数值分析第五章学习小结
数值分析(颜庆津) 第4章 学习小结
第4章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法
--------学习小结
一、本章学习体会
本章我们主要学习了非线性方程的几种解法，主要有对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。这几种方法都有其思想，并且它们的思想彼此之间有一定的联系。
本章的思路大致可以理解为：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法 。
二、本章知识梳理
具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步，将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。 求初始近似值，即确定根的大致区间（a, b ），使（a, b ）内恰有方程的一个根。本章的学习思路：针对一种迭代方法，找出迭代公式，并判断其收敛性，一般选取收敛速度最快的迭代公式，所以自然的提出了如何使收敛加速的问题。
4.1非线性方程的迭代解法
非线性方程的迭代解法有：对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。 4.1.1对分法
设()[]()()0,<∈b f a f b a C x f 且，根据连续函数的介值定理，在区间()b a ,内至少存在有一个实数s ，使()0=s f 。现假设在()b a ,内只有一个实数s ，使()0=s f 并要把s 求出来，用对分法的过程： 令b b a a ==00, 对于M k ,....,2,1,0=执行
计算2
k
k k b a x +=
若()ηε≤≤-k f a b k k 或，则停止计算取k x s ≈否则转（3）
(完整版)哈工大-数值分析上机实验报告
实验报告一
题目：非线性方程求解
摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。
前言：（目的和意义）
掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。
数学原理：
对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。
对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式
产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为
其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计：
本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下
function y=f(x);
y=-x*x-sin(x);
写成如上形式即可，下面给出主程序。
二分法源程序：
clear
%%%给定求解区间
b=1.5;
a=0;
数值分析第五章学习小结
数值分析第五章学习⼩结
第五章学习⼩结
姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2*******
⼀、本章学习体会
本章的内容与实际关联很⼤，可以解决很多⼯程实际问题。1、主要有两⽅⾯内容：插值与逼近。插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。逼近即是⽤简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最⼩最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。2、插值中样条插值⽐较难，需要花⼀定的时间。逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最⼩。3、我个⼈觉得本章的难点是样条插值与最佳平⽅逼近。
⼆、知识构图：
因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：插值、正交多项式和逼近。
1、插值：
2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下⽅式：⼀、正交多项式
1、正交多项式的概念与性质
若在区间上⾮负的函数满⾜
（1）对⼀切整数存在；
（2）对区间上⾮负连续函数，若
则在上，那么，就称为区间上的权函数。常见的权函数有
2、两个函数的内积
定义：给定[](),(),,()f x g x C a b x ρ∈是上的权函数，称
为函数()f x 与()g x 在[a,b]上的内积。内积的性质：
（1）对称性：()(),,f g g f =；
（2）数乘性：(),(,)(,)kf g f kg k f g ==；（3）可加性：()()()1212,,,f f g f g f g +=+；（4）⾮负性：若在[a,b]上()0f x ≠，则。(,)a b ()x ρ0,()b
n
a n x x dx ρ≥?(,)a
b ()f x ()0b
数值分析学习心得体会
数值分析学习心得体会
篇一：数值分析学习总结感想
数值分析学习感想
一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。这门课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。
数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。
数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数学思想，很多思考的角度，
在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反
三。像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的，这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的都是不同的算法。而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题，从而知道如何去解决。
《数值分析》第五章答案
习题5
1．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。
(1) 左矩形公式：⎰-≈b
a a
b a f dx x f ))(()(
(2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f b
a
-≈⎰
(3) 中矩形公式：⎰-+≈b
a
a b b
a f dx x f ))(2
(
)( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f b
a
b
a -=≈⎰⎰
⎰⎰⎰⎰-=-=--b
a b
a b
a b
a dx a f x f dx a f dx x f a
b a f dx x f ))()(()()())(()(
),()(2
1
)()()()(2
ηηξf a b dx a x f dx a x f b
a b a
'-=-'=-'=⎰⎰
),(,b a ∈ηξ
(2) )()(b f x f ≈，⎰⎰-=≈b a
b
a
a b a f dx b f dx x f ))(()()(
⎰⎰⎰⎰-=-≈--b a b a b a b
a dx
b f x f dx b f dx x f a b b f dx x f )]()([)()())(()(
)()(2
1)()()()(2ηηξf a b dx b x f dx b x f b
a b a
'--=-'=-'=⎰⎰
，),(,b a ∈ηξ
(3) 法1 )2
(
)(b
a f x f +≈ ， ⎰⎰-+=+≈b
a b
a
a b b a f dx b a f dx x f ))(2
()2()(
⎰-+-b
a
a b b a f dx x f ))(2(
数值分析笔记
第一章
1.设x 为准确值，x*为x 的一个近似值.称e*=x*-x 为近似值的绝对误差，简称误差。ε*=|e*|叫做近似值的误差限，
e ∗x
=
x ∗−x x
为相对误差，
εr
∗=ε∗
|x ∗| 为相对误差限。
2.采用四舍五入原则时，值的误差不超过末位数字的半个单位(对π估计值取
3.14时，误差|π-3.14|≤0.5 * 10-2). 3.
