北京市平谷区2020届初三二模数学试题及答案
2020北京初三数学二模汇编 四边形(含答案)
2020初三数学二模分类汇编四边形（21题）1.（2020东城二模）2.（2020西城通州二模）21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90︒，D为AB的中点，AE∥DC，CE∥DA．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）连接DE，若AC=BC =2，求证：△ADE是等边三角形．21．证明：（1）∵AE∥DC，CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形．∵在Rt△ABC中，D为AB的中点，∴AD = BD =CD =12 AB．∴四边形ADCE是菱形．（2）在Rt△ABC中，AC=BC =2，∴tanBCCABAC∠==．ED CBAED CBA∴∠CAB=30︒．∵四边形ADCE是菱形．∴AE = AD，∠EAD=2∠CAB=60︒．∴△ADE是等边三角形． ·······································································5分3.（2020朝阳二模）4.（2020海淀大兴二模）21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边的中点，连接CD，过点A作AG∥DC，过点C作CG∥DA，AG与CG相交于点G.（1）求证: 四边形ADCG 是菱形;（2）若AB =10，3tan =4CAG ∠，求BC 的长.21.（1）证明：∵AG ∥DC ，CG ∥DA ,∴四边形ADCG 为平行四边形.∵Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 为AB 边的中点, ∴AD CD BD ==. ∴四边形ADCG 是菱形.（2）解：∵四边形ADCG 是菱形， ∴CAG BAC ∠=∠.∵3tan =4CAG ∠,∴3tan =4BAC ∠.∴34BC AC =. ∵10AB =, ∴6BC =.5.（2020丰台二模）21．如图，矩形ABCD ，延长CD 至点E ，使DE =CD ，连接AC ，AE ，过点C 作CF ∥AE 交AD 的延长线于点F ，连接EF . （1）求证：四边形ACFE 是菱形；（2）连接BE 交AD 于点G. 当AB ＝2，∠ACB ＝30°时，求BG 的长．21. A （1）证明：∵CF ∥AE , ∴∠1=∠2.在△ADE 与△FDC 中，12,∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE FDC DE DC∴△ADE ≌△FDC .DACBGECABD F∴AE=CF . ……1分 ∴四边形ACFE 是平行四边形. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ADC =90°. ∴CE ⊥AF .∴四边形ACFE 是菱形. …3分A （2）解: ∵矩形ABCD 中，∴∠ABC =∠BCD =90°. CD= AB=2. ∵∠ACB =30°, ∴BC= EC=4. 在Rt △BCE 中，=分 ∵GD ∥BC ，=DE DC ， ∴=12=GB CD EB CE . ∴BG=12=BE ……5分6.（2020石景山二模）21G ECA BDFE DCBA9.（2020顺义二模）21．已知：如图，在四边形ABCD 中，90BAC ACD ∠=∠=︒，12AB CD =，点E 是CD 的中点．（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）若4AC =，AD =ABCE 的面积． 21．（1）证明：∵90BAC ACD ∠=∠=︒，∴ AB ∥EC ． ……………………………………………… 1分 ∵点E 是CD 的中点， ∴12EC CD =．∵12AB CD =，∴AB =EC ． ……………………………………………… 2分 ∴四边形ABCE 是平行四边形． ………………………………3分（2）解：∵90ACD ∠=︒，4AC =，AD =，∴4CD =．………………………………………… 4分∵12AB CD =，∴AB =2．∴248ABCESAB AC =⋅=⨯=．…………………………………………5分11.（2020房山二模）21. 如图，菱形ABCD 中， 分别延长DC ，BC 至点E ，F ，使CE =CD ，CF =CB ，联结DB ，BE ，EF ，FD .（1）求证：四边形DBEF 是矩形；（2）若AB ＝5，53=∠cos ABD ，求DF 的长．21.（1）证明：∵CE =CD ，CF =CB∴四边形DBEF 是平行四边形 ………………………………………………1分 DE =2CD ，BF =2BC ∵菱形ABCD 中, CD = CB∴ DE = BF ………………………………………………2分 ∴四边形DBEF 是矩形 ………………………………………………3分 （2）∵AB ＝5∴BF =10∵菱形ABCD 中, 53=∠cos ABD ,∠DBF =∠ABD ∴53=∠cos DBF ∵∠BDF ＝90°∴DB ＝6 ………………………………………………4分 ∴DF = 8 ………………………………………………5分 12.（2020门头沟二模）13.（2020密云二模）15.（2020平谷二模）17.（2020燕山二模）21．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，O 为BC 中点，连结DO 并延长到点E ，使OE ＝OD ，连接BE ，CE ． (1) 求证：四边形DCEB 为菱形；(2) 若AC ＝6，∠DCB ＝30°，求四边形DCEB 的面积．21．(1)证明：∵O 是BC 边中点，∴OC ＝OB ， 又∵OE ＝OD ，∴四边形DCEB 是平行四边形．∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点， ∴CD ＝BD ，∴四边形DCEB 为菱形． (2) 解：∵CD ＝BD ，∠DCB ＝30°， ∴∠ABC ＝∠DCB ＝30°．∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，∠ABC ＝30°， ∴AB ＝12，BC＝ ∵D 为AB 中点，O 是BC 中点， ∴DO ＝12AC ＝3， ∴S 菱形DCEB ＝BC ·DO＝ABEDCO ABDCO。
2020年北京市平谷区中考数学二模试卷
中考数学二模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 厨余垃圾FoodWasteB. 可回收物RecyclableC. 其他垃圾ResidualWasteD. 有害垃圾HazardousWaste2.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（）A. aB. bC. cD. 无法确定3.聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4纳米，通过百度搜索聪聪又知道1纳米=10-9米，则水分子的直径约为（）A. 4×10-10米B. 0.4×10-10米C. 4×10-9米D. 4×10-8米4.下列几何体中主视图为矩形的是（）A. B. C. D.5.如果x+y-2=0，那么代数式的值为（）A. B. -2 C. D. 26.如图，螺丝母的截面是正六边形，则∠1的度数为（）A. 30°B. 45°7.某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位：cm）如图所示：设两队队员身高的平均数依次为甲，乙，方差依次为s甲2，s乙2，下列关系中完全正确的是（）A. 甲=乙，s甲2＜s乙2B. 甲=乙，s甲2＞s乙2C. 甲＜乙，s甲2＜s乙2D. 甲＞乙，s甲2＞s乙28.如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；④乙的综合评分比甲要高．其中合理的是（）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.因式分解：x2y-9y=______．10.如图所示，边长为1正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则∠ACB+∠ABC的度数为______．12.如图，直线l∥m，点A、B是直线l上两点，点C、D是直线m上两点，连接AC、AD、BC、BD，AD、BC交于点O，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1______S2（填＞，＜或=号）．13.若一次函数的图象过点（0，2），且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式：______．14.用一个a的值说明命题“-a一定表示一个负数”是错误的，a的值可以是______．15.图1中的小矩形长为x，宽为y，将四个同样的小矩形拼成如图2的正方形，则可列出关于x，y的方程组为______．16.某商场在端午节前以1元/个的价格购进1000个粽子，现有以下三种销售方式：不加工直接卖，对产品进行粗加工再卖，精加工后再卖．受加工能力和气温影响，粗加工一天只能加工200个，细加工一天只能加工100个，两种加工不能同时进行，且最多加工三天．加工方式加工成本销售单位售价直接卖0个2元/个粗加工1元/个包装袋（一袋5个）30元/袋精加工 2.5元/个礼盒（一盒10个）85元/盒假设所有粽子均能全部售出，则以下销售方式中利润最大的是______．方案一：不加工直接销售；方案二：三天全部进行精加工，剩下的直接卖；方案三：两天精加工，一天粗加工，剩下的直接卖；方案四：两天粗加工，一天精加工，剩下的直接卖．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.解不等式组：．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.计算：2cos30°-（3-π）0+（）-1-．19.下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线外一点P．求作：过点P作直线l的平行线．作法：如图，①在直线l上任取点O；②作直线PO；③以点O为圆心OP长为半径画圆，交直线PO于点A，交直线l于点B；④连接AB，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交⊙O于点C（点A与点C不重合）；⑤作直线CP；则直线CP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：连接BP、BC，∵AB=BC，∴=，∴∠______=∠______，又∵OB=OP，∴∠______=∠______，∴∠CPB=∠OBP，∴CP∥l（______）（填推理的依据）．20.已知关于x的一元二次方程x2+（k-1）x+k-2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.如图，在菱形ABCD中，延长AB到E，延长AD到F，使BE=DF，连接EF，连接AC并延长交EF于点G．（1）求证：AG⊥EF；（2）连接BD交AC于O，过B作BM⊥EF于点M，若BD=2，C为AG中点，求EM的长．22.如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD交AC于点F，且FC=BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，tan A=，求GF的长．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，函数y=（x＞0）的图象经过点B，与直线y=x+b交于点D．（1）求k的值；（2）直线y=x+b与BC边所在直线交于点M，与x轴交于点N．①当点D为MN中点时，求b的值；24.疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．节数x频数频率0≤x＜1080.1610≤x＜20100.2020≤x＜3016b30≤x＜40a0.24x≥4040.08总数501其中，节数在20≤x＜30这一组的数据是：20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=______，b=______；（2）请补全频数分布直方图；（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是______；（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有______人．25.如图，M是弦AB与弧AB所围成的图形的内部的一个定点，P是弦AB上一动点，连接PM并延长交弧AB于点Q，连接QB．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，Q两点间距离为y1cm，BQ两点间距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了研究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，补全如表；x/cm0123456y1/cm 5.24 4.24 3.24______ 1.54 1.79 3.47y2/cm 1.31 1.34 1.42 1.54 1.80 2.45 3.47（）在同一平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点（1，1）和（2，y2）并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△PQB为等腰三角形时，AP的长度约______cm （精确到0.1）．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-1（m＞0）与x轴的交点为A，B，与y轴交点C．（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域为图形W（不含边界）．①当m=1时，求图形W内的整点个数；②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．27.如图，在△ABM中，∠ABC=90°，延长BM使BC=BA，线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM=15°时，∠AMD的度数是______；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM=MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM=MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD=CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM=CF，从而解决问题；想法3：通过BC=BA，∠ABC=90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB是一定度数时，AM=MB．（一种方法即可）28.如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是⊙C上不重合的两个点，连结PA，PB．当∠APB=60°时，我们称点P为⊙C的“关于AB的关联点”．（1）如图2，当点P在⊙C上时，点P是⊙C的“关于AB的关联点”时，画出一个满足条件的∠APB，并直接写出∠ACB的度数；（2）在平面直角坐标系中，点M（1，），点M关于y轴的对称点为点N．①以点O为圆心，OM为半径画⊙O，在y轴上存在一点P，使点P为⊙O“关于MN的关联点”，直接写出点P的坐标；②点D（m，0）是x轴上一动点，当⊙D的半径为1时，线段MN上至少存在一个点是⊙D的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】B【解析】解：根据数轴上点的位置及a，c互为相反数，得c＜a＜b，且|c|=|a|＜|b|，则绝对值最大的是b，故选：B．根据数轴上点的位置，结合相反数，绝对值的性质判断即可．此题考查了实数大小比较，实数与数轴，相反数，绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．3.【答案】A【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.4纳米=0.4×10-9米=4×10-10米．故选：A．4.【答案】B【解析】解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；B、圆柱的主视图是矩形，符合题意；C、三棱锥的主视图是三角形，不合题意；D、球的主视图是圆，不符合题意．故选：B．根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．5.【答案】C【解析】解：原式=•=，则原式=．故选：C．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵这个正六边形的外角和等于360°，∴∠1=360°÷6=60°．故选：C．根据多边形的外角和等于360°解答即可．此题考查了正多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解本题的关键．7.【答案】A【解析】解：甲：==176，s2=[（176-176）2×2+（177-176）2×2+（175-176）2]÷6=，乙：==176，s2=[（178-176）2+（175-176）2+（170-176）2+（174-176）2+（183-176）2+（176-176）2]÷6=，则甲=乙，s甲2＜s乙2，故选：A．利用平均数和方差的计算公式进行计算即可．此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握平均数和方差的计算公式．8.【答案】D【解析】解：由图形可知：甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理；甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习的能力是甲自身的不足，故②合理；甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故乙与他人的沟通和合作能力弱于甲，故③合理；甲的各项得分为5，5，4，4，1；乙的各项得分为5，5，4，4，3，乙的综合评分比甲要高2分，故④合理．综上，合理的选项有①②③④．故选：D．根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可．本题考查了统计图表，根据统计图表及其所反映的信息对各个选项作出分析是解题的关键．9.【答案】y（x+3）（x-3）【解析】【分析】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x2y-9y，=y（x2-9），=y（x+3）（x-3）．故答案为y（x+3）（x-3）．10.【答案】45°【解析】解：如图，∠ACB+∠ABC=∠CAD，∵∠ADC=90°，AD=CD=3，∴∠CAD=45°，∴∠ACB+∠ABC=45°．故答案为：45°．根据三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质即可求解．考查了三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质，关键是得到∠CAD=45°．11.【答案】x≥1【解析】解：根据题意得，x-1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12.【答案】=【解析】【分析】本题考查的是三角形的面积计算，掌握同底等高的两个三角形面积相等是解题的关键．根据同底等高的两个三角形面积相等得到S△ACD=S△BCD，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵l∥m，∴S△ACD=S△BCD，∴S△ACD-S△OCD=S△BCD-S△OCD，即S△AOC=S△BOD，∴S1=S2，故答案为：=．13.【答案】y=x+2【解析】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，把（0，2）代入得b=2，∴y=kx+2，∵函数y随自变量x的增大而增大，∴k＞0，∴k可取1，此时一次函数解析式为y=x+2．故答案为y=x+2．设一次函数的解析式为y=kx+b，根据一次函数的图象过点（0，2）得到b=2，根据函数y随自变量x的增大而增大得到k＞0，然后取k=1写出一个满足条件的解析式．本题考查了一次函数y=kx+b的性质：当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．14.【答案】-1【解析】解：当a=-1时，-a=-（-1）=1，所以“-a一定表示一个负数”是错误的．故答案为-1．利用反例说明命题为假命题，a可以取负数或0．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．15.【答案】【解析】解：由图形可列出关于x，y的方程组为，故答案为：．根据图形得出“长+宽=4，长-宽=2”可得方程组．本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．16.【答案】方案四【解析】解：方案一：1000×（2-1）=1000（元）；方案二：100×3=300（个），1000-300=700（个），（85÷10-2.5-1）×300+700×（2-1）=2200（元）；方案三：100×2=200（个），1000-200-200=600（个），（85÷10-2.5-1）×200+（30÷5-1-1）×200+600×（2-1）=2400（元）；方案四：200×2=400（个），1000-100-400=500（个），（85÷10-2.5-1）×100+（30÷5-1-1）×400+500×（2-1）=2600（元）；∵2600＞2400＞2200＞1000，∴销售方式中利润最大的是方案四．故答案为：方案四．方案一：直接用算术方法计算：不加工的利润×吨数；方案二：分别求出三天全部进行精加工的利润和剩下的直接卖的利润，相加即可求解；方案三：分别求出两天精加工的利润、一天粗加工的利润和剩下的直接卖的利润，相加即可求解；方案四：分别求出两天粗加工的利润、一天精加工的利润和剩下的直接卖的利润，相加即可求解．本题主要考查有理数的混合运算，根据题意得出各自加工的数量是解题的关键．17.【答案】解：解不等式2（x-3）＜x-4，得：x＜2，解不等式，得：x＞-1，则不等式组的解集为-1＜x＜2．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.【答案】解：原式=2×-1+2-2=-1+2-2=1-．【解析】先化简二次根式、计算负整数指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得．本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握二次根式的性质、负整数指数幂的规定、绝对值的性质、熟记特如锐角的三角函数值．19.【答案】CPB APB OBP OPB内错角相等，两直线平行【解析】解：（1）补全图形如下：（2）证明：连接BP、BC，∵AB=BC，∴=，∴∠CPB=∠APB，又∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB，∴∠CPB=∠OBP，∴CP∥l（内错角相等，两直线平行）．故答案为：CPB，APB，OBP，OPB，内错角相等，两直线平行．（1）根据作图过程即可补全图形；（2）结合（1）根据圆周角定理即可完成证明．