最小距离为，故A 错误；对于B ，由图可知，在直角三角形POA 中，PA PB ==，要使得线段PA 的长度最小，则OP 取最小值，由选项A 可知，PA B 错误；对于C ，设,OP t t =≥PA PB =在直角三角形POA 中，cos PA APO OP ∠=2APB APO ∠=∠，所以2222224cos 2cos 121t t APB APO t t−−∠=∠−=⋅−=，所以2cos cos PA PB PA PB APB PA APB ⋅=∠=∠ ()24222222468826t t t t t t t t−−+=−⋅==+−令()2286g t t t =+−，又t ≥28t ≥，又函数8y x x =+在区间[)8,+∞上单调递增，所以()(min 88638g t g ==+−=，即PA PB ⋅ 的最小值为3，故C 正确；对于D ，由切线长定理知，直线OP 垂直平分线段AB ，得2222PA OA AB OP ×=×==≥当且仅当OP 与直线l 垂直时取等号，即弦AB .此时OP =，设AB 的中点为M ，则cos OA OM OA AOM OA OP =⋅∠=⋅==所以PM OP OM =−所以PAB 的面积的最小值为123<，S PAB >PAB 的面积所以存在点P ，使得PAB 的面积为3，故D 正确. 故选：CD.【点睛】关于切线长最小值问题，本题中是把切弦长问题根据勾股定理转化为圆心到直线的距离最短问题进行解决.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，P 是空间中任意一点．给出下列四个结论： ①若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥；②若点P 在线段1AA 上运动，则过P ，B ，1D ③若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC −体积为定值； ④若点P 在线段1A B 上运动，则1AP PD +．其中所有正确结论的序号有．【答案】①③④【分析】由1CB ⊥平面11AC D 判断①；由向量法判断②；由等体积法判断③；将1AA B 与四边形11A D CB 沿1A B 展开在同一平面上，由余弦定理得出1AP PD +的最小值.【详解】对于①：如下图，连接1A D ，所以11B C A D ，又11A D AD ⊥，所以11B C AD ⊥，因为11C D ⊥平面11BCC B ，所以111C D CB ⊥，由线面垂直的判定可知，1CB ⊥平面11AC D ，因为1C P ⊂平面11AC D ，所以11C P CB ⊥，故①正确；对于②：在1C C 上取一点1P ，使得[]11,0,1APC P a a ==∈，连接1111,,,D P PB PD PB ，易知11PB D P ∥，且11PB D P =，即11,,,P B D P 四点共面，即过P ，B ，1D 三点的截面为截面11PBD P . 以点D 为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：()()()()111,1,0,0,0,1,1,0,,0,1,1B D P a P a −，1D (1,1,1),(0,1,)B BP a =−−=−|BP =11BP BD a ⋅=+，所以截面11PBD P 的面积为1112||sin BPD S S BP BD PBD ==∠=△=，当12a =时，P ，B ，1D ②错误；对于③：如下图，由已知得11B C A D ，所以直线1A D 上所有点到平面1B CD的距离相等，又11D BPC P BDC V V −−=，而1BDC S 是一个定值，所以三棱锥1D BPC −体积为定值，故③正确；对于④：如下图，将1AA B 与四边形11A D CB 沿1A B 展开在同一平面上，由图可知，线段 1AD 的长度即为1AP PD +的最小值，在11AA D 中，1AD =④正确；故答案为：①③④【点睛】方法点睛：本题考查空间中的动点问题，解决此类问题时，常需证明线线，线面，面面间的平行和垂直关系，从而得出点运动中，存在的不变的位置关系，存在着面积或体积的定值.14．如图，在平面直角坐标系中，以点()1,0F为圆心作半径为1的圆，点B ，C 为圆F 上的动点，且BC =点()2,1E 为一定点，倍长EB 至D ，则线段CD 的最大值为．【分析】设()cos 1,sin B θθ+，结合题目条件可表示D ，C 点坐标，后由两点间距离公式结合辅助角公式可得答案.【详解】设()cos 1,sin B θθ+[)()0,2πθ∈，因()2,1E ，倍长EB 至D ，则D ，E 中点为B ，则()2cos ,2sin 1D θθ−.又BC F 半径为1，则o 90BFC ∠=，得ππcos 1,sin 22C θθ +++，即()1sin ,cos C θθ−.，其中1tan 3ϕ=，则当3π2θϕ+===.+15．已知,,A B D 三点在圆22:(2)36C x y ++=上，ABD △的重心为坐标原点O ，则ABD △周长的最大值为 .【答案】12+【分析】根据已知条件发现2OC =，且O 点到圆与x 轴的正半轴交点的距离为4，正好是1:2的关系，而三角形的重心是中线的三等分点，所以不妨认为圆与x 轴的正半轴交点是三角形的一个顶点，从而可知另两个顶点正好是圆的直径的两个端点，从而可以得到三角形三边的关系，进而借助基本不等式求出结果.【详解】由圆22:(2)36C x y ++=得圆心(2,0)C −，半径圆6r =，如图，不妨设点A 在x 轴的正半轴上，由于ABD △的重心为坐标原点O ，且42AO CO ==, 所以BD 为圆C 的直径，所以2212,144BD AB AD =+=，≤，当且仅当6AB AD ==时取等号，所以ABD △周长的最大值为12+故答案为：12+16．已知圆()()22:522P x y −+−=，直线:l y ax =，点(5,2M ，点(),A s t .给出下列4个结论： ①当0a =时，直线l 与圆P 相离； ②若直线l 是圆P 的一条对称轴，则25a =； ③若直线l 上存在点A ，圆P 上存在点N ，使得90MAN ∠=°，则a 的最大值为2021；④N 为圆P 上的一动点，若90MAN ∠=°，则t 其中所有正确结论的序号是 .【答案】①②④【解析】对于①：0a =，:0l y =，圆心()5,2l 与圆P 相离；对于②：若直线l 圆P 的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即可得到；对于③：由垂径定理，90MQP ∠=°，设QMP α∠=.得到22PA ≥≥，但两处等号无法同时取到，矛盾；对于④：N 为圆P 上的一个动点.若90MAN ∠=°，设()00,,Q x y QMP α∠=，利用参数方程解决即可.【详解】对于①：当0a =时，直线:0l y =，圆心()5,2l 与圆P 相离，故表述①正确；对于②：若直线l 圆P 的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故202505a −=−，故表述②正确；本题的难点主要聚焦于③、④，如图所示：设MN 的中点为Q ，以MN 为直径作圆Q ，连接,,,PQ QA PA PM ．则 90 MAN A Q QA QM ∠=°⇔⇔=在圆上对于③：由垂径定理，90MQP ∠=°，设QMP α∠=.一方面，若90MAN ∠=°，则2PA PQ QA PQ QM αα≤+=+=+≤.当且仅当45α=°，且,,P Q A 三点共线时，等号成立，此时直线PA 的斜率为1−. 另一方面，当2021a =时，直线:210l x y −=.故点P 到直线l 的距离2d .此时2PA d ≥=. 当且仅当A 为点P 在直线l 上的射影时等号成立，此时直线PA 的斜率为2120−. 对比发现，22PA ≥≥，但两处等号无法同时取到，矛盾.故表述③错误.对于④：N 为圆P 上的一个动点.若90MAN ∠=°，设()00,,Q x y QMP α∠=，则00t y QA y α≤+=.注意到202sin 2y PQ αα=+，故2212cos 2t ααα ≤−≤当且仅当60α=°且点A 在点Q 正上方时，等号成立.故表述④正确. 故答案为：①②④.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系变形，以及圆更深层次的定义，难度较大，能够正确画出示意图是解决问题的关键.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AP 的长为2，且AP 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 在棱PC 上，12PM MC = ，设AB a=，AD b =，AP c = ．(1)试用a ，b ，c表示出向量BM ；(2)求BM 与AP所成的角的余弦值．【答案】(1)212333BM a b c =−++【分析】（1）根据向量线性运算，化简即得用a ，b ，c 表示向量BM的式子；（2）利用空间的数量积和向量夹角公式进行求解即可．【详解】（1）因为12PM MC = ，则23BM BC CM BC CP =+=+，因为ABCD 是边长为1的正方形，则()CP AP AC AP AB AD AP AB AD =−=−+=−−，且BC AD = ，可得()22123333BM AD AP AB AD AB AD AP =+−−=−++，又因为AB a =，AD b = ，AP c = ，所以212333BM a b c =−++. （2）由题意可知：1a b == ，2c = ，c 与a 、b 的夹角均为60°，a 与b的夹角为90°，则22222212414484333999999BM a b c a b c a b a c b c =−++=++−⋅−⋅+⋅4148417412cos 6012cos 60999999++×−××°+××°，又因为2212212333333BM AP a b c c a c b c c ⋅=−++⋅=−⋅+⋅+212712cos 6012cos 6043333=−××°+××°+×=，设BM 与AP 所成的角为θ，所以cos θ 18．（12分）如图，已知ABC 的顶点为()1,1A −，()1,3B −，()3,0C ，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠的平分线．(1)求高AD 所在直线的方程；(2)求AE 所在直线的方程．（提示：在AB上取与AC 长度相等的向量1AB ，则11AE AB AC =+ 的方向就是AE的方向．）【答案】(1)4370x y −−=； (2)340x y −−=.【分析】（1）求出直线BC 的斜率，由垂直关系求出直线AD 的斜率，并求出其方程作答.（2）求出与AB同向且长度等于||AC 的向量1AB ，再求出11AE AB AC =+ 即得直线AE 的方向向量，再求出直线方程作答.【详解】（1）依题意，直线BC 的斜率303134BC k −==−−−，于是BC 边上高AD 所在直线的斜率43AD k =，所以直线AD 方程为41(1)3y x +=−，即4370x y −−=. （2）依题意，(2,1),(2,4)AC AB − ，在向量AB方向上取1AB ，使1||||AB AC = ，而|||AC AB =1||1(1,2)2||AC AB AB AB AB −，令11(1,3)AE AB AC =+= ，显然1AE 平分BAC ∠，于是BAC ∠的平分线AE 所在直线的方向向量为(1,3)，即直线AE 的斜率为3，所以直线AE 的方程为13(1)y x +=−，即340x y −−=. 19．（12分）已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC.(1)设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；(2)若直线BE 与平面ABC 所成的角为60 ，求二面角B AD C −−的余弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由四边形DEFO 为平行四边形.