ε(x 1∗±x 2∗)≤ ε(x 1∗)+ε(x 2∗
) ε(x 1∗·x 2∗)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗) ε(x 1∗/x 2∗
)≤|x 1∗|ε(x 2∗)+|x 2∗|ε(x 1∗
)|x 2∗|
2
4.相近数相减、大数吃小数等问题会加大误差。
T1. 已测得某场地长Ɩ的值为Ɩ*=110m ，宽d 的值为d*=80m ，已知 |Ɩ - Ɩ*| ≤ 0.2m ，|d – d*| ≤ 0.1m.试求面积s=Ɩd 的绝对误差限与相对误差限。
解：因为s= Ɩd, ðs ðƖ
=d,ðs
ðd =Ɩ.
故 ε(s
∗)
≈|(ðs ðl
)∗|ε(l ∗)
+
|(ðs ðd
)∗
|ε(d ∗), (ðs ðl )∗=d ∗=80m (ðs
ðd
)∗
=l ∗=110m ε(l ∗)=0.2m ε(d ∗)=0.1m
得绝对误差限 ε(s ∗)=27(m 2)
相对误差限
εr
∗=
ε(s ∗)|s ∗|
=
ε(s ∗)l ∗d ∗
≈0.31%
T3. 计算I n =e −1∫x n e x
dx(n =0,1,…)1
并估计误差。 解：由分部积分可得
I n =e −1∫x n d (e x )=e −1(x n e x |01−∫e x d (x n )1
数值分析学习公式总结
第一章
1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a
输入=c
+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1
n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0b
Answer P （x ）=0b
该方法用于解决多项式求值问题P （x ）
=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a
2 注：p ˆ
为近似值
绝对误差：
|ˆ|p
p E p -=
相对误差：
|||ˆ|p p
p R p -=
有效数字:
210|||ˆ|1d p p p
p R -<
-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);
O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章
2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则
，可得到序
列值｛｝。 设函数g 。如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围
满足y ， 则函数g 在
内有一个不动点; 此外，设
定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使
得
，则函数g 在
内有唯一的不动点P 。
定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，
（iii ）
。如果对于所有
如果对于所有x 在
这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。. 波尔
查
诺
二
分
法
(
二
分
法
定理
)
<收敛速度较慢>
数值分析-第五版-考试总结
第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。
近似值的误差e∗（x为准确值）：
e∗=x∗−x
近似值的误差限ε∗：
|x∗−x |≤ε∗
近似值相对误差e r∗（e r∗较小时约等）：
e r∗=e∗
x
≈
e∗
x∗
近似值相对误差限εr∗：
εr∗=
ε∗|x∗|
函数值的误差限ε∗(f(x∗))：
ε∗(f(x∗))≈|f′(x∗)| ε∗(x∗)近似值x∗=±(a1.a2a3⋯a n)×10m有n位有效数字：
ε∗=1
2
×10m−n+1
εr∗=
ε∗
|x∗|
≤
1
2a1
×10−n+1第二章：插值法
1.多项式插值
P(x)=a0+a1x+⋯+a n x n 其中：
P(x i)=y i ,i=0,1,⋯,n
{a0+a1x0+⋯+a n x0n=y0 a0+a1x1+⋯+a n x1n=y1
⋮
a0+a1x n+⋯+a n x n n=y n 2.拉格朗日插值
L n(x)=∑y k l k(x)
n
k=0=∑y k
ωk+1(x)
(x−x k)ωn+1
′(x k) n
k=0
n次插值基函数：
l k(x)=
(x−x0)⋯(x−x k−1)(x−x k+1)⋯(x−x n)
(x k−x0)⋯(x k−x k−1)(x k−x k+1)⋯(x k−x n)
,k=0,1,⋯,n
引入记号：
ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−x n)余项：
R n(x)=f(x)−L n(x)=f(n+1)(ξ)
(n+1)!