本题考查了作图-复杂作图、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．20.【答案】（1）证明：∵△=（k-1）2-4（k-2）=k2-6k+1+8=（k-3）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：当k=1时，方程为x2-1=0，解方程得x1=1，x2=-1．【解析】（1）计算判别式的值，再利用非负数的性质可判断△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）令k=1得到方程为x2-1=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21.【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，∵BE=DF，∴AD+DF=AB+BE，即AF=AE，∵∠DAC=∠BAC，∴AG⊥EF；（2）如图，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，由（1）可知：AG⊥EF，∵BM⊥EF，∴四边形BOGM是矩形，∴GM=OB=BD=1，OA=OC=AC，∵C为AG中点，∴AC=CG，∴=，∵BD∥EG，∴=，即=，∴EM=3．所以EM的长为3．【解析】（1）根据四边形ABCD是菱形，可得AD=AB，∠DAC=∠BAC，根据BE=DF，得AF=AE，所以根据等腰三角形的性质即可得AG⊥EF；（2）根据题意可得四边形BOGM是矩形，根据C为AG中点，可得AC=CG，进而可得=，进而可得EM的长．本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．22.【答案】解：（1）证明：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵FC=BC，∴∠CFB=∠CBF，∵OD⊥AC，∴∠DGF=90°，∴∠ODB+∠DFG=90°∵∠CFB=∠DFG，∴∠ODB+∠CFB=∠OBD+∠CBF=∠OBC=90°，∴OB⊥BC，∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵∠AGO=90°，∴OD∥BE，∴∠GDF=∠EBF，∵⊙O的半径为5，tan A=，∴OA=OD=5，OG=3，AG=4，∴DG=OD-OG=2，∵在Rt△ABE中，AB=10，tan A=，∴BE=6，AE=8，∵OG⊥AE，∴AG=EG=4，∴EF=EG-GF=4-GF，∵∠GDF=∠EBF，∴tan∠GDF=tan∠EBF，即=，∴=，解得GF=1．所以GF的长为1．【解析】（1）根据OB=OD，可得∠OBD=∠ODB，由FC=BC，可得∠CFB=∠CBF，再由OD⊥AC，可得∠DGF=90°，进而可得∠OBC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）如图，连接BE，根据AB是⊙O的直径，可得∠AEB=90°，得OD∥BE，得∠GDF=∠EBF，所以得tan∠GDF=tan∠EBF，再根据⊙O的半径为5，tan A=，可得OA=OD=5，OG=3，AG=4，BE=6，AE=8，进而可得GF的长．本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．23.【答案】解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴B（2，2），将其代入y=（x＞0）得：2=，∴k=4；（2）①当点D为MN中点时，观察图形结合直线y=x+b可得D（4，1），如图所示：∴将D（4，1）代入y=x+b得：1=4+b，∴b=-3；②由①函数图象可得，当DM＞MN时，b的取值范围是b＜-3．【解析】（1）由题意可得点B坐标，将其代入y=（x＞0），解得k的值即可；（2）①观察图形结合直线y=kx+b为与x轴正方向成45°角的直线，可得点D坐标，将其代入直线y=kx+b，解得b的值即可；②由函数图象可知，当直线y=x+b由①中位置向右平移时DM＞DN，则可得b的取值范围．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合并明确相关函数的性质是解题的关键．24.【答案】12 0.32 24 160【解析】解：（1）a=50-8-10-16-4=12，b=1-0.16-0.20-0.24-0.08=0.32；故答案为：12，0.32；（2）补全的频数分布直方图如下：（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是（23+25）÷2=24，故答案为：24；（4）500×（0.24+0.08）=160（人）．答：估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有160人．故答案为：160．（1）根据频数分布表即可求出a，b；（2）结合（1）根据频数分布表即可补全频数分布直方图；（3）根据频数分布表中的节数x，即可得观看直播课节数的中位数；（4）利用样本估计总体的方法即可估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的人数．本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解决本题的关键是综合掌握以上知识．25.【答案】2.24 3.7或4.7或4.3【解析】解：（1）观察表中数据可得：当x=3时，y1=2.24．（2.0-2.5之间的数均可）（2）函数图象如图1所示：（3）如图2．观察图象可知：当y1=y2或6-x=y1或6-x=y2，△PQB为等腰三角形，即当BQ=PQ或PB=PQ或PB=BQ时，x=3.7cm或4.7cm或4.3cm，综上所述，满足条件的x的值为3.7cm或4.7cm或4.3cm．故答案为：3.7或4.7或4.3．（1）根据表中的数据可得出答案；（2）利用描点法画出图象即可．（3）图中寻找直线y=-x+6与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可．本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．26.【答案】解：（1）∵抛物线的解析式为y=mx2-2mx-1（m＞0），∴抛物线的对称轴为直线x=-=1，令x=0，则y=-1，∴C（0，-1）；（2）①当m=1时，抛物线的解析式为y=x2-2x-1，由（1）知，C（0，-1），抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线还经过（2，-1），∵抛物线的顶点坐标为（1，-2），∴图形W内的整点只有（1，-1）一个；②如图，由①知，抛物线过点（0，-1），（2，-1），∵图形W内有2个整数点，∴2＜≤3，∴-2≤m＜-1或1＜m≤2，∵m＞0，∴1＜m≤2．【解析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线对称轴的确定，函数图象的画法，顶点坐标公式，利用数形结合的思想解决问题是解本题的关键．（1）直接利用对称轴公式计算，即可得出抛物线的对称轴，再令x=0，即可求出点C 的坐标；（2）①先确定出抛物线解析式，即可得出结论；②先判断出满足条件的整数点由（1，-1），进而抛物线的顶点坐标的范围即可得出结论．27.【答案】60°【解析】解：（1）由题意画出图形如图1，（2）如图1，∵∠BAM=15°，∠ABC=90°，∴∠AMB=90°-15°=75°，∵线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，∴CM=CD，∠MCD=90°，∴∠CMD=∠MDC=45°，∴∠AMD=180°-∠AMB-∠DMC=180°-75°-45°=60°．故答案为：60°．（3）当∠AMB=75°时，AM=DM．想法1证明：如图2，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，∵∠AEC=∠C=∠ABC=90°，AB=BC，∴四边形ABCE正方形，∴AB=AE，BC=CE，由（2）可知CM=CD，∴BM=DE，∴△ABM≌△AED（SAS），∴AM=AD，由（2）可知∠AMD=60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM=DM．想法2证明：如图3，过点C作CF∥AD交AB于点F，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD=CF，AF=CD，∵AB=AF+BF，BC=BM+CM，AB=BC，∴CD+BF=BM+CM，∵CD=CM，∴BF=BM，又∵AB=BC，∠FBC=∠MBC=90°，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM=CF，∴AM=AD，又∵∠AMD=60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM=DM．想法3证明：如图4，连接AC，∵BC=AB，∠ABC=90°，∴∠ACB=45°，∴∠ACD=45°，又∵CM=CD，AC=AC，∴△ACM≌△ACD（SAS），∴AM=AD，∵∠AMD=60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM=DM．（1）由题意画出，图形；（2）由旋转的性质可得出△DCM为等腰直角三角形，则∠DMC=45°，∠AMB=75°，可求出答案；（3）根据三种想法证明△AMD为等边三角形即可得出结论．本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．28.【答案】解：（1）如图2，由点P为⊙C的“关于AB的关联点”的定义得，∠APB=60°，∴∠ACB=2∠APB=120°；（2）①如图3，连接OM，ON，∵点N是点M关于y轴的对称点，∴MN⊥y轴，交点记作点Q，NQ=MQ，OM=ON，∵点M（1，），∴OQ=，QM=1，∴MN=2，∵M（1，），∴OM=2，∴ON=OM=2=MN，∴∠MON=60°点P与点O重合，∴P（0，0），由对称性知，P（0，2），即满足条件的点P的坐标为（0，0）或（0，2）；②如图4，过点M作⊙D的切线ME，MF，连接DE，DF，∴∠DFM=∠DEM=90°，∵∠EMF=60°，∴∠EDF=120°，连接DM，∴∠DMF=30°，在Rt△DFM中，DF=1，则MF=，∴点F在x轴上，∵M（1，），∴F（1，0），∴OD=2，∴D（2，0），同理：D'（-2，0），∴-2≤m≤2．【解析】（1）根据“关于AB的关联点”的定义直接画出图形，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系即可得出结论；（2）①先求出OM，MQ，进而判断出OM=ON=MN，得出∠MON=60°，再由对称性即可得出结论；②先判断出过点M作⊙D的两条切线，当∠EMF=60°时，m最大，求出此时的m的值，利用对称性求出m的最小时，即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，两点间的距离公式，找出分界点是解本题的关键．。
2020年北京市平谷区中考数学二模试卷 (解析版)
2020年北京市平谷区中考数学二模试卷一、选择题（共8小题）.1．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．厨余垃圾FoodWasteB．可回收物RecyclableC．其他垃圾ResidualWasteD．有害垃圾HazardousWaste2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（）A．a B．b C．c D．无法确定3．聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4纳米，通过百度搜索聪聪又知道1纳米＝10﹣9米，则水分子的直径约为（）A．4×10﹣10米B．0.4×10﹣10米C．4×10﹣9米D．4×10﹣8米4．下列几何体中主视图为矩形的是（）A．B．C．D．5．如果x+y﹣2＝0，那么代数式的值为（）A．B．﹣2C．D．26．如图，螺丝母的截面是正六边形，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°7．某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位：cm）如图所示：设两队队员身高的平均数依次为甲，乙，方差依次为s甲2，s乙2，下列关系中完全正确的是（）A．甲＝乙，s甲2＜s乙2B．甲＝乙，s甲2＞s乙2C．甲＜乙，s甲2＜s乙2D．甲＞乙，s甲2＞s乙28．如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；④乙的综合评分比甲要高．其中合理的是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分)9．因式分解：x2y﹣9y＝．10．如图所示，边长为1正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则∠ACB+∠ABC的度数为．11．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是．12．如图，直线l∥m，点A、B是直线l上两点，点C、D是直线m上两点，连接AC、AD、BC、BD，AD、BC交于点O，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1S2（填＞，＜或＝号）．13．若一次函数的图象过点（0，2），且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式：．14．用一个a的值说明命题“﹣a一定表示一个负数”是错误的，a的值可以是．15．图1中的小矩形长为x，宽为y，将四个同样的小矩形拼成如图2的正方形，则可列出关于x，y的方程组为．16．某商场在端午节前以1元/个的价格购进1000个粽子，现有以下三种销售方式：不加工直接卖，对产品进行粗加工再卖，精加工后再卖．受加工能力和气温影响，粗加工一天只能加工200个，细加工一天只能加工100个，两种加工不能同时进行，且最多加工三天．加工方式加工成本销售单位售价直接卖0个2元/个粗加工1元/个包装袋（一袋5个）30元/袋精加工 2.5元/个礼盒（一盒10个）85元/盒假设所有粽子均能全部售出，则以下销售方式中利润最大的是．方案一：不加工直接销售；方案二：三天全部进行精加工，剩下的直接卖；方案三：两天精加工，一天粗加工，剩下的直接卖；方案四：两天粗加工，一天精加工，剩下的直接卖．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题5分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：2cos30°﹣（3﹣π）0+（）﹣1﹣．18．解不等式组：．19．下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线外一点P．求作：过点P作直线l的平行线．作法：如图，①在直线l上任取点O；②作直线PO；③以点O为圆心OP长为半径画圆，交直线PO于点A，交直线l于点B；④连接AB，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交⊙O于点C（点A与点C不重合）；⑤作直线CP；则直线CP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：连接BP、BC，∵AB＝BC，∴＝，∴∠＝∠，又∵OB＝OP，∴∠＝∠，∴∠CPB＝∠OBP，∴CP∥l（）（填推理的依据）．20．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21．如图，在菱形ABCD中，延长AB到E，延长AD到F，使BE＝DF，连接EF，连接AC并延长交EF于点G．（1）求证：AG⊥EF；（2）连接BD交AC于O，过B作BM⊥EF于点M，若BD＝2，C为AG中点，求EM 的长．22．如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD交AC于点F，且FC＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，tan A＝，求GF的长．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，函数y＝（x＞0）的图象经过点B，与直线y＝x+b交于点D．（1）求k的值；（2）直线y＝x+b与BC边所在直线交于点M，与x轴交于点N．①当点D为MN中点时，求b的值；②当DM＞MN时，结合函数图象，直接写出b的取值范围．24．疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．观看直播课节数的频数分布表节数x频数频率0≤x＜1080.1610≤x＜20100.2020≤x＜3016b30≤x＜40a0.24x≥4040.08总数501其中，节数在20≤x＜30这一组的数据是：20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是；（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有人．25．如图，M是弦AB与弧AB所围成的图形的内部的一个定点，P是弦AB上一动点，连接PM并延长交弧AB于点Q，连接QB．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，Q两点间距离为y1cm，BQ两点间距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了研究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，补全如表；x/cm0123456y1/cm 5.24 4.24 3.24 1.54 1.79 3.47y2/cm 1.31 1.34 1.42 1.54 1.80 2.45 3.47（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值对应的点（x1，y1）和（x2，y2）并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△PQB为等腰三角形时，AP的长度约cm（精确到0.1）．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B，与y轴交点C．（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域为图形W（不含边界）．①当m＝1时，求图形W内的整点个数；②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．27．如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD 是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB是一定度数时，AM＝MB．（一种方法即可）28．如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是⊙C上不重合的两个点，连结PA，PB．当∠APB＝60°时，我们称点P为⊙C的“关于AB的关联点”．（1）如图2，当点P在⊙C上时，点P是⊙C的“关于AB的关联点”时，画出一个满足条件的∠APB，并直接写出∠ACB的度数；（2）在平面直角坐标系中，点M（1，），点M关于y轴的对称点为点N．①以点O为圆心，OM为半径画⊙O，在y轴上存在一点P，使点P为⊙O“关于MN 的关联点”，直接写出点P的坐标；②点D（m，0）是x轴上一动点，当⊙D的半径为1时，线段MN上至少存在一个点是⊙D的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．厨余垃圾FoodWasteB．可回收物RecyclableC．其他垃圾ResidualWasteD．有害垃圾HazardousWaste【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（）A．a B．b C．c D．无法确定【分析】根据数轴上点的位置，结合相反数，绝对值的性质判断即可．解：根据数轴上点的位置及a，c互为相反数，得c＜a＜b，且|c|＝|a|＜|b|，则绝对值最大的是b，故选：B．3．聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4纳米，通过百度搜索聪聪又知道1纳米＝10﹣9米，则水分子的直径约为（）A．4×10﹣10米B．0.4×10﹣10米C．4×10﹣9米D．4×10﹣8米【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.4纳米＝0.4×10﹣9米＝4×10﹣10米．故选：A．4．下列几何体中主视图为矩形的是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；B、圆柱的主视图是矩形，符合题意；C、三棱锥的主视图是三角形，不合题意；D、球的主视图是圆，不符合题意．故选：B．5．如果x+y﹣2＝0，那么代数式的值为（）A．B．﹣2C．D．2【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．解：原式＝•＝，由x+y﹣2＝0，得到x+y＝2，则原式＝．故选：C．6．如图，螺丝母的截面是正六边形，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．解：∵这个正六边形的外角和等于360°，∴∠1＝360°÷6＝60°．故选：C．7．某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位：cm）如图所示：设两队队员身高的平均数依次为甲，乙，方差依次为s甲2，s乙2，下列关系中完全正确的是（）A．甲＝乙，s甲2＜s乙2B．甲＝乙，s甲2＞s乙2C．甲＜乙，s甲2＜s乙2D．甲＞乙，s甲2＞s乙2【分析】利用平均数和方差的计算公式进行计算即可．解：甲：＝＝176，s2＝[（176﹣176）2×2+（177﹣176）2×2+（175﹣176）2]÷6＝，乙：＝＝176，s2＝[（178﹣176）2+（175﹣176）2+（170﹣176）2+（174﹣176）2+（183﹣176）2+（176﹣176）2]÷6＝，则甲＝乙，s甲2＜s乙2，故选：A．8．如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；④乙的综合评分比甲要高．其中合理的是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④【分析】根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可．解：由图形可知：甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理；甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习的能力是甲自身的不足，故②合理；甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故乙与他人的沟通和合作能力弱于甲，故③合理；甲的各项得分为5，5，4，4，1；乙的各项得分为5，5，4，4，3，乙的综合评分比甲要高2分，故④合理．综上，合理的选项有①②③④．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分)9．因式分解：x2y﹣9y＝y（x+3）（x﹣3）．【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：x2y﹣9y，＝y（x2﹣9），＝y（x+3）（x﹣3）．10．