∴//EF DO ，再结合DO ⊥平面ABC ，即可证明EF ⊥平面ABC ；（2）由空间向量的应用，建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC 的法向量()0,1,0m =，平面ADB 的法向量()n = ，再利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接EF ，OF ，∵在DAC △中DA DC =，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，DO ⊂平面DAC ，得DO ⊥平面ABC . ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴//OF AB ，且2AB OF =. 又//DE AB ，2AB DE =，∴//OF DE ，且OF DE =. ∴四边形DEFO 为平行四边形.∴//EF DO ，∴EF ⊥平面ABC .（2）∵DO ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂ABC 平面，所以,DO AC DO BC ⊥⊥，又因为AC BC ⊥，所以,,DO AC BC 三者两两互相垂直，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C −，()1,4,0B −.∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面60EBF ∠=.∴tan 60DO EF BF ===∴(0,0,D .可取平面ADC 的法向量()0,1,0m =，设平面ADB 的法向量(),,n x y z = ，()2,4,0AB =−，(1,0,AD =−，则2400x y x −+=−+=，取1z =，则x =y =∴()n = ，∴cos ,m n mn m n⋅==，∴二面角B AD C −−20．（12分）如图，已知圆22:10100C x y x y +++=，点()0,6A .(1)求圆心在直线y x =上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于,P Q 两点，且圆弧 PQ恰为圆C 周长的14，求直线m 的方程. 【答案】(1)()()223318x y −+−=(2)0x =或48553300x y −+=【分析】（1）通过求圆N 的圆心和半径来求得圆N 的方程.（2）首先判断出CP CQ ⊥，求得C 到直线m 的距离，对直线m 的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案.【详解】（1）由22:10100C x y x y +++=，化为标准方程：()()225550x y +++=. 所以圆C 的圆心坐标为()5,5C −−，又圆N 的圆心在直线y x =上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(),a a ，解得3a =，所以圆N 的圆心坐标为()3,3，半径r =故圆N 的方程为()()223318x y −+−=.（2）因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP CQ ⊥.所以点C 到直线m 的距离为5.当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为0x =.当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为6y kx =+，即60kx y −+=.5，解得4855k =. 所以此时直线m 的方程为486055x y −+=，即48553300x y −+=，故所求直线m 的方程为0x =或48553300x y −+=.【点睛】求圆的方程，有很多方法，一是求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；一是根据圆所过的三个点，设出圆的一般方程，然后列方程组来求解；一是利用相关点代入法进行求解.求解直线和圆的位置关系有关题目时，要注意直线的斜率是否存在.21．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为2的等边三角形，12,,CC D E =分别是线段1,AC CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D .(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；(2)若点F 为棱11B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；(3)若点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角F BD E −−的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(3)12【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0，可证11,BD A C DE A C ⊥⊥，从而得证；法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面BDE 的一个法向量，证明其与1A C 平行，从而得证；（2）利用空间向量法求点到面的距离；（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.【详解】（1）法一：连结1AC ，因为ABC 为等边三角形，D 为AC 中点，BD AC ∴⊥，又1C D ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，1C D BD ∴⊥11,,AC C D D AC C D ∩=⊂ 平面11AAC CBD ∴⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面111,AAC C BD AC ∴⊥，由题设知四边形11AAC C 为菱形，11AC AC ∴⊥， ,D E 分别为1,AC CC 中点，11,DE AC AC DE ∴∴⊥∥，又BD DE D ∩=，,,BD DE D BD DE =⊂ 平面1,BDE AC ∴⊥平面BDE . 法二：由1C D ⊥平面ABC ，AC BD ⊂，平面ABC ，11AC C D BD C D ∴⊥⊥，，又ABC 为等边三角形，D 为AC 中点，BD AC ∴⊥，则以D 为坐标原点，1,,DB DA DC所在直线为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则())()((11110,0,0,,0,1,0,,0,,,0,,2D B C C E B A −−)1,0,,2DB DE ∴==−(10,3,A C =−11·0,?0DB AC DE AC ==∴11,BD A C DE A C ⊥⊥ 又BD DE D ∩=，,,BD DE D BD DE =⊂ 平面1,BDE AC ∴⊥平面BDE . 法三：（同法二建系）设平面BDE 的一个法向量为(),,m x y z =00DB m DE m ⋅= ⋅=，即0102y z = −= 不妨取1z =，则y =()m =所以平面BDE的一个法向量为()m =(10,3,A C =−，1AC ∴ ，1//AC m ∴ ，∴1A C ⊥平面BDE （2）由（1）坐标法得12F ，平面BDE的一个法向量为()m =（或(1m CA ==）12DF = ∴点到F 到平面BDE 的距离=m DFm⋅=（3）)(111,C B CA =设()111,,,(01)F x y z C F C B λλ=<<，则(),,,,0x y z λ，,,,,,x y z FDF λλλ∴===∴∴=；由（1）知：1A C ⊥平面,BDE ∴平面BDE的一个法向量(1m CA ==（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；设平面FBD 的法向量(),,n a b c =，则00DB n DF n a b λ ⋅=⋅=+，令b =()0,,a c n λλ==−∴=− ；cos ,m n m n m n ⋅∴==⋅令()32,3t λ−=∈，则3t λ=−cos ,m n ∴=211112611,,1,1,cos ,3232m n t t t∈∴−+∈∴∈ ，即锐二面角F BD E −−的余弦值的取值范围为12 .22．（12分）已知圆W经过(3,3),(2,A B C −三点． (1)求圆W 的方程．(2)已知直线l 与圆W 交于M ，N （异于A 点）两点，若直线,AM AN 的斜率之积为2，试问直线l 是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】(1)2260x y x +−=(2)直线l 经过定点，该定点的坐标为(3,9)−【分析】（1）设出圆W 的一般方程，代入,,A B C 的坐标，由此求得正确答案.（2）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由直线,AM AN 的斜率之积列方程，化简求得定点坐标.【详解】（1）设圆W 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3318021202120D E F D F D F +++= +++=−++=，解得600D E F =−= = 则圆W 的方程为2260x y x +−=．（2）若直线l 的斜率不存在，则设直线l 的方程为()()00000,,,,xx M x y N x y −，则000033233AM AN y y k k x x −−−⋅=⋅=−−，整理得()2200239x y −+=．又()220039x y −+=，解得03x =，所以直线l 的方程为3x =，此时l 经过点(3,3)A ，不符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为()()1122,,,,ytx b M x y N x y =+，联立方程组2260y tx b x y x =+ +−= ，整理得()2221(26)0t x tb x b ++−+=，则2212122262424360,,11tb b b tb x x x x t t −∆=−−+>+==++． ()()()()1212121233333333AMAN tx b tx b y y k k x x x x +−+−−−⋅=⋅=−−−−()()2212121212(3)6939t x x tb t x x b b x x x x +−++−+=−++22229618692969t b tb t b t b tb ++−−+=++−，则2296186270t b tb t b ++++−=，整理得2(3)6(3)27(39)(33)0t b t b t b t b +++−=+++−=，解得39b t =−−或33b t =−+．当33b t =−+时，直线2l 的方程为33y tx t =−+，此时直线l 经过点(3,3)A ，不符合题意，故舍去．所以39b t =−−，故直线l 的方程为39y tx t =−−，即(3)9y t x =−−，经过定点(3,9)−．综上所述，直线l 经过定点，且该定点的坐标为(3,9)−．【点睛】求圆的方程的方法有两种思路，一种思路是根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；另一种思路是设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，然后根据已知条件求得,,DE F ，从而求得圆的一般方程.。

