数值分析第五章学习小结
数值分析作学习总结
摘 要在科学工作中经常出现这类问题，我们关注求解非线性方程或非线性方程组——求x 使得f （x ）=0或求得X= 使得F （X ）=0。
这些方程中，至少一个变量以任意的非线性方程形式出现。
在实变量变量的实值函数这种最简单的情况下，提出的一般问题是：已知函数f ：R →R ，求x 的解使得f （X ）=0这里主要讨论解决这类问题的一般方法和过程。
在许多应用中可以发现非线性方程的例子。
例如在光的衍射理论中，我们需要用到方程：X-tanX=0在行星轨道的计算中我们需要开普勒方程：X-asinX=b其中a 和b 任意取值。
在科学研究和科学计算中常常碰到以上的非线性方程求解问题。
非线性方程的解一般不能解析求出。
所以数值解法显得非常重要,而数值解法在实际中的实现则更为重要。
本文将介绍几种数值解法以及Matlab 中的实现程序。
为研究非线性方程数值解，给出了二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的Matlab 程序，并进行了近似计算。
结果表明，牛顿迭代法收敛最快。
关键词:非线性方程;Matlab 程序;二分法;迭代法;简单迭代法;弦截法。
()T1n x x x ⋅⋅⋅2，，非线性方程数值解法1 二分法设f (x)在[a,b]连续,假定f (a)<0,f (b)>0,取中点 ,检查f (x0)符号。
若f (x0)=0,则x0就是一个根;若f (x0)>0,记a为a1,x0为b1,则得有根区间[a1,b1];若f(x0)<0,记x0为a1,b为b1,则得有根区间[a1,b1]。
后两种情况都得到有根区间[a1,b1],它的长度为原区间的一半。
对[a1,b1],令 ,再用同样的方法,可得新的有根区间[a2,b2],它的长度为[a1,b1]的一半,如此反复进行下去，其中每一个区间是前一区间的一半。
有这就是方程的根。
而即为方程的近似根,且有估计误差下面用二分法求在区间[1,2]上的根.因为二分法只能求单根,首先可以搜索函数(2.2)在区间[1,2]的根的情况。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。
其中，相对误差限是绝对误差的上界。
有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。
一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。
三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。
确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。
切比雪夫多项式也有其独特的性质。
用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。
最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。
相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。
对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
数值分析第五版第5章学习资料
n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
9
因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4） （1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值 和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值 及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
11
例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.
数值分析(计算方法)总结
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|<E 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
数值分析第五章实习题答案
数值分析第五章实习题答案数值分析第五章实习题答案数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
在数值分析的学习过程中，实习题是非常重要的一部分，通过实习题的练习，可以帮助我们巩固所学的知识，并且提高我们的解题能力。
本文将为大家提供数值分析第五章实习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
第一题：求下列方程的一个正根，并用二分法和牛顿法分别计算根的近似值。
方程：x^3 - 3x + 1 = 0解答：首先，我们可以通过绘制函数图像来初步估计方程的根的范围。
根据图像，我们可以大致确定根在区间[0, 2]之间。
接下来，我们使用二分法来计算根的近似值。
根据二分法的原理，我们将区间[0, 2]等分为两部分，然后判断根在哪一部分。
不断重复这个过程，直到找到根的近似值。
具体计算过程如下：- 将区间[0, 2]等分为两部分，得到中点x = 1。
- 计算方程在x = 1处的函数值f(1) = -1。
- 根据函数值的正负性，我们可以确定根在区间[1, 2]之间。
- 将区间[1, 2]等分为两部分，得到中点x = 1.5。
- 计算方程在x = 1.5处的函数值f(1.5) = 1.375。
- 根据函数值的正负性，我们可以确定根在区间[1, 1.5]之间。
- 重复以上步骤，直到找到根的近似值。
最终得到根的近似值为x ≈ 1.365。
接下来，我们使用牛顿法来计算根的近似值。
牛顿法是一种迭代法，通过不断逼近根的位置来计算根的近似值。
具体计算过程如下：- 选择初始近似值x0 = 1。
- 计算方程在x = 1处的函数值f(1) = -1。
- 计算方程在x = 1处的导数值f'(1) = 4。
- 利用牛顿法的迭代公式x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)，我们可以得到x1 ≈ 1.333。
- 重复以上步骤，直到找到根的近似值。
最终得到根的近似值为x ≈ 1.365。
通过二分法和牛顿法，我们分别得到了方程x^3 - 3x + 1 = 0的一个正根的近似值为x ≈ 1.365。
数值分析实验报告心得(3篇)
第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。
通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。
