最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结
数学笔记九年级上册
数学笔记九年级上册九年级上册数学笔记(人教版)一、一元二次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式:ax^2+bx + c = 0(a≠0),其中ax^2是二次项,a是二次项系数;bx 是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
2. 解法。
- 直接开平方法。
- 对于方程x^2=p(p≥0),解得x=±√(p)。
- 例如,方程x^2=9,则x=±3。
- 配方法。
- 步骤:- 把方程化为一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
- 移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项,即ax^2+bx=-c。
- 二次项系数化为1,x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 配方,在方程两边加上一次项系数一半的平方,x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2。
- 写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2},然后用直接开平方法求解。
- 例如,解方程x^2+6x - 7 = 0。
- 移项得x^2+6x=7。
- 配方,x^2+6x + 9 = 7+9,即(x + 3)^2=16。
- 解得x+3=±4,x_1=1,x_2=-7。
- 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0),其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 其中b^2-4ac叫做判别式,记作Δ=b^2-4ac。
- 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时,方程有两个相等的实数根。
- 当Δ<0时,方程没有实数根。
- 例如,解方程2x^2-5x+3 = 0,这里a = 2,b=-5,c = 3。
- 先计算Δ=(-5)^2-4×2×3=25 - 24 = 1>0。
2023部编人教版九年级数学上册总复习知识点梳理
2023部编人教版九年级数学上册总复习
知识点梳理
本文档对2023年部编人教版九年级数学上册的知识点进行总复梳理,旨在帮助学生系统地回顾和巩固所学的数学知识。
一、有理数与整式
1. 整式的概念及运算法则
2. 有理数的概念及表示法
3. 有理数的大小比较
4. 有理数的加减运算
5. 有理数的乘除运算
二、线性方程与一元一次不等式
1. 一元一次方程与一元一次不等式的概念与性质
2. 一元一次方程与一元一次不等式的解集求解方法
三、几何图形的认识
1. 二维图形的基本概念
2. 三角形的分类及性质
3. 四边形的分类及性质
4. 三角形和四边形的周长与面积计算
四、函数的概念与性质
1. 实数及其分类
2. 函数的概念与表示法
3. 函数图像与函数的性质
4. 函数关系的建立与应用
五、数据的收集、整理与分析
1. 数据的收集与整理方法
2. 统计图表的绘制与分析
3. 概率的基本概念与计算方法
六、三视图与解题方法
1. 空间几何体的认识
2. 三视图的基本概念与表示法
3. 解题的基本方法与策略
七、复与巩固
1. 各单元的重点与难点概述
2. 典型例题的练与思考
3. 重要知识点的总结与总复
4. 模拟测试与综合训练
通过本文档的复习知识点梳理,希望能够帮助学生对2023年
部编人教版九年级数学上册的知识有一个系统、全面的复习与巩固,为学生在数学学习中取得更好的成绩提供帮助。
(完整版)人教版数学九年级上册知识点归纳,推荐文档
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式: x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a
有括号的先算括号里的(或先去括号)。
4、因式分解法
我去人也就有人!为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意因式调分解剖法沙就是龙利用课因反式分倒解的是手龙段,卷求出风方前程的一解的天方我法,分这种页方符法简Z单N易BX吃噶十 行,是解一元二次方程最常用的方法。
开方数 a 必须是非负数。
ax2 bx c 0(a 0) ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数 x 的二次多
2、最简二次根式 若二次根式满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开
项式,等式右边是零,其中 ax2 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,
得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式。
弧也相等。
三、垂径定理及其推论
推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论 3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三
尽方的因数或因式开出来。 3、同类二次根式
直接开平方法适用于解形如 (x a)2 b 的一元二次方程。根据平方根的定义可知,
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫 做同类二次根式。
x a 是 b 的平方根,当 b 0 时, x a b , x a b ,当 b<0 时,方程没有
b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:
新人教版九年级数学上册知识点归纳
新人教版九年级数学上册知识点归纳
一. 整式的加减法和乘法
- 整式的加减法
- 同类项的加减法原则
- 不同类项的加减法原则
- 整式的乘法
- 单项式乘法
- 多项式乘法
二. 因式分解与整式的乘法