高二数学直线和圆检测题(三)

直线与圆测试题（三）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题 (本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点)1,2(P 作圆0122:22=+++-+a ay ax y x C 的切线有两条，则a 的取值范围( )A ．3->aB ．3-<aC ．523-<<-a D ． 523-<<-a 或2>a 2．已知点),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA 、是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．2B ．221C ．22D ．23．已知直线03=-+m y x 与圆122=+y x 交于B A 、两点，则与OB OA +共线的向量为( )A ．()3,1B ．()3,1-C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,33D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1,334．过点)3,2(A 且垂直于直线052=-+y x 的直线方程为( )A ．042=+-y xB ．072=-+y xC ．032=+-y xD ．052=+-y x5．若圆222(0)x y r r +=>上恰有相异两点到直线43250x y -+=的距离等于1，则r 的取值范围是( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．(4,6]D ．[4,6)6．如图，设点)0,1(C ，长为2的线段AB 在y 轴上滑动，则直线AC AB 、所成的最大夹角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．点),(y x P 在直线034=+y x 上，且满足714≤-≤-y x ，则点P 到坐标原点距离的取值范围是( )A ． [0，5]B ． [0，10]C ． [5，10]D ． [5，15]8．已知点)1,0(-P ，点Q 在直线01=+-y x 上，若直线PQ 垂直于直线052=-+y x ，则点Q 的坐标是( )A ．（－2，1）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（－2，－1）9．过直线x y =上一点P 引圆07622=+-+x y x 的切线，则切线长的最小值为( )A ．22B ．223 C ．210 D ．210．设直线 0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则b a ,满足( )A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．已知点),(b a P 与点Q （1，0）在直线0132=+-y x 的两侧，则下列说法（1）0132>+-b a （2）0≠a 时，ab有最小值，无最大值（3）存在某一个正实数m ，使得m b a >+22恒成立（4）且0>a 1≠a ,时0>b , 则1-a b 的取值范围为（-),32()31,∞+⋃-∞ 其中正确的是 (把你认为所有正确的命题的序号都填上）12．平面上，一个区域内两点间距离的最大值称为此区域的直径，曲线1422=++x y y 围成的平面区域的直径为。

