高等数学知识地图

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集合概念左右导数函数映射几何、物理意义函数保序性导数高阶导数→莱布尼茨公式数列极限唯一性基本求导公式联系→性质有界性四则运算法则微积分学函数极限保号性求导法则复合函数求导法则e^x理论基础无穷小→无穷小的比较→等价无穷小一元函数定义反函数求导法则常用展开sin(x)、cos(x)——极限无穷及常用代换微分学微分几何意义隐函数求导法则ln(1+x)、(1+x)^n函数、无穷大及应用微分公式参数函数求导法则极限运算法则运算法则柯西中值定理麦克劳林中值定理→佩亚诺型余项和连续存在法则→重要极限近似计算↑↑定义四则运算微分中值定理→费马引理→罗尔定理→拉格朗日中值定理→泰勒中值定理→拉格朗日型余项复合函数洛必达法则——零比零型、无穷比无穷型连续性反函数单调性→极值、最值连续初等函数凸凹性→拐点端点间断点第一类——可去、跳跃切线法↓第二类——无穷、振荡导数应用零点二分法鞍点最值点←间断点、不可导点最值定理水平渐近线函数↑↑性质零点定理渐线性铅直渐近线作图驻点→极值点介值定理斜渐近线y’=0原理基本概念弧微分零点基本定理曲率曲率圆拐点y=0可分离变量的微分方程曲率半径y’’=0一阶微分方程齐次微分方程→可化为齐次微分方程的方程定义←原函数线性微分方程不定积分性质基本积分公式有理函数的积分常微分伯努利方程换元积分法无理函数的积分无穷限的反常积分方程全微分方程计算分部积分法三角有理式的积分无界函数的反常积分可降阶的y^(n)=f(x)一元函数特殊积分计算反常积分反常积分审敛法高阶微分方程y’’=f(x,y’)、y’’=f(y,y’)积分学定义与性质→积分中值定理Γ函数高阶微分方程常系数线性齐次方程及应用微积分基本公式（N-L公式）微分方程非齐次方程Pn(x)e^ax基本积分法差分欧拉方程(Pl(x)cos(bx)定积分计算换元积分法弧长方程其他解法幂级数解法+Pn(x)sin(bx))e^ax分部积分法几何应用平面面积、回转体侧面积微分方程组的解法应用物理应用体积概念、性质条件收敛比较平面点集定义几何级数绝对收敛比值理论基础极限最值定理p级数审敛法根值多元函数连续介值定理常数项级数正项级数极限偏导数定义、计算交错级数多元函数高阶偏导数无穷级数线性性质收敛区间微分学微分法全微分微分积分性收敛域及应用求导法则——复合函数、隐函数敛散性收敛半径→求法应用grad 函数项级数近似计算解微分方程三角级数→正交性↓定义傅立叶级数敛散性→狄利克雷收敛定理X、Y型函数展开R、θ型定义、坐标表示重积分概念模方向角截面法方向方向余弦多元函数三重积分柱坐标面积投影法向量运算加减法方向数积分学球坐标乘法→数乘、数量积、向量积、混合积及应用应用相互关系平行、垂直夹角、投影第一类曲线积分——定义、性质、计算空间方程——一般式、点法式、截距式、三点式↓联系↑解析几何面平面关系——平行、垂直、相交、夹角曲线积分第二类曲线积分——定义、性质、计算与距离——点面、线面、面面线面积分格林公式→平面曲线积分与路径无关的条件向量代数二次曲面——九种常见曲面及方程斯托克斯公式→空间曲线积分与路径无关的条件曲面法线与切平面第一类曲面积分——定义、性质、计算方程——一般式、点向式、参数式、两点式曲面积分↓联系↑直线关系——平行、垂直、相交、异面、夹角——平面束第二类曲面积分——定义、性质、计算线距离——点线、线线概念→数量场、矢量场高斯公式→延任意闭曲面的曲面积分为零的条件方程方向导数→梯度grad曲线投射——投影柱面、投影曲线场论通量→散度div 哈密顿算子▽→拉普拉斯算子△切线与法平面环量→旋度rot。

不同角度下高等数学知识的思维导图绘制

不同角度下高等数学知识的思维导图绘制摘要：本文根据高等数学学科的特点，从不同视角，阐释知识概念、计算方法和逻辑推理，形成特色的思维导图，使得抽象概念、复杂公式、严谨理论直观化和可视化，有助于学生提升学习质量和效率，并锻炼学生的逻辑和创新思维能力。

1.引言对于理工科专业学生，高等数学是一门重要的公共基础必修课程。

课程内容庞大复杂分散，不仅有着高度的抽象性和概括性，而且具有严密的逻辑性和连贯性。

对于大一学生，高等数学课程难度和学习进度相比高中情形明显难且快，且课程课时学习短。

因此，在高等数学课程中，如何在有限的时间内使学生理解并掌握庞大复杂分散的知识体系，是高等数学课程中教师所面临的教育难题。

随着教育教学改革的不断深入，根据人类大脑的放射性工作机制，教师在教学活动中越来越广泛地综合应用思维导图方法。

思维导图（Mind Mapping）又称心智图, 是享有“世界大脑先生”美誉的英国著名心理学家、教育学家东尼·博赞 (Tony Busan) 于20世纪60年代所创[1]。

