2015年中考数学压轴题集训

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2015年中考数学压轴题精编

2015中考数学压轴题精编(含参考答案与试题解析共300页)（共120题，共两部分：前一部分为试题+参考答案与试题解析，后一部分为纯试题汇编）第一部分1．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．，），解得，），时，线段最大且为，）作，AN= MN=AN=OM=ON+MN==3则：，（与点，）关于对称轴，x=时，y=x+2=，（，）或（，2．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．t﹣，y=x x+4=，，）代入得解得y=﹣y==）t﹣t+4，﹣t+4﹣﹣（t+4tNG+OC=×t﹣，t=面积的最大值为t=，得：y=t t+4=，﹣3．（2015•荆门）如图，在矩形ABCD中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC 以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．==3m=（﹣a（﹣，y=x x，t=；的中点横坐标为中点横坐标为=y=的中点横坐标为，线段==y=+，﹣）4．（2015•南昌）如图，已知二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．（1）函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为3，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是﹣1＜x＜1．（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．，，5．（2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．MNB=BC=3PC=3OP=OC+PC=3+3OC=3 3+3）或（）或（﹣×6．（2015•资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点．（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．x+1），则D（x，x2），表示出DM，分类讨论列方程求解；RFS=，故得方程组：解之，得x+1，﹣x﹣﹣x+1x当﹣x+1x，当﹣x+1x）或，）或（）或（，∠7．（2015•苏州）如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC （1）∠ABC的度数为45°；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．，∴（），，），）（）（）=，PQ=（（m（），，＜，（﹣轴垂直，则=m，PQ=）﹣m（），，，＜，，，）时，8．（2015•重庆）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．（1）求直线BC的解析式；（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；（3）如图2，已知x轴上一点P（，0），现以P为顶点，2为边长在x轴上方作等边三角形QPG，使GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的△QPG为△Q′P′G′．设△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为s．当Q′到x轴的距离与点Q′到直线AW的距离相等时，求s的值．，则﹣x+3=0x x+3﹣，）解得：x+6，﹣m+3m+4﹣m+3﹣（﹣m+4）﹣m﹣（﹣）mm+m﹣m ﹣，，﹣，，，，，RN=，AN==S=，RM=﹣AM=，AP×S=9．（2015•益阳）已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．，，x=（舍去）的坐标为（）与（=，==．10．（2015•桂林）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：y=﹣x2+3x+8；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．﹣﹣t；CD=﹣的距离为：﹣得：xx，得：﹣xS=•﹣t﹣，=，，﹣x+5﹣﹣﹣﹣x，与，解得：，，﹣）=，EG=，即：DM=OM=，MN==，）x+b，），x+，x+，与﹣，解得：，（，，﹣）或（，11．（2015•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC 围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．得出（，（，根据（，得出（，再，解得：x x+3AC=，CN==，=，，﹣，）时，则=3+）=时，则﹣）=，=）=）t=，=）=），﹣t12．（2015•呼和浩特）已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x 轴于点B，DC⊥x轴于点C．①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．＜=点坐标为（，﹣，其中＜时，点坐标为（，﹣时，﹣，时，点坐标为（，﹣＜﹣时，点坐标为（，﹣13．（2015•重庆）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．FG=GN=1+有最大值周长的最大值为OP=，则），），，﹣，），解得FG=GN=）），x=时，有最大值，1+×周长的最大值为）分别代入得，解得OP=，﹣，﹣）向上平移，，）），﹣，，﹣）14．（2015•济宁）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．的坐标为（﹣，，m+4，﹣m+4m﹣m+8=（，根据AEO=×===4，（xy=，得，的坐标为（﹣，=，=，=，m+4，﹣PM=﹣（﹣m m﹣（取得最小值）AEO=×=，﹣的距离最小，其最小距离为．15．（2015•徐州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA=90°．（2）求抛物线的函数表达式．（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？的位置就一个，令=16y=．x x，﹣p（﹣p+y=点纵坐标为QE=••×3+×p+）﹣（p p解得y=，y=6+P点纵坐标为QE=••×3+•=15+p，=16±16．（2015•乌鲁木齐）抛物线y=x2﹣x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，+的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．得到，即，求得x x+2，即x+2=0，即，时，时，y=﹣17．（2015•吉林）如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．（1）当m=﹣1，n=4时，k=3，b=4；当m=﹣2，n=3时，k=1，b=6；（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为n=﹣2m；当四边形AOED为正方形时，m=﹣1，n=2．，然后根据三角形面积公式可计算出，解得；，解得；得；，则，==18．（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．y=y=x+3程组，解方程组即可求出点）联立两解析式可得：，解得：，或的坐标为（，）×4++4﹣）﹣××=4+﹣；y=x+b4=y=x+3，解得，，）19．（2015•天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．方向滑动距离﹣方向滑动距离=x（（，得或=2．20．（2015•连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？，MN=a，a y=）代入得，解得x+4x+4=；的坐标为（﹣，，MN=a +4=ax=，MN+3PM=a21．（2015•南充）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．（1）求抛物线解析式．（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．，得﹣=1）由，，解得y=﹣x=（=向左平移，平移到向左平移，平移到（﹣向左平移时，周长=CP=，向左平移，，+22．（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m 与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是2，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．PH=PM6DQ6a=3，得出===得，=，OB=OB=SPM．6﹣3a=3。

2015年中考数学压轴题精选(二次函数)(16题)_附详细解答和评分标准

1、（10广东茂名25题）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x 2+b x +c 经过A（0，－4）、B （x 1，0）、 C （x2，0）三点，且x2-x 1=5．（1）求b 、c 的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）解：解：（1）解法一： ∵抛物线y =－32x 2+b x +c 经过点A （0，－4）， ∴c =－4 ……1分又由题意可知，x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c =0的两个根， ∴x 1+x 2=23b ， x 1x 2=－23c =6 ········································································ 2分由已知得（x 2-x 1）2=25 又（x 2-x 1）2=（x 2+x 1）2－4x 1x 2=49b 2－24∴ 49b 2－24=25 解得b =±314 ······························ 3分当b =314时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b =－314． ············································································································· 4分解法二：∵x 1、x2是方程－32x 2+b x +c=0的两个根，即方程2x2－3b x +12=0的两个根．∴x =4969b 32-±b ， ·························· 2分∴x2－x1=2969b 2-=5，解得b =±314 ··················································· 3分（以下与解法一相同．）（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上， 5分（第25题图）x又∵y =－32x 2－314x －4=－32（x +27）2+625 ∴抛物线的顶点（－27，625）即为所求的点D ． 7分（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与抛物线y =－32x 2-314x -4的交点， ·········· 8分 ∴当x =－3时，y =－32×（－3）2－314×（－3）－4=4， ∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ·································· 9分四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上．··························································································· 10分 2、（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.解：（1）由5x x122+=0 得01=x ，5122-=x ． ·············································· （2分） ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（512-，0）． ··················································· （3分）（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81），分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形 ···································· （5分） =22)8117(⨯+-21)4417(⨯+-21)8144(⨯+（6分 =5（个单位面积） ··· （7分）（3）如：)(3123y y y -=． ········· （8分）事实上，)3(12)3(523a a y ⨯+⨯= =45a 2+36a ． 3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ． ··· （9分）∴)(3123y y y -=．（10分）3、（08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，x第26题图点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）点E 在y 轴上理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO =，2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠=由题意可知：60AOE ∠= 306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． ··············································································· 3分（2）过点D 作DMx ⊥轴于点M1OD = ，30DOM ∠= ∴在Rt DOM △中，12DM=，OM = 点D 在第一象限，∴点D的坐标为122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ····························································································· 5分由（1）知2EOAO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，∴点A的坐标为( ································································ 6分抛物线2y ax bx c =++经过点E ， 2c ∴=由题意，将(A ，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得32131242a a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得89a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线表达式为：28299y x x =--+ ····························································· 9分（3）存在符合条件的点P ，点Q ． ················································································· 10分理由如下：矩形ABOC的面积AB BO == ∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边，又OBOB ∴边上的高为2 ······································································································· 11分依题意设点P的坐标为(2)m ，点P在抛物线28329y x x =-+上28229m ∴--+=解得，10m =，28m =- 1(02)P ∴，，22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB = ∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(Q，2Q ；当点2P的坐标为2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，点Q的坐标分别为32Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，42Q ⎫⎪⎪⎝⎭． ······················································ 14分 4、（08辽宁12市26题）（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线2(0)y ax x c a =+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(0C ··························································································· 1分点A C ，都在抛物线上，x0a c c⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2y x x = ∴顶点1F ⎛- ⎝⎭， ··························· 4分（2）存在1(0P ·················································· 7分2(2P 9分（3）存在 ·················································································································· 10分理由：解法一：延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F'交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点．····························································································· 11分过点B '作B HAB '⊥于点H．B点在抛物线233y x x =-(30)B ∴，在Rt BOC △中，tan 3OBC ∠=，30OBC ∴∠=，BC = 在Rt BB H '△中，12B H BB ''==6BH H '=，3OH ∴=(3B '∴--，设直线B F '的解析式为y kx b =+33k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨-=+⎪⎩解得6k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩62y x ∴=-····································· 13分62y y x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩解得37x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3177M ⎛∴- ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时37M ⎛- ⎝⎭，． ·············· 14分 5、（08青海西宁28题）如图14，已知半径为1的1O与x 轴交于A B ，两点，OM为1O的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．x（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）圆心1O 的坐标为(20)，，1O 半径为1，(10)A ∴，，(30)B ，… 二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A B ，，∴可得方程组10930b c b c -++=⎧⎨-++=⎩ ········ 2分解得：43b c =⎧⎨=-⎩∴二次函数解析式为243y x x =-+-3分（2）过点M 作MFx ⊥轴，垂足为F． ············································································OM 是1O的切线，M 为切点，1O MOM ∴⊥（圆的切线垂直于经过切点的半径）．在1Rt OO M △中，1111sin 2O M O OMOO ∠==1O OM ∠ 为锐角，1∴∠1cos3022OM OO ∴==⨯= 在Rt MOF △中，3cos302OF OM === ． 1sin 302MF OM === ．∴点M坐标为32⎛⎝⎭···························································································· 6分设切线OM 的函数解析式为(0)y kx k =≠，由题意可知322k =，3k ∴= ··············· 7分∴切线OM的函数解析式为3y x =·········································································· 8分（3）存在． ················································································································ 9分 ①过点A 作1AP x ⊥轴，与OM 交于点1P ．可得11Rt Rt APOMOO △∽△（两角对应相等两三角形相似）11tan tan 303P A OA AOP =∠== ，11P ⎛∴ ⎝⎭·············································· 10分 ②过点A 作2AP OM ⊥，垂足为2P ，过2P 点作2P HOA ⊥，垂足为H ．图14可得21Rt Rt APO O MO △∽△（两角对应相等两三角开相似）在2Rt OP A △中，1OA = ，2cos30OP OA ∴==在2Rt OP H △中，223cos 224OH OP AOP =∠== ，2221sin 224P H OP AOP =∠== ，2344P ⎛∴ ⎝⎭，11分∴符合条件的P 点坐标有13⎛ ⎝⎭，，344⎛ ⎝⎭， 16、（08山东济宁26题）（12分）ABC △中，90C ∠= ，60A ∠= ，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的边AB上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ．（1）若AMP △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；（3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？解：（1）当点P 在AC 上时，AM t = ，tg60PM AM ∴= ．21(01)2y t t ∴==≤≤． ·········································································· 2分当点P在BC上时，tan 30)PM BM t ==- ．21)(13)2y t t t =-=+≤≤． ···· 4分（2）2AC= ，4AB ∴=．413BN AB AM MN t t ∴=--=--=-．tan 30)3QN BN t ∴==- ． ·········································································· 6分由条件知，若四边形MNQP 为矩形，需PMQN =)3t =-， 34t ∴=．∴当34t=s时，四边形MNQP为矩形． ······································································· 8分（3）由（2）知，当34t=s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ AB∥，PQC ABC∴△∽△． ····························································································· 9分除此之外，当30CPQ B∠=∠= 时，QPC ABC△∽△，此时tan30CQCP==1cos602AMAP==，22AP AM t∴==．22CP t∴=-． ································10分cos30BNBQ==，)2BQ t∴==-．又BC=)33CQ t∴=-=．············································11分3223t∴=-，12t=．∴当12t=s或34s时，以C P Q，，为顶点的三角形与ABC△相似． ·····························12分7、（08四川巴中30题）（12分）30．已知：如图14，抛物线2334y x=-+与x轴交于点A，点B，与直线34y x b=-+相交于点B，点C，直线34y x b=-+与y轴交于点E．（1）写出直线BC的解析式．（2）求ABC△的面积．（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A B，重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出MNB△的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，MNB△的面积最大，最大面积是多少？解：（1）在2334y x=-+中，令0y=23304x∴-+=12x∴=，22x=-(20)A∴-，，(20)B，················································· 1分又点B 在34y x b =-+上 302b ∴=-+32b =BC ∴的解析式为3342y x =-+ ·················································································· 2分（2）由23343342y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩2220x y =⎧⎨=⎩ ······················· 4分914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)B ， 4AB ∴=，94CD =。

精品 2015年全国数学中考压轴题真题汇总共43页

2015年全国省市中考数学压轴题精选题2015年北京市2015年北京在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于O 的反称点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P '，满足2CP CP r '+=，则称P '为点P 关于C 的反称点，下图为点P 及其关于C 的反称点P '的示意图。

(1)当O 的半径为1时.①分别判断点(2,1)M ，3(,0)2N ，(1,3)T 关于O 的反称点是否存在，若存在？求其坐标； ②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于O 的反称点P '存在，且点P '不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围； (2)当C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于C 的反称点P '在C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围。

如图.抛物线y=x 2-4x 与x 轴交于O,A 两点,P 为抛物线上一点,过点P 的直线y=x+m 与对称轴交于点Q.(1)这条抛物线的对称轴是 , 直线PQ 与x 軸所夹锐角的度数是 ,(2)若两个三角形面积满足PAQ POQ S S ∆∆=31，求m 的値: (3)当点P 在x 軸下方的抛物线上时.过点C(2，2)的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：①PD+DQ 的最大值；②PD ·DQ 的最大值.已知二次函数2ax y =的图象经过点（2，1）。

（1）求二次函数2ax y =的解析式；（2）一次函数4+=mx y 的图象与二次函数2ax y =的图象交于点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）两点 ①当23=m 时（图①），求证：△AOB 为直角三角形； ②试判断当23≠m 时（图②），△AOB 的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论（不要求证明）。