高二数学空间向量与立体几何单元测试卷三

高二数学《空间向量与立体几何》单元测试卷三姓名：_________班级：________ 得分：________ 一、选择题（每小题5分，共60分）1、在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32、在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、是（）（A ）有相同起点的向量（B ）等长向量（C ）共面向量（D ）不共面向量3、若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分又不必要条件4、已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角,〈〉a b 为（）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）以上都不对5、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ，则1A B = （）（A ）+-a b c （B ）-+a b c （C ）-++a b c （D ）-+-a b c6、已知向量(0,2,1)=a ，(1,1,2)=--b ，则a 与b 的夹角为（）（A ）0° （B ）45° （C ）90° （D ）180°7、已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（）（A ）627 （B ）637 （C ）647 （D ）6578、已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）59、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则△BCD 是（）（A ）钝角三角形（B ）直角三角形（C ）锐角三角形（D ）不确定10、已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）（A ）131(,,)243 （B ）123(,,)234 （C ）448(,,)333 （D ）447(,,)33311．已知a = ( 2, –1, 2 ), b = (2, 2 , 1 ), 则以a , b 为邻边的平行四边形的面积是 ( ) (A)65. (B)265. (C) 4 . (D) 8.12.已知a =(3，－2，－3)，b =（－1，x －1，1），且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（） A ．（－2，+∞） B ．（－2，53）∪（53，+∞） C ．（－∞，-2）D ．（53，+∞）FE D 1C 1B 1A 1DCBAy二、填空题（每小题4分，共16分）13、若A(m ＋1,n －1,3)，B(2m,n,m －2n)，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m+n= ． 14、在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线， G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝．15、设|m |＝1，|n |＝2，2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，b ＝7m ＋2n ，则,〈〉a b ＝．16、已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,〈〉d b ＝．三、解答题（共74分）17、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1和 BB 1的中点．（1）证明：AEC 1F 是平行四边形；（2）求AE 和AF 之间的夹角；（3）求四边形AEC 1F 的面积． 18、在棱长为1正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，试求CE 与平面BCD 所成的角．19、ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°， SA ⊥平面ABCD ， SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12．（1）求SC 与平面ASD 所成的角余弦；（2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦．20．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°．侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ．（1）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小．（2）求A 1到平面ABD 的距离．21.在棱长为1的正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝CD/4，H 为C 1G 的中点，⑴求证：EF ⊥B 1C ；⑵求EF 与C 1G 所成角的余弦值； ⑶求FH 的长。

全国100所名校单元测试示范卷高二(空间向量与立体几何)第一次综合测试(数学)+答案解析(附后)

全国100所名校单元测试示范卷高二(空间向量与立体几何)第一次综合测试(数学)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线l ：的倾斜角为A.B.C.D.2.若不重合的直线，的方向向量分别为，，则与的位置关系是( )A. B. C.，相交不垂直D. 不能确定3.若直线与圆O ：交于A ，B 两点，则A.B. 2C.D. 44.在正四棱锥中，已知，，，则A.B.C.D.5.与直线l ：关于y 轴对称的直线的方程为A.B.C.D.6.如图所示，在三棱柱中，底面ABC ，，，点E ，F分别是棱AB ，的中点，则EF 与所成角的大小为A. B. C. D. 7.已知四边形ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，，，二面角的大小为，则点A 到平面PBD 的距离是A. B.C.D. 18.已知点是直线l ：上的动点，过点P 作圆C ：的切线PA ，A为切点，的最小值为2，圆M ：与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为A. B. C. 4 D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知直线：，直线：，则A. 直线可以与x轴平行B. 直线可以与y轴平行C. 当时，D. 当时，10.以下命题正确的是A. 两个不同平面，的法向量分别为，，则B. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则C. 已知，，若与垂直，则实数D. 已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面11.如图，平面ABCD，，，，，，，则A. B. 平面ADEC. 平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为12.已知圆：，圆：，则.( )A. 若圆与圆无公共点，则B. 当时，两圆公共弦所在直线方程为C. 当时，P、Q分别是圆与圆上的点，则的取值范围为D. 当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