如图所示，边长为1正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则∠ACB+∠ABC的度数为45°．【分析】根据三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质即可求解．解：如图，∠ACB+∠ABC＝∠CAD，∵∠ADC＝90°，AD＝CD＝3，∴∠CAD＝45°，∴∠ACB+∠ABC＝45°．故答案为：45°．11．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是x≥1．【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．解：根据题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．12．如图，直线l∥m，点A、B是直线l上两点，点C、D是直线m上两点，连接AC、AD、BC、BD，AD、BC交于点O，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1＝S2（填＞，＜或＝号）．【分析】根据同底等高的两个三角形面积相等得到S△ACD＝S△BCD，结合图形计算，得到答案．解：∵l∥m，∴S△ACD＝S△BCD，∴S△ACD﹣S△OCD＝S△BCD﹣S△OCD，即S△AOC＝S△BOD，∴S1＝S2，故答案为：＝．13．若一次函数的图象过点（0，2），且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式：y＝x+2．【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b，根据一次函数的图象过点（0，2）得到b＝2，根据函数y随自变量x的增大而增大得到k＞0，然后取k＝1写出一个满足条件的解析式．解：设一次函数的解析式为y＝kx+b，把（0，2）代入得b＝2，∴y＝kx+2，∵函数y随自变量x的增大而增大，∴k＞0，∴k可取1，此时一次函数解析式为y＝x+2．故答案为y＝x+2．14．用一个a的值说明命题“﹣a一定表示一个负数”是错误的，a的值可以是﹣1．【分析】利用反例说明命题为假命题，a可以取负数或0．解：当a＝﹣1时，﹣a＝﹣（﹣1）＝1，所以“﹣a一定表示一个负数”是错误的．故答案为﹣1．15．图1中的小矩形长为x，宽为y，将四个同样的小矩形拼成如图2的正方形，则可列出关于x，y的方程组为．【分析】根据图形得出“长+宽＝4，长﹣宽＝2”可得方程组．解：由图形可列出关于x，y的方程组为，故答案为：．16．某商场在端午节前以1元/个的价格购进1000个粽子，现有以下三种销售方式：不加工直接卖，对产品进行粗加工再卖，精加工后再卖．受加工能力和气温影响，粗加工一天只能加工200个，细加工一天只能加工100个，两种加工不能同时进行，且最多加工三天．加工方式加工成本销售单位售价直接卖0个2元/个粗加工1元/个包装袋（一袋5个）30元/袋精加工 2.5元/个礼盒（一盒10个）85元/盒假设所有粽子均能全部售出，则以下销售方式中利润最大的是方案四．方案一：不加工直接销售；方案二：三天全部进行精加工，剩下的直接卖；方案三：两天精加工，一天粗加工，剩下的直接卖；方案四：两天粗加工，一天精加工，剩下的直接卖．【分析】方案一：直接用算术方法计算：不加工的利润×吨数；方案二：分别求出三天全部进行精加工的利润和剩下的直接卖的利润，相加即可求解；方案三：分别求出两天精加工的利润、一天粗加工的利润和剩下的直接卖的利润，相加即可求解；方案四：分别求出两天粗加工的利润、一天精加工的利润和剩下的直接卖的利润，相加即可求解．解：方案一：1000×（2﹣1）＝1000（元）；方案二：100×3＝300（个），1000﹣300＝700（个），（85÷10﹣2.5﹣1）×300+700×（2﹣1）＝2200（元）；方案三：100×2＝200（个），1000﹣200﹣200＝600（个），（85÷10﹣2.5﹣1）×200+（30÷5﹣1﹣1）×200+600×（2﹣1）＝2400（元）；方案四：200×2＝400（个），1000﹣100﹣400＝500（个），（85÷10﹣2.5﹣1）×100+（30÷5﹣1﹣1）×400+500×（2﹣1）＝2600（元）；∵2600＞2400＞2200＞1000，∴销售方式中利润最大的是方案四．故答案为：方案四．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题5分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：2cos30°﹣（3﹣π）0+（）﹣1﹣．【分析】先化简二次根式、计算负整数指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得．解：原式＝2×﹣1+2﹣2＝﹣1+2﹣2＝1﹣．18．解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式2（x﹣3）＜x﹣4，得：x＜2，解不等式，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x＜2．19．下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线外一点P．求作：过点P作直线l的平行线．作法：如图，①在直线l上任取点O；②作直线PO；③以点O为圆心OP长为半径画圆，交直线PO于点A，交直线l于点B；④连接AB，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交⊙O于点C（点A与点C不重合）；⑤作直线CP；则直线CP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：连接BP、BC，∵AB＝BC，∴＝，∴∠CPB＝∠APB，又∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∴∠CPB＝∠OBP，∴CP∥l（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）结合（1）根据圆周角定理即可完成证明．解：（1）补全图形如下：（2）证明：连接BP、BC，∵AB＝BC，∴＝，∴∠CPB＝∠APB，又∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∴∠CPB＝∠OBP，∴CP∥l（内错角相等，两直线平行）．故答案为：CPB，APB，OBP，OPB，内错角相等，两直线平行．20．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．【分析】（1）计算判别式的值，再利用非负数的性质可判断△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）令k＝1得到方程为x2﹣1＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】（1）证明：∵△＝（k﹣1）2﹣4（k﹣2）＝k2﹣6k+1+8＝（k﹣3）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：当k＝1时，方程为x2﹣1＝0，解方程得x1＝1，x2＝﹣1．21．如图，在菱形ABCD中，延长AB到E，延长AD到F，使BE＝DF，连接EF，连接AC并延长交EF于点G．（1）求证：AG⊥EF；（2）连接BD交AC于O，过B作BM⊥EF于点M，若BD＝2，C为AG中点，求EM 的长．【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，可得AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，根据BE＝DF，得AF＝AE，所以根据等腰三角形的性质即可得AG⊥EF；（2）根据题意可得四边形BOGM是矩形，根据C为AG中点，可得AC＝CG，进而可得＝，进而可得EM的长．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，∵BE＝DF，∴AD+DF＝AB+BE，即AF＝AE，∵∠DAC＝∠BAC，∴AG⊥EF；（2）如图，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，由（1）可知：AG⊥EF，∵BM⊥EF，∴四边形BOGM是矩形，∴GM＝OB＝BD＝1，OA＝OC＝AC，∵C为AG中点，∴AC＝CG，∴＝，∵BD∥EG，∴＝，即＝，∴EM＝3．所以EM的长为3．22．如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD 交AC于点F，且FC＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，tan A＝，求GF的长．【分析】（1）根据OB＝OD，可得∠OBD＝∠ODB，由FC＝BC，可得∠CFB＝∠CBF，再由OD⊥AC，可得∠DGF＝90°，进而可得∠OBC＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）如图，连接BE，根据AB是⊙O的直径，可得∠AEB＝90°，得OD∥BE，得∠GDF＝∠EBF，所以得tan∠GDF＝tan∠EBF，再根据⊙O的半径为5，tan A＝，可得OA＝OD＝5，OG＝3，AG＝4，BE＝6，AE＝8，进而可得GF的长．解：（1）证明：∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵FC＝BC，∴∠CFB＝∠CBF，∵OD⊥AC，∴∠DGF＝90°，∴∠ODB+∠DFG＝90°∵∠CFB＝∠DFG，∴∠ODB+∠CFB＝∠OBD+∠CBF＝∠OBC＝90°，∴OB⊥BC，∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠AGO＝90°，∴OD∥BE，∴∠GDF＝∠EBF，∵⊙O的半径为5，tan A＝，∴OA＝OD＝5，OG＝3，AG＝4，∴DG＝OD﹣OG＝2，∵在Rt△ABE中，AB＝10，tan A＝，∴BE＝6，AE＝8，∵OG⊥AE，∴AG＝EG＝4，∴EF＝EG﹣GF＝4﹣GF，∵∠GDF＝∠EBF，∴tan∠GDF＝tan∠EBF，即＝，∴＝，解得GF＝1．所以GF的长为1．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，函数y＝（x＞0）的图象经过点B，与直线y＝x+b交于点D．（1）求k的值；（2）直线y＝x+b与BC边所在直线交于点M，与x轴交于点N．①当点D为MN中点时，求b的值；②当DM＞MN时，结合函数图象，直接写出b的取值范围．【分析】（1）由题意可得点B坐标，将其代入y＝（x＞0），解得k的值即可；（2）①观察图形结合直线y＝kx+b为与x轴正方向成45°角的直线，可得点D坐标，将其代入直线y＝kx+b，解得b的值即可；②由函数图象可知，当直线y＝x+b由①中位置向右平移时DM＞DN，则可得b的取值范围．解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴B（2，2），将其代入y＝（x＞0）得：2＝，∴k＝4；（2）①当点D为MN中点时，观察图形结合直线y＝x+b可得D（4，1），如图所示：∴将D（4，1）代入y＝x+b得：1＝4+b，∴b＝﹣3；②由①函数图象可得，当DM＞MN时，b的取值范围是b＜﹣3．24．疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．观看直播课节数的频数分布表节数x频数频率0≤x＜1080.1610≤x＜20100.2020≤x＜3016b30≤x＜40a0.24x≥4040.08总数501其中，节数在20≤x＜30这一组的数据是：20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝12，b＝0.32；（2）请补全频数分布直方图；（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是24；（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有160人．【分析】（1）根据频数分布表即可求出a，b；（2）结合（1）根据频数分布表即可补全频数分布直方图；（3）根据频数分布表中的节数x，即可得观看直播课节数的中位数；（4）利用样本估计总体的方法即可估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的人数．解：（1）a＝50﹣8﹣10﹣16﹣4＝12，b＝1﹣0.16﹣0.20﹣0.24﹣0.08＝0.32；故答案为：12，0.32；（2）补全的频数分布直方图如下：（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是（23+25）÷2＝24，故答案为：24；（4）500×（0.24+0.08）＝160（人）．答：估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有160人．故答案为：160．25．如图，M是弦AB与弧AB所围成的图形的内部的一个定点，P是弦AB上一动点，连接PM并延长交弧AB于点Q，连接QB．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，Q两点间距离为y1cm，BQ两点间距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了研究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，补全如表；x/cm0123456y1/cm 5.24 4.24 3.24 2.24 1.54 1.79 3.47y2/cm 1.31 1.34 1.42 1.54 1.80 2.45 3.47（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值对应的点（x1，y1）和（x2，y2）并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△PQB为等腰三角形时，AP的长度约 3.7或4.7或4.3cm（精确到0.1）．【分析】（1）根据表中的数据可得出答案；（2）利用描点法画出图象即可．（3）图中寻找直线y＝﹣x+6与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可．解：（1）观察表中数据可得：当x＝3时，y1＝2.24．（2.0﹣2.5之间的数均可）（2）函数图象如图1所示：（3）如图2．观察图象可知：当y1＝y2或6﹣x＝y1或6﹣x＝y2，△PQB为等腰三角形，即当BQ＝PQ或PB＝PQ或PB＝BQ时，x＝3.7cm或4.7cm或4.3cm，综上所述，满足条件的x的值为3.7cm或4.7cm或4.3cm．故答案为：3.7或4.7或4.3．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B，与y轴交点C．（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域为图形W（不含边界）．①当m＝1时，求图形W内的整点个数；②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．【分析】（1）直接利用对称轴公式计算，即可得出抛物线的对称轴，再令x＝0，即可求出点C的坐标；（2）①先确定出抛物线解析式，即可得出结论；②先判断出满足条件的整数点由（1，﹣1），进而抛物线的顶点坐标的范围即可得出结论．解：（1）∵抛物线的解析式为y＝mx2﹣2mx﹣1（m＞0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，令x＝0，则y＝﹣1，∴C（0，﹣1）；（2）①当m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1，由（1）知，C（0，﹣1），抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线还经过（2，﹣1），∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），∴图形W内的整点只有（1，﹣1）一个；②如图，由①知，抛物线过点（0，﹣1），（2，﹣1），∵图形W内有2个整数点，∴2＜≤3，∴﹣2≤m＜﹣1或1＜m≤2，∵m＞0，∴1＜m≤2．27．如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是60°；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD 是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB是一定度数时，AM＝MB．（一种方法即可）【分析】（1）由题意画出，图形；（2）由旋转的性质可得出△DCM为等腰直角三角形，则∠DMC＝45°，∠AMB＝75°，可求出答案；（3）根据三种想法证明△AMD为等边三角形即可得出结论．解：（1）由题意画出图形如图1，（2）如图1，∵∠BAM＝15°，∠ABC＝90°，∴∠AMB＝90°﹣15°＝75°，∵线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，∴CM＝CD，∠MCD＝90°，∴∠CMD＝∠MDC＝45°，∴∠AMD＝180°﹣∠AMB﹣∠DMC＝180°﹣75°﹣45°＝60°．故答案为：60°．（3）当∠AMB＝75°时，AM＝DM．想法1证明：如图2，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，∵∠AEC＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCE正方形，∴AB＝AE，BC＝CE，由（2）可知CM＝CD，∴BM＝DE，∴△ABM≌△AED（SAS），∴AM＝AD，由（2）可知∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法2证明：如图3，过点C作CF∥AD交AB于点F，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD＝CF，AF＝CD，∵AB＝AF+BF，BC＝BM+CM，AB＝BC，∴CD+BF＝BM+CM，∵CD＝CM，∴BF＝BM，又∵AB＝BC，∠FBC＝∠MBC＝90°，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∴AM＝AD，又∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法3证明：如图4，连接AC，∵BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACD＝45°，又∵CM＝CD，AC＝AC，∴△ACM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．28．如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是⊙C上不重合的两个点，连结PA，PB．当∠APB＝60°时，我们称点P为⊙C的“关于AB的关联点”．（1）如图2，当点P在⊙C上时，点P是⊙C的“关于AB的关联点”时，画出一个满足条件的∠APB，并直接写出∠ACB的度数；（2）在平面直角坐标系中，点M（1，），点M关于y轴的对称点为点N．①以点O为圆心，OM为半径画⊙O，在y轴上存在一点P，使点P为⊙O“关于MN的关联点”，直接写出点P的坐标；②点D（m，0）是x轴上一动点，当⊙D的半径为1时，线段MN上至少存在一个点是⊙D的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．。
2019-2020学年最新北京市平谷区中考二模数学试题及答案解析A
初三数学统练二学校 班级 姓名 考号试一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一．．．个．是符合题意的． 1．25-的绝对值是 A ．52 B ．52-C ．25D ．25-2．打开百度搜索栏，输入“数学学习法”，百度为你找到的相关信息约有12 000 000条， 将12 000 000用科学记数法表示为A ．1.2×107B. 61.210⨯ C ．61210⨯ D ．71210⨯ 3．一个正多边形的一个外角是40°，这个正多边形的边数是A ．10B ．9C ．8D ．54．有分别写数字1、2、3、4、5的五张卡片，除数字不同外其它均相同，从中任意抽取一张，那么抽到的数是奇数的概率是 A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 5．如图，AB ∥CD ，O 为CD 上一点，且∠AOB=90°，若∠B=33°，则∠AOC 的度数是 A ．33° B ．60° C ．67° D ．57°6．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是20.65S =甲，20.55S =乙，20.50S =丙 20.45S =丁，则射箭成绩最稳定的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为．8. 如图，扇形OAB 的半径OA=6，圆心角∠AOB=90°，C 是»AB 上不同于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连结DE ，点H 在线段DE 上，且EH=32DE ．设EC 的长为x ，△C EH 的面积为y ，下面表示y 与x 的函数关系式的图象可能是A ．B ．C ． D. 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：339-=a b ab ．A ．0.7B ．1.5C ．1.75D ．1.710．直线过点（0，-1），且y 随x 的增大而减小．写出一个满足条件的一次函数解析式．_________________．11.如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC=50°，则∠CDB 的度数为__________．12．如图，□ABCD 的面积为16，对角线交于点O ；以AB 、AO 为邻边做□AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB 、AO 1为邻边做□AO 1C 2B ，对角线交于点O 2；…；依此类推．则□AOC 1B 的面积为_______；□AO 4C 5B 的面积为_______；□AO n C n+1B 的面积为___________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．如图，AD 平分∠BAC ，AD=AC ，E 为AD 上一点，且AE=AB ，连结BD 、CE ．求证：BD=CE ．14．计算：1012014tan 603-⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭．212题图15．求不等式组2(2)43251x x x x-≤-⎧⎨--⎩＜的整数解．16．已知a 2＋2a=3，求代数式22(1)(2)a a a ---的值．17．已知一次函数y kx b =+(0)k ≠与反比例函数(0)my m x=≠的图象交于(23)(6)A B n -，、，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）P 是y 轴上一点，且12ABP S ∆=，直接写出P 点坐标．18．A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，求A 型、B 型两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？四、解答题(本题共20分，每小题5分)19．