思维导图呈现了思维的自然表达过程，以图示的方式向人们展现看不见、摸不着的思维结构。

一张思维导图是一张很好的知识地图。

随着颜色、位置、图像、符号、逻辑等元素的加入，思维导图的呈现变得更加鲜活和丰富，能够有效地激发学生的学习兴趣和参与积极性，在培养学生自主学习、创新思维能力方面具有巨大的作用与价值。

在文献[2-5]中，分别研究了思维导图在高等数学课堂中的应用、提高学生学习效率等方面的研究。

本文根据高等数学的知识体系和思维导图的特征，从填空、知识的联系与区别以及分类汇总角度出发，将具体概念、定理、计算等内容的知识逻辑结构化，通过不断研发、实践和优化，形成特色思维导图，使得数学逻辑更为直观可视化。

这将有助于更好地展现数学教学的新颖性，引导学生建构系统的知识体系，掌握知识之间的逻辑性，拓展学生思维和视野，培养学生的数学素养和创新思维能力。

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

高等数学函数极限

第一章函数极限与连续高等数学可以说是变量数学，它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异。

它主要研究对象是函数，它的主要内容是微积分学，它的主要手段是以极限为工具，并在实数范围内研究函数的变化率及其规律性，从而产生微积分的基本概念及性质。

本章主要介绍函数的概念及其基本性质；数列与函数的极限及其基本性质；连续函数的概念及其基本性质，为进一步学好函数的微积分打下一个良好的基础。

第一节函数的概念一、几个基本概念1 常量与变量在日常生活或生产实践中，观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表现的，在观察的某一个过程中始终保持不变的量称之为常量，经常变化的量称之为变量。

通常用小写字母a、b、c ……等表示常量，用小写字母x、y、z、……表示变量。

例如：圆周率是永远不变的量，它是一个常量；某商品的价格在一定的时间段内是不变的，所以，在这段时间内它也是常量；又如一天中的气温，工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量，这些量都是变量。

注意：1 常量和变量是相对的，它们依赖于所研究的过程和所研究的对象。

在不同的过程中常量和变量是可以转化的。

如商品的价格，某段时间是常量，另一段时间就有可能是变量了；2 从几何意义上来表示，常量对应数轴上的定点，变量对应数轴上的动点。

2 集合、区间集合是表示具有同一种属性的全体。

例如：某班的全体学生组成一个集合；长虹集团05年度的所有产品组成一个集合；所有正有理数仍组成一个集合等等。

有关集合的运算、集合的表示等方面的基本知识，中学数学已有介绍，这里就不一一赘述了下面向读者介绍高等数学中常用的数集及其简明表示符号：开区间：()b a ,={} | b x a x << ；闭区间：[]{} | , b x a x b a ≤≤=；左半开区间（或右半闭区间）{} | ] , (b x a x b a ≤<=；右半开区间（或左半闭区间）{} | ) , [b x a x b a <≤=；上述四个区间的长度都是有限长的，因此把它们统称为有限区间。

复数全章知识点

复数全章知识点一、知识概述《复数》①基本定义：复数就是把实数和虚数合在一起的数。

比如，3是实数，但如果写成3 + 0i，这就是复数了。

其中i是虚数单位，规定i的平方等于-1。

就好像有一个神秘的数字世界，原本只有像1、2、3这些实实在在能看到摸到的实数，但科学家为了解决一些问题，发现还得有像i这么个神奇的东西，当它和实数组合起来就成了复数。