以下是我对数值分析实验的心得体会。
一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。
2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。
3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。
4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。
二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。
（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。
最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。
2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。
（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。
最后，比较不同方法的收敛速度和精度。
3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。
（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。
最后，比较不同方法的计算量和精度。
4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。
（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。
数值分析第五章
输出：有根区间为（3.3，3. 4）且区间（3.6，3.7）内无实根 。
8
§2
设有非线性方程
二 分 法
其中，f (x)为 [a,b] 上连续函数且设 f (a) ⋅ f (b) < 0 （不妨设方程（2.1）于 （2.1）
f (x) = 0
（2.1） 2.1）
[a,b] 内仅有一个实根。
y
求方程（2.1）实根 x* 的二分法过程，就是将含根区间 [a,b] 逐步分 （2.1） 半，检查函数符号的变化，以便确定含根的充分小区间。
a ←x
k ≤ N0
否
输出
图5-3
分半 N0 次还没有到 达精度要求信息
15
§3 迭代法
迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方法，超越方程及方程组 的一种基本方法，但存在收敛性及收敛快慢问题。 为了用迭代法求非线性方程 f (x) = 0的近似值，首先需要将此方 程转化为等价的方程 3.1） （3.1）
x >b
≤
f1 ← f2
＜ 输出有根区间
(x − ∆x, x)
L2
图 5-1
L 1
7
+ 若 f (x) 于 [a, ∞) 某点 xs 分为两支曲线且 x → xs 时 f (x) →+∞或 − ∞ ， − 当 x → xs 时 f (x) → −∞ 或
[注] 当 f (x) 于 [a,b] 连续时，输出区间 (x − ∆x, x) 内一定有实根， 注
f (xk ) < ε1 或 h < ε2则输出 xk , f (xk ), k;
ak+1 = xk ,bk+1 = bk
其中 N0 表示给定的最大分半次数，当 f (x) < ε1 或 h < ε2 时分半终止， fmax为一大数。
《数值分析》第五章实验报告
EXERCISE SET 5.4 P280 1、 a) y' te 2 y,0 t 1, y(0) 0, h 0.5
3t
编写 MATLAB 程序，如下 function[t,y] = Euler_r(ydot_fun,t0,y0,h,N) %改进Euler公式，其中， %ydot_fun为一阶微分方程的函数； %t0,y0为初始条件； %h为区间步长； %N为区间的个数； %t为Tn构成的向量； %y为Yn构成的向量. t = zeros(1,N+1);y = zeros(1,N+1); t(1) = t0;y(1) = y0; for n = 1:N t(n+1) = t(n) + h; ybar = y(n) + h * feval(ydot_fun,t(n),y(n)); y(n+1) = y(n) +h/2 (feval(ydot_fun,t(n),y(n))+feval(ydot_fun,t(n+1),ybar)); end 运行后 >> ydot_fun = inline('t*exp(3*t)-2*y','t','y'); >> [t,y]=Euler_r(ydot_fun,0,1,0.5,2) t= 0 0.5000 1.0000
死亡实验实验中学山东省实验中学广东实验中学辽宁省实验中学河南省实验中学大庆实验中学麓山国际实验学校辞职报告实习报告
《数值分析》第五章实验报告
2010/5/7
EXERCISE SET 5.2 P263 1、Euler 法 1） y' te 3t 2 y 根据 Algorithm 5.1，利用课本作者网站上的关于本书的 MATLAB 程序 ALG051.M 运行该程序，在命令行窗口出现如下： This is Eulers Method. Input the function F(t,y) in terms of t and y For example: y-t^2+1 t*exp(3*t)-2*y Input left and right endpoints on separate lines. 0 1 Input the initial condition 1 Input a positive integer for the number of subintervals 2 Choice of output method: 1. Output to screen 2. Output to text file Please enter 1 or 2 1 EULERS METHOD t 0.000 0.500 1.000 w 1.0000000 0.0000000 1.1204223
数值分析学习总结感想
数值分析学习总结感想在数值分析学习的过程中，我深刻体会到了这门学科的重要性和广泛应用的范围。
通过学习数值分析，我不仅加深了对数学理论的理解，还掌握了一些重要的数值计算方法和算法。
在此过程中，我收获了很多，也产生了许多感想。
首先，数值分析教给我了科学问题解决的方法。
在数值计算中，我们通常无法通过简单的代数运算来求解问题，而是需要借助计算机和数值算法来逼近解。
这种方法可以应用于很多实际问题，例如求解线性方程组、积分、微分方程等。
通过数值分析课程的学习，我掌握了很多常见的数值计算方法，例如高斯消元法、插值方法、数值积分等。
这些方法在实际问题中的应用非常广泛，能够帮助我们解决许多实际问题，提高计算效率和精度。