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠A=120 ∠C=60°，AB=5，AD=3． （1）求证：AD=DC ； （2）求四边形ABCD 的周长．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC相切于点E ，连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点F ． （1）求证：BD=BF ；（2）若CF=1，cosB=35，求⊙O 的半径．21．某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题.（1）将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查的样本容量是____________；（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.22. 如图1，若点A 、B 在直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使AP+BP 的值最小，做法是：作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′，与直线l 的交点就是所求的点P ，线段AB′的长度即为AP+BP 的最小值．（1）如图2，在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小．做法是：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，这点就是所求的点P ，故BP+PE 的最小值为 ；（2）如图3，已知⊙O 的直径CD 为2，AC 的度数为60°，点B 是AC 的中点，在直径CD 上作出点P ，使BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值为 ；（3）如图4，点P 是四边形ABCD 内一点，BP=m ，ABC α∠=，分别在边AB 、BC 上作出点M 、N ，使PMN ∆的周长最小，求出这个最小值（用含m 、α的代数式表示）．图4C图3图2图1P D EBA备用图五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分) 23．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=． （1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和2(568)k k k -+-+，两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P(a ，b)为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．图2图1E DCA24.（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，E 为BC 上一点，且CE=AB ，BE=CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________.(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明． ②当BD CEAC AD==时， BPD ∠的度数____________________．25.定义：任何一个一次函数y px q =+，取出它的一次项系数p 和常数项q ，有序数组][q p ，为其特征数.例如：y=2x+5的特征数是]52[，，同理，[]a b ，，c 为二次函数2y ax bx c =++的特征数。
备战2020中考北京市中考二模数学试卷及答案(1)【含多套模拟】
中学数学二模模拟试卷一．选择题（满分30分，每小题3分）1．估计﹣2的值在（）A．0到l之间B．1到2之问C．2到3之间D．3到4之间2．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．3x2﹣2x2＝1 B． +＝C．x÷y•＝x D．a2•a3＝a54．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④5．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，则成绩比较稳定的是（）A．甲稳定B．乙稳定C．一样稳定D．无法比较6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（）A．B．C．D．7．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．8．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝09．如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（）A．B．C．D．10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（）A．B．2C．πD．π二．填空题（满分18分，每小题3分）11．因式分解：a3﹣9a＝．12．方程＝的解是．13．已知，如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，OA＝2，若以A为圆心，OA长为半径画弧交弧AB于点C，过点C作CD⊥OA，垂足为D，则图中阴影部分的面积为．14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是．15．已知点A是双曲线y＝在第一象限的一动点，连接AO，过点O做OA⊥OB，且OB＝2OA，点B在第四象限，随着点A的运动，点B的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是．三．解答题17．（9分）（x+3）（x﹣1）＝12（用配方法）18．（9分）如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．（1）在图1中，作AD的中点P；（2）在图2中，作AB的中点Q．19．（10分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4．20．（10分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名？（4）若从体能为A 等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．21．（12分）如图，在⊙O 中，点A 是的中点，连接AO ，延长BO 交AC 于点D ． （1）求证：AO 垂直平分BC ．（2）若，求的值．22．（12分）如图，将一矩形OABC 放在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点E 是边AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点E 的反比例函数y ＝（x ＞0）的图象与边BC 交于点F（1）若△OAE 的面积为S 1，且S 1＝1，求k 的值；（2）若OA ＝2，OC ＝4，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象与边AB 、边BC 交于点E 和F ，当△BEF 沿EF 折叠，点B 恰好落在OC 上，求k 的值．23．（12分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C 两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣，过点A（﹣3，2）和点B（2，），与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）∠AOB的大小是；（4）将△OCD绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点C′，点D的对应点是点D′，直线AC′与直线BD′交于点M，在△OCD旋转过程中，当点M与点C′重合时，请直接写出点M到AB的距离．25．（14分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；（3）若＝，求证：CD＝DH．参考答案1．B．2．B．3．D．4．D．5．B．6．A．7．C．8．C．9．A．10．D．11．a（a+3）（a﹣3）．12．x＝﹣413．π+．14．x＝3．15．y＝﹣．16．．17．解：将原方程整理，得x2+2x＝15（1分）两边都加上12，得x2+2x+12＝15+12（2分）即（x+1）2＝16开平方，得x+1＝±4，即x+1＝4，或x+1＝﹣4（4分）∴x1＝3，x2＝﹣5（5分）18．解：（1）如图点P即为所求；（2）如图点Q即为所求；19．解：原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝4时，原式＝＝．20．解：（1）10÷20%＝50，所以本次抽样调查共抽取了50名学生；（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；补全条形图如图所示：（3）700×＝56，所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．21．（1）证明：延长AO交BC于H．∵＝，∴OA⊥BC，∴BH＝CH，∴AO垂直平分线段BC．（2）解：延长BD交⊙O于K，连接CK．在Rt△ACH中，∵tan∠ACH＝＝，∴可以假设AH＝4k，CH＝3k，设OA＝r，在Rt△BOH中，∵OB2＝BH2+OH2，∴r2＝9k2+（4k﹣r）2，∴r＝k，∴OH＝AH＝OA＝k，∵BK是直径，∴∠BCK＝90°，∴CK⊥BC，∵OA⊥BC，∴OA∥CK，∵BO＝OK，BH＝HC，∴CK＝2OH＝k，∵CK∥OA，∴△AOD∽△CKD，∴＝＝＝．22．解：（1）设E（a，b），则OA＝b，AE＝a，k＝ab∵△AOE的面积为1，∴k＝1，k＝2；答：k的值为：2．（2）过E作ED⊥OC，垂足为D，△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上的B′，∵OA＝2，OC＝4，点E、F在反比例函数y＝的图象上，∴E（，2），F（4，），∴EB＝EB′＝4﹣，BF＝B′F＝2﹣，∴＝，由△EB′F∽△B′CF得：，∵DE＝2，∴B′C＝1，在Rt△B′FC中，由勾股定理得：12+（）2＝（2﹣）2，解得：k＝3，答：k的值为：3．23．解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），∵△BCD中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）．答：B、C两地的距离大约是6千米．24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣3，2）和点B（2，）∴解得：∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+x﹣（2）当x＝0时，y＝ax2+bx﹣＝﹣∴C（0，﹣）设直线AC解析式为：y＝kx+c∴解得：∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣当y＝0时，﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1∴D（﹣1，0）（3）如图1，连接AB∵A（﹣3，2），B（2，）∴OA2＝32+（2）2＝21，OB2＝22+（）2＝7，AB2＝（2+3）2+（）2＝28 ∴OA2+OB2＝AB2∴∠AOB＝90°故答案为：90°．（4）过点M作MH⊥AB于点H，则MH的长为点M到AB的距离．①如图2，当点M与点C′重合且在y轴右侧时，∵△OCD绕点O旋转得△OC'D'（即△OMD）∴OM＝OC＝，OD'＝OD＝1，∠MOD'＝∠COD＝90°∴MD'＝＝2，∠MD'O＝60°，∠OMD'＝30°∵∠MOD'＝∠AOB＝90°∴∠MOD'+∠BOM＝∠AOB+∠BOM即∠BOD'＝∠AOM∵OA＝，OB＝∴∴△BOD'∽△AOM∴∠BD'O＝∠AMO＝60°，∴∠AMD'＝∠AMO+∠OMD'＝60°+30°＝90°，即AM⊥BD' 设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'﹣MD'＝t﹣2∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2∴（t）2+（t﹣2）2＝28解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝3∴AM＝3，BM＝1∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH∴MH＝②如图3，当点M与点C′重合且在y轴左侧时，∴∠MOD'﹣∠AOD'＝∠AOB﹣∠AOD'即∠AOM＝∠BOD'∴同理可证：△AOM∽△BOD'∴∠AMO＝∠BD'O＝180°﹣∠MD'O＝120°，∴∠AMD'＝∠AMO﹣∠OMD'＝120°﹣30°＝90°，即AM⊥BD' 设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'+MD'＝t+2∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2∴（t）2+（t+2）2＝28解得：t1＝2，t2＝﹣3（舍去）∴AM＝2，BM＝4＝AM•BM＝AB•MH∵S△AMB∴MH＝综上所述，点M到AB的距离为或．25．（1）证明：连接OA，由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，∵∠ADE＝∠ACB，∴∠ADE＝∠ADB，∵BD是直径，∴∠DAB＝∠DAE＝90°，在△DAB和△DAE中，，∴△DAB≌△DAE，∴AB＝AE，又∵OB＝OD，∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，∴OA⊥AH，∴AH是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，∴∠E＝∠ACD，∴AE＝AC＝AB＝6．在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝；（3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线，∴OA∥DE，OA＝DE．∴△CDF∽△AOF，∴＝＝，∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE，∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CH＝HE＝CE，∴CD＝CH，∴CD＝DH．中学数学二模模拟试卷一．选择题（满分30分，每小题3分）1．估计﹣2的值在（）A．0到l之间B．1到2之问C．2到3之间D．3到4之间2．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．3x2﹣2x2＝1 B． +＝C．x÷y•＝x D．a2•a3＝a54．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④5．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，则成绩比较稳定的是（）A．甲稳定B．乙稳定C．一样稳定D．无法比较6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（）A．B．C．D．7．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．8．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝09．如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（）A．B．C．D．10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（）A．B．2C．πD．π二．填空题（满分18分，每小题3分）11．因式分解：a3﹣9a＝．12．方程＝的解是．13．已知，如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，OA＝2，若以A为圆心，OA长为半径画弧交弧AB于点C，过点C作CD⊥OA，垂足为D，则图中阴影部分的面积为．14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是．15．已知点A是双曲线y＝在第一象限的一动点，连接AO，过点O做OA⊥OB，且OB＝2OA，点B在第四象限，随着点A的运动，点B的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是．三．解答题17．（9分）（x+3）（x﹣1）＝12（用配方法）18．（9分）如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．（1）在图1中，作AD的中点P；（2）在图2中，作AB的中点Q．19．（10分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4．20．（10分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名？（4）若从体能为A 等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．21．（12分）如图，在⊙O 中，点A 是的中点，连接AO ，延长BO 交AC 于点D ． （1）求证：AO 垂直平分BC ．（2）若，求的值．22．（12分）如图，将一矩形OABC 放在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点E 是边AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点E 的反比例函数y ＝（x ＞0）的图象与边BC 交于点F（1）若△OAE 的面积为S 1，且S 1＝1，求k 的值；（2）若OA ＝2，OC ＝4，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象与边AB 、边BC 交于点E 和F ，当△BEF 沿EF 折叠，点B 恰好落在OC 上，求k 的值．23．（12分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C 两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣，过点A（﹣3，2）和点B（2，），与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）∠AOB的大小是；（4）将△OCD绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点C′，点D的对应点是点D′，直线AC′与直线BD′交于点M，在△OCD旋转过程中，当点M与点C′重合时，请直接写出点M到AB的距离．25．（14分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；（3）若＝，求证：CD＝DH．参考答案1．B．2．B．3．D．4．D．5．B．6．A．7．C．8．C．9．A．10．D．11．a（a+3）（a﹣3）．12．x＝﹣413．π+．14．x＝3．15．y＝﹣．16．．17．解：将原方程整理，得x2+2x＝15（1分）两边都加上12，得x2+2x+12＝15+12（2分）即（x+1）2＝16开平方，得x+1＝±4，即x+1＝4，或x+1＝﹣4（4分）∴x1＝3，x2＝﹣5（5分）18．解：（1）如图点P即为所求；（2）如图点Q即为所求；19．解：原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝4时，原式＝＝．20．解：（1）10÷20%＝50，所以本次抽样调查共抽取了50名学生；（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；补全条形图如图所示：（3）700×＝56，所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．21．（1）证明：延长AO交BC于H．∵＝，∴OA⊥BC，∴BH＝CH，∴AO垂直平分线段BC．（2）解：延长BD交⊙O于K，连接CK．在Rt△ACH中，∵tan∠ACH＝＝，∴可以假设AH＝4k，CH＝3k，设OA＝r，在Rt△BOH中，∵OB2＝BH2+OH2，∴r2＝9k2+（4k﹣r）2，∴r＝k，∴OH＝AH＝OA＝k，∵BK是直径，∴∠BCK＝90°，∴CK⊥BC，∵OA⊥BC，∴OA∥CK，∵BO＝OK，BH＝HC，∴CK＝2OH＝k，∵CK∥OA，∴△AOD∽△CKD，∴＝＝＝．22．解：（1）设E（a，b），则OA＝b，AE＝a，k＝ab∵△AOE的面积为1，∴k＝1，k＝2；答：k的值为：2．（2）过E作ED⊥OC，垂足为D，△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上的B′，∵OA＝2，OC＝4，点E、F在反比例函数y＝的图象上，∴E（，2），F（4，），∴EB＝EB′＝4﹣，BF＝B′F＝2﹣，∴＝，由△EB′F∽△B′CF得：，∵DE＝2，∴B′C＝1，在Rt△B′FC中，由勾股定理得：12+（）2＝（2﹣）2，解得：k＝3，答：k的值为：3．23．解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），∵△BCD中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）．答：B、C两地的距离大约是6千米．24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣3，2）和点B（2，）∴解得：∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+x﹣（2）当x＝0时，y＝ax2+bx﹣＝﹣∴C（0，﹣）设直线AC解析式为：y＝kx+c∴解得：∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣当y＝0时，﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1∴D（﹣1，0）（3）如图1，连接AB∵A（﹣3，2），B（2，）∴OA2＝32+（2）2＝21，OB2＝22+（）2＝7，AB2＝（2+3）2+（）2＝28 ∴OA2+OB2＝AB2∴∠AOB＝90°故答案为：90°．（4）过点M作MH⊥AB于点H，则MH的长为点M到AB的距离．①如图2，当点M与点C′重合且在y轴右侧时，∵△OCD绕点O旋转得△OC'D'（即△OMD）∴OM＝OC＝，OD'＝OD＝1，∠MOD'＝∠COD＝90°∴MD'＝＝2，∠MD'O＝60°，∠OMD'＝30°∵∠MOD'＝∠AOB＝90°∴∠MOD'+∠BOM＝∠AOB+∠BOM即∠BOD'＝∠AOM∵OA＝，OB＝∴∴△BOD'∽△AOM∴∠BD'O＝∠AMO＝60°，∴∠AMD'＝∠AMO+∠OMD'＝60°+30°＝90°，即AM⊥BD' 设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'﹣MD'＝t﹣2∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2∴（t）2+（t﹣2）2＝28解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝3∴AM＝3，BM＝1∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH∴MH＝②如图3，当点M与点C′重合且在y轴左侧时，∴∠MOD'﹣∠AOD'＝∠AOB﹣∠AOD'即∠AOM＝∠BOD'∴同理可证：△AOM∽△BOD'∴∠AMO＝∠BD'O＝180°﹣∠MD'O＝120°，∴∠AMD'＝∠AMO﹣∠OMD'＝120°﹣30°＝90°，即AM⊥BD' 设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'+MD'＝t+2∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2∴（t）2+（t+2）2＝28解得：t1＝2，t2＝﹣3（舍去）∴AM＝2，BM＝4＝AM•BM＝AB•MH∵S△AMB∴MH＝综上所述，点M到AB的距离为或．