②重要程度：在数学学科里可是非常重要的，很多数学问题，特别是和方程、函数相关的，如果没有复数的概念，就没办法完整解决。

像在高等数学、物理学中的交流电计算等领域它可都是大功臣。

③前置知识：要掌握好实数的知识，像有理数、无理数，它们的运算规则，四则运算这些基本功。

因为复数也会用到实数的运算规则。

④应用价值：在电工学里，计算交流电的时候，如果只考虑实数，很多计算是没办法进行的。

因为交流电是有相位差的，而这个相位差就是复数里虚数部分在现实中的体现。

在信号处理里，也经常用到复数，把信号分解成实部和虚部来分别处理。

二、知识体系①知识图谱：复数在数学学科里算是数系扩充后的内容，它是实数系的扩展。

如果我们把数系比作一个家族，实数是家族的一大部分，那复数就是把这个家族又扩大了一些，把像i这种很奇怪的成员也包含进来了。

②关联知识：和方程、函数特别是多项式函数有很大联系。

许多多项式方程在实数范围内无解，但在复数范围内就有解了。

还和向量有点联系。

可以把复数看成一种特殊的向量，实部和虚部分别是向量的两个分量。

③重难点分析：- 掌握难度：我刚学的时候觉得有点难的就是虚数单位i这个概念，有点抽象。

它不像实数那么直观。

- 关键点：理解复数的实部、虚部，还有i的平方等于-1这条铁律。

能熟练进行复数的四则运算。

④考点分析：- 在考试中，如果是基础数学考试，会重点考查复数的基本运算，像加、减、乘、除。

比如出一道题让你计算(2 + 3i)+(1 - 2i),这种简单的计算。

如果是稍难一点的或者高等数学考试，会考查复数在方程中的应用，比如解一个在实数内无解的二次方程在复数范围内的解。

同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解析几何

第五篇向量代数与空间解析几何第八章向量代数与空间解析几何解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第1节空间直角坐标系空间直角坐标系用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.空间直角坐标系过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.图8-1在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.yxzO图8-2空间点的直角坐标设M 为空间中的任一点，过点M 分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x 轴、y 轴和z 轴依次交于A 、B 、C 三点，若这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，于是点M 就唯一确定了一个有序数组(, , )x y z ，则称该数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，如图8-3．x ，y ，z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．图8-3反之，若任意给定一个有序数组(, , )x y z ，在x 轴、y 轴、z 轴上分别取坐标为x ，y ，z 的三个点A 、B 、C ，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点M ，该点就是以有序数组(, , )x y z 为坐标的点，因此空间中的点M 就与有序数组(, , )x y z 之间建立了一一对应的关系．注：A 、B 、C 这三点正好是过M 点作三个坐标轴的垂线的垂足．空间中两点之间的距离设两点111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z ，则M 与N 之间的距离为yxz OyxzA B C (,,)M x y zg212212212)()()(z z y y x x d -+-+-= （8-1-1）事实上，过点M 和N 作垂直于xOy 平面的直线，分别交xOy 平面于点1M 和1N ，则1MM ∥1NN ，显然，点1M 的坐标为11(, , 0)x y ，点1N 的坐标为22(, , 0)x y （如图8-4）．图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，1M 和1N 的距离为：21221211)()(||y y x x N M -+-=．过点M 作平行于xOy 平面的平面，交直线1NN 于2N ，则11M N ∥2MN ，因此2N 的坐标为221(, , )x y z ，且212212112)()(||||y y x x N M MN -+-==，在直角三角形N MN 2中，||||122z z N N -=，所以点M 与N 间的距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=．例1 设(1, 2, 0)A -与(1, 0, 2)B --为空间两点，求A 与B 两点间的距离．解由公式（8-1-1）可得，A 与B 两点间的距离为d ==例2 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距的点M ．解由于所求的点M 在z 轴上，因而M 点的坐标可设为(0, 0, )z ，又由于MA MB =，由公式（8-1-1），得222222)5(1)4()2(53z z -++-=--++．从而解得72=z，即所求的点为2(0, 0, )7M ．习题8-11．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点 3．在空间直角坐标系中，画出下列各点：(2, 0, 0)A ；(0, 3, 0)B -；(3, 0, 1)C ；(3, 2, 1)D -． 4．求点(1, 2, 3)-关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求下列各对点间的距离： (1) (0, 1, 3)A -与(2, 1, 4)B ； (2) (1, 4, 2)C -与D(2, 7, 3)．7．在坐标平面yOz 上求与三点(3, 1, 2)A 、(4, 2, 2)B --和(0, 5, 1)C 等距的点．8．求点(12, 3, 4)A -与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离． 9. 证明以()()()A 4,3,1,B 7,1,2,C 5,2,3为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形.第2节空间向量的代数运算空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．在数学上，我们用有向线段AB u u u r来表示向量，A 称为向量的起点，B 称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母a ，b ，c ，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母, ,,a b c r r rL 来记向量.向量的长度称为向量的模，记作a 或AB u u u r，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作a=b .规定：所有的零向量都相等.与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做a 的负向量(或反向量)，记作 a ．平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面.向量的线性运算向量的加法我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法．定义1 对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB u u u r 、AD u u u r 分别表示a 与b ，然后以AB u u u r 、ADu u u r 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC u u u r称为向量a 与b 的和（图8-5），记作a +b ．这种求和方法称为平行四边形法则．图8-5 图8-6若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终点的向量c 就是a 与b 的和(图8-6），该法则称为三角形法则．多个向量，如a 、b 、c 、d 首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和a +b +c +d （图8-7）．abAD abc =a +b图8-7对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则： (1) a +b =b +a (交换律)．(2) ()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3) 0a +=a ．向量的减法定义2 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即()--a b =a +b ．特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.由向量减法的定义，我们从同一起点O 作有向线段OA u u u r ，OB u u u r分别表示a ，b ，则()OA OB OA OB --=+-u u u r u u u r u u u r u u u ra b =OA BO BA =+=u u u r u u u r u u u r ．也就是说，若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量（图8-8）．图8-8数乘向量定义3 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa，方向：当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．对于任意向量a ，b 以及任意实数λ，μ，有运算法则： (1) ()()λμλμa =a ．abcda +b +c +daabb-a b BAC(2) ()+λμλμ+a =a a ．(3)()+λλλ+a b =a b ．向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．特别地，与❒a 同方向的单位向量叫做❒a 的单位向量，记做ae ，即aa e a ρρρ=.上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例1 如图8-9，在平行六面体///ABCD B C D /—A 中，设/=AA u u u u r ,a AD =u u u r b AB =u u u r c ,试用,,a b c 来表示对角线向量//,.AC A C u u u u r u u u u raC'B'A'D'DC图8-9解 ''AC AB BC CC =++u u u u r u u u u r u u u r u u u r 'AB BC AA =++u u u r u u u r u u u r a b c =++；'''AC A A AB BC AA AB AD =++=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b c =++.由于向量λa 与a 平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有, 定理1 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使得λa =b .