人教版九年级数学上册(第二十一章21.1~21.2)知识梳理和复习

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新人教版九年级上册数学知识点归纳

新人教版九年级上册数学知识点归纳第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

且未如a≠0）21.21直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。

1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系数化1：将二次项系数化为13.4.5.6.7.3公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△时，把各项系数a,b,c的值代入求就可得到方程的根。

得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

21.3实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二22.10)。

其(-b/2a，(b2-4ac)/4a)；顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（h，k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]；向，的平方的图像，x 1.对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）顶点2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，4ac-b2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b2-4ac=0时，P在x轴上。

九年级数学人教版(上册)第21章小结与复习

当m=2，x2-2x=2，解得x=1± 3，
所以，原方程的解为x1=3，x2=-1， x3=1+ 3 ，x4=1- 3 ．
侵权必究
考点3 一元二次方程的根的判别式的应用
例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等
的实数根，则m的取值范围是（ A ）
A. m 4 B. m<2
3
C. m ≥0
第二十一章一元二次方程小结与复习
侵权必究
目录页
要点梳理
考点精讲
课堂小结
当堂练习
侵权必究
要点梳理
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
侵权必究
要点梳理一、一元二次方程的基本概念 1.定义：
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2.一般形式：
解析本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.
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单件利润销售量（件）每星期利润（元）
正常销售
4
32
128
涨价销售
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
侵权必究
解：设销售单价为x元.则月销售量为［500-10(x-50)］kg. 由题意可得 (x-40)［500-10(x-50)］=8000，解得 x1=60, x2=80，又 40［500-10(x-50)］≤10000. x≥75. ∴x=60<75(舍去) 答：销售单价应为80元.