25．（1）证明：连接OA，由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，∵∠ADE＝∠ACB，∴∠ADE＝∠ADB，∵BD是直径，∴∠DAB＝∠DAE＝90°，在△DAB和△DAE中，，∴△DAB≌△DAE，∴AB＝AE，又∵OB＝OD，∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，∴OA⊥AH，∴AH是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，∴∠E＝∠ACD，∴AE＝AC＝AB＝6．在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝；（3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线，∴OA∥DE，OA＝DE．∴△CDF∽△AOF，∴＝＝，∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE，∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CH＝HE＝CE，∴CD＝CH，∴CD＝DH．中学数学二模模拟试卷一．选择题（满分30分，每小题3分）1．估计﹣2的值在（）A．0到l之间B．1到2之问C．2到3之间D．3到4之间2．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．3x2﹣2x2＝1 B． +＝C．x÷y•＝x D．a2•a3＝a54．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④5．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，则成绩比较稳定的是（）A．甲稳定B．乙稳定C．一样稳定D．无法比较6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（）A．B．C．D．7．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．8．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝09．如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（）A．B．C．D．10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（）A．B．2C．πD．π二．填空题（满分18分，每小题3分）11．因式分解：a3﹣9a＝．12．方程＝的解是．13．已知，如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，OA＝2，若以A为圆心，OA长为半径画弧交弧AB于点C，过点C作CD⊥OA，垂足为D，则图中阴影部分的面积为．14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是．15．已知点A是双曲线y＝在第一象限的一动点，连接AO，过点O做OA⊥OB，且OB＝2OA，点B在第四象限，随着点A的运动，点B的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是．三．解答题17．（9分）（x+3）（x﹣1）＝12（用配方法）18．（9分）如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．（1）在图1中，作AD的中点P；（2）在图2中，作AB的中点Q．19．（10分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4．20．（10分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名？（4）若从体能为A 等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．21．（12分）如图，在⊙O 中，点A 是的中点，连接AO ，延长BO 交AC 于点D ． （1）求证：AO 垂直平分BC ．（2）若，求的值．22．（12分）如图，将一矩形OABC 放在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点E 是边AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点E 的反比例函数y ＝（x ＞0）的图象与边BC 交于点F（1）若△OAE 的面积为S 1，且S 1＝1，求k 的值；（2）若OA ＝2，OC ＝4，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象与边AB 、边BC 交于点E 和F ，当△BEF 沿EF 折叠，点B 恰好落在OC 上，求k 的值．23．（12分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C 两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣，过点A（﹣3，2）和点B（2，），与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）∠AOB的大小是；（4）将△OCD绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点C′，点D的对应点是点D′，直线AC′与直线BD′交于点M，在△OCD旋转过程中，当点M与点C′重合时，请直接写出点M到AB的距离．25．（14分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；（3）若＝，求证：CD＝DH．参考答案1．B．2．B．3．D．4．D．5．B．6．A．7．C．8．C．9．A．10．D．11．a（a+3）（a﹣3）．12．x＝﹣413．π+．14．x＝3．15．y＝﹣．16．．17．解：将原方程整理，得x2+2x＝15（1分）两边都加上12，得x2+2x+12＝15+12（2分）即（x+1）2＝16开平方，得x+1＝±4，即x+1＝4，或x+1＝﹣4（4分）∴x1＝3，x2＝﹣5（5分）18．解：（1）如图点P即为所求；（2）如图点Q即为所求；19．解：原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝4时，原式＝＝．20．解：（1）10÷20%＝50，所以本次抽样调查共抽取了50名学生；（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；补全条形图如图所示：（3）700×＝56，所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．21．（1）证明：延长AO交BC于H．∵＝，∴OA⊥BC，∴BH＝CH，∴AO垂直平分线段BC．（2）解：延长BD交⊙O于K，连接CK．在Rt△ACH中，∵tan∠ACH＝＝，∴可以假设AH＝4k，CH＝3k，设OA＝r，在Rt△BOH中，∵OB2＝BH2+OH2，∴r2＝9k2+（4k﹣r）2，∴r＝k，∴OH＝AH＝OA＝k，∵BK是直径，∴∠BCK＝90°，∴CK⊥BC，∵OA⊥BC，∴OA∥CK，∵BO＝OK，BH＝HC，∴CK＝2OH＝k，∵CK∥OA，∴△AOD∽△CKD，∴＝＝＝．22．解：（1）设E（a，b），则OA＝b，AE＝a，k＝ab∵△AOE的面积为1，∴k＝1，k＝2；答：k的值为：2．（2）过E作ED⊥OC，垂足为D，△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上的B′，∵OA＝2，OC＝4，点E、F在反比例函数y＝的图象上，∴E（，2），F（4，），∴EB＝EB′＝4﹣，BF＝B′F＝2﹣，∴＝，由△EB′F∽△B′CF得：，∵DE＝2，∴B′C＝1，在Rt△B′FC中，由勾股定理得：12+（）2＝（2﹣）2，解得：k＝3，答：k的值为：3．23．解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），∵△BCD中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）．答：B、C两地的距离大约是6千米．24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣3，2）和点B（2，）∴解得：∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+x﹣（2）当x＝0时，y＝ax2+bx﹣＝﹣∴C（0，﹣）设直线AC解析式为：y＝kx+c∴解得：∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣当y＝0时，﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1∴D（﹣1，0）（3）如图1，连接AB∵A（﹣3，2），B（2，）∴OA2＝32+（2）2＝21，OB2＝22+（）2＝7，AB2＝（2+3）2+（）2＝28 ∴OA2+OB2＝AB2∴∠AOB＝90°故答案为：90°．（4）过点M作MH⊥AB于点H，则MH的长为点M到AB的距离．①如图2，当点M与点C′重合且在y轴右侧时，∵△OCD绕点O旋转得△OC'D'（即△OMD）∴OM＝OC＝，OD'＝OD＝1，∠MOD'＝∠COD＝90°∴MD'＝＝2，∠MD'O＝60°，∠OMD'＝30°∵∠MOD'＝∠AOB＝90°∴∠MOD'+∠BOM＝∠AOB+∠BOM即∠BOD'＝∠AOM∵OA＝，OB＝∴∴△BOD'∽△AOM∴∠BD'O＝∠AMO＝60°，∴∠AMD'＝∠AMO+∠OMD'＝60°+30°＝90°，即AM⊥BD' 设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'﹣MD'＝t﹣2∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2∴（t）2+（t﹣2）2＝28解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝3∴AM＝3，BM＝1∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH∴MH＝②如图3，当点M与点C′重合且在y轴左侧时，∴∠MOD'﹣∠AOD'＝∠AOB﹣∠AOD'即∠AOM＝∠BOD'∴同理可证：△AOM∽△BOD'∴∠AMO＝∠BD'O＝180°﹣∠MD'O＝120°，∴∠AMD'＝∠AMO﹣∠OMD'＝120°﹣30°＝90°，即AM⊥BD' 设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'+MD'＝t+2∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2∴（t）2+（t+2）2＝28解得：t1＝2，t2＝﹣3（舍去）∴AM＝2，BM＝4＝AM•BM＝AB•MH∵S△AMB∴MH＝综上所述，点M到AB的距离为或．25．（1）证明：连接OA，由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，∵∠ADE＝∠ACB，∴∠ADE＝∠ADB，∵BD是直径，∴∠DAB＝∠DAE＝90°，在△DAB和△DAE中，，∴△DAB≌△DAE，∴AB＝AE，又∵OB＝OD，∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，∴OA⊥AH，∴AH是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，∴∠E＝∠ACD，∴AE＝AC＝AB＝6．在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝；（3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线，∴OA∥DE，OA＝DE．∴△CDF∽△AOF，∴＝＝，∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE，∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CH＝HE＝CE，∴CD＝CH，∴CD＝DH．。
北京平谷区2020年期末九年级调研(数学)试题真题及参考答案
平谷区2019～2020学年度第一学期期末质量监控试卷评分标准初 三 数 学 2020年1月一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．x ≠1；10．6；11．>；12．20°；13.12； 14．答案不唯一，如：2y x =；15．301x x -<<>或； 16．1455或． 三、解答题(本题共68分，第17~23题，每小题5分，第24题7分，第25，26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．解：1122-⨯ (4)=2······················································································· 5 18．（1）证明：∵DE ⊥AB 于点E ， ∴∠AED =∠C =90°． ································································· 1 ∵∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ADE ． ··································································· 2 （2）解： ∵AC =8，BC =6， ∴AB =10． ·············································································· 3 ∵△ABC ∽△ADE ， ∴AE ADAC AB=． ······································································· 4 ∴AE =4． ················································································ 5 19．解：（1）对称轴x =1． ·············································································· 1 （2）∵二次函数2y x bx =+的图象经过点（1,-1）， (2)（3）.................................................... 3 （3. (5)20．解：（1）∵DE 垂直平分AB ，∴EA = EB ， ··············································································· 1 ∴∠EAB =∠B =25°． ∴∠CAE =40°． ··········································································· 2 （2）∵∠C =90°，∴2sin 3CE CAE AE ∠==． ∵CE =2， ∴AE =3． ················································································· 3 ∴AC (4)∵EA = EB =3，∴BC=5．∴222AC CE AE +=，∴tan 5AC B BC == (5)21．解：连结AO ，交BC 于点D ，练结BO ．∵AB=AC ，∴AB AC =． ··············································· 1 又∵AO 是半径，∴AO ⊥BC ，BD=CD ． (2)∵BC =，∴BD =． ··············································· 3 在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒ ，∵222BD AD AB +=，AB =4， ∴2AD =． ··················································· 4 设O 半径为r ． 在 Rt BDO ∆中，∵222BD DO BO +=，∴(()222+2r r -= ，∴4r = ． ··················································· 5 ∴O 的半径为4．A22．解：（1）∵A （1,1）， ∴k =1． ······························· 1 ∴()10y x x=>． ················· 2 （2）①3； ·································· 3 ②213a -≤<-． (5)23．解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ． ···························· 1 由题意得，AB =57，DE =30，∠A =37°，∠DCF =45°． 在Rt △ADE 中，∠AED =90°， ∴tan37°=DEAE≈0.75． ∴AE =40． ································· 2 ∵AB =57， ∴BE =17． ································· 3 ∵四边形BCFE 是矩形， ∴CF=BE =17．在Rt △DCF 中，∠DFC =90°， ∴∠CDF =∠DCF =45°． ∴DF=CF =17． ··························· 4 ∴BC=EF =30－17=13．················· 5 答：教学楼BC 高约13米．24．解：（1）①3.0； (1)②AP 的长度是自变量，PC 的长度和AC 的长度都是这个自变量的函数；（答案不唯一） (3)（2）如图（答案不唯一，和（1）问相对应）； (5)（3）2.3或4.2 (7)25．（1）如图． (1)（2）判断：直线DE 是⊙O 的切线． ···························································· 2 证明：连结OD ，交BC 于F ．∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD =∠CAD ． (3)∴CD BD ．∴OD ⊥BC 于F ． ∵DE ∥BC ，∴OD ⊥DE 于D ．∴直线DE 是⊙O 的切线． ································································ 4 （3）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°． ∵AB =10，BC =8， ∴AC =6． ························································································ 5 ∵∠BOF =∠ACB =90°， ∴OD ∥AC ． ∵O 是AB 中点，∴OF =12AC =3． ∵OD =12AB =5，∴DF =2．∵DE ∥BC ，OD ∥AC ，∴四边形CFDE 是平行四边形． ∵∠ODE =90°，∴平行四边形CFDE 是矩形． ∴CE=DF =2． (6)AA26．解：（1）()0,3-； ·················································································· 1 （2）∵212b ax a a-=-=-=； ∴()2,3B -． ··········································································· 2 （3）当抛物线过点P （4,0）时，38a =， ··············································· 3 ∴8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．此时，抛物线与线段PQ 有两个公共点． 当抛物线过点1(,0)Q a时，a =1， 此时，抛物线与线段PQ 有两个公共点． ∵抛物线与线段PQ 恰有两个公共点，∴318a ≤≤． .............................................................................. 5 当抛物线开口向下时，3a <-． (6)综上所述，当318a ≤≤或3a <-时，抛物线与线段PQ 恰有两个公共点．27．（1）解：∵AB=BE ，∴∠BAE =∠BEA ． ....................................................................... 1 ∵∠ABE =90°－60°=30° ∴∠BAE =75°． (2)（2）证明：∴∠DAF =15°． (3)连结CF ．由正方形的对称性可知，∠DAF =∠DCF =15°． ································ 4 ∵∠BCD =90°，∠BCE =60°， ∴∠DCF =∠ECF =∠DAF =15°． ∵BC=EC ，CF=CF ， ∴△BCF ≌△ECF ． ···································································· 5 ∴BF=EF ． ··············································································· 6 （32EF CF =+． (7)28．解：（1）A,B (3)（2）1922t-≤≤； (5)（3）点Q在以点O为圆心，4为半径的圆上；或在以点O为圆心， (7)平谷区2019～2020学年度第一学期期末质量监控试卷评分标准初 三 数 学 2020年1月一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．x ≠1；10．6；11．>；12．20°；13.12； 14．答案不唯一，如：2y x =；15．301x x -<<>或； 16．1455或． 三、解答题(本题共68分，第17~23题，每小题5分，第24题7分，第25，26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．解：1122-⨯ (4)=2······················································································· 5 18．