- 因式分解
- 公因式提取法
- 平方差公式
- 立方差公式
- 和差化积公式
- 整式的乘法
- 定积分法
- 化简法
三. 一次函数与二次函数
- 一次函数
- 函数的概念和表示方法
- 函数的图象
- 函数的性质和应用
- 二次函数
- 函数的概念和表示方法
- 函数的图象
- 函数的性质和应用
四. 几何图形的认识
- 点、线和面的基本概念
- 几何图形的分类
- 几何图形的性质和判定方法
五. 平面坐标系
- 平面直角坐标系
- 平面直角坐标系中的点及其坐标- 平面直角坐标系中的线段及其长度- 平面直角坐标系中的图形
六. 相交与平行线
- 直线的概念和表示方法
- 直线的性质和判定方法
- 直线间的位置关系
- 平行线判定的方法
七. 形状与变换
- 图形的相似关系和判定方法
- 图形的全等关系和判定方法
- 图形的对称关系和判定方法
- 图形的平移、旋转和翻转
八. 数据的收集和处理
- 数据的收集和整理方法
- 数据的图表表示
- 数据的统计分析
以上是新人教版九年级数学上册的知识点归纳,包括整式的加减法和乘法、因式分解与整式的乘法、一次函数与二次函数、几何
图形的认识、平面坐标系、相交与平行线、形状与变换,以及数据的收集和处理。
人教版九年级数学上册知识点复习(含知识点)
九年级上册数学知识点第一单元 二次根式1、二次根式 式子)0(≥a a 叫做二次根式,二次根式必须满足:含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。
2、最简二次根式若二次根式满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。
(2)如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质 (1))0()(2≥=a a a)0(≥a a(2)==a a 2)0(<-a a(3))0,0(≥≥•=b a b a ab (4))0,0(≥≥=b a bab a 5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去括号)。
第二单元 一元二次方程一、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知,a x +是b的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。
人教版初三上册数学知识点汇总
人教版初三上册数学知识点汇总初三上册数学课程涵盖了多个重要的数学概念和技巧,为学生进入高中数学学习打下坚实的基础。
以下是针对人教版初三上册数学知识点的一个全面汇总,旨在帮助学生更好地理解和掌握相关内容。
一、不等式1.不等式的定义:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。
2.不等式的解:对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。
3.不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。
4.求不等式的解集:这个过程叫做解不等式。
5.用数轴表示不等式:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变;不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
6.一元一次不等式:不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。
7.解一元一次不等式的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、将x项的系数化为1。
8.一元一次不等式组:几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
二、二次根式1.二次根式的定义:形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。
二次根式必须满足:含有二次根号“√”;被开方数必须是非负数。
2.积的算术平方根:积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
3.二次根式的乘法法则:满足乘法交换律和结合律。
4.二次根式比较大小的方法:利用近似值比大小;把二次根式的系数移入二次根号内,然后比大小;分别平方,然后比大小。
5.商的算术平方根:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
6.二次根式的除法法则:分母有理化的方法是:分式的分子与分母同乘分母的有理化因式,使分母变为整式。
(精)最新版人教版九年级数学上册全册知识点
最新版人教版九年级数学全册知识点第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2) 且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为2的形式,ax +bx+c=0(a≠0)则这个方程就为一元二次方程.( 4)将方程化为一般形式:ax 2+bx+c=0 时,应满足( a≠0)21.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法:用直接开平方法解形如(x- m)2=n (n ≥0) 的方程,其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算. 通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法,配方的依据是完全平方公式。
1.转化:将此一元二次方程化为 ax^2+bx+c=0 的形式 ( 即一元二次方程的一般形式)2.系数化 1:将二次项系数化为 13.移项:将常数项移到等号右侧4.配方:等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形:将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方:左右同时开平方7.求解:整理即可得到原方程的根3、公式法公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△的值代入求根公式x=(b2- 4ac≥0) 就可得到方程的根。
