2018年贵州省贵阳市高三下学期高考适应性月考卷数学(理)试题Word版含答案

2018年贵州省贵阳市高三下学期高考适应性月考卷数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集I R =，集合2{|log ,4}A y y x x ==>，{|B x y ==，则（ ）A ．AB ⊆ B ．AB A =C ．A B φ=D ．A B φ=2.已知(3)(1)z m m i =-++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(3,1)- B ．(1,3)- C ．(1,)+∞ D ．(,3)-∞-3.已知α为第二象限的角，sin cos 3αα+=，则cos(20172)πα-=（ ）A ．． 4.设实数,x y 满足22(1)1x y +-≤，则20x y -+≤的概率为（ ） A ．14 B ．4π C. 24ππ- D ．424ππ- 5.一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为23π的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的体积为（ ）A B ．203π C. 25π D ．6.矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 在线段BC 上运动，点F 为线段AB 的中点，则DE EF 的取值范围是（ ）A ．7[,2]4B ．7[,]4-∞- C. 7[2,]4-- D ．[2,)+∞ 7.阅读如图所示的程序框图，若6m =，10n =，则输出的S 的值等于（ ）A ． 252B ．120 C.210 D ．45 8.在ABC ∆中，4B π=，若b =ABC ∆面积的最大值是（ ）A．4+．4 C.．2+9.已知实数,x y 满足2024032120x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，直线(2)(1)80x y λλλ++-++=()R λ∈过定点00(,)A x y ，则y y z x x -=-的取值范围为（ ） A ．4[,2]11 B ．[2,)+∞ C. 4(,]11-∞ D ．4(,][2,)11-∞+∞ 10.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则7S 为（ ） A ． 1089 B ．680 C. 840 D ．252011.已知双曲线22123x y -=上存在两点,P Q 关于直线y x b =+对称，且PQ 的中点M 在抛物线29y x =上，则实数b 的值为（ ）A ．0或-10B ．0或-2 C.-2 D ．-1012.设函数()3x f x xe =，若存在唯一的整数0x ，使得00()f x kx k <-，则k 的取值范围是（ ） A ．23[,0)e -B ．3[0,)2e C. 236(,)e e -- D ．223[,)2e e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设*(2,)n a n n N ≥∈是(2n 展开式中x 的系数，则2345a a a a +++= ．（用数字填写答案）14.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos (2)cos()a B c b B C =++，则函数()2sin 2sin(2)()f x x x A x R =+-∈的最大值为 ．15.已知函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，命题p ：实数x 满足不等式(1)(21)f x f x +>-；命题q ：实数x 满足不等式2(1)0x m x m -++≤，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 ．16.已知椭圆1C ：221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线2C ：222222111(0,0)x y a b a b -=>>，以1C 的短轴为正六边形最长对角线，若正六边形与x 轴正半轴交于点M ，1(,0)F c 为椭圆右焦点，A 为椭圆右顶点，B 为直线211a x c =与x 轴的交点，且满足||OM 是||OA 与||OF 的等差数列，现将坐标平面沿y 轴折起，当所成二面角为60时，点,A B 在另一半平面内的射影恰为2C 的左顶点与左焦点，则2C 的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21n n S a =-. （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1111n n n n n a ab a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <.18. 随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视. 为此贵阳市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20积分，当积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下： ①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分； ③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；④租用时间超过3小时，按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.3. （1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望()E ξ.19. 如图，三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC ，2PB BC ==，1AC =，AB =E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且2PF FA =. （1）求证：平面PAC ⊥平面BEF ；（2）求平面ABC 与平面BEF 所成二面角的平面角（锐角）的余弦值.20. 