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人教版九年级上册数学知识点总结
人教版九年级上册数学知识点总结九年级上册知识点：二次根式考点1：无理数无限不循环的小数被称为无理数，其中常见的无理数包括π以及π的有理数倍数等。
考点2：二次根式的概念形如√a的式子被称为二次根式，其中a是一个非负数，且二次根式也是一个非负数。
若有限个二次根式的和等于0，则每个二次根式的被开方数必须是0.考点3：移因式于根号内、外的方法移因式于根号外的方法包括：当根号外的数是一个负数时，把负号留在根号外，然后把这个数平方后移到根号内；当根号内的数是一个正数时，直接把这个数平方后移到根号内。
移因式于根号内的方法包括：当根号内的数是正数时直接开方移到根号外，当根号内的数是负数时开方移到根号外后要添上负号。
考点4：最简二次根式最简二次根式满足被开方数的因数是整数，因式是整式，并且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
最简二次根式中一定不含有分母，且对于数或代数式，它们不能写成a×m的形式。
考点5：二次根式的化简与计算二次根式的化简实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。
二次根式的加减运算可以表示为√a±√b=√(a±b)，乘法运算可以表示为√a×√b=√(ab)，除法运算可以表示为√a÷√b=√(a/b)，乘方运算可以表示为(√a)^2=a，开方运算可以表示为√(a^2)=|a|。
考点6：方根与二次根式的异同点XXX表示一个正数a的算术平方根，而二次根式表示一个实数a的平方的算术平方根。
它们表示的意义是不同的。
当被开方数都是非负数时，方根和二次根式相等；当被开方数为负数时，方根无意义，而二次根式为虚数。
一元二次方程考点一：一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程被称为一元二次方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
考点二：一元二次方程的解法一元二次方程的解法包括直接开平方法和配方法。
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人教版九年级上册数学课本知识点归纳总结全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN九年级上册数学课本知识点归纳第21章一元二次方程一、学习目标1、理解一元二次方程的概念2、学会一元二次方程的解法3、了解方程的根与系数的关系4、掌握一元二次方程的实际应用 二、重点一、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、降次----解一元二次方程1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)2、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如x 2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。
4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a acb b x当ac b 42->0时，方程有两个实数根。
当ac b 42-=0时，方程有两个相等实数根。
人教版数学九年级上、下册知识点归纳
九年级知识点第一单元 二次根式1、二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质（1）)0()(2≥=a a a)0(≥a a（2）==a a 2)0(<-a a（3）)0,0(≥≥•=b a b a ab （4）)0,0(≥≥=b a bab a 5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
第二单元 一元二次方程一、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
初中数学九年级上册知识点及公式总结大全(人教版)
九年级数学（上）知识点（２）被开方数中不含有开得尽方的整数或整式。
３、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
７、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，在合并同类二次根式，合并同类二次根式与合并同类项类似，将同类二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变。
注意：二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式不能合并。
８、二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。
在运算过程中，有理数（式）中的运算率及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用。
９、比较两数大小的常用方法：（１）平方法：若ａ＞０，ｂ＞０，且ａ²＞ｂ²，则ａ＞ｂ；（２）把跟号外的非负因式移到根号内，然后比较被开方数的大小。
第二十二章一元二次根式一．知识框二.知识概念１.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程．2 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax +bx+c=0（a≠0）．2这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．２.一元二次方程的解法：2（1）运用开平方法解形如（x+m） =n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．２（2）配方法：将一元二次方程变形为(x+p) =q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q ＜0,方程无实根．2 2（3）公式法：将方程化为一般形式ax +bx+c=0，当b -4ac≥0时，将a、b、c代入式子第二十三章旋转一.知识框架二．知识概念 1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结
21.1 一元二次方程学问点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
留意一下几点：1.只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
学问点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。
学问点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的根据。
21.2 降次——解一元二次方程22.2.1 配方法学问点一干脆开平方法解一元二次方程(1)假如方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以干脆开平方。
一般地，对于形如.x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a(2)干脆开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，假如p≥0，就可以利用干脆开平方法。
(3)用干脆开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