=b2-4ac的值,当b2- 4ac≥0时,把各项系数a, b, c因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
人教版九年级数学上册知识点整理完整版
人教版九年级数学上册知识点整理完整版一、代数与函数1.代数简介①常数:数值不变的量。
②变量:数量可能改变的量。
③代数式:由数、字母、加减乘除号、括号等符号组成的式子。
④同类项:指含有相同字母并且指数相同的项。
⑤合并同类项:指将同类项合并成一个项。
⑥因式分解:将代数式表示成幂或较简单的代数式,叫做因式分解。
⑦方程式&方程:一个代数式与另一个代数式在等号两边,称为方程式,且方程式构成了等式。
2.一次函数①函数:将自变量的某个取值代入函数中得到唯一的因变量的值,称为函数。
②自变量:输入的值③函数表达式:用代数式表示函数的式子称为函数表达式④一次函数:函数表达式中,最高次项是一次幂的函数叫一次函数,也叫线性函数。
⑤斜率:函数: y = kx + b ,函数图象的斜率 k,即为直线的斜率。
3.二次函数①二次函数:函数表达式中,最高次项是二次幂的函数,叫做二次函数。
②二次函数的一般式:f(x) = ax² + bx + c(a≠0)③二次函数的顶点:二次函数图象的转折点,称为顶点。
④二次函数的对称轴:图象关于 x = -b/ 2a 对称的直线,称为二次函数的对称轴。
⑤二次函数的最小值/最大值:二次函数)的顶点纵坐标所对应的函数值,是二次函数的最小值或最大值。
4.函数的研究①函数图象的基本性质:函数的零点、函数值的正负、单调性、奇偶性、周期性、对称性、渐近线等。
②函数的零点:函数 f(x) = 0 的解叫做函数的零点。
即 f(x) = 0 时 x 的解。
③函数类型:函数分类标准通常有函数的定义域和值域、图象、函数表达式等。
二、图形的认识1.图形的一些概念①线段:由两个端点所组成的线段,叫做线段。
②射线:在一个端点处向一个方向上延伸的线段,叫做射线。
③直线:没有端点,在一个方向上延伸的线段,称为直线。
④平行线:永远不会相交的两条直线叫做平行线。
⑤垂直平分线:在一条直线上,垂直于该线段、且等分该线段的线,称为垂直平分线。
最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结
最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结人教版九年级数学上册知识点总结21.1 一元二次方程知识点一:一元二次方程的定义一元二次方程是等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程。
需要注意以下几点:1.只含有一个未知数;2.未知数的最高次数是2;3.是整式方程。
知识点二:一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax+ bx + c = 0(a≠0)。
其中,ax是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
知识点三:一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2 降次——解一元二次方程知识点一:直接开平方法解一元二次方程1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。
一般地,对于形如x=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=-a。
2)直接开平方法适用于解形如x=p或(mx+a)=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。
3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二:配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。
1)把常数项移到等号的右边;(2)方程两边都除以二次项系数;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;(4)若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
人教版九年级上册数学知识点汇总
作为资深教师,整理人教版九年级上册数学知识点汇总如下:一、一元二次方程1. 定义•等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
一般形式为:ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)。
2. 解法•配方法:通过配成完全平方形式来解一元二次方程。
步骤包括:移项、除二次项系数、配方、开平方。
•公式法:利用一元二次方程的求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)(当b² - 4ac ≥ 0时)求解。
•因式分解法:将方程的一边化为0,另一边分解为两个一次因式的积,从而转化为求解两个一元一次方程。
3. 根与系数的关系•若一元二次方程x² + px + q = 0的两个根为x₁和x₂,则有:x₁ + x₂ = -p,x₁x₂ = q。
二、实际问题与一元二次方程1. 应用步骤•审:读懂题目,弄清题意,明确已知量和未知量以及它们之间的等量关系。
•设:设出未知数。
•列:列出方程,这是关键步骤,需找出能够表达应用题全部含义的相等关系,并列出含有未知数的等式。
•解:解方程,求出未知数的值。
•验:检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。
•答:写出答案。
2. 常见类型•数字问题:如三个连续整数、连续偶数(奇数)的表示。
•增长率问题:设初始量为a,终止量为b,平均增长率或降低率为x,则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1±x)² = b。
•利润问题:常用关系式有总利润=总销售价-总成本,或总利润=单位利润×总销售量,或利润=成本×利润率。
