高中新课程数学(新课标人教B版)必修一《3.2.3指数函数与对数函数的关系》课件
人教B版高中数学必修一《3.2.3 指数函数与对数函数的关系》_7
3.1.2.指数函数教学设计一、教材的地位和作用本节课的内容是高中数学必修一第三章第三节“指数函数”的第一课时——指数函数的定义，图像及性质。
新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。
因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。
二、教学目标知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。
过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。
领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。
情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
三、教学重点、难点：教学重点：指数函数的概念、图象和性质。
指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一。
作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础；同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。
教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。
指数函数是学生完全陌生的一类函数, 对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题。
四、学情分析：学生已经学习了函数的知识，，指数函数是函数知识中重要的一部分内容，学生若能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图象，则一定能从中发现指数函数的本质，所以对已经熟悉掌握函数的学生来说，学习本课并不是太难。
人教新课标高中数学B版必修1《3.2.3 指数函数与对数函数的关系》教学设计
《3.2.3 指数函数与对数函数的关系》教学设计 教学目标知识与技能1、能从数形两方面考虑指数函数与对数函数的关系；并根据指数函数x a y =到对数函数xloga y =的变化过程讨论反函数的定义；分析互为反函数的两个函数的特点；观察x 2y =与x 2log y =，比较这两个函数增长的差异。
2、从观察图象到引出概念，培养学生观察、分析、探究问题的能力；数学结合思想的运用能力，提高学生由特殊到一般的归纳概括能力。
过程与方法 数形结合情感态度价值观引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系，并欣赏数形和谐的对称美。
重点 指数函数与对数函数的关系难点 反函数概念的理解情境设置利用生活实际引入新课：我们生活在对称美的世界中，对称美无所不在，无处不有。
洁白的雪花，彩色的蝴蝶，雄伟的建筑。
大家想一想哪两个函数也有这样的对称美呢？那以a 为底的指数函数和以a 为底的对数函数又有怎样的对称美呢？让我们展开今天的学习，指数函数与对数函数之间的关系。
知识新授一、指数函数与对数函数的关系根据指数函数与对数函数的图象归纳并总结图象关系：我们在初中就已经学习了画函数图象的三个步骤，请你填写表格，并在同一个直角坐标系中画出x 2y =与x2log y =的图象比较两个表格说明数据的联系，这两条曲线又有怎样的对称关系？快速画出x 21y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=与x21log y =的图象，他们也具有这样的对称关系吗？其他的指对函数呢？我们来通过几何画板演示一下。
请通过这些特殊的例子得到一般性的结论。
由特殊到一般归纳并总结是我们解决问题的重要途径，但数学是一门严谨的学科，仅靠两个特例，仅靠观察还是不够的，那指数函数与对数函数之间为什么会有这种对称关系呢？根据对数函数的形成过程找寻指数函数与对数函数的图象的形成原因x a y =-------------y loga x =---------------x loga y =指数式 互化 对数式 x ，y 互换问：哪一步使得x a y =与xloga y =的图象关于直线x y =对称呢？第一步有没有引起图象的变化？第二步有没有引起图象的变化？大家从数形两方面明确了x a y =与xloga y =的图象是关于直线x y =对称的，由形的发现转为数的分析是数形结合思想的重要体现。
人教b版高一数学必修一：3.2.3《指数函数与对数函数的关系》学案
A ． log 3 2
2 B. 2
C. 2
D．2
二、填空题 6．函数 y1＝ log3x 与函数 y2＝ 3x，当 x 从 1 增加到 m 时，函数的增量分别是 则 Δy1______ Δy2( 填“ >，”“＝”或 “ <)”
1 7．函数 y＝ 3＋ log 2x(x≥ 1)的反函数的定义域为 ________．
自学导引 1． (1) 自变量 因变量
－1
(2) y＝ f (x)
2． (1) 互为反函数
(2) y＝ x
对点讲练