(4)干脆开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边干脆开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
学问点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
(1)把常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；(4)若等号右边为非负数，干脆开平方求出方程的解。
22.2.2 公式法学问点一公式法解一元二次方程(1)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，假如b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值干脆求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
九年级数学人教版知识点总结
九年级数学人教版知识点总结初三数学知识点三角形中位线的定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 平行四边形的性质①平行四边形的对边相等;②平行四边形的对角相等;③平行四边形的对角线互相平分.矩形的性质①矩形具有平行四边形的一切性质;②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等.正方形的判定与性质1.判定方法：(1)邻边相等的矩形;(2)邻边垂直的菱形;(3)对角线垂直的矩形;(4)对角线相等的菱形;2.性质：(1)边：四边相等，对边平行;(2)角：四个角都相等都是直角，邻角互补;(3)对角线互相平分、垂直、相等，且每长对角线平分一组内角。
等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定方法1.有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。
角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。
定义中有几个要点要注意一下的,学习方法，就是角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上标准差与方差极差是什么：一组数据中数据与最小数据的差叫做极差，即极差=值-最小值。
计算器——求标准差与方差的一般步骤：1.打开计算器，按“ON”键，按“MODE”“2”进入统计(SD)状态。
2.在开始数据输入之前，请务必按“SHIFT”“CLR”“1”“=”键清除统计存储器。
3.输入数据：按数字键输入数值，然后按“M+”键，就能完成一个数据的输入。
如果想对此输入同样的数据时，还可在步骤3后按“SHIET”“;”，后输入该数据出现的频数，再按“M+”键。
4.当所有的数据全部输入结束后，按“SHIFT”“2”，选择的是“标准差”，就可以得到所求数据的标准差;5.标准差的平方就是方差。
新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)1)相交圆的位置关系：两圆相交于两点，相切于一点，相离于两点.2)内切圆和外切圆的位置关系：内切圆和外切圆的切点在圆心连线上，内切圆和外切圆的圆心连线垂直于切点所在的直线.要点诠释：在解决两圆位置关系问题时，需要注意圆心的位置关系，切点的位置关系以及圆心连线与切点所在直线的垂直关系.要点二、切线及其性质1．切线的定义：过圆上一点，且与圆相交于该点的直线叫做圆的切线.2．切线的性质：1)切线与半径的关系：切线与过切点的圆的半径垂直.2)切线定理：切线与半径的关系可以推出切线定理：过圆外一点作圆的切线，切点与此点的连线垂直于切线.3)切线的判定方法：切线与圆的位置关系可以通过勾股定理、切线定理和判别式来进行判定.要点诠释：切线是圆的一个重要性质，切线定理是判定切线的重要工具，切线的判定方法可以根据具体情况选择不同的方法.要点三、圆的面积和弧长1．圆的面积公式：S=πr².2．弧长公式：L=αr(α为圆心角的度数).3．扇形的面积公式：S=(α/360°)πr².要点诠释：圆的面积公式和弧长公式是圆的基本公式，扇形的面积公式可以通过弧长公式和圆的面积公式来推导得出.要点四、圆锥的侧面积和全面积1．圆锥的侧面积公式：S=πrl.2．圆锥的全面积公式：S=πr(l+r).要点诠释：圆锥的侧面积公式和全面积公式是圆锥的基本公式，其中l为斜高，r为底面半径.1) 两个圆是轴对称图形，其对称轴是连接两圆心的直线。
2) 相交的两个圆的连心线垂直平分它们的公共弦，相切的两个圆的连心线经过切点。
4.与圆有关的角度1) 圆心角是以圆心为顶点的角度。
圆心角的度数等于它所对应的弧的度数。
2) 圆周角是顶点在圆上，两边都与圆相交的角度。
圆周角的性质包括：①圆周角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半；②同弧或等弧所对应的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等；③90度的圆周角所对应的弦为直径；半圆或直径所对应的圆周角为直角；④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角。
人教版九年级数学上册各章节知识点总结
人教版九年级数学上册知识点总结第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
典型例题：1、已知关于x的方程（x21m-+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。
21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
最新人教版九年级数学上册一二单元知识点总结
人教版九年级数学上册一二单元知识点总结21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a.（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数；精品文档精品文档⑶ 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷ 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
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初中数学知识点总结（精华）第一章 有理数1、有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 .4、.