高二数学选修2-2第一章单元测试题
高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc
数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2， 令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又 由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝ ， 4＝ － ，所以 ＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝ ，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
高二理科数学选修2-2测试题及答案(最新整理)
1
B. sin1+cos1
3
1
C. sin1-cos1
3
D.sin1+cos1
3、设 a R ，函数 f x ex aex 的导函数为 f ' x ，且 f ' x 是奇函数，则 a 为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．-1
4、定积分
1
(2
x
e
x
)dx
的值为（
）
0
A． 2 e
B． e
C． e
2
3
3 27
为极大值，而 f (2) 2 c ，则 f (2) 2 c 为最大值，要使 f (x) c2 , x [1, 2]
恒成立，则只需要 c2 f (2) 2 c ，得 c 1,或c 2 …………12 分
21 解：（1） f (x) 6x2 6x, f (2) 12, f (2) 7, ………………………2 分
x
h x hx
0, x2
—
A
x2
0 极小值
x2,
＋
A
1
依题意，
1 8a2 1，即 a2 3 ，
4
∵ a 0 ，∴ a 3 ．
（2）解：对任意的 x1, x2 1，e 都有 f x1 ≥ g x2 成立等价于对任意的 x1, x2 1，e 都
有 f xmin ≥ g xmax ． 当 x ［1， e ］时， g x 1 1 0 ．
）
A．f（0）＋f（2） 2 f（1）
B．f（0）＋f（2） 2 f（1）
C．f（0）＋f（2）> 2 f（1）
D．f（0）＋f（2） 2 f（12）
0
数学选修2-2第一章导数及其应用
数学选修2-2第一章导数及其应用1．一质点的运动方程是253s t =-，则在一段时间[11]t +∆，内相应的平均速度为（ ） Ａ．3()6t ∆+ Ｂ．3()6t -∆+ Ｃ．3()6t ∆- Ｄ．3()6t -∆-2．下列说法正确的是（ ）Ａ．函数的极大值就是最大值 Ｂ．函数的极小值就是函数的最小值 Ｃ．函数的最值一定是极值 Ｄ．闭区间上的连续函数一定存在最值3．抛物线214y x =在点(21)Q ，处的切线方程（ ） Ａ．10x y -++= Ｂ．30x y +-= Ｃ．10x y -+= Ｄ．10x y +-=4．设21()(1)f x x =-，则(0)f '等于（ ） Ａ．2-Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．25．0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 (D ）非充分非必要条件6．曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4)7．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -168．已知201()212x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，， ≤≤ ≤则20()f x dx =⎰（ ）Ａ．56 Ｂ．76 Ｃ．43 Ｄ．53 9．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）10．设313y x ax c =-+在()-+，∞∞上单调递增，则（ ） Ａ．0a <且0c = Ｂ．0a >且c 是任意实数 Ｃ．0a <且c 是任意实数 Ｄ．0a <且0c ≠11．从边长为10cm 16cm ⨯的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为（ ） Ａ．312cmＢ．372cmＣ．3144cmＤ．3160cm12．如图，由曲线32y x x =-与2y x =所围图形的面积为（ ） Ａ．512Ｂ．3712Ｃ．94 Ｄ．8313．若对于任意x ，有3()4(1)1f x x f '==-，，则此函数解析式为 ． 14.函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为__________________； 15.函数()323922y x x x x =---<<有极大值 ，极小值 ；16.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于 ；17、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 18.设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ； 19．计算下列定积分。
新课标高二数学选修2-2第一章测试题
新课标高二数学选修2-2第一章测试题高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题时间：120分钟，分值：150分说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷（选择题，共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上）1.设 $y=\frac{1-x^2}{\sin x}$，则 $y'=$（）。
A。
$-\frac{2x\sin x+(1-x^2)\cos x}{\sin^2x}$B。
$-\frac{2x\sin x-(1-x^2)\cos x}{\sin^2x}$C。
$-\frac{2x\sin x+(1-x^2)\cos x}{\sin x}$D。
$-\frac{2x\sin x-(1-x^2)\cos x}{\sin x}$2.设 $f(x)=\ln(x^2+1)$，则 $f'(2)=$（）。
A。
$\frac{4}{13}$B。
$\frac{2}{5}$C。
$\frac{1}{2}$D。
$\frac{1}{5}$3.函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的两个可导函数，若 $f'(x)=g'(x)$，则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足（）。
A。
$f(x)=g(x)$B。
$f(x)-g(x)$ 为常数函数C。
$f(x)=g(x)=0$D。
$f(x)+g(x)$ 为常数函数4.函数 $y=x-3x^3$ 在 $[-1,2]$ 上的最小值为（）。
A。
2B。
$-2$C。
3D。
$-4$5.曲线 $y=x^3$ 在点 $(2,8)$ 处的切线方程为（）。
A。
$y=6x-4$B。
$y=12x-16$XXXD。
$y=2x-4$6.已知函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 的图象与 $x$ 轴有三个不同交点 $(x_1,0)$，$(x_2,0)$，$(x_3,0)$，且 $f(x)$ 在$x=1$，$x=2$ 时取得极值，则 $x_1\cdot x_2$ 的值为（）。
高中数学选修2-2分章节测试卷(含答案)
第一章 综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．函数y ＝sin(π4－x )的导数为( )A ．－cos(π4＋x )B ．cos(π4－x )C ．－sin(π4－x )D ．－sin(x ＋π4)2．(2009·广东三校联考)函数f (x )＝a ln x ＋x 在x ＝1处取得极值，则a 的值为( ) A.12B ．－1C ．0D ．－123．如果f (x )为定义在R 上的偶函数，且导数f ′(x )存在，则f ′(0)的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．－14．(2009·全国卷Ⅰ)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－25．已知f (x )＝(x －1)2＋2，g (x )＝x 2－1，则f [g (x )]( ) A ．在(－2,0)上递增 B ．在(0,2)上递增 C ．在(－2，0)上递增 D ．在(0，2)上递增6．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．2≤m ≤47．(2009·江西高考)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或78．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 9．由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成图形的面积可表示为( ) A.⎠⎛0π(sin x －cos x )dxC.⎠⎛0π(cos x －sin x )dx10．已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx ，则f (a )的最大值为( )A ．－12B.19C.29D ．不存在11．(2009·青岛模拟)如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，由曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π412．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a ) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.⎠⎛02(2x －e x )dx ＝________.14．(2009·海淀区模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的导函数y＝f ′(x )的部分图象如右图所示，且导函数f ′(x )有最小值－2，则ω＝________，φ＝________.15．若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是________． 16．物体A 以速度v ＝3t 2＋1在一直线上运动，在此直线上物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，当t ＝________ s 时，两物体相遇，相遇时物体A 走过________m.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2009·浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．18．(本小题满分12分)已知F(x)＝⎠⎛x－1t(t－4)dt，x∈(0，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．19．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．20．(本小题满分12分)求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根？(其中a>0)21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1，在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0<x1<1<x2<2.(1)证明a>0；(2)求z＝a＋2b的取值范围．22．(本小题满分12分)(2009·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)＝12x2－a ln x(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1时，12x2＋ln x<23x3.第二章 综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．所有自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段推理( ) A ．正确 B ．推理形式不正确 C ．两个“自然数”概念不一致 D ．两个“整数”概念不一致 2．若a >0，b >0，则有( )A.b 2a >2b －aB.b 2a <2b －aC.b 2a ≥2b －a D.b 2a≤2b －a 3．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则( )A ．S (n )共有n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13B ．S (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14C ．S (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋144．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有：①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中为真命题的是( )A ．③⑤B ．①②C ．④⑥D ．③④5．若x ，y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14B ．15C ．16D ．176．设f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )A ．0B ．1 C.52D ．57．若O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心8．如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A 到H 有几条不同的旅游路线可走( )A ．15B ．16C ．17D ．189．对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)定义它们之间的一种“距离”：||AB ||＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则||AC ||＋||CB ||＝||AB ||； ②在△ABC 中，若∠C ＝90°，则||AC ||2＋||CB ||2＝||AB ||2； ③在△ABC 中，||AC ||＋||CB ||>||AB ||. 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．310．已知a ，b ，c ，d 是正实数，P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d c ＋d ＋b ，则有( )A ．0<P <1B ．1<P <2C ．2<P <3D ．3<P <411．一个等差数列{a n }，其中a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (1≤n ≤19)．一个等比数列{b n }，其中b 15＝1.类比等差数列{a n }有下列结论，正确的是( )A ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)B ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－nC ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)D ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n 12．观察数表1 2 3 4 …第一行 2 3 4 5 …第二行 3 4 5 6 …第三行 4 5 6 7 …第四行 … … … …第一列 第二列 第三列 第四列根据数表中所反映的规律，第n 行与第n 列的交叉点上的数应该是( ) A ．2n －1 B ．2n ＋1 C ．n 2－1D ．n 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若三角形内切圆的半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V ＝________.14．若符号“*”表示求实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是________．15．把数列{2n ＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环下去，如：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，…，则第104个括号内各数字之和为________．16．已知n 次多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －2x 2＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k 0(k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1(k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)证明对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2.18．(本小题满分12分)(2009·江苏高考)如右图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．(本小题满分12分)求证：y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b (a ，b ，c 是互不相等的实数)这三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．(本小题满分12分)已知函数f(n)(n∈N*)，满足条件：①f(2)＝2，②f(xy)＝f(x)·f(y)，③f(n)∈N*，④当x>y时，有f(x)>f(y)．(1)求f(1)，f(3)的值；(2)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式；(3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性．21．(本小题满分12分)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…a30是公差为d2的等差数列(d≠0)．(1)若a20＝40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？22．(本小题满分12分)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数f(x)＝x2＋abx－c(b，c∈N)有且只有两个不动点0,2，且f(－2)<－12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知各项均不为零的数列{a n}满足4S n·f(1a n)＝1，求数列的通项a n；(3)如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证当n≥2时，恒有a n<3成立．第三章 综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．一个实数x 与一个虚数y 的和x ＋y 必为( )A ．实数B ．虚数C ．可能实数也可能是虚数D ．纯虚数 2．复数4＋3i1＋2i 的实部是( )A ．－2B ．2C ．3D ．43．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的对应点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．65．若3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个根，则q 的值是( ) A ．26B ．13C ．6D ．56．已知z 1＝2－5i ，z 2＝－3＋i ，z 1，z 2的对应点分别为P 1，P 2，则向量P 2P 1→对应的复数为( ) A ．－5＋6iB ．5－6iC ．5＋6iD ．－1－4i7．已知m1＋i ＝1＋n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 的值为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i8．复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．正方形C ．圆D ．椭圆9．“复数z ＝12＋32i ”是“z ＋1z ∈R ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10．复数－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008的虚部为( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i11．设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i )n(n ∈N *)，则集合{x |x ＝f (n )}中的元素有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个12．若复数z ，a ，x 满足x ＝a －z 1－a z，且|z |＝1，则|x |等于( )A ．0B ．1C ．|a |D.12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝________. 14．复数z 满足|z ＋2＋2i|＝|z |，那么|z －1＋i|的最小值是________． 15．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab ＝________.16．对于n 个复数z 1，z 1，…，z n ，如果存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1z 1＋k 2z 2＋…＋k n z n ＝0，就称z 1，z 2，…，z n 线性相关．若要说明复数z 1＝1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2线性相关，那么可取{k 1，k 2，k 3}＝________.(只要写出满足条件的一组值即可)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)(1)设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )．若z 1z 2为实数，求实数x ； (2)计算：(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7－i 11)(4－3i)．18．(本小题满分12分)在复数范围内解方程|z 2|＋(z ＋z )i ＝3－i2＋i .(i 为虚数单位)19．(本小题满分12分)已知z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当|ωz |≤2时，求a的取值范围．20．(本小题满分12分)已知z ∈C ，z －1z ＋1是纯虚数，求|z 2－z ＋2|的最小值．21．(本小题满分12分)设虚数z 满足|2z ＋5|＝|z ＋10|. (1)求|z |的值；(2)若z m ＋mz为实数，求实数m 的值；(3)若(1－2i)z 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z .22．(本小题满分12分)对任意一个非零复数α，定义M α＝{ω|ω＝α2n －1，n ∈N *}．(1)设α是方程x ＋1x ＝2的一个根，试用列举法表示集合M α.若在M α中任取两个元素，求其和为零的概率P ；(2)若集合M α中只有三个元素，试写出满足条件的一个α值，并说明理由．第一章 综合能力检测答案一、选择题：1．解析：y ′＝－cos(π4－x )＝－sin[π2－(π4－x )]＝－sin(π4＋x )． 答案：D2．解析：f ′(x )＝ax ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，由题知当a ＝－1时，原函数在x ＝1处取得极值． 答案：B3．解析：偶函数的导数为奇函数，即f ′(x )为奇函数，故f ′(0)＝0. 答案：C4．解析：y ′＝1x ＋a ，设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切的切点为(x 0，x 0＋1)，则1x 0＋a ＝1，∴x 0＝1－a ，∴ln(1－a ＋a )＝2－a ，∴e 2－a ＝1， ∴a ＝2. 答案：B5．解析：F (x )＝f [g (x )]＝x 4－4x 2＋6，F ′(x )＝4x 3－8x .令F ′(x )>0，得－2<x <0或x >2，∴F (x )在(－2，0)上递增． 答案：C6．解析：由题意，得f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋(15m 2－2m －7)，由于f ′(x )≥0恒成立，故Δ≤0，解得2≤m ≤4. 答案：D7．解析：设直线与曲线y ＝x 3的切点为P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30y 0x 0－1＝3x 20⇒切线斜率k ＝3x 20＝0或k ＝274. 若k ＝0，切线方程为y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9， 消去y ，得ax 2＋154x －9＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－2564；若k ＝274，切线方程为y ＝274(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝274(x －1)，y ＝ax 2＋154x －9消去y ，得ax 2－3x －94＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－1. 答案：A8． 解析：∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，由题知，f ′(x )<0在(－1，＋∞)上恒成立，即－x ＋bx ＋2<0，∴b <x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1. ∴b <－1.又当b ＝－1时，f ′(x )＝－x －1x ＋2＝－x (x ＋2)＋1x ＋2＝－(x ＋1)2x ＋2<0，∴b ≤－1. 答案：C9．解析：由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成的图形，如下图的阴影部分．答案：B10．解析：⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29，∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 答案：C11．解析：根据几何概型的意义，所投的点落在阴影部分的概率是S 阴影S 矩形，由S 阴影＝⎠⎛0πsin xdx ＝(－cos x )|π0＝2，所求概率为S 阴影S 矩形＝22π＝1π. 答案：A 12．解析：设函数F (x )＝xf (x )，∴F ′(x )＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )≤0，∴F (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵a <b ，∴F (a )≥F (b )，即af (a )≥bf (b )．