例1 解
(1) 由 y＝
1 4
x，
得
x＝
log1 4
y，且
y>0，
∴
f－
1
(x)＝
log
1 4
x，
x
∈
(0
，＋
∞
)
．
(2)由 y＝ log2x，得 x＝ 2y，又 x∈(1,8)，
∴
0<y<3
____________，而把这个函数的自变量作为新的函数的 函数．
____________．称这两个函数互为反
(2)反函数的记法：函数 y＝ f(x) 的反函数通常用 ____________ 表示．
2．指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数 y＝ ax 与对数函数 y＝ log a x____________. (2)指数函数 y＝ ax 与对数函数 y＝ log a x 的图象关于 ________对称．
(3)x、 y 互换得
y
＝
f
－
1
(x)
，注明定义域，即函数
变式迁移 1 求下列函数的反函数．
人教B版高中数学必修一3.2.3指数函数与对数函数的关系
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第三章 3.2 3.2.3一、选择题1．函数y ＝x ＋2，x ∈R 的反函数为( ) A ．x ＝2－y B ．x ＝y －2 C ．y ＝2－x ，x ∈R D ．y ＝x －2，x ∈R[答案] D[解析] 由y ＝x ＋2得，x ＝y －2，∴y ＝x －2.∵x ∈R ，∴y ＝x ＋2∈R ， ∴函数y ＝x ＋2，x ∈R 的反函数为y ＝x －2，x ∈R . 2．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( ) A ．y ＝1100e xB ．y ＝100·ln xC ．y ＝lg xD ．y ＝100·2x[答案] A[解析] ∵指数函数图象的增长速度越来越快，而对数函数图象的增长速度逐渐变缓慢，又∵e>2，∴y ＝1100e x 的图象的增长速度比y ＝100·2x 的图象的增长速度还要快，故选A.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x (x ≤0)log 2x (x >0)，则f [f (12)]＝( )A ．－1B ．log 2 3 C. 3 D ．13[答案] D[解析] f [f (12)]＝f [log 212]＝f (－1)＝3－1＝13.4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为( )A ．－eB ．－1eC ．1eD ．e[答案] C[解析] ∵函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数， ∴f (x )＝ln x ，又∵函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，∴g (x )＝－ln x ， ∴g (a )＝－ln a ＝1，∴ln a ＝－1，∴a ＝1e.5．函数y ＝f (x )的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(1,3) D ．(3,1) [答案] D[解析] ∵互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称， ∴点(1,3)关于直线y ＝x 的对称点为(3,1)，故选D. 6．函数y ＝1－x －1(x ≥2)的反函数为( ) A ．y ＝(x －1)2＋1(x ≥1) B ．y ＝(x －1)2－1(x ≥0) C ．y ＝(x －1)2＋1(x ≤1) D ．y ＝(x －1)2＋1(x ≤0) [答案] D [解析] ∵y ＝1－x －1，∴x －1＝1－y ，∴x －1＝(1－y )2，∴y ＝(1－x )2＋1＝(x －1)2＋1. 又∵x ≥2，∴x －1≥1，∴x －1≥1， ∴－x －1≤－1，∴1－x －1≤0.∴函数y ＝1－x －1(x ≥2)的反函数为y ＝(x －1)2＋1(x ≤0)．二、填空题7．函数y ＝π－x 的反函数为________．[答案] y ＝－log πx (x >0)[解析] 由y ＝π－x ，得－x ＝log πy ，∴y ＝－log πx . ∵π－x >0，∴函数y ＝π－x 的反函数为y ＝－log πx (x >0)．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x (x ≤1)log 81x (x >1)，则满足f (x )＝14的x 值为__________．[答案] 3[解析] 由f (x )＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12－x ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧x >1log 81x ＝14， ∴x ＝3. 三、解答题9．已知f (x )＝1－3x 1＋3x ，求f －1(45)的值． [解析] 令y ＝1－3x 1＋3x，∴y ＋y ·3x＝1－3x，∴3x＝1－y1＋y，∴x ＝log 31－y 1＋y ，∴y ＝log 31－x1＋x ，∴f －1(x )＝log 31－x1＋x. ∴f －1(45)＝log 31－451＋45＝log 319＝－2.