2015年全国各地中考数学试题压轴题解析汇编

2015年全国各地中考数学试题压轴题解析汇编解答题（2）26.（2015年浙江杭州12分）方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地，设乙行驶的时间为t (h )，甲乙两人之间的距离为y (km )，y 与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h ，甲出发0.5小时与乙相遇，⋯⋯，请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC ，CD 所在直线的函数表达式；（2）当20<y <30时，求t 的取值范围；（3）分别求出甲、乙行驶的路程S 甲、S 乙与时间t 的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N 地沿同一条公路匀速前往M 地，若丙经过h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇.图2图1t (h )y (km )10037311.54OA C D B110S (km )t (h )【答案】解：（1）设线段BC 所在直线的函数表达式为11y k t b =+，∵37100,0,,233B C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴1111302710033k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得114060k b =⎧⎨=-⎩. ∴线段BC 所在直线的函数表达式为4060y t =-. 设线段CD 所在直线的函数表达式为22y k t b =+，∵()7100,,4,033C D ⎛⎫⎪⎝⎭ ，∴221171003340k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得222080k b =-⎧⎨=⎩. ∴线段BC 所在直线的函数表达式为2080y t =-+.（2）∵线段OA 所在直线的函数表达式为()2001y t t =≤≤，∴点A 的纵坐标为20.当20<<30y 时，即20<4060<30t -或20<20800<30t -+，解得92<<4t 或5<<32t . ∴当20<<30y 时， t 的取值范围为92<<4t 或5<<32t . （3）()60601<3S t t =-≤甲，()201<4S t t =≤乙.所画图形如答图：（4）当43t =0时，803S =乙，∴丙距M 地的路程S 丙与时间t 的函数关系式为()408002S t t =-+≤≤丙.联立60604080S t S t =-⎧⎨=-+⎩，解得()60601<3S t t =-≤甲与()408002S t t =-+≤≤丙图象交点的横坐标为75， ∴丙出发后75h 与甲相遇.【考点】一次函数的图象和性质；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；解方程组和不等式组；分类思想的应用.【分析】（1）应用待定系数法即可求得线段BC，CD所在直线的函数表达式.（2）求出点A的纵坐标，确定适用的函数，解不等式组求解即可.（3）求函数表达式画图即可.（4）求出S丙与时间t的函数关系式，与()60601<3S t t=-≤甲联立求解.27. （2015年浙江嘉兴12分）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元. 为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系式：()() 5005301205<15x xyx x⎧≤≤⎪=⎨+≤⎪⎩.（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画. 若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元（利润=出厂价-成本）？【答案】解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，根据题意，得30120420n+=，解得10n=.答：李明第10天生产的粽子数量为420只.（2）由图象可知，当0<9x ≤时， 4.1p =；当915x ≤≤时，设p kx b =+，把点（9，4.1），（15，4.7）代入止式，得9 4.115 4.7k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得0.13.2k b =⎧⎨=⎩.∴0.1 3.2p x =+.①05x ≤≤时，()6 4.154102.6w x x =-⋅=，当5x =时，513w =最大（元）； ②5<<9x 时，()()6 4.130********w x x =-⋅+=+， ∵x 是整数，∴当8x =时，684w =最大（元）；③915x ≤≤时，()()()2260.1 3.230120372336312768w x x x x x =--⋅+=-++=--+， ∵3<0-，∴当12x =时，768w =最大（元）.综上所述，w 与x 之间的函数表达式为()()()2102.605572285<<9372336915x x w x x x x x ⎧≤≤⎪=+⎨⎪-++≤≤⎩，第12天的利润最大，最大值是768元.【考点】一元一次方程、一次函数和二次函数的综合应用；分类思想的应用.【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解. 本题设李明第n 天生产的粽子数量为420只，等量关系为：“第n 天生产的粽子数量等于420只”.（2）先求出p 与x 之间的关系式，分05x ≤≤，5<<9x ，915x ≤≤三种情况求解即可.28. （2015年浙江嘉兴14分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”. （1）概念理解：如图1，在四边形ABCD 中，添加一个条件，使得四边形ABCD 是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件；（2）问题探究：①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由；②如图2，小红画了一个Rt △ABC ，其中∠ABC =90°，AB =2，BC =1，并将Rt △ABC 沿∠B 的平分线'BB 方向平移得到'''A B C V ，连结''AA BC ，. 小红要使平移后的四边形''ABC A 是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段'BB 的长）？（3）应用拓展：如图3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB =AD ，∠BAD +∠BCD =90°，AC ，BD 为对角线，2AC AB =.试探究BC ，CD ，BD 的数量关系.【答案】解：（1）DA AB =（答案不唯一）.（2）①正确.理由如下：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形. ∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等. ∴这个四边形是菱形.②∵∠ABC =90°，AB =2，BC =1，∴5AC =. ∵将Rt △ABC 平移得到'''A B C V ，∴''BB AA =，'AB ∥AB ，''2,''1,''5A B AB B C BC A C AC ====== . i ）如答图1，当'2AA AB ==时，''2BB AA AB ===； ii ）如答图2，当'''5AA A C ==时，''''5BB AA A C ===；iii ）如答图3，当'''5A C BC ==时，延长''C B 交AB 于点D ，则''C B AB ⊥. ∵'BB 平分ABC ∠，∴01'452ABB ABC ∠==R . 设'B D BD x ==，则'1,'2C D x BB x =+= . 在'Rt BC D ∆中，222''BD C D BC +=， ∴()()22215x x ++=，解得121,2x x ==- （不合题意，舍去）.∴'22BB x ==.iv ）如答图4，当'2BC AB ==时，同ii ）方法，设'B D BD x ==，可得222''BD C D BC +=，即()22212x x ++=，解得121717,22x x -+--== （不合题意，舍去）. ∴142'22BB x -==.综上所述，要使平移后的四边形''ABC A 是“等邻边四边形”，应平移2或5或2或1422-的距离.（3）BC ，CD ，BD 的数量关系为2222BC CD BD +=.如答图5，∵AB AD =，∴将ADC V 绕点A 旋转到ABF V . ∴ADC ABF V V ≌.∴,,,ABF ADC BAF DAC AF AC FB CD ∠=∠∠=∠== .∴,1AC ADBAD CAF AF AB ∠=∠==. ∴ACF ABD V V ∽.∴2CF ACBD AB==.∴2CF BD =.∵0360BAD ADC BCD ABC ∠+∠∠+∠=+，∴()000036036090270ABC ADC BAD BCD ∠+∠=-∠∠=-=+. ∴0270ABC ABF ∠+∠=.∴090CBF ∠=. ∴()2222222BC CD CF BDBD +===.【考点】新定义；面动平移问题；菱形的判定；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；等腰直角三角形的判定和性质；多边形内角和定理；勾股定理；分类思想和方程思想的应用. 【分析】（1）根据定义，添加AB BC =或BC CD =或CD DA =或DA AB =即可（答案不唯一）.（2）根据定义，分'2AA AB ==，'''5AA A C ==，'''5A C BC ==，'2BC AB ==四种情况讨论即可.（3）由A B A D =，可将ADC V 绕点A 旋转到ABF V ，构成全等三角形：ADC ABF V V ≌，从而得到,,,ABF ADC BAF DAC AF AC FB CD ∠=∠∠=∠== ，进而证明ACF ABD V V ∽得到2CF BD =，通过角的转换，证明090CBF ∠=，根据勾股定理即可得出2222BC CD BD +=.29. （2015年浙江湖州10分）问题背景：已知在△ABC 中，AB 边上的动点D 由A 向B 运动(与A ，B 不重合)，点E 与点D 同时出发，由点C 沿BC 的延长线方向运动(E 不与C 重合)，连结DE 交AC 于点F ，点H 是线段AF 上一点（1）初步尝试：如图1，若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且点D ，E 的运动速度相等，求证：HF =AH +CF 小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，先证GH =AH ，再证GF =CF ，从而证得结论成立；思路二：过点E 作EM ⊥AC ，交AC 的延长线于点M ，先证CM =AH ，再证HF =MF ，从而证得结论成立. 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)（2）类比探究：如图2，若在△ABC 中，∠ABC =90°，∠ADH =∠BAC =30°，且点D ，E 的运动速度之比是3: 1，求ACHF的值；（3）延伸拓展：如图3，若在△ABC 中，AB =AC ，∠ADH =∠BAC =36°，记BCm AB=，且点D 、E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示ACHF(直接写出结果，不必写解答过程).【答案】解：（1）证明：选择思路一：如题图1，过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，∵△ABC 是等边三角形，∴0060,60ADG B A ∠=∠=∠= . ∴△ADG 是等边三角形. ∴GD AD CE ==. ∵DH ⊥AC ，∴GH AH =.∵DG ∥BC ，∴,GDF CEF DGF ECF ∠=∠∠=∠ . ∴()GDF CEF ASA ∆∆≌.∴GF CF =. ∴GH GF AH CF +=+，即HF AH CF =+. 选择思路二：如题图1，过点E 作EM ⊥AC ，交AC 的延长线于点M ， ∵△ABC 是等边三角形，∴060A ACB ECM ∠=∠=∠=. ∵DH ⊥AC ，EM ⊥AC ，∴090AHD CME ∠=∠=.∵AD CE =，∴()ADH CEM AAS ∆∆≌.∴,AH CM DH EM == . 又∵090,DHF EMF DHF EFM ∠=∠=∠=∠ ，∴()DFH EFM AAS ∆∆≌ ∴HF MF CM CF AH CF ==+=+.（2）如答图1，过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，则090,ADG B ∠=∠=.∵030BAC ADH ∠=∠=，∴060HGD HDG ∠=∠=. ∴,3AH GH GD AD GD === . 由题意可知，3AD CE =，∴GD CE =.∵DG ∥BC ，∴,GDF CEF DGF ECF ∠=∠∠=∠ . ∴()GDF CEF ASA ∆∆≌.∴GF CF =. ∴GH GF AH CF +=+，即HF AH CF =+.∴2ACHF=. （3）1AC m HF m+=. 【考点】开放型；双动点问题；等边三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质.【分析】（1）根据思路任选择一个进行证明即可.（2）仿思路一，作辅助线：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，进行计算.（3）如答图2，过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，由AB =AC ，∠ADH =∠BAC =36°可证：ADG ABC ∆∆∽，FDG FEC ∆∆∽，FDH ABC ∆∆∽，由点D 、E 的运动速度相等，可得AD CE =. 从而可得1AC m HF m+=. 30. （2015年浙江湖州12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，线段AB 的两个端点A (0，2)，B (1，0)分别在y 轴和x 轴的正半轴上，点C 为线段AB 的中点，现将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转 90°得到线段BD ，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点D . （1）如图1，若该抛物线经过原点O ，且13a =-. ①求点D 的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD ，问：在抛物线上是否存在点P ，使得∠POB 与∠BCD 互余？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点E (1，1)，点Q 在抛物线上，且满足∠QOB 与∠BCD 互余，若符合条件的Q 点的个数是4个，请直接写出a 的取值范围.【答案】解：（1）①如答图，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，∵0090,90DBF ABO BAO ABO ∠+∠=∠+∠= ，∴DBF BAO ∠=∠. 又∵090,AOB BFD AB BD ∠=∠== ，∴()AOB BFD AAS ∆∆≌. ∴1,2DF BO BF AO ==== . ∴点D 的坐标为()3,1 ．根据题意得，1,03a c =-= ， ∴213313b -⋅+=，解得43b =．∴抛物线的解析式21433y x x =-+． ②∵点Ｃ、Ｄ的纵坐标都为１， ∴CD ∥x 轴．∴BCD ABO ∠=∠． ∴BAO ∠和BCD ∠互余．若要使得POB ∠和BCD ∠互余，则只要满足POB BAO ∠=∠．设点Ｐ的坐标为214,33x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ，i ）当点Ｐ在x 轴上方时，如答图，过点Ｐ作ＰＧ⊥x 轴于点Ｇ，则tan tan POB BAO ∠=∠，即PG BOOG AO=． ∴2141332x xx -+=，解得125,02x x == （舍去）． ∴2145334x x -+=． ∴点Ｐ的坐标为55,24⎛⎫⎪⎝⎭．ii ）当点Ｐ在x 轴下方时，如答图，过点Ｐ作ＰＨ⊥x 轴于点Ｈ，则tan tan POB BAO ∠=∠，即PH BOOH AO=． ∴2141332x x x -=，解得1211,02x x == （舍去）． ∴21411334x x -+=-． ∴点Ｐ的坐标为1111,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ -．综上所述，在抛物线上存在点P ，使得∠POB 与∠BCD 互余，点Ｐ的坐标为55,24⎛⎫⎪⎝⎭或1111,24⎛⎫ ⎪⎝⎭-．（2）a 的取值范围为1<3a -或415>4a +．【考点】二次函数综合题；线动旋转问题；全等三角形的判定和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；余角的性质；方程和不等式的应用；分类思想和数形结合思想的应用．【分析】（1）①根据AAS 证明AOB BFD ∆∆≌即可得到1,2DF BO BF AO ==== ，从而得到点D 的坐标；由已知和曲线上点的坐标与方程的关系即可求得抛物线的解析式．得②可以证明，使得POB ∠和BCD ∠互余，只要满足POB BAO ∠=∠即可，从而分点Ｐ在x 轴上方和点Ｐ在x 轴下方讨论即可．（2）由题意可知，直线BD 的解析式为1122y x =-，由该抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点E (1，1)，可得Ｄ(31) ，，所以抛物线的解析式为()221y a x a =-+-．若要使得QOB ∠和BCD ∠互余，则只要满足QOB BAO ∠=∠，据此分<0a 和>0a 两种情况讨论．31. （2015年浙江金华10分）图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图.（1）蜘蛛在顶点A'处①苍蝇在顶点B 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C 处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD 爬行的最近路线A 'GC 和往墙面BB'C'C 爬行的最近路线A 'HC ，试通过计算判断哪条路线更近？（2）在图3中，半径为10dm 的⊙M 与D 'C '相切，圆心M 到边CC'的距离为15dm ，蜘蛛P 在线段AB 上，苍蝇Q 在⊙M 的圆周上，线段PQ 为蜘蛛爬行路线。

2015年中考数学二次函数压轴题(含答案)

2014年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．4.（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，解得：t=．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．等腰三角形类10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，∴可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）。

2015年中考数学压轴题及答案汇总

2015中考压轴题突破训练⽬标熟悉题型结构，辨识题⽬类型，调⽤解题⽅法; 书写框架明晰，踩点得分(完整、快速、简洁)。

题型结构及解题⽅法压轴题综合性强，知识⾼度融合，侧重考查学⽣对知识的综合运⽤能⼒，对问题背景的研究能⼒以及对数学模型和套路的调⽤整合能⼒。

考查要点常考类型举例题型特征解题⽅法问题背景研究求坐标或函数解析式，求⾓度或线段长已知点坐标、解析式或⼏何图形的部分信息研究坐标、解析式，研究边、⾓，特殊图形。

模型套路调⽤求⾯积、周长的函数关系式，并求最值速度已知，所求关系式和运动时间相关分段：动点转折分段、图形碰撞分段; 利⽤动点路程表达线段长; 设计⽅案表达关系式。

坐标系下，所求关系式和坐标相关利⽤坐标及横平竖直线段长; 分类：根据线段表达不同分类; 设计⽅案表达⾯积或周长。

求线段和(差)的最值有定点(线)、不变量或不变关系利⽤⼏何模型、⼏何定理求解，如两点之间线段最短、垂线段最短、三⾓形三边关系等。

套路整合及分类讨论点的存在性点的存在满⾜某种关系，如满⾜⾯积⽐为9:10 抓定量，找特征; 确定分类;. 根据⼏何特征或函数特征建等式。

图形的存在性特殊三⾓形、特殊四边形的存在性分析动点、定点或不变关系(如平⾏); 根据特殊图形的判定、性质，确定分类; 根据⼏何特征或函数特征建等式。

三⾓形相似、全等的存在性找定点，分析⽬标三⾓形边⾓关系; 根据判定、对应关系确定分类; 根据⼏何特征建等式求解。

答题规范动作试卷上探索思路、在演草纸上演草。

合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。

作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案;同时⽅便修改。

作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。

23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：⼏何推理环节，要突出⼏何特征及数量关系表达，简化证明过程; ⾯积问题，要突出⾯积表达的⽅案和结论; ⼏何最值问题，直接确定最值存在状态，再进⾏求解; 存在性问题，要明确分类，突出总结。

2015年中考数学压轴题及答案精选(三)