已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点(1,)P e -在椭圆上，e 为椭圆的离心率，且点M 为椭圆短半轴的上顶点，12MF F ∆为等腰直角三角形. （1）求椭圆的标准方程；（2）过点2F 作不与坐标轴垂直的直线l ，设l 与圆2222x y a b +=+相交于,A B 两点，与椭圆相交于,C D两点，当11F A F B λ=且2[,1]3λ∈时，求1FCD ∆的面积S 的取值范围.21. 已知函数21()(1)ln 2f x x m x x =+-+. （1）若函数()f x 存在单调递减区间，求实数m 的取值范围； （2）设1212,()x x x x <是函数()f x 的两个极值点，若72m ≥，求12()()f x f x -的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，其中t 为参数，(0,)2πα∈，再以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2sin ρθθρ+=，其中0ρ≥，R θ∈，直线l 与曲线C 交于,P Q 两点.（1）求OP OQ 的值；（2）已知点(0,1)A ，且||2||AP AQ =，求直线l 的普通方程.23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()f x x bx c =++的顶点为(1,1)-. （1）解不等式|()||()|4||f x f x x -+≥； （2）若实数a 满足1||2x a -<，求证：5|()()|||4f x f a a -<+.2018年贵州省贵阳市高三下学期高考适应性月考卷数学（理）试题参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{|2}{|2}A y y B x x =>=，≥，故A B ⊆，故选A ．2．由复数(3)(1)i z m m =-++在复平面内对应的点在第二象限得：3010m m -<⎧⎨+>⎩，，解得13m -<<，故选B ．3．∵sin cos αα+=∴21(sin cos )3αα+=，∴2sin 23α=-，又∵sin cos 0αα+=>，∴π3π2π2π24k k α+<<+，k ∈Z ，∴3ππ4π24π2k k α+<<+，k∈Z ，∴2α为第三象限的角，∴cos(2017π2)α-=cos 2α-=B ． 4．如图1，直线20x y -+=与圆交于(02)A ，，(11)B -，两点，则20x y -+≤的概率22π1111π242π14πS P S -⨯⨯-===弓形圆，故选C ．5．由三视图可知，该三棱柱的底面是顶角为2π3，两腰为2的等腰三角形，高为2，底面三角形的外接圆直4sin3=，半径为2．设该三棱柱的外接球的半径为R ，则222215R =+=，所以该三棱柱的外接球的体积为34π3V R ==A ． 6．将矩形ABCD 放入如图2所示的平面直角坐标系中，设(2)(01)E t t ，≤≤，又(10)(01)F D ，，，，所以(21)(1)DE t EF t =-=--，，，，所以22(1)DE EF t t t =---=-+217224t t ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，因为01t ≤≤，所以21772244t ⎛⎫----- ⎪⎝⎭≤≤，即D E E F 的取值范围是724⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，，故选C ．7．第一次循环：101S k ==，；第二次循环：9104522S k =⨯==，； 第三次循环：84512033S k =⨯==，；第四次循环：712021044S k =⨯==，； 第五次循环：621025255S k =⨯==，；第六次循环：525221066S k =⨯==，；结束循环，输出210S =，故选C ．8．∵sin sin sin a b c A B C ==，由π4B =，b =，得4sin 4sin a A c C ==，，∴1sin 2S ac B =sin A C =．又sin sin sin sin(π)A C A A B =--3πsin sin 4A A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin A A =+A ⎫⎪⎪⎭22A A 1πsin 224A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵3π04A <<，∴π24A -<-π5π44<，∴当ππ242A -=时，sin sin A C ，∴面积的最大值为2+，故选D ． 9．由直线(2)(1)80x y λλλ++-++=可得28(1)0x y x y λ-++++=，可知10280x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，，解得32x y =-⎧⎨=⎩，，即直线过定点(32)A -，，作出可行域如图3，所以目标函数23y z x -=+，目标函数可视为点A 与可行域中的点连线的斜率，∴4[211z ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，，)+∞，故选D ．10．当7n =时，序列如图：故74202101401058470601089S =++++++=，故选A ．11．因为点P Q ，关于直线y x b =+对称，所以PQ 的垂直平分线为y x b =+，所以直线PQ 的斜率为1-．设直线PQ 的方程为y x m =-+，由22123y x m x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，得224260x mx m +--=，所以4P Q x x m +=-，所以2M x m =-， 所以(23)M m m -，．因为PQ 的中点M 在抛物线29y x =上，所以299(2)m m =-，解得0m =或2m =-，又PQ 的中点M 也在直线y x b =+上，得5b m =，∴0b =或10-，故选A ．12．由()e (33)x f x x '=+，当1x >-时，()01f x x '><-，时，()0f x '<，∴当1x =-时()f x 取得最小值3(1)e f -=-，且26(0)0(2)e f f =-=-，．令()g x kx k =-，则此直线恒过定点(10)，，若存在唯一的整数0x ，使得00()f x kx k <-，则(1)2(1)g k f -=->-，且(2)3(2)g k f -=--≤，∴223e 2e k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．