故f －1(45)的值为－2.一、选择题1．若f (10x )＝x ，则f (5)＝( ) A ．log 510 B ．lg5 C ．105 D ．510[答案] B[解析] 解法一：令u ＝10x ，则x ＝lg u ，∴f (u )＝lg u ，∴f (5)＝lg5. 解法二：令10x ＝5，∴x ＝lg5，∴f (5)＝lg5.2．若函数y ＝ax1＋x 的图象关于直线y ＝x 对称，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数[答案] B[解析] 因为函数图象本身关于直线y ＝x 对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知(1，a 2)与(a2，1)皆在原函数图象上，故可得a ＝－1.3．函数y ＝10x2－1(0<x ≤1)的反函数是( )A ．y ＝－1＋lg x (x >110)B ．y ＝1＋lg x (x >110) C ．y ＝－1＋lg x (110<x ≤1)D ．y ＝1＋lg x (110<x ≤1)[答案] D [解析] 由y ＝10 x 2－1(0<x ≤1)，得x 2－1＝lg y ，即x ＝lg y ＋1.又∵0<x ≤1，即－1<x 2－1≤0，∴110<10 x 2－1≤1，即原函数的值域为(110，1]． ∴原函数的反函数为y ＝lg x ＋1(110<x ≤1)．4．已知函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)，而且其反函数f －1(x )的图象过点(1,7)，则f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数[答案] A[解析] ∵函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)，∴log a (4－k )＝0，∴k ＝3. ∴f (x )＝log a (x －3)，又反函数f －1(x )的图象过点(1,7)， ∴f (x )过点(7,1)．∴log a 4＝1，∴a ＝4，∴f (x )为增函数． 二、填空题5．若点(1,2)既在y ＝ax ＋b 的图象上，又在其反函数的图象上，则a ＝________，b ＝________.[答案] －3 7[解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y ＝ax ＋b 的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋b 1＝2a ＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝7.6．已知函数f (x )＝e 2(x －1)，y ＝f －1(x )为y ＝f (x )的反函数，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0f －1(x )，x >0，则g [g (－1)]＝________.[答案] 1[解析] 由题意，得g (－1)＝－1＋2＝1， g [g (－1)]＝g (1)＝f －1(1)． 设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1， 即e 2(t －1)＝1，∴t ＝1，∴g [g (－1)]＝1. 三、解答题7．求下列函数的反函数． (1)f (x )＝12x ＋1；(2)f (x )＝1－1－x 2(－1≤x <0)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤1x 2.－1≤x <0.[解析] (1)设y ＝f (x )＝12x ＋1.∵x ≠－12，∴y ≠0.由y ＝12x ＋1，解得x ＝1－y 2y .∴f －1(x )＝1－x2x(x ≠0)． (2)设y ＝f (x )＝1－1－x 2.∵－1≤x <0，∴0<y ≤1. 由y ＝1－1－x 2，解得x ＝－2y －y 2.∴f －1(x )＝－2x －x 2(0<x ≤1)．(3)设y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤1x 2.－1≤x <0，当0≤x ≤1时，－1≤y ≤0， 由y ＝x 2－1，得x ＝1＋y ；当－1≤x <0时，0<y ≤1， 由y ＝x 2，得x ＝－y .∴f －1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，－1≤x ≤0－x .0<x ≤1. 8．已知函数f (x )＝log a (2－x )(a >1)． (1)求函数f (x )的定义域、值域； (2)求函数f (x )的反函数f －1(x )；(3)判断f －1(x )的单调性．[解析] (1)要使函数f (x )有意义，需满足2－x >0，即x <2， 故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R . (2)由y ＝log a (2－x )得，2－x ＝a y ，即x ＝2－a y . ∴f －1(x )＝2－a x (x ∈R )． (3)f －1(x )在R 上是减函数．证明如下：任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，∵f －1(x 2)－f －1(x 1)＝2－ax 2－2＋ax 1＝ax 1－ax 2，。