又∵0<a <b ，f (b )≥0，∴af (a )≤bf (a )，bf (b )≥af (b )．∴bf (a )≥af (b )． 答案：A二、填空题：13.解析：⎠⎛02(2x －e x )dx ＝(x 2－e x )|20＝4－e 2＋1＝5－e 2. 答案：5－e 214．解析：f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)， 依题意，得ω＝2,2cos(π3＋φ)＝－1，解得φ＝π3.答案：2 π315．解析：∵y ′＝a (3x 2－1)，令y ′<0，当a >0时，不等式的解集为(－33，33)； 当a <0时，不等式的解集为(－∞，－33)∪(33，＋∞)．∵已知函数y ＝a (x 3－x )在(－33，33)上单调递减， ∴a >0. 答案：a >016．解析：设A 追上B 时，所用的时间为t 0，依题意有s A ＝s B ＋5，即10tdt＋5，t 30＋t 0＝5t 20＋5，即t 0(t 20＋1)＝5(t 20＋1)，解得t 0＝5 s ．所以s A ＝5t 20＋5＝130(m)． 答案：130三、解答题：17．解：(1)由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0， 又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)， f (x )在原点处的切线斜率是－3， 则－a (a ＋2)＝－3，所以a ＝－3，或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎨⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12，所以a 的取值范围是(－5，－12)∪(－12，1)．18．解：F (x )＝⎠⎛x －1(t 2－4t )dt ＝(13t 3－2t 2)|x －1＝13x 3－2x 2－(－13－2)＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4，由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4，∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)∪(4，＋∞)，单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F (x )在[1,4]上递减，[4,5]上递增．又∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253. 19．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，所以a ＋b＋c ＝－1.③ 由①②③，解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)因为f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)·(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.20．解：函数的定义域为R ，其导函数为y ′＝3x 2－3a .由y ′＝0，得x＝±a ，列表讨论如下：x (－∞，－a ) －a(－a ，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得，函数x ＝－a 处取得极大值2＋2a 32；在x ＝a 处取得极小值2－2a 32.根据列表讨论，可作出函数的草图(如右图所示)，因为极大值f (－a )＝2＋2a 32>0，故当极小值f (a )＝2－2a 32<0，即a >1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f (a )＝2－2a 32>0，即0<a <1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有唯一的实根．21．解：求函数f (x )的导数得 f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .(1)证明：由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根．所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1时，f ′(x )>0，函数为增函数， 由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0. (2)在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎨⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A (47，67)，B (2,2)，C (4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8.所以z 的取值范围为(167，8)．22．解：(1)f ′(x )＝x －ax ，∵x ＝2是一个极值点，∴2－a2＝0.∴a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x ＝x 2－4x ＝(x －2)(x ＋2)x.∵f (x )的定义域是{x |x >0}，∴当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. ∴当a ＝4时，x ＝2是f (x )的极小值点．∴a ＝4. (2)∵f ′(x )＝x －ax，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x，令f ′(x )>0有x >a ，∴函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)； 令f ′(x )<0有0<x <a ，∴函数f (x )的单调递减区间为(0，a )． (3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x >0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数． ∴g (x )>g (1)＝16>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.第二章 综合能力检测答案一、选择题：1．解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 答案：A 2．解析：∵b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝(b －a )2a ≥0，∴b 2a≥2b －a . 答案：C 3．解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．故选D. 4．解析：若F (k )真，则F (k ＋1)一定真，其逆否命题为F (k ＋1)不真，则F (k )不真． ∴F (7)不真，则F (6)不真；F (6)不真，则F (5)不真． 答案：A5．解析：x 2＋y 2＋2x ＝x 2＋(6x －2x 2)＋2x ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16≤16. 答案：C6．解析：∵f (x ＋2)＝f (x )＋f (2) ∴令x ＝－1则有 f (1)＝f (－1)＋f (2) ∴f (2)＝2f (1)又∵f (1)＝12，∴f (2)＝1∴f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＋f (3) ＝f (2)＋f (2)＋f (1) ＝2f (2)＋f (1)＝2＋12＝52. 答案：C7．解析：OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，AP →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)＝λ(e 1＋e 2)，∴AP 是∠A 的内角平分线．答案：B8．解析：这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一个思路，用分析法来试试．要到H 点，需从F 、E 、G 走过来，F 、E 、G 各点又可由哪些点走过来，……，这样一步步倒推，最后归结到A ，然后再反推过去得到如下的计算法：A 至B 、C 、D 的路数记在B 、C 、D 圆圈内，B 、C 、D 分别到F 、E 、G 的路数亦记在F 、E 、G 圆圈内，最后F 、E 、G 各个路数之和，即得至H 的总路数如答图1所示． 答案：C9．解析：①当点C 在线段AB 上时，可知||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故①是正确的．②取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，则||AC ||2＝1，||BC ||2＝1，||AB ||2＝(1＋1)2＝4，故②是不正确的．③取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，证明||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故③不正确．故选B. 10．解析：P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b>a a ＋b ＋c ＋d ＋b a ＋b ＋d ＋c ＋c c ＋d ＋a ＋b ＋d c ＋d ＋b ＋a ＝1， P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b<a a ＋b ＋b a ＋b ＋c c ＋d ＋d c ＋d ＝2， ∴1<P <2. 答案：B11． 解析：在等差数列{a n }中，a 10＝0，知以a 10为等差中项的项和为0，如a 9＋a 11＝a 8＋a 12＝…＝a 2＋a 18＝a 1＋a 19＝0.而在等比数列{b n }中，b 15＝1，类比地有b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1.从而类似地总结规律应为各项之积．∵等差数列{a n }中a 10＝0，∴a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a 8＋a 12＝a 9＋a 11＝0. 即：a 19－n ＋a n ＋1＝0， a 18－n ＋a n ＋2＝0， a 17－n ＋a n ＋3＝0， …∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n . ∵b 15＝1，∴b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1. 即b 29－n b n ＋1＝b 28－n b n ＋2＝…＝b 14b 16＝1.∴b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)．故选A.12．解析：根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行第n 列交叉点上的数应该是2n －1. 答案：A二、填空题：13．解析：由平面图形到空间图形的类比过程中，边长→面积，面积→体积． 答案：13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)14．解析：答案不唯一．因为a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c 2，又(a ＋b )*(a ＋c )＝(a ＋b )＋(a ＋c )2＝2a ＋b ＋c2，因此答案成立．同时：(a *b )＋c ＝(a *c )＋(b *c )；a *(b ＋c )＝(a ＋b )*c ＝(b ＋c )*a ＝(a ＋c )*b ；(a *b )＋c ＝(b *a )＋c 也符合题意． 答案：a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )15．解析：前面103个括号中共用了256个数，第104个括号有4个数分别是515,517,519,521，其和为2072. 答案：207216．解析：P n (x 0)＝a 0x n －10＋…＋a n －2x 20＋a n －1x 0＋a n ，共需n 次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n ，n －1，…，1.故共需计算次数为n ＋n (n ＋1)2＝12n (n ＋3)．第二种运算中，P 0(x 0)＝a 0，不需要运算，P 1(x 0)＝x 0P 0(x 0)＋a 1，需2次运算．P 2(x 0)＝x 0P 1(x 0)＋a 2，需2＋2次运算，依次往下，P n (x 0)需2n 次运算． 答案：12n (n ＋3) 2n三、解答题：17．证明：(分析法)要证x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2，只需证明2(x 4＋y 4)≥xy (x ＋y )2， 即证2(x 4＋y 4)≥x 3y ＋xy 3＋2x 2y 2.只需x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3与x 4＋y 4≥2x 2y 2同时成立即可． 又知x 4＋y 4－2x 2y 2＝(x 2－y 2)2≥0，即x 4＋y 4≥2x 2y 2成立， 只需再有x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立即可． 由于x 4＋y 4－x 3y －xy 3＝(x －y )(x 3－y 3)， ∵x －y 与x 3－y 3同号，∴(x －y )(x 3－y 3)≥0，即x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立．∴对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2成立．18．证明：(1)因为E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，EF ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC .所以EF ∥平面ABC .(2)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以BB 1⊥面A 1B 1C 1，BB 1⊥A 1D ， 又A 1D ⊥B 1C ，所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ， 又A 1D ⊂平面A 1FD ， 所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．证明：假设三条抛物线均与x 轴无两交点，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0，∴a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ≤0，即12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≤0，∴a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾．故三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．解：(1)∵f (2)＝f (2×1)＝f (2)·f (1)，又f (2)＝2，∴f (1)＝1.又∵f (4)＝f (2·2)＝f (2)·f (2)＝4,2＝f (2)<f (3)<f (4)＝4，且f (3)∈N *.∴f (3)＝3.(2)由f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，猜想f (n )＝n (n ∈N *)．(3)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝1时，f (1)＝1，函数解析式成立． (ⅱ)假设n ＝k 时，f (k )＝k ，函数解析式成立．①若k ＋1＝2m (m ∈N *)，f (k ＋1)＝f (2m )＝f (2)·f (m )＝2m ＝k ＋1. ②若k ＋1＝2m ＋1(m ∈N *)，f (2m ＋2)＝f [2(m ＋1)]＝f (2)·f (m ＋1)＝2(m ＋1)＝2m ＋2，2m ＝f (2m )<f (2m ＋1)<f (2m ＋2)＝2m ＋2. ∴f (2m ＋1)＝2m ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时，函数解析式成立． 综合(ⅰ)(ⅱ)可知，f (n )＝n (n ∈N *)成立． 21．解：(1)a 10＝10，a 20＝10＋10d ＝40， ∴d ＝3.(2)a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d ≠0)， a 30＝10[(d ＋12)2＋34]，当d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a 30∈[7.5，＋∞)；(3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，…，a 10(n ＋1)是公差为d n 的等差数列．研究的问题可以是：试写出a 10(n ＋1)关于d 的关系式，并求a 10(n ＋1)的取值范围 研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3＝10(1＋d ＋d 2＋d 3)， 依次类推可得a 10(n ＋1)＝10(1＋d ＋…＋d n ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧10×1－d n ＋11－d ，d ≠1，10(n ＋1)，d ＝1.当d >0时，a 10(n ＋1)的取值范围为(10，＋∞)． 22．解：(1)依题意有x 2＋a bx －c＝x ，化简为(1－b )x 2＋cx ＋a ＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2＋0＝－c 1－b，2·0＝a 1－b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1＋c 2，代入表达式得f (x )＝x 2(1＋c 2)x －c ，由f (－2)＝－21＋c <－12，得c <3.又因为c ∈N ，b ∈N ，若c ＝0，b ＝1，f (x )＝x 不止有两个不动点，若c ＝1，b ＝32，则f (x )＝x只有一个不动点，所以c ＝2，b ＝2，故f (x )＝x 22(x －1)(x ≠1)．(2)由题设得4S n ·(1a n)22(1a n－1)＝1，得2S n ＝a n －a 2n ，(*) 且a n ≠1，把n －1代入得2S n －1＝a n －1－a 2n －1.(**)由(*)与(**)两式相减得2a n ＝(a n －a n －1)－(a 2n －a 2n －1)，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1＋1)＝0，所以a n ＝－a n －1或a n －a n －1＝－1，把n ＝1代入(*)得2a 1＝a 1－a 21，解得a 1＝0(舍去)或a 1＝－1.由a 1＝－1，a n ＝－a n －1，得a 2＝1，这与a n ≠1矛盾，所以a n －a n －1＝－1，即{a n }是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以a n ＝－n .(3)证明：(采用反证法)假设a n ≥3(n ≥2)，则由(1)知a n ＋1＝f (a n )＝a 2n2a n －2，所以a n ＋1a n ＝a n 2(a n －1)＝12·(1＋1a n －1)≤12(1＋12)＝34<1，即a n ＋1<a n (n ≥2，n ∈N )，有a n <a n －1<…<a 2，而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，所以a 2<3.这与假设矛盾，故假设不成立，所以a n <3.第三章 综合能力检测答案一、选择题：1．解析：由复数的概念可知x ＋y 仍是虚数． 答案：B2． 解析：4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i)(1－2i)1＋22＝(4＋6)＋(3－8)i5＝2－i. 答案：B3．解析：m －2i 1＋2i ＝(m －2i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(m －4)－2(m ＋1)i5，对于m 的值，不存在m 使m －4>0且m＋1<0，故对应的点不可能在第一象限． 答案：A4．解析：∵z ＝(a ＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝a ＋65＋(3－2a )i 5.若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3－2a ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，a ≠32.答案：C5．解析：由于实系数一元二次方程的虚根成对出现，是互为共轭复数的，故另一根为3－2i ，则(3＋2i)·(3－2i)＝q2＝13.故选A.6．解析：∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→，∴P 2P 1→对应的复数为z 1－z 2＝(2－5i)－(－3＋i)＝5－6i. 答案：B7．解析：由m1＋i ＝1＋n i 得m ＝(1＋i)(1－n i)＝(1＋n )＋(1－n )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1＋n ，0＝1－n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴m ＋n i ＝2＋i. 答案：C8．解析：设z ＝x ＋y i ，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|. ∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2， 即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0.∴复数z 对应点Z 的轨迹为圆．故选C.9．解析：由z ＝12＋32i 可得，z ＋1z ＝12＋32i ＋12－32i ＝1∈R . ∴z ＝12＋32i 是z ＋1z ∈R 的充分条件．但z ＋1z ∈R ⇒|z |＝1z ＝12＋32i ，所以z ＝12＋32i 是z ＋1z∈R 的充分非必要条件． 答案：A10．解析：－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008＝i(35i ＋2)2＋35i ＋1i1004＝i ＋1. 答案：B11．解析：f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i1＋i )n ＝i n ＋(－i)n (n ∈N *)，根据i n 取值的周期性，给n 赋值发现集合{x |x ＝f (n )}＝{0，－2,2}，故应选C.12．解析：由|z |＝1，得|z |2＝1，即z ·z ＝1，所以x ＝a －z z z －a z ＝a －zz (z －a )＝－1z＝－z ，所以|x |＝|－z |＝1. 答案：B二、填空题：13．解析：由已知得z ＝z 0z 0－3＝3＋2i 2i ＝1－32i. 答案：1－32i14．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z ＋2＋2i|＝|z |得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝x 2＋y 2，即x ＋y ＋2＝0，点(1，－1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|1－1＋2|2＝2，∴|z －1＋i|的最小值为 2. 答案： 215．解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i)(2＋i)4＋1＝－1＋3i由－1＋3i ＝a ＋b i 得a ＝－1，b ＝3 ∴ab ＝－3 答案：－316．解析：由k 1z 1＋k 2z 2＋k 3z 3＝0得k 1(1＋2i)＋k 2(1－i)＋k 2·(－2)＝0， 即(k 1＋k 2－2k 3)＋(2k 1－k 2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2－2k 3＝0，2k 1－k 2＝0.∴k 1∶k 2∶k 3＝1∶2∶32.(答案不唯一，只需满足1∶2∶32的任何一组都行) 答案：{1,2，32}三、解答题：17．解：(1)z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝x ＋2i ＋x i －2＝(x －2)＋(2＋x )i ，因为z 1z 2是实数，所以x ＋2＝0，所以x ＝－2.(2)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i －4i 2)＋(28－4i －21i ＋3i 2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.18．解：原方程化简为|z |2＋(z ＋z )i ＝1－i ，设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，代入上述方程；得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，2x ＝－1.解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.所以原方程的解是z ＝－12±32i.19．解：z ＝2＋4i －(1＋3i)i ＝1＋i i ＝－i(1＋i)＝1－i ，ω＝1＋(a －1)i ，ωz ＝1＋(a －1)i1－i＝[1＋(a －1)i](1＋i)2＝2－a ＋a i 2，由|ωz |≤2，得(2－a 2)2＋(a2)2≤2，解得1－3≤a ≤1＋ 3.故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．20．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －1z ＋1＝(x －1)＋y i (x ＋1)＋y i ＝x 2＋y 2－1＋2y i(x ＋1)2＋y 2是纯虚数，∴x2＋y 2＝1且y ≠0，于是－1<x <1.而|z 2－z ＋2|＝|(x ＋y i)2－(x ＋y i)＋2|＝|(x 2－y 2－x ＋2)＋y (2x －1)i|＝(x 2－y 2－x ＋2)2＋y 2(2x －1)2＝8x 2－6x ＋2＝8(x －38)2＋78，∴当x ＝38时，|z 2－z ＋2|取得最小值144. 21．解：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则 (2x ＋5)2＋(2y )2＝(x ＋10)2＋y 2. 化简得x 2＋y 2＝25.∴|z |＝5. (2)∵z m ＋m z ＝x ＋y i m ＋m x ＋y i＝(x m ＋mx x 2＋y 2)＋(y m －myx 2＋y2)i 为实数，∴y m －myx 2＋y 2＝0. 又y ≠0，且x 2＋y 2＝25， ∴1m －m25＝0，解得m ＝±5. (3)(1－2i)z ＝(1－2i)(x ＋y i)＝(x ＋2y )＋(y －2x )i ，依据题意，得x ＋2y ＝y －2x . ∴y ＝－3x .①又∵|z |＝5，即x 2＋y 2＝25.② 由①、②得⎩⎨⎧x ＝102，y ＝－3102或⎩⎨⎧x ＝－102，y ＝3102.∴z ＝102－3102i 或z ＝－102＋3102i. 22．解：(1)解方程x ＋1x ＝2，得x ＝22±22i.当α1＝22＋22i 时，ω＝α2n －11＝(α21)nα1＝[(22＋22i)2]n α1＝in α1.由i n 的周期性知，ω有四个值，n ＝1时，ω＝22＋22i ；n ＝2时，ω＝－22＋22i ；n ＝3时，ω＝－22－22i ；n ＝4是，ω＝22－22i. 当α2＝22－22i 时，ω＝α2n －12＝(α22)n α2＝(－i)nα2.当n ＝1时，ω＝22－22i ；n ＝2时，ω＝－22－22i ；n ＝3时，ω＝－22＋22i ；n ＝4时，ω＝22＋22i.∴不论α＝22＋22i 还是α＝22－22i ，都有 M α＝{22＋22i ，22－22i ，－22＋22i ，－22－22i}，P ＝2C 24＝13. (2)取α＝－12＋32i ，则α3＝1，α5＝－12－32i ，于是M α＝{α，α3，α5}＝{－12＋32i,1，－12－32i}．(或取α＝－12－32i ，则α3＝1，α5＝－12＋32i)。