空间向量与立体几何单元测试-2022-2023学年高二上学期数学

空间向量与立体几何测试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋BC →＋CC 1—→－D 1C 1—→等于( )A.AD 1—→B.AC 1—→C.AD →D.AB →2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则能使l ∥α的是( )A ．a ＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1)C ．a ＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1)D ．a ＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1)3．（2022·江苏如东·高三期末）已知三棱锥P －ABC 的外接球半径为4，底面ABC 中，AC ＝6，∠ABC ＝60°，则三棱锥P －ABC 体积的最大值是（）A ．183B ．543C ．24πD 16324+ 4．（2022·江苏无锡·高三期末）正方体1111ABCD A B C D -中，M 是正方形ABCD 的中心，则直线1B M 与平面11A C B 所成角的正弦值为（）A ．13B 3C 6D 22 5．（2022·江苏苏州·6的母线长为（）A ．22B ．3C ．26D ．426．（2022·广东罗湖·高三期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形ABCD 的中点，P 为1AA 的中点，则直线PO 与1AD 所成的角为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π7．（2022·广东揭阳·高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O ，则圆柱的表面积与球O 的表面积之比为（）A ．3:4B ．1:2C ．32D ．不能确定7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）A 3λB 2C 2λD 5 8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高二第三章空间向量单元测试

选修2-1第三章空间向量与立体几何检测题一．选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量00b a、是与非零向量b a 、同方向的单位向量，则下列各式中正确的是（）A 、00b a =B 、00b a =或00b a -=C 、10=aD 、||||00b a=2.在空间直角坐标系中，已知点p (x,y,z )，那么下列说法正确．．的是（） A ．点p 关于x 轴对称的坐标是(),,x y z - B ．点p 关于yoz 平面对称的坐标是(),,x y z -- C ．点p 关于y 轴对称点的坐标是(),,x y z - D ．点p 关于原点对称点的坐标是(),,x y z --- 3．已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°4．三棱柱111C B A ABC -中，M 、N 分别是1BB 、AC 的中点，设=，=，=1，则等于（）A ．)(21++ B ．)(21-+ C ．)(21+ D ．)(21-+5．在空间直角坐标系中，),3,1,4(),4,0,3(),5,0,1(),3,2,1(D C B A -则直线CD AB 与的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定6．已知正方体ABCD －A`B`C`D`，E 是底面A`B`C`D`的中心，c z b y a x c b AA a++====312121，则（）A 、2312===z y x ，，B 、21211===z y x ，，C 、12121===z y x ，，D 、322121===z y x ，，7．下面可以作为空间向量的一组基底是（）A ．)5,2,4(),2,0,3(),3,2,1(===B ．)2,1,0(),4,2,0(),1,2,1(-=-=-=C ．)1,1,0(),1,0,1(),0,1,1(-===c b aD ．)5,2,4(),6,4,2(),3,2,1(===c b a 8．在下列命题中：①若共线，则所在的直线平行；②若所在的直线是异面直线，则一定不共面；③若三向量两两共面，则三向量一定也共面；④已知三向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为z y x ++=．其中正确命题的个数为（）A ． 0B ．1C ． 2D ．39．在平行六面体ABCD －A`B`C`D`中，AB ＝1，AD ＝2，AA`＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA`＝∠DAA`＝60°，则AC`的长为（）A 、13B 、23C 、33D 、4310．已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平面EFG 的距离为（） A ．1010 B ． 11112 C ． 53 D ． 1二．填空题：（3×6＝21分）11．已知点M C B A ),10,3,4(),5,6,2(),7,3,5(是AB 的中点，则=MC12．若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+则同方向的单位向量是_________________.13．已知,是空间二向量，若与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 14．=(x ,2,1), =(-3,x 2,-5),且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为。