高中数学(人教B版)必修一3.2.3《指数函数与对数函数的关系 》教案
3.2.3指数函数与对数函数的关系
教学目标：知道指数函数与对数函数互为反函数
教学重点：知道指数函数与对数函数互为反函数
教学过程：
1、 复习指数函数、对数函数的概念
2、 反函数的概念：一般地，函数)(x f y =中x 是自变量，y 是x 的函数，设它的定义
域为A ，值域为C ，由)(x f y =可得)(y x ϕ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么)(y x ϕ=就表示x 是自变量
y 的函数。
这样的函数)(y x ϕ=C y ∈叫函数)(x f y =的反函数，记作：
)(1y f x -=。
习惯上，用x 表示自变量，y 表示函数，因此)(x f y =的反函数)(1y f
x -=通常改写成：)(1x f y -=
注：①明确反函数存在的条件：当一个函数是一一映射时函数有反函数，否则如2x y =等均无反函数；
② 与互为反函数。
③的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域
3、 奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数，偶函数若存在反函数，则其定义域为{0}；
若函数)(x f y =是增（减）函数，则其反函数)(1x f
y -=是增（减）函数。
4、 求反函数的步骤：由)(x f y =解出)(1y f
x -=，注意由原函数定义域确定单值对应；交换y x ,，得)(1x f y -=；根据)(x f y =的值域，写出)(1x f y -=的定义域。
例1、求下列函数的反函数：
①
②
③
④
解：略
课堂练习：教材第114页练习A、B
小结：本节课知道指数函数与对数函数互为反函数课后作业：略。
高中新课程数学(新课标人教B版)必修一3.2.3《指数函数与对数函数的关系》课件2
４、已知函数 y ex 图象与函数 y f (x)
的图象关于直线 y x 对称，则
A. f (2x) e2x (x R) B. f (2x) ln 2 ln x(x 0) C. f (2x) 2x2 (x R) D. f (2x) ln x ln 2(x 0)
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
3.2.3 指数函数 与
对数函数的关系
自学提纲
• 阅读教材Ｐ104－Ｐ105 • 1、理解指数函数与对数函数之间的关系， • 2、理解互为反函数的两个函数之间的关系。
反函数： 当一个函数是一一映射时，可以把这个函
数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这 个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称 这两个函数互为反函数。
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
高中数学 3.2.3指数函数与对数函数的关系课件 新人教B版必修1
(3)y＝23x. 解 (1)y＝lg x(x>0)的底数为 10,它的反函数为指数函数 y＝
10x (x∈R).
(2)y＝log 1 x (x>0)的底数为13,
3
它的反函数为指数函数 y＝13x (x∈R).
(3)y＝23x (x∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数
y＝log2 x (x>0).
答 函数 y＝2x 与 y＝log2x 的图象关于直线 y＝x 对称. 问题 6 我们说函数 y＝2x 与 y＝log2x 互为反函数,它们的图象
关于直线 y＝x 对称,那么对于一般的指数函数 y＝ax 与对数 函数 y＝logax 又如何？ 答 对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax 互为反函数.它们的 图象关于直线 y＝x 对称.
第十九页，共20页。
3.2.3
1.对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax 互为反函数.它们的图象 关于直线 y＝x 对称.
2.求给定解析式的函数的反函数应本着以下步骤完成: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从 y＝f(x)中解出 x; (3)x、y 互换并注明反函数定义域.
第十五页，共20页。
3.2.3
问题 2 你能列表对底数大于 1 的指数函数与对数函数从多个
方面分析它们的差异吗？
答
y＝ax (a>1)
y＝logax (a>1)
图象
定义域 值域
性质
R (0,＋∞) 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1; 当 x＝0 时,y＝1; 在 R 上是增函数.