人教版数学九年级上册知识梳理与复习第二十一章 21.1～21.2

知识梳理与复习(第二十一章 21.1～21.2)1．下列所给的方程中，是一元二次方程的有（）①5x(x-1)=3；②x ²=0；③3x²=x ；④21x ²+2x+3=0；⑤(3x²-4)²=5. A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．已知m 是方程x²-x-1=0的一个根，则代数式m ²-m 的值等于_________.3．如图所示，将一边长为3的正方形两边剪去宽为x 的矩形，剩余部分的面积为5，列出关于x 的方程．4．把下列方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1) (x-5)²=36； (2) 3y(y+1)=2(y+1)．5．方程(x-3)²=4的根为（）A ．5B ．1C ．2D ．5或16．方程2x²+3x-8=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）A ．455432-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x B ．1673432=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x C ．415-232=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x D ．以上答案都不对7．用配方法解下列方程：(1)x²+4x-4=0； (2)4x²+12x-72=0.8．用配方法证明m²-8m+23的值恒为正．9．已知x²-4x+y²+6y+13=0，求x-y的值．10.用公式法解方程4x²+12x+3=0，得（）A．263±-=xB．263±=xC．2323-±=xD．2323±=x11．方程3x²-8=7x化为一般形式是_________，a=_________，b=_________，c=_________，方程的根是_________．12．用公式法解下列方程：(1)x²-43x+10=0； (2) 2x²+2x=1.13.已知方程x²-ax+2a=0的一个根是3，求a的值和方程的另一个根．14. m 为何值时，方程x ²-(2m+1)x+m²+5=0有两个相等的实数根？15. 若(2x+1)(x-2)=0，则x ₁=_________，x ₂=_________．16. 如果关于x 的一元二次方程x²+px+q=0的两根为2和-3，那么x²+px+q 可分解因式为_________________．17．解方程：x+2=x(x+2)．18．请写出一个方程，使它的一个根为2，另一个根比1小，比-1大．19．某人向上掷一小石子，设x 秒后离地面的高度为(20x-5x²)米．问：(1)几秒时小石子离地面的高度为15米？ (2)几秒时小石子落到地面？20．阅读下题的解答过程，请判断其解答过程是否有误，若有，请你写出正确的答案，已知m 是关于x 的方程m x²-2x+m=0的一个根，求m 的值，解：把x=m 代入原方程，化简，得m ³=m ，两边同除以m ，得m ²=1，所以m=1．把m=1代入原方程检验，可知m=1符合题意，所以m 的值是1．21．如果x ₁，x ₂是一元二次方程x²-6x-2=0的两个实数根，那么x ₁+x ₂的值是（）A ．-6B ．-2C ．6D ．222．关于x 的一元二次方程x²-mx+2m=0的一个根为1，则方程的另一根为_________.23．阅读材料：设一元二次方程a x²+bx +c=0 (a ≠0)的两根为x ₁, x ₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x ₁+x ₂=a b -，x ₁·x ₂=ac ．根据该材料填空：已知x ₁, x ₂是方程x ²+6x+3=0的两实数根，则2112x x x x +的值为_________. 24．已知关于x 的方程x²+x+n=0有两个实数根-2，m ，求m ，n 的值．25．已知关于x 的一元二次方程x²-(2m+3)x+m²+2=0.(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x ₁, x ₂且满足21222131x x x x ⋅+=+，求实数m 的值．26.已知关于x 的方程x²-2(m-2)x+m ²=0．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．知识梳理与复习【复习一】1．C 2.1 3．(3-x)²=5化为x²-6x+4=04.(1)x²-1Ox-11=0 1 -10 -11(2)3y²+y-2=0 3 1 -25．D 6．B7.(1) x ²+4x=4,x²+4x+4=4+4,(x+2)²=8，x+2=±22，x ₁=-2+22，x ₂=-2-22；(2) .6 ,3,2923 ,48123 ，49+1849+3+ 18,3+ 0,18-3+ 212222-==±=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+===x x x x x x x x x x 即8.m²-8m+23=m²-8m+16+7=(m-4)²+7.∵(m-4)²≥O ，∴(m-4)²+7＞0，即m²-8m+23的值恒为正．9．x²-4x+y ²+6y+13=0x²-4x+4+y ²+6y+9=0(x-2)²+(y+3)²=0∴x-2=0, y+3=0x=2, y=-3.∴x-y=2-(-3)=5.10.A11. 3x²-7x-8=0 3 -7 -861457,6145721-=+=x x 12.(1)解：∵a=1, b=-43 ,c=10, b ²-4ac=(-43)²-4×1×10=8＞0,∴x=()2322223412834--±=±=⨯±． ∴x ₁=232+,x ₂=2-32.(2)解：移项，得2x²+2x-1=0．∵a=2, b=2, c=-1,即b²-4ac=2²-4×2×(-1)=12＞0,∴x=.231-22122-±=⨯± ∴x ₁=23-1-,x ₂=231-+ 13.a=9，另一根为6．14．这里a=1，b=-(2m+1),c=m²+5, b²-4ac=[-(2m+1)]²-4×1×(m ²+5)=4m-19.当b ²-4ac=4m-19=0,即m=419时，方程有两个相等的实数根．15．21- 2 16.(x-2)(x+3)17．原方程可化为：(x+2)-x(x+2)=0．分解因式，得(x+2)(1-x)=0，x+2=0或1-x=0，即x ₁=-2，x ₂=1．18．(x-2)(x+51)=0(或5x²-9x-2=0)(答案不唯一) 19．(1)由题意，得20x-5x²=15，即5x²-20x+15=0．化简，得x ²-4x+3=O ，因式分解，得(x-1)(x-3)=0．解得x ₁=1，x ₂=3，即1秒或3秒时小石子离地面的高度为15米．(2)由题意，得20x-5x²=O ，即5x²-20x=0．化简，得x ²-4x=0．因式分解，得x(x-4)=0．解得x ₁=0(舍去)，x ₂=4，即4秒时小石头落地．20.错 m=0或m=-1或m=121．C 22．-2 23． 1024．解：∵方程x ²+x+n=0有两个实数根-2，m ，∴⎩⎨⎧=⋅--=+-.2,12n m m 解得⎩⎨⎧-==.2,1n m 25．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x ²-(2m+3)x+m²+2=0有实数根，∴b ²-4ac ≥O ，即[-(2m+3)]²-4(m ²+2)≥O ，∴m ≥-121. (2)根据题意，得x ₁+x ₂=2m+3，x ₁·x ₂=m²+2． ∵,31212221x x x x ⋅+=+∴(x ₁+x ₂)²-2x ₁·x ₂=31+|x ₁·x ₂|,即(2m+3)²-2(m²+2)=31+m²+2.解得m=2，m=-14(舍去)．∴m=2．26．存在实数m ，且m 的值是-2．。