ωn+1(x) ,ξ∈(a,b)
3.牛顿插值多项式：
P n(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+⋯+f[x0,x1,⋯,x n](x−x0)⋯(x−x n−1) n阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）：
数值分析_第五章_常微分方程数值解法
图５畅２
令珔h ＝h λ，则y n ＋１＝１＋珔
h ＋１２珔h ２
＋１６珔h ３＋１２４
珔
h ４y n ．由此可知，绝对稳定性区域在珔h ＝h λ复平面上满足
｜１＋珔
h ＋１２珔h ２＋１６珔h ３＋１２４珔h ４
｜≤１的区域，也就是由曲线
１＋珔h ＋
１２珔h ２＋１６珔h ３＋１２４
珔h ４＝e i θ
所围成的区域．如图５畅２所示．
例22 用Euler 法求解
y ′＝－５y ＋x ，y （x ０）＝y
０，
x ０≤x ≤X ．
从绝对稳定性考虑，对步长h 有何限制？
解 对于模型方程y ′＝λy （λ＜０为实数）这里λ＝抄f
抄y
＝－５．由
｜１＋h λ｜＝｜１－５h ｜＜１
得到对h 的限制为：０＜h ＜０畅４．
四、习题
１畅取步长h ＝０畅２，用Euler 法解初值问题
y ′＝－y －x y ２
，
y （０）＝
１．
（０≤x ≤０畅６），
２畅用梯形公式解初值问题
y ′＝８－３y ，y （１）＝
２，
（１≤x ≤２），
２
１２
取步长h＝０畅２，小数点后至少保留５位．
３畅用改进的Euler公式计算初值问题
y′＝１x y－１x y２，
y（１）＝０畅５，
１＜x＜１畅５，
取步长h＝０畅１，并与精确解y（x）＝
x
１＋x比较．
４畅写出用梯形格式的迭代算法求解初值问题
y′＋y＝０，
y（０）＝１
的计算公式，取步长h＝０畅１，并求y（０畅２）的近似值，要求迭代误差不超过１０－５．
５畅写出用四阶经典Runge唱Kutta法求解初值问题
y′＝８－３y，
y（０）＝２
的计算公式，取步长h＝０畅２，并计算y（０畅４）的近似值，小数点后至少保留４位．
数值分析第二章学习小结-
数值分析第⼆章学习⼩结-
第2章插值法
--------学习⼩结
姓名班级学号
⼀、本章学习体会
1.我的感受：在学习本章之前，我在很多地⽅都见到过涉及到插值法的问题，⽐如中学时见到的类似于“给定两组数据，求⽬标函数”，⽣活中的“由
坐⽕车的某两站到站时间估计⽕车到其他站的时间”。⽽经过了《数
值分析》第⼆章“插值法”的学习，我知道了简单估计与科学插值
之间的关系以及拉格朗⽇插值、⽜顿插值、分段线性插值、三次样
条插值、埃尔⽶特插值这些经典的插值⽅法，我知道了插值法是⾮
常系统、科学的数学估计⽅法与⼯科领域的优化⽅法。
2.我的困惑：经过了这⼀章插值法的学习，我知道了拉格朗⽇插值、⽜顿插值等等优秀的插值⽅法，但是针对不同的问题，我们应该如何选择最适
合的插值⽅法呢？或者说在不同类型的题⽬中各种插值法的优势是
什么？（困惑解答在⼩结思考题处）
⼆、本章知识梳理
b x a x x
c x a x s n j j i i ≤≤-+=∑∑-+,)(1)(3
13
三、本章思考题
思考题：在不同类型的题⽬中各种插值法的优势劣势分别是什么？
思考：
1.拉格朗⽇插值：
优点：公式结构整齐紧凑，理论分析⽅便简单；
缺点：随着插值点的变化计算量成倍增加，计算变得⼗分繁琐，插值点较多时误差⼤数值不稳定。插值多项式不能全⾯反映被插值函数的性质，不能
满⾜插值多项式与被插值函数在部分或全部插值节点上的导数值与⾼
阶导数值相等。
2.⽜顿插值：
优点：公式结构整齐紧凑，理论分析⽅便简单并且随着插值点的变化计算仍相对⽐较简单；
缺点：插值多项式不能全⾯反映被插值函数的性质，不能满⾜插值多项式与被插值函数在部分或全部插值节点上的导数值与⾼阶导数值相等。
数值分析1.1
2 N-S positions 0 0
(x x2 )2 ( y y2 )2 (z z2 )2 (t2 -t) c 0
图 7.8
(x x3 )2 ( y y3 )2 (z z3 )2 (t3-t) c 0
(x x4 )2 ( y y4 )2 (z z4 )2 (t4 -t) c 0
求解常微分方程
y 2x 3 x [0, a] y(0) 0
不是数值问题.