成都高新滨河学校高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测(答案解析)
一、选择题1．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯2．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式3．体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体自运动中的某一种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断:①小红没有踢足球，也没有打篮球； ②小方没有打篮球,也没有打羽毛球；③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球； ④小强没有踢足球,也没有打篮球.已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( ) A ．踢足球 B ．打篮球 C ．打羽毛球 D ．打乒乓球4．命题“若,x y >则()()()()332222x y x y x yx xy y -+=--+”的证明过程：“要证明()()()()332222x y x y x y x xy y -+=--+， 即证()()()()()3322.x y x y x y x y x xy y -+=-+-+因为,x y >即证()()3322x y x y x xy y +=+-+，即证33322223,x y x x y xy x y xy y +=-++-+ 即证3333,x y x y +=+因为上式成立，故原等式成立应用了（ ） A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法5．在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ）A ．3++=m n p r b b b bB ．3++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b b D ．3m n p r b b b b =6．我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．．其作法如下：①作一个正方形；②以的中点为圆心，以长为半径作圆，交延长线于；③以为圆心，以长为半径作D ；④以为圆心，以长为半径作A 交D 于，则为黄金三角形．根据上述作法，可以求出（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师.若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B ．甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C ．甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D ．甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师8．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 9．用反证法证明“自然数,,a b c 中至多有一个偶数”时，假设原命题不成立，等价于( )A ．,,a b c 没有偶数B ．,,a b c 恰好有一个偶数C ．,,a b c 中至少有一个偶数D ．,,a b c 中至少有两个偶数10．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d11．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1nax n x +≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -12．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙B ．甲C ．丁D ．丙二、填空题13．已知f (x )＝21xx +（x ＞0），若f 1(x )＝f (x )，f n +1＝f （f n (x )），n ∈N *，则猜想f 2020(x )＝_____.14．观察下列等式：请你归纳出一般性结论______. 15．观察下列各式：11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++，由此可猜想，若1111+12123123+10m +++=++++++，则m =__________.16．已知数列{}n a 为等差数列，则有12320a a a -+= 1234330a a a a -+-=123454640a a a a a -+-+=类似上三行,第四行的结论为________________. 17．观察下面数表： 1， 3，5， 7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，………..设1027是该表第m 行的第n 个数，则m n +等于________.18．“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数．现给出一组数：11315,,,,228432---，…，则第8个数可以是__________．19．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为22n n+，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：211(,3)22N n n n =+；正方形数：2(,4)N n n =；五边形数：231(,5)22N n n n =-；六边形数：2(,6)2N n n n =-，…，由此推测(8,8)N =__________．20．用反证法证明“,a b N ∈，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设_______.三、解答题21．汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n 个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为a n .（1）试写出a 1，a 2，a 3，a 4值，并猜想出a n ；（无需给出证明）（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称b n ＝n 2这样的数为正方形数.当n ≥2时，试比较a n 与b n 的大小，并用数学归纳法加以证明.22．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且33a =，1a 、2a 、4a 成等比数列，数列{}n b 满足()1222*n n b b nb a n +++=∈N（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求证：()3121112*n n n nb b b a a n b b b ++++++>-∈N . 23．观察下列等式：11122-= 11111123434-+-=+ 11111111123456456-+-+-=++ ……（1）根据给出等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想． 24．设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表1 12311(Ⅱ) 数表如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值； 表2(Ⅲ)对由个整数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由. 25．已知()()()2012211+=+-+-nx a a x a x ()()1++-∈nn a x n *N .（1）求0a 及12n n S a a a =+++；（2）试比较n S 与223n n -的大小，并用数学归纳法证明. 26．在数列{}n a 中，112a =，133n n na a a +=+，求2a 、3a 、4a 的值，由此猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．2．C解析：C 【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C.点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.3．A解析：A【解析】分析：由题意结合所给的逻辑关系进行推理论证即可. 详解：由题意可知：小红、小方、小强都没有打篮球，故小军打篮球； 则小军没有踢足球，且已知小红、小强都没有踢足球，故小方踢足球. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查学生的推理能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A 【解析】分析：由题意结合分析法的定义可知题中的证明方法应用了分析法. 详解：题中的证明方法为执果索因，这是典型的分析法， 即原等式成立应用了分析法. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查分析法的特征及其应用，意在考查学生的转化能力和知识应用能力.5．D解析：D 【详解】分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论.详解：由题意，类比上述性质：在等比数列{}n b 中，则由“如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=”，则必有“3m n p r b b b b =”成立，故选D.点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）.6．B解析：B 【分析】不妨假设2AD =，则1DG =，故cos36︒= 故选B.7．C解析：C 【解析】丙的年龄比语文老师大，则丙是数学老师或英语老师，不是语文老师；甲的年龄和英语老师不同，则甲是数学老师或语文老师，不是英语老师；选项B 错误； 英语老师的年龄比乙小，则乙是数学老师或语文老师，不是英语老师；选项D 错误；选项A中，英语老师的年龄比乙大，选项A错误；据此可得：甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师.本题选择C选项.8．D解析：D【解析】【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D．【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．9．D解析：D【解析】“至多一个”的反面是“至少2个”所以原命题等价命题是“a,b,c中至少有两个偶数”选D.10．A解析：A【解析】由题意得，甲同学说：1号门里是b，3号门里是c，乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c c，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b是正确的；乙同学说的2号门中有d是正确的；并同学说的3号门中有c是正确的；丁同学说的4号门中有a是正确b dc a，所以4号门里是a，故选A.的，则可判断在1,2,3,4四扇门中，分别存有,,,点睛：本题主要考查了归纳推理问题，通过具体事例，根据各位同学的说法给出判断，其中正确理解题意，合理作出推理是解答此类问题的关键，同时注意仔细审题，认真梳理．11．B解析：B 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．12．A解析：A 【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的， 由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A. 【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.二、填空题13．【分析】先依次将前几个函数求出来观察其结构即可猜想出【详解】由题可知……可以猜想所以故答案为：【点睛】本题考查数学归纳法的简单应用考查数学猜想能力属于基础题解析：()202020202211xx -+. 【分析】先依次将前几个函数求出来，观察其结构，即可猜想出. 【详解】 由题可知，11122()()1211x xf x f x x x ，22212222221()()213121111x x x xx f x f f x fxx x x x ，22233222322221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x ， 33344333432221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x ，44455444542221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x……可以猜想2()211n n n xf x x ，所以2020202020202()211xf x x .故答案为：()202020202211xx -+. 【点睛】本题考查数学归纳法的简单应用，考查数学猜想能力，属于基础题.14．【解析】分析：根据题意观察各式可得其规律用将规律表示出来即可（且为正整数）详解：根据题意观察各式可得：第①式中；②式中第③式中；…规律可表示为：即答案为点睛：本题要求学生通过观察分析归纳并发现其中的解析：222222(7)(74)(75)(71)(72)(76)k k k k k k ++++=+++++k z ∈【解析】分析：根据题意，观察各式可得其规律，用k 将规律表示出来即可．（2k ≥，且k 为正整数）详解：根据题意，观察各式可得： 第①式中，1k =-； ②式中，0k = 第③式中，1k =；…规律可表示为：()()()()()()22222277475717276k k k k k k ++++=+++++ k z ∈ 即答案为()()()()()()22222277475717276k k k k k k ++++=+++++ k z ∈. 点睛：本题要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．15．【解析】分析：观察下列式子右边分母组成以为首项为公差的对称数列分子组成以为首项以为公差的等差数列即可得到答案详解：由题意可得所以点睛：本题主要考查了归纳推理的应用其中归纳推理的步骤是：（1）通过观察解析：2011. 【解析】分析：观察下列式子，右边分母组成以3为首项，1为公差的对称数列，分子组成以4为首项，以2为公差的等差数列，即可得到答案. 详解：由题意11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++， 可得111210201+12123123+1010111⨯+++==+++++++， 所以2011m =. 点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中归纳推理的步骤是：（1）通过观察给定的式子，发现其运算的相同性或运算规律，（2）从已知的相同性或运算规律中推出一个明企鹅的一般性的题，着重考查了考生的推理与论证能力.16．【解析】观察前三个式子可知三个式子的项数分别是所以第四个式子有项前三个式子奇数项为正偶数项为负项的系数满足二项式定理系数的形式所以第四项的结论：故答案为【方法点睛】本题通过观察几组多项式式归纳出一般 解析：1234565101050a a a a a a -+-+-=【解析】观察前三个式子，可知三个式子的项数分别是3,4,5，所以第四个式子有6项，前三个式子奇数项为正，偶数项为负，项的系数满足二项式定理系数的形式，所以第四项的结论：1234565101050a a a a a a -+-+-=，故答案为1234565101050a a a a a a -+-+-=.【方法点睛】本题通过观察几组多项式式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.17．13【解析】根据上面数表的数的排列规律13579…都是连续奇数第一行1个数第二行2=21个数且第1个数是3=22﹣1第三行4=22个数且第1个数是7=23﹣1第四行8=23个数且第1个数是15=24解析：13 【解析】根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数， 第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22﹣1 第三行4=22个数，且第1个数是7=23﹣1 第四行8=23个数，且第1个数是15=24﹣1 …第10行有29个数，且第1个数是210﹣1=1023，第2个数为1025，第三个数为1027；所以1027是第10行的第3个数，所以m=10，n=3， 所以m+n=13； 故填13．18．【详解】这几个数是这样规律比较明显了即所以故填： 解析：132【详解】 这几个数是12345,,,,......2481632---，这样规律比较明显了，即()12nn n n a =-⋅，所以88125632a ==，故填：132. 19．176【解析】原已知式子可化为：正方形数:五边形数六边形数……由此推测由归纳推理可得故解析：176 【解析】原已知式子可化为：211,322N n n n ==+（）正方形数:()22,402N n n n ==+ 五边形数()231,5?22N n n n ==-六边形数()242,6?22N n n n ==-……由此推测由归纳推理可得()224,22k kN n k n n --=+ 故()2648,88817622N =⨯+⨯= 20．中没有能被整除的数【分析】反证法证明中假设时只需要对结论进行否定即可【详解】至少有个的否定是最多有个故应假设中没有一个能被5整除【点睛】本题考查了反证法的定义注意对于像含有至少至多都或且等特殊词语命解析：,a b 中没有能被5整除的数 【分析】反证法证明中，假设时只需要对结论进行否定即可. 【详解】“至少有n 个”的否定是“最多有1n -个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除． 【点睛】本题考查了反证法的定义，注意对于像含有“至少”“至多”“都”“或”“且”等特殊词语命题的否定，属于简单题.三、解答题21．（1）11a =，23a =，37a =，415a =，21nn a =-；（2）当25n ≤<时，n n a b <：当5n ≥时，n n a b >，证明见解析.【分析】（1）直接由题意求得1234,,,a a a a 的值，并猜想出n a ；（2）求出12345,,,,a a a a a 的值，12345,,,,b b b b b 的值，可得当25n ≤<时，n n a b <，猜想：当5n ≥时，n n a b >，即221n n ->，然后利用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由题意得，11a =，23a =，37a ==，415a =， 猜想：21nn a =-.（2）11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，11b =，24b =，39b =，416b =，525b =，则当25n ≤<时，n n a b <，猜想：当5n ≥时，n n a b >，即221n n ->，①当5n =时，531a =，525b =，55a b >，结论成立； ②假设(5,Z)n k k k =≥∈时结论成立，即221k k ->， 那么当1n k =+时，12221212(21)1211k k k a k k k +++=-=-+>+=++，而5k ≥时，(2)0k k ->，即22k k >， 所以12221212(21)1211k k k a k k k ++=-=-+>+=++22121(1)k k k k b +>++=+=，所以当1n k =+时，结论也成立. 由①②可知，当5n ≥时，结论成立.综上，当25n ≤<时，n n a b <，当5n ≥时，n n a b >，即221n n ->. 【点睛】本题考查了不完全归纳法，考查了利用数学归纳法证明不等式，属于中档题. 22．（1）n a n =，2n b n=，*n ∈N ；（2）证明见解析. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到n a ，可令1n =，求得1b ，再将n 换为1n -，相减可得n b ；（211nn n +>++意检验1n =时不等式成立，再假设n k =时不等式成立，证明1n k =+时，不等式也成立，注意运用分析法证明. 【详解】（1）等差数列{}n a 的公差d 不为零，33a =，可得123a d +=，1a 、2a 、4a 成等比数列，可得2142a a a =，即()()21113a a d a d +=+，解方程可得11a d ==，则()11n a a n d n =+-=. 数列{}n b 满足1222n n b b nb a +++=，可得1122b a ==， 当2n ≥时，由12222n n b b nb a n +++==，可得()()1212121n b b n b n -+++-=-，相减可得2n nb =，则2n b n =，12b =也适合2n b n =，则2n b n=，*n ∈N ；（2)*11n nnb an b +++>∈N 即为 +11nn n >++，（i ）当1n =2=，右边为2>右边，不等式成立；（ii ）假设n k =+11kk k >++ 当1n k =++11kk k>+++21k k k>++ 只要证12k k+>+1>-即证10⎛> ⎝，由*k∈N ，可得上式成立，可得1n k =+时，不等式也成立.综上可得，对一切*n ∈N11nn n +>++ )*11n n nb a n b +++>∈N . 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用n S 求通项以及数列不等式的证明，考查了数学归纳法的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 23．（1）111111111234212122n n n n n-+-+⋯+-=++⋯+-++；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据给出等式的规律，直接写出一般结论；（2）利用数学归纳法证明猜想的结论，递推部分利用n k =时的结论来推导证明当1n k =+时，等式仍然成立.【详解】 （1）111111111234212122n n n n n-+-+⋯+-=++⋯+-++． （2）证明：①当1n =时，左边11122=-=，右边12=，左边=右边∴当1n =时，等式成立； ②假设当n k =时等式成立，即111111111234212122k k k k k-+-+⋯+-=++⋯+-++ 则当1n k =+时 左边111111112342122122k k k k =-+-++-+--++ (111111222122)k k k k k =++⋯++-++++ 111112321122k k k k k ⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭…1111232122k k k k =++++=++++…右边 ∴当1n k =+时，等式也成立由①②可知，对一切n *∈N ，等式都成立． 【点睛】本题主要考查了归纳推理和数学归纳法，考查了学生逻辑推理与运算求解能力. 24．(I) 详见解析； (II)0a =或1a =-；(Ⅲ) 能，理由详见解析． 【解析】试题分析：（I ）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）；（II ） 每一列所有数之和分别为2，0，-2，0，每一行所有数之和分别为-1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a-1，第二行之和为5-2a ，列出不等关系解得a ，b ；②如果操作第一行，很快即可有条件解得a 值；（III ） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加． 试题 （I ） 法1：法2：法3：（写出一种即可） 3分 (II) 每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1;①如果操作第三列，则则第一行之和为，第二行之和为，,解得. 6分② 如果操作第一行则每一列之和分别为，，，，以上四数均为非负数解得9分 综上10分(III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中个数之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 13分 考点：推理与证明．25．（1）3n ，43n n -；（2）223,n n S n n N *>-∈. 【解析】分析：（1）令2x =，则04nni i a ==∑，1x =，则03n a =，两式做差得到结果；（2）要比较n S 与223n n -的大小，只要比较4n 与22n 的大小，接下来应用数学归纳法得到结果即可. 详解：（1）令1x =，则03na =， 令2x =，则4nn ii a==∑，所以143nn n ii a==-∑．（2）要比较n S 与223n n -的大小，只要比较4n 与22n 的大小． 猜想：2*42,n n n N >∈． 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，42>,结论成立．②假设当()*n k k N =∈时结论成立，即242k k >，则当1n k =+时，()122224444222k k k k k k +=⨯>⨯=++，因为*k N ∈，所以22221k k k +≥+，所以()()()222222222121kk k kk k ++≥++=+所以()21421k k +>+，即1n k =+时结论也成立． 由①②可知，*n N ∈时，242n n > 所以2*23,nn S n n N >-∈.点睛：本题考查了二项式展开式的系数和问题，以及数学归纳法的证明的应用，数学归纳法，注意假设n=k+1的证明过程中，一定要用到n=k 的结论. 26．35n a n =+，证明见解析． 【解析】试题分析：利用递推式直接求2a 、3a 、4a ，猜想数列a n }的通项公式为35n a n =+（*n N ∈）用数学归纳法证明即可. 试题a 1＝＝，a 2＝，a 3＝，a 4＝， 猜想a n ＝，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝＝，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝.则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝＝＝，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立， 由①②知，对n ∈N *，a n ＝都成立．点睛：本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.。
【创新设计】高中数学人教版选修2-2配套练习：第一章章末检测卷（含答..