其次，数值分析也教会了我如何分析和估计误差。
在数值计算中，误差是无法避免的，而且可能会在计算过程中不断累积。
因此，我们需要了解误差的来源，能够进行误差估计和控制。
通过学习数值分析，我学会了如何使用泰勒展开式、理解截断误差和舍入误差等概念，同时也学会了如何使用残差计算和误差估计方法。
这对于判断数值结果的可靠性和计算效果的好坏非常重要，能够帮助我们找到优化方法和改进方案。
另外，数值分析还教会了我如何进行数值模拟和数据处理。
在实际工程和科学研究中，常常需要通过数值模拟来研究分析问题。
通过数值分析的学习，我学会了如何建立数学模型、选择合适的数值方法和算法来模拟求解问题，并能够对模拟结果进行合理的处理和分析。
这对于科学研究和工程设计都非常有价值，能够提高研究效率和解决复杂问题的能力。
最后，数值分析还培养了我一种严谨的科学态度和问题解决的能力。
在数值计算中，一个细微的误差可能会导致完全不同的结果，因此需要我们对问题进行仔细的分析，并保持谨慎的态度。
通过编程实现数值算法，我学会了如何调试代码和检查问题，发现解决bug的方法。
这培养了我的逻辑思维和问题解决能力，也增强了我对科学研究和工程实践的兴趣和热情。
综上所述，通过数值分析的学习，我不仅掌握了一些重要的数值计算方法和算法，还学会了科学问题解决的方法和误差估计的技巧。
数值分析学习公式总结
第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则，可得到序列值｛｝。
设函数g 。
如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ， 则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。
定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。
如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。
. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法 ）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ； 第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值 判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章 插值与多项式逼近·第一节 泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。
数值分析学习总结感想
数值分析学习总结感想第一篇：数值分析学习总结感想数值分析学习感想一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。
这门课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。
他的内容贴近实际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。
数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有了更加方便以及科学的方法。
像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。
数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反三。
像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的，这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的都是不同的算法。
而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题，从而知道如何去解决。
在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下，我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。
数值分析matlab版第五章
实验报告五题目：常微分方程数值解法摘要：熟悉常微分方程的数值解法的基本原理。
掌握Euler 法，改进Euler 法，后退Euler 法，梯形法，四阶Runge-Kutta 法，四阶显式Adams 法和四阶隐式Adams 法等基本算法。
原理： Euler 法：预测：y*n+1=yn+hf(xn,yn),校正：yn+1=yn+h/2*[f(xn,yn)+f(xn+1,y*n+1)], 这一计算格式亦可以表示为：Yn+1=yn+h/2*[f(xn,yn)+f(xn+h,yn+hf(xn,yn))], 或表示为下列平均化形式： Yp=yn+hf(xn,yn), Yc=yn+hf(xn+1，yp), Yn+1=1/2*(yp+yc). 四阶经典Runge-Kutta 方法)22(643211KK K K yyh nn ++++=+),(1yx Knn f =)2,2(12K K y x h h f nn ++=)2,2(23KKyx h h f nn ++= ),(34KKyx hh f nn ++=四阶显式Adams)9375955(243211y fff f y n n n nnn h ---+-+-+=四阶隐式Adams)5199(242111yffffyn n nn nn h --+++-++=习题3。
（改进的Euler 法，Euler 法）F='x^2+x-y'; a=0; b=1; h=0.1; n=(b-a)/h; X=a:h:b; Y=zeros(1,n+1);Y(1)=1;for i=2:n+1x=X(i-1);y=Y(i-1);Y(i)=Y(i-1)+eval(F)*h;endY1=zeros(1,n+1);Y1(1)=1;for i=2:n+1x=X(i-1);y=Y1(i-1);ty=Y1(i-1)+eval(F)*h;Y1(i)=Y1(i-1)+h/2*eval(F);x=X(i);y=ty;Y1(i)=Y1(i)+h/2*eval(F);endtemp=[];f=dsolve('Dy=x^2+x-y','y(0)=0','x');df=zeros(1,n+1);for i=1:n+1temp=subs(f,'x',X(i));df(i)=double(vpa(temp));enddisp(' 步长 Euler法 Euler预测-校正公式准确值);disp([X',Y',Y1',df']);>> Untitled5步长Euler法Euler预测-校正公式准确值0 1.0000 1.0000 00.1000 0.9000 0.9105 0.00520.2000 0.8210 0.8410 0.02130.3000 0.7629 0.7914 0.04920.4000 0.7256 0.7617 0.08970.5000 0.7090 0.7521 0.14350.6000 0.7131 0.7624 0.21120.7000 0.7378 0.7926 0.29340.8000 0.7830 0.8429 0.39070.9000 0.8487 0.9131 0.50341.0000 0.9349 1.0033 0.6321>> figure;plot(X,df,'k-',X,Y ,'--r',X,Y1,'.