输入数据为2,3,x=0,y=0,但输出为函数 y x2 3x 要变成数值问题需进行离散化, 即将求 y x2 3x
的问题改变成求
y(x1), y(x2),, y(xn ),0 x1 x2 xn a
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米， 600米，1000米…）处的水温
5、人口预测
下面给出的是中国1900 年到2000年的人口数， 我们的目标是预测未来 的人口数（数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量较大
时）
y 1t 3 2t 2 3t 4
1950 1960 1970 1980 1990 2000
第一章 绪 论
（6学时）
1.1 数值分析研究的对象 1.2 误差知识与算法知识 1.3 向量范数与矩阵范数 MATLAB介绍
哈工大数值分析实验报告
产生逼近解 x*的迭代数列{xk}，这就是割线法的思想
.1.
数值分析实验报告
宋俊霖
拟 Newton 法以 X 0 为初始近似，利用递推关系
X k 1 X k H k F ( X k ) H k 1 ( F ( X k 1 ) F ( X k )) X k 1 X k H k 1 H k H k , k 0,1,...
实验报告六：常微分方程初值问题的数值解法...................................................... 41
6.1 摘要、前言、数学原理 ............................................................................................ 41 6.2 Python 程序设计 ....................................................................................................... 42 6.3 结果分析和讨论 ........................................................................................................ 46 6.4 思考题 ....................................................................................................................... 56
数值分析第五版
数值分析第五版
1. 简介
数值分析是一门研究如何用数值方法来求解数学问题的学科。它主要关注数值计算方法的设计、分析和实现。《数值分析第五版》是一本经典的数值分析教材，由Richard L. Burden 和J. Douglas Fres合著，已经出版了多个版本。
2. 内容概述
《数值分析第五版》的内容主要涵盖以下几个方面：
2.1 数值计算的基础
•数值计算的误差与收敛性
•计算舍入误差分析
•稳定性与条件数
2.2 数值线性代数
•线性方程组与矩阵运算
•泛函与内积空间
•最小二乘问题
•特征值与特征向量
2.3 非线性方程求根
•近似求解法
•迭代法和收敛性
•多项式插值
2.4 数值微积分
•数值积分
•微分方程初值问题的数值解•边值问题与本征值问题
2.5 优化问题
•无约束优化
•线性规划
3. 主要特点
《数值分析第五版》具有以下几个主要特点：
3.1 理论与实践相结合
本书在理论讲解的，也会介绍实际问题的求解方法，并通
过具体的例子帮助读者理解和运用数值计算方法。
3.2 算法深入浅出
书中详细介绍了各种数值计算方法的算法原理和实现细节，并提供了众多算法的伪代码和MATLAB代码。
3.3 常用数值工具的介绍
本书介绍了常用的数值计算工具，如MATLAB、等，以及
相应的数值计算库和函数。
3.4 实例与习题丰富
书中包含了大量实例和习题，帮助读者巩固所学知识，并
通过实践提高数值计算的能力。
4. 资源推荐
除了《数值分析第五版》这本教材外，还有一些相关的推荐资源：
•《数值分析》（高级）王天浩，郭中杰
•《数值计算方法》（第3版）何书进
•网课资源：Coursera、edX等平台提供了一些优秀的数值分析课程
数值分析第五版课后答案
数值分析第五版课后答案
(ii )
2/（x ） = Imr
0.4
0.5
0.6
0.7 0.8 lar
一 0.916 291 一 0.693 147 一 0・ 510
826
-0. 356 675
-0.223 144
用线性插值及二次插值计算InO. 54的近似值•
解 依据插值误差估计式选距离0. 54较近的点为插值节点，并建立差商 表如下:
一 0.693 147