向量的坐标表示向量在坐标轴上的投影设A 为空间中一点，过点A 作轴u 的垂线，垂足为'A ，则'A 称为点A 在轴u 上的投影(图8-10)．图8-10若M 为空间直角坐标系中的一点，则M 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影为A 、B 、C ，如图8-11所示．图8-11设向量AB u u u r的始点与终点B 在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向线段uuuu r A B ''的值A B ''叫做向量AB u u u r 在轴u 上的投影，记作u u u ru prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.图8-12当uuuu rA B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''u u u u r 与轴u 反向时，投影取负号．注 (1) 向量在轴上投影是标量．设MN u u u u r为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN u u u u r在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -．向量的坐标表示取空间直角坐标系Oxyz ，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．空间中任一向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和．事实上，设MN u u u u ra =，过M 、N 作坐标轴的投影，如图8-13所示．MN =MA+AP +PN =MA+MB +MC u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r a =．由于MA u u u r 与i 平行，MB u u u r与j 平行，MC u u u u r 与k 平行，所以，存在唯一的实数, , x y z ，使得MA x =u u u r i ，MB y =u u u rj ，MC z =u u u u r k ，yxzOA B CM即x y z a =i +j +k ． (8-2-1)图 8-13我们把(8-2-1)式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的直角坐标，记为{, , }x y z a =，向量的坐标确定了，向量也就确定了．显然，(8-2-1)中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．因此，在空间直角坐标系中的向量a 的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例2 在空间直角坐标系中设点(3, 1, 5)M -，(2, 3, 1)N -，求向量MN u u u u r 及NM u u u u r的直角坐标．解由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以向量MN u u u u r 的坐标为{5, 4, 4}--，向量NM u u u u r的坐标为{5, 4, 4}-．例3(定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为两已知点，有向线段AB u u u r上的点M 将它分为两条有向线段AM u u u u r 和MB u u u r ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即AMMBλ=，求分点(,,)M x y z 的坐标.图8-14解如图8-14，因为AM u u u u r 与MB u u u r 在同一直线上，且同方向，故AM MB λ=⋅u u u u r u u u r，而122{,,}AM x x y y z z =---u u u u r， 222{,,}MB x x y y z z =---u u u r222{(),(),()}MB x x y y z z λλλλ=---u u u r所以 12()x x x x λ-=-，12()y y y y λ-=-，12()z z z z λ-=-解得xy zO MNCBAPi jkRPQM 1M 2xyzγβα121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ+⋅+⋅+⋅===+++当1 点M 的有向线段→AB 的中点其坐标为221x x x +=221y y y +=221z z z +=向量的模与方向余弦的坐标表示式向量可以用它的模与方向来表示，也可以用它的坐标式来表示，这两种表示法之间的是有联系的.设空间向量12a M M =u u u u u ur r 与三条坐标轴的正向的夹角分别为,,αβγ，规定：0,0,0απβπγπ≤≤≤≤≤≤,称,,αβγ为向量❒a的方向角.图8-15因为向量❒a 的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此12cos cos x a M M a αα=⋅=⋅u u u u u u r r12cos cos y a M M a ββ=⋅=⋅u u u u u u r r(8-2-2)12cos cos z a M M a γγ=⋅=⋅u u u u u u r r公式中出现的cos ,cos ,cos αβγ称为向量❒a 的方向余弦.而{,,}{cos }x y z a a a a a γ==⋅v vcos ,cos ,cos }a a e αβγ=⋅r u u r{cos ,cos ,a e αβ=u u r 同方向的单位向量.而❒a =M M 12u u u u u u r()M R +21，,x M P a M Q ==11故向量a r 的模为从而向量a r222222222cos x z x y zxyzxyza a a aa a aa a aαβγ===++++++ (8-2-4)并且 222coscos cos 1αβγ++=.例4 已知两点1M 和()21,3,0M ,求向量12M M u u u u u u r的模、方向余弦和方向角.解 12(12,32,0(1,1,M M =--=-u u u u u u r2)2(1)1(222=-++-=；11cos ,cos ,cos 222αβγ=-==-；23,,334πππαβγ===. 例5 已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB u u u r同方向的单位向量e r .解因为{74,10,35}{3,1,2},u u u rAB =---=-所以 AB ==u u u r于是e =r向量的数量积在物理中我们知道，一质点在恒力F 的作用下，由A 点沿直线移到B 点，若力F 与位移向量ABu u u r的夹角为θ，则力F 所作的功为||||cos W F AB θ=⋅⋅u u u r．类似的情况在其他问题中也经常遇到．由此，我们引入两向量的数量积的概念．定义1 设a ，b 为空间中的两个向量，则数cos ,a b a b叫做向量a 与b 的数量积(也称内积或点积)，记作⋅a b ，读作“a 点乘b ”．即cos ,⋅a b =a b a b （8-2-5）其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0⋅a b =.由向量数量积的定义易知： (1) 2⋅a a =a ，因此=a ．(2) 对于两个非零向量a ，b ，a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即⊥a b ⇔0⋅a b =．注数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用．数量积的运算满足如下运算性质：对于任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 交换律：⋅⋅a b =b a ．(2) 分配律：()⋅⋅⋅a b +c =a b +a c ． (3) 与数乘结合律：()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ．(4) 0⋅≥a a 当且仅当0a=时，等号成立．例6 对坐标向量i ，j ，k ，求⋅i i ，⋅j j ，⋅k k ，⋅i j ，⋅j k ，⋅k i ．解由坐标向量的特点及向量内积的定义得1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =．例7 已知2=a ，3=b ，2, 3π=a b ，求a b ⋅，(2)()-+a b a b ⋅，+a b ．解由两向量的数量积定义有2cos , 23cos 3π⋅=⨯⨯a b =a b a b 123()=32=⨯⨯--．(2)()=22-⋅+⋅⋅-⋅-⋅a b a b a a +a b b a b b22=2-⋅-a a b b 222(3)23=11=---⨯-．2()()+=⋅+a b a +b a b =⋅⋅+⋅+⋅a a +a b b a b b222=+⋅+a a b b2222(3)3=7=+⨯-+，因此+=a b在空间直角坐标系下，设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，即111x y z ++a =i j k , 222x y z ++b =i j k ．则111222()()x y z x y z ⋅++⋅++a b =i j k i j k 121212()()+()x x x y x z ⋅+⋅⋅=i i i j i k121212()()+()y x y y y z ⋅+⋅⋅+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⋅+⋅⋅+k i k j k k ．由于1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =，所以121212x x y y z z ⋅++a b =． (8-2-6)也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和．同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以及两向量垂直的充要条件，即设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则==a (8-2-7)cos ||||⋅=a ba,b a b=(8-2-8)⊥a b ⇔1212120x x y y z z ++=． (8-2-9)例8 在空间直角坐标系中，设三点(5, 4, 1)A -，(3, 2, 1)B ，(2, 5, 0)C -．证明:ABC ∆是直角三角形．证明由题意可知{2, 6, 0}AB =-u u u r ，={3, 1, 1}AC ---u u u r，则(2)(3)6(1)0(1)0AB AC ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=u u u r u u u r，所以AB AC ⊥u u u r u u u r ．即ABC ∆是直角三角形．向量的向量积在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述．设一杠杆的一端O 固定，力F 作用于杠杆上的点A 处，F 与OA u u u r的夹角为θ，则杠杆在F 的作用下绕O 点转动，这时，可用力矩M 来描述．