2017届河南省郑州市第一中学高三4月模拟调研数学(文)试题

河南省郑州市第一中学2017届高三4月模拟调研数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==，集合(){}2|lg 1,B y y x y Z ==+∈，则A B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2.已知i 为虚数单位，且复数z 满足()22aiz a R i+=∈+，若z 为实数，则实数a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．13.已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则不等式()()1f x f ≤的解集为（ ）A ．[]1,2B ．[]3,5C ．[]1,1-D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.把函数()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一个对称轴方程为（ ） A ．4x π= B ．1912x π= C. 1312x π= D ．6x π=5.已知焦点在x 轴上，渐近线方程为34y x =±的双曲线和曲线()222104x y b b+=>的离心率之积为1，则b 的值为（ ） A ．65 B ．103 C. 3或4 D ．65或1036.执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．0B ．12 C. 1- D ．32- 7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B D 8.下列说法正确的个数为（ ）①对于不重合的两条直线，“两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件； ②命题“x R ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“x R ∃∈，sin 1x >”； ③“若2x >，则24x >”的否命题是真命题； ④已知直线a ，b 和平面α，若a α⊥，//b α则a b ⊥. A ．1 B ．2 C. 3 D ．49.已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（ ） A ．2 B ．3 C.72 D ．5210.“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚7.875尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为（ ） A ．2 B ．3 C. 4 D ．511.下表给出了学生的做题数量x （道）与做题时间y （分钟）的几组对应数据：根据上表中的数据可知，y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.70.35yx =+，则把学生的做题时间看作样本，则y 的方差为（ ） A ．3 B ．72 C. 52 D ．5812.已知函数()2lg ,0,2,0,x x f x x x x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩且方程()()2230f x f x a -+-=有8个不同的实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．313,28⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()0,0OA aOB bOC a b =+>>，且,,A B C 三点在同一条直线上，则11a b+的最小值为 ． 14.设变量,x y 满足约束条件0,20,20,x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数2382x y z x +-=+的取值范围为 ．15.已知直线22y x =-与抛物线28y x =交于,A B 两点，抛物线的焦点为F ，则F A F B ⋅的值为 ． 16.已知函数{}n a 中，12a =，()11n n n n a a a +-=+，n N *∈则对于任意的[]2,2a ∈-，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()()()()1cos cos 0,022f x x x x πωϕωϕωϕωϕ⎛⎫⎤=++++-><< ⎪⎦⎝⎭，函数()f x 的图象与直线y t =相切，切点的横坐标依次组成公差为π的等差数列，且()f x 为偶函数. （Ⅰ）试确定函数()f x 的解析式与t 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，三边,,a b c 的对角分别为,,A B C ，且满足122C F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ABC ∆，试求ab 的最小值.18.某学校上学期的期中考试后，为了了解某学科的考试成绩，根据学生的考试成绩利用分层抽样抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于50分），得到学生成绩的频率分布直方图如图，回答下列问题；（Ⅰ）根据频率分布直方图计算本次考试成绩的平均分；（Ⅱ）已知本次全校考试成绩在[)50,60内的人数为84，试确定全校的总人数；（Ⅲ）若本次考试抽查的50人中考试成绩在(]90,100内的有2名女生，其余为男生，从中选择两名学生，求选择一名男生与一名女生的概率.19.已知四棱锥P ABCD -中，PB ⊥面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AB AD ==，4BC =，点E 为PC 的中点.（Ⅰ）求证：面PBD ⊥面PDC ；（Ⅱ）若直线EB 与面ABCD 所成角的正切值为12，试求三棱锥P BAD -的外接球的体积与多面体PE BAD -的体积比.20.已知动圆P 与圆2240x y x ++=外切，与圆224120x y x +--=内切. （Ⅰ）试求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）与圆221x y +=相切的直线AB 与轨迹C 交于,A B 两点，若直线,,OA AB OB 的斜率成等比数列，试求直线AB 的方程；21.已知函数()2ln 2f x x x ax =-++，()323g x x x =--.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在1x =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 在[]1,2上的最大值与最小值； （Ⅱ）对于任意的[]12,1,2x x ∈，()()12f x g x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1,1x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos p θθ=-. （Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知与直线l 平行的直线l '过点()2,0M ，且与曲线C 交于,A B 两点，试求AB . 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()322f x x x =-+-，()g x x a a x =-++. （Ⅰ）解不等式()10f x >；（Ⅱ）若对于任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =，试求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDCBD 6-10: BBBDB 11、12：DB 二、填空题13. 4 14. 14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 15. 11- 16. ()(),22,-∞-+∞三、解答题 17.解析（Ⅰ）()()()()()()21cos 2211cos cos 22222x f x x x x x ωϕωϕωϕωϕωϕ++=++++-=++-()()122cos 22sin 2226x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，由()f x 的图象与直线y t =相切可得1t =±. 