解析 ∵y＝21－x＋3(x∈R),∴21－x＝y－3,
(人教B版)必修一名师精品：3.2.3《指数函数与对数函数的关系》教案设计
示范教案整体设计教学分析教材通过函数y＝2x与y＝log2x引入反函数的概念，值得注意的是在课程标准中，对反函数的要求仅仅局限于了解即可，防止过多的求反函数等练习，以免加重学生的负担．三维目标了解反函数的概念，知道y＝a x与y＝log a x(a＞0，a≠1)互为反函数，树立普遍联系的思想．重点难点教学重点：y＝a x与y＝log a x(a＞0，a≠1)的关系和反函数的概念．教学难点：理解反函数的概念．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝a x与函数y＝log a x到底还有什么关系呢？这就是本堂课我们要研究的新内容．思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，搞清y＝a x和函数y＝log a x的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．推进新课新知探究①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y与y＝2x与y＝log2x的函数图象.①通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？①如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.①探索y＝2x与x＝log2y的图象间的关系.①探索y＝2x与y＝log2x的图象间的关系.①结合①与①推测函数y＝a x与函数y＝log a x的关系.讨论结果：①y＝2x与x＝log2y.y＝log2x.图象如下图所示．①在指数函数y ＝2x 中，x 是自变量，y 是x 的函数，而且其在R 上是单调递增函数．过y 轴的正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与y ＝2x 的图象有且只有一个交点，即对任意的y 都有唯一的x 相对应，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数．①由指数式与对数式关系，y ＝2x 得x ＝log 2y ，即对于每一个y ，在关系式x ＝log 2y 的作用之下，都有唯一的确定的值x 和它对应，所以，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，即x ＝log 2y.这时我们把函数x ＝log 2y 〔y①(0，＋∞)〕叫做函数y ＝2x (x①R )的反函数，但习惯上，通常以x 表示自变量，y 表示函数，对调x ＝log 2y 中的x 、y 写成y ＝log 2x ，这样y ＝log 2x 〔x①(0，＋∞)〕是指数函数y ＝2x (x①R )的反函数．由上述讨论可知，对数函数y ＝log 2x 〔x①(0，＋∞)〕是指数函数y ＝2x (x①R )的反函数；同时，指数函数y ＝2x (x①R )也是对数函数y ＝log 2x 〔x①(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y ＝2x (x①R )与对数函数y ＝log 2x 〔x①(0，＋∞)〕互为反函数．以后，我们所说的反函数是x 、y 对调后的函数．如y ＝log 3x ，x①(0，＋∞)与y ＝3x (x①R )互为反函数，y ＝log 0.5x 与y ＝0.5x (x①R )互为反函数．函数y ＝f(x)的反函数通常用y ＝f －1(x)表示．①从我们的列表中知道，y ＝2x 与x ＝log 2y 是同一个函数图象．①通过观察图象可知，y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称．①通过①与①类比，归纳知道，y ＝a x (a ＞0，且a≠1)的反函数是y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)，且它们的图象关于直线y ＝x 对称．由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．应用示例思路1例写出下列函数的反函数： (1)y ＝30x ；(2)y ＝log 0.7x.解：(1)f －1(x)＝log 30x ；(2)f －1(x)＝0.7x .点评：函数y ＝a x 与函数y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)互为反函数.思路2例 求下列函数的反函数： (1)y ＝－2x ；(2)y ＝2x ＋1. 解：(1)x ＝－12y ，则f －1(x)＝－12x.(2)2x ＝y －1，则x ＝log 2(y －1)，①f －1(x)＝log 2(x －1)(x ＞1)．点评：求反函数的步骤：①将y ＝f(x)看成关于x 的方程，解方程得x ；①x 、y 互换得f －1知能训练1．函数y ＝lgx 的反函数是( )A ．y ＝lgxB ．y ＝10xC ．y ＝lnxD ．y ＝10x 答案：B2．函数y ＝－3x的图象关于( )A ．直线y ＝x 对称B ．直线y ＝2x 对称C ．x 轴对称D ．y 轴对称 答案：A3．写出下列函数的反函数： (1)y ＝21log x ；(2)y ＝2x ＋1；(3)y ＝6x .解：(1)f －1(x)＝(12)x ；(2)f －1(x)＝12x －12；(3)f －1(x)＝log 6x.