2015年中考数学压轴题汇编（三）61．（12分）（2015•德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用根据与系数的关系得出α+β=，αβ=﹣2，进而代入求出m的值即可得出答案；（2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，得出四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，进而利用勾股定理求出即可；（3）利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4，进而分别求出即可．解答：解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，α+β=，αβ=﹣2，∵=﹣2，∴=﹣2，即=﹣2，解得：m=1，故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2；（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，∴E点坐标为：（4，2），作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，则D′E′===10，设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，∴DE===2，∴四边形DNME的周长最小值为：10+2；（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，∴PH=DG=4，∴|y|=4，∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4，解得：x1=2+，x2=2﹣，当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4，解得：x3=2+，x4=2﹣，故P点的坐标为；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识，利用数形结合以及分类讨论得出P点坐标是解题关键．62．（12分）（2015•包头）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式求出点D 的坐标；（2）根据点的坐标求出△AOC，△BOC的面积，利用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，求出其面积，计算即可得到答案；（3）假设存在，设点M的坐标为（m，0），表示出MA的长，根据MN∥BC，得到比例式求出AN，根据△AMN∽△ACM，得到比例式求出m，得到点M的坐标，求出BC的解析式，根据MN∥BC，设直线MN的解析式，求解即可．解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3，y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴点D的坐标为：（1，﹣4）；（2）S1+S3=S2，过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于F，由题意得，CD=，BD=2，BC=3，CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形，S1=×OA×OC=，S2=×OB×OC=S3，=×CD×BC=3，∴S1+S3=S2；（3）存在点M使∠AMN=∠ACM，设点M的坐标为（m，0），∵﹣1＜m＜3，∴MA=m+1，AC=，∵MN∥BC，∴=，即=，解得，AN=（m+1），∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，∴△AMN∽△ACM，∴=，即（m+1）2=•（m+1），解得，m1=，m2=﹣1（舍去），∴点M的坐标为（，0），设BC的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，，解得，则BC的解析式为y=x﹣3，又MN∥BC，∴设直线MN的解析式为y=x+b，把点M的坐标为（，0）代入得，b=﹣，∴直线MN的解析式为y=x﹣．点评：本题考查的是二次函数的解析式的确定和相似三角形的判定和性质，灵活运用待定系数法二次函数和一次函数求解析式是解题的关键，注意一元二次方程的解法和勾股定理逆定理的运用．63．（12分）（2015•恩施州）矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到如图所示的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4．（1）求AD的长；（2）求阴影部分的面积和直线AM的解析式；（3）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（4）在抛物线上是否存在点P，使S△PAM=？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：几何变换综合题．专题：综合题．分析：（1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，根据旋转的性质得AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ，可证明Rt△ABP∽Rt△MBQ得到==，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，所以BM=x+y﹣2，利用比例性质得到PB•MQ=xy，而PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，利用完全平方公式和勾股定理得到52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得x+y=7，则BM=5，BE=BM+ME=7，所以AD=7；（2）由AB=BM可判断Rt△ABP≌Rt△MBQ，则BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，利用勾股定理得到（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，则BQ=4，根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM进行计算即可；然后利用待定系数法求直线AM的解析式；（3）先确定B（3，1），然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（4）当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2设P（x，x2﹣x+5），则K（x，﹣x+5），则KP=﹣x2+x，根据三角形面积公式得到•（﹣x2+x）•7=，解得x1=3，x2=，于是得到此时P点坐标为（3，1）、（，）；再求出过点（3，1）与（，）的直线l的解析式为y=﹣x+，则可得到直线l 与y轴的交点A′的坐标为（0，），所以AA′=，然后把直线AM向上平移个单位得到l′，直线l′与抛物线的交点即为P点，由于A″（0，），则直线l′的解析式为y=﹣x+，再通过解方程组得P点坐标．解答：解：（1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，∵矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转得到矩形ABEF，∴AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，∵∠PBQ=90°，∴∠ABP=∠MBQ，∴Rt△ABP∽Rt△MBQ，∴==，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，BM=x+y﹣2，∴==，∴PB•MQ=xy，∵PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，∴（PB﹣MQ）2=1，即PB2﹣2PB•MQ+MQ2=1，∴52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得x+y=7，∴BM=5，∴BE=BM+ME=5+2=7，∴AD=7；（2）∵AB=BM，∴Rt△ABP≌Rt△MBQ，∴BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，∵BQ2+MQ2=BM2，∴（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，∴BQ=7﹣3=4，∴S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM=×（4+7）×4﹣×4×3=16；设直线AM的解析式为y=kx+b，把A（0，5），M（7，4）代入得，解得，∴直线AM的解析式为y=﹣x+5；（3）设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵AP=MQ=3，BP=DQ=4，∴B（3，1），而A（0，5），D（7，5），∴，解得，∴经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=x2﹣x+5；（4）存在．当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2，设P（x，x2﹣x+5），则K（x，﹣x+5），∴KP=﹣x+5﹣（x2﹣x+5）=﹣x2+x，∵S△PAM=，∴•（﹣x2+x）•7=，整理得7x2﹣46x+75，解得x1=3，x2=，此时P点坐标为（3，1）、（，），求出过点（3，1）与（，）的直线l的解析式为y=﹣x+，则直线l与y轴的交点A′的坐标为（0，），∴AA′=5﹣=，把直线AM向上平移个单位得到l′，则A″（0，），则直线l′的解析式为y=﹣x+，解方程组得或，此时P点坐标为（，）或（，），综上所述，点P的坐标为（3，1）、（，）、（，）、（，）．点评：本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、矩形的性质和三角形全等于相似的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会进行代数式的变形．64．（12分）（2015•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B 的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M （﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．解答：解：（1）①y=当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，∴C（0，2），A（﹣4，0），由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称，∴点B的坐标为1，0）．②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），又∵抛物线过点C（0，2），∴2=﹣4a∴a=∴y=x2x+2．（2）设P（m，m2m+2）．过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，∴Q（m，m+2），∴PQ=m2m+2﹣（m+2）=m2﹣2m，∵S△PAC=×PQ×4，=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，此时P（﹣2，3）．（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=，∴∠CAO=∠BCO，∵∠BCO+∠OBC=90°，∴∠CAO+∠OBC=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC∽△ACO∽△CBO，如下图：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；③当点M在第四象限时，设M（n，n2n+2），则N（n，0）∴MN=n2+n﹣2，AN=n+4当时，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4）整理得：n2+2n﹣8=0解得：n1=﹣4（舍），n2=2∴M（2，﹣3）；当时，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），整理得：n2﹣n﹣20=0解得：n1=﹣4（舍），n2=5，∴M（5，﹣18）．综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．点评：本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．65．（10分）（2015•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A、B两点分别代入抛物线解析可求得a和b，可求得抛物线解析式；（2）过A作AD⊥BC于点D，则AD为⊙A的半径，由条件可证明△ABD∽△CBO，利用相似三角形的性质可求得AD的长，可求得半径；（3）由待定系数法可求得直线BC解析式，过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，可设出P、Q的坐标，可表示出△PQC和△PQB的面积，可表示出△PBC 的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，容易求得P点坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），∴把A、B两点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x﹣；（2）过A作AD⊥BC于点D，如图1，∵⊙A与BC相切，∴AD为⊙A的半径，由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0），∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC===，∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，∴△ABD∽△CBO，∴=，即=，解得AD=，即⊙A的半径为；（3）∵C（0，﹣），∴可设直线BC解析式为y=kx﹣，把B点坐标代入可求得k=，∴直线BC的解析式为y=x﹣，过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，如图2，设P（x，﹣x2+2x﹣），则Q（x，x﹣），∴PQ=（﹣x2+2x﹣）﹣（x﹣）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ•OE+PQ•BE=PQ（OE+BE）=PQ•OB=PQ=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，S△PBC有最大值，此时P点坐标为（，），∴当P点坐标为（，）时，△PBC的面积有最大值．点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、切线的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出⊙A的半径是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，计算量大，综合性较强．66、（10分）（2015•陕西）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．（1）求点A，B，C的坐标；（2）求抛物线y=x2+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．考点：二次函数综合题．分析：（1）令y=0，求出x的值；令x=0，求出y，即可解答；（2）先求出A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，﹣4），再代入解析式，即可解答；（3）取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，由此判定四边形AMA′M′为平行四边形，又知AA′与MM′不垂直，从而平行四边形AMA′M′不是菱形，过点M作MD⊥x轴于点D，求出抛物线的顶点坐标M，根据，即可解答．解答：解：（1）令y=0，得x2+5x+4=0，∴x1=﹣4，x2=﹣1，令x=0，得y=4，∴A（﹣4，0），B（﹣1，0），C（0，4）．（2）∵A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，﹣4），∴所求抛物线的函数表达式为y=ax2+bx﹣4，将（4，0），（1，0）代入上式，得解得：，∴y=﹣x2+5x﹣4．（3）如图，取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，∴四边形AMA′M′为平行四边形，又知AA′与MM′不垂直，∴平行四边形AMA′M′不是菱形，过点M作MD⊥x轴于点D，∵y=，∴M（），又∵A（﹣4，0），A′（4，0）∴AA′=8，MD=，∴=点评：本题考查了二次函数的性质与图象、中心对称、平行四边形的判定、菱形的判定，综合性较强，解决本题的关键是根据中心对称，求出抛物线的解析式，在（3）中注意菱形的判定与数形结合思想的应用．67．（12分）（2015•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为顶点的抛物线与x轴分别相交于B，C两点，抛物线上一点A的横坐标为2，连接AB，AC，正方形DEFG的一边GF在线段BC上，点D，E在线段AB，AC上，AK⊥x轴于点K，交DE于点H，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x …﹣2 0 4 8 10 …y …0 5 9 5 0 …（1）求出这条抛物线的解析式；（2）求正方形DEFG的边长；（3）请问在抛物线的对称轴上是否存在点P，在x轴上是否存在点Q，使得四边形ADQP 的周长最小？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用已知表格中数据结合顶点式直接求出抛物线解析式即可；（2）首先得出四边形HEFK为矩形，再利用△ADE∽△ABC，得出正方形DEFG的边长；（3）首先求出AB所在直线解析式，进而得出D点坐标，再求出直线A′D′的解析式得出Q′的坐标即可．解答：解：（1）由图表可得：抛物线的顶点坐标为：（4，9），设函数解析式为：y=a（x﹣4）2+9（a≠0），把点（0，5）代入y=a（x﹣4）2+9，解得：a=﹣．∴函数解析式为：y=﹣（x﹣4）2+9；（2）设正方形DEFG的边长为m，∵AK⊥x轴，∴∠AKC=90°，∵∠DEF=∠EFG=90°，∴四边形HEFK为矩形，∴HK=EF=m，∵点A在抛物线y=﹣（x﹣4）2+9上，横坐标为2，∴y=﹣（x﹣4）2+9=8，∴点A的坐标为：（2，8），∴AK=8，∴AH=AK﹣HK=8﹣m，由题意可得：B（﹣2，0），C（10，0），∴BC=12，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴=，∴m=﹣，∴正方形的边长为：；（3）存在，理由：过顶点M作抛物线的对称轴直线l：x=4，设点A关于直线l：x=4对称点为A′，A′点的坐标为：（6，8），∴设AB所在直线解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴AB所在直线解析式为：y=2x+4，∵D在直线AB上，DG=，∴点D的纵坐标为：，由2x+4=，解得：x=，∴点D的坐标为：（，），设点D关于x轴对称点为D′，则D′（，﹣），连接A′D′交对称轴于点P，交x轴于点Q，连接AP，DQ，则四边形ADQP的周长最小，设直线A′D′的解析式为：y=k′x+b′，∴，解得：，∴直线A′D′的解析式为：y=x﹣，当x=4时，y=×4﹣=，∴P（4，），当y=0时，x=，∴Q点坐标为：（，0）．点评：此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求一次函数解析式等知识，利用轴对称得出四边形ADQP的周长最小时P的位置是解题关键．68．（12分）（2015•自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c 的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m 和n的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．解答：解：（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解之得：，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．69．（12分）（2015•资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点．（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l 于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）首先求出C的坐标，然后由C、F两点用待定系数法求解析式即可；（2）因为DM∥OF，要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则DM=OF，设M（x，﹣x+1），则D（x，x2），表示出DM，分类讨论列方程求解；（3）根据勾股定理求出BR=BF，再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，所以∠RFS=∠BFC=90°，所以△RFS是直角三角形．解答：解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，），又∵直线BC过C、F两点，故得方程组：解之，得，所以直线BC的解析式为：y=﹣x+1；（2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示，设M（x，﹣x+1），则D（x，x2），∵MD∥y轴，∴MD=﹣x+1﹣x2，由MD=OF，可得|﹣x+1﹣x2|=1，①当﹣x+1﹣x2=1时，解得x1=0（舍）或x1=﹣3，所以M（﹣3，），②当﹣x+1﹣x2，=﹣1时，解得，x=，所以M（，）或M（，），综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，M点坐标为（﹣3，）或（，）或（，）；（3）过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示，∵点B（m，n）在抛物线上，∴m2=4n，在Rt△BTF中，BF====，∵n＞0，∴BF=n+1，又∵BR=n+1，∴BF=BR．∴∠BRF=∠BFR，又∵BR⊥l，EF⊥l，∴BR∥EF，∴∠BRF=∠RFE，∴∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，∴∠RFS=∠BFC=90°，∴△RFS是直角三角形．点评：本题主要考查了待定系数法求解析式，平行四边形的判定，平行线的性质，勾股定理以及分类讨论和数形结合等数学思想．70．（12分）（2015•宜宾）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别相交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b、c即可；（2）①表示出ON、MH，运用ON=MH，列方程求解即可；②存在，先求出BC的解析式，根据互相垂直的直线一次项系数积等于﹣1，直线经过点P，待定系数法求出直线PF的解析式，求直线BC与直线PF的交点坐标即可．解答：解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：解得：b=1，c=4，∴y=﹣x2+x+4；（2）点C的坐标为（0，4），B（4，0）∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，①根据题意，ON=OM=t，MH=﹣t2+t+4∵ON∥MH∴当ON=MH时，四边形OMHN为矩形，即t=﹣t2+t+4解得：t=2或t=﹣2（不合题意舍去）把t=2代入y=﹣t2+t+4得：y=2∴H（2，2）；②存在，当PF⊥BC时，∵直线BC的解析式为y=﹣x+4，∴设PF的解析式为y=x+b，又点P（1，）代入求得b=，∴根据题意列方程组：解得：∴F（，）当PF⊥BP时，∵点P（1，），B（4，0），∴直线BP的解析式为：y=﹣x+6，∴设PF的解析式为y=x+b，又点P（1，）代入求得b=，∴根据题意列方程组：解得：∴F（，），综上所述：△PFB为直角三角形时，点F的坐标为（，）或（，）．点评：本题考查了待定系数法求直线和抛物线解析式，求顶点坐标，矩形的判定与性质以及两直线互相垂直的性质，本题有一定的综合性，难度不大，关键是掌握两直线互相垂直的性质．71．（12分）（2015•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C （0，3）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c，求解即可；（2）作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，则△AM1C是等腰三角形，然后求出OM1得出M1的坐标，当CA=CM2时，则△AM2C是等腰三角形，求出OM2得出M2的坐标，当CA=AM3时，则△AM3C是等腰三角形，求出OM3得出M3的坐标，当CA=CM4时，则△AM4C是等腰三角形，求出OM4得出M4的坐标，（3）当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，先求出S△BOC，再根据△BPD∽△BOC，得出=（）2，=（）2，求出S=S△BPD；当点P 在y轴左侧时，设直线与AC交与点E，根据=（）2，得出=（）2，求出S=S△ABC﹣S△APE=9﹣，再整理即可．解答：解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c得：，解得：，则抛物线的解析式是：y=﹣x2+x+3；（2）如图1，作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，则△AM1C 是等腰三角形，∵AC==，∴CN=，∵△CNM1∽△COA，∴=，∴=，∴CM1=，∴OM1=OC﹣CM1=3﹣=，∴M1的坐标是（0，），当CA=CM2=时，则△AM2C是等腰三角形，则OM2=3+，M2的坐标是（0，3+），当CA=AM3=时，则△AM3C是等腰三角形，则OM3=3，M3的坐标是（0，﹣3），当CA=CM4=时，则△AM4C是等腰三角形，则OM4=﹣3，M4的坐标是（0，3﹣），（3）如图2，当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，∵OB=4，OC=3，∴S△BOC=6，∵BP=BO﹣OP=4﹣t，∴=，∵△BPD∽△BOC，∴=（）2，∴=（）2，∴S=S△BPD=t2﹣3t+6（0≤t＜4）；当点P在y轴左侧时，设直线与AC交与点E，∵OP=﹣t，AP=t+2，∴=，∵=（）2，∴=（）2，∴S△APE=，∴S=S△ABC﹣S△APE=9﹣=﹣t2﹣3t+6（﹣2＜t＜0）．点评：此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，注意分类讨论，数形结合的数学思想方法．71．（12分）（2015•攀枝花）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y=﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解析式，（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，根据S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC=﹣t2+t，即可求出D点坐标及△BCD面积的最大值，（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，根据直线BC的解析式为y=﹣x+3，过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5，得Q的坐标为（2，3），根据PM的解析式为：x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3，得M的坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，求出过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1，根据得点Q的坐标为（，﹣），（，﹣）．解答：解：（1）由得，则抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，则S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC=（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×3×3=﹣t2+t，∵﹣＜0，∴当t=﹣=时，D点坐标是（，），△BCD面积的最大值是；（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5，由得Q的坐标为（2，3），∵PM的解析式为x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴M的坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，∵PM=EM=2，∴过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1，由得或，∴点Q的坐标为（，﹣），（，﹣），∴使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），（，﹣），（，﹣）．点评：此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、三角形梯形的面积、直线与抛物线的交点，关键是作出辅助线，求出符合条件的所有点的坐标．72．（10分）（2015•南充）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．（1）求抛物线解析式．（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L 最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据对称轴公式求出b的值，再根据根与系数的关系求出c的值，从而求出二次函数解析式；（2）将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程x2+（k﹣2）x﹣1=0，根据根与系数的关系求出k的值，进而求出M（﹣1，0），N（1，4）；（3）O，B，P，C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO，根据线段OB平移过程中，OB、PC长度不变，得到要使L最小，只需BP+CO最短，作点P关于x轴（或OB）对称点P′（1，﹣4），连接C′P′与x轴交于点B′，然后根据平移知识和勾股定理解答．解答：解：（1）由已知对称轴为x=1，得﹣=1，∴b=2，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0），即﹣x2+2x+c=0的解为m﹣2和2m+1，（m﹣2）+（2m+1）=2，3m=3，m=1，将m=1代入（m﹣2）（2m+1）=﹣c得，（1﹣2）（2+1）=﹣c，∴c=3，∴m=1，c=3，抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）由，∴x2+（k﹣2）x﹣1=0，x1+x2=﹣（k﹣2），x1x2=﹣1，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（k﹣2）2+4，∴当k=2时，（x1﹣x2）2的最小值为4，即|x1﹣x2|的最小值为2，∴x2﹣1=0，x1=1，x2=﹣1，即y1=4，y2=0，∴当|x1﹣x2|最小时，抛物线与直线的交点为M（﹣1，0），N（1，4）；（3）O（0，0），B（3，0），P（1，4），C（0，3），O，B，P，C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO，∵线段OB平移过程中，OB、PC长度不变，∴要使L最小，只需BP+CO最短，如图，平移线段OC到BC′，四边形OBC′C是矩形，∴C′（3，3），作点P关于x轴（或OB）对称点P′（1，﹣4），连接C′P′与x轴交于点B′，设C′P′解析式为y=ax+n，∴，解得，∴y=x﹣，当y=0时，x=，∴B′（，0），又3﹣=，故点B向左平移，平移到B′，同时，点O向左平移，平移到0′（﹣，0）．即线段OB向左平移时，周长L最短，此时，线段BP，CO之和最短为P′C′==，O′B′=OB=3，CP=，∴当线段OB向左平移，即点O平移到O′（﹣，0），点B平移到B′（，0）时，周长L最短为++3．点评：本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、函数与方程的关系、最短路径问题等，综合性强，值得关注．73．（12分）（2015•绵阳）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）先联立抛物线与直线的解析式得出关于x的方程，再由直线BC和抛物线有两个不同交点可知△＞0，求出a的取值范围，令x=0求出y的值即可得出A点坐标，把抛物线的解析式化为顶点式的形式即可得出M点的坐标；（2）利用待定系数法求出直线MA的解析式，联立两直线的解析式可得出N点坐标，进而可得出P点坐标，根据S△PCD=S△PAC﹣S△ADC可得出结论；（3）分点P在y轴左侧与右侧两种情况进行讨论即可．解答：解：（1）由题意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．。