新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么yx的最大值是（）A ．23B C ．3D 2．直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，那么点(),a b 与圆22+1x y =的位置关系是（） A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定3．若圆222(3)(5)x y r -+-=上有且只有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（） A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(,4)-∞D ．(6,)+∞4．若圆22:60,(0,0)M x y ax by ab a b +++--=>>平分圆22:4240N x y x y +--+=的周长，则2a b +的最小值为（）A ．8B ．9C ．16D ．205．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝06．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（） A ．1 B ．2CD ．7．已知圆C ：()()22232++-=x y ，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（）A ．2-B ．12-C ．4-D ．14- 8．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（）A ．(4][4)-∞-⋃+∞，， B ．(22)-， C ．3[8]2-，D ．(4)+∞，9．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（） A ．226160x y y ++-= B ．226160x y y +--= C ．22890x y y ++-=D ．22890x y y +--=10．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上，则m c += . A ．1B ．2C ．3D ．411．过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-= 12．若圆x 2+y 2+ax -by =0的圆心在第二象限，则直线x +ay -b =0一定不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______．14．已知两条平行直线1:3460l x y -+=与2:340l x y c -+=间的距离为3，则c 的值为______.15．已知圆C 的方程是2220x y y +-=，圆心为点C ，直线:20λλ+-=l x y 与圆C 交于A 、B 两点，当ABC 面积最大时，λ=______．16．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______. 17．将直线:10l x y +-=，20l nx y n +-=:，3:0l x ny n +-=（n *∈N ，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则n n lim S →∞=___________．18．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.19．直线:20180l x y +-=的倾斜角为__________；20．过点()5,0P -作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为M ，已知点()3,11N ，则MN 的取值范围是______. 三、解答题21．已知直线l 经过点(2,5)P -，l 的一个方向向量为(4,3)d =-. （1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程. 22．已知圆C 经过点()0,1A ，()2,1B ，()3,4M ．（1）求圆C 的方程；（2）设点P 为直线l ：210x y --=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为E ，F ．若60EPF ∠=︒，求点P 的坐标．23．如图，圆22():21M x y -+=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为,A B .（1）若1t =，求两条切线所在的直线方程；（2）求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标.24．已知直线l ：x ＋2y －4＝0，圆C 的圆心在x 轴的负半轴上，半径为2，且圆心C 到直线l 的距离为65. （1）求圆C 的方程；（2）由直线l 上一点Q 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，若直线MN 的斜率为1，求点Q 的坐标.25．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点. （1）化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；（2）是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；（3）当直线l 平行移动时，求CAB △面积的最大值. 26．如图，已知ABC 的边AB 所在直线的方程为360x y --=，()2,0M 满足BM MC =，点()1,1T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程；（2）求ABC 外接圆的方程；（3）求过()2,0N -的ABC 外接圆的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将yx看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果. 【详解】22640x y x +-+=，即()2235x y -+=，圆心为()3,0，半径为5，yx的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即yx最大，令此时直线的倾斜角为α，则5tan α=，y x 5，故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将yx看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.2．A解析：A 【分析】直线1ax by +=与圆221x y +=||221a b<+，即为221a b +>，由此可得点与圆的位置关系．【详解】因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，1<，1>，因为点(,)b a 与221x y += 圆224x y +=的半径为1，所以点P 在圆外. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来.3．D解析：D 【分析】首先求圆心到直线的距离d ，再根据条件，列式1d +和半径r 比较大小，求r 的取值范围. 【详解】圆心()3,5到直线432x y +=的距离5d ==，若圆上有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则51r >+，即6r >. 故选：D 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，与直线432x y +=距离为1的两条直线与圆有4个交点，根据点到直线的距离，建立不等式求解.4．A解析：A 【分析】由两圆的相交弦是圆N 的直径得出,a b 的关系，然后由基本不等式求得最小值．【详解】两圆方程相减得，(4)(2)100a x b y ab +++--=，此为相交弦所在直线方程，圆N 的标准方程是22(2)(1)1x y -+-=，圆心为(2,1)N ， ∴2(4)2100a b ab +++--=，121a b+=， ∵0,0a b >>，∴1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =即2,4a b ==时等号成立．故选：A ．本题考查圆的方程，考查基本不等式求最值．圆的性质：（1）圆的直径平分圆；（2）相交两圆方程相减所得一次方程是两圆公共弦所在直线方程．5．D解析：D 【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小，此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC 的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.6．C解析：C 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ．【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.7．C【分析】根据光路可逆，易知圆心()2,3C -关于直线1y x =+的对称点M ，在入射光线上，由此可求得结果. 【详解】圆C ：()()22232++-=x y ，圆心为()2,3C -，由已知，反射光线经过()2,3C -，故C 点关于直线1y x =+的对称点M 在入射光线上．设(),M a b ，则31232122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，即()2,1M -，且光源()1,3P ，所以入射光线的斜率13421k --==--，故选：C. 【点睛】关键点点睛：（1）由光线恰好平分圆C 的周长，得出所在直线经过圆心；（2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线.8．C解析：C 【分析】根据题意得直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，进而得直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，再根据32m k m +=--，解不等式即可得答案. 【详解】直线l 方程变形得：(1)(322)0x y m x y +-+--=. 由103220x y x y +-=⎧⎨--=⎩得4515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，11354725ACk +==+，121154625BC k +==--，由图可知直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，又32m k m +=--， ∴11263m m ≤--+-或3273m m -≥+-，即28m <≤或322m -≤<，又2m =时直线的方程为45x =，仍与线段AB 相交， ∴m 的取值范围为382⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程(1)(322)0x y m x y +-+--=得直线l 恒过点4155C ⎛⎫⎪⎝⎭，.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题. 9．A解析：A 【分析】求出点A 、B 的坐标，设圆心坐标为()0,b ，由AC BC =可求出圆心C 的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C 的方程. 【详解】易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，设圆心C 的坐标为()0,b ，由AC BC =2242b b +=-，解得3b =-，所以，圆C 的半径为325BC =--=，因此，圆C 的方程为()22325x y ++=，即为226160x y y ++-=.故选：A. 【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．10．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c += 本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.11．A解析：A 【分析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程．【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24x y -+-=，因为过点()3,1圆()2211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，所以，AB 是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=，故选：A ．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．C解析：C【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果. 【详解】因为圆22+0x y ax by +-=的圆心坐标为,22a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由圆心在第二象限可得0,0a b >>，所以直线0x ay b +-=的斜率10a -<，y 轴上的截距为0b a>，所以直线不过第三象限. 故选：C二、填空题13．【分析】由题意可知直线的斜率存在且不为零可设直线的方程为求出点的坐标结合已知条件可求得的取值范围并求出的面积关于的表达式利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值由此可求得直线的方程【详解】由题意解析：480x y +-=【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，求出点A 、B 的坐标，结合已知条件可求得k 的取值范围，并求出AOB 的面积关于k 的表达式，利用基本不等式可求得AOB 面积的最小值及其对应的k 值，由此可求得直线l 的方程.【详解】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-. 在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41k x k-=. 即点41,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得410140k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <， AOB 的面积为()1411111481688222AOBk S k k k k ⎛-⎛⎫=⨯⨯-=--≥+= ⎪ ⎝⎭⎝△，当且仅当()1160k k k-=-<时，即当14k =-时，等号成立，所以，直线l 的方程为()1144y x -=--，即480x y +-=.故答案为：480x y +-=. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）将三角形的面积利用k 加以表示；（2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解.14．或【分析】根据两平行线间的距离公式得到即可求解【详解】由题意两条平行直线与间的距离为3根据两平行线间的距离公式可得解得或即的值为或故答案为：或【点睛】两平行线间的距离的求法：利用转化法将两条平行线间解析：9-或21. 【分析】3=，即可求解.【详解】由题意，两条平行直线1:3460l x y -+=与2:340l x y c -+=间的距离为3，根据两平行线间的距离公式，可得3d ==，解得21c =或9c =-，即c 的值为9-或21. 故答案为：9-或21. 【点睛】两平行线间的距离的求法：利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式求解.15．或【分析】由三角形面积公式知当面积最大时即为等腰直角三角形再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案【详解】圆C 的方程即圆心半径由面积公式知当时面积最大即为等腰直角三角形此时圆心C 到直线的距离为则解析：1λ=或17λ=. 【分析】由三角形面积公式in 12s S ab C =知，当ABC 面积最大时，90ACB ∠=，即ABC 为等腰直角三角形，再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案. 【详解】圆C 的方程即22(1)1x y +=-，圆心(0,1)C ，半径1R =，由面积公式21sin 2ABCSR ACB =∠知，当90ACB ∠=时面积最大，即ABC 为等腰直角三角形，此时圆心C 到直线:20λλ+-=l x y 的距离为21d λ=+，则2|12|2211d λλ-==+，解得1λ=或17λ=，故答案为：1λ=或17λ=. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系及求三角形面积最大值的问题.16．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直解析：)1,2⎡⎣【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】曲线2x 1y =--有即221x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =；当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12=，求得2b =，或2b =-（舍去），故要求的实数b 的范围为12b <，故答案为：)1,2⎡⎣【点睛】易错点睛：本题在把方程2x 1y =--化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.17．【分析】求出三条直线的交点坐标从而可求得三角形的面积再求极限即可【详解】由得即同理可得到直线的距离为∴∴故答案为：【点睛】本题考查数列的极限解题关键是求出三角形的面积解析：1 2【分析】求出三条直线的交点坐标，从而可求得三角形的面积n S，再求极限即可。