拓展提升若1＜x ＜2，比较(log 2x)2，log 2x 2，log 2(log 2x)的大小．活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，学生有困难，教师可以提示并及时评价．这是有条件的比较大小，几个对数式各不相同，应采取中间量法．很明显，log 2(log 2x)小于0，只要比较(log 2x)2与log 2x 2的大小即可．解：log 2(log 2x)＜(log 2x)2＜log 2x 2.解法一：因为log 2x 2－(log 2x)2＝log 2x·(2－log 2x)＝log 2x·log 24x ，又因为1＜x ＜2，所以1＜x ＜4x.所以log 24x＞0，log 2x ＞0.所以log 2x 2＞(log 2x)2＞0.又因为log 2x ＜1，log 2(log 2x)＜0，所以log 2(log 2x)＜(log 2x)2＜log 2x 2.解法二：因为(log 2x)2－log 2x 2＝(log 2x)2－2log 2x ＋1－1＝(log 2x －1)2－1， 又1＜x ＜2，所以0＜log 2x ＜1，即0＜(log 2x)2＜1. 因此(log 2x －1)2－1＜0.又log 2(log 2x)＜0，故log 2(log 2x)＜(log 2x)2＜log 2x 2.点评：比较数的大小方法：①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．①作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小． ①计算出每个数的值，再比较大小．①若是两个以上的数，有时采用中间量比较． ①利用图象法．①利用函数的单调性． 课堂小结1．互为反函数的概念及其图象间的关系． 2．对数函数图象的平移变换规律．3．本节课又复习了对数函数的图象与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律．4．指、对数函数图象性质对比． 课本本节练习B 1、2.设计感想 学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义、图象和性质，因此本堂课首先组织学生回顾函数的通性，以及有关指数型函数的图象的变化规律以及与指数式有关的复合函数的奇偶性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备．由于本节课是本单元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节，努力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨．[备用习题]1．f(x 2－3)＝log a x 26－x 2(a ＞0，a≠1)，判断f(x)的奇偶性．活动：学生考虑，学生之间可以相互交流讨论．判断函数的奇偶性，一般用定义法；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；学生回忆判断函数奇偶性的方法，利用定义判断函数奇偶性的格式步骤．解：①f(x 2－3)＝logax 2－3＋33－(x 2－3)， ①f(x)＝log a 3＋x 3－x .由3＋x3－x ＞0，得f(x)的定义域为(－3,3)．又①f(－x)＝log a 3－x 3＋x ＝log a (3＋x 3－x )－1＝－log a (3＋x3－x )＝－f(x)，①f(x)是奇函数．点评：解指数不等式要注意底数的大小，必要时要分类讨论． 2．已知常数a 、b 满足a ＞1＞b ＞0，若f(x)＝lg(a x －b x )， (1)求y ＝f(x)的定义域；(2)证明y ＝f(x)在其定义域内是增函数；(3)若f(x)恰在(1，＋∞)上恒取正值，且f(2)＝lg2，求a 、b 的值． (1)解：由a x －b x ＞0，得(ab )x ＞1.因为a ＞b ＞0，所以ab＞1.所以y ＝(a b )x 是增函数．而且由(ab)x ＞1得x ＞0，即函数f(x)的定义域是(0，＋∞)．(2)证明：任取x 1，x 2①(0，＋∞)，且x 1＜x 2，因为a ＞1，所以g 1(x)＝a x 是增函数．所以ax 1－ax 2＜0， (ax 1－ax 2)－(bx 1－bx 2)＜0，即(ax 1－bx 1)－(ax 2－bx 2)＜0.因此0＜ax 1－bx 1＜ax 2－bx 2，于是lg(ax 1－bx 1)＜lg(ax 2－bx 2)，故f(x)＝lg(a x －b x )在(0，＋∞)内是增函数．(3)解：因为f(x)在(1，＋∞)内为增函数，所以对于x①(1，＋∞)内每一个x 值，都有f(x)＞f(1)．要使f(x)恰在(1，＋∞)上恒取正值，即f(x)＞0，只需f(1)＝0. 于是f(1)＝lg(a －b)＝0，得a －b ＝1.又f(2)＝lg2，所以lg(a 2－b 2)＝lg2.所以a 2－b 2＝2，即(a ＋b)(a －b)＝2. 而a －b ＝1，所以a ＋b ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12.经检验知a ＝32，b ＝12为所求．点评：解(3)要用到(1)与(2)的结果，是相互联系的，恒成立问题是高考的热点问题，要注意把握．(设计者：张新军)。
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当 x＝2 时， x＝lg 2， lg －x＋3＝1， 由于 lg 2<1， 因此 x0>2， 从而得到 x0∈(2,3)，故选 C.