-b');grid on;title('Euler 法和Euler 预测-校正法解常微分方程'); legend('准确值','Euler 法','Euler 预测-校正法');0.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.20.40.60.811.21.4Euler 法和Euler 预测-校正法解常微分方程准确值Euler 法Euler 预测-校正法习题6．（1）（四阶经典Runge —Kutta ）F='x+y'; a=0; b=1; h=0.2; n=(b-a)/h; X=a:h:b; Y=zeros(1,n+1); Y(1)=1; for i=1:n x=X(i); y=Y(i); K1=h*eval(F); x=x+h/2; y=y+K1/2; K2=h*eval(F);x=x;y=Y(i)+K2/2;K3=h*eval(F);x=X(i)+h;y=Y(i)+K3;K4=h*eval(F);Y(i+1)=Y(i)+(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;endtemp=[];f=dsolve('Dy=x+y','y(0)=1','x');df=zeros(1,n+1);for i=1:n+1temp=subs(f,'x',X(i));df(i)=double(vpa(temp));enddisp(' 步长四阶经典R-K法准确值'); disp([X',Y',df']);>>Untitled3步长四阶经典R-K法准确值0 1.0000 1.00000.2000 1.2428 1.24280.4000 1.5836 1.58360.6000 2.0442 2.04420.8000 2.6510 2.65111.0000 3.4365 3.4366>> figure;plot(X,df,'k*',X,Y,'--r');grid on;title('四阶经典R-K法解常微分方程');legend('准确值','四阶经典R-K法')0.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.522.533.5四阶经典R-K 法解常微分方程准确值四阶经典R-K 法（2）四阶经典Runge —Kutta ）F='3*y/(1+x)'; a=0; b=1; h=0.2; n=(b-a)/h; X=a:h:b; Y=zeros(1,n+1); Y(1)=1; for i=1:n x=X(i); y=Y(i); K1=h*eval(F); x=x+h/2; y=y+K1/2; K2=h*eval(F); x=x;y=Y(i)+K2/2; K3=h*eval(F); x=X(i)+h; y=Y(i)+K3;K4=h*eval(F);Y(i+1)=Y(i)+(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;endtemp=[];f=dsolve('Dy=3*y/(1+x)','y(0)=1','x');df=zeros(1,n+1);for i=1:n+1temp=subs(f,'x',X(i));df(i)=double(vpa(temp));enddisp(' 步长四阶经典R-K法准确值'); disp([X',Y',df']);>> Untitled4步长四阶经典R-K法准确值0 1.0000 1.00000.2000 1.7275 1.72800.4000 2.7430 2.74400.6000 4.0942 4.09600.8000 5.8292 5.83201.0000 7.9960 8.0000>> figure;plot(X,df,'k*',X,Y,'--r');grid on;title('四阶经典R-K法解常微分方程');legend('准确值','四阶经典R-K法');0.10.20.30.40.50.60.70.80.9112345678四阶经典R-K 法解常微分方程准确值四阶经典R-K 法习题9（1）（四阶显式Adams 法） F='1-y'; a=0; b=1; h=0.2;n=(b-a)/h; X=a:h:b;Y=zeros(1,n+1); Y(1)=0; for i=1:3 x=X(i); y=Y(i);K1=h*eval(F); x=x+h/2; y=y+K1/2; K2=h*eval(F); x=x;y=Y(i)+K2/2; K3=h*eval(F); x=X(i)+h;y=Y(i)+K3; K4=h*eval(F);Y(i+1)=Y(i)+(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;endfor i=4:nx=X(i-3);y=Y(i-3);f1=eval(F);x=X(i-2);y=Y(i-2);f2=eval(F);x=X(i-1);y=Y(i-1);f3=eval(F);x=X(i);y=Y(i);f4=eval(F);Y(i+1)=Y(i)+h*(55*f4-59*f3+37*f2-9*f1)/24;endtemp=[];f=dsolve('Dy=1-y','y(0)=0','x');df=zeros(1,n+1);for i=1:n+1temp=subs(f,'x',X(i));df(i)=double(vpa(temp));enddisp(' 步长 Adams四步四阶显式法准确值'); disp([X',Y',df']);figure;plot(X,df,'k*',X,Y,'--r');grid on;title('Adams四步四阶显式法解常微分方程');legend('准确值','Adams四步四阶显式法');>> diwu9步长Adams四步四阶显式法准确值0 0 00.2000 0.1813 0.18130.4000 0.3297 0.32970.6000 0.4512 0.45120.8000 0.5506 0.55071.0000 0.6320 0.63210.