章末检测卷（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y ＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，－3) C ．(－2，－3) D ．(－2,3)答案答案 B解析解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2＝0，∴x ＝－1. f (－1)＝(－1)2＋2×2×((－1)－2＝－3.∴M (－1，－3)．2．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．(－1,0)和(1，＋∞) C ．(－1,1) D ．(－∞，－1)和(1，＋∞) 答案答案 A解析解析 y ′＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)，令y ′<0得x 的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A. 3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案答案 D解析解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.∵f (x )在x ＝－3时取得极值，时取得极值， 即f ′(－3)＝0，∴27－6a ＋3＝0，∴a ＝5. 4．函数y ＝ln 1|x ＋1|的大致图象为( )答案答案 D解析解析 函数的图象关于x ＝－1对称，排除A 、C ，当x >－1时，y ＝－ln(x ＋1)为减函数，故选D.5．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )作的功为( )A.3JB.B.2233JC.433J D ．23J答案答案 C解析解析 由于F (x )与位移方向成30°角．如图：F 在位移方向上的分力F ′＝F ·cos 30°，W ＝ʃ21(5－x 2)·)·cos 30°cos 30°cos 30°d d x ＝32ʃ21(5－x 2)d x ＝32(5x －13x 3)|21＝32×83＝433(J)． 6．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点所在象限是( ) A ．一．一 B ．二．二 C ．三．三 D ．四．四 答案答案 C解析解析 ∵y ＝f ′(x )的图象过第一、二、三象限，故二次函数y ＝f (x )的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) B ．[－3，3]C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3] 答案答案 B解析解析 在f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3. 8．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，f (1)＋f ′(1)的值等于( ) A ．1 B.52 C ．3 D ．0答案答案 C解析解析 由已知切点在切线上，所以f (1)＝12＋2＝52，切点处的导数为切线斜率，所以f ′(1)＝12，所以f (1)＋f ′(1)＝3.9．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．π20ò(sin x －cos x )d xB ．2π40ò(sin x －cos x )d xC ．π20ò(cos x －sin x )d x D ．2π40ò(cos x －sin x )d x 答案答案 D解析解析 如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0<x <π4阴影部分面积的2倍．故选D.10．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点内均无零点 C ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点内有零点D ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点内无零点答案答案 C解析解析 由题意得f ′(x )＝x －33x，令f ′(x )>0得x >3；令f ′(x )<0得0<x <3；f ′(x )＝0得x ＝3，故知函数f (x )在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln 3<0；又f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，f (1e )＝13e ＋1>0.11．方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案答案 B解析解析 令f (x )＝2x 3－6x 2＋7， ∴f ′(x )＝6x 2－12x ，由f ′(x )>0得x >2或x <0；由f ′(x )<0得0<x <2；又f (0)＝7>0，f (2)＝－1<0， ∴方程在(0,2)内只有一实根．内只有一实根． 12．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 015的值为( ) A ．－log 2 0142 013B ．－1C ．(log 2 0142 013)－1D ．1解析解析 ∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1.所以log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013 ＝log 2 014(x 1·x 2·…·x 2 013)＝log 2 014èæøö12·23·…·2 0132 014＝log 2 01412 014＝－1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________. 答案答案 －1解析解析 ∵y ′＝k ＋1x ，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，∴k ＝－1.14．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 答案答案 a ≥3解析解析 由题意应有f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2，x ∈(－1,1)恒成立，故a ≥3.15．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________ 答案答案 (－2,15)解析解析 y ′＝3x 2－10＝2⇒x ＝±2，又点P 在第二象限内，∴x ＝－2，得点P 的坐标为(－2,15)16．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，那么a ，b 的值分别为________． 答案答案 4，－11解析解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，îïíïì 2a ＋b ＝－3a 2＋a ＋b ＝9，解得îïíïì a ＝－3b ＝3，或îïíïìa ＝4b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R.已知f (x )在x ＝3处取得极值．处取得极值． (1)求f (x )的解析式；的解析式；(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程．处的切线方程． 解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a . ∵f (x )在x ＝3处取得极值，处取得极值， ∴f ′(3)＝6×6×99－6(a ＋1)×1)×33＋6a ＝0，∴f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8. (2)A 点在f (x )上，上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18， f ′(1)＝6－24＋18＝0， ∴切线方程为y ＝16.18．(12分)已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a 、b ，使f (x )同时满足下列两个条件：(1)f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；(2)f (x )的最小值是1，若存在，求出a 、b ，若不存在，说明理由．，若不存在，说明理由．解 设g (x )＝x 2＋ax ＋b x ，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，上是增函数， ∴g (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，上是增函数，∴îïíïì g ′(1)＝0g (1)＝3，∴îïíïì b －1＝0a ＋b ＋1＝3，解得îïíïìa ＝1b ＝1经检验，a ＝1，b ＝1时，f (x )满足题设的两个条件．满足题设的两个条件． 19．(12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．的值．解 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x ＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x(2－x )， 所以f (x )的单调递增区间为(0，2)， 单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx(2－x )＋a >0， 即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为ke x (e 为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )(万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L (x )最大？并求出L (x )的最大值．的最大值． 解 (1)由于年销售量为Q (x )＝k e x ，则ke 40＝500，所以k ＝500e 40，则年售量为Q (x )＝500e 40ex 万件，万件，则年利润L (x )＝(x －a －30)500e 40e x＝500e 40·x －a －30ex (35≤x ≤41)． (2)L ′(x )＝500e 40·31＋a －x e x . ①当2≤a ≤4时，33≤a ＋31≤35， 当35≤x ≤41时，L ′(x )≤0；所以x ＝35时，L (x )取最大值为500(5－a )e 5. ②当4<a ≤5时，35<a ＋31≤36，令L ′(x )＝0，得x ＝a ＋31，易知x ＝a ＋31时，L (x )取最大值为500e 9－a .综上所述，当2≤a ≤4，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a )e 5万元；当4<a ≤5，每件产品的售价为(31＋a )元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e 9－a 万元．万元．21．(12分)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．的单调区间与极值． 解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x .令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x－5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数；上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．上为减函数．由此可知，f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R)，其中a >0. (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；处的切线方程； (2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－32x 2＋1，f (2)＝3.f ′(x )＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为处的切线方程为 y －3＝6(x －2)，即y ＝6x －9. (2)f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)． 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a . 以下分两种情况讨论：以下分两种情况讨论： ①若0<a ≤2，则1a ≥12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：的变化情况如下表：x (－12，0) 0 (0，12)f ′(x ) ＋0 －f (x )f (x )极大值当x ∈[－12 ，12]时，时，f (x )>0等价于îíìf (－12)>0，f (12)>0，即îíì5－a8>05＋a8>0.解不等式组得－5<a <5.因此0<a ≤2. ②若a >2，则0<1a <12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：的变化情况如下表：x (－12，0) 0 (0，1a )1a (1a ，12) f ′(x ) ＋－ 0 ＋ f (x )极大值单调递单调递极小值单调递单调递当x ∈[－12，12]时，时，f (x )>0等价于îíìf (－12)>0，f (1a )>0，即îíì5－a8>01－12a2>0解不等式组得22<a <5或a <－22. 因此2<a <5.综合①②，可知a 的取值范围为0<a <5.。
人教版本数学选修22第一章练习试题与解析.docx
人教版数学选修2-2第一章练习题及解析1．曲线 y ＝ x 3＋ x － 2 在 P 点处的切线平行于直线 y ＝ 4x － 1，则切线方程为 ()A ． y ＝ 4xB ． y ＝ 4x －4C ．y ＝ 4x － 8D ． y ＝ 4x 或 y ＝ 4x － 4[答案 ] D[解析 ]y ′ ＝ limy→xx 0[ x ＋ x 3＋ x ＋ x －2] － x 3＋ x － 2＝ lim→x 0x＝ lim2＋ 3x x ＋ 3x 2＋ 1)→(( x)x 0＝ 3x 2＋ 1.由条件知， 3x 2＋ 1＝ 4，∴ x ＝ ±1，当 x ＝ 1 时，切点为 (1,0) ，切线方程为y ＝ 4(x － 1) ，即 y ＝ 4x － 4.当 x ＝－ 1 时，切点为 (－ 1，－ 4) ，切线方程为 y ＋ 4＝ 4(x ＋ 1)，即 y ＝ 4x.3x ＋ 2上的任意一点， P 点处的切线倾斜角为α，则 α 的取2．设点 P 是曲线 y ＝ x 3－值3范围为 ()A ． 0，π∪2π，πB ． 0，π∪5π， π232 62π5π，C ． 3π， πD ． 26[答案 ] A[解析 ] 设 P(x 0，y 0)，x ＋ x 3－ 3 x ＋ x ＋ 2－ x 3＋ 3x －2∵f ′ (x)＝ li m33→x 0x＝ 3x 2－ 3，∴切线的斜率 k ＝ 3x 02－3，∴ tan α＝ 3x 02－ 3 ≥ － 3.π2∴α∈ 0，2 ∪ 3π， π.故应选 A.3．设 P 为曲线 C ：y ＝ x 2＋2x ＋ 3 上的点，且曲线C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为π[0， 4]，则点 P 横坐标的取值范围为 ()1A ． [－ 1，－ 2] B ． [－ 1,0] C ．[0,1]D ． [ 1， 1]2[答案 ] A[解析 ]考查导数的几何意义．π∵ y ′ ＝ 2x ＋ 2，且切线倾斜角 θ∈ [0，4] ，∴切线的斜率 k 满足 0≤ k ≤ 1，即 0≤2x ＋ 2 ≤ 1 ，1∴－1≤x ≤ － 2.4．已知 f(x) ＝ x 2＋ 3xf ′ (2) ，则 f ′ (2) ＝ ________.[答案 ] － 2[解析 ]∵f ′ (x) ＝ 2x ＋ 3f ′ (2) ，∴f ′ (2)＝ 4＋ 3f ′ (2)，∴f ′ (2) ＝－ 2.15．求过点 (2,0) 且与曲线 y ＝ x相切的直线方程．1上，令切点为(x 0，y 0)，则有y 0[解析]易知(2,0)不在曲线y ＝＝1 .①xx 011 －又 y ′ ＝ limyx ＋ x x1＝ lim＝－2 ，→x→xxx 0x 01所以 y ′ |x ＝ x 0＝－x 20 ，1即切线方程为y ＝－ x 20 ( x －2) 而 y ＝－ 2 1②x 0－ 2 x 0由①②可得 x 0＝ 1 ，故切线方程为 y ＋x － 2 ＝ 0.6．若直线 y ＝ kx 是曲线y ＝ x 3－ 3x 2＋ 2x 上一点处的切线，求实数k 的值．0 32＋ 2x 0，x －3x[解析 ] 设切点 (x)，y x 0＋x3＋2 0＋x － x 30 ＋ 3x 20 － 2x 0－ 3 x x ＋ 2 x∵ x ＝x＝ ( x) 2＋3x 20＋ 3 x ·x 0－ 6x 0－3 x ＋ 2 ，∴ limy＝3x 20 －6x 0 ＋2，→xx 0∴ k ＝ 3x 20 － 6x 0 ＋ 2，切线方程为y － (x 30－ 3x 20＋ 2x 0)＝ (3x 20 － 6x 0 ＋ 2)(x － x 0)，切线过原点，∴ 0－ (x 30－ 3x 20 ＋ 2x 0)＝ (3x 20 － 6x 0＋ 2)(0 － x 0)，31解得 x 0＝ 0 或 2，则 k ＝2 或－ 4.7．已知直线 l 1为曲线 y ＝ x 2＋ x － 2 在点 (1,0) 处的切线， l 2 为该曲线的另一条切线，且l 1⊥ l 2.(1) 求直线 l 2 的方程；(2) 求由直线 l 1、 l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积．[解析 ](1)y ′ |x ＝ 11＋ x2＋ 1 ＋ x － 2－ 12＋1－ 2＝ li m＝ 3，→x 0x所以 l 1 的方程为：y ＝ 3(x － 1) ，即 y ＝ 3x －3.设 l 2 过曲线 y ＝ x 2＋ x － 2 上的点B( b ， b 2＋ b － 2) ，b ＋ x 2＋ b ＋ x － 2－ b 2＋ b －2y ′ |x ＝ b ＝ li m→x 0x＝ 2b ＋1，所以 l 2 的方程为： y －(b 2＋ b － 2) ＝(2b ＋ 1) · (x － b)，即 y ＝ (2b ＋ 1)x － b 2－ 2.21 22因为 l 1⊥l 2，所以3×(2b ＋ 1)＝－ 1，所以 b ＝－ 3，所以l 2的方程为：y ＝－ 3x － 9 .1(2) 由y ＝ 3x － 3 ，x ＝6，1 22得y ＝－ 3x － 9 ，y ＝－5，2即 l 1 与 l 2 的交点坐标为1，－ 5.62又 l 1， l 2 与 x 轴交点坐标分别为(1,0) ， － 22，0 .31522 125×－ ×所以所求三角形面积 S ＝ 2 21＋3 ＝12. 8． (2014 郑·州一中期中 )函数 f(x) 的定义域为 R ， f(－ 2) ＝ 2013，对任意 x ∈ R ，都有f ′ (x)<2 x 成立，则不等式f(x)>x 2＋ 2009 的解集为 ()A ． (－ 2,2)B ． (－ 2，＋∞ )C ．( －∞，－ 2)D ． (－∞，＋∞ )[答案 ] C[解析 ] 令 F(x) ＝f(x)－ x 2－ 2009 ，则 F ′(x) ＝ f ′ (x) － 2x<0 ，∴ F(x) 在 R 上为减函数，又 F( －2) ＝ f(－ 2)－ 4－ 2009 ＝ 2013 － 2013 ＝ 0， ∴当 x<－ 2 时， F(x)>F( －2) ＝ 0 ，∴不等式 f( x)>x 2＋ 2009 的解集为 (－∞ ，－ 2) ．9．已知 y ＝1x 3＋ bx 2＋ (b ＋2)x ＋ 3 在 R 上不是单调增函数， 则 b 的取值范围为________ ．3[答案 ] b<－1 或 b>2[解析 ]若 y ′＝ x 2＋ 2bx ＋b ＋ 2≥ 0恒成立，则＝ 4b 2－ 4(b ＋ 2) ≤ 0 ，∴－ 1≤b ≤ 2，由题意 b ＜－ 1 或 b ＞ 2.10 ．(2014 ·夏三市联考宁 )若函数 f(x) 的导函数f ′ (x) ＝ x 2－ 4x ＋ 3，则 f(x＋ 1) 的单调递减区间是 ________ ．[答案 ] (0,2)[解析 ]由 f ′ (x) ＝ x 2－ 4x ＋ 3<0 得 1<x<3 ，即得 f(x) 的单调递减区间是(1,3) ，所以由 1<x＋ 1<3 得 f(x ＋ 1) 的单调递减区间 (0,2) ．11 ．已知函数f(x)＝ x 3＋ ax 2＋ (2a －3)x － 1.(1) 若 f(x)的单调减区间为(－1,1) ，则 a 的取值集合为 ________ ．(2) 若 f(x)在区间 ( －1,1) 内单调递减，则 a 的取值集合为 ________ ．[答案 ](1){0}(2){ a|a<0}[解析 ]f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋ 2a － 3＝ (x ＋ 1)(3x ＋ 2a － 3)．(1) ∵ f(x) 的单调减区间为 (－1,1)，∴－ 1 和 1 是方程 f ′(x) ＝0 的两根，3－ 2a∴3 ＝ 1，∴ a ＝ 0，∴ a 的取值集合为{0} ．(2) ∵ f(x) 在区间 (－1,1) 内单调递减，∴ f ′ (x)<0 在 (－ 1,1) 内恒成立，3－ 2a又二次函数 y ＝ f ′ (x) 开口向上，一根为－1 ，∴必有>1 ，∴ a<0 ，3∴ a 的取值集合为 { a|a<0} ．[点评 ]f( x)的单调减区间为 (m ，n) ，则必有 f ′ (m) ＝0， f ′ (n)＝ 0 或 x ＝ m ， x ＝n 是函数 f(x) 的不连续点，f(x) 在区间 (m ， n) 上单调递减，则( m ， n) 是 f(x) 的单调减区间的子集，f ′ (x) ≤ 0 在( m ， n) 上恒成立．112 ．求证：方程x － 2sinx ＝ 0 只有一个根x ＝0.1[证明 ]设 f(x) ＝ x － 2sinx ， x ∈(－ ∞，＋ ∞ )，1则 f ′ (x) ＝ 1－ 2cosx ＞ 0 ，∴ f(x) 在(－ ∞，＋ ∞ )上是单调递增函数．而当 x ＝0 时， f(x) ＝ 0，1∴方程 x － 2sinx ＝ 0 有唯一的根 x ＝ 0.13 ． (2013 ·国大纲文，全21) 已知函数 f(x)＝ x 3＋ 3ax 2＋ 3x ＋ 1.(1) 当 a ＝－ 2 时，讨论f(x) 的单调性；(2) 若 x ∈ [2 ，＋∞ ) 时， f( x) ≥ 0，求 a 的取值范围．