-0.510 826 - 0.916 291
写出Newton 插值多项式
M(H ) =- 0.693 147 + 1.823 210Q — 0.5)
N2)= M (_r) + (—0.204 115〉(工一0. 5)匕一0・6)
计算近似值
Ni (0. 54) =一 0.693 147+ 1.823 210(0. 54 — 0. 5) =—0.620 218 6
弘(0.54) = N 】(0.54) — 0.204 115(0. 54 - 0.5X0. 54-0.6) =-0.616 839
4・设门为互异节点（j = 0.1 ■…山）.求证：
A
（I ）三卫（上=0, 1 ■…，Q;
n
（ii ）心一工）铅（门三o 仏=1. 2. •••■" 证明 （i ）令fS 』工X 若插值节点为X/7 - 0,1 则/<x ）的n
次播值多项武为
["（工）=工球丿3
插值余项为
R”（王〉=/（X ）— L n （X ）= /—（/）
（n + 1）!
/X
—Ti-Ck
XVZ
又因为k < 所以
严）（0 = 0,
R 心）二 0
x 0 = 0. 5 X] = 0. 6
数值分析第五章答案
数值分析第五章答案
【篇一：数值分析第五版计算实习题】
第二章
2-1
程序：
clear;clc;
x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];
y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];
n=length(y1);
c=y1(:);
or j=2:n %求差商
for i=n:-1:j
c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));
end
end
syms x df d;
df(1)=1;d(1)=y1(1);
for i=2:n %求牛顿差值多项式
df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1));
d(i)=c(i)*df(i);
end
disp(4次牛顿插值多项式);
p4=vpa(collect((sum(d))),5) %p4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, variational);%调用三次样条函数 q=pp.coefs;
disp(三次样条函数);
for i=1:4
s=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1];
s=vpa(collect(s),5)
end
x2=0.2:0.08:1.08;
dot=[1 2 11 12];
figure
ezplot(p4,[0.2,1.08]);
hold on
y2=fnval(pp,x2);
x=x2(dot);
y3=eval(p4);
y4=fnval(pp,x2(dot));
plot(x2,y2,r,x2(dot),y3,b*,x2(dot),y4,co);
数值分析第一章学习小结
第1章绪论
--------学习小结
一、本章学习体会
数学是从实际生活当中抽象出来的理论，人们之所以要将实际抽象成理论，目的就在于想用抽象出来的理论去更好的指导实践，通过本章的学习，我了解到数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，计算数学的主体部分。我最大的收获是学习到了1、绝对误差与有效数字的关系2、矩阵的1范数，∞范数，F范数的计算。数值分析是一门重视算法和原理的学科，数值分析学习要有很好的思维习惯，重要的是数学思想的建立，让你体会科学的方法与对事物的认识方法。我还学到了要运用数值分析解决问题的过程：实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
数值分析这门学科有如下特点：
1．面向计算机
2．有可靠的理论分析
3．要有好的计算复杂性
4．要有数值实验
5．要对算法进行误差分析
我认为，要想学好这门课，要做到以下几点：
1.上课认真听讲
2.课后要认真完成作业
3.注重matlab上机实验
4.要多动手编写一些自己的程序
二、本章知识梳理
1.1数值分析研究的对象
数值分析：即计算数学，是数学的一个分支。
数值分析的研究对象：利用计算机求解各种数学问题的数值方法
及有关理论。
数值分析的内容：函数的数值逼近（代数插值与最佳逼近）、数值积分与数值微分、
非线性方程组的解法、数值线性代数（线性方程组解法与矩阵特征值计算）
、常微分方程及偏微分方程的数值解法。
1.2误差知识与算法知识
1、误差的来源与分类
模型误差观测误差截断误差舍入误差
2、绝对误差、相对误差与有效数字
有效数字位数越多,绝对误差越小.