(2n 展开式中x 的系数为22C 2n n n a -=，则2345a a a a +++=202122234C 2C 2C 2++ 235C 2111+=．14．由已知，cos (2)cos(π)a B c b A =+-，即sin cos (2sin sin )cos A B C B A =-+，即sin()A B +=2sin cos C A -，则sin2sin cos C CA =-，∴1cos 2A =-，即2π3A =，()2sin 2f x x =+ 2πsin 2cos3x 2π3πcos 2sinsin 222326x x x x ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，即ππ3x k k =+∈Z ，时，()f x 取得最15．p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，等价于p 是q 的必要不充分条件．由题意得()f x 为偶函数，且在(0)+∞，单调递增，在(0)-∞，单调递减，由p ：(1)(21)f x f x +>-得(|1|)f x +>(|21|)f x -，即|1||21|x x +>-，解得02x <<；由q ：(1)()0x x m --≤，故m 的取值范围是(02)，．16．由题意，1||OM =．又||||2||OA OF OM +=，∴111a c +=，可推出112a c =，设双曲线左顶点和左焦点分别为P ，Q ，则当所成二面角为60︒时，12||2a OP a ==，211211||2a OQ a c c ===，∴2c 的离心率2222c e a ==． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（Ⅰ）解：当1n =时，1121a a =-，所以113a =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即12n n n a a a -=-+，13n n a a -=，113n n a a -=， 所以数列{}n a 是首项为13，公比也为13的等比数列，所以1*111333n nn a n -⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭N ，.（Ⅱ）证明：111111111331131311133n n n n n n n n n n n a ab a a +++++=-=-=-+-+-+-． 由111111313313n n n n ++<>+-，，所以111111313133n n n n n b ++=-<-+-，所以12223111111111133333333n n n n n T b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为1103n +-<，所以1111333n +-<，即13n T <．18．解：（Ⅰ）分别记“甲扣0，1，2分”为事件123A A A ，，，它们彼此互斥， 且123()0.4()0.4()0.2P A P A P A ===，，．分别记“乙扣0，1，2分”为事件123B B B ，，，它们彼此互斥， 且123()0.5()0.3()0.2P B P B P B ===，，． 由题知，123A A A ，，与123B B B ，，相互独立，记甲、乙两人所扣积分相同为事件M ，则112233M A B A B A B =++， 所以112233()()()()()()()P M P A P B P A P B P A P B =++ =0.40.50.40.30.20.20.36⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）ξ的可能取值为：01234，，，，，11(0)()()0.2P P A P B ξ===，1221(1)()()()()0.40.30.40.50.32P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=，132231(2)()()()()()()0.40.20.40.30.20.50.3P P A P B P A P B P A P B ξ==++=⨯+⨯+⨯=， 2332(3)()()()()0.40.20.20.30.14P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=， 33(4)()()0.20.20.04P P A P B ξ===⨯=，所以ξ的分布列为：ξ的数学期望()00.210.3220.330.1440.04 1.5E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.36，ξ的数学期望() 1.5E ξ=． 19．（Ⅰ）证明：∵PB ⊥底面ABC ，且AC ⊂底面ABC ， ∴AC PB ⊥． 由1AC =，2BC =，AB =AC CB ⊥． 又∵PBCB B =，∴AC ⊥平面PBC ，注意到BE ⊂平面PBC ，∴AC BE ⊥．∵PB BC =，E 为PC 中点，∴BE PC ⊥． ∵PCAC C =，∴BE ⊥平面PAC ，而BE ⊂平面BEF ，∴平面PAC ⊥平面BEF ．（Ⅱ）解法一：如图，以C 为原点、CA 所在直线为x 轴、BC 为y 轴建立空间直角坐标系.则144(020)(011)333B E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，， 124(011)333BE BF ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，，，，，．设平面BEF 的法向量()m x y z =，，，则01240333y z x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，解得11122m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，．取平面ABC 的法向量为(001)n =，，， 则6cos 6||||m n m n m n 〈〉==-，故平面ABC 与平面BEF解法二：取BC 的中点M ，在BA 上取点N ，且13BN BA =，连接EM ，FN .∵PB ⊥平面ABC ，∴EM ⊥平面ABC ，FN ⊥平面ABC ，111236BMN S BM AC ==△． 在PAB △中，2221221339BF AB PB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴BF =． 由（Ⅰ）知，BE⊥平面PAC ，即BE EF ⊥，且BE ，∴BEF EF S ==△ 设平面ABC与平面BEF 所成二面角为α， cos BMN BEF S S α==△△， 故平面ABC 与平面BEF 20．解：（Ⅰ）由12MF F △是等腰直角三角形，得222b c ab ==，，从而得到e =1⎛- ⎝⎭，代入椭圆方程得2211122b b+=，解得2212b a ==，， 所求的椭圆方程为2212x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知12(10)(10)F F -，，，，由题意，设直线l 的方程为1x ty =+， 1122()()A x y B x y ，，，，由2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩，，得22(1)220t y ty ++-=， 则1212222211t y y y y t t +=-=-++，，1111221212(1)(1)(1)(1)F A F B x y x y x x y y =++=+++，，2221212121222422(2)(2)(1)2()42411t t ty ty y y t y y t y y t t -=+++=++++=--+=++． ∵11213F A F B ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴22222131t t -+≤≤，解得21132t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．由22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消x 得22(2)210t y ty ++-=． 设3344()()C x y D x y ，，，，34222t y y t -+=+，34212y y t =-+， 则112341||||2F CD S F F y y=-△=设21tm +=，则S =，其中4332m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∵S 关于m 在4332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，∴S ∈⎣⎦，即1F CD △的面积的取值范围为⎣⎦． 21．解：（Ⅰ）因为21()(1)ln 2f x x m x x =+-+， 所以21(1)1()1x m x f x x m x x+-+'=+-+=，又因为()0f x '<在(0)+∞，上有解， 令2()(1)1g x x m x =+-+，则(0)10g =>， 只需2102(1)40m m -⎧>⎪⎨⎪∆=-->⎩，，解得131m m m >⎧⎨><-⎩，或，即3m >．（Ⅱ）因为2(1)1()x m x f x x+-+'=，令()0f x '=，即2(1)10x m x +-+=，两根分别为12x x ，，则121211x x m x x +=-⎧⎨=⎩，， 又因为221211122211()()(1)ln (1)ln 22f x f x x m x x x m x x -=+-+---- 22222211121212122211()(1)()ln ()()ln 22x x x x m x x x x x x x x =-+--+=---+22221112112122212221111ln ()ln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令12x t x =，由于12x x <，所以01t <<． 又因为72m ≥，221225()(1)4x x m +=-≥，即212121221()2x x x x x x x x +=++，即12524t t ++≥， 所以241740t t -+≥，解得4t ≥或14t ≤，即104t <≤．令111()ln 024h t t t t t ⎛⎫⎛⎫=--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤，2222211121(1)()02222t t t h t t t t t ----'=--==<，所以()h t 在104⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递减，min 111115()ln 42ln 244248h t h ⎛⎫⎛⎫==--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以12()()f x f x -的最小值为152ln 28-+． 22．【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为tan 1y x α=+， 曲线C 的极坐标方程可化为22x y =，设11()P x y ，，22()Q x y ，，联立l 与C 的方程得：22tan 20x x α--=， ∴122x x =-，则222121212()1224x x x x y y ===， ∴12121OP OQ x x y y =+=-. （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入抛物线C 的普通方程， 得22cos 2sin 20t t αα--=，设交点,P Q 对应的参数分别为12t t ，， 则1222sin cos t t αα+=，1222cos t t α=-， 由||2||AP AQ =得，122t t =-，联立解得21tan 4α=，又π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以1tan 2α=. 直线l 的普通方程为112y x =+.（或220x y -+=）23．【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：依题意得2()2f x x x =-，则不等式为22|2||2|4||x x x x x ++-≥，∵2222|2||2|(2)(2)|4|4||x x x x x x x x x x ++-+--==≥||，当且仅当[2,2]x ∈-时取等号， 所以不等式恒成立，解集为x ∈R .（Ⅱ）证明：22|()()||22||()(2)||||2|f x f a x x a a x a x a x a x a -=--+=-+-=-+-111|2||22|(||2||2)222x a x a a x a a <+-=-+--++≤ 1152||2||224a a ⎛⎫<++=+ ⎪⎝⎭．。