力F 对O 的力矩M 是个向量，M 的大小为||||||sin OA OA =u u u r u u u rM F ,F ．M 的方向与OA u u u r 及F 都垂直，且OA u u u r，F ，M 成右手系，如图8-16所示．图8-16 向量积的定义在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念．定义2 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为sin , c =a b a b ． (8-2-10)其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系（如图8-17），则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)．记作⨯a b ，读作“a 叉乘b ”．注 (1) 两向量a 与b 的向量积⨯a b 是一个向量，其模⨯a b 的几何意义是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积． (2)⨯0a a =这是因为夹角θ=0，所以⨯0a a = 图8-17 (3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．a ∥b ⇔⨯0a b =．向量积的运算满足如下性质：对任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 反交换律：⨯-⨯a b =b a ．(2) 分配律: ()⨯⨯⨯a b +c =a b +a c ，()⨯⨯⨯a +b c =a c +b c ．(3) 与数乘的结合律：()()()λλλ⨯⨯⨯a b =a b =a b ．例9 对坐标向量i ，j ，k ，求⨯i i ，⨯j j ，⨯k k ，⨯i j ，⨯j k ，⨯k i ．FMθ解 ⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ．向量积的直角坐标运算在空间直角坐标系下，设向量111{, , }x y z a =，向量222{, , }x y z b =，即111x y z ++a =i j k ，222x y z ++b =i j k ，因为⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ， ⨯-j i =k ，⨯-k j =i ，⨯-i k =j ．则111222()()x y z x y z ⨯++⨯++a b =i j k i j k 121212()()+()x x x y x z ⨯+⨯⨯=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⨯+⨯⨯+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⨯+⨯⨯+k i k j k k121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i 121212121212()()+()y z z y x z z x x y y x ----=i j k ．为了便于记忆，借助于线性代数中的二阶行列式及三阶行列式有111111222222y z x z x y y z x z x y ⨯-a b =i j +k 111222x y z x y z =ij k ．注设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则a ∥b ⇔⨯0a b =，⇔212121z z y y x x ==．若某个分母为零，则规定相应的分子为零．例10 设向量{1,2,1}--a =，{2,0,1}b =，求⨯a b 的坐标．解21111212101212021----⨯--=-ij k a b =i j +k 234=--i j +k ．因此⨯a b 的直角坐标为{2, 3, 4}--．例11 在空间直角坐标系中，设向量{3, 0, 2}a =，{1, 1, 1}--b =，求同时垂直于向量a 与b 的单位向量．解设向量⨯c =a b ，则c 同时与a ，b 垂直．而32111⨯--ij kc =a b =23=-+i j +k ，所以向量c 的坐标为{2, 1, 3}-．再将c 单位化，得02,1,3}={=-c ，即{与-- 为所求的向量．例12 在空间直角坐标系中，设点(4, 1, 2)A -，(1, 2, 2)B -，(2, 0, 1)C ，求ABC ∆的面积．解由两向量积的模的几何意义知：以AB u u u r 、AC u u u r为邻边的平行四边形的面积为AB AC ⨯u u u r u u u r ，由于{3, 3, 4}AB =--u u u r ，{2, 1, 1}AC =--u u u r，因此33453211AB AC ⨯=--=++--u u u r u u u ri j ki j k ，所以AB AC ⨯==u u u r u u u r故ABC ∆的面积为235=∆ABC S ．向量的混合积定义3 给定空间三个向量,,a b c r r r，如果先作前两个向量a r 与b r 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c r 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量,,a b c r r r的混合积，记做()a b c ⨯⋅r r r 或abc ⎡⎤⎣⎦r r r . 说明：三个不共面向量,,a b c r r r 的混合积的绝对值等于以,,a b c r r r为棱的平行六面体的体积V .定理如果111a X i Y j Z k =++r r r r ，222b X i Y j Z k =++r r r r ，333c X i Y j Z k =++r r r r，那么 111222333.X Y Z abc X Y Z X Y Z ⎡⎤=⎣⎦r r r 习题8-21.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+u u u r u u u u r u u u r u u u r设为线段的中点,为空间中的任意一点证明2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯g g g g g g 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b4.:(1);(2)(3).利用向量证明三角形的余弦定理正弦定理；勾股定理5.设,,a b c r r r为单位向量,且满足0a b c ++=r r r r ,求.a b b c c a ++r r r r r r gg g 6.1(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),322ab c a b + c.求=-==--7.已知三点(3,0,2),A B AB ==u u u r求的坐标、模、方向余弦和方向角.8.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A 的坐标.9．设2=a ，4=b ，3πa,b =，求⋅a b ，(2)-⋅a b b ，-a b ． 10．设向量a ，b ，c 两两垂直，且1=a ，2=b ，3=c ，求向量d =a +b +c 的模及d,a ．11．在空间直角坐标系中，已知{1,2,3}-a = ，{2,2,1}-b = ，求： (1)⋅a b ； (2) 25⋅a b ； (3) a ； (4) cos a,b ．12.已知向量2332和,,a i j k b i j k c i j =-+=-+=-，计算（1）g g ()();a b c a c b -（2）()();a b b c +⨯+（3）()a b c ⨯g .13．设向量a ，b 的直角坐标分别为{1, 3, 2}--和{2, 4, }k -，若a b ⊥，求k 的值． 14．设向量{2, 1, 1}-a =，{1, 3, 0}-b =，求以、a b 为邻边构造的平行四边形面积． 15．求同时垂直于向量{3, 2, 4}-a =和纵轴的单位向量．16．已知三角形三个顶点(4, 1, 2)A -，(3, 0, 1)B -，(5, 1, 2)C ，求ABC ∆的面积．第3节空间中的平面与直线方程在本节我们以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线.平面及其方程首先利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将给出几种由不同条件所确定的平面的方程．平面的点法式方程若一个非零向量n 垂直于平面π，则称向量n 为平面π的一个法向量．显然，若n 是平面π的一个法向量，则λn (λ为任意非零实数)都是π的法向量，即平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直．由立体几何知识知道，过一个定点0000(, , )M x y z 且垂直于一个非零向量{, , }A B C n =有且只有一个平面π．设(, , )M x y z 为平面π上的任一点，由于π⊥n ，因此0M M ⊥u u u u u u rn ．由两向量垂直的充要条件，得00M M =⋅u u u u u u rn ,而0000{, , }M M x x y y z z =---u u u u u u r，{, , }A B C n =，所以可得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ． (8-3-1)由于平面π上任意一点(, , )M x y z 都满足方程(8-3-1)，而不在平面π上的点都不满足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面π的方程．由于方程(8-3-1)是给定点0000(, , )M x y z 和法向量{, , }A B C n =所确定的，因而称式(8-3-1)叫做平面π的点法式方程．图8-18例1 求通过点0(1, 2, 4)M -且垂直于向量{3, 2, 1}-n =的平面方程．解由于{3, 2, 1}-n =为所求平面的一个法向量，平面又过点0(1, 2, 4)M -，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为3(1)2(2)1(4)=0x y z --⋅++⋅-，整理，得32110x y z -+-=．例2 求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3 的平面π的方程．解所求平面π的法向量必定同时垂直于12u u u u u u r M M 与13u u u u u u r M M ．因此可取12u u u u u u r M M 与13u u u u u u rM M 的向量积1213u u u u u u r u u u u u u rM M M M ⨯为该平面的一个法向量n ．即 1213n =u u u u u u r u u u u u u r M M M M ⨯．由于12{3, 4, 6}u u u u u u r M M =--，13{2, 3, 1}u u u u u u rM M =--，因此1213-631i jkn =u u u u u u r u u u u u u rM M M M =342⨯---149i j k,=+-,因此所求平面π的方程为0419214=--++-)()()(z y x ，化简得.015914=--+z y x一般地，过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程。