九年级上册数学第21章《一元二次方程》知识点梳理完整版

【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；九年级数学上册第21 章《一元二次方程》知识点梳理2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：1 2 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为 2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为 0．要点二、一元二次方程的解法1. 基本思想一元二次方程 −降−次−→ 一元一次方程 2. 基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. 一元二次方程根的判别式一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中， b 2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式，通常用“ ∆ ”来表示，即∆ = b 2 - 4ac（1）当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2）当△=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3）当△<0 时，一元二次方程没有实数根.2. 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b， x x = c . 1 2 a 1 2 a注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.要点诠释：1. 一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1) 不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0 的一个根是0，则a 的值为（）A．1 B．﹣1 C．1 或﹣1D．【思路点拨】根据方程的解的定义，把 x=0 代入方程，即可得到关于 a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【答案】B；【解析】解：根据题意得：a2﹣1=0 且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选 B．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【变式】关于 x 的方程(a2−2a −8) x2+ (a + 2) x −1 = 0 ,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2- =0； (2) (x+a)2= ；(3) 2x2-4x-1=0；(4) (1- )x2=(1+ )x．【答案与解析】(1)原方程可化为 0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1= ，x2=- ．(2)原方程可化为 x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2= a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1= a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1= ，x2= .(4)将方程整理，得(1- )x2-(1+ )x=0用因式分解法，得x[(1- )x-(1+ )]=0∴x1=0，x2=-3-2 ．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴(3x-2)(3x-2-1)＝0．∴3x-2＝0 或 3x-3＝0，∴x=2，x= 1．1 3 2(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴(t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴(t-1)(2t-1)＝0，∴t-1＝0 或2t-1＝0．∴t= 1，t=1 ．1 2 2类型三、一元二次方程根的判别式的应用1 23．（2015•荆门）若关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+5﹣a=0 有实数根，则 a 的取值范围是（） A ．a≥1B ． a ＞1C ． a≤1D ． a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+5﹣a=0 有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∴a≥1．故选 A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出 a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2- 2x + t + 2 = 0 的两个不相等的实数根，（1）求 t 的取值范围；（2）设 s = x 2+ x 2 ，求 s 关于 t 的函数关系式．【答案与解析】(1) 因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即 t ＜-1． (2)由一元二次方程根与系数的关系知： x 1 + x 2 = 2 ， x 1x 2 = t + 2 ，从而 s = x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x = 22 - 2(t + 2) = -2t ，即 s = -2t (t < -1) ．1 2 1 2 1 2【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于 x 的一元二次方程 x 2 = 2(1- m )x - m 2 的两实数根为 x ， x ．1 2（1）求 m 的取值范围；（2）设 y = x 1 + x 2 ，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为 x 2 + 2(m -1)x + m 2 = 0 ．∵ 原方程有两个实数根．∴ △= [2(m -1)]2 - 4m 2 = -8m + 4 ≥ 0 ，∴ m ≤ 1． 2（2） y = x + x = -2m + 2 ，且 m ≤ 1 ． 1 2 2因为 y 随 m 的增大而减小，故当m 1时，取得最小值 1．2类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为 10cm，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为 xcm，由题意得 4x2＝10×8×(1-80%)．解得 x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2 符合题意，x2＝-2 不符合题意舍去．∴x＝2．答：截去的小正方形的边长为 2cm．【总结升华】设小正方形的边长为 x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的 80%，所以 4 个小正方形面积是原矩形面积的 20%．举一反三：【变式】（2015 春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m），现在欲砌 50m 长的墙，砌成一个面积 300m2的矩形花园，则 BC 的长为多少 m?【答案】解：设 AB=x 米，则 BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去）， 50﹣2x=50﹣30=20．答:BC 的长为 20m．6．某旅行社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元，空床可全部租出；若每床每晚提高 2 元，则减少 10 张床位租出；若每床每晚收费再提高 2 元，则再减少 10 张床位租出．以每次提高 2 元的这种方法变化下去，为了每晚获得 1120 元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高 x 个2 元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得 x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴ 当 x＝2 时，2x＝4；当 x＝3 时，2x＝6．答：每床每晚提高 4 元或6 元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高 x 个2 元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高 2 元，出租出去的床位减少 10 张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．一元二次方程及其解法（一）直接开平方法【学习目标】1.理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2.掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3.理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1 是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1 是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为 0.要点二、一元二次方程的解法1.直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则 x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1) ；(2) ．【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】不满足（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的概念-例 1】【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①x2 +x +1 ；②9x2 - 6x = 0 ；③1y2= 0 ；④5x2-1+ 4 = 0 ；2 2x⑤x2+xy - 3y2= 0 ；⑥3y2= 2 ；⑦(x +1)(x -1) =x2．【答案】②③⑥.【解析】①x2 +x +1不是方程；④5x2-12x+4 = 0 不是整式方程；⑤ x2+xy - 3y2= 0 含有 2 个未知数，不是一元方程；⑦(x + 1)(x -1) =x2化简后没有二次项，不是 2 次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x2-4x+2=0； (2) ．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中 c=-2 不能写为 c=2，(2)题中不能写为．举一反三：关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的形式-例 3】【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2 = 5x - 2 ；（2）a(x +1)(x -1) = 2 -x ．【答案】（1）3x2 - 5x+2=0 ，二次项系数是 3、一次项系数是-5、常数项是 2.（2）a(x +1)(x -1) = 2 -x 化为ax2 +x -a - 2 = 0, 二次项系数是 a、一次项系数是 1、常数项是-a-2.⎩ ⎩类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2+px+q ＝0 的两根分别为 x 1＝2，x 2＝1，那么 p ，q 的值分别是( ) A ．-3，2 B ．3，-2 C ．2，-3 D ．2，3【答案】A ；【解析】∵ x ＝2 是方程 x 2+px+q ＝0 的根，∴ 22+2p+q ＝0，即 2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即 p+q ＝-1 ②⎧2 p + q = -4, ⎧ p = -3,联立①，②得⎨ p + q = -1, 解之得： ⎨q = 2.【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用 2，1 代替方程中未知数 x 的值，得到两个关于 p 、q 的方程，解方程组可求 p 、q 的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程4. （2016 春•仙游县月考）求下列 x 的值（1）x 2﹣25=0 （2）（x+5）2=16．【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．【答案与解析】解：（1）∵x 2﹣25=0， ∴x 2=25， ∴x=±5．（2）∵（x+5）2=16， ∴x+5=±4，∴x=﹣1 或﹣9．【总结升华】应当注意，形如 =k 或（nx+m ）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式 1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x 2=361；(2)2y 2-72=0；(3)5a 2-1=0；(4)-8m 2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19 或 x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6 或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2= ，∴a=或 a=- ．