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.7Adams 四步四阶显式法解常微分方程准确值Adams 四步四阶显式法（2）（四阶隐式Adams 法） F='1-y'; a=0; b=1; h=0.2; n=(b-a)/h; X=a:h:b;Y=zeros(1,n+1); Y(1)=0; for i=1:3 x=X(i); y=Y(i); K1=h*eval(F); x=x+h/2; y=y+K1/2;K2=h*eval(F); x=x;y=Y(i)+K2/2; K3=h*eval(F); x=X(i)+h; y=Y(i)+K3;K4=h*eval(F);Y(i+1)=Y(i)+(K1+2*K2+2*K3+K4)/6; endY1=Y;for i=4:nx=X(i-3);y=Y(i-3);f1=eval(F);x=X(i-2);y=Y(i-2);f2=eval(F);x=X(i-1);y=Y(i-1);f3=eval(F);x=X(i);y=Y(i);f4=eval(F);Y(i+1)=Y(i)+h*(55*f4-59*f3+37*f2-9*f1)/24;x=X(i+1);y=Y(i+1);f0=eval(F);Y1(i+1)=Y(i)+h*(9*f0+19*f4-5*f3+f2)/24;endtemp=[];f=dsolve('Dy=1-y','y(0)=0','x');df=zeros(1,n+1);for i=1:n+1temp=subs(f,'x',X(i));df(i)=double(vpa(temp));enddisp(' 步长 Adams预测值 Adams校正值准确值');disp([X',Y',Y1',df']);figure;plot(X,df,'k*',X,Y,'-.r',X,Y1,'--b');grid on;title('Adams校正-预测法解常微分方程');legend('准确值','Adams预测值','Adams校正值');;>> Untitled步长 Adams预测值 Adams校正值准确值0 0 0 00.2000 0.1813 0.1813 0.18130.4000 0.3297 0.3297 0.32970.6000 0.4512 0.4512 0.45120.8000 0.5506 0.5507 0.55071.0000 0.6320 0.6321 0.6321 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.7Adams 校正-预测法解常微分方程准确值Adams 预测值Adams 校正值结论：相对预测值,校正值的曲线更接近精确值的曲线.结论: 通过本次实验是我深入的了解了用欧拉方法，改进欧拉方法，四阶经典R-K 法 ,求解的原理，对微分方程有了更好的掌握，其中四阶经典R-K 法的结果最为精确。
数值分析期末总结与体会
数值分析期末总结与体会数值分析是一门应用数学课程，主要研究数值计算方法和数值计算误差，并为实际问题提供数值计算解决方案。
在本学期的学习中，我深入学习了数值计算的基本概念与原理，并通过编程实践掌握了常见的数值计算方法。
在期末考试前夕，我对这门课的学习经历进行了总结与体会，下面是我对数值分析的期末总结与体会。
一、总结1. 知识掌握：在学习过程中，我通过系统的学习，掌握了课程中介绍的求根问题、插值问题、数值积分和数值微分等数值计算方法。
我了解了牛顿迭代法、二分法、割线法等求解非线性方程根的方法，熟悉了拉格朗日插值、牛顿插值等插值方法，学会了辛卜生插值多项式、三次样条插值等高级插值方法。
同时，我还学习了梯形法则、辛普森法则等数值积分算法，掌握了欧拉法、龙格-库塔法等数值微分算法。
2. 编程实践：在理论学习的基础上，我通过编写程序加深了对数值计算方法的理解与掌握。
我使用Python语言编写了求解非线性方程根、插值计算、数值积分和数值微分的代码，并通过实际运行验证了这些数值计算方法的正确性与有效性。
编程实践过程中，我深刻体会到了算法的重要性，不同的算法对于同一个数值计算问题，可能会有不同的效果。
3. 数值计算误差：在学习数值计算的过程中，我逐渐认识到数值计算误差的存在与产生机理。
由于计算机内部采用的是二进制表示法，而浮点数的二进制表示无法准确表示所有的实数，从而引入了舍入误差；另外，数值计算方法本身也存在精度误差，例如插值多项式的截断误差、数值积分的数值误差等。
掌握数值计算误差的产生原因和估计方法，对于正确评估数值计算结果的精度至关重要。
4. 应用实例：在学习过程中，我们还分析了各种实际问题，并通过数值计算方法得到了解决方案。
例如，在求根问题中，我们可以利用牛顿迭代法估计气体状态方程的参数；在插值问题中，我们可以使用拉格朗日插值方法恢复图像；在数值积分中，我们可以利用梯形法则或辛普森法则计算定积分；在数值微分中，我们可以应用欧拉法或者龙格-库塔法求解微分方程等。
数值分析插值学习报告
学院：研究生学院 专业：控制理论与控制工程 学号： 姓名： 成绩：插值法及其应用研究第一章插值法的描述一、 插值法的简介在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。
有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分析。
解决这类问题的方法有两种：一种是插值法,另一种是拟合法。
插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机软件中，许多库函数，如x e x x ,cos ,sin 等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算。
逼近函数一般为只含有算术运算的简单函数，如多项式、有理分式（即多项式的商）。
在工程实际问题当中，我们也经常会碰到诸如此类的函数值计算问题。
被计算的函数有时不容易直接计算，如表达式过于复杂或者只能通过某种手段获取该函数在某些点处的函数值信息或者导数值信息等。
因此，我们希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。
这种方法就叫插值逼近或者插值法。
插值法要求给出函数的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定一个简单的函数()P x 作为()f x 的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。
二、 插值法的相关概念插值法又称“内插法”，是利用函数()f x 在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数()f x 的近似值，这种方法称为插值法。
插值法的一般定义：设函数()y f x =在区间[],a b 上有定义，且已知在点01...n a x x x b ≤<<<≤上的值学院：研究生学院 专业：控制理论与控制工程 学号： 姓名： 成绩：01,,...,n y y y ，若存在一简单函数()P x ，使(),0,1,...,i i P x y i n ==成立，就称()P x 为()f x 的插值函数，点01,,...,n x x x 称为插值节点，包含插值节点的区间[],a b 成为插值区间，求插值函数()P x 的方法称为插值法。