•图形的面积问题:根据图形的面积与图形的边等高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来,建立一元二次方程。
三、二次函数1. 定义•一般地,形如y = ax² + bx + c(a, b, c是常数,a ≠ 0)的函数,叫做二次函数。
人教版九年级上册数学课本知识点归纳总结全
人教版九年级上册数学课本知识点归纳总结全九年级上册数学课本知识点归纳第21章一元二次方程一、学习目标1、明白一元二次方程的概念2、学会一元二次方程的解法3、了解方程的根与系数的关系4、掌握一元二次方程的实际应用二、重点一、一元二次方程 1、一元二次方程含有一具未知数(一元),同时未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的普通形式)0(02≠=++a c bx ax ,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。
二、落次----解一元二次方程1.落次:把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(别管用啥办法解一元二次方程,基本上要一元二次方程落次)2、直截了当开平办法利用平方根的定义直截了当开平方求一元二次方程的解的办法叫做直截了当开平办法。
直截了当开平办法适用于解形如x 2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。
依照平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0 ≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b0时,方程有两个实数根。
当ac b 42-=0时,方程有两个相等实数根。
当ac b 42-<0时,方程没有实数根。
5、因式分解法:先将一元二次方程因式分解,化成两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分不等于0,从而实现落次,这种解叫因式分解法。
这种办法简单易行,是解一元二次方程最常用的办法。
三、一元二次方程根的判不式根的判不式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判不式,通常用“?”来表示,即ac b 42-=?四、一元二次方程根与系数的关系假如方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ,,由求根公式)04(2422≥--± -=ac b a ac b b x 可算出a b x x -=+21,a cx x =21。
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最新人教版九年级数学上册知识点总结史上最全,精品资料最新人教版九年级数学知识点总结第21章 一元二次方程1、计算a x 2+bx+c=0(a ≠0)其中ax 2是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项 2、应用题第22章 二次函数1、二次函数的解析式三种形式。
一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) 顶点式 2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a-=-+交点式 12()()y a x x x x =--2、二次函数图像与性质对称轴:2b x a=-顶点坐标:24(,)24b ac b a a--与y 轴交点坐标(0,c )3、增减性:当a>0时,对称轴左边,y 随x 增大而减小;对称轴右边,y 随x 增大而增大 当a<0时,对称轴左边,y 随x 增大而增大;对称轴右边,y 随x 增大而减小4、二次函数的对称性当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴122x x x +=5、二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的根。
抛物线y=ax 2 +bx+c ,当y=0时,抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=024b ac ->0时,一元二次方程有两个不相等的实根,二次函数图像与x 轴有两个交点; 24b ac -=0时,一元二次方程有两个相等的实根,二次函数图像与x 轴有一个交点; 24b ac -<0时,一元二次方程有不等的实根,二次函数图像与x 轴没有交点二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。
第23章 旋转(以题带点)旋转、平移、轴对称、中心对称(关于原点对称的点的坐标)、中心对称图形错误!未指定书签。
中心对称的性质:关于中心对称的两个图形是全等形。
人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)
−n± p m人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的有关概念(一)一元二次方程:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
(二)一元二次方程的一般形式:ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)其中:二次项为ax 2;二次项系数为 a ;一次项为 bx ,一次项系数为 b ;常数项为 c 。
特殊形式:(三)一元二次方程中“未知数的最高次数是 2,二次项系数 a≠0”是针对整理合并的方程而言的。
(四)一元二次方程的解(根)1、概念:使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。
2、判断一个数是否是一元二次方程的根将这个数代入一元二次方程的左右两边,看是否相等,若相等,则该数是这个方程的根;若不 相等,则该数不是这个方程的根。
3、关于一元二次方程根的三个重要结论(1)a+b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =1。