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2= ，∴m=或m=- ．【变式 2】解下列方程：(1) （2015 •东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0；(2)（2014 秋•滨州校级期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25，∴ 2x+3=5 或 2x+3=-5．∴x1=1，x2=-4．(2)∵（1﹣2x）2=x2﹣6x+9，∴（1﹣2x）2=（x﹣3）2，∴1﹣2x=±（x﹣3），∴1﹣2x=x﹣3 或1﹣2x=﹣（x﹣3），4∴x1=，x2=﹣2．3一元二次方程的解法（二）配方法【学习目标】1.了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为 1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式a2± 2ab +b2= (a ±b)2．知识点二、配方法的应用1.用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3.用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4.用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （2016•淄博）解方程：x2+4x﹣1=0．【思路点拨】首先进行移项，得到 x2+4x=1，方程左右两边同时加上 4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【答案与解析】解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣．【总结升华】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0；(2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为 x2-4x=2．两边都加 4，得 x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2= 或 x-2=- ．于是，原方程的根为x=2+ 或x=2- ．(2)将常数项移到方程右边 x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2 或 x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式M = 10a2 +b2 - 7a + 8 ，N =a2 +b2 + 5a +1 ，则M -N 的值（）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数【答案】B；【解析】（作差法）M -N = 10a2+b2- 7a + 8 - (a2+b2+ 5a +1)=10a2 +b2 - 7a + 8 -a2 -b2 - 5a -1= 9a2 -12a + 7 = 9a2 -12a + 4 + 3 = (3a - 2)2+ 3 > 0 ．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.3．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5 的值一定小于 0．【答案与解析】解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，∵（x﹣）2≥0，∴﹣8（x﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣ ＜0，即﹣8x 2+12﹣5 的值一定小于 0．【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【变式】求代数式 x 2+8x+17 的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0 时，代数式 x 2+8x+17 的最小值是 1.4．已知 a2- 3a + b 2 - b + 37= 0 ，求 a - 4 2 16的值．【思路点拨】解此题关键是把 37拆成 9+ 1，可配成两个完全平方式．16 4 16【答案与解析】将原式进行配方，得⎛ a 2- 3a + 9 ⎫ + ⎛ b 2 - b +1 ⎫ = 0 ，4 ⎪ 2 16 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 3 ⎫2 ⎛ 1 ⎫2即 a - 2 ⎪ + b - 4 ⎪ = 0 ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴ a - 3 = 0 且b - 1= 0 ，24∴ a = 3，b = 1． 2∴ a - 4 4= 3 - 2= 3 - 2 = - 1 ． 2 2【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于 0 的形式，进而求出 a ．b 的值．b b1 4【学习目标】一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 a、b、c 的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程ax2+bx +c = 0 (a ≠ 0) ，用配方法将其变形为：(x + b)22a=b2- 4ac4a2.①当∆=b2-4ac > 0 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：x1,2 =2a .②当∆=b2 - 4ac = 0 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：x =-b1,2 2a .③ 当∆=b2 - 4ac < 0 时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为 0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x2+3x+1=0； (2) 2x2 = 4x -1 ；(3) 2x2+3x-1=0．【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1∴x==．∴x1= ，x2= ．(2)原方程化为一般形式，得2x2 - 4x +1 = 0 ．-b ±∵a = 2 ，b =-4 ，c =1 ，∴b2- 4ac = (-4)2- 4 ⨯ 2 ⨯1 = 8 > 0 ．∴ x =4 ± 2 2= 1±2，即x =1+2，x= 1-2．2 ⨯ 2 2 1 2 2 2(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1= ，x2= ．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对 a、b、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定 a，b，c 的值并计算b2 - 4ac 的值；(3)若b2 - 4ac 是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x2﹣3x﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==，∴x1=，x2= ．2．用公式法解下列方程：(1) （2014•武汉模拟）2x2+x=2； (2) （2014 秋•开县期末）3x2﹣6x﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x2+x﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x== = ，-1± 3 -1- 3 -1+ 3 ∴x 1=，x 2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1= ，x 2= （3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x== ，解得 x 1=，x 2= ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出 a 、b 、c 的值，在b 2- 4ac ≥ 0 的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2x 2+ 2x = 1；【答案】解：移项，得2x 2 + 2x -1 = 0 ．∵ a = 2 ，b = 2 ，c = -1 ， b 2 - 4ac = 22 - 4 ⨯ 2 ⨯(-1) = 12 > 0 ，∴ x =-2 ± 12 = ， 2 ⨯ 2 2∴ x 1 =2 ， x 2 = 2 ．类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2016•沈阳）一元二次方程 x 2﹣4x=12 的根是（） A ．x 1=2，x 2=﹣6 B ．x 1=﹣2，x 2=6 C ．x 1=﹣2，x 2=﹣6D ．x 1=2，x 2=6【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【答案】B【解析】解：方程整理得：x 2﹣4x ﹣12=0，分解因式得：（x+2）（x ﹣6）=0，解得：x1=﹣2，x2=6，故选 B【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2) (3x -1)(x -1) = (4x +1)(x -1) ．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即(2x + 3)2= 0 ，∴x =x =-3 ．1 2 2(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以x1=1 ，x2=-2 ．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉 x＝1 这个根．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3 x(2 x+1) =4 x+2【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X1=-6,x2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0x =-1, x =2.1 2 2 35．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程两个根二次三项式因式分解x2﹣2x+1=0x1=1，x2=1 x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）x2﹣3x+2=0x1=1，x2=2 x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）x1= ，x 2=﹣13x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）2x2+5x+2=2（x+）（x+2）x1=﹣，x2=﹣2将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1、x2，则ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【学习目标】1.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠ 0) 中，b 2- 4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式，通常用“ ∆”来表示，即∆=b 2- 4ac（1）当△>0时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计1 2 算b 2 - 4ac 的值；④根据b 2 - 4ac 的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒b 2 - 4ac ﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒b 2 - 4ac =0；（3）方程没有实数根⇒b 2 - 4ac ﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 b 2 - 4ac ≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1. 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b ， x x = c . 1 2 a 1 2 a注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x 1、x 2 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：① x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x ； 1 2 1 2 1 2② 1 +1 x 1 x 2= x 1 + x 2 ； x 1 • x 2 ③ x x 2 + x 2 x = x x (x + x ) ； 1 2 1 2 1 2 1 2。