[解析 ](1) 当 a ＝－ 2 时， f(x) ＝ x 3－ 3 2x 2＋ 3x ＋1，f ′ (x) ＝ 3x 2－ 6 2x ＋ 3.令 f ′ (x) ＝ 0，得 x1＝ 2 －1， x2＝ 2 ＋ 1.当 x∈(－∞， 2－ 1) 时， f ′ (x)>0 ， f(x) 在(－∞，2－ 1) 上是增函数；当x∈ ( 2－ 1， 2＋1) 时， f ′ (x)<0 ， f( x) 在 ( 2 － 1， 2＋1) 上是减函数；当x∈ ( 2＋ 1，＋∞ )时， f ′ (x)>0 ， f(x) 在 ( 2＋ 1，＋∞ )上是增函数．5(2) 由 f(2) ≥ 0 得 a≥ －4.5当 a≥－4， x∈(2 ，＋∞ )时，2＋2ax ＋ 1) ≥ 3(x 2－51f ′ (x) ＝ 3(x 2x ＋ 1) ＝ 3(x － 2)( x － 2)>0 ， 所以 f(x) 在 (2 ，＋ ∞ )上是增函数，于是当 x ∈[2 ，＋ ∞)时， f(x) ≥ f(2) ≥ 0.5综上， a 的取值范围是[－ 4，＋ ∞ )．14 ．曲线 y ＝ x在点 (－ 1，－ 1)处的切线方程为 ()x ＋ 2A ． y ＝ 2x ＋ 1B ． y ＝ 2x －1C ．y ＝－ 2x － 3D ． y ＝－ 2x － 2[答案 ] A[解析 ]本小题主要考查导数的运算及其几何意义，直线的点斜式方程等基础知识．－ 1 ＋ x－ － 1－1＋ x ＋ 2∵ f ′ (－ 1) ＝ lim→x 0x＝ lim－ 1＋ x ＋ 1 ＋ x2＝ lim → ＝ 2，→1＋ x xx 0x 01＋ x∴曲线在 (－ 1，－ 1)处的切线方程为y － (－ 1) ＝ 2(x ＋1) ，即 y ＝ 2x ＋ 1.15 ．过点 P( － 2,0) 作曲线 y ＝ x 的切线，求切线方程．[解析 ]因为点 P 不在曲线 y ＝ x 上，故设切点为 Q( x 0， x0 )，∵ y ′＝1 ，2 x∴过点 Q 的切线斜率为：1 ＝x 0，∴ x 0＝ 2，2 x 0 x 0＋ 2∴切线方程为： y－ 2＝1( x －2) ，22即： x－ 2 2y＋2＝0.16 ．函数 f(x) 的定义域为R，导函数 f ′ (x) 的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有一个极大值点、两个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点[答案 ]C[解析 ]设 f ′ (x) 与 x 轴的 4个交点，从左至右依次为x 、 x 、 x 、 x 4，1 2 3当 x<x 1 时， f ′ (x)>0 ， f(x) 为增函数，当 x 1<x<x 2 时， f ′ (x)<0 ， f(x) 为减函数，则 x ＝ x 1 为极大值点，同理， x ＝ x 3 为极大值点，x ＝x 2，x ＝ x 4 为极小值点．[点评 ]有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是 f(x) 的图象还是 f ′ (x) 的图象，若给的是 f( x) 的图象，应先找出 f(x) 的单调区间及极 (最 )值点，如果给的是f ′ (x) 的图象，应先找出 f ′ (x) 的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．17 ．(2014 ·溪一中期中屯) 设 f(x) ＝ x 3 ＋ ax 2＋ bx ＋ 1 的导数 f ′ (x) 满足 f ′ (1) ＝ 2a ，f ′ (2)＝－ b ，其中常数a 、b ∈ R.(1) 求曲线 y ＝ f(x) 在点 (1 ， f(1)) 处的切线方程；－ x(2) 设 g(x) ＝f ′( x)e ，求函数g(x) 的极值．[解析 ]∵ f(x) ＝x 3＋ ax 2＋ bx ＋ 1，∴ f ′ ( x) ＝ 3x 2＋ 2ax ＋ b ，∵ f ′ (1) ＝ 2a ，∴ 3＋ 2a ＋ b ＝ 2a ，∵ f ′ (2) ＝－ b ，∴ 12 ＋ 4a ＋ b ＝－ b ，∴ a ＝－32， b ＝－ 3，33 22∴f(x) ＝x － 2 x－ 3x ＋ 1， f ′ (x)＝ 3x － 3x － 3，5∴f(1) ＝－2， f ′ (1) ＝－ 3，5∴切线方程为y－ (－2)＝－ 3(x － 1) ，即6x ＋2y－ 1＝ 0.(2)∵ g(x)＝ (3x 2－ 3x － 3)e －x，∴ g′ (x) ＝ (6x － 3)e －x＋ (3x2－ 3x － 3) · (－ e－x)，∴ g′ (x) ＝－ 3x(x － 3)e －x ，∴当 0<x<3 时， g′(x)>0 ，当 x>3 时， g′ (x)<0 ，当 x<0 时， g′ (x)<0 ，∴ g(x) 在 (－∞， 0) 上单调递减，在(0,3) 上单调递增，在(3 ，＋∞ ) 上单调递减，所以 g 极小 (x) ＝ g(0) ＝－ 3， g 极大 (x) ＝ g(3) ＝ 15e －3 .18 ． (2014 山·东省菏泽市期中)已知函数 f(x) ＝ 1x 2＋aln x.2(1) 若 a ＝－ 1 ，求函数 f(x) 的极值，并指出是极大值还是极小值；(2) 若 a ＝ 1 ，求证：在区间 [1 ，＋∞ )上，函数 f(x) 的图象在函数2 3的图象的下方．g(x) ＝ x3[解析 ] (1) 由于函数 f(x) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ )，当 a ＝－ 1 时， f ′ (x) ＝ x －1＝x ＋1 x －1，xx令 f ′ (x) ＝ 0 得 x ＝1 或 x ＝－ 1( 舍去 )，当 x ∈ (0,1) 时， f ′ ( x)<0 ，因此函数f(x) 在 (0,1) 上单调递减，当 x ∈(1 ，＋ ∞ )时， f ′ (x)>0 ，因此函数f(x) 在 (1 ，＋ ∞ )上单调递增，则 x ＝ 1 是 f(x) 的极小值点，1所以 f(x) 在 x ＝ 1 处取得极小值为f(1) ＝ 2. 1 2 23(2) 证明：设F(x) ＝f(x) － g(x) ＝ 2x ＋ lnx － 3x，－2x 3 ＋x 2＋1则 F ′ (x)＝ x ＋ 1－ 2x 2＝xx－ x － 1 2x 2＋ x ＋ 1＝，x当 x>1 时， F ′ ( x)<0 ，故 f(x) 在区间 [1 ，＋ ∞) 上单调递减，1又F(1) ＝－6<0 ，∴在区间 [1 ，＋∞ )上， F(x)<0 恒成立，即 f(x)< g(x) 恒成立．因此，当 a ＝ 1 时，在区间[1 ，＋∞ )上，函数f(x) 的图象在函数g(x) 图象的下方．19 ． (2014 山·西省太原五中月考) 已知函数f(x) ＝xln x.(1)求函数 f(x) 的单调递减区间；(2) 若 f(x)≥－ x 2＋ ax － 6 在 (0 ，＋∞ )上恒成立，求实数 a 的取值范围；－2,(3) 过点 A( － e0) 作函数y＝ f(x) 图象的切线，求切线方程．[解析 ] (1)∵f ′ (x) ＝ln x ＋1，∴由 f ′ (x)<0 得 lnx< －1， 11∴ 0<x< e，∴函数 f(x) 的单调递减区间是(0， e)．(2)∵f(x) ≥ － x 2＋ ax －6，∴a ≤ln x ＋x ＋ 6，x设 g(x) ＝ lnx ＋ x ＋6x ，则x 2＋ x － 6x ＋3 x － 2g ′ (x) ＝ 2＝ 2，x x当 x ∈ (0,2) 时， g ′ (x)<0 ，函数 g(x) 单调递减；当 x ∈ (2 ，＋ ∞ )时， g ′ (x)>0 ，函数 g(x) 单调递增．∴ g(x) 最小值为 g(2) ＝ 5＋ ln2 ，∴实数 a 的取值范围是( － ∞， 5＋ ln2] ．(3) 设切点 T(x 0 ， y 0)，则 k AT ＝ f ′(x 0)，x 0 lnx 0 2 ∴ 1 ＝ lnx 0＋ 1，即 e x 0＋ lnx 0＋ 1＝ 0，x 0 ＋2e设 h(x) ＝ e 2x ＋ lnx ＋ 1 ，则 h ′ (x) ＝ e2＋ 1x ，当 x>0 时 h ′ (x)>0 ，∴ h(x) 是单调递增函数，∴ h(x)＝ 0 最多只有一个根，121 11又 h( 2× 220 ＝ 2e )＝ ee ＋ ln e ＋1＝ 0，∴x，e1e2＝ 0.由 f ′ (x0)＝－ 1得切线方程是x＋ y＋1 ，220 ．在曲线 y＝ x (x ≥ 0) 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为12试求：(1)切点 A 的坐标；(2)过切点 A 的切线方程．[解析 ]如图所示，设切点A( x 0，y0)，由 y′＝ 2x 知过 A 点的切线方程为y － y 0＝ 2x 0(x－ x0)，2即y ＝ 2x 0x－ x0 .令 y ＝ 0 得 x ＝x 0，即 Cx 0， 0 .22设由曲线和过A 点的切线及 x 轴所围成图形的面积为S ，21 3S ＝ S 曲边△AOB － S △ABC ， S 曲边△AOB ＝ ∫ x 00 x dx ＝ 3x 0 ，△1 1 － x 02 13 ABC ＝x 00＝0，即 S ＝1x 03－ 1x 03＝ 1 x 03＝ 1 .3 4 12 12所以 x 0＝ 1，从而切点A(1,1) ，切线方程为 y ＝ 2x － 1.21． (2014 山·东省德州市期中 )统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升 )关于行驶速度x(千米 /小时 )的函数为y ＝ 1 x 3－ 3x ＋ 8(0<x<120) ．128000 80(1) 当 x ＝ 64 千米 /小时时，行驶100千米耗油量多少升？(2) 若油箱有22.5 升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？100 25[解析 ] (1)当 x ＝ 64 千米 /小时时，要行驶100 千米需要 64 ＝16 小时，要耗油 (1 × 643－ 3 × 64 ＋ 8) ×25＝ 11.95( 升 )．1280008016(2) 设 22.5 升油能使该型号汽车行驶a 千米，由题意得，133 a(x－80x ＋8)× x ＝ 22.5，128000∴ a ＝22.5，1x 2＋ 8 － 3128000 x 801283x ＋ －， 设 h(x) ＝ 128000 x80则当 h(x) 最小时， a 取最大值，18 x 3－803x－2＝2，h ′ (x) ＝ 64000x 64000x令 h ′ (x) ＝ 0? x ＝ 80 ，当 x ∈ (0,80) 时， h ′ (x)<0 ，当 x ∈ (80,120) 时， h ′ (x)>0 ，故当 x ∈(0,80) 时，函数h(x) 为减函数，当 x ∈ (80,120) 时，函数 h( x) 为增函数，∴当 x ＝ 80 时， h(x) 取得最小值，此时 a 取最大值为∴a＝122.53＝200.28－128000×80 ＋8080答：若油箱有22.5 升油，则该型号汽车最多行驶200 千米．。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(有答案解析)(4)
一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2450B ．2451C ．2452D ．2453 3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ）A ．28B ．76C ．123D ．1994．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于25．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()()2f x f x '=，12()(),2f x f x '=，*1()()()2n n f x f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --8．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确9．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．010．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12511．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为0022Ax By c d A B++=+,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___.14．如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．16．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．17．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.18．研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(1,2)，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”，有如下解法：由22110()()0ax bx c a b c x x-+>⇒-+>，令1y x=，则1(,1)2y ∈，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为__________.19．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．20．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．三、解答题21．在数列{}n a 中，11a =，()*121n n n a a n N n++=+∈. （1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 22．将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++= ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即 123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++= ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立． 23．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式.25．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()2225222a b +++≥. 26．已知数列{}11,2n a a =，133n n n a a a +=+. （1）求2345,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．B解析：B 【解析】 【分析】设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====， 故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=， 由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,化简可得()()()1222112n n n a n n -+--==-，故()11n a n n =-+， 故50504912451a =⨯+=，即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3．C解析：C 【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.5．C解析：C 【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C.点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.6．A解析：A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾， 故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．7．B解析：B 【解析】分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f1（x ）'f x x cosx ，∴f1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f3（x ）=x sinx ， ∴f3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f5（x ）=x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin xe x x -，故选：B ．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.8．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误， 故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题9．B解析：B 【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=， 则在①、②中，当13a b c ===时，满足1a b c ++=，所以命题不正确； 对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的； 对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于14，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于14，所以是正确的； 综上可知，正确的命题由两个，故选B.点睛：本题主要考查了 命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．C解析：C 【解析】 设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C11．C解析：C 【详解】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符； 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符； 当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符. 故选C.点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.12．B解析：B 【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M ，由此可得结论． 【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014， 故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1， 从右到左第2行的第一个数为：3×20， 从右到左第3行的第一个数为：4×21， …从右到左第n 行的第一个数为：（n+1）×2n ﹣2，第2017行只有M ，则M=（1+2017）•22015=2018×22015 故答案为：B ． 【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离2d ==，故答案是2.点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.14．194【解析】由题意得前行共有个数第行最左端的数为第行从左到右第个数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数列的特征进而判断出该数列的解析：194 【解析】由题意得，前19行共有19(119)1902+=个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.15．392【解析】由题意可得将三个括号作为一组则由第50个括号应为第17组的第二个括号即50个括号中应有两个数因为每组中有6个数所以第48个括号的最后一个数为数列的第项第50个括号的第一个数为数列的第项解析：392 【解析】由题意可得，将三个括号作为一组，则由501632=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{}21n -的第16696⨯=项，第50个括号的第一个数为数列{}21n -的第166298⨯+=项，即2981195⨯-=，第二个数是2991197⨯-=，所以第50个括号内各数之和为195197392+=16．11【解析】A 到E 的时间为2+4=6小时或5小时A 经C 到D 的时间为3+4=7小时故A 到F 的最短时间就为9小时则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时即组装该产品所需要的最短时间是11小时解析：11 【解析】A 到E 的时间，为2+4=6小时，或5小时， A 经C 到D 的时间为3+4=7小时， 故A 到F 的最短时间就为9小时， 则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时， 即组装该产品所需要的最短时间是11小时17．4n+2【解析】解：观察分析图案得到规律第1个第2个第3个…个图案有白色地板砖分别是61014…个组成一个公差是4首项为6的等差数列因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个公差是4，首项为6的等差数列．因此第n个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2．故答案为：4n+2．18．【解析】解析：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】关于x的不等式111kx bxax cx-+<--可化为111bk xa cx x-+<--，则由题设中提供的解法可得：1111(2,1)(2,3)(,)(,1)232xx-∈--⋃⇒∈--⋃，则关于x的不等式111kx bx ax cx -+< --的解集为111(,)(,1)232--，应填答案111(,)(,1)232--．19．1和3【详解】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.20．丙【详解】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用解析：丙【详解】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.21．（1）24a =，39a =，416a =；（2）2n a n =，证明见解析.【分析】（1）根据数列递推关系，把1n =、2、3分别代入，求出2a 、3a 、4a 的值；（2）先假设n k =时，2k a k =成立，再证明1n k =+时，猜想也成立.