计算方法数值分析第五章考点总结CH.5
第六章数值逼近问题(I)—插值及其数值计算§ 1插值的基本概念插值方法是数值分析中一个很古老的分支，它有着悠久的历史。
插值理论和方法也是现代数值分析中最基本的内容之一，它在数值积分，曲线曲面拟合，求微分方程数值解等方面有着广泛的应用。
在工程技术与科学研究中，有时对一个函数只知道它在某些点上的数值，为了进一步研究其性质，需要用其他函数去近似代替它，这时就可以用插值方法。
有时候，虽然函数有解析表达式，但形式过于复杂，为了便于处理，先在某些点上取值作表格函数，再通过插值建立易于处理的新函数，这也是插值理论的一个应用。
先介绍一般的插值概念。
设f(x) , a,b lo已知它在n，1个互异的点x0，…，x n处的函数值y0,y i，…，y n，即：f (xj r , i =o, 1,…，n求解插值问题就是从函数类 G中求(x)使「(X)* , i =0 , 1,…,(1.1 ) 这里的f(x)称为被插函数，a,b 1称为插值区间，x i, i=0, 1,…，n,称为插值节点，(1.1 )式称为插值条件，而(x)和「分别为插值函数和插值函数类。
通常选定的插值函数类是有限维线性空间，它可看成是某一组基：[(x)二张成的线性空间：二Span「1(x)角对_ [ ：•：」，有＜a i笃使得n：(x)八3i ：i(x)i=0于是确定函数:(x)归结为确定数列E 寫。
从理论上看，插值问题包含以下内容：(1)确定门的基'；：i(x)^=o，一般地说基不唯一，选择合适的基可以简化问题的解法；(2)讨论满足(1.1 )的(x)的存在性，求法及唯一性；(3)寻找插值问题的截断误差，即余项：R(x)二f(x)-「(x)的表达式与估计。
§ 2多项式插值本节选取常用的多项式函数类作插值函数类。
多项式函数属于解析函数类，形式简单，计算方便，其导数与不定积分易于求出。
下面把不超过n次的多项式函数类记为P n2.1 Lagrange 插值设已知f(x) , a,b 1在相异节点X o ,治，…，X n上的函数值f(X i) = y i , i=0 , 1,…，n,取：•：」=P n,下面求f (x)的插值函数。
数值分析绪论-学习小结
第1章绪论--------学习小结一、本章学习体会本章是对《数值分析》这本书的简单阐述和对入门基础的介绍，其中最大的收获就要是范数和算法了。
1.范数是进入研究生以来，学的一个新的数学概念，用于定义向量或者矩阵的大小即向量或者矩阵的模，又由于其正定性，可让我们联想到计算方阵大小的行列式的绝对值即）（A。
范数的其难点：①范数是一个比较抽象的概念，我们无法通过想象确定它是某一个确定的范畴；②范数存在的现实意义，由于我们所学所指的有限，我们无从知道范数的现实意义，无法加深对其的理解；③范数用于定义向量、矩阵的大小，有时是不固定的。
在解决问题时，如何找到恰当的范数是至关重要的。
2.数值计算的算法问题用数值计算方法求解数值问题是通过具体的算法实现的。
所谓算法就是规定了怎样从输入数据计算出数值问题的解得一个有限的基本运算序列。
①“良态”问题和“病态”问题：在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化δX，对应的参数误差δy也很小，则称该数学问题是良态问题；若δy很大，则称为病态问题。
病态问题中解对于数据的变化率都很大，因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化。
数学问题的性态完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方法无关。
②稳定算法和不稳定算法：如果用数值方法计算时,误差在计算过程中不扩散的算法称为稳定算法。
否则称为不稳定算法。
在遇到问题是，要尽量选择稳定算法进行计算。
③数值计算应注意的问题：避免相近二数相减；避免小分母；避免大数吃小数；选用稳定的算法。
二、 本章知识梳理三、 本章思考题1.对于范数的引入：方阵行列式的绝对值是一个范数。
范数 有绪论研究对象误差算法范数研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现误差算法 来源分类模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 绝对误差相对误差设计算法五原则1.避免相近两数相减2.防止大数吃小数3.减少计算次数，差积累4.避免绝对值小的数做除数5.设法控制误差的传播向量范数矩阵范数点儿类似于方阵行列式的绝对值，是否范数的引入来源于此，如果不是，它是如何引入的呢？2.矩阵的奇异与否与其范数有何关系？3.遇到数值问题时，具体的算法该如何选择？在没有精确值的情况、两个算法都得到收敛的、稳定的结果时，该如何判断哪一个值更准确、更接近于精确值？ 四、 本章测验题已知：A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123654321,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=456x 试求：),2,1(x p ∞=p 以及F A A A ∞，1。
数值分析 第五章学习小结
第五章 插值与逼近--------学习小节一． 本章学习体会本章学习了插值与逼近，经过本章的学习我对插值法有了进一步的认识。
插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。
可以说我们现在学习推导出来的方法公式等都是前人的辛苦钻研的结果，本章除了学到了许多的插值与逼近方法，更重要的是了解了许多科学前辈的故事以及他们许多做研究的态度与方法。
我感觉了解一下数学家的人生故事对我们学习数值分析或别的数学知识有很大的帮助。
上课时王老师给我们讲了数学奇才Hermite 的传奇故事，一个不会考试，基本上每次考数学都不及格的‘笨学生’，后来成为了伟大的数学家。
不是每个数学家都特别聪明，他们所具有的是作为一名科学家的品质，想别人没有想过的问题，在研究中创新，我们应该学习他们那种做研究的态度与精神。
学习这章时有一个小小的困惑，在曲线拟合的求法时，求多元函数的极小值*2200[()()]min [()()]im nm njj i i j j i i c i j i j cx f x c x f x φφ====-=-∑∑∑∑2010(,,,)[()()]mnn j j i i i j F c c c c x f x φ===-∑∑ 老师讲时说用0kFc ∂=∂求得，那万一求出的是极大值呢？ 二．本章知识梳理数值分析中的插值是一种有力的工具，它最终得出的曲线图像都是过节点的，我们的目的使用它得出的图像来近似估计插值点的函数值。
我们首先学了代数插值中的一元函数插值，一元函数插值中学了拉格朗日插值但其插值公式没有延续性，后来学了牛顿插值，其优点是插值公式具有延续性，但前两者都有缺点，就是插值节点一般不超过三个，否则会有很大误差。