人教版九年级数学上第二十一章21.1二次根式

《二次根式》复习知识点1：二次根式的概念形如的式子叫做二次根式知识点2：二次根式的非负性知识点3：二次根式的性质知识点4：二次根式的乘除法1、二次根式的乘法法则2、二次根式的除法法则知识点5：最简二根式：1.根号内不能是分式2.分母不能带根号3.根号内的数或式子不能再被开方知识点6：二次根式的加减:第一步:将二次根式化成最简二次根式第二步:将被开方数相同的二次根式进行合并。

用字母表示为：知识点7：二次根式的混合运算可能用到的数学公式:≥a a a =2).(1⎩⎨⎧-==a a a a 2.2)0,0(.3≥≥⋅=b a b a ab )0,0(.4>≥=b a b a b a )0,0(≥≥=⋅b a ab b a )0,0(>≥=b a b a b a ()cb ac b c a ±=±)0(≥aa知识点1：二次根式的概念1、下列式子中，哪些是二次根式？2、若代数式是二次根式，则m 的取值范围是。

3、x 取什么实数时，下列式子有意义？4、xy y x =⋅，则x ，y 应该满足的条件是（） A.x ，y 同号 B. x ，y 异号 C. D.5、如果x ，y 是实数，且2)1(2-+--=x x y ，求22y x +的值6、若33-+-x x 有意义，求的值.7、已知a ，b 为实数，且421025+=-+-b a a ，求a ，b 的值知识点2：二次根式的非负性：2、若011=-++b a ，求20102011b a +的值知识点3：二次根式的性质1、计算2、计算3、式子成立的条件是（）()91()142+x ()a 2()533()()226-()25-()21-x ()344-+x x ()132+x ()x -2()==-++ab b a 、则若,02112？？x ，x 、最小值是多少的值最小为何值时当3123+-2)32)(1(2)621)(2(2)32)(3(-2)3)(4(x 324)5(()()231-()()2322-()()214.33π-1.<a A 1.≠a B 1.≤a C 1.≥a D 1)1(2-=-a a ()961,31422+-+-≤≤x x x x 、化简已知0,0≥≥y x 0,0>>y xm -3()25x -2-x5、若数轴上表示a 的点在原点的左边，则化简22a a +的结果是（）A ．a - B. a 3- C. a D. a 36、若072=-+-y x ，则y x +的平方根是知识点4：二次根的乘除1、计算（1）520⨯ （2）a a821⨯ （3）322⨯ （4）1625⨯ （5）45 （6）312a2、计算（1）x x39 （2）（3）m n n 223÷ （4）3、计算（1）3222153235419⨯÷ （2）22314xy y x ⋅4、观察并分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，32，15，23，…，那么第10个数据应是5、若直角三角形的两条直角边的长分别为15cm ，12cm ，那么此直角三角形的斜边长是多少？6、一个正方形的面积与一个长方形的面积相等，长方形的长为cm 250，宽为cm 240，求正方形的边长。