【详解】 （1）11a =，1n a +21n n a n+=+，22314a a ∴=+=，32219a a =+=，4351163a a =+=；（2）由（1）猜想2n a n =，用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，11a =，猜想显然成立； ②设n k =时，猜想成立，即2k a k =， 则当1n k =+时，()22121211k k k a a k k k k++=+=++=+， 即当1n k =+时猜想也成立， 由①②可知，猜想成立，即2n a n =. 【点睛】运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.22．①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【分析】根据数学归纳法的定义依次填空得到答案. 【详解】123219++++=，123432116++++++=，由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =++++-++-++++=，下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立， 即2123(1)(1)321k a k k k k =++++-++-++++=．当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=++++-+++++-++++()2211k k a k +=+=+，等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立. 故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ； ⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力. 23．见解析. 【解析】分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证1n =时不等式成立；（2）假设当()*,1n k k N k =∈≥时成立，利用放缩法证明1n k =+时，不等式也成立．详解：证明：①当1n =时，左边111224=>，不等式成立. ②假设当()*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即11111112324k k k k k +++⋅⋅⋅+>++++， 则当1n k =+时，111112322122k k k k k ++⋅⋅⋅+++++++ 11111232k k k k =+++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 111112421221k k k >++-+++， ∵11121221k k k +-+++ ()()()()()21212212121k k k k k +++-+=++()()102121k k =>++，∴11111232k k k k +++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 1111111242122124k k k >++->+++， ∴当1n k =+时，不等式成立.由①②知对于任意正整数n ，不等式成立.点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．24．（I ）()541f =；（II ）()2221f n n n =-+.【解析】试题分析：（I ）先用前几项找出规律()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯,可知()5254441f =+⨯=；（II ）由（I ）知()()14f n f n n +-=,然后利用累加法求出()2221f n n n =-+.试题 解：（I ）()11f =，()25f =，()313f =，()425f =，∴()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯∴()5254441f =+⨯=．（II ）由上式规律得出()()14f n f n n +-=．∴()()2141f f -=⨯，()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋅⋅⋅，()()()1242f n f n n ---=⋅-，()()()141f n f n n --=⋅-∴()()()()()14122121f n f n n n n ⎡⎤-=++⋅⋅⋅+-+-=-⋅⎣⎦， ∴()2221f n n n =-+．考点：1.合情推理与演绎推理；2.数列累加法求通项公式. 25．见解析. 【分析】将代数式()()2222a b +++展开，利用基本不等式()2222a b a b ++≥可证出所证的不等式. 【详解】222a b ab +≥，()()2222222a babab a b ∴+≥++=+，则()222122a b a b ++≥=，()()()222212522484822a b a b a b ∴+++=++++≥++=， 当且仅当12a b ==时，等号成立，因此，()()2225222a b +++≥. 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解题的关键就是对基本不等式进行变形，再对所证不等式进行配凑得到，考查计算能力，属于中等题． 26．（1）237a =，338a =，439a =，5310a =.（2）证明见解析. 【分析】利用递推式直接求2a 、3a 、4a 、5a ，猜想数列{}n a 的通项公式为35n a n =+()*n N ∈用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由112a =，133n n n a a a +=+，得121333213732a a a ===++，232933733837a a a ===++，444933833938a a a ===++， 5559339331039a a a ===++. （2）由（1）猜想35n a n =+，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，131152a ==+猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即35k a k =+. 则当n ＝k ＋1时，133335331535k k k a k a a k k +⨯+===+++++，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知，对n ∈N *，35n a n =+都成立． 【点睛】本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.。
(完整版)数学选修2-2练习题及答案
目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
(word完整版)高中数学选修2-2第一章导数测试题
选修2-2第一章单元测试（一）时间：120分钟总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分） 1 .函数f(x)= x sinx 的导数为( A. f ‘ (x) = 2 x sinx + . x cosx2. 若曲线y = x 2 + ax + b 在点(0, b)处的切线方程是x — y +1 = 0, 则()A . a = 1, b = 1B . a =— 1, b = 1C . a = 1, b =— 1D . a =— 1, b =— 13.设 f(x) = xlnx ,若 f ‘(x o )= 2,则 x 0 =() In2 A . e 2B . eC^^D . ln24. 已知 f(x) = x 2 + 2xf ‘ (1),贝S f ‘ (0)等于( )B . f ‘ (x) = 2 x sinx — x cosx, sinx 厂C . f (x)= 2 x + x cosxD . f ‘sinx 厂(x)= 2 x — x cosx-3 -316. 如图是函数y= f（x）的导函数的图象，给出下面四个判断:①f(x)在区间［—2,—1］上是增函数；②x=—1是f(x)的极小值点；③f(x)在区间［—1,2］上是增函数，在区间［2,4］上是减函数；④x= 2是f(x)的极小值点.其中，所有正确判断的序号是()A .①②B .②③C.③④ D .①②③④7. 对任意的x€ R,函数f(x) = x3+ ax2+ 7ax不存在极值点的充要条件是()A. O w a w 21B. a= 0 或a = 7C. a<0 或a>21D. a= 0 或a= 218某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q,则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q= 8 300—170P—P2，则最大毛利润为(毛利润 =销售收入—进货支出)()A . 30 元B. 60 元C. 28 000元D. 23 000 元x9. 函数f(x) = —g(a<b<1)，则()A. f(a) = f(b) B . f(a)<f(b)C. f(a)>f(b)D. f(a), f(b)大小关系不能确定10. 函数f(x)=-x3+x2+ x —2的零点个数及分布情况为()1A .一个零点，在一X,—3内1B. 二个零点，分别在—x,—3 , (0,+x)内1 1c.三个零点，分别在一x,—3 , 一3，0, (1，+*)内1D. 三个零点，分别在—X,—3，(0,1), (1,+工)内11. 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x—1)f‘ (x) >0,则必有()A . f(0) + f(2)<2f(1) B. f(0) + f(2)< 2f(1)C. f(0) + f(2) >2f(1) D . f(0) + f(2)>2f(1)12. 设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f‘ (x)>f(x)，对任意的正数a,下面不等式恒成立的是()A. f(a)<e a f(0)B. f(a)>e a f(0)C. f(a)v号D.")>罟二、填空题侮小题5分，共20分)113. 过点(2,0)且与曲线y=-相切的直线的方程为/输入(结束〕116. 已知函数f(x) = qmx2+ Inx—2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________ .三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17. (10 分)设函数f(x) = —x3—2mx2—m2x + 1 —m(其中m> —2)的图象在x = 2处的切线与直线y= —5x+ 12平行.(1) 求m的值；(2) 求函数f(x)在区间［0,1］上的最小值.18. (12 分)已知函数f(x) = kx3—3(k + 1)x2—k2+ 1(k>0)，若f(x)的单调递减区间是(0,4),1(1)求k的值；(2)当k<x时，求证：2 x>3—-x19. (12分)已知函数f(x)= kx3—3x2+ 1(k> 0).(1)求函数f(x)的单调区间；⑵若函数f(x)的极小值大于0,求k的取值范围.20. (12分)湖北宜昌“三峡人家”风景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调101 查，旅游增加值y万元与投入x(x> 10)万元之间满足：y= f(x) = ax2+而x—bl口希,a, b 为常数，当x= 10 时,y= 19.2;当x= 20 时,y= 357(参考数据：ln2 = 0.7, In3 = 1.1, ln5 = 1.6)(1)求f(x)的解析式；⑵求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值.(利润=旅游收入—投入)1 121. (12 分)已知函数f(x) = 3X3—2X2+ cx+ d 有极值.(1)求c的取值范围；1 一⑵若f(x)在x= 2处取得极值，且当x<0时，f(x)<6d2+ 2d恒成立, 求d的取值范围.22. (12分)(2015银川一中月考)设a为实数，函数f(x) = e x—2x+ 2a, x€ R.(1)求f(x)的单调区间与极值；⑵求证：当a>ln2 — 1 且x>0 时，e x>x2—2ax + 1.答案2 A •/y'= 2x+ a,•••曲线y = x2+ax+ b在(0, b)处的切线方程的斜率为a, 切线方程为y —b= ax,即ax—y+ b= 0；・a= 1, b= 1.3. B f ‘(x) = (xlnx) '= lnx + 1,「• f ‘ (x o ) = lnx o + 1 = 2,「. x o = e.4. B f (x) =2x + 2f ‘ (1),A f (1)= 2 + 2f ‘ (1)，即 f ‘ (1)=- 2,二 f (x) = 2x -4,A f (0)=- 4.5. D 由定积分的几何意义可知，函数y = f(x)的图象与x 轴围成 的阴影部分的面积为1 — 3f(x)dx — 3f(x)dx.故选D.i6. B 由函数y =f(x)的导函数的图象可知：(1) f(x)在区间［—2, — 1］上是减函数，在［—1,2］上是增函数，在［2,4］ 上是减函数；(2) f(x)在x =— 1处取得极小值，在x = 2处取得极大值.故②③正 确. 7. A f (x) = 3x 2 + 2ax + 7a ,当 △= 4a 2 — 84a <0,即卩 0W a <21 时，f ‘ (x) >0恒成立，函数不存在极值点.故选 A.& D 设毛利润为L(P),由题意知 L(P)= PQ — 20Q = Q(P — 20) =(8 300— 170P — P 2)(P — 20) =—P 3 — 150P 2 + 11 700P — 166 000, 所以 L ‘ (P) = — 3P 2— 300P + 11 700, 令 L ' (P)= 0,解得 P = 30 或 P =— 130(舍 去). 此时，L(30)= 23 000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件 30元时，最大毛利润为23 000元.e x — xe x x — 11. C F (x) = ( x) 选C.sinx + x (sinx)'=^x sinx +G cosx ,故9. C F(x)=—否 2 = e x，当x<1时，f‘ (x)<0，即f(x)在区间(一汽1)上单调递减，又•: a<b<1，二f(a)>f(b).110. A 利用导数法易得函数f(x)在一 = ,—3内单调递减，在1 1 59—3, 1内单调递增，在(1, +x)内单调递减，而f — 3 = —27<o，f(1)=—1<0,故函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点，且交点横坐标在1— X,—3内，故选A.11. C 当1<x< 2 时，f‘(x)》0,贝y f(2)>f(1); 而当0W x< 1 时，f‘(x)<0,贝S f(1)<f(0),从而f(0) + f(2)> 2f(1).f x f' x 一f x12. B 构造函数g(x)=孑，贝S g' (x)= e x >0,故函数f x fa f 0g(x) = *在R 上单调递增，所以g(a)>g(0),即f er>f-^,即f(a)>e a f(0). DD D13. x+ y —2= 0解析：设所求切线与曲线的切点为P(x o, y o),1 1T y'= —p,二y' |x=x o= —鬲所求切线的方程为1y—y o= —x0(x一X o).T点(2,0)在切线上，= y 「・x2y o= 2—X.①由①②解得X o =1, y o•••所i4.n解析： 1 1 jn jn jnM = 1 1— x 2dx = 4 nX 12 = 4, N =/2o cosxdx = sinx 刖=1,冗 M<N ,不满足条件 M>N ,贝S S = M = 4.15.16. [1,+乂)1解析：根据题意，知f ‘ (x)= mx + --2>0对一切x>0恒成立，x1 2121 1二 m >- - 2 + _,令 g(x) =-- 2 + _=_ -- 1 2+ 1,则当_ = 1 时，函 X x x x x x数g(x)取得最大值1,故m 》1.17.解:(1)因为 f ‘ (x)=- 3x 2-4mx - m 2, 所以 f ‘ (2) = - 12-8m -m 2=- 5,解得m =- 1或m =- 7(舍去)，即m =- 1. (2)令 f ‘ (x)=- 3x 2+ 4x — 1= 0,1解得 X 1 = 1 , x 2 = §.当X 变化时，f ‘ (x), f(x)的变化情况如下表:解析:f ‘(x)= mX m 1 + a =2x +1,得 m = 2,a = 1. 则 f(x) = x 2 + x , 丄—1 _ 11f n n n + 1 n n +1， 11 1 1其和为彳―2 + 1—§ +—4 +…+1-七=1-丄=亠 nn + 1 n + 1 n + 1F (x) 一+f(x)2\ 150 2721 50所以函数f(x)在区间［0,1］上的最小值为f3 = 50.18.解：(1)f ‘ (x) = 3kX — 6(k + 1)x ,2k + 2由 f ‘ (x)<0 得 0<x<一 ,T f(x)的递减区间是(0,4),(2)当k = 0时，函数f(x)不存在极小值, 2 8 12 当k>0时，依题意f =迄—迄+1>0, 即k 2>4，所以k 的取值范围为(2,+乂 ).2k + 2 ‘=4,k = 1.1 11 (2)证明：设 g(x) =2 x + x ，g‘(x)= x —x 2.••• g ‘ (x)>0,「. g(x)在 x € ［1,+乂)上单调递增.1••• x>1 时，g(x)>g(1), 即卩 2 x + ->3,zv二 2 x>3 — £zv19. 解：(1)当 k = 0 时，f(x) = — 3x 2 + 1,• f(x)的单调增区间为(一乂，0］,单调减区间［0,+乂 ).2当 k>0 时，f ‘(x)= 3kx 2— 6x = 3kxx —k , ••• f(x)的单调增区间为 ,单调减区间为0 当x>1时, o20.解：(1)由条件得1解得a =—而，b =1,X 101 x 则 f(x)= — 100+ 50 x — ln^0(x > 10).(2)由题意知x 2 51 xT (x) = f(x) — x =—而+50x — ln^0(x > 10),令「(x)= 0,贝S x = 1(舍去)或 x = 50.当 x € (10,50)时，T ‘ (x)>0, T(x)在(10,50)上是增函数； 当 x € (50, +乂)时，T (x)<0, T(x)在(50, +乂)上是减函数, 二x = 50为T(x)的极大值点，又T(50) = 244故该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值为24.4万元.1 121.解: (1) v f(x) = §x 3—*2+cx + d ,二f ‘ (x) = x 2 — x +c,要使 f(x)有极值，则方程 f ‘ (x) = x 2— x + c = 0, 1 有两个实数解，从而 △= 1 —4c>0，二c<4.(2) v f(x)在x = 2处取得极值， ••• f (2) = 4 — 2+ c = 0, • c =-1 1-2. •- f(x) = 3X 3 — ^x 2 — 2x + d.a x 102+ x 10— blnl 19.2 a x 202 + 101而 x 20— bln2= 35.7—x 51 1+ ——- 50 + 50 x x — 1 x — 5050xV f (x) = x 2 — x — 2= (x — 2)(x + 1),•••当 x € ( — s,— 1)时，F (x)>0，函数单调递增，当 x € (— 1,2] 时，f ‘ (x)<0，函数单调递减.• x<0时，f(x)在x =— 1处取得最大值右+ d ,1 一V x<0 时，f(x)v§d 2 + 2d 恒成立,••• d<— 7 或 d>1,即d 的取值范围是(— s,— 7)U (1,+乂). 22.解:(1)f ‘ (x) = e — 2, x € R.令 f (x) = 0,得 x = ln2.于是，当x 变化时，f (x)和 f(x)的变化情况如下表:故f(x)的单调递减区间是(一s, |n2),单调递增区间是(In2，+s ), f(x)在x = In2处取得极小值，极小值为f(ln2) = 2— 2ln2 + 2a.(2)证明：设 g(x) = e 一x 2 + 2ax — 1, x € R , 于是 g ‘ (x) = 3— 2x + 2a , x € R.由(1)及 a>ln2 — 1 知，对任意 x € R ,都有 g ‘ (x)>g ‘ (In2) = 2— 2ln2 + 2a>0，所以g(x)在R 内单调递增.于是，当a>l n2 — 1时，对任意x € (0,+s ),都有g(x)>g(0),而 g(0)=0, 从而对任意x € (0,+s )，都有g(x)>0, 即 e x — x 2 + 2ax —1>0, 故 e x >x 2 — 2ax + 1.Vd + 7- 6即(d + 7)(d —14. 已知M = * 1d1 —x2dx, N= n cosxdx,则程序框0 图输出的S= . 15. 设函数f(x) = x m+ ax 的导数为f‘ (x)= 2x+ 1,1则数列fn(n€ N+)的前n项和是 __________ .。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习题及答案
1 1 1 25 ． + +⋯+ < n+1 n+2 2n 36
即
2n 1 1 1 1 n + +⋯+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n − ln n = ln 2， n+1 n+2 2n x n
因为ln 2 ≈ 0.6931 ， 25 ≈ 0.6944 ，所以ln 2 < 25 ．所以
3 1
π 2 dx；（3）∫ 0 2 (sin x − cos x)dx． x
∫
(1 + x + x2 ) = ∫
3 1
1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 1 = (3 − 1) + (3 2 − 1 2 ) + (3 3 − 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n
b−a f (ξi )， n
当 n → ∞ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分（definite integral），记作 ∫ ab f (x)dx，即
∫
b a
f (x)dx = lim ∑
∫
b a
f (x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a).