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2015年全国各地中考数学试题压轴题解析汇编解答题（1）1. （2015年广东9分）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过»BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，P B.（1）如题图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如题图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如题图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥A B.【答案】解：（1）∵AB为⊙O直径，点P是»BC的中点，∴PG⊥BC，即∠ODB=90°.∵D为OP的中点，∴OD=1122=OP OB.∴cos∠BOD=12=ODOB. ∴∠BOD=60°.∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°. ∴∠ACB=∠ODB.∴AC∥PG. ∴∠BAC=∠BOD=60°.（2）证明：由（1）知，CD=BD，∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，∴△PDB≌△CDK（SAS）.∴CK=BP，∠OPB=∠CKD.∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP. ∴AG=CK.∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP.又∵∠G=∠OBP，∴AG∥CK.∴四边形AGCK是平行四边形.（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，∴DE∥PB，即DH∥PB.∵∠G=∠OPB，∴PB∥AG. ∴DH∥AG. ∴∠OAG=∠OHD.∵OA=OG，∴∠OAG=∠G. ∴∠ODH=∠OHD. ∴OD=OH.又∵∠ODB=∠HOP，OB=OP，∴△OBD≌△HOP（SAS）.∴∠OHP=∠ODB=90°. ∴PH⊥A B.【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定.【分析】（1）一方面，由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出∠BOD=60°；另一方面，由证明∠ACB=∠ODB=90°得到AC∥PG，根据平行线的同位角相等的性质得到∠BAC=∠BOD=60°.（2）一方面，证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到AG=CK；另一方面，证明AG∥CK，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证.（3）通过应用SAS证明△OBD≌△HOP而得到∠OHP=∠ODB=90°，即PH⊥A B.2.（2015年广东9分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm. （1）填空：AD= ▲ (cm)，DC= ▲ (cm)；（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N 到AD的距离(用含x的式子表示)；（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN 的面积y存在最大值，请求出这个最大值.(参考数据：sin75°=624+，sin15°=624-)【答案】解：（1）26；22.（2）如答图，过点N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC 延长线于F ，则NE =DF .∵∠ACD =60°，∠ACB =45°，∴∠NCF =75°，∠FNC =15°.∴sin 15°=FCNC. 又∵NC =x ，sin 15°=624-，∴624-=FC x . ∴NE =DF =62224-+x . ∴点N 到AD 的距离为62224-+x cm .（3）∵NC =x ，sin 75°=FNNC，且sin 75°=624+∴624+=FN x ，∵PD =CP =2，∴PF =6224-+x . ∴16262116262(26)(22)(26)2(2)()2442244+--+=+-+--⨯-+y x x x x x x ·即22673222384---=++y x x .∴当732273224266228----=-=--⨯x 时，y 有最大值为6673102304246+---.【考点】双动点问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；由实际问题列函数关系式；二次函数的最值；转换思想的应用.【分析】（1）∵∠ABC =90°，AB =BC =4，∴42=AC .∵∠ADC =90°，∠CAD =30°， ∴31cos 4226,sin 422222=⋅∠=⋅==⋅∠=⋅= AD AC CAD DC AC CAD . （2）作辅助线“过点N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC 延长线于F ”构造直角三角形CNF ，求出FC 的长，即可由NE =DF =FC +CD 求解.（3）由∆∆=--梯形PNF NDP MDFN y S S S 列式，根据二次函数的最值原理求解.3. （2015年广东深圳9分）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB 和量角器的直径DE 在一条直线上，,3,6cm OD cm BC AB ===开始的时候BD =1cm ，现在三角板以2cm/s 的速度向右移动. （1）当B 与O 重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC 与半圆相切时，求AD ；（3）如图3，当AB 和DE 重合时，求证：2CF CG CE =⋅.【答案】解：（1）∵开始时，4BO cm =，三角板以2cm/s 的速度向右移动，∴当B 与O 重合的时候，三角板运动的时间为422/cms cm s=.（2）如答图1，设AC 与半圆相切于点H ，连接OH ，则OH AC ⊥.∵0,90AB BC ABC =∠= ，∴045A ∠=.又∵3OH OD cm ==，∴232AO OH ==.∴()323AD AO DO cm =-=-. （3）如答图2，连接EF ，∵OD OF =，∴ODF OFD ∠=∠.∵DF 是直径，∴090DFE ∠=. ∴090ODF DEF ∠+∠=. 又∵090DEC DEF CEF ∠=∠+∠=.∴ODF CEF ∠=∠. ∴CFG OFD ODF CEF ∠=∠=∠=∠. 又∵FCG ECF ∠=∠，∴CFG CEF ∆∆∽. ∴CF CE CG CF=，即2CF CG CE =⋅. 【考点】面动平移问题；等腰（直角）三角形的判定和性质；圆周角定理；相似三角形的判定和性质. 【分析】（1）直接根据“=路程时间速度”计算即可. （2）作辅助线“连接O 与切点H ”，构成等腰直角三角形求出AO 的长，从而由AO DO -求出AD的长.（3）作辅助线“连接EF ”，构成相似三角形CFG CEF ∆∆∽,得比例式即可得解.4.（2015年广东深圳9分）如图1，关于x 的二次函数2y x bx c =-++经过点(3,0)A - ，点(0,3)C ，点D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在x 轴上. （1）求抛物线的解析式；（2）DE 上是否存在点P 到AD 的距离与到x 轴的距离相等，若存在求出点P ，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE 的左侧抛物线上是否存在点F ，使23FBC EBC S S ∆∆=，若存在求出点F 的坐标，若不存在请说明理由.【答案】解：（1）将点(3,0)A - ， (0,3)C 代入2y x bx c =-++，得9303b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =-⎧⎨=⎩. ∴抛物线的解析式为223y x x =--+. （2）存在.∵()222314y x x x =--+=-++，∴2,4,25AE DE AD === .∴25sin 525AE ADE AD ∠===. 设()1,P p - ，当点P 在DAB ∠的角平分线时，如答图1，过点P 作PM AC ⊥于点M ，则()5sin 4,5PM PD ADE p PE p =⋅∠=-= ， ∵PM PE =，∴()545p p -=，解得51p =-. ∴()1,51P -- . 当点P 在DAB ∠的外角平分线时，如答图2，过点P 作PM AC ⊥于点M ，则()5sin 4,5PM PD ADE p PE p =⋅∠=-=- ， ∵PM PE =，∴()545p p -=-，解得51p =--. ∴()1,51P -- -.综上所述，DE 上存在点P 到AD 的距离与到x 轴的距离相等，点P 的坐标为()1,51--或()1,51-- -.（3）存在.假设存在点F ，使23FBC EBC S S ∆∆=，设()2,23F f f f --+∵2,3BE OC == ，∴3EBC S ∆=. ∵23FBC EBC S S ∆∆=，∴92FBC S ∆=. 设CF 的解析式为y mx n =+，则2233fm n f f n ⎧+=--+⎨=⎩，解得23m f n =--⎧⎨=⎩.∴CF 的解析式为()23y f x =--+. 令0y =，得32x f =+，即CF 与x 轴的交点坐标为3,02Q f ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 若点F 在x 轴上方，如答图2，则BCF BCQ BFQ S S S ∆∆∆=-， ∴()2913131312322222f f f f ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-⋅--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即290f f --=，解得1372f ±=（舍去正值）.当1372f -=时，233715232f f ---+=.∴13733715,22F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 若点F 在x 轴下方，如答图3，则BCF BCQ BFQ S S S ∆∆∆=+， ∴()2913131312322222f f f f ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-⋅+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即290f f --=，解得1372f ±=（舍去正值）. 当1372f -=时，23371523>02f f ---+=，不符合点F 在x 轴下方，舍去. 综上所述，DE 的左侧抛物线上存在点F ，使23FBC EBC S S ∆∆=，点F 的坐标为13733715,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.【考点】二次函数综合题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；角平分线的性质；分类思想、转换思想和方程思想的应用.【分析】（1）将点(3,0)A - ， (0,3)C 代入2y x bx c =-++即可求解.（2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，分点P 在DAB ∠的角平分线和点P 在DAB ∠的外角平分线两种情况讨论即可.（3）由已知求出92FBC S ∆=，分点F 在x 轴上方和点F 在x 轴下方两种情况讨论，当点F 在x 轴上方时，BCF BCQ BFQ S S S ∆∆∆=-；当点F 在x 轴下方时，BCF BCQ BFQ S S S ∆∆∆=+，据此列方程求解.5. （2015年广东汕尾11分）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC = AB = 4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点.若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P .（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ▲ ，线段CE 1的长等于 ▲ ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 ；（3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【答案】解：（1）25，25.（2）证明：当α=135°时，由旋转可知∠D 1AB = E 1AC = 135°.又∵AB =AC ，AD 1=AE 1，∴△D 1AB ≌△△E 1AC （SAS ）. ∴BD 1=CE 1 且 ∠D 1BA = ∠E 1CA .设直线BD 1与AC 交于点F ，有∠BF A =∠CFP . ∴∠CPF =∠F AB =90°，∴BD 1⊥CE 1. （3）13+.【考点】面动旋转问题；等腰直角三角形的性质；勾股定理；全等、相似三角形的判定和性质. 【分析】（1）如题图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于22224225AB AE +=+=；线段CE 1的长等于222214225AC AE +=+=.（2）由SAS 证明△D 1AB ≌△△E 1AC 即可证明BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 .（3）如答图2，当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离最大，此时112223AD PD PB ===+，，∵1ABD PBH ∆∆∽，∴1AD ABPH PB=. ∴24223PH =+.∴13PH =+. ∴当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离的最大值为13+.6.（2015年广东汕尾10分）如图，过原点的直线1y k x =和2y k x =与反比例函数1y x=的图象分别交于两点A ，C 和B ，D ，连结AB ，BC ，CD ，DA ．（1）四边形ABCD 一定是 ▲ 四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时1k 和2k 之间的关系式；若不可能，说明理由；（3）设()()()112221,,,,0P x y Q x y x x >> 是函数1y x=图象上的任意两点，12122,2y y a b x x +==+ ，试判断a ，b 的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）平行.（2）四边形ABCD 可能是矩形，此时121k k =，理由如下：当四边形ABCD 是矩形时，OA =OB .联立11y k x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得111x k y k ⎧=±⎪⎨⎪=±⎩，∴111,A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ . 同理，221,B k k ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ∵22121211OA k OB k k k =+=+，，∴121211k k k k +=+，得()21121 10k k k k ⎛⎫--= ⎪⎝⎭. ∵210k k -≠， ∴12110k k -=. ∴121k k =. ∴四边形ABCD 可以是矩形，此时121k k =. （3）>a b .理由如下：∵()()()()2212121212121212121212124211122222x x x x x x y y a b x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫+-=-=+-== ⎪++++⎝⎭. ∵x 2 > x 1 > 0，∴()212>0x x -，()12122>0x x x x +.∴()()2121212>02x x x x x x -+.∴>a b .【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用. 【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有,OA OC OB OD == ，所以，四边形ABCD 一定是平行四边形.（2）求出点A 、B 的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA =OB ，即22OA OB =，据此列式化简得证.（3）作差，化简，得出结论.7. （2015年广东广州14分）如图，四边形OMTN 中，OM =ON ，TM =TN ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；（2）在筝形ABCD 中，已知AB =AD =5，BC =CD ，BC >AB ，BD ，AC 为对角线，BD =8；①是否存在一个圆使得A ，B ，C ，D 四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由； ②过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，BF 交AC 于点E ，连接DE . 当四边形ABED 为菱形时，求点F 到AB 的距离.【答案】解：（1）筝形的对角线互相垂直. 证明如下：如答图1，连接,MN OT ，在OMT ∆和ONT ∆中，∵OM ON TM TN OT OT =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()OMT ONT SSS ∆∆≌.∴MOT NOT ∠=∠. 又∵OM =ON ，∴OT MN ⊥，即筝形的对角线互相垂直. （2）存在.由（1）知，AC BD ⊥，设,AC BD 相交于点M ，如答图2， ∵AB =AD =5， BD =8，∴4BM =.∴22534AM =-=. ∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴0180ABC ADC ∠+∠=. 又∵ABC ADC ∆∆≌，∴090ABC ADC ∠=∠=. ∴AC 即为所求圆的直径.∵090,ABC AMB BAC MAB ∠=∠=∠=∠ ，∴BAC MAB ∆∆∽.∴AB AM AC AB =，即535AC =，解得253AC =. ∴圆的半径为256.（3）∵四边形ABED 为菱形，∴5AB AD BE DE ====.∴03,4,,90AM ME BM MD BD AE BME ====⊥∠= .又∵0,90BF CD BFD ⊥∠= .∴090BME BFD ∠=∠=又∵MBE FBD ∠=∠，∴BME BFD ∆∆∽. ∴BE EM BD DF =，即538DF =，解得245DF =. 在Rt DEF ∆中，由勾股定理，得22E F D ED F=-， ∴22247555EF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.∴325BF =. ∵//AB DE ，∴ABF DEF ∠=∠.如答图3，过点F 作FG AB ⊥于点G ，则FG 就是点F 到AB 的距离.∵090BGF EFD ∠=∠=，∴BGF EFD ∆∆∽.∴BF FG DE DF =，即3252455FG =，解得768125FG =. ∴点F 到AB 的距离为768125.【考点】新定义；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定和性质.【分析】（1）筝形的对角线互相垂直，利用SSS 证明OMT ONT ∆∆≌得到MOT NOT ∠=∠，从而根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论.（2）根据垂径定理和勾股定理求出AM 的长，证明BAC MAB ∆∆∽，由对应边成比例列式求解即可.（3）证明BME BFD ∆∆∽，求出245DF =，应用勾股定理求出75EF =，得到325BF =，作辅助线“过点F 作FG AB ⊥于点G ”构造相似三角形BGF EFD ∆∆∽，由对应边成比例列式求得FG 的长， FG 就是点F 到AB 的距离.8.（2015年广东广州10分）已知O 为坐标原点，抛物线21(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于点1(,0)A x ,2(,0)B x .与y 轴交于点C ，且O ，C 两点之间的距离为3，12120,4x x x x ⋅<+= ，，点A ，C在直线23y x t =-+上.（1）求点C 的坐标；（2）当1y 随着x 的增大而增大时，求自变量x 的取值范围；（3）将抛物线1y 向左平移(0)n n >个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ，直线2y 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求225n n -的最小值. 【答案】解：（1）令0x =，得1y c =，∴()0,C c .∵O ，C 两点之间的距离为3，∴3c =，解得3c =±. ∴点C 的坐标为()0,3 或()0,3 -. （2）∵120x x ⋅<，∴12,x x 异号.①若()0,3C ，把()0,3C 代入23y x t =-+得30t =+，即3t =. ∴233y x =-+.把()1,0A x 代入233y x =-+得1033x =-+，即11x =.∴()1,0A . ∵12,x x 异号，11>0x =，∴2<0x .∵124x x +=，∴214x +=，214x -=，23x =-.∴()3,0B - .把()1,0A ，()3,0B - 代入213y ax bx =++，得309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩.∴()2212314y x x x =--+=-++.∴当1x ≤-时，1y 随着x 的增大而增大.②若()0,3C -，把()0,3C -代入23y x t =-+得30t -=+，即3t =-. ∴233y x =--.把()1,0A x 代入233y x =--得1033x =--，即11x =-.∴()1,0A - . ∵12,x x 异号，11<0x =-，∴2>0x .∵124x x +=，∴214x -+=，214x +=，23x =.∴()3,0B .把()1,0A - ，()3,0B 代入213y ax bx =++，得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩.∴()2212314y x x x =--=--.∴当1x ≥时，1y 随着x 的增大而增大.综上所述，若()0,3C ，当1y 随着x 的增大而增大时，1x ≤-；若()0,3C -，当1y 随着x 的增大而增大时，1x ≥.（3）①若()0,3C ，则()2212314y x x x =--+=-++，233y x =-+，1y 向左平移(0)n n >个单位后的解析式为()2314y x n =-+++，则当1x n ≤--时，3y 随着x 的增大而增大.直线2y 向下平移n 个单位后的解析式为433y x n =-+-. 要使平移后直线与P 有公共点，则当1x n =--时，34y y ≥，即()()2114313n n n n ---+++≥---+-，解得1n ≤-，与>0n 不符，舍去.②若()0,3C -，则()2212314y x x x =--=--，233y x =--，1y 向左平移(0)n n >个单位后的解析式为()2314y x n =-+-，则当1x n ≥-时，3y 随着x 的增大而增大.直线2y 向下平移n 个单位后的解析式为433y x n =---. 要使平移后直线与P 有公共点，则当1x n =-时，43y y ≥，即()()2313114n n n n ----≥---+-，解得1n ≥. 综上所述，1n ≥.∵2252525248n n n ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴当54n =时，225n n -的最小值为258-. 【考点】二次函数综合题；线动平移问题；曲线上点的坐标与方程的关系；不等式和绝对值的性质；二次函数的最值；分类思想的应用.【分析】（1）一方面，由点C 在抛物线21(0)y ax bx c a =++≠得到()0,C c ，另一方面，由O ，C 两点之间的距离为3，得到3c =±，从而得到点C 的坐标.（2）分()0,3C 和()0,3C -两种情况讨论.（3）分()0,3C 和()0,3C -两种情况讨论得到n 的范围内1n ≥，从而根据二次函数最值原理即可求解.9. （2015年广东佛山10分）如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数24y x x =-+刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画. （1）请用配方法求二次函数图象的最高点P 的坐标；（2）小球的落点是A ，求点A 的坐标；（3）连结抛物线的最高点P 与点O 、A 得△POA . 求△POA 的面积；（4）在OA 上方的抛物线上存在一点M （M 与P 不重合），△MOA 的面积等于△POA 的面积，请直接写出点．．．．．M 的坐标.【答案】解：（1）∵()()222444424y x x x x x =-+=--++=--+，∴点P 的坐标为()2,4 .（2）联立2412y x x y x⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或7274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴点A 的坐标为77,24⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）如答图1，作二次函数图象的对称轴交OA 于点B ，则点B 的坐标为()2,1 ，3BP =. ∴1172132322224POA OBP BAP S S S ∆∆⎛⎫=+=⨯⨯+⨯⨯-= ⎪⎝⎭V.