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的几何意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论；5、互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数 6、有理数的四则运算：（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加为0；0与任何数相加都等于任何数（2）有理数减法法则：:减去一个数等于加上这个数的相反数（3）有理数的乘法法则：①两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 0乘以任何一个数都等于0；②多个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有偶数个时，积为正数，负因数有奇数个时，积为负数，再把各个因数的绝对值相乘（4）有理数的除法法则①两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0除以任何一个不为0的数都得0；②除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数7、有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .8、比较两个数的大小：（1）负数< 0 < 正数，任何一个正数都大于一切负数（2）数轴上的点表示的有理数，左边的数总比右边的数小（3）两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小（4）两数相乘（或相除），同号得正 > 0，异号得负 < 09、有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-an 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .10、科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.11、非负数的性质：若02=++c b a ，则000===c b a 且且第二章 整式的加减1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。
九年级上册人教版数学课本知识点、概念总结
第二十一章 一元二次方程本章知识结构图21.1 一元一次方程1. 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次) 的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是：a χ²+b χ+c=0 （a ≠0)其中，a χ²是二次项,a 是二次项系数；b χ是一次项,b 是一次项系数；c 是常数项。
2. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。
21.2 解一元一次方程1. 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
2. 配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
3. 一般地，式子b ²-4bc 叫做一元二次方程a χ²+b χ+c=0 根的判别式，通常用希腊字母“△”表示它， 即△=b ²-4bc 。
3. 当△＞0时，方程 a χ²+b χ+c=0 (a ≠0)有两个不相等的实数根；当△=0，方程a χ²+b χ+c=0(a ≠0)有两个相等的实数根；当△＜0，方程 a χ²+b χ+c=0(a ≠0)无实数根。
4. 一般地,对于一元二次方程a χ²+b χ+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为χ=ab 24ac -2b √±）（-这个公式叫做一元二次方程的求根公式。
利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a ，b ，c 的值直接求得方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
5. 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，从而实现降次，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
6. 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0。
第22章 二次函数知识点总结 2023—2024学年人教版数学九年级上册
第二十二章二次函数22.1二次函数的图像和性质22.1.1 二次函数知识点一 二次函数的定义1.二次函数的定义:一般地，形如)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 的函数，叫做二次函数.2.任何一个二次函数的解析式都可化成)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 的形式，因此，把)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 叫做二次函数的一般式3.二次函数)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 中y x ,是变量，c b a ,,是常量.自变量x 的取值范围是全体实数，b 和c 可以是任意实数，a 必须是不等于 0的实数.知识点二 实际问题中的二次函数22.1.2二次函数2ax y =的图像和性质理解 题意 分析问题中的变量和常量及它们之间的关系列函数 关系式22.1.3二次函数()k h x a y +-=2的图像和性质第一课时 二次函数k ax y +=2的图像和性质第二课时 二次函数()2h x a y -=的图像和性质第三课时 二次函数()k h x a y +-=2的图像和性质22.1.4 二次函数)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 的图象和性质第一课时 二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质知识点一 二次函数c bx ax y ++=2与()k h x a y +-=2之间的关系 利用二次函数图象平移的规律求平移后的函数的解析式，首先要把函数解析式化为顶点式:()k h x a y +-=2知识点二 二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质 1. 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线，与抛物线2ax y =的形状相同，位置不同，利用配方法可以将c bx ax y ++=2转化成顶点式，即a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++= 2. 二次函数c bx ax y ++=2的性质（1）当0>a 时，抛物线开口向上，对称轴为直线a bx 2-=，顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac ab 44,22c bx ax y ++=20>a0<a开口方向 向上 向下对称轴 直线ab x 2-= 直线ab x 2-= 顶点坐标⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22 增减性当a b x 2->时，y 随x 的增大而增大；当a b x 2-<时，y 随x 的增大而减小当abx 2->时，y 随x 的增大而减小；当abx 2-<时，y 随x 的增大而增大最值当ab x 2-=时，ab ac y 442-=最小值当ab x 2-=时，ab ac y 442-=最大值知识点三 二次函数c bx ax y ++=2的图象与系数c b a ,,之间的关系 系数 图像的特征 系数的符号a开口向上 0>a 开口向下0<a b对称轴为y 轴 0=b对称轴在y 轴左侧同号b a ,对称轴在y 轴右侧 异号b a ,c经过原点0=c 与y 轴正半轴相交 0>c 与y 轴负半轴相交0<c第二课时 用待定系数法求二次函数的解析式知识点一 用待定系数法求二次函数的解析式根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法，用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题便捷。
数学9年级上册人教版课程