例题： 利用定积分定义计算： （1）∫ 1 (1 + x)dx；（2）∫ 0 xdx． 解：（1）因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续，将区间 [1, 2] 分成 n 等份，则每个区间的
【高中数学选修2-2：第一章-导数及其应用-单元测试题
【高中数学选修2-2：第一章-导数及其应用-单元测试题数学选修2-2第一章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1x 2在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是( )A.134 B.54 C ．8D ．43．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A ．[0，π2]B ．[0，π2]∪[34π，π)x＝1的对称点B也在函数f(x)的图像上．19．(12分)设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求常数a，b；(2)试判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．21．(12分)(2010·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．22．(12分)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋1－x1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．参考答案 1.答案 A解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1、x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.5.答案 A解析 f (x )＝cos 2x －cos x －1，∴f ′(x )＝－2sin x ·cos x ＋sin x ＝sin x ·(1－2cos x )． 令f ′(x )>0，结合选项，选A. 6.答案 D 7.答案 D 8.答案 A 9.答案 B解析 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a <0， f (x )＝0在(0,2)上恰好有一个根，故选B. 10.答案 D 11.答案 C解析 数形结合，如图．⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x ＝ ⎪⎪⎪13x 310⎪⎪⎪＋(2x －12x 2)21＝13＋(4－2－2＋12) ＝56，故选C . 12.答案 A解析 f ′(x)＝x cos x －sin xx 2，令g(x)＝x cos x －sin x ，则g ′(x)＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x.∵0<x<1，∴g ′(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f ′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b ，故选A .13.答案 23解析 f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.14.答案 c<a<b解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f ′(x)＝1＋cos x ≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.15.答案 f(x)＝23x ＋83解析 设函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b ＝4－2a.∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01 (ax ＋4－2a)d x＝[12ax 2＋(4－2a)x] |10＝12a ＋4－2a ＝1.∴a ＝23.∴b ＝83.∴f(x)＝23x ＋83.16.答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.17.解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 3310＝12－13＝16. 又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx)d x ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－k 2x 2－x 331－k 0＝16(1－k)3. 又S ＝16，所以(1－k)3＝12，∴k ＝1－342.18.解析 (1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2)单调递减，∴x ＝1时，取得极大值，∴f ′(1)＝0. 又f ′(x)＝4x3－12x2＋2ax ， ∴4－12＋2a ＝0⇒a ＝4.(2)点A(x0，f(x0))关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(2－x0，f(x0))，f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1 ＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1 ＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，∴A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上． 19.解析 f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b. (1)由极值点的必要条件可知：f ′(－2)＝f ′(4)＝0，即⎩⎨⎧12－4a ＋b ＝0，48＋8a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－24.或f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝3(x ＋2)(x －4) ＝3x2－6x －24， 也可得a ＝－3，b ＝－24. (2)由f ′(x)＝3(x ＋2)(x －4)．当x ＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x ＜4时，f ′(x)＜0. ∴x ＝－2是极大值点，而当x ＞4时，f ′(x)＞0， ∴x ＝4是极小值点．20.解析 a ≠0(否则f(x)＝b 与题设矛盾)，由f′(x)＝3ax2－12ax＝0及x∈[－1,2]，得x＝0.(1)当a＞0时，列表：x (－1,0) 0 (0,2)f′(x) ＋0 －f(x) 增极大值b 减由上表知，f(x)在[－1,0]上是增函数，f(x)在[0,2]上是减函数．则当x＝0时，f(x)有最大值，从而b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，∵a＞0，∴f(－1)＞f(2)．从而f(2)＝－16a＋3＝－29，得a＝2.(2)当a＜0时，用类似的方法可判断当x＝0时f(x)有最小值．当x＝2时，f(x)有最大值．从而f(0)＝b＝－29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－2.综上，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.21.解析(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b.因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令 g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时， g ′(x )>0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 22.分析 解答本题，应先正确求出函数f (x )的导数f ′(x )，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．解析 (1)f ′(x )＝aax ＋1－2(1＋x )2＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2， ∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，即a ·12＋a －2＝0，解得a ＝1. (2)f ′(x )＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2，∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当0<a<2时，由f′(x)>0，解得x> 2－a a.由f′(x)<0，解得x< 2－a a.∴f(x)的单调减区间为(0, 2－aa)，单调增区间为(2－aa，＋∞)．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；当0<a<2，由(2)②知，f(x)在x＝2－aa处取得最小值，且f(2－aa)<f(0)＝1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．。
(完整版)数学选修2-2练习题及答案
目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
数学北师大版高中选修2-2第一章 推理与证明练习题
第一章 推理与证明练习题1．“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的．”此推理方法是： ；2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为： ；3．证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n<n ＋1(n >1)，当n ＝2时，中间式等于： ；4．否定结论“至多有两个解”的说法是： ；5．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为： ；6．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法……则他从平地上到第n 级(n ≥3)台阶时的走法f (n )等于： ；7．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值一定： ；8．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013等于： ；9．一个数列{a n }的前n 项为35，12，511，37，717，….则猜想它的一个通项公式为a n ＝________.10．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形．图111．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为________．12．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：________________.13．已知a ＋b ＋c ＝0，比较ab ＋bc ＋ca 的大值与0的大小；14．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________________．15．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .16．(2014·银川模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N ＋)B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N ＋)C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N ＋)D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋)17．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72.推测：当n ≥2时，有____________．18．(2014·陕西文，14)已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋， 则f 2014(x )的表达式为________．19．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图2为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图2(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f ＋1f －1＋1f －1＋…＋1f n －1的值．20．(本小题满分14分)函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x2(x >0)，f n ＋1(x )＝f 1[f n (x )]．(1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明．21．已知数列{a n }，a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．22．(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．[解析] (1)解：因为对任意n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r均为常数)的图像上，所以S n ＝b n＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r )＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1，又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1， b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ， 则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式：32·54·76…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立， 即32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1.则当n ＝k ＋1时， 左边＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝k ＋2k ＋＝k ＋2＋k ＋＋1k ＋＝k ＋＋1＋1k ＋>k ＋＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可得，不等式对任何n ∈N ＋都成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1恒成立．【解】 (1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由以上规律，可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ，因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，所以f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)]＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f n －1＝12n n －＝12(1n －1－1n)，所以1f ＋1f －1＋1f －1＋…＋1f n －1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋12(1－1n )＝32－12n.18．(本小题满分14分)函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x2(x >0)，f n ＋1(x )＝f 1[f n (x )]．(1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明． 解：(1)f 1(x )＝x1＋x2(x >0)，f 2(x )＝x1＋x21＋x 21＋x 2＝x1＋2x 2，f 3(x )＝x1＋2x 21＋x 21＋2x2＝x 1＋2x 2＋x 2＝x1＋3x 2. (2)猜想f n (x )＝x1＋nx2，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，命题显然成立．②假设当n ＝k 时，f k (x )＝x1＋kx2，那么f k ＋1(x )＝x1＋kx 21＋x21＋kx2＝x1＋kx 2＋x2＝x 1＋k ＋x 2.这就是说，当n ＝k ＋1时命题成立．由①②，可知f n (x )＝x1＋nx2对所有n ∈N ＋均成立．20．已知数列{a n }，a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．[分析] 利用不完全归纳法猜想归纳出a n ，然后用数学归纳法证明．解题的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k ＋1和S k 与S k ＋1之间的关系．[解析] (1)由已知，得a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a3＝5＋5＋10＝20，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5×2n －2n .(2)①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，表达式成立．当n ＝1时显然成立，下面用数学归纳法证明n ≥2时结硫化亦成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时表达式成立，即a k ＝5×2k －2， 则当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋－2k －11－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故当n ＝k ＋1时，表达式也成立．由①②可知，对一切n (n ≥2，n ∈N ＋)都有a n ＝5×2n －2.[点评] 本题先用不完全归纳法猜想出通项，然后用数学归纳法证明，考查了由特殊到一般的数学思想，也考查了数列知识，在高考中这类题往往是压轴题．解决方法是观察与分析法，也就是说解决这类题要注意观察数列中各项与其序号的变化关系，归纳出构成数列的规律，同时还要注意第一项与其他各项的差异，从而发现其中的规律．21．(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．[解析] (1)解：因为对任意n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r均为常数)的图像上，所以S n ＝b n＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r )＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1，又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1， b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ， 则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式：32·54·76…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立， 即32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1.则当n ＝k ＋1时， 左边＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝k ＋2k ＋＝k ＋2＋k ＋＋1k ＋＝k ＋＋1＋1k ＋>k ＋＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可得，不等式对任何n ∈N ＋都成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1恒成立．第一章 推理与证明 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的．”此推理方法是( )A ．演绎推理B ．归纳推理C ．类比推理D ．以上都不对【解析】 由部分推断全体，是归纳推理． 【答案】 B2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( ) A ．25 B ．6 C ．7 D ．8【解析】 将数列分组得(1)，(2,2)，(3,3,3)，(4,4,4,4)，…，这样每一组的个数为1,2,3,4，…；其和为n n ＋2，令n ＝6，则有6×72＝21，所以第25项在第7组，因此第25项是7.【答案】 C3．证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n<n ＋1(n >1)，当n ＝2时，中间式等于( )A ．1B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋14【解析】 中间的式子共有2n 项，故n ＝2时，中间的式子等于1＋12＋13＋14.【答案】 D4．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A ．有一个解 B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解【解析】 “至多有两个解”包含有两解，仅有一解，和无解，故其否定为至少有三个解．【答案】 C5．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定【解析】 a ＝1c ＋1＋c ，b ＝1c ＋c －1，显然a <b .【答案】 B6．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)【解析】 设△ABC 的内心为O ，连接OA ，OB ，OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .【答案】 C 7．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法……则他从平地上到第n 级(n ≥3)台阶时的走法f (n )等于( )A ．f (n －1)＋1B ．f (n －2)＋2C ．f (n －2)＋1D ．f (n －1)＋f (n －2)【解析】 要到达第n 级台阶有两种走法：(1)在第n －2级的基础上到达；(2)在第n －1级的基础上到达．【答案】 D8．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值一定( )A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．正负都可能【解析】 f (x )＝x 3＋x 是奇函数且在R 上是增函数，由a ＋b >0，得a >－b ，故f (a )>f (－b )，可得f (a )＋f (b )>0.同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0.所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0.【答案】 A9．(2012·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199【解析】 记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.【答案】 C10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013等于( )A.12B ．－1C ．2D ．3【解析】 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)∴a 2 013＝a 3＋3×670＝a 3＝2. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上)11．一个数列{a n }的前n 项为35，12，511，37，717，….则猜想它的一个通项公式为a n ＝________.【解析】 数列可写成35，48，511，614，717，….猜想通项公式a n ＝n ＋23n ＋2.【答案】 n ＋23n ＋212．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形．图1【解析】根据规律和第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.第n 个图形中有1＋2＋…＋(n ＋1)＝n ＋n ＋2.【答案】 28 n ＋n ＋213．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为________．【解析】 就x 是否等于a ，b 而言有四种情形：①x ＝a ，x ≠b ；②x ≠a ，x ＝b ；③x ＝a ，x ＝b ；④x ≠a ，x ≠b .故应假设x ＝a 或x ＝b . 【答案】 x ＝a 或x ＝b14．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：________________.【解析】 根据等差、等比数列中运算的性质知： 在等比数列{b n }中会有10a 11·a 12·…·a 20＝30a 1·a 2·…·a 30.【答案】 10a 11·a 12·…·a 20＝30a 1·a 2·…·a 30三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)用反证法证明：如果x >12，那么x 2＋2x －1≠0.【证明】 假设x 2＋2x －1＝0， 则解得x 1＝2－1，x 2＝－2－1.又x 1<12，x 2<12，这与已知x >12矛盾．故假设不成立，x 2＋2x －1≠0成立．16．(本小题满分12分)试比较2n 与n 2(n ∈N *)的大小关系，并用数学归纳法证明．【证明】 当n ＝1时，21>12，即2n >n 2，当n ＝2时，22＝22，即2n ＝n 2，当n ＝3时，23<32，即2n <n 2，当n ＝4时，24＝42，即2n ＝n 2，当n ＝5时，25>52，即2n >n 2，当n ＝6时，26>62，即2n >n 2， …猜测，当n ≥5时，2n >n 2.下面用数学归纳法证明猜测成立． ①当n ＝5时，由上可知猜测成立．②设n ＝k (k ≥5)时，命题成立，即2k >k 2. ∴2k ＋1＝2·2k >2k 2＝k 2＋k 2>k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时命题也成立．由①和②可得，n ≥5时，2n >n 2(n ∈N *)．17．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图2为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图2(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f ＋1f －1＋1f －1＋…＋1f n －1的值．【解】 (1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由以上规律，可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ，因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，所以f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)]＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f n －1＝12n n －＝12(1n －1－1n)，所以1f ＋1f －1＋1f －1＋…＋1f n －1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n)＝1＋12(1－1n)＝32－12n.18．(本小题满分14分)已知a、b、c＞0，求证：a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．【证明】∵a、b、c＞0，∴a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2，∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，将三式相加得，2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．∴a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测卷(含答案解析)(2)