但实际工程中我们会测的许多的数据，也就有许多的节点，这样前两种差值方法就不能用了，后来我们又引进了分段线性插值，就是将这许多的节点进行分段，在每段中应用拉格朗日插值或牛顿差值。
数值分析总结汇报
数值分析总结汇报数值分析总结汇报数值分析是一门研究使用数值方法处理数学问题的学科，它在现代科学和工程领域中具有广泛的应用。
在这份汇报中，我将对我在数值分析课程中学到的知识和技能进行总结和归纳，同时分享我对该领域的理解和见解。
首先，在数值分析的学习过程中，我明白了数值方法是为了解决实际问题而发展起来的一套数学方法。
它利用数学模型和算法来近似求解复杂的数学问题，如线性方程组的求解、非线性方程的求根、数值积分和微分方程的数值解等。
我学会了根据实际问题的特点选择合适的数值方法，并利用计算机编程实现求解过程。
其次，我学会了如何对数值方法的误差进行分析和估计。
在数值计算中，存在着舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机只能表示有限位数的数字而导致的误差，而截断误差是由于应用了一些近似方法而产生的误差。
我学会了如何通过误差分析来评估数值方法的准确性和可靠性，并了解了误差的传播规律和控制方法。
另外，我在数值分析课程中还学习了数值线性代数的基本理论和方法。
线性代数在数值分析中起着重要的作用，它不仅可以用于描述和分析线性方程组的解空间，还可以应用于矩阵分解、特征值和特征向量的计算等问题。
我学会了使用高斯消元法、LU分解、QR分解等方法来求解线性方程组，并理解了这些方法的原理和应用条件。
此外，数值积分和数值微分也是数值分析的重要内容之一。
在数值积分方面，我学会了使用梯形公式、辛普森公式和龙贝格公式等方法进行复杂函数的数值积分，并了解了数值积分的收敛性和误差估计。
在数值微分方面，我掌握了前向差分、中心差分和后向差分等方法来计算函数的导数，并了解了数值微分的稳定性和收敛性。
最后，数值分析在实际问题中有着广泛的应用。
它可以用于求解工程问题、经济问题、物理问题等领域中的数学模型。
例如，利用有限元法可以求解结构力学中的应力、应变分布；利用数值模拟可以研究流体力学中的流动和传热问题。
我认识到数值分析是一种强有力的工具，可以帮助科学家和工程师解决很多实际问题。
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第五章学习小结姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2*******一、本章学习体会本章的内容与实际关联很大，可以解决很多工程实际问题。
1、主要有两方面内容：插值与逼近。
插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。
逼近即是用简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最小最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。
2、插值中样条插值比较难，需要花一定的时间。
逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最小。
3、我个人觉得本章的难点是样条插值与最佳平方逼近。
二、知识构图：因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：插值、正交多项式和逼近。
1、插值：2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下方式：一、正交多项式1、正交多项式的概念与性质若在区间上非负的函数满足（1）对一切整数存在；（2）对区间上非负连续函数，若则在上，那么，就称为区间上的权函数。
常见的权函数有2、两个函数的内积定义：给定[](),(),,()f x g x C a b x ρ∈是上的权函数，称为函数()f x 与()g x 在[a,b]上的内积。
内积的性质：（1）对称性：()(),,f g g f =；（2）数乘性：(),(,)(,)kf g f kg k f g ==； （3）可加性：()()()1212,,,f f g f g f g +=+； （4）非负性：若在[a,b]上()0f x ≠，则。
(,)a b ()x ρ0,()bna n x x dx ρ≥⎰(,)ab ()f x ()0bn ax x dx ρ=⎰(,)a b ()0f x ≡()x ρ(,)ab 2()1,()11()11(),0(),x x x a x b x x x x x e x x e x ρρρρρ--≡≤≤=-<<=-≤≤=≤<∞=-∞<<+∞(,)a b (,)()()()ba f g x f x g x dx ρ=⎰(,)0f f >3、函数的正交（1）两个函数的正交与正交函数系 若内积则称()f x 与()g x 在区间[a,b]上带权()x ρ正交若函数系.满足则称是上带权的正交函数系。
特别的，如果是最高次项系数不为零的次多项式，则称正交函数系一定线性无关。
4、几种常用的正交多项式 （1）legendre 多项式Legendre 多项式的性质Legendre 多项式系{}是区间[-1，1]上带权的正交多项式系。
的最高次项系数为n 为奇数时为奇函数，n 为偶数时为偶函数。
递推关系 当时(,)()()()=0ba f g x f x g x dx ρ=⎰{}01(),(),,(),n x x x ϕϕϕ0,(,)()=0,b i j i j a ii j x dx a i j ϕϕρϕϕ≠⎧=⎨>=⎩⎰{}()k x ϕ[],a b ()x ρ()kx ϕk {}[](),()k x a b x ϕρ是上带权的正交多项式。
02()11()[(1)],1,2,2!n nn n n L x d L x x n n dx ≡⎧⎪⎨=⋅-=⎪⎩()n L x ()1x ρ=()n L x ()n L x ()(1)()nn n L x L x -=-()n L x 1n ≥（2）chebyshev 多项式设n 为非负整数，称()cos(arccos ),11n T x n x x =⋅-≤≤为chebyshev 多项式。
chebyshev 多项式的性质：()n T x 是x 的n 次多项式，并且当时，()n T x 的最高次项系数为12n n a -=Chebyshev 多项式系{()}n T x 是区间[-1，1]上带权的正交多项式系。
（3）Laguerre 多项式称()(),0,1,n n x xn nd xe U x e n dx-==为Laguerre 多项式Laguerre 多项式的性质：（1）是x 的n 次多项式，并且它的最高次项系数为 （2）Laguerre 多项式系{}是在区间上带权的正交多项式系。
（4）Hermite 多项式称22()()(1),0,1,n x nx n nd e H x e n dx-=-=为Hermite 多项式。