(2)a-b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =﹣1。
(3)c=0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =0。
二、解一元二次方程(一)直接开平方法解一元二次方程1、直接开平方法∶利用平方根的意义直接开平方,求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。
2、方程x 2 = p 的根(1) 当 p>0 时,根据平方根的意义,方程x 2 = p 有两个不相等的实数根x 1 = p ,x 2 =− p 。
(2) 当 p=0 时,方程x 2 = p 有两个相等的实数根x 1 = x 2 =0。
(3) 当 p<0 时,因为对任意实数 x ,都有x 2≥0,所以方程x 2 = p 无实数根。
人教版SHUX UE九年级上知识点
人教版九年级上册数学课本知识点归纳第二十一章 二次根式成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。
5.代一、二次根式1.二次根式:把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式, “” 表示二次根号。
2.最简二次根式:若二次根式满足:①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
这样的二次根式叫做最简二次根式。
数式:运用基本运算符号,把数和表示数的字母连起来的式子,叫代数式。
6.二次根式的性质(1))0()(2≥=a a a 3.化简:化二次根式为最简二次根式(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。
(2)如果被开方数是整数或整式,先将他分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
4.同类二次根式:几个二次根式化)0(≥a a(2)==a a 2)0(<-a a1.二次根式加减时,可以把二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。
2.二次根式的混合(3))0,0(≥≥∙=b a b a ab (乘法)(4))0,0(≥≥=b a b a b a (除法)二、二次根式混合运算运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去括号)。
第二十二章一元二次方程,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。
一、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax 二、降次----解一元二次方程1.降次:把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程,都是要一元二次方程降次)可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。
人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)
人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)人教版九年级数学上册知识点整理一、有理数有理数是整数和分数的集合。
有理数的数轴上,0的左侧是负有理数,右侧是正有理数。
加、减、乘、除有理数的运算规则。
二、立方根如果一个数的立方等于另一个数,那么这个数叫做另一个数的立方根。
三、代数式由数、变量及运算符号组成的式子叫做代数式。
其中数叫做常数项,变量叫做一次项。
四、图形的基本要素和运动绿色的箭头表示平移,红色的箭头表示旋转,蓝色的箭头表示对称。
五、全等三角形若两个三角形的三边和三角形的三个角分别相等,则称这两个三角形全等。
六、相似三角形若两个三角形的三个角分别相等,则称这两个三角形相似。
七、平移与旋转1、平移:用平移将一个点沿一个方向移动到另一个位置,移动的距离及方向相同,不改变点的属性。
2、旋转:以一个点为中心旋转某个图形的每个点,旋转的角度相同,不改变图形的形状和大小。
八、直线和角两条不共线的直线分别与一条直线相交所形成的两个相邻角互为补角。
九、相反数两个数互为相反数,当且仅当它们的和为0。
十、分数的意义和性质1、通分:将几个分数化成分母相同的分数。
2、分数的约分、化分;十一、用比例表示实际问题利用比例,确定两个量之间的等比关系,以解决实际问题。
十二、扇形和弧1、扇形是由两条半径及其所夹的圆周构成。
2、弧是圆上任意两点之间的弧。
3、圆心角,切线和弦的关系。
十三、比例和类比1、比例含义:比例是两个量之间的等比关系。
2、异比例的解决方法:设比例系数为k,则两个量之间的关系为y=kx或xy=k。
十四、平行四边形和直角梯形1、平行四边形的性质:对角线互相平分;一个角的补角等于它的邻角。
2、直角梯形:有两条平行的底和两个底的夹角为90°的四边形。
十五、直角三角形1、勾股定理:直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和。
2、定比分点定理:在一条线段上,任意三点A、B、C,如果AC:CB=k:1,则称B为AC上的k:1分点。
202X年人教版九年级数学上册知识点总结
千里之行,始于足下。
202X年人教版九年级数学上册知识点总结以下是202X年人教版九年级数学上册的知识点总结:
1. 分式:
- 分式的定义与性质
- 分式的四则运算(加减乘除)
- 分式的化简与扩展
2. 方程与不等式:
- 一元一次方程与一元一次不等式
- 一元一次方程与一元一次不等式的解集表示
- 一元一次方程与一元一次不等式的应用
3. 三角形与相似:
- 三角形的性质与分类
- 同旁内角相等三角形的性质
- 同位角相等三角形的性质
- 全等三角形的性质与判定
- 相似三角形的性质与判定
4. 几何作图:
- 作图的基本概念与规则
- 不等式的图解方法
- 作图解决实际问题
5. 坐标系与图像:
- 直角坐标系的概念与性质
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锲而不舍,金石可镂。
- 函数与坐标系的关系
- 点、直线、曲线的图像特征
- 图像的平移、对称、伸缩等变换
6. 统计与概率:
- 数据的收集与整理
- 统计图表的表示与分析
- 概率的基本概念与计算
- 事件的关系与概率计算
7. 几何思想的应用:
- 解决实际生活中的几何问题
- 利用几何思想分析和证明问题
这些是九年级数学上册的主要知识点,希望对你的学习有所帮助!。
人教版九年级数学上册重点知识点总结
人教版九年级数学上册重点知识点总结一、实数1.有理数1.1 定义:整数和分数统称为有理数。
1.2 分类:正有理数、负有理数和零。
1.3 性质:有理数加减乘除遵循交换律、结合律和分配律。
1.4 相反数、绝对值:一个数的相反数是与它的数值相等,但符号相反的数;一个数的绝对值是它与零的距离。
2.无理数2.1 定义:不能表示为两个整数比的数称为无理数。
2.2 性质:无理数不能精确表示,只能近似计算。
2.3 常见无理数:π、√2、√3等。
3.实数3.1 定义:有理数和无理数的集合称为实数。
3.2 性质:实数加减乘除遵循交换律、结合律和分配律。
二、代数式1.代数式的概念1.1 代数式是由数字、字母和运算符组成的表达式。
1.2 代数式的分类:单项式、多项式、函数等。
2.单项式2.1 定义:只有一个项的代数式称为单项式。
2.2 项的系数:单项式中字母的系数是该字母前的数字。
3.多项式3.1 定义:有两个或以上项的代数式称为多项式。
3.2 多项式的度:多项式中最高次项的次数称为该多项式的度。
4.函数4.1 定义:对于每个输入值,都有唯一输出值的代数式称为函数。
4.2 函数的表示方法:解析式、表格、图象等。
三、方程(含方程组)1.一元一次方程1.1 定义:只有一个未知数,且未知数的最高次数为1的方程称为一元一次方程。
1.2 解法:移项、合并同类项、化简等。
2.二元一次方程2.1 定义:有两个未知数,且未知数的最高次数为1的方程称为二元一次方程。
2.2 解法:代入法、消元法等。
3.方程组3.1 定义:由两个或以上方程组成的解集称为方程组。
3.2 解法:代入法、消元法、图解法等。
四、不等式(含不等式组)1.不等式1.1 定义:用“>”、“<”、“≥”、“≤”等不等号表示两个数之间大小关系的式子称为不等式。
1.2 解法:同方向不等式可以相加减,异方向不等式需要变号。
2.不等式组2.1 定义:由两个或以上不等式组成的解集称为不等式组。
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21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
注意一下几点:1.只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c 是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2 降次——解一元二次方程22.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。
(3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。
(1)把常数项移到等号的右边;(2)方程两边都除以二次项系数;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;(4)若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
22.2.2 公式法知识点一公式法解一元二次方程(1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为x=a acb b24 2-±-,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
(2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
(3)公式法解一元二次方程的具体步骤:①方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),一般a化为正值;②确定公式中a,b,c的值,注意符号;③求出b2-4ac的值;④若b2-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac<0,则方程无实数根。
知识点二一元二次方程根的判别式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它,即△=b2-4ac.△>0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根一元二次方程△=0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根根的判别式△<0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根22.2.3 因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程(1)把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。
(2)因式分解法的详细步骤:① 移项,将所有的项都移到左边,右边化为0;② 把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式;③ 令每一个因式分别为零,得到一元一次方程;④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。
若一元二次方程x 2+px+q=0的两个根为x 1,x 2,则有x 1+x 2=-p,x 1x 2=q.若一元二次方程a 2x+bx+c=0(a ≠0)有两个实数根x 1,x 2,则有x 1+x 2= a b -, x 1x 2=ac 21.3 实际问题与一元二次方程知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
(2)设:是指设元,也就是设出未知数。
(3)列:就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程。
(4)解:就是解方程,求出未知数的值。
(5)验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。