《地图学》课程标准

《地图学》课程标准一、课程说明注：1.课程类型（单一选项）：A类（纯理论课）/B类（理论＋实践）/C类（纯实践课）2.课程性质（单一选项）：必修课/专业选修课/公共选修课3.课程类别（单一选项）：公共基础课/专业基础课/专业核心课4.合作者：须是行业企业人员，如果没有，则填无二、课程定位《地图学》课程是测绘地理信息技术专业的专业基础课程，也是测绘、地理教育、土地资源规划与管理、旅游资源规划与管理等相关专业的必修课程。

由于《地图学》课程具有多学科集成、渗透性强、应用范围广、理论与技术并重等特点，自然形成了地图学课程在整个课程体系中不可替代与不可忽视的地位。

地图学课程作为地理信息专业课程体系的“中坚力量”，以自然地理、测量学课程为基础，通过地图学课程，培养学生地理现象抽象、空间认知与思维、地图表达的能力，为专业后续课程的学习打下坚实的基础。

地图学精品课程的建设，对整个学科课程体系的发展，具有十分重要的意义。

本课程逻辑性比较强若有《高等数学》知识作背景是最合适的，后续的《遥感概论》、《地理信息系统》以及《地籍测量》都以此为基础。

三、设计思路1.本课程的设计总体要求是：以夯实基础、适应岗位为目标，以能力为本位，尽可能形成模块化的专业课程体系；2.在专业调研的基础上，结合企业生产实践，确定毕业生面临的工作岗位，结合工作岗位任务分解完成工作任务所需要的职业能力，根据职业能力要求设置课程教学内容，保证了课程内容选取的针对性和适用性；3.按照“体现学生学习的主体地位，使课程内容具有层次性、趣味性”的教学组织要求，配套与本课程标准相适宜的“理论一体化”教材。