数学9年级上册人教版课程由于您没有具体说明关于九年级上册人教版数学课程哪方面的内容（例如知识点总结、题型归纳、复习资料等），以下为您提供一份较为全面的人教版九年级上册数学知识点总结：一、一元二次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 解法。
- 直接开平方法。
- 对于方程x^2=p(p≥0)，则x = ±√(p)。
- 对于方程(mx + n)^2=p(p≥0)，则mx + n=±√(p)，进而解得x=(-n±√(p))/(m)。
- 配方法。
- 步骤：- 把方程化为一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
- 移项：把常数项移到方程右边，即ax^2+bx=-c。
- 二次项系数化为1：方程两边同时除以a，得到x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 配方：在方程两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2，然后化为(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}。
- 开方求解。
- 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。
- 因式分解法。
- 把方程化为一般形式后，如果方程左边能分解因式，即ax^2+bx + c=(mx + p)(nx+q)，那么方程可化为(mx + p)(nx + q)=0，则mx + p = 0或nx+q = 0，进而求解。
3. 根的判别式。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其判别式Δ=b^2-4ac。
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a ,x 2=a 222数学上册知识点总结21.1 一元二次方程知识点一 一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程。
知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式： ax + bx + c = 0(a ≠ 0). 其中， ax 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1）） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如 x =a(a ≥ 0) 的方程，根据平方根的定义可解得 x 1= .（2）） 直接开平方法适用于解形如 x 2=p 或(mx+a)2=p(m ≠ 0) 形式的方程， 如果 p ≥0，就可以利用直接开平方法。
（3） ） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4） ） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平 方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数；22222⑶ 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷ 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
21.2.2 公式法知识点一 公式法解一元二次方程2 2（1）） 一般地，对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a ≠ 0) ，如果 b -4ac ≥ 0 ，那么方程的两个根为2bb4ac x=2a，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
（2）） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠ 0) 的过程。
（3）） 公式法解一元二次方程的具体步骤：① 方程化为一般形式： ax +bx+c=0(a ≠0) ，一般 a 化为正值②确定公式中 a,b,c 的值，注意符号；22 2③求出 b -4ac 的值； ④若 b -4ac ≥0，则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，若 b -4ac＜ 0，则方程无实数根。
知识点二 一元二次方程根的判别式2 2 2式子 b -4ac 叫做方程 ax +bx+c=0(a ≠ 0) 根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△ =b -4ac.△＞ 0，方程 ax +bx+c=0(a ≠ 0) 有两个不相等的实数根一元二次方程 △=0，方程 ax +bx+c=0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根根的判别式△＜ 0，方程 ax +bx+c=0(a ≠0) 无实数根21.2 ．3 因式分解法知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1）） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积， 进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
（2））因式分解法的详细步骤：2222 ① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0；② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； ③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程方法名称理论依据 适用范围直接开平方法 平方根的意义形如 x =p 或（mx+n ） =p(p ≥0)配方法 完全平方公式 所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法 当 ab=0，则 a=0 或b=0一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程 x +px+q=0的两个根为 x 1,x 2, 则有 x 1+x 2=-p,x 1x 2=q.若一元二次方程 a x+bx+c=0(a ≠ 0) 有两个实数根 x ,x , 则有 x +x =， b,x x = c1222.3 实际问题与一元二次方程知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：121 2aa（1） ） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
（2） ） 设：是指设元，也就是设出未知数。
（3）） 列：就是列方程，这是关键步骤 , 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。
（4） ） 解：就是解方程，求出未知数的值。
（5） ） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。
（6）） 答：写出答案。
知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）） 数字问题22三个连续整数：若设中间的一个数为 x ，则另两个数分别为 x-1 ， x+1。
三个连续偶数（奇数） ：若中间的一个数为 x ，则另两个数分别为 x-2,x+2 。
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c ，则这个三位数是 100a+10b+c.（2）） 增长率问题设初始量为 a ，终止量为 b ，平均增长率或平均降低率为 x ，则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a （1 x ） =b 。