（4）315,24⎛⎫⎪⎝⎭ . 【考点】二次函数的应用（实际问题）；二次函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；等高三角形面积的应用；待定系数法、转换思想和数形结合思想的应用. 【分析】（1）化为顶点式即可得二次函数图象的顶点坐标.（2）联立24y x x =-+和12y x =即可求出点A 的坐标. （3）作辅助线“作二次函数图象的对称轴交OA 于点B ”，将POA S V 转化为OBP S ∆和BAP S ∆之和. （4）作辅助线“过点P 作//PM OA 交抛物线于另一点M ”，则△MOA 的面积等于△POA 的面积，设直线PM 的解析式为12y x m =+，将()2,4P 代入，得14232m m =⋅+⇒=， ∴直线PM 的解析式为132y x =+.联立24132y x x y x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，解得，24x y =⎧⎨=⎩或32154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴点M 的坐标为315,24⎛⎫⎪⎝⎭ . 10.（2015年广东佛山11分）如图，在ABCD Y 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 是AD 上的点，且AE EF FD ==. 连结BE 、BF ，使它们分别与AO 相交于点G 、H . （1）求 : EG BG 的值；（2）求证：AG OG =；（3）设 ,AG a GH b HO c ===，，求 : : a b c 的值.【答案】解：（1）∵AE EF FD ==，∴13AE AD =. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC .∴AEG CBG ∆∆∽.∴13EG AE BG AD ==，即1: 3EG BG =. （2）证明：由（1）AEG CBG ∆∆∽，∴13AG CG =.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO OC =.∴2CG AO AG =-. ∴123AG AO AG =-，即12AG AO =.∴AG OG =.（3）如答图，过点F 作//FM AC 交BD 于点M ，∵AE EF FD ==，∴13DM DF DO DA ==.∴16DM BD =，56BM BD =. ∵12BO BD =.∴35BO BM =.∵//FM AC ，∴BOH BMF ∆∆∽.∴35HO BO FM BM ==，即35HO FM =. ∵//FM AC ，∴DFM DAO ∆∆∽.∴13FM DF AO DA ==，即13FM AO =.∴33115535HO FM AO AO ==⋅=.由（2）得12AG AO =，∴1132510GH AO AG HO AO AO AO AO =--=--=.∵ ,AG a GH b HO c ===，， ∴131532: : : : : : 5 : 3 : 22105101010a b c AO AO AO ===. 【考点】平行四边形的综合题；平行四边形的性质；平行的性质；相似三角形的判定和性质；数形结合思想的应用.【分析】（1）由平行四边形对边平行的性质可得AEG CBG ∆∆∽，从而得出结果.（2）由（1）AEG CBG ∆∆∽得到13AG CG =，从而根据平行四边形对角线互相平分的性质得出结论. （3）作辅助线“过点F 作//FM AC 交BD 于点M ”，构造两组相似三角形BOH BMF ∆∆∽和BOH BMF ∆∆∽，通过相似三角形对应边成比例的性质，求出AG GH HO 、、与AO 的关系即可求得 : : a b c 的值.11. （2015年广东梅州10分）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC = AB = 4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点.若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P .（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ▲ ，线段CE 1的长等于 ▲ ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 ；（3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【答案】解：（1）25，25.（2）证明：当α=135°时，由旋转可知∠D 1AB = E 1AC = 135°.又∵AB =AC ，AD 1=AE 1，∴△D 1AB ≌△△E 1AC （SAS ）. ∴BD 1=CE 1 且 ∠D 1BA = ∠E 1CA .设直线BD 1与AC 交于点F ，有∠BF A =∠CFP . ∴∠CPF =∠F AB =90°，∴BD 1⊥CE 1. （3）13+.【考点】面动旋转问题；等腰直角三角形的性质；勾股定理；全等、相似三角形的判定和性质. 【分析】（1）如题图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于22224225AB AE +=+=；线段CE 1的长等于222214225AC AE +=+=.（2）由SAS 证明△D 1AB ≌△△E 1AC 即可证明BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 .（3）如答图2，当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离最大，此时112223AD PD PB ===+，，∵1ABD PBH ∆∆∽，∴1AD ABPH PB=. ∴24223PH =+.∴13PH =+.∴当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离的最大值为13+.12.（2015年广东梅州10分）如图，过原点的直线1y k x =和2y k x =与反比例函数1y x=的图象分别交于两点A ，C 和B ，D ，连结AB ，BC ，CD ，DA ．（1）四边形ABCD 一定是 ▲ 四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时1k 和2k 之间的关系式；若不可能，说明理由；（3）设()()()112221,,,,0P x y Q x y x x >> 是函数1y x=图象上的任意两点，12122,2y y a b x x +==+ ，试判断a ，b 的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）平行.（2）四边形ABCD 可能是矩形，此时121k k =，理由如下：当四边形ABCD 是矩形时，OA =OB .联立11y k x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得111x k y k ⎧=±⎪⎨⎪=±⎩，∴111,A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ . 同理，221,B k k ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ∵22121211OA k OB k k k =+=+，， ∴121211k k k k +=+，得()21121 10k k k k ⎛⎫--= ⎪⎝⎭. ∵210k k -≠， ∴12110k k -=. ∴121k k =.∴四边形ABCD 可以是矩形，此时121k k =. （3）>a b .理由如下：∵()()()()2212121212121212121212124211122222x x x x x x y y a b x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫+-=-=+-== ⎪++++⎝⎭. ∵x 2 > x 1 > 0，∴()212>0x x -，()12122>0x x x x +.∴()()2121212>02x x x x x x -+.∴>a b .【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用. 【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有,OA OC OB OD == ，所以，四边形ABCD 一定是平行四边形.（2）求出点A 、B 的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA =OB ，即22OA OB =，据此列式化简得证.（3）作差，化简，得出结论.13. （2015年浙江衢州10分）高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便. 五一期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘高铁从衢州出发，先到杭州火车东站，然后乘出租车去游乐园（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园.他们离开衢州的距离y （千米）与乘车时间t （小时）的关系如下图所示.请结合图象解决下面问题：（1）高铁的平均速度是每小时多少千米？（2）当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？（3）若乐乐要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？【答案】解：（1）∵24024021=-， ∴高铁的平均速度是每小时240千米. （2）设乐乐乘私家车路线的解析式为y kt b =+，∵当1t =时，0y =；当2t =时，240y =，∴02240k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得240240k b =⎧⎨=-⎩.∴乐乐乘私家车路线的解析式为240240y t =-．∴当 1.5t =时，120y =.设颖颖乘高铁路线的解析式为1y k t =，∴1120 1.5k =，解得180k =.∴颖颖乘高铁路线的解析式为80y t =. ∴当2t =时，160y =.∵21616056-=，∴当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有56千米. （3）把216y =代入80y t =得 2.7t =．∵182.7 2.460-=（小时），216902.4=（千米）， ∴乐乐要提前18分钟到达游乐园，私家车的速度必须达到90千米/小时.【考点】一次函数的图象和应用；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系.．【分析】（1）由图象提供的信息，根据“路程÷时间=速度”计算即可．（2）先求乐乐乘私家车路线的解析式，得到 1.5t =时的函数值，即可求得颖颖乘高铁路线的解析式，得到2t =时，颖颖乘高铁街的路程，从而得到当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园的距离．（3）求得私家车按原速度到达游乐园的时间，得到提前18分钟的实际用时，即可得到乐乐要提前18分钟到达游乐园，私家车必须达到的速度.14. （2015年浙江衢州12分）如图，在ABC ∆中，275,9,2ABC AB AC S ∆===，动点P 从A 点出发，沿射线AB 方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q 从C 点出发，以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动，当Q 点运动到A 点时， P 、Q 两点同时停止运动. 以PQ 为边作正方形PQEF （P Q E F 、、、按逆时针排序），以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH . （1）求tan A 的值；（2）设点P 运动时间为t ，正方形PQEF 的面积为S ，请探究S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，正方形PQEF 的某个顶点（Q 点除外）落在正方形QCGH 的边上，请直接写出t 的值．【答案】解：（1）如答图1，过点B 作BM AC ⊥于点M ，∵279,2ABC AC S ∆== ，12ABC S AC BM ∆=⋅⋅，∴271922BM =⋅⋅，解得，3BM =. 又∵5,AB = ∴根据勾股定理，得2222534AM AB BM =-=-=.∴3tan 4BM A AM ==.（2）存在.如答图2，过点P 作PN AC ⊥于点N ，经过时间t ，5AP CQ t == ∵3tan 4A =， ∴4,3AN t PN t == .∴99QN AC AN CQ t =--=-.根据勾股定理，得，()()2222223999016281PQ PN NQ t t t t =+=+-=-+，∴22990162810<<5S PQ t t t ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭. ∵90>0a =，且1629229010b a --=-=⨯在t 的取值范围内， ∴2244908116281449010ac b S a -⨯⨯-===⨯最小值.∴S 存在最小值？若存在，这个最小值是8110. （3）当914t =或911或1或97秒时，正方形PQEF 的某个顶点（Q 点除外）落在正方形QCGH 的边上.【考点】双动点问题；勾股定理；锐角三角函数定义；二次函数最值的应用；分类思想的应用．【分析】（1）作辅助线“过点B 作BM AC ⊥于点M ”构造直角三角形ABM ，根据已知求出BM 和应用AM 的长，即可根据正切函数定义求出3tan 4BM A AM ==．（2）根据2S PQ =求得S 关于t 的二次函数，应用研究二次函数的最值原理求解即可．（3）分四种情况讨论：①当点E 在HG 上时，如答图3，1914t =；②当点F 在GH 上时，如答图4，2911t =；③当点P 在QH 上（或点E 在QC 上）时，如答图5，31t =；④当点F 在CG 上时，如答图6，197t =.15. （2015年浙江绍兴12分）正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图.（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由.【答案】解：（1）证明：如答图1，正方形ABCD和正方形AEFG中，∵GF=EF，AG=AE，AD=AB，∴DG=BE.又∵∠DGF=∠BEF=90°，∴△DGF≌△BEF（SAS）.∴DF=BF.（2）反例图形如答图2：（3）不唯一，如点F在正方形ABCD内，或α＜180°.【考点】开放型；正方形的性质；原命题和逆命题；真命题和假命题【分析】（1）由正方形的性质，通过SAS证明△DGF≌△BEF，从而得到结论.（2）（1）中命题的逆命题是：若DF=BF，则α=0°，它是假命题的反例是α=180°的情况.（3）限制点F范围或α的范围即可.16. （2015年浙江绍兴14分）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点. （1）若四边形OABC为矩形，如图1，①求点B的坐标；②若BQ：BP=1：2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F. 若B1E：B1F=1：3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围.【答案】解：（1）①∵四边形OABC为矩形，OA=4，OC=2，∴点B（4，2）.②如答图1，过点P作PD⊥OA于点D，∵BQ：BP=1：2，点B1是点B关于PQ的对称点，∴∠PDB1=∠PB1Q=∠B1AQ=90°.∴∠PB 1D=∠B 1QA. ∴△PB 1D ∽△B 1QA. ∴111PB PD 2AB B Q==. ∴B 1A=1.∴OB 1=3，即B 1（3，0）.（2）∵四边形OABC 为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC ⊥AC ，∴∠OAC=30°.∴点C ()13 ，. ∵B 1E ：B 1F=1：3，∴点B 1不与点E 、F 重合，也不在线段EF 的延长线上.①当点B 1在线段FE 的延长线上时，如答图2，延长B 1F 与y 轴交于点G ，点B 1的横坐标为m ，B 1F ∥x 轴，∵B 1E ：B 1F=1：3，∴B 1G=m . 设OG=a ，则GF=33a ，OF=233a . ∴CF=2323-a . ∴FE=4343-a ，B 1E=2323-a . ∴B 1G= B 1E+EF+FG=2343324333⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a a m . ∴36355=-+a m ，即点B 1的纵坐标为36355-+m ，m 的取值范围为17101777≤≤+m . ②当点B 1在线段EF （点E 、F 除外）上时，如答图3，延长B 1F 与y 轴交于点G ，点B 1的横坐标为m ，B 1F ∥x 轴，∵B1E ：B 1F=1：3，∴B 1G=m . 设OG=a ，则GF=33a ，OF=233a ∴CF=2323-a . ∴FE=4343-a ，B 1F=34FE=33-a . ∴B 1G= B 1F +FG=()3333-+=a a m . ∴33322=-+a m ，即点B 1的纵坐标为33322-+m ，m 的取值范围为1537≤≤m . 【考点】轴对称问题；矩形和平行四边形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定和性质；含30度直角三角形的性质；点的坐标；分类思想的应用.【分析】（1）①直接根据矩形的性质得到点B 的坐标.②过点P 作PD ⊥OA 于点D ，证明△PB 1D ∽△B 1QA ，得到B 1A 的长，从而得到OB 1的长，进而得到点B 1的坐标.（2）分点B 1在线段FE 的延长线上和点B 1在线段EF （点E 、F 除外）上两种情况讨论即可.17. （2015年浙江台州12分）如图，在多边形ABCDE 中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，ED=3，过点E 作EF ∥CB 交AB 于点F ，FB=1，过AE 上的点P 作PQ ∥AB 交线段EF 于点O ，交折线BCD 于点Q ，设AP=x ，⋅PO OQ =y .（1）①延长BC 交ED 于点M ，则MD = ▲ ，DC = ▲②求y 关于x 的函数解析式；（2）当1(0)2a x a ≤≤>时，96a y b ≤≤，求a ，b 的值；（3）当13y ≤≤时，请直接写出x 的取值范围.【答案】解：（1）①2；1.②∵=AP x ，∴2=-EP x . 在V Rt AEF 中，4tan 22∠===AF AEF AE ， ∴tan 2(2)24=⋅∠=⨯-=-+PO PE AEF x x ∵90∠=∠=︒A AED ，∴AB DE P . ∵PQ AB P ，∴PQ ED P ．当01<≤x 时，如答图1所示， ∵EF CB P ，PQ AB P ，∴四边形OFBQ 是平行四边形．∴1==OQ FB . ∴(24)124=⋅=-+⨯=-+y PO OQ x x ．当12<≤x 时，如答图2所示， ∵90∠=∠=︒AED D ，∴AE CD P ． ∵PQ ED P ，∴四边形DEPQ 是矩形． ∴3(24)21=--+=-OQ x x ．∴2(24)(21)4104=⋅=-+⋅-=-+-y PO OQ x x x x ．∴()()22401410412-+<≤⎧⎪=⎨-+-<≤⎪⎩x x y x x x （2）∵当()102≤≤>a x a 时，24y x =-+，∴42yx -=.由12a x ≤≤得，4122y a -≤≤，解得342y a ≤≤-.∵当1(0)2a x a ≤≤>时，96a y b ≤≤，∴93642a b a =⎧⎨=-⎩，解得1359a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴15,39a b ==. （3）15524+≤≤x . 【考点】由实际问题列函数关系式（几何问题）；平行四边形、矩形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；方程组和不等式组的应用；分类思想和数形结合思想的应用. 【分析】（1）①如答图1，延长BC 交ED 于点M ，则∵∠A =∠AED =90°，∴ED ∥AB .∵EF ∥CB ，∴四边形FBM E 是平行四边形. ∴EM =FB =1. ∵ED =3，∴MD =2. ∵△AFE ∽△DEC ，且21512==-AE AF ，∴DC =1. ②分01<≤x 和12<≤x 两种情况求y 关于x 的函数解析式. （2）由（1）得到的24y x =-+，化为42yx -=代入12a x ≤≤，解出342y a ≤≤-，结合已知条件得到关于a ，b 的方程组求解即可.（3）y 关于x 的函数图象如答图3，当13y ≤≤时，15524+≤≤x.18. （2015年浙江台州14分）定义：如图1，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点.（1）已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，若AM =2，MN =3，求BN 的长；（2）如图2，在△ABC 中，FG 是中位线，点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，连接AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ，求证：点M ，N 是线段FG 的勾股分割点；（3）已知点C 是线段AB 上的一定点，其位置如图3所示，请在BC 上画一点D ，使C ，D 是线段AB 的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；（4）如图4，已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，MN >AM ≥BN ，△AMC ，△MND 和△NBM 均是等边三角形，AE 分别交CM ，DM ，DN 于点F ，G ，H ，若H 是DN 的中点，试探究∆AMF S ，∆BEN S 和四边形MNHG S 的数量关系，并说明理由.【答案】解：（1）∵点M ，N 是线段AB 的勾股分割点， AM =2，MN =3，∴若MN 为斜边，则222=+MN AM BN ，即22232=+BN ，解得5=BN . 若BN 为斜边，则222=+BN AM MN ，即22223=+BN ，解得13=BN . ∴BN 的长为5或13.（2）证明：∵点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，∴222=+EC DE BD .∵在△ABC 中，FG 是中位线，AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ， ∴F M 、MN 、NG 分别是△ABD 、△ADE 、△AEC 的中位线. ∴BD =2FM ，DE =2MN ，EC =2NG .∴()()()222222=+NG MN FM ，即222444=+NG MN FM . ∴222=+NG MN FM .∴点M ，N 是线段FG 的勾股分割点. （3）如答图1，C ，D 是线段AB 的勾股分割点.QPNM E（4）+=△△四边形AMF BEN MNHG S S S .理由如下：设=AM a ，=BN b ，=MN c ， ∵H 是DN 的中点，∴12==DH HN c . ∵△MND ，△BNE 均为等边三角形，∴60∠=∠=︒D DNE .∵∠=∠DHG NHE ，∴△DGH ≌△NEH .∴==DG EN b .∴=-MG c b . ∵∥GM EN ，∴△AGM ∽△AEN . ∴-=+c b ab a c.∴22=-+c ab ac bc . ∵点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，∴222=+c a b .∴2()()-=-a b b a c ，又∵-≠b a c .∴=a b .在△DGH 和△CAF 中，∠=∠D C ，=DG CA ，∠=∠DGH CAF ， ∴△DGH ≌△CAF . ∴=△△DGH CAF S S .∵222=+c a b ，∴222333444=+c a b . ∴=+△△△DMN ACM ENB S S S .∵=+△△四边形DMN DGH MNHG S S S ，=+△△△ACM CAF AMF S S S ， ∴+=△△四边形AMF BEN MNHG S S S .【考点】新定义和阅读理解型问题；开放型和探究型问题；勾股定理；三角形中位线定理；尺规作图（复杂作图）；等边三角形的性质；全等、相似三角形的判定和性质；分类思想和数形结合思想的应用. 【分析】（1）根据定义，分MN 为斜边和BN 为斜边两种情况求解即可.（2）判断FM 、MN 、NG 分别是△ABD 、△ADE 、△AEC 的中位线后代入222=+EC DE BD 即可证明结论.（3）①过点C 作AB 的垂线MN ，②在MN 截取CE =CA ；③连接BE ，作BE 的垂直平分线PQ 交AB 于点D . 则点C ，D 是线段AB 的勾股分割点.（作法不唯一）（4）首先根据全等、相似三角形的判定和性质证明△AMC 和△NBM 是全等的等边三角形，再证明+=△△四边形AMF BEN MNHG S S S .19. （2015年浙江温州12分）如图，抛物线x x y 62+-=交x 轴正半轴于点A ，顶点为M ，对称轴NB 交x 轴于点B ，过点C （2，0）作射线CD 交MB 于点D （D 在x 轴上方），OE ∥CD 交MB 于点E ，EF ∥x 轴交CD 于点F ，作直线MF. （1）求点A ，M 的坐标；（2）当BD 为何值时，点F 恰好落在该抛物线上？（3）当BD=1时，①求直线MF 的解析式，并判断点A 是否落在该直线上；②延长OE 交FM 于点G ，取CF 中点P ，连结PG ，△FPG ，四边形DEGP ，四边形OCDE 的面积分别记为S 1，S 2，S 3，则S 1:S 2:S 3= ▲。