（1）证明：∵DE ⊥AB 于点E ， ∴∠AED =∠C =90°． ································································· 1 ∵∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ADE ． ··································································· 2 （2）解： ∵AC =8，BC =6， ∴AB =10． ·············································································· 3 ∵△ABC ∽△ADE ， ∴AE ADAC AB=． ······································································· 4 ∴AE =4． ················································································ 5 19．解：（1）对称轴x =1． ·············································································· 1 （2）∵二次函数2y x bx =+的图象经过点（1,-1）， (2)（3）.................................................... 3 （3. (5)20．解：（1）∵DE 垂直平分AB ，∴EA = EB ， ··············································································· 1 ∴∠EAB =∠B =25°． ∴∠CAE =40°． ··········································································· 2 （2）∵∠C =90°，∴2sin 3CE CAE AE ∠==． ∵CE =2， ∴AE =3． ················································································· 3 ∴AC (4)∵EA = EB =3，∴BC=5．∴222AC CE AE +=，∴tan 5AC B BC == (5)21．解：连结AO ，交BC 于点D ，练结BO ．∵AB=AC ，∴AB AC =． ··············································· 1 又∵AO 是半径，∴AO ⊥BC ，BD=CD ． (2)∵BC =，∴BD =． ··············································· 3 在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒ ，∵222BD AD AB +=，AB =4， ∴2AD =． ··················································· 4 设O 半径为r ． 在 Rt BDO ∆中，∵222BD DO BO +=，∴(()222+2r r -= ，∴4r = ． ··················································· 5 ∴O 的半径为4．A22．解：（1）∵A （1,1）， ∴k =1． ······························· 1 ∴()10y x x=>． ················· 2 （2）①3； ·································· 3 ②213a -≤<-． (5)23．解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ． ···························· 1 由题意得，AB =57，DE =30，∠A =37°，∠DCF =45°． 在Rt △ADE 中，∠AED =90°， ∴tan37°=DEAE≈0.75． ∴AE =40． ································· 2 ∵AB =57， ∴BE =17． ································· 3 ∵四边形BCFE 是矩形， ∴CF=BE =17．在Rt △DCF 中，∠DFC =90°， ∴∠CDF =∠DCF =45°． ∴DF=CF =17． ··························· 4 ∴BC=EF =30－17=13．················· 5 答：教学楼BC 高约13米．24．解：（1）①3.0； (1)②AP 的长度是自变量，PC 的长度和AC 的长度都是这个自变量的函数；（答案不唯一） (3)（2）如图（答案不唯一，和（1）问相对应）； (5)（3）2.3或4.2 (7)25．（1）如图． (1)（2）判断：直线DE 是⊙O 的切线． ···························································· 2 证明：连结OD ，交BC 于F ．∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD =∠CAD ． (3)∴CD BD ．∴OD ⊥BC 于F ． ∵DE ∥BC ，∴OD ⊥DE 于D ．∴直线DE 是⊙O 的切线． ································································ 4 （3）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°． ∵AB =10，BC =8， ∴AC =6． ························································································ 5 ∵∠BOF =∠ACB =90°， ∴OD ∥AC ． ∵O 是AB 中点，∴OF =12AC =3． ∵OD =12AB =5，∴DF =2．∵DE ∥BC ，OD ∥AC ，∴四边形CFDE 是平行四边形． ∵∠ODE =90°，∴平行四边形CFDE 是矩形． ∴CE=DF =2． (6)AA26．解：（1）()0,3-； (1)（2）∵212b a x a a-=-=-=； ∴()2,3B -． (2)（3）当抛物线过点P （4,0）时，38a =， ··············································· 3 ∴8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．此时，抛物线与线段PQ 有两个公共点．当抛物线过点1(,0)Q a时，a =1， 此时，抛物线与线段PQ 有两个公共点．∵抛物线与线段PQ 恰有两个公共点，∴318a ≤≤． .............................................................................. 5 当抛物线开口向下时，3a <-． (6)综上所述，当318a ≤≤或3a <-时，抛物线与线段PQ 恰有两个公共点．27．（1）解：∵AB=BE ，∴∠BAE =∠BEA ． ······································································· 1 ∵∠ABE =90°－60°=30°∴∠BAE =75°． ........................................................................... 2 （2）证明：∴∠DAF =15°． .. (3)连结CF ．由正方形的对称性可知，∠DAF =∠DCF =15°． ································ 4 ∵∠BCD =90°，∠BCE =60°，∴∠DCF =∠ECF =∠DAF =15°．∵BC=EC ，CF=CF ，∴△BCF ≌△ECF ． .................................................................... 5 ∴BF=EF ． . (6)（32EF CF =+． (7)28．解：（1）A,B (3)（2）1922t-≤≤； (5)（3）点Q在以点O为圆心，4为半径的圆上；或在以点O为圆心， (7)。
北京市平谷区2019-2020学年中考二诊数学试题含解析
北京市平谷区2019-2020学年中考二诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0，②当﹣1≤x≤3时，y ＜0；③3a+c=0；④若（x 1，y 1）（x 2、y 2）在函数图象上，当0＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③C ．①②③D ．①③④2．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3tan 3CAB ∠=，3AB =，点D 在以斜边AB 为直径的半圆上，点M 是CD 的三等分点，当点D 沿着半圆，从点A 运动到点B 时，点M 运动的路径长为（ ）A ．π或2π B ．2π或3π C ．3π或π D ．4π或3π 3．如图1，点O 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t 秒，机器人到点A 的距离设为y ，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当t ＝3时，机器人一定位于点O ；③机器人一定经过点D ；④机器人一定经过点E ；其中正确的有（ ）A ．①④B ．①③C ．①②③D ．②③④4．如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2,4)，则关于x ，y 的方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为（ ）A ．2,4x y =⎧⎨=⎩B ．4,2x y =⎧⎨=⎩C ．4,0x y =-⎧⎨=⎩D ．3,0x y =⎧⎨=⎩5．计算(1－1x )÷221x x x-+的结果是()A ．x －1B ．11x - C ．1x x - D ．1x x- 6．舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ） A ．4.995×1011 B ．49.95×1010 C ．0.4995×1011D ．4.995×10107．关于x 的正比例函数，y=（m+1）23m x -若y 随x 的增大而减小，则m 的值为 （ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．-128．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果AD ＝2，BD ＝3，那么由下列条件能够判定DE ∥BC 的是( ) A ．DE BC ＝23B ．DE BC ＝25C ．AE AC ＝23D ．AE AC ＝259．二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图，则反比例函数y=ax与一次函数y=bx ﹣c 在同一坐标系内的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．10．若点A(1，a)和点B(4，b)在直线y ＝－2x ＋m 上，则a 与b 的大小关系是( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．与m 的值有关11．如图，矩形ABCD 中，AD=2，AB=3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是（ ）A ．5B ．136C ．1D ．5612．已知m ＝12+，n ＝12-，则代数式223m n mn +-的值为 （ ） A ．±3B ．3C ．5D ．9二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm 刻度线与量角器的0°线在同一直线上，且直径DC 是直角边BC 的两倍，过点A 作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E ，则点E 在量角器上所对应的度数是____.14．若关于x 的一元二次方程2210mx x --=无实数根，则一次函数y mx m =+的图象不经过第_________象限.15．一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长为__cm ．16．已知边长为5的菱形ABCD 中，对角线AC 长为6，点E 在对角线BD 上且1tan 3EAC ∠=，则BE 的长为__________．17．袋中装有6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为34”，则这个袋中白球大约有_____个．18．钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）九（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查(每名学生分别选一个活动项目)，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图.根据以上信息解决下列问题:m=，n=;扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为°;从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.20．（6分）某初中学校组织400 位同学参加义务植树活动，每人植树的棵数在5至10之间，甲、乙两位同学分别调查了30位同学的植树情况，并将收集的数据进行了整理，绘制成统计表分别为表1和表2：表1：甲调查九年级30位同学植树情况统计表（单位：棵）每人植树情况7 8 9 10人数 3 6 15 6频率0.1 0.2 0.5 0.2表2：乙调查三个年级各10位同学植树情况统计表（单位：棵）每人植树情况 6 7 8 9 10人数 3 6 3 11 6频率0.1 0.2 0.1 0.4 0.2根据以上材料回答下列问题：（1）表1中30位同学植树情况的中位数是棵；（2）已知表2的最后两列中有一个错误的数据，这个错误的数据是，正确的数据应该是；（3）指出哪位同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况，并用该样本估计本次活动400位同学一共植树多少棵？21．（6分）关于x的一元二次方程mx2+(3m﹣2)x﹣6＝1．(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为负整数．22．（8分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC，DC⊥BC，且AD=1，DC=3，点P为边AB上一动点，以P 为圆心，BP 为半径的圆交边BC 于点Q ． (1)求AB 的长； (2)当BQ 的长为409时，请通过计算说明圆P 与直线DC 的位置关系．23．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，过点D 作AE 的垂线交AE 于点G ，交AB 延长线于点F ，连接EF ，ED .求证：EF ED =； 若60ABC ∠=︒，6AD =， 2CE =，求EF 的长.24．（10分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A 、B 两种树苗共17棵，已知A 种树苗每棵80元，B 种树苗每棵60元．若购进A 、B 两种树苗刚好用去1220元，问购进A 、B 两种树苗各多少棵？若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．25．（10分）P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把PA•PB 的值称为点P 关于⊙O 的“幂值”（1）⊙O 的半径为6，OP=1．①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为_____；②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙0的“幂值”的取值范围；（2）若⊙O 的半径为r ，OP=d ，请参考（1）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围_____；（3）在平面直角坐标系xOy 中，C （1，0），⊙C 的半径为3，若在直线y=3x+b 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的“幂值”为6，请直接写出b 的取值范围_____．26．（12分）某市正在举行文化艺术节活动，一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种艺术节纪念品．若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品3件，需要550元，若购进甲种纪念品5件，乙种纪念品6件，需要800元．（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共80件，其中甲种纪念品的数量不少于60件．考虑到资金周转，用于购买这80件纪念品的资金不能超过7100元，那么该商店共有几种进货方案7（3）若销售每件甲种纪含晶可获利润20元，每件乙种纪念品可获利润30元．在（2）中的各种进货方案中，若全部销售完，哪一种方案获利最大？最大利利润多少元？ 27．（12分）先化简代数式211a a a a a +⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再从﹣1，0，3中选择一个合适的a 的值代入求值． 参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B 【解析】∵函数图象的对称轴为：x=-2b a =132-+=1，∴b=﹣2a ，即2a+b=0，①正确； 由图象可知，当﹣1＜x ＜3时，y ＜0，②错误； 由图象可知，当x=1时，y=0，∴a ﹣b+c=0， ∵b=﹣2a ，∴3a+c=0，③正确；∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，∴若（x 1，y 1）、（x 2，y 2）在函数图象上，当1＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2；当x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2； 故④错误； 故选B ．点睛：本题主要考查二次函数的相关知识，解题的关键是：由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理． 2．A 【解析】 【分析】根据平行线的性质及圆周角定理的推论得出点M 的轨迹是以EF 为直径的半圆，进而求出半径即可得出答案，注意分两种情况讨论． 【详解】当点D 与B 重合时，M 与F 重合，当点D 与A 重合时，M 与E 重合，连接BD ，FM ，AD ，EM ， ∵2,33CF CM CE EF AB BC CD CA AB ===== ∴//,//,2FM BD EM AD EF =,FMC BDC CME CDA ∴∠=∠∠=∠∵AB 是直径90BDA ∴∠=︒即90BDC CDA ∠+∠=︒ ∴90FMC CME ∠+∠=︒∴点M 的轨迹是以EF 为直径的半圆， ∵2EF =∴以EF 为直径的圆的半径为1 ∴点M 运动的路径长为1801=180ππg g 当1'3CM CD =时，同理可得点M 运动的路径长为12π故选：A ． 【点睛】本题主要考查动点的运动轨迹，掌握圆周角定理的推论，平行线的性质和弧长公式是解题的关键． 3．C 【解析】 【分析】根据图象起始位置猜想点B 或F 为起点，则可以判断①正确，④错误．结合图象判断3≤t≤4图象的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确． 【详解】解：由图象可知，机器人距离点A1个单位长度，可能在F 或B 点，则正六边形边长为1．故①正确；观察图象t 在3－4之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB 或OF 上，则当t ＝3时，机器人距离点A 距离为1个单位长度，机器人一定位于点O ，故②正确； 所有点中，只有点D 到A 距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F 点或B 点出发，当从B 出发时，不经过点E ，故④错误． 故选：C ． 【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势． 4．A 【解析】 【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案． 【详解】解：∵直线y 1=k 1x+b 1与y 2=k 2x+b 2的交点坐标为（2，4）， ∴二元一次方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,4.x y =⎧⎨=⎩ 故选A. 【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 5．B 【解析】 【分析】先计算括号内分式的加法、将除式分子因式分解，再将除法转化为乘法，约分即可得． 【详解】解：原式=（x x -1x ）÷()2x 1x-=x 1x -•()2x x 1-=1x 1-， 故选B ． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 6．D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将499.5亿用科学记数法表示为：4.995×1．故选D．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．B【解析】【分析】根据正比例函数定义可得m2-3=1，再根据正比例函数的性质可得m+1＜0，再解即可．【详解】由题意得：m2-3=1，且m+1＜0，解得：m=-2，故选：B．【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质和定义，关键是掌握正比例函数y=kx（k≠0）的自变量指数为1，当k ＜0时，y随x的增大而减小．8．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理,当AD AEDB EC=或AD AEAB AC=时,DE BDP,然后可对各选项进行判断.【详解】解：当AD AEDB EC=或AD AEAB AC=时,DE BDP,即23AEEC=或25AEAC=.所以D选项是正确的.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理.9．C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论． 【详解】解：观察二次函数图象可知： 开口向上，a ＞1；对称轴大于1，2ba-＞1，b ＜1；二次函数图象与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞1． ∵反比例函数中k ＝﹣a ＜1，∴反比例函数图象在第二、四象限内； ∵一次函数y ＝bx ﹣c 中，b ＜1，﹣c ＜1， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限． 