（3） ）利润问题利润问题常用的相等关系式有：①总利润 =总销售价 - 总成本；②总利润 =单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4） ）图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来， 建立一元二次方程。
二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分 基础知识1. 定义：一般地，如果 y ax2bx c( a, b, c 是常数， a 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数 .2. 二次函数 y ax 2的性质（1））抛物线yax 2的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴.（2））函数yax 2的图像与 a 的符号关系 .①当 a ②当 a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； 0时抛物线开口向下顶点为其最高点 .（3））顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y ax 2（a 0）.3. 二次函数 y ax2bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线 .4. 二次函数 y ax 2bx c 用配方法可化成： y a x h2k 的形式，其中 hb ， k 2a4ac b 2.4a5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y ax 2；② yax2k ；③ y a x h ；④2y a x hk ；⑤ yax 2bx c .6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.2① a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0 时，开口向上；当 a 0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 .②平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x h . 特别地， y 轴记作直线 x 0.7. 顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 . 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1） 公式法： y ax2bx c 2a x b2a4ac b 24a，∴顶点是（b 4ac ， 2a 4ab ），对称轴是直线xb.2a（2） 配方法：运用配方的方法， 将抛物线的解析式化为 y a x h2k 的形式，得到顶点为 ( h , k ) ，对称轴是直线 x h .（3） 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9. 抛物线 y ax2bx c 中， a,b, c 的作用（1） a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax 2中的 a 完全一样 .（2） b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置 . 由于抛物线 y ax 2bx c 的对称轴是直线b x，故：① b 2a b 0 时，对称轴为 y 轴；②a0 （即 a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧； ③b 0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧.a（3） c 的大小决定抛物线 y ax2bx c 与 y 轴交点的位置 .当 x 0时， y c ，∴抛物线 yax 2bx c 与 y 轴有且只有一个交点（ 0， c ）：① c 0 ，抛物线经过原点 ; ② c 0 , 与 y 轴交于正半轴；③ c 0 , 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 . 如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则b 0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y ax 2y ax2kx 0 （ y 轴）（ 0,0 ） x 0 （ y 轴）(0, k )y a x h2y a x h2k当 a 0 时x h开口向上 x h( h ,0)( h , k )y ax2bx c当 a 0时 b x(b 4ac b 开口向下2a， ) 2a 4 a11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1） 一般式： y ax2bx c . 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式 .（2） 顶点式： y a x h2k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 .（3） 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1 、 x 2 ，通常选用交点式： y a x x 1 x x 2 .12. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线 y ax 2bx c 得交点为 (0, c ).（2） 与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 y ax 2bx c 有且只有一个交点 ( h , ah 2bh c ).（3） 抛物线与 x 轴的交点二次函数 yax 2bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x 1 、 x 2 ，是对应一元二次方程ax 2bx c 0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与 x 轴相交；②有一个交点（顶点在 x 轴上） 0抛物线与 x 轴相切；③没有交点抛物线与 x 轴相离.（4） 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点. 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2bx ck 的两个实数根 .（5） 一次函数 y kx n k 0 的图像 l 与二次函数 y2axbx c a0 的图像 G 的交点，由方程y kx 组n 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 l 与G 有两个交点 ; ②y axbx c2方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点；③方程组无解时l 与G 没有交点 .（6） 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y ax2bx c 与x 轴两交点为 A x 1，0 ， B x 2，0 ，由于 x 1 、 x 2 是方程 ax2bx c 0 的两个根，故x 1xAB第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。