2015年中考数学压轴题精选(二次函数)(16题)-附详细解答和评分标准

1、（10广东茂名25题）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x 2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5．（1）求b 、c 的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）解：2、（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）（第25题图）x已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由. 3、（08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4、（08辽宁12市26题）（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线x第26题图x2(0)y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．5、（08青海西宁28题）如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 6、（08山东济宁26题）（12分）ABC △中，90C ∠=，60A ∠=，2AC =cm ．长为1cm的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB的图14垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ．（1）若AMP △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；（3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？7、（08四川巴中30题）（12分）30．已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式．（2）求ABC △的面积．，重合），同时，点N在射线BC （3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A B△的面积S与t的函数关系式，并上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出MNB△的面积最大，最大面积是多少？求出点M运动多少时间时，MNB Array8、（08新疆自治区24题）（10分）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？9、（08广东梅州23题）23．本题满分11分．如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使 PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）10、（08广东中山22题）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图10，若以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向x轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.11、（08湖北十堰25题）已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．∴．x x y 3332332++-= ………………5分 ⑶存在．……………………………6分理由：如图，连接AC 、BC ．设点M 的坐标为),(y x M ．①当以AC 或BC 为对角线时，点M 在x 轴上方，此时CM ∥AB ，且CM ＝AB ．由⑵知，AB ＝4，∴|x|＝4，3==OC y ．DCAE图9∴x ＝±4．∴点M 的坐标为)3,4()3,4(-或M ．…9分说明：少求一个点的坐标扣1分．②当以AB 为对角线时，点M 在x 轴下方．过M 作MN ⊥AB 于N ，则∠MNB ＝∠AOC ＝90°．∵四边形AMBC 是平行四边形，∴AC ＝MB ，且AC ∥MB ．∴∠CAO ＝∠MBN ．∴△AOC ≌△BNM ．∴BN ＝AO ＝1，MN ＝CO． ∵OB ＝3，∴0N ＝3－1＝2．∴点M的坐标为(2,M ． ……………………………12分说明：求点M 的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点M 的坐标的方法均可，请参照给分．综上所述，坐标平面内存在点M ，使得以点A 、B 、C 、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为123((2,M M M -．说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。

2015年中考数学压轴题答案及解析(全国通用)

2015年中考数学压轴题答案及解析（全国通用）1、某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？2、如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C，对称轴为直线l：，该抛物线与x轴的另一个交点为B．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．3、如图①，直线l:与x,y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线.（1）若l:,则P表示的函数解析式为，若P:，则l表示的函数解析式为 .（2）求P的对称轴（用含m,n的代数式表示）；（3）如图②，若l:，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上.当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l:，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM.若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式.（图①）（图②）（图③）4、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．5、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．6、已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．（1）求点P的坐标；（2）求抛物线解析式；（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．7、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．8、如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．（1）求线段DE的长；（2）设过E的直线与抛物线相交于M（x1，y1），N（x2，y2），试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．9、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G．（1）若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形；（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．10、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．11、如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．12、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与轴相交于点E(8, 0 ), 抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P（m, 0）是线段OE上一动点，连结PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连结BC和AD.(1)求抛物线的解析式；(2)求点C的坐标(用含m的代数式表示)；(3)当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标.13、如图，直线y=﹣x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．（1）写出A，B两点的坐标；（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．14、如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．（1）求证：△PCD是等腰三角形；（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．15、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A（0，2），D（2，2），AB=2，连接AC．（1）求出直线AC的函数解析式；（2）求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；（3）在抛物线上有一点P（m，n）（n＜0），过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标．16、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．(1)A的坐标，∠AOB= 。

中考数学压轴题60例(选择题)

中考数学压轴题60例（选择题）一、选择题（共60小题）1．（2015•遵义）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）B2．（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC 上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）3．（2015•自贡）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC 上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）﹣4．（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下的一个根，那么5．（2015•镇江）如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，=k．已知关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，在以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则k•t的值等于（）B6．（2015•枣庄）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（）7．（2015•岳阳）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C 作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）8．（2015•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）9．（2015•盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）B10．（2015•烟台）如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边CD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（）．．11．（2015•雅安）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）12．（2015•宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P在反比例函数y=的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）13．（2015•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）14．（2015•西宁）如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）15．（2015•武汉）如图，△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（）﹣+1 ﹣1 16．（2015•无锡）如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为（）B17．（2015•潍坊）已知二次函数y=ax 2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac=0；③a ＞2；④4a ﹣2b+c ＞0．其中正确结论的个数是（）18．（2015•天水）如图，AB 为半圆所在⊙O 的直径，弦CD 为定长且小于⊙O 的半径（C 点与A 点不重合），CF ⊥CD 交AB 于点F ，DE ⊥CD 交AB 于点E ，G 为半圆弧上的中点．当点C 在上运动时，设的长为x ，CF+DE=y ．则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）B19．（2015•泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，则图中全等三角形的对数是（）20．（2015•遂宁）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b ＞0；②abc ＜0；③b 2﹣4ac ＞0；④a+b+c ＜0；⑤4a ﹣2b+c ＜0，其中正确的个数是（）21．（2015•绥化）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，且∠ADC=60°，AB=BC ，连接OE ．下列结论：①∠CAD=30°；②S ▱ABCD =AB •AC ；③OB=AB ；④OE=BC ，成立的个数有（）22．（2015•十堰）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF 的长为（）23．（2015•日照）如图是抛物线y 1=ax 2+bx+c （a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2=mx+n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a+b=0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1，其中正确的是（）2B25．（2015•庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，作△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，再作△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，如此作下去，则△B 2n A 2n+1B 2n+1（n 是正整数）的顶点A 2n+1的坐标是（））），，26．（2015•钦州）如图，AD 是△ABC 的角平分线，则AB ：AC 等于（）27．（2015•齐齐哈尔）如图，在钝角△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ，EM 平分∠AEB 交AB 于点M ，取BC 中点D ，AC 中点N ，连接DN 、DE 、DF ．下列结论：①EM=DN ；②S △CDN =S 四边形ABDN ；③DE=DF ；④DE ⊥DF ．其中正确的结论的个数是（）28．（2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD ，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点N 从点A 出发以每秒3个单位长度的速度沿A →D →C →B 的路径向点B 运动，当一个点到达点B 时，另一个点也随之停止运动，设△AMN 的面积为s ，运动时间为t 秒，则能大致反映s 与t 的函数关系的图象是（）B29．（2015•宁德）如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3…都在x 轴上，点B 1，B 2，B 3…都在直线y=x 上，△OA 1B 1，△B 1A 1A 2，△B 2B 1A 2，△B 2A 2A 3，△B 3B 2A 3…都是等腰直角三角形，且OA 1=1，则点B 2015的坐标是（）30．（2015•内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=与正方形ABCD 有公共点，则k的取值范围为（）31．（2015•南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC 于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）32．（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）33．（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是34．（2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物35．（2015•牡丹江）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，以下结论：（1）∠DBM=∠CDE；（2）S△BDE＜S四边形BMFE；（3）CD•EN=BN•BD；（4）AC=2DF．其中正确结论的个数是（）36．（2015•梅州）对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个37．（2015•辽阳）如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为（）38．（2015•凉山州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0②当﹣1≤x≤3时，y＜0③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2④9a+3b+c=0其中正确的是（）39．（2015•连云港）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（）40．（2015•莱芜）如图，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D 的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2=y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）B41．（2015•酒泉）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P 与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF 的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）B42．（2015•荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s 的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）．．43．（2015•荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）44．（2015•济南）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）＜﹣＜﹣45．（2015•黄石）如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（）B46．（2015•黑龙江）如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）47．（2015•菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）））﹣，48．（2015•河南）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）49．（2015•河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）50．（2015•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）51．（2015•河北）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）52．（2015•桂林）如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA 方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（）53．（2015•广元）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）B54．（2015•抚顺）如图，将矩形ABCD 绕点A 旋转至矩形AB ′C ′D ′位置，此时AC 的中点恰好与D 点重合，AB ′交CD 于点E ．若AB=3，则△AEC 的面积为（）55．（2015•鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（）（））56．（2015•滨州）如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y=﹣、y=的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 的大小的变化趋势为（）57．（2015•本溪）如图，在△ABC中，∠C=90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是（）B58．（2015•巴彦淖尔）如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（）EBC=y=t59．（2015•眉山）如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D 点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）B60．（2015•徐州）若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（）2015年全国中考数学压轴题60例（选择题卷）参考答案与试题解析一、选择题（共60小题）1．（2015•遵义）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）B，再根据直角三角形的性质便可求出OA﹣x=的内切圆半径为：2．（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC 上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）3．（2015•自贡）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC 上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）﹣=2﹣4．（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）的一个根，那么＞＞c+b+a=0是方程5．（2015•镇江）如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，=k．已知关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，在以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则k•t的值等于（）B（n=的图象只的图象经过点的图象经过点是位似图形，的二元一次方程n=n=，可得的图象经过点的图象经过点6．（2015•枣庄）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（）的对称点的坐标，根据对称轴即可判断，x=7．（2015•岳阳）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C 作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）与相等，与不能确定相等，所以8．（2015•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）AOB=AOB=∠9．（2015•盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是（）B10．（2015•烟台）如图，Rt △ABC 中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG 的一边CD 在直线AB 上，且点D 与点A 重合，现将正方形DEFG 沿A ﹣B 的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（）．．时；2×=4××AH=时，=﹣t2t+12[°]2]°[]t+2+6×tt+2t+4t222611．（2015•雅安）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）正确，====，==MF12．（2015•宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P在反比例函数y=的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（））））y=，所以此）））（）得，所以此时（13．（2015•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（），，则可对＜，所以14．（2015•西宁）如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）x=4x解：正方形的边长为x x=2xy=x﹣15．（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF 的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）﹣+1 ﹣1，，==OM=AC=1OM=16．（2015•无锡）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）BCE=EF=ED=AE，在ACCE=，EF=，=，F=．17．（2015•潍坊）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）==18．（2015•天水）如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径（C 点与A点不重合），CF⊥CD交AB于点F，DE⊥CD交AB于点E，G为半圆弧上的中点．当点C在上运动时，设的长为x，CF+DE=y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）B19．（2015•泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）20．（2015•遂宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（）的右侧得到﹣﹣＞，21．（2015•绥化）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）AB=BCAB=OE=BCAB=BCAB=BDABBC22．（2015•十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（），，CE=3BE==EF====2，23．（2015•日照）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）=12B﹣﹣25．（2015•庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，作△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，再作△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，如此作下去，则△B 2n A 2n+1B 2n+1（n 是正整数）的顶点A 2n+1的坐标是（））），，，，=，﹣﹣（﹣，，=，﹣的纵坐标是，26．（2015•钦州）如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（）角形的性质可有，而利用=，=，27．（2015•齐齐哈尔）如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（）；然后判断出EM=DN= S SDM=DN=EM=DN=DN=SS；，DM=，；，∠DM=，DM=FN=28．（2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN的面积为s，运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的图象是（）Bs=AM AN=3t=t s=AM1ts=AM BN=t+29．（2015•宁德）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（），。

中考数学压轴题60例(填空题)