人教版数学九年级上册第21章一元二次方程知识点汇总

第二十一章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．2、一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠3、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的值，叫做一元二次方程的根（解）. 【注意】1、定义的隐含条件：①是整式方程；②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．2、任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式。

其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．3、任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．二、一元二次方程的解法１．一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 2．一元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零．（2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算24b ac -的值．求根公式：x =2(40)b ac -≥（3）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如2ax b =或()()20x a b b +=≥或()2ax b +=()2cx d +的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（4）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）转化为它的简单形式2Ax B =，这种转化方法就是配方，具体方法为： 2ax bx c ++22222244424b b b b ac b a x x c a x a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）就转化为22424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的形式，即222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．三、根的判别式1、一元二次方程根的判别式：24b ac ∆=-2、根的判别式用来判别根的个数情况：（1）0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =（2）0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-．（3）0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 3、一元二次方程根的判别式的应用（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围；（3）讨论因式分解问题及方程组的解的情况．四、根与系数的关系——韦达定理1、设一元二次方程20ax bx c ++=的两个根为12x x ，，则两个根满足：1212b cx x x x a a+=-⋅=，2、韦达定理的重要推论推论1：如果方程20x px q ++=的两个根是12x x ，，那么1212x x p x x q +=-⋅=，．推论2：以两个数12x x ，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++= 3、利用根与系数的关系，可知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有如下重要的结论：（1）若两根互为相反数，则0ba -=，得0b =；（2）若两根互为倒数，则1c a =，得a c =；若两根互为负倒数，则1ca =-，得a c =-；（3）若有一个根是零，则0ca=，得0c =；（4）若两根都为零，则0b a -=，0ca =，得0b =，0c =；（5）若有一根为1，则0a b c ++=；若有一根为1-，则0a b c -+=．4、几个常见转化；；或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x1x 2)x 1x (x 1x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221（2）222121212()2x x x x x x +=+-；（3）12121211x x x x x x ++=；（4）22121212()()4x x x x x x -=+-；（5）12||x x -=（6）2212121212()x x x x x x x x +=+；（7）22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==．五、用一元二次方程解决实际问题 1、面积最大化问题 2、利润最大化问题 3、增长率问题 4、传播问题 5、动点问题解题方法技巧1、一元二次方程的整数根问题：对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：（1） 24b ac ∆=-为完全平方数；（2）2b ak -+或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)2、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．3、把一元二次方程根的判别式和根与系数的关系结合起来，判别讨论一元二次方程根的符号常常需要解不等式组．对于方程20(0)ax bx c a ++=≠，则：（1）有两正根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆⎪⎪>⋅>⎨⎪⎪->+>⎪⎩≥（2）有两负根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆⎪⎪>⋅>⎨⎪⎪-<+<⎪⎩≥（3）有一个正跟一个负根：121200(0)0(0)c x x a b x x a ⎧⎪∆>⎪⎪<⋅<⎨⎪⎪->+>⎪⎩正根的绝对值较大 121200(0)0(0)cx x a b x x a⎧⎪∆>⎪⎪<⋅<⎨⎪⎪-<+<⎪⎩负根的绝对值较大（4）有一零根一正根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆>⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪->+>⎪⎩（5）有一零根一负根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a ⎧⎪∆>⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪-<+<⎪⎩（6）有两个零根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆=⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪-=+=⎪⎩。

人教版九年级数学上册各章节知识点总结

人教版九年级数学上册知识点总结第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

典型例题：1、已知关于x的方程（x21m-+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。

21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

人教版九年级上册第二十一章 21.1 一元二次方程课件(共25张PPT)

m_≠__±__1__时，它是一元二次方程;当m_=_1____时，它是一元一次方程。
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解：设应邀请x 个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场． 28 整理，得
1 x2 2
1 2
x
28
化简，得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数．
同学们认真看问题1、2、3，整理得方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
（1）
x2 +2x-4＝0
（2）
x2 x 56
（3）
特征：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2
2、新课讲授（1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
（3）条件：①当a≠0时，是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时，是一元一次方程。
注意：其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列，右边＝0，当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项系数
一次项系数