四、课程培养目标1.专业能力（1）具备科学读图与识图能力；（2）具备空间想象与空间分析能力；（3）基本制图能力；（4）制图综合能力；（5）数字地图制图能力；（6）地图分析与地图应用能力。

2．方法能力（1）能自主学习新知识、新技术；（2）能通过各种媒体资源查找所需信息；（3）具有独立解决实际问题的思路；（4）具备整体与创新思维能力；3．社会能力（1）具有较强的口头与书面表达能力、人际沟通能力；（2）具有团队精神、协作精神及集体意识；（3）具有良好职业道德；（4）具有良好的心理素质和克服困难的能力；五、课程内容、要求及教学设计（一）课程整体设计（二）课程学习单元内容与要求六、课程考核与评价1、考核方式和成绩构成本课程采用过程性考核和终结性考核相结合的考核方式，过程性考核方式主要是指平时成绩占总成绩的50%，终结性考试成绩占总成绩的50%。

高等数学讲义-- 一元函数微分学

第二章一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。

如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。

如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。

右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

成考高等数学二重点及解析

成考专升本高等数学（二）重点知识及解析（占130分左右）第一章、函数、极限和连续（22分左右）第一节、函数（不单独考，了解即可）一、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。

2ln sin y x =是由ln y u =，2u v =和sin v x =这三个简单函数复合而成.3arctan x y e =是由arctan y u =，v u e =和3v x =这三个简单函数复合而成. 该部分是后面求导的关键！二、基本初等函数：（1）常值函数：y c =（2）幂函数：y x μ=（3）指数函数：x y a =(a 〉0,1)a ≠且（4）对数函数：log a y x =(a 〉0,1)a ≠且（5）三角函数：sin y x =，cos y x =，tan y x =，cot y x =，sec y x =，csc y x = （6）反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x = 其中：（正割函数）1sec cos x x =，（余割函数）1csc sin x x= 三、初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。

他是高等数学的主要研究对象！第二节、无穷小与无穷大（有时选择题会单独考到，也是后面求极限的基础）一、无穷小1、定义：以0为极限的量称为无穷小量。

注意：（1）一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。

（2）只有0能能作为无穷小的唯一常量，千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。

()21lim 10x x →-=，即当1x →时，变量21x -是无穷小；但是当0x →时，21x -就不是无穷小，因为此时他的极限值不为零。

所以表述无穷小时必须指明自变量的变化趋势。

例变量在给定的变化过程中为无穷小的是（）.A 、1sin x →(x 0)B 、1x e →(x 0)C 、()2ln 1x +→(x 0)D 、239x x --()3x →E 、1cos x -→(x 0)F 、21x -→(x 0)G 、()211x -1→(x )H 、sin xx→(x 0)答案：选C 、E 、F 、H ，因为上述选项的极限值均为零！二、无穷大1、定义：当o x x →（或x →∞）时，()f x 无限地增大或无限减小，则称()f x 是当o x x →（或x →∞）的无穷大。

高数学习中的思维导图与总结技巧

高数学习中的思维导图与总结技巧
在高等数学学习中，思维导图与总结技巧扮演着重要角色。

它们如同一位引导者，带领着学生们在广袤的数学知识海洋中航行，找到宝贵的知识珍珠并将它们串联成精巧的项链。

首先，思维导图可以比喻为一张引导地图。

当学生们面对复杂的数学概念和公式时，这张地图为他们指明方向，帮助他们理清头绪。

通过将各个概念、定理、公式用节点和链接连接起来，思维导图呈现出数学知识的结构和逻辑关系。

就像一位热心的导游，它们把学生们从迷失的迷宫中带出来，让他们能够更清晰地看到整个数学学科的全景图。

其次，总结技巧像是一位智者，帮助学生们从学习的浩瀚中提炼精华。

通过总结，学生们可以把学到的知识归纳概括，从而更深刻地理解和记忆。

就像一个精巧的工匠，总结技巧帮助学生们将零散的数学知识点打磨成统一的整体。

它们教导学生们如何从细节中抽丝剥茧，发现并把握住数学问题的核心。

在实际运用中，思维导图与总结技巧相辅相成。

思维导图提供了一个构建知识结构的框架，而总结技巧则在这个框架上填充内容，使其更加丰富和有力。

通过将两者结合运用，学生们可以
在高等数学学习中事半功倍，既提高学习效率又加深对数学内容的理解。

总之，高等数学学习中的思维导图和总结技巧如同学习之路上的得力助手。

它们不仅指引着学生们前行的方向，还帮助他们在广袤的数学知识海洋中留下深刻的足迹。

通过不断地练习和应用，学生们能够将这些技巧内化成为自己学习的一部分，从而在数学学习的旅程中获得更多的收获和成长。

数学14章知识树

数学14章知识树全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学作为一门重要的学科，被广泛地运用于各个领域。