故选C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、反比例函数的图象以及一次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论． 10．A 【解析】【分析】根据一次函数性质：y kx b =+中，当k>0时，y 随x 的增大而增大；当k<0时，y 随x 的增大而减小.由-2<0得，当x 12时，y 1>y 2.【详解】因为，点A(1，a)和点B(4，b)在直线y ＝－2x ＋m 上，-2<0, 所以，y 随x 的增大而减小. 因为，1<4, 所以，a>b. 故选A【点睛】本题考核知识点：一次函数性质. 解题关键点:判断一次函数y kx b =+中y 与x 的大小关系，关键看k 的符号. 11．D 【解析】 【分析】过F 作FH ⊥AE 于H,根据矩形的性质得到AB=CD,AB//CD,推出四边形AECF 是平行四边形,根据平行四边形的性质得到AF=CE,根据相 似三角形的性质得到AE ADAF FH=,于是得到AE=AF,列方程即可得到结论. 【详解】解：如图：解:过F 作FH ⊥AE 于H,Q 四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD,AB ∥CD,Q AE//CF, ∴四边形AECF 是平行四边形,∴AF=CE,∴DE=BF,∴AF=3-DE,∴24DE +Q ∠FHA=∠D=∠DAF=90o ,∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90, ∴∠DAE=∠AFH,∴△ADE~△AFH, ∴AE AD AF FH= ∴AE=AF, ∴243DE DE +=-,∴DE=56, 故选D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及三角形相似，做合适的辅助线是解本题的关键.12．B【解析】【分析】 由已知可得：2,(12)(12)1m n mn +==+-=-223m n mn +-2()5m n mn +-【详解】 由已知可得：2,(12)(12)1m n mn +==+-=-，原式22()525(1)93m n mn +-=-⨯-==故选：B【点睛】考核知识点：二次根式运算.配方是关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）【分析】首先设半圆的圆心为O ，连接OE ，OA ，由题意易得AC 是线段OB 的垂直平分线，即可求得∠AOC ＝∠ABC ＝60°，又由AE 是切线，易证得Rt △AOE ≌Rt △AOC ，继而求得∠AOE 的度数，则可求得答案．【详解】设半圆的圆心为O ，连接OE ，OA ，∵CD ＝2OC ＝2BC ，∴OC ＝BC ，∵∠ACB ＝90°，即AC ⊥OB ，∴OA ＝BA ，∴∠AOC ＝∠ABC ，∵∠BAC ＝30°，∴∠AOC ＝∠ABC ＝60°，∵AE 是切线，∴∠AEO ＝90°，∴∠AEO ＝∠ACO ＝90°，∵在Rt △AOE 和Rt △AOC 中，AO AO OE OC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △AOE ≌Rt △AOC(HL)，∴∠AOE ＝∠AOC ＝60°，∴∠EOD ＝180°﹣∠AOE ﹣∠AOC ＝60°，∴点E 所对应的量角器上的刻度数是60°，故答案为：60.【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．14．一根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=（-2）2-4m×（-1）＜0，所以m＜-1，然后根据一次函数的性质判断一次函数y=mx+m的图象所在的象限即可．【详解】∵关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根，∴m≠0且△=（-2）2-4m×（-1）＜0，∴m＜-1，∴一次函数y=mx+m的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故答案为一．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．15．1【解析】【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长.【详解】试题解析：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=1cm．故填1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.16．3或1【解析】【分析】菱形ABCD中，边长为1，对角线AC长为6，由菱形的性质及勾股定理可得AC⊥BD，BO=4，分当点E 在对角线交点左侧时（如图1）和当点E在对角线交点左侧时（如图2）两种情况求BE得长即可．【详解】解：当点E在对角线交点左侧时，如图1所示：∵菱形ABCD中，边长为1，对角线AC长为6，∴AC⊥BD，BO=222253AB AO-=-=4，∵tan∠EAC=133OE OEOA==，解得：OE=1，∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3，当点E在对角线交点左侧时，如图2所示：∵菱形ABCD中，边长为1，对角线AC长为6，∴AC⊥BD，222253AB AO-=-，∵tan∠EAC=133OE OEOA==，解得：OE=1，∴BE=BO﹣OE=4+1=1，故答案为3或1．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解决问题时要注意分当点E在对角线交点左侧时和当点E在对角线交点左侧时两种情况求BE得长．17．1【解析】试题解析：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个，∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为34，∴63 64n=+，18．64.410【解析】试题分析：将4400000用科学记数法表示为：4.4×1．故答案为4.4×1．考点：科学记数法—表示较大的数．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）8，3；（2）144；（3）2 3 .【解析】试题分析：（1）利用航模小组先求出数据总数，再求出n .（2）小组所占圆心角=；（3）列表格求概率.试题解析：（1）；(2)；(3)将选航模项目的名男生编上号码，将名女生编上号码. 用表格列出所有可能出现的结果：由表格可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是第可能的，其中“名男生、名女生”有种可能.(名男生、名女生).(如用树状图，酌情相应给分)考点：统计与概率的综合运用.20．（1）9；（2）11，12；（3）3360棵【解析】【分析】（1）30位同学的植树量中第15个、16个数都是9，即可得到植树的中位数；（2）根据频率相加得1确定频率正确，计算频数即可确定错误的数据是11，正确的硬是12；（3）样本数据应体现机会均等由此得到乙同学所抽取的样本更好，再根据部分计算总体的公式即可得到答案.【详解】（2）表2的最后两列中，错误的数据是11，正确的数据应该是30×0.4＝12；故答案为：11，12；（3）乙同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况，（3×6+6×7+3×8+12×9+6×10）÷30×400＝3360（棵），答：本次活动400位同学一共植树3360棵．【点睛】此题考查统计的计算，掌握中位数的计算方法，部分的频数的计算方法，依据样本计算总体的方法是解题的关键.21．(1) m≠1且m≠2-3;(2) m=-1或m=-2.【解析】【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，可得△＞1，列出关于m的不等式解之可得答案;(2) 解方程,得:12x=m，2x=-3，由m为整数,且方程的两个根均为负整数可得m的值. 【详解】解:(1) Q△=2b-4ac=(3m-2)2+24m=(3m+2)2≥1∴当m≠1且m≠2-3时,方程有两个不相等实数根.(2)解方程,得:12x=m，2x=-3，Q m为整数,且方程的两个根均为负整数,∴m=-1或m=-2.∴m=-1或m=-2时,此方程的两个根都为负整数【点睛】本题主要考查利用一元二次方程根的情况求参数.22．（1）AB长为5;（2）圆P与直线DC相切，理由详见解析.【解析】【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据矩形的性质得到CE=AD=1，AE=CD=3，根据勾股定理即可得到结论；（2）过P作PF⊥BQ于F，根据相似三角形的性质得到PB=259，得到PA=AB-PB=209，过P作PG⊥CD于G交AE于M，根据相似三角形的性质得到PM=169，根据切线的判定定理即可得到结论．【详解】则四边形AECD是矩形，∴CE=AD=1，AE=CD=3，∵AB=BC，∴BE=AB-1，在Rt△ABE中，∵AB2=AE2+BE2，∴AB2=32+（AB-1）2，解得：AB=5；（2）过P作PF⊥BQ于F，∴BF=12BQ=209，∴△PBF∽△ABE，∴PB BF AB BE=，∴20954 PB=，∴PB=259，∴PA=AB-PB=209，过P作PG⊥CD于G交AE于M，∴GM=AD=1，∵DC⊥BC∴PG∥BC∴△APM∽△ABE，∴AP PM AB BE=，∴20954PM=，∴PM=169，∴PG=PM+MG=259=PB，∴圆P与直线DC相切．本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（1）详见解析；（2）EF =【解析】【分析】（1）根据题意AB 平分BAD ∠可得90AGF AGD ∠=∠=︒，从而证明()FAG DAG ASA ∆≅∆即可解答 （2）由（1）可知6AF AD ==，再根据四边形ABCD 是平行四边形可得642BF AF AB =-=-=，过点F 作FH EB ⊥延长线于点H ，再根据勾股定理即可解答【详解】（1）证明：Q AB 平分BAD ∠FAG DAG ∴∠=∠DG AE ⊥Q90AGF AGD ∴∠=∠=︒又AG AG =Q()FAG DAG ASA ∴∆≅∆GF GD ∴=又DF AE ⊥QEF ED ∴=（2）FAG DAG ∆≅∆Q6AF AD ∴==Q 四边形ABCD 是平行四边形//AD BC ∴，6BC AD ==180********BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒1602FAE BAD ∴∠=∠=︒ 60FAE B ∴∠=∠=︒ ABE ∴∆为等边三角形624AB AE BE BC CE ∴===-=-=642BF AF AB =-=-=过点F 作FH EB ⊥延长线于点H .在Rt BFH ∆中，60HBF ABC ∠=∠=︒30HFB ∴∠=︒112BH BF ∴== 2222213HF BF BH =--=415EH BE BH =+=+= ()22223527EF FH EH =+=+=【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解题关键在于作好辅助线 24．（1）购进A 种树苗1棵，B 种树苗2棵（2）购进A 种树苗9棵，B 种树苗8棵，这时所需费用为1200元【解析】【分析】（1）设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗（12﹣x ）棵，利用购进A 、B 两种树苗刚好用去1220元，结合单价，得出等式方程求出即可；（2）结合（1）的解和购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，可找出方案.【详解】解：（1）设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗（12﹣x ）棵，根据题意得：80x+60（12﹣x ）=1220，解得：x=1．∴12﹣x=2．答：购进A 种树苗1棵，B 种树苗2棵．（2）设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗（12﹣x ）棵，根据题意得：12﹣x ＜x ，解得：x ＞8.3．∵购进A 、B 两种树苗所需费用为80x+60（12﹣x ）=20x+120，是x 的增函数，∴费用最省需x 取最小整数9，此时12﹣x=8，所需费用为20×9+120=1200（元）．答：费用最省方案为：购进A 种树苗9棵，B 种树苗8棵，这时所需费用为1200元．25．（1）①20；②当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”为定值，证明见解析；（2）点P 关于⊙O 的“幂值”为r 2﹣d 2；（3）﹣33.【解析】角形，然后依据勾股定理可求得PB的长，然后依据幂值的定义求解即可；②过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′．先证明△APA′∽△B′PB，依据相似三角形的性质得到PA•PB=PA′•PB′从而得出结论；（2）连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点．由等腰三角形三线合一的性质可知AP=PB，然后在Rt△APO中，依据勾股定理可知AP2=OA2-OP2，然后将d、r代入可得到问题的答案；（3）过点C作CP⊥AB，先求得OP的解析式，然后由直线AB和OP的解析式，得到点P的坐标，然后由题意圆的幂值为6，半径为1可求得d的值，再结合两点间的距离公式可得到关于b的方程，从而可求得b的极值，据此即可确定出b的取值范围．【详解】（1）①如图1所示：连接OA、OB、OP，∵OA=OB，P为AB的中点，∴OP⊥AB，∵在△PBO中，由勾股定理得：PB=222OB OP64-=-=25，∴PA=PB=25，∴⊙O的“幂值”=25×25=20，故答案为：20；②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值，证明如下：如图，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直，过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′，∵在⊙O中，∠AA′P=∠B′BP，∠APA′=∠BPB′，∴△APA′∽△B′PB，∴PA PA='，∴PA•PB=PA′•PB′=20，∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值；（2）如图3所示；连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点，∵AO=OB，PO⊥AB，∴AP=PB，∴点P关于⊙O的“幂值”=AP•PB=PA2，在Rt△APO中，AP2=OA2﹣OP2=r2﹣d2，∴关于⊙O的“幂值”=r2﹣d2，故答案为：点P关于⊙O的“幂值”为r2﹣d2；（3）如图1所示：过点C作CP⊥AB，，∵CP⊥AB，AB的解析式为3，∴直线CP的解析式为y=33联立AB与CP，得33333y x by x⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，∴点P的坐标为（﹣34﹣3314b），∵点P关于⊙C的“幂值”为6，∴r2﹣d2=6，∴d2=3，即（﹣343）2+（314b）2=3，整理得：b23b﹣9=0，解得b=﹣33或b=3，∴b的取值范围是﹣33≤b≤3，故答案为：﹣33≤b≤3.【点睛】本题综合性质较强，考查了新定义题，解答过程中涉及到了幂值的定义、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定、一次函数的交点问题、两点间的距离公式等，依据两点间的距离公式列出关于b的方程，从而求得b的极值是解题的关键．26．（1）购进甲种纪念品每件需100元，购进乙种纪念品每件需50元．（2）有三种进货方案．方案一：甲种纪念品60件，乙种纪念品20件；方案二：甲种纪念品61件，乙种纪念品19件；方案三：甲种纪念品1件，乙种纪念品18件．（3）若全部销售完，方案一获利最大，最大利润是1800元．【解析】分析：（1）设购进甲种纪念品每件价格为x元，乙种纪念币每件价格为y元，根据题意得出关于x和y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）设购进甲种纪念品a件，根据题意列出关于x的一元一次不等式，解不等式得出a的取值范围，即可得出结论；（3）找出总利润关于购买甲种纪念品a件的函数关系式，由函数的增减性确定总利润取最值时a的值，从而得出结论．详解：（1）设购进甲种纪念品每件需x元，购进乙种纪念品每件需y元．由题意得：，解得：答：购进甲种纪念品每件需100元，购进乙种纪念品每件需50元．（2）设购进甲种纪念品a（a≥60）件，则购进乙种纪念品（80﹣a）件．由题意得：100a+50（80﹣a）≤7100解得a≤1又a≥60所以a可取60、61、1．即有三种进货方案．方案一：甲种纪念品60件，乙种纪念品20件；方案二：甲种纪念品61件，乙种纪念品19件；方案三：甲种纪念品1件，乙种纪念品18件．（3）设利润为W，则W=20a+30（80﹣a）=﹣10a+2400所以W是a的一次函数，﹣10＜0，W随a的增大而减小．所以当a最小时，W最大．此时W=﹣10×60+2400=1800答：若全部销售完，方案一获利最大，最大利润是1800元．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找到相应的数量关系是解决问题的关键，注意第二问应求整数解，要求学生能够运用所学知识解决实际问题.27．11 aa+-,1【解析】【分析】先通分得到22211a a aa a⎛⎫⎛⎫++-÷⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据平方差公式和完全平方公式得到2(1)(1)(1)aa a aa+⨯+-，化简后代入a＝3，计算即可得到答案. 【详解】原式＝22211a a aa a⎛⎫⎛⎫++-÷⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2(1)(1)(1)aa a aa+⨯+-＝11aa+-，当a＝3时（a≠﹣1，0），原式＝1．【点睛】本题考查代数式的化简、平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握代数式的化简、平方差公式和完全平方公式.。
2020年北京市各城区中考二模数学——几何综合题24题汇总.doc
图2图1ED C AEDDC2020年北京市各城区中考二模数学——几何综合题24题汇总1、（2020年门头沟二模）24. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是 （2）如图24-2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3） 在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧．．作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．2、（2020年丰台二模）24.如图1，在ABC △中，90ACB ∠=°，2BC =，∠A=30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是________， AFBE =________．（2）如图2，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<o o），连结AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<o o），延长FC 交AB 于点D ，如果6AD =-α的度数．3、（2020年平谷二模）24.（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，E 为BC 上一点，且CE =AB ，BE =CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________.(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明． ②当BD CEAC AD==时， BPD ∠的度数____________________．4、(2020年顺义二模) 24．在△ABC 中， A B = AC ，∠A =30︒，将线段 B C 绕点 B 逆时针旋转 60︒得到线段 B D ，再将线段BD 平移到EF ，使点E 在AB 上，点F 在AC 上． （1）如图 1，直接写出 ∠ABD 和∠CFE 的度数； （2）在图1中证明： A E =CF ； （3）如图2，连接 C E ，判断△CEF 的形状并加以证明．图2图1BCBDαECBA图3αFECBAFCBA图24-1图24-2图24-3EQPDCB A5、（2020年石景山二模）24．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC 相交于点F ，连接AF ．（1）如图1，若BAC ∠=α=︒60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量 关系；（2）如图2，若BAC ∠＜α=︒60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关 系，并证明你的猜想；（3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BFAF的值 （用含α、m 的式子表示）． 解：6、（2020年海淀二模）24．在ABC △中，90ABC ∠=o ，D 为平面内一动点，AD a =，AC b =，其中a ， b 为常数，且 a b <. 将ABD △沿射线BC 方向平移，得到FCE △，点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、C 、E .连接BE .（1）如图1，若D 在ABC △内部，请在图1中画出FCE △；（2）在（1）的条件下，若AD BE ⊥，求BE 的长（用含, a b 的式子表示）；（3）若=BAC α∠，当线段BE 的长度最大时，则BAD ∠的大小为__________；当线段BE的长度最小时，则BAD ∠的大小为_______________（用含α的式子表示）.图1 备用图7、（2020年西城二模）24．在△ABC ，∠BAC 为锐角，AB >AC ， AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．（1）如图1，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系；（2）BC 的垂直平分线交AD 延长线于点E ，交BC 于点F ．①如图2，若∠ABE =60°，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系并加以证明；②如图3，若AC AB +=，求∠BAC 的度数．8、（2020年通州二模）23．已知：△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称（点A 的对称点是点C ），点E 、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，连接AF 、AE ，AE 交BD 于点G ．（1）如图l ，求证：∠EAF ＝∠ABD ；（2）如图2，当AB ＝AD 时，M 是线段AG 上一点，连接BM 、ED 、MF ，MF 的延长线交ED 于点N ，∠MBF ＝12∠BAF ，AF ＝23AD ，请你判断线段FM 和FN 之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．