Hermite 多项式的性质:是x 的n 次多项式，并且它的最高次项系数为Hermite 多项式系{}是在区间上带权的正交多项式系。
1121()()()11n n n n nL x xL x L x n n +-+=-++1n≥()x ρ=()n U x (1)n n a =-()n U x [0,)∞xe -()n H x 2n n a =()n H x (,)-∞+∞2x e-20,()()2x m n n m neH x H x dx n m n+∞--∞≠⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰二、函数的最佳平方逼近 1、最佳平方逼近的概念设n H 为某一函数类定义：设],[)(b a C x f ∈，若存在n H x ∈)(*ϕ使2222*min ϕϕϕ-=-∈f f nH ,则称)(*x ϕ为f （x ）在函数类n H 中的最佳平方逼近函数。
dx x x x f f ba)()]()([2*22*ρϕϕ⎰-=-**f f min(f ,f )nH ϕϕϕϕϕ∈--（-,-）= n H 的表示：设)(,),(),(),(210x x x x n ϕϕϕϕ ， )}(,),(),(),({210x x x x span H n n ϕϕϕϕ =∑==n k k k x c x 0**)()(ϕϕ，∑==nk k k x c x 0)()(ϕϕ2、最佳平方逼近的条件设],[)(b a C x f ∈，n H x ∈*)(ϕ，是子空间n H 中，对于)(x f 的最佳平方逼近元素的充分必要条件是：n j f j ,,1,0,0),(* ==-ϕϕ 3、最佳平方逼近元素是唯一的 4、最佳平方逼近元素的求法∑==nk k k x c x p 0**)()(ϕ，求系数*k c ，利用条件： ()n j x c f f jnk kkj,...2,1,0,0),)((,0**==-=-∑=ϕϕφϕ法方程（正规方程）： ,2,1,0,),(),(0*==∑=j f c nk j j k kϕϕϕ nj f c c c j n j n j j ,,2,1,0),(),(),(),(**11*00 ==+++ϕϕϕϕϕϕϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++),(),(),(),(...),(),(),(),(),(),(),(),(0**11*001*1*111*0100*0*101*000ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf c c c f c c c f c c c n n n n n n n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111000100n n n n n n n n f f f c c c ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ设)(,),(),(),(210x x x x n ϕϕϕϕ 为[a,b]上带权)(x ρ正交函数系,则n k f c k k k k ,,2,1,0,),(),(*==ϕϕϕ5、最佳平方逼近误差()**,ϕϕδ--=f f ，均方误差：δ，∑=-=nk k k f c f f 0*),(),(ϕδ三、正交函数系在最佳平方逼近中的应用设)(,),(),(),(210x x x x n ϕϕϕϕ ，为[a,b]上带权)(x ρ正交函数系,则n k f c k k k k ,,2,1,0,),(),(*==ϕϕϕ1、Legendre 多项式的应用(1)设[]1,1)(-∈C x f 求f(x)在[-1,1]上的n 次最佳平方逼近多项式)(x p n⎰=ba dx x g x f g f )()(),(，},,,,1{2n n x x x span H =},,,{10n n L L L span H =取，),(),(*k k k k L L L f c =⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=⎰-n m n nm dx x L x L n m ,122,0)()(11nk dx x f x L k L L L f c k k k k k ,,2,1,0,)()(212),(),(11* =+==⎰-，∑==n k k kx L c x p 0**)()( (2)[](),f x C a b ∈做变换,[1,1]22a b b ax t t +-=+∈- 2、Chebyshev 多项式的应用},,,{10n n T T T span H =，11,)(2)(10≤≤-+=∑=x x T a a x p nj j j nn j dx xx T x f a j j ,,2,1,0,1)()(2112=-=⎰-π误差估计设)(x f '在区间[-1，1]上存在且有界，那么由式11,)(2)(10≤≤-+=∑=x x T a a x p nj j j n 和系数公式n j dx xx T x f a j j ,,2,1,0,1)()(2112=-=⎰-π。
所确定的多项式,当∞→n 时，在[-1，1]上一致收敛于函数f(x)。
Chebyshev 级数11,)(210≤≤-+∑∞=x x T a a j j j3、三角函数系的应用三角函数系}sin ,cos ,,sin ,cos ,1{nx nx x x ，在[0,2]π上为正交函数⎰=π20)()(),(dx x g x f g f⎪⎩⎪⎨⎧≠===≠=0,0,2,0)cos ,(cos j k j k jk jx kx ππ，⎩⎨⎧≠=≠=0,,0)sin ,(sin j k j k jx kx π j k jx kx ≠=,0)sin ,(cos设f(x)是以π2为周期的函数,定义内积⎰=π20)()(),(dx x g x f g f ，在空间}sin ,cos ,,sin ,cos ,1{nx nx x x span D n =，中寻求对于f(x)的最佳平方逼近元素∑=++=nk k k n kx b kx a a x s 00)sin cos (2)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎰⎰n k kxdx x f b n k kxdx x f a k k ,,2,1,sin )(1,,2,1,0,cos )(12020 ππππ当),()(+∞-∞∈C x f 且以π2为周期时)()sin cos (200x f kx b kx a a k k k =++∑∞=四、曲线拟合曲线拟合的概念：已知数据点：m i y x i i ,,2,1,0),,( =，寻找一个函数)(x y ϕ=，使其在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合的好。