人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结

人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ；其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.a c x x ab x x )2(a 2ac 4b b x )1(212122,1=-=+-±-=，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 ? a b -= 0且Δ≥0 ? b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数 ?a c =1且Δ≥0 ? a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根 ?a c = 0且ab -≠0 ?c = 0且b ≠0；（4）有两个零根 ? ac = 0且a b -= 0 ? c = 0且b=0；（5）至少有一个零根 ?a c =0 ? c=0；（6）两根异号 ? ac ＜0 ? a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值? ac ＜0且a b -＞0? a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值?a c ＜0且ab -＜0? a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根 ? ac ＞0，a b -＞0且Δ≥0 ? a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根 ? ac ＞0，a b -＜0且Δ≥0 ? a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0. 6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2+bx+c=???? ??----???? ??-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22.7．求一元二次方程的公式：x 2 -（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（ 10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1?===========------分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x 1x 2)x 1x (x 1 x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221=--=-=-?=-4x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；-==?==.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或； .0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1A cos A sin ,90B A B sin x ,A sin x )4(2122212221>>=+==+?=∠+∠==注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121>>注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。

数学人教版九年级上册知识点重难点总结

第二十一章二次根式21.1二次根式1、二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式二次根式必需满意：含有二次根号“”；被开方数a 必需是非负数。

★常考点：求被开方数a 的取值范围2、二次根式的性质（1）)0(≥a a ≥0（2）)0()(2≥=a a a（3）==a a 2★常考点：1、2的区分2、例题：=---x x 11（x+y ）2，求x 、y 的值21.2二次根式的乘除1、二次根式乘除运算法则：（1）二次根式乘法法则b a ab •==b a ab •=(0,0)a b ≥≥（2）积的算术平方根的性质)0,0(≥≥•=b a b a ab（3）二次根式除法法则)0,0(≥≥=b a ba b a ，（4）（a ≥0，b>0）2、最简二次根式若二次根式满意：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法与步骤：（1）假如被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进展化简。

（2）假如被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3、二次根式的加减（1）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，假如被开方数一样，这几个二次根式叫做同类二次根式。

（2）二次根式加减法步骤：a.先将二次根式化成最简二次根式b.找出同类二次根式c.合并同类二次根式（3）二次根式混合运算法则：二次根式的混合运算与实数中的运算依次一样，先乘方，再乘除，最终加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

常考题型：1那么x 取值范围是________2、实数p 在数轴上的位置如图所示：化简：22)2()1(p p -+-= p-1+2-p=1 二十二章一元二次方程22.1一元二次方程0 1 2 p · · · ·1、一元二次方程概念含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

新人教版九年级上册数学第二十一章小结与复习

解析根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2 ＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25.
【重要变形】 ①x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2;
②(x1 x2 )2
(x1
x2 )2
4x1x2
③
1 x1
解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得 5（1-x)2=3.2
解得 x1=1.8 (舍去）, x2=0.2=20%. 答：平均每次下调的百分率是20%.
例8 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m2,，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形）
【易错提示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意.
针对训练
2. 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为 -1 .
考点三一元二次方程的解法
例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ A ）
A. (x-1)2=6
B.(x+2)2=9
3.项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c
4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程．
二、解一元二次方程的方法各种一元二次方程的解法及使用类型

第21章一元二次方程知识点总结 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义1. 定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程2. 一元二次方程必须同时满足以下三个条件:①是整式方程 ; ②只含有一个未知数 ; ③未知数的最高次数是2. 注意：分母位置不能有未知数例：判断下了哪些是一元二次方程051)1(2=-+xx 073)2(2=+-xy x 41)3(2=-+x x 032)4(3=+-m m 0522)5(2=-x 4)6(2=-bx ax 知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是 )0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 是二次项，a 是二次项系数;bx 是一次项，b 是一次项系数;c 是常数项知识点三一元二次方程的解(根)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