9、（2020年东城二模） 24．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与AB CAB BD DB图2点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ．（1）当∠BQD =30°时，求AP 的长；（2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP 为x ，BD 为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD 的值．10、（2020年朝阳二模）24. 已知∠ABC =90°，D 是直线AB 上的点，AD =BC ．（1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明； （2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、CD 相交于点P ，且∠APD =45°，求证BD =CE ．11、（2020年密云二模）24．已知等腰Rt ABC ∆和等腰Rt AED ∆中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC（1）发现：如(图1)，当点E 在AB 上且点C 和点D 重合时，若点M 、N 分别是DB 、EC 的中点，则MN 与EC 的位置关系是 ，MN 与EC 的数量关系是（2）探究：若把（1）小题中的△AED 绕点A 旋转一定角度，如(图2)所示，连接BD 和EC,并连接DB 、EC 的中点M 、N,则MN 与EC 的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由;请以逆时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明位置关系成立，12、（2020年延庆二模）13、(2020年房山二模) 24. 边长为2的正方形ABCD 的两顶点A 、C 分别在正方形EFGH 的两边DE 、DG 上(如图1)，现将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转，当A 点第一次落在DF 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交DF 于点M ，BC 边交DG 于点N . （1）求边DA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时(如图2)，求正方形ABCD 旋转的度数；（3）如图3，设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.14、（2020年昌平二模）24．【探究】如图1，在△ABC 中， D 是AB 边的中点，AE ⊥BC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，AE ，BF 相交于点M ，连接DE ，DF . 则DE ，DF 的数量关系为 . 【拓展】如图2，在△ A B C 中 ，C B = C A ，点 D 是AB 边的 中点 ，点M 在 △ A B C 的内部 ，且 ∠MBC =∠MAC . 过点M 作ME ⊥BC 于点E ，MF ⊥AC 于点F ，连接DE ，DF . 求证：DE =DF ；【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.P EC 图2 C B 图1ADBE CM F AD BE CM F MABCDFE图3图2图115、（2020年怀柔二模）24．已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 边上一点，F 是BC 边延长线上一点，且CF=AE ，连接BE 、EF ．（1）如图1，若E 是AC 边的中点，猜想BE 与EF 的数量关系为 .（2）如图2，若E 是线段AC 上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．16、（2020年大兴二模）25. 已知：E 是线段AC 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点D ，使得∠EDB =∠EAB ，联结AD .（1）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB =60°时，如图1，求证：ED =AD +BD ；（2）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB = α（0º﹤α﹤90º）时，如图2，请你直接写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）若直线EF 与线段AB 不相交，当∠EAB =90°时，如图3，请你补全图形，写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系，并证明你的结论.17、（2020年燕山二模）24.如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接 AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．图1 图2AB EFA B E F AB C F F GE DC AB B ACDE GF。
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北京市平谷区2020年中考统一练习（二）数学试卷2020.6考生须知1．试卷分为试题和答题卡两部分，所有试题均在答题卡上．．．．．．作答．2．答题前，在答题卡上考生务必将学校、班级、准考证号、姓名填写清楚．3．把选择题的所选选项填涂在答题卡上；作图题用2B铅笔．4．修改时，用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面清洁，不要折叠．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是(A)(B) (C) (D)2.实数,,a b c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则,,a b c中绝对值最大的数是：(A) a (B) b (C) c(D) 无法确定3.聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4纳米，通过百度搜索聪聪又知道米纳米9-101=，则水分子的直径约为(A) 米10-104⨯(B) 米10-104.0⨯(C)米9-104⨯(D) 米8-104⨯4.下列几何体中主视图为矩形的是(A) (B) (C) (D)5.如果20x y+-=，那么代数式2211()xyy x x y-⋅-的值为（A ）12（B ）-2 （C ）12（D ）26.如图，螺丝母的截面是正六边形，则∠1的度数为 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°7. 某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位：cm ）如下表所示：设两队队员身高的平均数依次为甲x ，乙x ，方差依次为2甲s ，2乙s ，下列关系中完全正确的是 A ．甲x =乙x ，2甲s ＜2乙s B ．甲x =乙x ，2甲s ＞2乙s C ．甲x ＜乙x ，2甲s ＜2乙sD ．甲x ＞乙x ，2甲s ＞2乙s8.如图,是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以O 为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足,观察图形，有以下几个推断：∠甲和乙的动手操作能力都很强； ∠缺少探索学习的能力是甲自身的不足；∠与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力； ∠乙的综合评分比甲要高. 其中合理的是 （A ）∠∠ （B ）∠∠ （C ）∠∠∠ (D)∠∠∠∠二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9．因式分解：29x y y -= ．10. 如图所示，边长为1正方形网格中，点A 、B 、C 落在格点上， 则∠ACB +∠ABC 的度数为 .11.如果二次根式 1x -有意义，那么x 的取值范围是 ． 12．如图，直线l∠m ，点A 、B 是直线l 上两点，点C 、D 是直线m 上两点，连接AC 、AD 、BC 、BD.AD 、BC 交于点O ，设∠AOC 的面积为1S ，∠BOD 的面积为2S ，则1S 2S (=填>,<或号）13.一次函数的图象经过点（0，2），且函数y 随自变量x 的增大而增大．写出一个符合条件的一次函数表达式__________________.14. 用一个a 的值说明命题“a -一定表示一个负数”是错误的，a 的值可以是____________.15.图1中的小矩形长为x ，宽为y ，将四个同样的小矩形拼成如图2的正方形，则可列出关于x ，y 的方程组为 ．16. 某商场在端午节前以1元/个的价格购进1000个粽子，现有以下三种销售方式:不加工直接卖，对产品进行粗加工再卖，精加工后再卖.受加工能力和气温影响，粗加工一天只能加工200个，细加工一天只能加工100个，两种加工不能同时进行，且最多加工三天. 加工方式 加工成本 销售单位 售价 直接卖 0 个2元/个粗加工 1元/个 包装袋（一袋5个） 30元/袋 精加工2.5元/个礼盒（一盒10个） 85元/盒假设所有粽子均能全部售出，则以下销售方式中利润最大的是 ．方案一：不加工直接销售；方案二：三天全部进行精加工，剩下的直接卖； 方案三：两天精加工，一天粗加工，剩下的直接卖； 方案四：两天粗加工，一天精加工，剩下的直接卖.三、解答题(本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题6分，第28题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：0-112cos30-3-+-122π︒（）（）．18．解不等式组：() 24,1.23x x x x ⎧-<-⎪⎨-<⎪⎩19．下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l 和直线外一点P ． 求作：过点P 作直线l 的平行线． 作法：如图，①在直线l 上任取点O ； ∠作直线PO ；∠以点O 为圆心OP 长为半径画圆，交直线PO 于点A ，交直线l 于点B ；∠连接AB ，以点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交∠O 于点C(点A 与点C 不重合）； ∠作直线CP ；则直线CP 即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务． （1）补全图形； （2）完成下面的证明：证明：连接BP 、BC ∠ AB=BC ∴BC AB ⋂⋂=∠ ∠_________=∠_________， 又∠ OB=OP ，∠ ∠_________=∠_________， ∠ ∠CPB=∠OBP ，∠CP ∠l （____________）（填推理的依据）．20.已知关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k +-+-=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k 值代入方程，并求出此时方程的解．21．如图，在菱形ABCD 中，延长AB 到E ，延长AD 到F ，使BE=DF ，连接EF ，连接AC 并延长交EF 于点G.（1）求证：AG∠EF ；（2）连接BD 交AC 于O,过B 作BM∠ＥＦ于点Ｍ，若BD=2，C 为AG 中点，求EM 的长.22．如图，以AB 为直径的⊙O ，交AC 于点E ，过点O 作半径OD ⊥AC 于点G ，连接BD 交AC 于点F ，且FC = BC .（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为5，3tan 4A =，求GF 的长．23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2，函数 (0)k y x x=>的图象经过点B ，与直线b x y +=交于点D . （1）求k 的值；（2）直线b x y +=与BC 边所在直线交于点M ，与x轴交于点N .∠当点D 为MN 中点时，求b 的值； ∠当DM >MN 时，结合函数图象，直接写出b 的取值范围.D EG O FACB24. 疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 其中，节数在20 30这一组≤ x < 的数据是： 20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 282829请根据所给信息，解答下列问题： （1）a = ，b = ； （2）请补全频数分布直方图；（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是 ； （4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有__人．25.如图，M 是弦AB 与弧AB 所围成的图形的内部的一个定点P 是弦 AB 上一动点，连接PM 并延长交弧AB 于点Q ，连接QB .已知AB =6cm ,设A ，P 两点间的距离为x cm ,P ,Q 两点间距离为y 1cm ,BQ 两点间距离为y 2cm . 小明根据学习函数的经验，分别对函数y 1,y 2,随自变量x 的变化而节数x 频数 频率 0 ≤ x < 10 8 0.16 10 ≤ x < 20 10 0.20 20 ≤ x < 30 16 b 30 ≤ x < 40 a 0.24 x ≥ 40 4 0.08 总数501观看直播课节数的频数分布表观看直播课节数的频数分布直方图变化的规律进行了研究.下面是小明的探究过程，请补充完整.（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1,y2与x的几组对应值，补全下表；x/cm0123456y1/cm 5.24 4.24 3.24 1.54 1.79 3.47y2/cm 1.31 1.34 1.42 1.54 1.80 2.45 3.47（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值对应的点（x1，y1）和（x2，y2）并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题:当∠PQB为等腰三角形时，AP的长度约cm(精确到0.1）26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-1（m>0）与x轴的交点为A，B，与y轴交点C.（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域为图形W （不含边界）．∠当m=1时，求图形W内的整点个数；∠若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．27．如图，在∠ABM中，∠ABC=90°，延长BM使BC=BA，线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM=15°时，∠AMD的度数是；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM=MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证∠ABM∠∠AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM=MD，通过第（2）问，可知只需要证明∠AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD=CF，通过∠ABM∠∠CBF，易证AM=CF，从而解决问题；想法3：通过BC=BA，∠ABC=90°，连结AC，易证∠ACM∠∠ACD，易得∠AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证.请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB是一定度数时，AM=MB.(一种方法即可）28．如图1，点P是平面内任意一点，点A,B是∠C上不重合的两个点，连结P A，PB．当∠APB=60°时，我们称点P为∠C的“关于AB的关联点”．（1）如图2，当点P在∠C上时，点P是∠C的“关于AB的关联点”时，画出一个满足条件的∠APB，并直接写出∠ACB的度数；（2）在平面直角坐标系中，点()1,3M，点M关于y轴的对称点为点N．∠以点O为圆心，OM为半径画∠O，在y轴上存在一点P，使点P为⊙O“关于MN的关联点”，直接写出点P的坐标；MP图2图1∠点D(m,0)是x轴上一动点，当⊙D的半径为1时，线段MN上至少存在一个点是⊙D的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．北京市平谷区2020年中考统一练习（二）数学试卷参考答案及评分标准 2020.6一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBABCCAD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．33y(x )(x )+-； 10．45°； 11．x 1≥； 12．=； 13．答案不唯一，如22y x =+； 14．答案不唯一，如a=-1； 15．42x y x y +=⎧⎨-=⎩；或 3(xy )=16．方案四．三、解答题(本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题6分，第28 题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.解：原式=321+2-23⨯- ....................................................................... 4 =1-3 .. (5)18.解：由①得2x-6<x-4x<2 .................................................................................... 1 由②得x-1<2x . (2)x >-1 (3)∴-1<x <2 (5)19.（1）补全图形； (2)（2）证明：连接BP ∵ AB=BC∴BC AB ⋂⋂=∴ ∠_CPB__=∠_APB___，..................................................3 又∵ OB=OP ，∴ ∠APB=∠OBP ，..................................................4 ∴ ∠CPB =∠OBP ，∴CP ∥l （___内错角相等两直线平行） (5)20．解：(1)2-14k-2k ∆=-（）（） (1)22k -6k+9=k-3=（） (2)∵0∆≥ ∴方程总有两个不相等的实数根 ········································································ 3 (2) k=2当∴2x +x=0 (4)12x =0x =-1解得，． (5)（其他取法相应给分）21．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形∴∠1=∠2，AD=AB (1)∵BC=DF∴AE=AF∴AG ⊥EF (2)（2）证明: ∵菱形ABCD∴BD ⊥AC∵BM ⊥EF ，AG ⊥EF∴∠BOG=∠OGM=∠GMB=90∴四边形OBMG 是矩形 (3)∵C 为AG 中点， ∴AO BO 1==AG EG 3∵BD=2∴GE=3 (4)∵GM=OB=1∴ME=2 (5)22．(1)证明：∵半径OD ⊥AE∴∠1=90° (1)∴∠2+∠D=90°∵FC = BC∴∠3=∠4=∠2 (2)∵OD=OB ， ∴∠5=∠D∴∠4+∠5=90°∴∠ABC=90°∴BC 与∠O 相切 (3)（2）解：∵∠1=90°，半径为5，3tan 4A = ∴OG=3，AG=4 (4)∵∠1=∠ABC=90°，∠A=∠A∴△AGO ∽△ABC∴OG AO AG ==BC AC AB∴354==BC AC 10∴1525BC=AC=22，..........................................................5 ∴15FC=2∴GF=1 (6)23.（1）B （2,2） (1)k=4 (2)（点B 坐标不写不扣分）(2)如图，D （4,1） (3)代入得，b=-3 (4)(3)3>b · (6)1234524.（1）a=12，b=0.32 (2)(2)略 ····································································································· 3 (3)23 ·.................................................................................................... 4 （4）500032=160.⨯（人） (6)（计算过程没写不扣分）25.解：（1）2.33（2.0-2.5之间均给分） (1)（2） (3)（3）3.7cm 、4.6cm 、4.2cm (6)26.（1）1a2b -x == ························································································ 1 C （0，-1） ······················································································· 2 (2)①1个 ······························································································· 3 ②当抛物线顶点为（1，-2）时，m=1当抛物线顶点为（1，-3）时，m=2所以，2m 1≤< (6)27.（1）补全图形.....................................................................................１（2）60° (2)（3）当︒=∠75AMD 时结论成立. (3)证明：想法一：过A 作AE ⊥CD 于E ．∵∠B=∠C=∠E=90°AB=BC∴四边形ABCE 是正方形 (4)∴AB=AE ，∠B=∠E ，BC=CE∵MC=DC∴BM=DE∴△ABM ≌△AED (5)∴AD=AM∵∠AMD=75°∴△AMD 是等边三角形∴AM=DM·················································································································· 6 (其他证明方法类似给分，辅助线正确写出一个正确语句即给1分，证完全等2分，完全正确3分）28.（1）补全图形 (1)120° (1)（2）①)0,0()32,0(或P (4)②2m 2≤≤- ····························································································· ７。