一、选择题1．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．20482．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )A ．B ．C ．D ．3．设ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则()12S r a b c =++.类比这个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1S ，2S ，3S ,4S ，体积为V ，内切球半径为R ，则V =（ ）A ．()1234R S S S S +++B ．()123412R S S S S +++ C ．()123413R S S S S +++ D ．()123414R S S S S +++ 4．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确5．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()2f x '=，12()2f x '=，*1())2n n f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ）A ．(cos sin )x e x x +B ．(cos sin )x e x x -C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --6．设a R ∈,则三个数2,2,23a a a a +++（ ） A ．都大于13B ．都小于13C ．至少有一个不大于13D ．至少有一个不小于137．在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ）A ．3++=m n p r b b b bB ．3++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b bD ．3m n p r b b b b =8．袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A ．一定有3号球B ．一定没有3号球C ．可能有5号球D ．可能有6号球9．“有些指数函数是减函数，2x y =是指数函数，所以2x y =是减函数”上述推理（ ） A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都不是10．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( ) A ．12B ．14C ．16D ．1811．已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师.若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B ．甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C ．甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D ．甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师12．用反证法证明“自然数,,a b c 中至多有一个偶数”时，假设原命题不成立，等价于( )A ．,,a b c 没有偶数B ．,,a b c 恰好有一个偶数C ．,,a b c 中至少有一个偶数D ．,,a b c 中至少有两个偶数二、填空题13．已知1111()1232f n n n n n=+++++++，则()(1)f k f k +=+_________. 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*()n n S n a n N =-∈，猜想n a =__________．15．观察下面数表： 1， 3，5， 7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，………..设1027是该表第m 行的第n 个数，则m n +等于________.16．观察下列各式：(1) 2()2x x '=，(2) 43()4x x '=，(3) (cos )sin x x '=-，……，根据以上事实，由归纳推理可得：若定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()g x ，则(0)g =____. 17．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为，若31241234a a a a k ====，则12342234Sh h h h k+++=．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则1234234H H H H +++等于_____________． 18．如图所示，在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．19．用数学归纳法证明某命题时，左式为（n 为正偶数），从“n=2k”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________. 20．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖__________________块.三、解答题21．已知正数列{}n a 满足233312n a n =+++．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）试猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．22．已知数列{}n x 满足10x =，21n n n x x x c +=-++()n N *∈，104c <≤，求证：数列{}n x 是递增数列.23．将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++= ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即 123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++= ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立．24．已知数列{}n a 中，12a a =．()2122,n n a a a n n a *-=-≥∈N . （1）写出2a 、3a 、4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明．25．已知数列{}11,2n a a =，133n n na a a +=+. （1）求2345,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明. 26．设a ，b 均为正数，且a b ．证明：（1）664224a b a b a b +>+ （2）a ba b b a+>+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n +1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 项和为S n 1212n-==-2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n ()12n n +=，可得当n ＝10，所有项的个数和为55， 则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212﹣1， 则此数列前55项的和为S 12﹣23＝4072， 故选A ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．2．C解析：C 【分析】 结合题意可知,代入数据,即可.【详解】A 选项,13不满足某个数的平方,故错误;B 选项,,故错误;C 选项,故正确;D 选项,,故错误.故选C.【点睛】本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等.3．C解析：C 【解析】分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．详解：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为1234123411111()33333A BCD V S R S R S R S R S S S S R -=+++=+++ 故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查类比推理和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.（2）类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．4．C解析：C 【解析】分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①2p q +≤的命题否定为2p q +>，故①的假设正确.2x =-或2x =”的否定应是“2x ≠-且2x ≠”② 的假设错误，所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.5．B解析：B 【解析】分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f1（x ）'f x x cosx ，∴f1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f3（x ）=x sinx ， ∴f3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f5（x ）=x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin xe x x -，故选：B ．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.6．D解析：D 【解析】分析：由题意结合反证法即可确定题中的结论. 详解：不妨假设2,2,23a a a a +++都小于13，由不等式的性质可知：()()()22231a a a a +++++<，事实上：()()()2223aa a a +++++245a a =++ ()2211a =++≥，与假设矛盾，故假设不成立，即2,2,23a a a a +++至少有一个不小于13. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查不等式的性质，反证法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．D解析：D 【详解】分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论.详解：由题意，类比上述性质：在等比数列{}n b 中，则由“如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=”，则必有“3m n p r b b b b =”成立，故选D.点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）.8．D解析：D 【解析】甲说：“我无法确定.”说明两球编号的和可能为7包含（2，5），（3，4），可能为8包含（2，6），（3，5），可能为9包含（3，6），（2，7）乙说：“我无法确定.”说明两球编号的乘积为12包含（3，4）或（2 ，6） 根据以上信息,可以推断出抽取的两球中可能有6号球 故选D点睛：本题是一道通俗易懂的合情推理题目，主要考查同学们的逻辑思维能力和推理能力，问题难度不大，认真审题是关键.9．C解析：C 【解析】∵大前提的形式：“有些指数函数是减函数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C.10．B解析：B【解析】从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14．证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×13S•r=13•S•h，r=14h．（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）故选B．点睛：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14，证明方法是等积法（平面上等面积，空间等体积）．11．C解析：C【解析】丙的年龄比语文老师大，则丙是数学老师或英语老师，不是语文老师；甲的年龄和英语老师不同，则甲是数学老师或语文老师，不是英语老师；选项B错误；英语老师的年龄比乙小，则乙是数学老师或语文老师，不是英语老师；选项D错误；选项A中，英语老师的年龄比乙大，选项A错误；据此可得：甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师.本题选择C选项.12．D解析：D【解析】“至多一个”的反面是“至少2个”所以原命题等价命题是“a,b,c中至少有两个偶数”选D.二、填空题13．【分析】根据题意共有项且各项的分母从变到故得到的代数式再用表示【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用考查了数列的递推式解题时要认真审题仔细解答注意公式的灵活运用 解析：11121221k k k +-+++ 【分析】根据题意()f k 共有k 项且各项的分母从1k +变到2k ，故得到()1f k +的代数式，再用()f k 表示【详解】()11111232f n n n n n =+++++++， ()11111232f k k k k k∴=+++++++ ()()()()()1111111121321f k k k k k +=+++++++++++111112342122k k k k k =++++++++++()11121221f k k k k =++-+++ 故答案为11121221k k k +-+++ 【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，考查了数列的递推式，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．14．【解析】分析：令可求得由得两式相减得可依次求出观察前四项找出规律从而可得结果详解：中令可求得由得两式相减得即可得…归纳可得故答案为点睛：归纳推理的一般步骤:一通过观察个别情况发现某些相同的性质二从已解析：212n n -【解析】分析：令1n =，可求得112a =，由()n n S n a n N *=-∈，得()1112n n S n a n --=--≥， 两式相减，得()1122n n a a n -+=≥，可依次求出234,,a a a ，观察前四项，找出规律，从而可得结果.详解：n n S n a =- 中令1n ，=可求得1a =1112122-= 由()n n S n a n N *=-∈，得()1112n n S n a n --=--≥，两式相减，得11n n n a a a -=-+， 即()1122n n a a n -+=≥，可得222321;42a-==333721;82a-==4341521;182a-==…归纳可得212nn na-=，故答案为212nn-.点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.15．13【解析】根据上面数表的数的排列规律13579…都是连续奇数第一行1个数第二行2=21个数且第1个数是3=22﹣1第三行4=22个数且第1个数是7=23﹣1第四行8=23个数且第1个数是15=24解析：13【解析】根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22﹣1第三行4=22个数，且第1个数是7=23﹣1第四行8=23个数，且第1个数是15=24﹣1…第10行有29个数，且第1个数是210﹣1=1023，第2个数为1025，第三个数为1027；所以1027是第10行的第3个数，所以m=10，n=3，所以m+n=13；故填13．16．0【解析】由（x2）=2x中原函数为偶函数导函数为奇函数；（x4）=4x3中原函数为偶函数导函数为奇函数；（cosx）=﹣sinx中原函数为偶函数导函数为奇函数；…我们可以推断偶函数的导函数为奇函数解析：0【解析】由（x2）'=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（x4）'=4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（cosx）'=﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；…我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数故g （﹣x ）+g （x ）=0，即g （﹣0）=﹣g （0），g （0）=0 故答案为：0．17．【解析】试题分析：根据三棱锥的体积公式V=Sh 得：S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=V 即S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V ∴H1+2H2+3H3+4H4=考点：平面问题与空间问 解析：3V K【解析】试题分析：根据三棱锥的体积公式 V=13Sh 得：13S 1H 1+13S 2H 2+13S 3H 3+13S 4H 4=V ， 即S 1H 1+2S 2H 2+3S 3H 3+4S 4H 4=3V ， ∴H 1+2H 2+3H 3+4H 4=3VK考点：平面问题与空间问题中的类比思想．18．【解析】试题分析：在△DEF 中由正弦定理得于是类比三角形中的正弦定理在四面体S ﹣ABC 中我们猜想成立故答案为考点：类比推理解析：312123sin sin sin S S S ααα== 【解析】试题分析：在△DEF 中，由正弦定理，得sin sin sin d e fD E F==．于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S ﹣ABC 中，我们猜想312123sin sin sin S S S ααα==成立．故答案为312123sin sin sin S S S ααα==． 考点：类比推理．19．（写也给分）【解析】当n=2k 时左式为当n=2k+2时左式为所以增加的代数式为解析：112122k k -++（写 也给分）【解析】当n=2k 时，左式为111111.234212k k -+-++--, 当n=2k+2时，左式为11111111.2342122122k k k k -+-++-+--++ 所以增加的代数式为112122k k -++. 20．4n+2【解析】解：观察分析图案得到规律第1个第2个第3个…个图案有白色地板砖分别是61014…个组成一个公差是4首项为6的等差数列因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4解析：4n+2 【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个 公差是4，首项为6的等差数列．因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2． 故答案为4n+2．三、解答题21．（1）11a =；23a =，36a =；（2）猜想：()12n n n a +=，证明见解析． 【分析】（1）分别令1,2,3n =，即得1a ，2a ，3a 的值； （2）猜想()12n n n a +=，再利用数学归纳法证明. 【详解】（1）当1n =时，3211a =，又0n a >，∴11a =；当2n =时，332212a +=，解得23a =，当3n =时，33323123a ++=，解得36a =．（2）猜想()12n n n a +=， ①当1n =时，由（1）可知结论成立； ②假设当n k =时，结论成立，即()12k k k a +=成立， 则当1n k =+时，由3332l 2k k a +++=与()12k k k a +=得：()()2322211112k k k k k k a a a +++⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，∴()()()()()222223221112111444k k k k k k a k k k ++++⎛⎫=++=+++= ⎪⎝⎭，又0n a >， ∴()()1122k k k a +++=成立，综上所述得()12n n n a +=成立． 【点睛】方法点睛：用数学归纳法证明，一般是两步一结论，（1）证明当1n =时命题成立；（2）假设(1)n k k =≥时命题成立，再证明当1n k =+时，命题成立.（3）下结论. 22．证明见解析. 【分析】若104c<，要证{}n x 是递增数列．即证n x 对任意1n 成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可． 【详解】 证明：若104c <≤，要证{}n x 是递增数列.即210n n n x x x c +-=-+>，即证n x <1n ≥成立. 下面用数学归纳法证明：当104c <≤时，n x 对任意1n ≥成立.①当1n =时，1102x =<，结论成立②假设当n k =（1k，N k *∈）时结论成立，即k x <因为函数()2f x x x c =-++在区间1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以()1k k x f x f+=<=∴当1n k =+时，1k x +成立.由①，②知，0n x <<1n ≥，N n *∈成立. 因此，21n n n n x x x c x +=-+>，即{}n x 是递增数列.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．23．①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【分析】根据数学归纳法的定义依次填空得到答案. 【详解】123219++++=，123432116++++++=，由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =++++-++-++++=，下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立， 即2123(1)(1)321k a k k k k =++++-++-++++=．当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=++++-+++++-++++()2211k k a k +=+=+，等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立. 故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ； ⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力. 24．（1）232a a =，343a a =，454a a =；（2）猜想1n n a a n+=，证明见解析. 【分析】（1）利用递推公式可计算出2a 、3a 、4a 的值； （2）根据数列{}n a 的前四项可猜想出()1n n a a n N n*+=∈，然后利用数学归纳法即可证明出猜想成立. 【详解】（1）()2122,n n a a a n n a *-=-≥∈N ，12a a =，则222132222a a a a a a a a =-=-=， 2232242223332a a a a a a a a a a =-=-=-=，2243352224443a a a a a a a aa a =-=-=-=； （2）猜想()1n n a a n N n*+=∈，下面利用数学归纳法证明. 假设当()n k k N *=∈时成立，即1k k a a k+=， 那么当1n k =+时，2212222111k k a a k k a a a a a ak a k k ak++=-=-=-=+++， 这说明当1n k =+时，猜想也成立. 由归纳原理可知，()1n n a a n N n*+=∈. 【点睛】本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用数学归纳法证明数列通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 25．（1）237a =，338a =，439a =，5310a =.（2）证明见解析. 【分析】利用递推式直接求2a 、3a 、4a 、5a ，猜想数列{}n a 的通项公式为35n a n =+()*n N ∈用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由112a =，133n n n a a a +=+，得121333213732a a a ===++，232933733837a a a ===++，444933833938a a a ===++， 5559339331039a a a ===++. （2）由（1）猜想35n a n =+，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，131152a ==+猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即35k a k =+. 则当n ＝k ＋1时，133335331535k k k a k a a k k +⨯+===+++++，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知，对n ∈N *，35n a n =+都成立． 【点睛】本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设. 26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）运用作差比较法()()()()26642242222+a b a b a b a b a b +-+=-，判断差的符号，可得证；（2）运用作差比较法2-=，判断差的符号，可得证. 【详解】（1）因为a ，b 均为正数，且ab ，所以()()()()664224642624a b a b a b a a b b a b +-+=-+-()()()()()()242242222442222++>0a a b b b a a b a b a b a b =--=--=-，所以()()664224>0a b a b a b +-+，所以664224a b a b a b +>+成立. （2）因为a，b 均为正数，且a b，所以-=()2a b-==，>. 【点睛】本题考查用作差比较法证明不等式，把差式化成因式乘积的形式，是解题的关键，属于中档题.。
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高2数学2-2第1单元
命题人：秦天武
试卷满分：150分，考试时间：90分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1、 下列表述正确的是（ ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A ．①②③；
B ．②③④；
C ．②④⑤；
D ．①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 （ ）.
A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”
B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”
C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“
a b a b
c c c
+=+ （c ≠0）
” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n
（b ）”
3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
b ⊆/平面α，直线a ≠
⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然
是错误的，这是因为 （ ）
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
5、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004
折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004
6、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a
n ＋1
=a
a n --+112， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ ）
(A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3 7、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当
1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（ ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立
C ．当n=8时该命题不成立
D ．当n=8时该命题成立
8、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”（+∈N n ）时，从 “1n k n k ==+∂到”时，左边应增添的式子是（ ）
A ．12+k
B ．)12(2+k
C ．
1
1
2++k k D ．
1
2
2++k k 9、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )21
4121(2114131211n
n n n +++++=-++-+- 时，
若已假设2(≥=k k n 为偶
数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ） A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+=k n 时等式成立
C ．22+=k n 时等式成立
D ．)2(2+=k n 时等式成立
10、数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2，
S 3，猜想当n ≥1时，S n =（ ）
A ．12
12-+n n
B ．12
12--n n
C ．
n
n n 2
)
1(+ D ．1－
121-n
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。
12、 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，
则三角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+。
若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .
13、从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第n 个等式为_________________________.
14、设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则
(4)f = ；
当ｎ＞４时，()f n ＝ （用含n 的数学表达式表示）。
班级姓名新学号得分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11、；
12 、；
13 、；
14 、(4)
f=
f n= ；
()
三、解答题：本大题共6题，共60分。
15、（10分）求证：(1)2233()
++≥++; (2) 6+7>22+5。
a b ab a b
16、设a，b，x，y∈R，且（10分）
17、若a,b,c均为实数，且,,,
求证：a，b，c中至少有一个大于0。
（10分）
18、用数学归纳法证明：
（Ⅰ）22
212(1)
1335(21)(21)2(21)
n n n n n n +++
+=
⋅⋅-++；（6分）
（Ⅱ） n n ≤-+++++
1
21
4131211 ；
（4分）
19、数学归纳法证明：
能被整除,. （10分）
20、已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1, (1) 写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式； (2) 用数学归纳法证明所得的结论。
（10分）。