答案 C
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方法技巧 数形结合思想的应用 用函数观点研究方程问题，用函数观点研究不等式的解集 问题．常结合函数的图象：方程解的个数就是两个函数图象交 点的个数，方程的解就是两个函数图象交点的横坐标．
1 (1)y＝log2x；(2)y＝3x；(3)y＝5x＋1.
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课堂讲用 【例 2】 已知函数 y＝ax＋b(a>0 且 a≠1)的图象过点(1,4)， 其反函数的图象过点(2,0)，求 a，b 的值．
[思路探索] 属于互为反函数的函数图象性质问题．
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【训练 2】 已知 f(x)＝log3x，则 f－1(4)＝________. 解析 由 log3x＝4，得 x＝34＝81.即 f－1(4)＝34＝81. 答案 81
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题型三 指、对数函数图象性质应用 【例 3】 设方程 2x＋x－3＝0 的根为 a，方程 log2x＋x－3 ＝0 的根为 b，求 a＋b 的值．
3．2.3 指数函数与对数函数的关系
【课标要求】 1． 了解反函数的概念， 知道指数函数和对数函数互为反函数， 弄清它们的图象间的对称关系． 2．利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异． 3．利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题． 【核心扫描】 1．反函数及互为反函数图象的对称性．(重点) 2．指数函数、对数函数的图象与性质的应用．(重点、难点)
解 ∵y＝ax＋b 的图象过点(1,4)， ∴a＋b＝4. ①
又∵y＝ax＋b 的反函数图象过点(2,0)， ∴点(0,2)在原函数 y＝ax＋b 的图象上． a0＋b＝2. 联立①②得 a＝3，b＝1.
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②
规律方法 互为反函数的图象关于直线 y＝x 对称是反函数 的重要性质，由此可得互为反函数图象上任一成对的相应点也 关于 y＝x 对称，所以若点(a，b)在函数 y＝f－1(x)图象上，则点 (b，a)必在其反函数 y＝f(x)图象上．
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所以它们的图象关于直线 y＝x 对称， 由题意可得出 A、B 两点也关于直线 y＝x 对称，……8 分 于是 A、B 两点的坐标为 A(a，b)，B(b，a)． 而 A、B 都在直线 y＝－x＋3 上， ∴b＝－a＋3(A 点坐标代入)， 或 a＝－b＋3， 故 a＋b＝3………………………………………………12 分
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)．
解析 在同一平面直角坐标系中，画出函数 y＝lg x 与 y＝ －x＋3 的图象．它们交点的横坐标 x0 显然在区间(1,3)内，由此 可排除 A，D.至于选 B 还是选 C，由于手工画图精确性的限制， 单凭直观很难做出判断．实际上这是要比较 x0 与 2 的大小．
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3．指数函数与对称函数的图象和性质的关系：
名称 一般形 式 定义域 值域 指数函数 y＝ax(a>0，a≠1) (－∞，＋∞) (0，＋∞) 对数函数 y＝logax(a>0，a≠1) (0，＋∞) (－∞，＋∞)
>1 x>0， 当a>1时， >0 x>1， 当a>1时， x＝1 x＝0， a logax＝0 x＝1， <1 x<0； <0 0<x<1； 函数值 变化情 <1 x>0， 当0<a<1时， <0 x>1， 况 x a ＝1 x＝0， logax＝0 x＝1， 当0<a<1时， >1 x<0 >0 0<x<1
审题指导 本题考查了指数函数， 对数函数的图象及其对称 关系．
【解题流程】 整理方程 ―→ 画出图象 ―→ 确定交点与方程的关系 ―→ 代入求解
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[规范解答] 将方程整理得 2x＝－x＋3， log2x＝－x＋3. ………………………………………2 分 如图可知， a 是指数函数 y＝2x 的图象与直线 y＝－x＋3 交点 A 的横坐 标， b 是对数函数 y＝log2x 的图象与直线 y＝－x＋3 交点 B 的 横坐标． 由于函数 y＝2x 与 y＝log2x 互为反函数，……………6 分
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2．反函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线 y＝x 对称． 若函数 y＝f(x)的图象关于 y＝x 对称， 说明 y＝f(x)的反函数 1 是它本身，如反比例函数 y＝ . x (2)若函数 y＝f(x)上有一点(a，b)，则(b，a)必在其反函数图 象上，反之若(b，a)在反函数图象上，则(a，b)必在原函数图象 上．