中考数学压轴题60例（填空题）一、填空题（共60小题）1．（2015•株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S=a+﹣1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是．2．（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A 作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．3．（2015•岳阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．4．（2015•永州）设a n为正整数n4的末位数，如a1=1，a2=6，a3=1，a4=6．则a1+a2+a3+…+a2013+a2014+a2015=．5．（2015•义乌市）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm．（1）开始注水1分钟，丙的水位上升cm．（2）开始注入分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm．6．（2015•宿迁）当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则x=m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为．7．（2015•孝感）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是．8．（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．9．（2015•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）10．（2015•潍坊）正比例函数y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B，AM⊥y轴，垂足为M．若△AMB的面积为8，则满足y1＞y2的实数x的取值范围是．11．（2015•十堰）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是．（只填写序号）12．（2015•深圳）如图，已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k=．13．（2015•上海）已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC 的延长线于点E，那么线段DE的长等于．14．（2015•齐齐哈尔）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1，tan∠ABD=，则CD 的长为．15．（2015•盘锦）如图，直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=（k≠0）上的点D1处，则a=．16．（2015•南宁）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．17．（2015•南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1=，则y2与x的函数表达式是．18．（2015•眉山）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的番号）．19．（2015•聊城）如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、P n，把△ABC分成个互不重叠的小三角形．20．（2015•乐山）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为．（2）若点P在函数y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，则实数a的取值范围是．21．（2015•莱芜）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M（1，﹣1），过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在x轴的正半轴上取一点P（t，0），过点P作直线OM的垂线l．若点N关于直线l的对称点在此反比例函数的图象上，则t=．22．（2015•荆门）如图，点A1，A2依次在y=（x＞0）的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上．若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为．23．（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（6，2），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则第4个正方形的边长是，S3的值为．24．（2015•湖北）在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为．25．（2015•葫芦岛）如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n﹣1的面积为．26．（2015•河南）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．27．（2015•广元）从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中抽取一个数，作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．28．（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．29．（2015•鄂州）如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．30．（2015•东营）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2015的坐标是．31．（2015•德阳）下列四个命题中，正确的是（填写正确命题的序号）①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；②函数y=（1﹣a）x2﹣4x+6与x轴只有一个交点，则a=；③半径分别为1和2的两圆相切，则两圆的圆心距为3；④若对于任意x＞1的实数，都有ax＞1成立，则a的取值范围是a≥1．32．（2015•丹东）如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA1的长为1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△A n A n+1B n均为等边三角形，点A1、A2、A3…A n+1在x轴的正半轴上依次排列，点B1、B2、B3…B n在直线OD上依次排列，那么点B n的坐标为．33．（2015•大连）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，3），（3m﹣1，3），若线段AB与直线y=2x+1相交，则m的取值范围为．34．（2015•成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（写出所有正确说法的序号）①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c 上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．35．（2015•滨州）某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．36．（2015•本溪）在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE 与△ABC相似，且S△ADE：S四边形BCED=1：8，则AD=cm．37．（2015•北海）如图，直线y=﹣2x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，T n﹣1，用S1，S2，S3，…，S n﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△T n P n﹣2P n﹣1的面积，则当n=2015时，S1+S2+S3+…+S n﹣1=．﹣138．（2015•安顺）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，AF=2，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．39．（2015•遵义）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为cm2．40．（2015•资阳）已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A 在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．41．（2015•南昌）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．42．（2015•牡丹江）矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为．43．（2015•南充）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ=1；②=；③S△PDQ=；④cos∠ADQ=，其中正确结论是（填写序号）44．（2015•凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．45．（2015•黄冈）在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC 的面积为cm2．46．（2015•宁德）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=．47．（2015•攀枝花）如图，若双曲线y=（k＞0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为．48．（2015•青岛）如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为．49．（2015•庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）50．（2015•张家界）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，tan∠BAC=，CD=3，则AC=．51．（2015•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB 沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为．52．（2015•烟台）如图，直线l：y=﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m 的值为．53．（2015•无锡）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于．54．（2015•通辽）如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为．55．（2015•陕西）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是．56．（2015•丽水）如图，反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．（1）k的值为．（2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是．57．（2015•黑龙江）正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点．若△PBE是等腰三角形，则腰长为．58．（2015•杭州）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=．59．（2015•贵阳）小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是．60．（2015•恩施州）如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于．2015年全国中考数学压轴题60例（填空题卷）参考答案与试题解析一、填空题（共60小题）1．（2015•株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S=a+﹣1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是a，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是17.5．考点：规律型：图形的变化类．专题：压轴题；新定义．分析：分别找到图1中图形内的格点数和图形上的格点数后与公式比较后即可发现表示图上的格点数的字母，图2中代入有关数据即可求得图形的面积．解答：解：如图1，∵三角形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4，即4=1+﹣1；矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6，即6=2+﹣1；∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是a；图2中，a=15，b=7，故S=15+﹣1=17.5．故答案为：a，17.5．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图形外格点的数目，难度不大．2．（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A 作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为1．考点：二次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短；矩形的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．解答：解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD的最小值为1．故答案为1．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．3．（2015•岳阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是③④．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．考点：二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴结论③正确；∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．点评：（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．（2）此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．4．（2015•永州）设a n为正整数n4的末位数，如a1=1，a2=6，a3=1，a4=6．则a1+a2+a3+…+a2013+a2014+a2015=6652．考点：尾数特征．专题：压轴题；规律型．分析：正整数n4的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十个一循环，先求出2015÷10的商和余数，再根据商和余数，即可求解．解答：解：正整数n4的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十个一循环，1+6+1+6+5+6+1+6+1+0=33，2015÷10=201…5，33×201+（1+6+1+6+5）=6633+19=6652．故a1+a2+a3+…+a2013+a2014+a2015=6652．故答案为：6652．点评：考查了尾数特征，本题关键是得出正整数n4的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十个一循环．5．（2015•义乌市）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm．（1）开始注水1分钟，丙的水位上升cm．（2）开始注入或分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm．考点：一元一次方程的应用．专题：压轴题．分析：（1）由甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升cm，得到注水1分钟，丙的水位上升cm；（2）设开始注入t分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有两种情况：①甲的水位不变时，②乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别列方程求解即可．解答：解：（1）∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，∵注水1分钟，乙的水位上升cm，∴得到注水1分钟，丙的水位上升cm×4=cm；（2）设开始注入t分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有两种情况：①甲的水位不变时；由题意得，t﹣1=0.5，解得：t=，∵×=6＞5，∴此时丙容器已向乙容器溢水，∵5÷=分钟，×=，即经过分钟时丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升，∴+2×（t﹣）﹣1=0.5，解得：t=；②当乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，∵乙的水位到达管子底部的时间为；+（5﹣）÷÷2=分钟，∴5﹣1﹣2×（t﹣）=0.5，解得：t=，综上所述开始注入或分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm．故答案为cm；或．点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．6．（2015•宿迁）当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则x=m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为3．考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：压轴题．分析：设y=x2﹣2x+3由当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，得到抛物线的对称轴等于=﹣，求得m+n=2，再把m+n=2代入即可求得结果．解答：解：设y=x2﹣2x+3，∵当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，∴=﹣，∴m+n=2，∴当x=m+n时，即x=2时，x2﹣2x+3=（2）2﹣2×（2）+3=3，故答案为：3．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记抛物线的对称轴公式是解题的关键．7．（2015•孝感）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是①④⑤．考点：几何变换综合题．专题：压轴题．分析：①首先根据EF垂直平分AB，可得AN=BN；然后根据折叠的性质，可得AB=BN，据此判断出△ABN为等边三角形，即可判断出∠ABN=60°．②首先根据∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，求出∠ABM=∠NBM=30°；然后在Rt△ABM中，根据AB=2，求出AM的大小即可．③首先根据EF∥BC，QN是△MBG的中位线，可得QN=BG；然后根据BG=BM=，求出QN的长度即可．④根据∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，推得∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，即可推得△BMG是等边三角形．⑤首先根据△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，判断出BN⊥MG，即可求出BN的大小；然后根据E点和H点关于BM称可得PH=PE，因此P与Q重合时，PN+PH=PN+PE=EN，据此求出PN+PH的最小值是多少即可．解答：解：如图1，连接AN，∵EF垂直平分AB，∴AN=BN，根据折叠的性质，可得AB=BN，∴AN=AB=BN．∴△ABN为等边三角形．∴∠ABN=60°，∠PBN=60°÷2=30°，即结论①正确；∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，∴AM=，即结论②不正确．∵EF∥BC，QN是△MBG的中位线，∴QN=BG；∵BG=BM=，∴QN=，即结论③不正确．∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°，∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°，∴∠BGM=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG为等边三角形，即结论④正确．∵△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，∴BN⊥MG，∴BN=BG•sin60°=，根据条件易知E点和H点关于BM对称，∴PH=PE，∴P与Q重合时，PN+PH的值最小，此时PN+PH=PN+PE=EN，∵EN==，∴PN+PH=，∴PN+PH的最小值是，即结论⑤正确．故答案为：①④⑤．点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了等边三角形的判定和性质的应用，以及矩形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了折叠的性质和应用，以及余弦定理的应用，要熟练掌握．8．（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．考点：轴对称-最短路线问题．专题：压轴题．分析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值．解答：解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′==．故答案为．点评：本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．9．（2015•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是①③⑤．（填写正确结论的序号）考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．解答：解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＞0，故①正确；直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣=﹣1，可得b=2a，a﹣2b+4c=a﹣4a+2=﹣3a+2，∵a＜0，∴﹣3a＞0，∴﹣3a+2＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误；∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0），当x=﹣时，y=0，即，整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确；∵b=2a，a+b+c＜0，∴，即3b+2c＜0，故④错误；∵x=﹣1时，函数值最大，∴a﹣b+c＞m2a﹣mb+c（m≠1），∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正确；故答案为：①③⑤．点评：本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．10．（2015•潍坊）正比例函数y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B，AM⊥y轴，垂足为M．若△AMB的面积为8，则满足y1＞y2的实数x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：压轴题．分析：由反比例函数图象的对称性可得：点A和点B关于原点对称，再根据△AMB的面积为8列出方程×4n×2=8，解方程求出n的值，然后利用图象可知满足y1＞y2的实数x的取值范围．解答：解：∵正比例函数y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B，∴B（﹣n，﹣4）．∵△AMB的面积为8，∴×8×n=8，解得n=2，∴A（2，4），B（﹣2，﹣4）．由图形可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时，正比例函数y1=mx（m＞0）的图象在反比例函数y2=（k≠0）图象的上方，即y1＞y2．故答案为﹣2＜x＜0或x＞2．点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，三角形的面积，反比例函数的对称性，体现了数形结合的思想．11．（2015•十堰）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是③⑤．（只填写序号）考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题；数形结合．分析：根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0＜﹣＜，变形可得a+b＞0，则可对②进行判断；利用点A（﹣3，y1）和点B（3，y2）到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，两式相减得am2﹣a+bm+b=0，然后把等式左边分解后即可得到a（m﹣1）+b=0，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到＜c≤﹣1，变形得到b2﹣4ac＞4a，则可对⑤进行判断．解答：解：如图，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，。

2015年中考初中数学压轴题(有答案)

2015年1中考初中数学压轴题（有答案）一．解答题（共30小题）1．（2014•攀枝花）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D 两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q 为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．2．（2014•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为_________°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t 的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．3．（2014•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．4．（2014•上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP 为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．5．（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．6．（2014•漳州）阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）（1）【理解与应用】如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为_________．（2）【类比与推理】如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA 交BD于点F，求PE+PF的值；（3）【拓展与延伸】如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．7．（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC 相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．8．（2014•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．9．（2014•陕西）问题探究（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM 的长，若不存在，请说明理由．10．（2014•成都）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．（1）求证：△PAC∽△PDF；（2）若AB=5，=，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设=x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）11．（2014•宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．12．（2014•徐州）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．13．（2014•东昌府区三模）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O 是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．14．（2014•安徽模拟）阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB•r1+AC•r2=AB•h，∴r1+r2=h（1）理解与应用如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r 1，r2，r3，试证明：．（2）类比与推理边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于_________；（3）拓展与延伸若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…r n，请问r1+r2+…r n是否为定值（用含n 的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．15．（2014•安徽名校一模）如图△ABC中∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O 的切线．16．（2014•灌南县模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=10，AD=2，求AC的长．17．（2014•普陀区二模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过D作射线DE交AB边于E，使∠BDE=∠A，以D为圆心、DC的长为半径作⊙D．（1）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（2）当⊙D与AB边相切时，求BD的长．（3）如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD的长为多少时，⊙D与⊙E相切？18．（2014•江西模拟）如图，矩形ABCD的边AB=4，BC=3．一简易量角器放置在矩形ABCD内，其零度线即半圆O的直径与边AB重合，点A处是0刻度，点B处是180刻度．P点是量角器的半圆弧上一动点，过P点的切线与边BC、CD（或其延长线）分别交于点E、F．设点P的刻度数为n，∠PAB=α．（1）当n=136时，α=_________，求出α与n的关系式；（2）在P点的运动过程中，线段EB与EP有怎样的数量关系，请予证明；（3）在P点的运动过程中，F点在直线CD上的位置随着α的变化而变化，当F点在线段CD上时、在CD的延长线上时、在DC的延长线上时，对应的α值分别是多少？（参考数据：tan56.3°≈1.5）（4）连接BP，在P点的运动过程中，是否存在△ABP与△CEF相似的情况？若存在，求出此时n的值以及相应的EF的长；若不存在，请说明理由．19．（2014•广东一模）如图，正方形ABCD的边长是8cm，以正方形的中心O为圆心，EF为直径的半圆切AB于M、切BC于N，已知C为BG的中点，AG交CD于H．P，Q同时从A出发，P以1cm/s的速度沿折线ADCG运动，Q以cm/s的速速沿线段AG方向运动，P，Q中有一点到达终点时，整个运动停止．P，Q运动的时间记为t．（1）当t=4时，求证：△PEF≌△MEF；（2）当0≤t≤8时，试判断PQ与CD的位置关系；（3）当t＞8时，是否存在t使得=？若存在请求出所有t的值，若不存在，请说明理由．20．（2013•营口）如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若CD=1，AC=，求⊙O的半径长．21．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．22．（2013•曲靖）如图，⊙O的直径AB=10，C、D是圆上的两点，且．设过点D的切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．（1）求证：DF⊥AF．（2）求OG的长．23．（2013•德阳）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．（1）求证：PC=PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．24．（2013•贺州）已知：⊙O的直径为3，线段AC=4，直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M．（1）求证：点P是线段AC的中点；（2）求sin∠PMC的值．25．（2013•兰州）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN 于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．26．（2013•南宁）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．27．（2013•长沙）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．28．（2013•广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙0的切线．（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．29．（2013•沈阳）如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．（1）求证：ON是⊙A的切线；（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）30．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2014•攀枝花）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D 两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q 为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．AD=2，OA==2MH=OA=，OA= OCA==．2．（2014•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t 的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．AB=4CD=4DAC==，，，∴E==2=t==3t=2+﹣∴﹣﹣（=2+22+23．（2014•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．x+bxb b（bb﹣（FM=FG﹣（b b b 与﹣x+b的坐标为（bAB=bBAO==，MAO==，OM=b=﹣﹣﹣﹣与﹣∴，AO=∴即AP=，AB==，∴∴，y=，x=OM==，）4．（2014•上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP 为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．AC=AM=CM=，CP=CE==，EF=2=；∵cosB=，∴，即，CE==．5．（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．，OH=MH=，，，OH=MH=，OM==2OD=2OH=2，OE=5，，S=t=QF=，S=OP=2t=OQ=5S=6．（2014•漳州）阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）（1）【理解与应用】如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为．（2）【类比与推理】如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA 交BD于点F，求PE+PF的值；（3）【拓展与延伸】如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．，然后由条件EP+FP=．AC=2OA=．OA=OB=OC=OD=∴∴∴=1EP+FP=的值为∴∴∴7．（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC 相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．=﹣∴=．CP=CAHP=COHP=，，∴∴y=∴．∴．，∴．∴．OM=．，的坐标为（）或（AC=．×PE﹣∴．DP=）DE=DE面积的最小值为8．（2014•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．tt∴∴t=∴，，t=，tOQ=t∴∴，∴，，，（舍去）t=t=，t=2+9．（2014•陕西）问题探究（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM 的长，若不存在，请说明理由．==﹣BP=EF=BCBG=BQ=GQ+BG=3+3+ AP=PB=AB×OA=2OP=90．．OM=90，HM=OP=4545+30．+30＞4530﹣＜453010．（2014•成都）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．（1）求证：△PAC∽△PDF；（2）若AB=5，=，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设=x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围））证明：∵﹣=，则由BC=AC=2=2•=2•AO=AB= AP=∴∴PD=∴HBG=．=y=x11．（2014•宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．．∴∴．时，（x=y=（）；时，（时，y=）＜﹣时，（时，y=（2+=时，．＜＜12．（2014•徐州）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．=∴（）××BC BD．∴，∴（×∴．∴．∴．．．13．（2014•东昌府区三模）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O 是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．求出sinA=sinC===，即可求出半径．sinC=sinA=sinC=，sinA==，r=，的半径是14．（2014•安徽模拟）阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB•r1+AC•r2=AB•h，∴r1+r2=h（1）理解与应用如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r 1，r2，r3，试证明：．（2）类比与推理边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于4；（3）拓展与延伸若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…r n，请问r1+r2+…r n是否为定值（用含n 的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．，连接AD=∴BC AC BCr=+×∴++=（为定值）15．（2014•安徽名校一模）如图△ABC中∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O 的切线．16．（2014•灌南县模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=10，AD=2，求AC的长．ACD=∠∴∠=4=217．（2014•普陀区二模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过D作射线DE交AB边于E，使∠BDE=∠A，以D为圆心、DC的长为半径作⊙D．（1）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（2）当⊙D与AB边相切时，求BD的长．（3）如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD的长为多少时，⊙D与⊙E相切？=，﹣≤．∴，∴，即x．﹣）∴．BG=BC=3==4∴，解得；∴，即=1x x+6x=≤的长度为x 5+x=≤的长度为的长度是或18．（2014•江西模拟）如图，矩形ABCD的边AB=4，BC=3．一简易量角器放置在矩形ABCD内，其零度线即半圆O的直径与边AB重合，点A处是0刻度，点B处是180刻度．P点是量角器的半圆弧上一动点，过P点的切线与边BC、CD（或其延长线）分别交于点E、F．设点P的刻度数为n，∠PAB=α．（1）当n=136时，α=22°，求出α与n的关系式；（2）在P点的运动过程中，线段EB与EP有怎样的数量关系，请予证明；（3）在P点的运动过程中，F点在直线CD上的位置随着α的变化而变化，当F点在线段CD上时、在CD的延长线上时、在DC的延长线上时，对应的α值分别是多少？（参考数据：tan56.3°≈1.5）（4）连接BP，在P点的运动过程中，是否存在△ABP与△CEF相似的情况？若存在，求出此时n的值以及相应的EF的长；若不存在，请说明理由．POB=（n﹣DOA===1.5PB=×。

