宁夏长庆高级中学高三上学期第四次月考——数学理数学理

宁夏长庆高级中学 2019届高三上学期第四次月考数学理试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，集合2{|230}B x x x =-->，则（ ） A ． B ． C ． D ．2．若，，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．3.函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（ ）4．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（ ） A ．6斤B ．7斤C ．8斤D ．9斤5.已知锐角满足()253cos ,sin 55ααβ=-=-，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ．6、已知实数，满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77、若等差数列满足7897100,0a a a a a ++>+<，则使的前项和最大的n 的值是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．108、已知向量＝(3，－2)，＝(x ，y －1)且∥，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83 D.539．关于函数的图像或性质的说法中，正确的个数为（ ） ①函数的图像关于直线对称；②将函数的图像向右平移个单位所得图像的函数为； ③函数在区间上单调递增；④若，则． A ．1B ．2C ．3D ．4 10.已知函数满足，若函数与图像的交点为，则=（ ）A. 10B. 20C.D.11．已知函数()3223f x x ax bx c =+++的两个极值点分别在与内，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题（每空4分，共20分）13、若等比数列的各项均为正数，且，则1220ln ln ln a a a +++=.14．在△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于. 15、 已知数列的前n 项和为，且满足，．则=16．已知的三边，，成等比数列，，，所对的角分别为，，，则的取值范围是_________．三、解答题：17、在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1，0)，＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．（Ⅰ）若x ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求的最小值和最大值；（Ⅱ）若，向量＝，＝(1－cosx ，sinx －2cosx)，求的最小值及对应的x 值.18、设数列的前项和，且成等差数列. （1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n 项和，求使得成立的n 的最小值.19．设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。

（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.20、如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.（Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过？说明理由.21．( 本小题满分12分) 设函数()()211ln .2f x x a x a x =--- （Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若有两个不相等的实数根，求证22-2. 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线（t 为参数,且）,其中,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（I ）求与交点的直角坐标；（II ）若与相交于点A ,与相交于点B ,求最大值.23.选修4－5：不等式选讲 已知关于的不等式的解集为 （I ）求实数的值； （II ）求的最大值. .宁夏长庆高中2019届高三第四次月考试卷理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1、C2、 D3、 D4、D5、A6、C7、B8、B9、A 10、D 11、A 12、D 二、填空题（每空4分，共20分） 13、50.14．或.15、=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=2,221211n 21n n n ，16．．三、解答题：17、解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C ⎝⎛⎭⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝⎛⎭⎫－22＋t ，22， 所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|2最小，最小值为22.所以当t ＝0时，|OC →＋OD→|2最大，最大值为1.m ＝BC →＝(cos x ＋1，sin x )， (2)由题意得C (cos x ，sin x )，则m ·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ＝1－cos2x －sin2x ＝1－因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4， 所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4取得最大值1， 所以m ·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.18、19、解：（1）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为所以1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+===因为点在函数的图象上，所以，所以又，所以221(1)232n n n S na d n n n n n -=+=-+-=- （2）由()2()2ln 2x xf x f x '=⇒=函数的图象在点处的切线方程为222(2ln 2)()ay b x a -=-所以切线在轴上的截距为，从而，故 从而，，231232222n n n T =++++2341112322222n n n T +=++++ 所以23411111112222222n n n n T +=+++++-111211222n n n n n +++=--=-故20、【答案】（1），（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=187,558783,184225)(2t t t t t t f ，不超过.【解析】解：（1）．记乙到时甲所在地为，则千米．在中，222CD C D 2C Dcos =A +A -A ⋅A A ， 所以（千米）.（2）甲到达用时小时；乙到达用时小时，从到总用时小时． 当时，21.解：（I ）2(1)(1)()()(1)(0).a x a x a x x a f x x a x x x x---+-'=---==> ……2分 当时，恒成立，所以在上单调递增. 当时，解得解得所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增.当时，在上单调递减，在上单调递增. ……5分 （II ）有两个不相等的实数根，不妨设2222211111(1)ln (1)ln 22x a x a x x a x a x ∴---=--- 222121211()(1)()(ln ln )2x x a x x a x x212121ln ln 1()(1)2x x x x a a x x ……7分 而()(1)af x x a x'=---1212122()(1).22x x x x f a a x x ++'∴=---+21221212211221111ln ln 2()(ln2)21x x x x x x x a f a a x x x x x x x x x ……10分 令211(1)(1)()ln 2,(1),()2,(1)1(1)x x x g x x x g x x x x x -+--'=->=->++ 22(1)()0,(1)x g x x x -'∴=>+所以在单调递增.12()(1)0,()0.2x x g x g f +'∴>=∴>……12分 22-2. 选修4－4：坐标系与参数方程【答案】（I ）()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭；（II ）4.【解析】23.选修4－5：不等式选讲 【解析】试题分析：(I)由，得，由题意得，解得； (II)31234t t t t -+=-2222[(3)1][(4)()t t ≤+-+，当且仅当即时等号成立，故(min3124t t-+=.。