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第五章学习小结
姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2*******
一、本章学习体会
本章的内容与实际关联很大，可以解决很多工程实际问题。1、主要有两方面内容：插值与逼近。插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。逼近即是用简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最小最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。2、插值中样条插值比较难，需要花一定的时间。逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最小。3、我个人觉得本章的难点是样条插值与最佳平方逼近。
二、知识构图：
因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：插值、正交多项式和逼近。
1、插值：
2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下方式：
一、正交多项式
1、正交多项式的概念与性质
若在区间上非负的函数满足
（1）对一切整数存在；
（2）对区间上非负连续函数，若
则在上，那么，就称为区间上的权函数。 常见的权函数有
2、两个函数的内积
定义：给定[](),(),,()f x g x C a b x ρ∈是上的权函数，称
为函数()f x 与()g x 在[a,b]上的内积。 内积的性质：
（1）对称性：()(),,f g g f =；
（2）数乘性：(),(,)(,)kf g f kg k f g ==； （3）可加性：()()()1212,,,f f g f g f g +=+； （4）非负性：若在[a,b]上()0f x ≠，则。
(,)a b ()x ρ0,()b
n
a n x x dx ρ≥⎰(,)a
b ()f x ()0b
n a
x x dx ρ=⎰
(,)a b ()0f x ≡()x ρ(,)a
b 2
()1,()11
()11(),0(),x x x a x b x x x x x e x x e x ρρρρρ--≡≤≤=
-<<=-≤≤=≤<∞=-∞<<+∞
(,)a b (,)()()()b
a f g x f x g x dx ρ=⎰(,)0f f >
3、函数的正交
（1）两个函数的正交与正交函数系 若内积
则称()f x 与()g x 在区间[a,b]上带权()x ρ正交若函数系.
满足
则称
是上带权的正交函数系。特别的，如果是最高
次项系数不为零的次多项式，则称
正交函数系一定线性无关。 4、几种常用的正交多项式 （1）legendre 多项式
Legendre 多项式的性质
Legendre 多项式系{}是区间[-1，1]上带权的正交多项式系。
的最高次项系数为
n 为奇数时为奇函数，
n 为偶数时为偶函数。
递推关系 当时
(,)()()()=0b
a f g x f x g x dx ρ=⎰{}01(),(),,(),n x x x ϕϕϕ0,
(,)()=0,b i j i j a i
i j x dx a i j ϕϕρϕϕ≠⎧=⎨>=⎩⎰{}()k x ϕ[],a b ()x ρ()k
x ϕ
k {}[](),()k x a b x ϕρ是上带权的正交多项式。02()1
1()[(1)],1,2,
2!n n
n n n L x d L x x n n dx ≡⎧⎪⎨=⋅-=⎪
⎩
()n L x ()1x ρ=()n L x ()n L x ()(1)()n
n n L x L x -=-()
n L x 1n ≥
（2）chebyshev 多项式
设n 为非负整数，称()cos(arccos ),11n T x n x x =⋅-≤≤为chebyshev 多项式。 chebyshev 多项式的性质：
()n T x 是x 的n 次多项式，并且当时，()n T x 的最高次项系数为12n n a -=
Chebyshev 多项式系{()}n T x 是区间[-1，1]上带权的正交多项
式系。
（3）Laguerre 多项式
称()
(),0,1,n n x x
n n
d x
e U x e n dx
-==为Laguerre 多项式
Laguerre 多项式的性质：
（1）是x 的n 次多项式，并且它的最高次项系数为 （2）Laguerre 多项式系{}是在区间上带权的正交多项式
系。
（4）Hermite 多项式
称2
2
()
()(1),0,1,n x n
x n n
d e H x e n dx
-=-=为Hermite 多项式。
Hermite 多项式的性质:
是x 的n 次多项式，并且它的最高次项系数为
Hermite 多项式系{}是在区间上带权的正交多项式系。
1121()()()11n n n n n
L x xL x L x n n +-+=
-++1n
≥()x ρ=()n U x (1)n n a =-()n U x [0,)∞x
e -()n H x 2n n a =()n H x (,)-∞+∞2
x e
-2
0,()()2x m n n m n
e
H x H x dx n m n
+∞
--∞
≠⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