例如=x -3和x=2都是一元二次方程0652=+-x x 的解(根). 温馨提示:（1）一元二次方程可以无解，但是有解就一定有两个;（2）在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，若0=++c b a ，则1=x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根;若0=+-c b a ，则1-=x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根注意:判断一个数值是不是一元二次方程解的方法:将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解;反之，它就不是一元二次方程的解.21.2 解一元二次方程21.1.2 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程利用平方根的定义直接开平方来求一元二次方程的解的方法就做直接开平方法一般地，对于方程为常数）p p x (2=为常数）p p x (2=根据平方根的意义，方程根的情况当时0>p 两个不相等的实数根p x p x =-=21,当时0=p 两个相等的实数根 021==x x 当时0<p方程无实数根可以利用直接开平方法解一元二次方程的类型（1）)0(2≥=p p x p x p x =-=21,（2））0(2≥=p p ax 先系数化为1 ，ap x a p x -==21, （3）())0(2≥=+p p a x 整体开平方后将a 移项，a p x a p x --=-=21,（4）())0(2≥=+p p b ax 整体开平方，再将b 移项，最后系数化为 1abp x a b p x --=-=21, 温馨提示:(1)采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，直接开平方法只适用于部分一元二次方程，它适用的方程是能转化为以上类型的方程,(2)利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当0≥p 时，方程才有解，并且要注意开方的结果取“正、负”两种情况。

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九年级数学上册(第二十一章21.1~21.2）知识梳理与复习知识要点一:一元二次方程的定义及有关概念
1.下列所给的方程中，是一元二次方程的有 ( )
①5x(x-1)＝3;②x 2
＝0，③3x 2
＝x ，④x 2
2
1+2x+3＝0，
⑤(3x 2
-4)2
＝5
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2.已知m 是方程x 2
-x-1＝0的一个根，则代数式m 2
-m 的值
等于_________.
3.如图所示，将一边长为3的正方形两边剪去宽为x 的矩形，剩余部分的面积为5，列出关于x 的方程.
4. 把下列方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)(x-5)2
=36; (2)3y(y+1)=2(y+1)
知识要点二:用配方法解一元二次方程
5.方程)3(2
-x ＝4的根为 ( ) A.5 B.1 C.2 D.5或1
6.方程2x 2+3x-8＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是 ( )
A.)43(2+x =-455
B.)43(2+x =1673
C.)43(2+x =4
15
- D.以上答案都不对
7.用配方法解下列方程
(1)x2+4x-4=0 (2)4x2+12x-72=0 8.用配方法证明m2-8m+23的值恒为正.
9.已知x2-4x+y2+6y+13＝0，求x-y的值
知识要点三:用公式法解一元二次方程10.用公式法解方程4x2+12x+3＝0，得
A.
26
±
3
-
=
x B.
26
±
3 =
x
C.
2
3
±
32
-
=
x D.
2
3
±
32
=
x
11方程3x2-8＝7x化为一般形式是______,a=______,
b=_______,c=_______,方程的根是________
12.用公式法解下列方程
(1)x2-43x+10=0 (2)2x2+2x=1
13.已知方程x2-ax+2a＝0的一个根是3，求a的值和方程
的另一个根.
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14.m为何值时，方程x2-(2m+1)x+m2+5＝0有两个相等的实数根?
知识要点四:用因式分解法解一元二次方程
15.若(2x+1)(x-2)＝0，则x
1=______, x
2
=_______.
16.如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根为2和-3，那么x2+px+q可分解因式为____________.
17.解方程:x+2＝x(x+2)
18.请写出一个方程，使它的一个根为2，另一个根比1小，比-1大. 19.某人向上掷一小石子，设x秒后离地面的高度为
(20x-5x2)米.问
(1)几秒时小石子离地面的高度为15米?
(2)几秒时小石子落到地面?
20.阅读下题的解答过程，请判断其解答过程是否有误，若有，请你写出正确的答案.已知m是关于x的方程
m x2-2x+m＝0的一个根，求m的值
解:把x＝m代入原方程，化简，得m3＝m，两边同除以m，
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得所m2＝1，所以m＝1,把m＝1代入原方程检验，可知m ＝1符合题意，所以m的值是1.
知识要点五:一元二次方程的根与系数的关系
21.如果x
1，x
2
是一元二次方程x2-6x-2＝0的两个实数根，
那么x
1+x
2
的值是( )
A,-6 B.-2 C.6 D.2
2关于x的一元二次方程x2ーmx+2m＝0的一个根为1，则方程的另一根为_________.
23.阅读材料:设一元二次方程a x2+bx+c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系:x1+x2＝
a
b
-,x
1
.x
2
=
a
c
.
根据该材料填空:已知x
1
,x
2
是方程x2+6x+3＝0的两实数
根，则
x
x
x
x
2
1
1
2+的值为_________.
24.已知关于x的方程x2+x+n＝0有两个实数根-2，m，求m，n的值
25.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2+2＝0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根分别为x
1
，x
2
，且满足x
x
x
x2
1
2
2
2
1
.
31+
=
+
求实数m的值.
26.已知关于x的方程x2-2(m-2)x+m2＝0问:是否存在实数
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m，使方程的两个实数根
的平方和等于56?若存在，求出m的值;若不存在，请说明
理由
参考答案
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7 / 7。