2015中考数学真题分类汇编：二次函数(压轴题)资料

26．（13分）（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．考点：二次函数综合题．分析：（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数；（2）分三种情况分别讨论根据已知条件，通过△OBE∽△ABF对应边成比例即可求得；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，进而得出AD⊥PH，得出DQ=DH，从而得出PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，因为当PM最大时，PH最大，通过求得PM的最大值，从而求得PH的最大值；由①可知：PD+PH≤6，设PD=a，则DQ﹣a，得出PD•DQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，当点P在抛物线的顶点时，a=3，得出PD•DQ≤18．解答：解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴抛物线的对称轴是x=2，∵直线y=x+m，∴直线与坐标轴的交点坐标为（﹣m，0），（0，m），∴交点到原点的距离相等，∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，故答案为x=2、45°．（2）设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延长线时，S△POQ=S△PAQ不成立；①当点B落在线段OA上时，如图①，==，由△OBE∽△ABF得，==，∴AB=3OB，∴OB=OA，由y=x2﹣4x得点A（4，0），∴OB=1，∴B（1，0），∴1+m=0，∴m=﹣1；②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，同理可得OB=OA=2，∴B（﹣2，0），∴﹣2+m=0，∴m=2，综上，当m=﹣1或2时，S△POQ=S△PAQ；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，∵∠CDQ=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，∴PH=PM，∴当PM最大时，PH最大，∴当点P在抛物线顶点出时，PM最大，此时PM=6，∴PH的最大值为6，即PD+DQ的最大值为6．②由①可知：PD+PH≤6，设PD=a，则DQ﹣a，∴PD•DQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，∵当点P在抛物线的顶点时，a=3，∴PD•DQ≤18．∴PD•DQ的最大值为18．点评：本题是二次函数的综合题，考查了抛物线的性质，直线的性质，三角形相似的判定和性质，难度较大．25．（10分）（2015•莆田）抛物线y=ax2+bx+c，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线y=x2﹣的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由“恒定”抛物线y=ax2+bx+c，得到b=a+c，即a﹣b+c=0，即可确定出抛物线恒过定点（﹣1，0）；（2）先求出抛物线y=x2﹣的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在两种情况：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2﹣，把点A坐标代入求出a的值即可；②顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+，把点C坐标代入求出a的值即可．解答：（1）证明：由“恒定”抛物线y=ax2+bx+c，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵抛物线y=ax2+bx+c，当x=﹣1时，y=0，∴“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A（﹣1，0）；（2）解：存在；理由如下：∵“恒定”抛物线y=x2﹣，当y=0时，x2﹣=0，解得：x=±1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0时，y=﹣，∴顶点P的坐标为（0，﹣），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在两种情况：①如图1所示：作QM⊥AC于M，则QM=OP=，∠QMC=90°=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵点A和点C是抛物线上的对称点，∴AM=MC=1，∴点Q的坐标为（﹣2，﹣），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=a（x+2）2﹣，把点A（﹣1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：y=（x+2）2﹣，即y═x2+4x+3；②如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，∴点C坐标为（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=ax2+，把点C（1，0）代入得：a=﹣，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+；综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：y=x2+4x+3，或y=﹣x2+．点评：本题是二次函数综合题目，考查了新定义“恒定”抛物线、用待定系数法求抛物线的解析式、全等三角形的判定与性质、抛物线的对称性、坐标与图形性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要作辅助线证明三角形全等求出点的坐标才能得出抛物线的解析式．26．（13分）（2015•泉州）阅读理解抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．考点：二次函数综合题；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：综合题；阅读型．分析：（1）如图1，只需令x=0，即可得到点C的坐标．根据题意可得AC=AE，从而有∠AEC=∠ACE．易证AE∥CO，从而有∠AEC=∠OCE，即可得到∠ACE=∠OCE，同理可得∠OCF=∠BCF，然后利用平角的定义即可证到∠ECF=90°；（2））①过点P作PH⊥EF于H，分点H在线段EF上（如图2①）和点H在线段EF的延长线（或反向延长线）上（如图2②）两种情况讨论，然后只需运用勾股定理及平方差公式即可证到PE2+PF2﹣2PM2=2EM2，即PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②连接CD，PM，如图3．易证▱CEDF是矩形，从而得到M是CD的中点，且MC=EM，然后根据①中的结论，可得：在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．由MC=EM可得PC2+PD2=PE2+PF2．根据PE=PF=3可求得PC2+PD2=18．根据1＜PD＜2可得1＜PD2＜4，即1＜18﹣PC2＜4，从而可求出PC的取值范围．解答：解：（1）当x=0时，y=k•0+1=1，则点C的坐标为（0，1）．根据题意可得：AC=AE，∴∠AEC=∠ACE．∵AE⊥EF，CO⊥EF，∴AE∥CO，∴∠AEC=∠OCE，∴∠ACE=∠OCE．同理可得：∠OCF=∠BCF．∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°，∴2∠OCE+2∠OCF=180°，∴∠OCE+∠OCF=90°，即∠ECF=90°；（2）①过点P作PH⊥EF于H，Ⅰ．若点H在线段EF上，如图2①．∵M为EF中点，∴EM=FM=EF．根据勾股定理可得：PE2+PF2﹣2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2=2PH2+EH2+HF2﹣2（PH2+MH2）=EH2﹣MH2+HF2﹣MH2=EM（EH+MH）+MF（HF﹣MH）=EM（EH+MH）+EM（HF﹣MH）=EM（EH+MH+HF﹣MH）=EM•EF=2EM2，∴PE2+PF2=2（PM2+EM2）；Ⅱ．若点H在线段EF的延长线（或反向延长线）上，如图2②．同理可得：PE2+PF2=2（PM2+EM2）．综上所述：当点H在直线EF上时，都有PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②连接CD、PM，如图3．∵∠ECF=90°，∴▱CEDF是矩形，∵M是EF的中点，∴M是CD的中点，且MC=EM．由①中的结论可得：在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．∵MC=EM，∴PC2+PD2=PE2+PF2．∵PE=PF=3，∴PC2+PD2=18．∵1＜PD＜2，∴1＜PD2＜4，∴1＜18﹣PC2＜4，∴14＜PC2＜17．∵PC＞0，∴＜PC＜．24．（12分）（2015•福建）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；（2）根据勾股定理，可得OA2、OB2、AB2的长，根据勾股定理的逆定理，可得∠OAB的度数，根据点到直线的距离的定义，可得答案；（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程②，根据相似三角形的性质，可得方程①③，根据解方程组，可得M点的坐标．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，将B点坐标代入函数解析式，得（5﹣1）2a﹣1=3，解得a=．故抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣1；（2）由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（5﹣1）2+（3+1）2=32，OA2+AB2=OB2，∴∠OAB=90°，O到直线AB的距离是OA=；（3）设M（a，b），N（a，0）当y=0时，（x﹣1）2﹣1=0，解得x1=3，x2=﹣1，D（3，0），DN=3﹣a．①当△MND∽△OAB时，=，即=，化简，得4b=a﹣3 ①M在抛物线上，得b=（a﹣1）2﹣1 ②联立①②，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣2，b=，M1（﹣2，），当△MND∽△BAO时，=，即=，化简，得b=12﹣4a ③，联立②③，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80，M2（﹣17，80）．综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（﹣2，），（﹣17，80）．点评：本题考查了二次函数综合题，（1）设成顶点式的解析式是解题关键，（2）利用了勾股定理及勾股定理的逆定理，点到直线的距离；（3）利用了相似三角形的性质，图象上的点满足函数解析式得出方程组是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．25．（14分）（2015•漳州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．（1）填空：点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4）；（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线与坐标轴交点坐标求法和顶点坐标求法计算即可；（2）求|PD﹣PC|的值最大时点P的坐标，应延长CD交x轴于点P．因为|PD﹣PC|小于或等于第三边CD，所以当|PC﹣PD|等于CD时，|PC﹣PD|的值最大．因此求出过CD两点的解析式，求它与x轴交点坐标即可；（3）过C点作CE∥x轴，交DB于点E，求出直线BD的解析式，求出点E的坐标，求出P′C′与BC 的交点M的坐标，分点C′在线段CE上和在线段CE的延长线上两种情况，再分别求得N点坐标，再利用图形的面积的差，可表示出S，再求得其最大值即可．解答：解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴C（0，3），D（1，4），故答案为：0；3；1；4；（2）∵在三角形中两边之差小于第三边，∴延长DC交x轴于点P，设直线DC的解析式为y=kx+b，把D、C两点坐标代入可得，解得，∴直线DC的解析式为y=x+3，将点P的坐标（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，如图1，点P（﹣3，0）即为所求；（3）过点C作CE∥x，交直线BD于点E，如图2，由法可求得直线BD的解析式为y=﹣2x+6，直线BC的解析式为y=﹣x+3，在y=﹣2x+6中，当y=3时，x=，∴E点坐标为（，3），设直线P′C′与直线BC交于点M，∵P′C′∥DC，P′C′与y轴交于点（0，3﹣t），∴直线P′C′的解析式为y=x+3﹣t，联立，解得，∴点M坐标为（，），∵B′C′∥BC，B′坐标为（3+t，0），∴直线B′C′的解析式为y=﹣x+3+t，分两种情况讨论：①当0＜t＜时，如图2，B′C′与BD交于点N，联立，解得，∴N点坐标为（3﹣t，2t），S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′=×6×3﹣（6﹣t）×（6﹣t）﹣t×2t=﹣t2+3t，其对称轴为t=，可知当0＜t＜时，S随t的增大而增大，当t=时，有最大值；②当≤t＜6时，如图3，直线P′C′与DB交于点N，立，解得，∴N点坐标为（，），S=S△BNP′﹣S△BMP′=（6﹣t）×﹣×（6﹣t）×=（6﹣t）2=t2﹣t+3；显然当＜t＜6时，S随t的增大而减小，当t=时，S=综上所述，S与t之间的关系式为S=，且当t=时，S有最大值，最大值为．点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形三边关系、平移的性质和二次函数的性质等知识点．在（1）中掌握二次函数的顶点式是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用t分别表示出E、M、N的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大．28．（12分）（2015•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用两根关系及|x2﹣x1|=5，对式子合理变形，求b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c，经过点A（0，﹣4），∴c=﹣4又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的两个根，∴x1+x2=b，x1x2=6由已知得（x2﹣x1）2=25又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=b2﹣24∴b2﹣24=25解得b=±，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=﹣．（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣（x+）2+，∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点D．（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与抛物线y=﹣x2﹣x﹣4的交点，∴当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4，∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上点评：本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法．28．（10分）（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x ﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB 的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．解答：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），把点A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，∴y=x﹣，∵点P的横坐标为3，∴y=×3﹣=，∴P（3，）．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4，把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4），此时：NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NG•OC=×（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时，△CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，∴N（，﹣3）．点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．28．（12分）（2015•兰州）已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．（1）求二次函数y=ax2的解析式；（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．①当m=时（图①），求证：△AOB为直角三角形；②试判断当m≠时（图②），△AOB的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）考点：二次函数综合题．分析：（1）把点（2，1）代入可求得a的值，可求得抛物线的解析式；（2）①可先求得A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，结合条件可证明△ACO∽△ODB，可证明∠AOB=90°，可判定△AOB为直角三角形；②可用m分别表示出A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，表示出AC、BD的长，可证明△ACO∽△ODB，结合条件可得到∠AOB=90°，可判定△AOB为直角三角形；（3）结合（2）的过程可得到△AOB恒为直角三角形等结论．解答：（1）解：∵y=ax2过点（2，1），∴1=4a，解得a=，∴抛物线解析式为y=x2；（2）①证明：当m=时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，1），B（8，16），分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，如图1，∴AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，∴==，且∠ACO=∠ODB，∴△ACO∽△ODB，∴∠AOC=∠OBD，又∵∠OBD+∠BOD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，∴△AOB为直角三角形；②解：△AOB为直角三角形．证明如下：当m≠时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，∴A（2m﹣2，（m﹣）2），B（2m+2，（m+）2），分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，如图2，∴AC=（m﹣）2，OC=﹣（2m﹣2），BD=（m+）2，OD=2m+2，∴==，且∠ACO=∠ODB，∴△ACO∽△OBD，∴∠AOC=∠OBD，又∵∠OBD+∠BOD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，∴△AOB为直角三角形；（3）解：由（2）可知，一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的交点为A、B，则△AOB恒为直角三角形．（答案不唯一）．点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角的判定和性质、直角三角形的判定等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意表示出A、B两点的坐标，构造三角形相似是解题的关键，在（3）中答案不唯一，可结合（2）的过程得出．本题知识点较多，综合性很强，难度较大．26．（12分）（2015•天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x 轴，交于M点，根据直线AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后的解析式，进而求得与x轴的交点，与直线AC的交点，即可证得结论；（3）如答图3所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．解答：解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）∴点B的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，∴，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=﹣x2+2x﹣1．（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x 轴，交于M点，∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），∴直线AC的解析式为y=x﹣1，∵直线的斜率为1，∴△P′PM是等腰直角三角形，∵PP′=，∴P′M=PM=1，∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，∵y=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣2）2+1，∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+2，令y=0，则0=﹣（x﹣3）2+2，解得x1=1，x=52，∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），解，得或∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP=FQ．∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′==2．∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2．点评：本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称﹣最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．28．（10分）（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x ﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB 的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．解答：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），把点A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，∴y=x﹣，∵点P的横坐标为3，∴y=×3﹣=，∴P（3，）．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4，把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4），此时：NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NG•OC=×（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时，△CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，∴N（，﹣3）．点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．24．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．解答：解：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．25．（14分）（2015•广州）已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t上．（1）求点C的坐标；（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O，C两点间的距离为3求出即可；（2）分别利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，﹣3），即c=﹣3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；（3）利用①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，得出y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x ﹣1+n）2﹣4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值．解答：解：（1）令x=0，则y=c，故C（0，c），∵OC的距离为3，∴|c|=3，即c=±3，∴C（0，3）或（0，﹣3）；（2）∵x1x2＜0，∴x1，x2异号，①若C（0，3），即c=3，把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=3，即t=3，∴y2=﹣3x+3，把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，则﹣3x1+3=0，即x1=1，∴A（1，0），∵x1，x2异号，x1=1＞0，∴x2＜0，∵|x1|+|x2|=4，∴1﹣x2=4，解得：x2=﹣3，则B（﹣3，0），代入y1=ax2+bx+3得，，解得：，∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，则当x≤﹣1时，y随x增大而增大．②若C（0，﹣3），即c=﹣3，把C（0，﹣3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=﹣3，即t=﹣3，∴y2=﹣3x﹣3，把A（x1，0），代入y2=﹣3x﹣3，则﹣3x1﹣3=0，即x1=﹣1，∴A（﹣1，0），∵x1，x2异号，x1=﹣1＜0，∴x2＞0∵|x1|+|x2|=4，∴1+x2=4，解得：x2=3，则B（3，0），代入y1=ax2+bx+3得，，解得：，∴y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则当x≥1时，y随x增大而增大，综上所述，若c=3，当y随x增大而增大时，x≤﹣1；若c=﹣3，当y随x增大而增大时，x≥1；（3）①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，则当x≤﹣1﹣n时，y随x增大而增大，y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x+3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=﹣1﹣n，y3≥y4，即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，解得：n≤﹣1，∵n＞0，∴n≤﹣1不符合条件，应舍去；②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4，即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1，综上所述：n≥1，2n2﹣5n=2（n﹣）2﹣，∴当n=时，2n2﹣5n的最小值为：﹣．点评：此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及二次函数增减性等知识，利用分类讨论得出n 的取值范围是解题关键．23．（2015•深圳）如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标；（3）可先求得△FBC的面积，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，可求得FQ的长，可设出F 点坐标，表示出B点坐标，从而可表示出FQ的长，可求得F点坐标．解答：解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，（2）存在，当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，设P（﹣1，m），则PM=PD•sin∠ADE=（4﹣m），PE=m，∵PM=PE，∴（4﹣m）=m，m=﹣1，∴P点坐标为（﹣1，﹣1）；当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，设P（﹣1，n），则PN=PD•sin∠ADE=（4﹣n），PE=﹣n，∵PM=PE，∴（4﹣n）=﹣n，n=﹣﹣1，∴P点坐标为（﹣1，﹣﹣1）；综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；（3）∵S△EBC=3，2S△FBC=3S△EBC，∴S△FBC=，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，如图3，∵S△FBC=FQ•OB=FQ=，∴FQ=9，∵BC的解析式为y=﹣3x+3，设F（x0，﹣x02﹣2x0+3），∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9，解得：x0=或（舍去），∴点F的坐标是（，）．点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、角平分线的性质、三角函数、三角形面积等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意分点P在∠DAB的角平分线上和在外角的平分线上两种情况，在（3）中求得FQ的长是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性很强，难度适中．22．（9分）（2015•珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．（1）求证：△ABD∽△ODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题．。