由()f x 为偶函数可得()262k k Z ππϕπ+=+∈，∴()26k k Z ππϕ=+∈， ∵0,2πϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴6πϕ=，由题意得22ππω=，∴1ω=，∴函数()f x 的解析式为()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由()cos2f x x =，122C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得1cos 2C =-，又()0,C π∈，∴23C π=，∴112sin sin223ABC S ab C ab π∆===，∴3c ab =，根据余弦定理可得()22232cos 3ab a b ab π=+-， 即2222923a b a b ab ab ab ab =++≥+=，∴13ab ≥，当且仅当a b =时，取等号，故ab 的最小值为13.18.解析（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，本次考试成绩的平均分为550.00810650.02810750.03210850.0210950.0121075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（分）.（Ⅱ）本次全校考试成绩在60分以下的频率为0.008100.08⨯=，所以全校的总人数为840.081050÷=. （Ⅲ）根据频率分布直方图可知，考试成绩在(]90,100内的学生人数为500.012106⨯⨯=，则有4名男生. 设男生分别为1234,,,A A A A ，女生分别为12,B B ，所有情况有()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,B A ，()22,B A ，()34,A A ，()31,B A ，()32,B A ，()41,B A ，()42,B A ，()12,B B ，共15种，其中一名男生与一名女生的情况有()11,A B ，()12,A B ，()21,B A ，()22,B A ，()31,B A ，()32,B A ，()41,B A ，()42,B A ，共8种，故所求概率为815. 19.解析（Ⅰ）证明：如图，过D 作DF BC ⊥交BC 于F ，∵AB AD ⊥，//AD BC ，∴AB BC ⊥，∴四边形ADFB 是矩形， 又AB AD =，∴四边形ADFB 为正方形，∴2DF FC ==，∴DCBD =∴((2222216BD DC BC +==+==，∴BD DC ⊥，又PB ⊥面ABCD ， ∴PB DC ⊥， 又PBBD B =，∴DC ⊥面PDC ，又DC ⊂面PDC ，∴面PBD ⊥面PDC .（Ⅱ）如图，连接EF ，则//EF PB ，EF ⊥面ABCD ，EBC ∠为EB 与面ABCD 所成的角， ∴1tan 2EF EBC BF ∠==，∵2BF =，∴1EF =，∴2PB =，设三棱锥P BAD -的外接球的半径为R ，可知()22222R PB AB AD =++，∴()22222222R =++，∴R =∴334433V R ππ==⨯=球.又()()24211243232P ABCD AD BC AB V PB -+⋅+⨯=⋅=⨯⨯=， ∴1111412432323E BDC V EF AB BC -=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，∴48433PE BAD P ABCD E BDC V V V ---=-=-=，∴3PE BAD V V -=球. 20.解析（Ⅰ）圆2240x y x ++=可化为()2224x y -+=，圆224120x y x ++-=可化为()22216x y -+=， 设动圆P 的半径为R ，两定圆的圆心分别为()12,0F -，()22,0F ，则12PF R =+，24PF R =-，∴126PF PF +=，根据椭圆的定义可知，轨迹C 是以12,F F 为焦点的椭圆，且2c =，3a =，则222945b a c =-=-=，故轨迹C 的方程为22195x y +=.（Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在且不为0. 设直线AB 的方程为()0y mx n n =+≠， 联立221,95,x y y mx n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()22259189450m x mnx n +++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122212218,59945,59mn x x m n x x m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩根据直线,,OA AB OB 的斜率成等比数列，可知21212y y m x x ⋅=，即21212y y m x x =， ∵()()()2212121212y y mx n mx n m x x mn x x n =++=+++，∴()2120mn x x n ++=，∴2218059mn mn n m ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭，∴m =， 由直线AB 与圆221x y +=1=，可得n =故所求直线方程为y x =±y =±21.解析(Ⅰ)对()2ln 2f x x x ax =-++求导可得，()12f x x a x'=-+， 由题意知()1120f a '=-+=，∴1a =，∴()()()221112121x x x x f x x x x x-+--++'=-+==，又∵函数()f x 的定义域为()0,+∞， ∴函数()f x 在[]1,2上单调递减，∴对[]1,2x ∈，()()max 12f x f ==，()()min 2ln 2422ln 2f x f ==-++=， 故函数()f x 在[]1,2上的最大值与最小值分别为2与ln2. （Ⅱ）∵()323g x x x =--，∴()232g x x x '=-. 令()0g x '=，得0x =或23x =， ∴函数()g x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,23⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则对[]1,2x ∈，()()max 21g x g ==.∴()2ln 21f x x x ax =-++≥在[]1,2上恒成立， 即[]()ln 11,2x a x x x x ≥--∈， 设()[]()ln 11,2x h x x x x x=--∈， 则()222211ln ln 10x x xh x x x x -+'=--=>，所以()()max ln 213ln 2222222h x h ==--=-， 故实数a 的取值范围为3ln 2,22⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 22.解析，（Ⅰ）把直线l的参数方程化为直角坐标方程为)11y x -+，将cos ,sin x p y p θθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的方cos sin 10p θθ-=. 由22cos 1cos p θθ=-，可得()221cos 2cos p p θθ=-=， 则曲线C 的直角坐标方程为22y x =. （Ⅱ）直线l 的倾斜角为3π，所以直线l '的斜角也为3π，又直线l '的过点()2,0M ，所以直线l '的参数方程为12,2x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'⎪⎩（t '为参数）， 代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=-， 故12AB t t ''=-==. 23.解析（Ⅰ）当1x <时，()()32235f x x x x =---=-+，由3510x -+>，解得53x <-，∴53x <-；当13x ≤≤时，()()3221f x x x x =-+-=+， 由110x +>，解得9x >，∴无解； 当3x >时，()32235f x x x x =-+-=-， 由3510x ->，解得5x >，∴5x >， 所以不等式的解集为{|5x x >或53x ⎫<-⎬⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()35,1,1,13,35,3,x x f x x x x x -+<⎧⎪=+≤≤⎨⎪->⎩根据函数()f x 的图象可知，当1x =时，()f x 取得最小值，且()()min 12f x f ==. 函数()()2g x x a a x x a x a a =-++≥--+=， 所以()min 2g x a =，因为对于任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()21f x g x =， 所以22a ≥，解得11a -≤≤，故实数a的取值范围为[]-.1,1。