高二数学圆试题答案及解析

高二数学圆试题答案及解析1.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，圆的圆心（-1,1）半径为，那么由于直线和圆相离，则可知最小的圆的圆心为（1，-1），而且半径为，那么可知圆的方程为，选C。

【考点】直线与圆点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。

2.如图，设线段的长度为1，端点在边长为2的正方形的四边上滑动．当沿着正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹为，若围成的面积为，则．【答案】【解析】根据题意，建立直角坐标系A(0，0)，E(x,0),F（0，y），则可知点G（0.5x,0.5y）,由于EF=1,则可知，则可知，故可知点G的轨迹为圆，那么其面积为，故答案为。

【考点】轨迹方程的求解点评：主要是考查了轨迹方程的秋季，属于基础题。

3.直线与圆交于两点，则（是原点）的面积为A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于直线与圆交于两点，那么圆心（2，-3），半径为3，那么圆心到直线的距离为，根据半径为3，那么勾股定理可知弦长为，那么原点到直线的距离为的面积为，故答案为D.【考点】直线与圆的位置关系点评：解决的关键是根据圆内的性质来得到弦长和半径以及弦心距的勾股定理来求解，属于基础题。

4.双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上任一点，已知｜｜·｜｜的最小值为m．当≤m≤时，其中c＝，则双曲线的离心率e的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上任一点，则根据焦半径的定义得到｜｜·｜｜=，根据≤m≤，可知双曲线的离心率e的取值范围是，选D.【考点】双曲线的性质点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意焦半径公式的合理运用．5.(12分)已知圆C1：与圆C2：相交于A、B两点。

⑴求公共弦AB的长；⑵求圆心在直线上，且过A、B两点的圆的方程；⑶求经过A、B两点且面积最小的圆的方程。

高二数学直线和圆单元测试课标试题

实验高中高二数学直线和圆单元测试本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分． 1．直线30x +=的倾斜角是A ．6π B ．56πC ．3π D ．23π 2．假设A ( x 1，y 1 )，B ( x 2，y 2 ) 在直线y kx b =+上，那么用x 1，x 2，k 表示 | AB | 应为A．12|x x -B．12|x x + CD ．12|x x -3．两条直线220x y +-=和x = 1的夹角的正弦值是ABC ．12D 4．方程 ||||1x y -= 的图象是5．假设直线1ax by +=与圆C ：221x y +=相交，那么点(,)P a b 的位置是A ．在圆C 外B ．在圆C 内C ．在圆C 上D ．以上都可能D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部和边界组成。