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试一试：由反函数的定义，判断函数 y＝x2＋1(x∈R)有反 函数吗？ 提示 没有，因为 y＝x2＋1(x∈R)不是一一映射，只有当 一个函数是一一映射时，这个函数才存在反函数．
想一想：互为反函数的两个函数定义域，值域有何关系？
提示 原函数的定义域成为反函数的值域，而原函数的值 域，则为反函数的定义域．
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名师点睛 1．反函数的求法 (1)求出反函数的定义域(即原函数的值域)； (2)由 y＝f(x)出发，用 y 表示 x，解出 x＝f－1(y)； (3)将 x＝f－1(y)中的 x、y 互换，得到 y＝f－1(x)即为所求．可 简单的记为：一解二换三写．
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【题后反思】 形如 ax＋kx＝b(a>0 且 a≠1)或 logax＋kx＝ b(a>0 且 a≠1)的方程的求解常借助于函数图象，求两函数图象 的交点．
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【训练 3】函数 f(x)＝lg x＋x－3 的零点所在区间为( A．(0,1) C．(2,3) B．(1,2) D．(3，＋∞)
1 只要 y＝logmx 在(0， )内的图象 2 在 y＝x2 的上方，于是 0<m<1. 1 1 2 ∵x＝ 时，y＝x ＝ ， 2 4 1 ∴只要 x＝ 时， 2
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方法点评 在涉及方程与不等式问题时， 往往构造两个函数 f(x)与 g(x)， f(x)＝g(x)的实数解即为两个函数 y＝f(x)与 y＝g(x) 则 图象的交点的横坐标；而 f(x)<g(x)的解集等价于函数 y＝f(x)的 图象在 y＝g(x)图象下方的点的横坐标的取值范围，利用图象的 直观形象特点，可使问题得到顺利解决，简化了思维过程.
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2．指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)互为反函数． (2)指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)的图象关于直线 y＝x 对称．
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[思路探索] 属于求指数函数，对数函数的反函数．
解 (1)y＝lg x 的底数为 10， 它的反函数为指数函数 y＝10x.
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规律方法 指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax 互为反函 数．
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【训练 1】 求下列函数的反函数：
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自学导引 1．反函数 (1)互为反函数的概念： 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为 一个新的函数的 自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数 的 因变量 .称这两个函数互为反函数． (2)反函数的记法：函数 y＝f(x)的反函数通常用 y＝f－1(x)表 示．
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续表
名称 单调性 图象 对数函数 a>1时，y＝logax为增函 x为增函数； a>1时，y＝a 数； 0<a<1时，y＝logax为减 0<a<1时，y＝ax为减函数 函数 y＝ax的图象与y＝logax的图象关于直线y＝x对称 指数函数
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1 【示例】 若不等式 x －logmx<0(m>0 且 m≠1)在(0， )内恒 2
2
成立，求实数 m 的取值范围．
[思路分析] 把不等式转化成两个函数 y＝x2 与 y＝logmx 画 出函数草图，利用图象解决问题．
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解 由 x2－logmx<0，得 x2<logmx，在同一坐标系中作 y＝ x2 和 y＝logmx 的草图，如图所示． 1 2 要使 x <logmx 在(0， )内恒成立， 2