(6)答:写出答案。
知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型(1)数字问题三个连续整数:若设中间的一个数为x ,则另两个数分别为x-1,x+1。
三个连续偶数(奇数):若中间的一个数为x ,则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法:设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c ,则这个三位数是100a+10b+c.(2)增长率问题设初始量为a ,终止量为b ,平均增长率或平均降低率为x ,则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1x ±)2=b 。
(3)利润问题利润问题常用的相等关系式有:①总利润=总销售价-总成本;②总利润=单位利润×总销售量;③利润=成本×利润率(4)图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来,建立一元二次方程。
22二次函数知识点归纳1.表达式:①一般式:2y ax bx c =++(0a ≠); ②顶点式:()2y a x h k =-+(0a ≠) ③交点式:y =a (x –x 1)(x –x 2) (a ≠0)2.顶点坐标:①(2b a-,244ac b a -) ②(h ,k ) 3.顶点意义:①当2b x a=-时,0a >,y 有最小值为244ac b a -;0a <,y 有最大值为244ac b a - ②当h x =时,0a >,y 有最小值为k ;0a <,y 有最大值为k4.a 的意义:0a >,图象开口向上;0a <,图象开口向下;12a a =±两函数图象大小形状相同.(即a 相等的抛物线为全等型抛物线)5.对称轴:①2b x a =-;②h x =;③122x x x +=(其中x 1、x 2为抛物线上对称点的横坐标) 6.对称轴位置分析:①0b =,对称轴为y 轴;②0ab <,即a 、b 异号,对称轴在y 轴的右侧;③0ab >,即a 、b 同号,对称轴在y 轴的左侧;(左同右异)7.增减性:①0a >,2b x a >-(或x >h )时,y 随x 的增大而增大;2b x a <-(或x <h )时,y 随x 的增大而减小;②0a <,2b x a >-(或x >h )时,y 随x 的增大而减小;2b x a <-(或x <h )时,y 随x 的增大而增大8. 抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为(0,c ),c 值为抛物线在y 轴上的截距.9.抛物线与x 轴的交点:①240b ac ∆=-=时,抛物线与x 轴有一个交点;②240b ac ∆=->时,抛物线与x 轴有两个交点;③240b ac ∆=-<时,抛物线与x 轴没有交点.10.图象的平移:化成顶点式()2y a x h k =-+,上加下减:k m ±;左加右减:h m ±11.设抛物线与x 轴交于A 、B两点,则AB a=或12AB x x =-= 12.抛物线上重要的点:抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标,以及顶点坐标解题中经常会用到,所以同学们应能熟练地由解析式求这些点的坐标.13.二次函数与一元二次方程根的分布:①若抛物线与x 轴的两个交点在正半轴上,则212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩; ②若抛物线与x 轴的两个交点在负半轴上,则212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩; ③若抛物线与x 轴的两个交点分别在正、负两半轴上,则212400b ac c x x a ⎧∆=->⎪⎨=<⎪⎩④若抛物线与x 轴的两个交点只有一个点在m <x <n 范围内,则f (m )·f (n )<014.抛物线的变换:①关于x 轴对称:2y ax bx c =++ 代入(x ,–y )2y ax bx c =---②关于y 轴对称:2y ax bx c =++ 代入(–x ,y )2y ax bx c =-+③关于原点对称:2y ax bx c =++ 代入(–x ,–y )2y ax bx c =-+-④关于顶点对称:()2y a x h k =-+关于(h ,k )对称()2y a x h k =--+15.抛物线2y ax bx c =++与直线y =mx +n 的位置关系:两式消掉y ,得2()0ax b m x c n +-+-=,2()4()b m a c n ∆=---,①∆>0相交,两解析式组成的方程组的解即为图象交点坐标;②∆<0相离;③∆=0相切.16.二次函数与二次不等式:若抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(x 1,0)、(x 2,0),①a >0时,20ax bx c ++>解集为 x <x 1或x >x 2;20ax bx c ++<时,解集为x 1<x <x 2;①a <0时,20ax bx c ++>解集为x 1<x <x 2;20ax bx c ++<时,解集为x <x 1或x >x 217.二次函数与一次函数值的比较:如图:x <x 1或x >x 2时,二次函数值大于一次函数值;;x 1<x <x 2时,二次函数小于一次函数值. 23.1 图形的旋转知识点一 旋转的定义在平面内,把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度,就叫做图形的旋转,点O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二 旋转的性质旋转的特征:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前后的图形全等。
理解以下几点:(1) 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
(2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等。
(3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置。