假设在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目的函数z ＝x ＋my 获得最小值，那么m =A ．－2B ．－1C ．1D ．4 7.两圆相交于两点〔1，3〕和〔m ，1〕，两圆的圆心在直线02cx y -+=上，那么m +c 的值是 A ． -1B ．0C ．2D ．3(){,|P x y y =，(){,|}Q x y y x m ==-+，假设P ∩Q ≠∅，那么实数m 的取值范围是A．[-B ．[-2，2]C ．[2]D ．[-DBA⒐两点M 〔2，－3〕，N 〔－3，－2〕，直线L 过点P 〔1，1〕且与线段MN 相交，那么直线L 的斜率k 的取值范围是 A ．－43≤k ≤4 B ．－4≤k ≤43 C ．43≤k ≤4 D ．k ≥43或者k ≤－4 ⒑圆O 的方程为x 2＋y 2＝r 2，点P 〔a ，b 〕〔ab ≠0〕是圆O 内一点，以P 为中点的弦所在的直线为m ，直线n 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么A ．m ∥n ，且n 与圆O 相交B ．m ∥n ，且n 与圆O 相离C ．m 与n 重合，且n 与圆O 相离D ．m ⊥n ，且n 与圆O 相离二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分．把答案填在题中横线上．11.曲线f 〔x ，y 〕＝0关于直线x －y －2＝0对称的曲线方程是_________________________．P 〔-2，3〕且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__________________________．13.210p q +-=，那么直线30px y q -+=恒过定点A ___________． 14. 设MN 的起点在曲线C 1：022222=+-++a ay x y x 上，终点在曲线C 2：0526222=+++-+b by x y x 上，那么当实数a 、b 变化时，MN 的取值范围是_______________x 2+y 2=r 2(r >0)上恰有相异的两点到直线4x －3y +25=0的间隔等于1，那么r 的取值范围是．三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分．16.(12分) 求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程．〔12分〕17.(13分) 一个圆截y 轴所得的弦为2，被x 轴分成的两段弧长的比为3∶１．〔1〕设圆心为〔a ，b 〕，务实数a，b满足的关系式；〔2〕当圆心到直线l：x－2y＝0的间隔最小时，求圆的方程．⒙(12分)圆C的圆心在直线30=得弦长为，-=上，且圆C与y轴相切，假设圆C截直线y xx y求圆C的方程．19.(12分)直线l：x＋y－2＝0，一束光线从点P〔0，1＋3〕以120︒的倾斜角射到直线l上反射，求反射光线所在的直线方程．20.(13分)某商厦方案同时出售新款空调和洗衣机．由于这两种产品的场需求量大，供不应求，因此该商厦要根据实际情况〔消费本钱、运输费等〕确定产品的月供给量，以使得总利润到达最大．通过调查，得到经销这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定这两种产品的月供给量，才能使总利润到达最大，且最大利润是多少？21.(14分) 圆 224230x y x y +-+-= 和圆外一点M ( 4，- 8 )． (Ⅰ) 过M 作圆的切线，切点为C 、D ，求切线长及CD 所在直线的方程； (Ⅱ) 过M 作圆的割线交圆于A ，B 两点，假设| AB | = 4，求直线AB 的方程．[参考答案]一、1、B 2、A 3、B 4、A 5、A 6、C 7、D 8、C 9、D 10、B 二、11、f 〔y ＋2，x －2〕＝0 12、10320x y x y +-=+=或 13、11,26⎛⎫⎪⎝⎭14、[1,)+∞ 15、(4，6) 三、16、[解析]：由题意知：过A 〔2，－1〕且与直线：x +y=1垂直的直线方程为：y=x －3,∵圆心在直线：y=－2x上， ∴由 23y x y x =-⎧⎨=-⎩⇒ 12x y =⎧⎨=-⎩即)2,1(1-o ，且半径2)21()12(221=+-+-==AO r ，∴所求圆的方程为：2)2()1(22=++-y x ．17、⑴设圆心P 〔a ，b 〕，半径为r ，那么 |b |＝r2，2b 2＝r 2．又|a |2＋1＝r 2，所以a 2＋1＝r 2，所以2b 2＝a 2＋1； (2)点P 到直线x －2y ＝0的间隔 d ＝|a －2b |5，5d 2＝a 2－4ab ＋4b 2≥a 2＋4b 2－2〔a 2＋b 2〕＝2b 2－a 2＝1．所以⎩⎨⎧ a ＝b ， 2b 2＝a 2＋1，所以⎩⎨⎧ a ＝1， b ＝1，或者⎩⎨⎧ a ＝－1， b ＝－1．所以〔x －1〕2＋〔y －1〕2＝2或者〔x ＋1〕2＋〔y ＋1〕2＝2．18、解：设圆方程为()()222x a y b r -+-=，那么2230a b r a r ⎧⎪-=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⇒ 313a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或者313a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所求圆方程为()()22319x y -+-=或者()()22319x y +++=。

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高二数学单元测试——向量、直线和圆
学号_____________ 姓名_____________ 得分_____________
一．填空题（本大题共7题，每题6分，共42分）
1. 已知()3,2a =-，()4,3b =--，()5,2c =-，23m a b c =-+，则m 的单位向量0m =_________.
2. 直线()200x ay a -+=<的倾斜角是 .
3. 已知直线的倾斜角α满足
334ππα≤≤，则直线的斜率k 的取值范围是_________. 4. 过点31,
3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭且与直线30x y -=的夹角为3π的直线的方程为__________. 5. 以()1,2C -为圆心，且和直线:2350l x y --=相切的圆的方程为 .
6. 圆22210y x x +--=关于直线230x y -+=对称的圆的方程为________.
7. 若关于x 的方程234x b x x +=--有解，则实数b 的取值范围是 .
二．解答题（本大题共4题，共58分）
8. 已知直线l 与直线43180x y -+=垂直，且它被圆22:24200C x y x y +-+-=所截得的线段的
长为8，求直线l 的方程.
9. 在坐标平面内，给定向量()1,2b =，对任意非零向量a ，其关于b 变换的向量为
()()T a a a b b ⋅-⋅=，
（1）若()1,1a =-，求()T a ；（2）若()
()1,1T a =-，求a .
10. 过圆22:16O x y +=外一点()2,6M -作直线交圆O 于A 、B 两点，求弦AB 的中点C 的轨迹方
程.
11. 已知方程()()2224232141069x y m x m y m +-++-+=+表示一个圆，
（1）求实数m 的取值范围；
（2）求该圆半径的取值范围；
（3）求圆心的轨迹方程.
1. 已知()3,2a =-，()4,3b =--，()5,2c =-，23m a b c =-+，则m 的单位向量
0m =_________.22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
2. 直线()200x ay a -+=<的倾斜角是 . 1arctan a
π+ 3. 已知直线的倾斜角α满足334
π
πα≤≤，则直线的斜率k 的取值范围是_________. (]),13,⎡-∞-⋃+∞⎣
4. 过点31,
3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
且与直线30x y -=的夹角为3π的直线的方程为__________. 1,33230x x y =+-=
5. 以()1,2C -为圆心，且和直线:2350l x y --=相切的圆的方程为 .
()()221213x y ++-=
6. 圆22210y x x +--=关于直线230x y -+=对称的圆的方程为________. ()()22322x y ++-=
7. 若关于x 的方程234x b x x +=--有解，则实数b 的取值范围是 .122,3⎡⎤-⎣⎦
8. 已知直线l 与直线43180x y -+=垂直，且它被圆22:24200C x y x y +-+-=所截得的线段的
长为8，求直线l 的方程. :34200l x y ++=或34100x y +-=
9. 在坐标平面内，给定向量()1,2b =，对任意非零向量a ，其关于b 变换的向量为()()
T a a a b b ⋅-⋅=，（1）若()1,1a =-，求()T a ；()2,1 （2）若()
()1,1T a =-，求a . 51,42⎛⎫- ⎪⎝⎭ 10. 过圆22:16O x y +=外一点()2,6M -作直线交圆O 于A 、B 两点，求弦AB 的中点C 的轨迹方
程.
11. 已知方程()()2224232141069x y m x m y m +-++-+=+表示一个圆，
（1）求实数m 的取值范围；117
m -<< （2）求该圆半径的取值范围；23164770,777r m ⎛⎤⎫⎛=--+∈ ⎥ ⎪⎝
⎭⎝⎦ （3）求圆心的轨迹方程. ()22043147y x x ⎫⎛=--<< ⎪⎝⎭。