而在数学的学习过程中，很多时候我们往往会感觉有些知识点相互关联，但却无法构建出一个系统性的框架，难以将其融会贯通。

为了帮助大家更好地理解数学的知识体系，我们可以通过绘制“知识树”的形式，将各个知识点串联起来，形成一个有机的整体。

在本文中，我将为大家介绍一份关于数学的14章知识树，希望可以帮助大家更好地理解数学知识的结构和内在联系。

第一章：基本概念在这一章中，我们将学习到数学的起源和基本概念，包括数的分类、数的性质、集合的概念等。

这是数学学习的基础，建立在这些基本概念之上，我们才能更深入地探索数学的世界。

第二章：初等代数在这一章中，我们将学习关于代数的基本概念和技巧，包括多项式的运算、方程的解法、因式分解等。

初等代数是数学学习的重要阶段，它为我们打下了解决各种数学问题的基础。

第三章：几何学几何学是研究空间和形状的科学，它包括点、线、面、体等基本概念，以及几何图形的性质和相互关系。

通过学习几何学，我们可以更好地理解空间结构，解决与形状和大小相关的问题。

第四章：三角学三角学是研究三角形和三角函数的学科，它包括三角函数的定义、图像、性质和应用等内容。

三角学是数学中一个重要的分支，它在解决各种实际问题中扮演着至关重要的角色。

第五章：微积分微积分是研究变化的数学，它包括导数、微分、积分等概念和技巧。

微积分被广泛地应用于科学、工程、经济等领域，它为我们提供了解决变化和尺度问题的数学工具。

第六章：概率论概率论是研究随机事件的概率和规律的学科，它包括概率的定义、性质、分布等内容。

概率论在各种实际问题中都有着广泛的应用，它帮助我们了解随机现象的规律性和规律。

第七章：数论数论是研究整数的性质和规律的学科，它包括素数、同余、数论函数等内容。

数论在密码学、编码理论等领域有着重要的应用，它帮助我们理解整数之间的关系和规律。

数学map

数学map数学Map：用地图梳理数学知识数学是一门抽象的学科，常常让学生感到头疼。

尤其是高等数学，难以理解和记忆。

许多人可能记得做题的步骤，但对于知识点的梳理却很模糊。

这时候，一个好的数学Map可以帮助我们更好地理解和记忆数学知识。

什么是数学Map？数学Map，又称知识图谱，是指将一门学科中的知识点、定义、公式和概念等元素按照一定的逻辑关系进行组织和呈现的一种图形表达方式。

数学Map主要有两种类型：一种是线性Map，即将知识点按照章节顺序排列；另一种是非线性Map，即将知识点按照它们之间的关系进行组织，构成一种网状结构。

如何制作数学Map？制作数学Map需要以下步骤：1.确定主题：确定数学Map的主题，以及确定使用线性还是非线性结构。

2.收集知识点：根据主题列出与之相关的知识点，包括定义、公式、定理等。

3.建立框架：按照知识点之间的逻辑关系构建框架，建立一个初步的数学Map。

4.补充细节：在框架的基础上，逐渐补充和细化每一个知识点，增加详细解释和示例。

5.精心设计：利用合适的图标、颜色和排版等元素设计数学Map，让其更加易于理解和记忆。

学习数学Map的好处1.梳理思路：数学Map能够清晰地展示知识点之间的逻辑关系，帮助学生更好地理解和记忆数学知识。

2.备考利器：数学Map可以使学生清楚地了解考试的考点和考点之间的关系，帮助备考更加有针对性。

3.知识框架：数学Map可以帮助学生建立清晰的知识框架，方便他们在学习中不断深入和拓展知识。

总之，数学Map是一种强大的学习工具，帮助学生更加清晰地理解和记忆数学知识。

希望大家在学习数学的过程中能够尝试一下数学Map的制作，让数学之路更加畅通。

高等数学中的极值问题

高等数学中的极值问题在高等数学中，极值问题是一个比较重要的知识点，也是很多学生觉得比较困难的章节之一。

极值问题的本质是求函数的最大值或最小值，涵盖了很多数学领域中的最优化问题。

在实际应用中，极值问题可以帮助我们解决很多实际问题。

比如，一个企业想要最大化利润，一个旅行者想要最短地从一个城市到另一个城市，一张地图上想要画出最小生成树等等。

这些问题的核心在于求解函数的最大值或最小值。

那么，如何求解函数的极值呢？在高等数学中，我们可以使用微积分的知识来帮助我们求解函数的极值。

一、函数的极值首先，我们需要了解什么是函数的极值。

在一个函数的定义域内，如果存在一个点，在这个点的左右两侧的函数值都比它小（或大），那么这个点就是函数的极大值（或极小值）。

举个例子，对于函数f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1，我们可以通过求导来求解函数的极值。

首先，对函数f(x)求导，得到它的导函数f'(x) = 3x² - 6x + 2。

然后，我们可以通过求解f'(x)=0来找到函数的极值点。

将f'(x) = 3x² - 6x + 2 = 0，解出x的值为1或2/3。

接下来，我们可以通过二阶导数的符号来判断这两个点是极值点还是拐点。

当f''(1) = 6 > 0时，x=1是函数f(x)的极小值；而当f''(2/3)=-2<0时，x=2/3是函数f(x)的极大值。

二、函数的最大值和最小值求解函数的极值只是解决了一个部分问题，我们还需要找到函数的最大值或最小值。

在一些简单的函数中，我们可以通过画图来直观地看出函数的最大值或最小值。

但对于一些复杂的、多项式的函数来说，我们需要使用数学公式和定理来求解它们的最大值或最小值。

其中，拉格朗日乘数法是一个求解函数最大值或最小值的常用方法。

拉格朗日乘数法将求解最值的问题，转化为求解一个无约束条件的问题，简化了求解的步骤。

点到空间直线的距离公式高等数学

点到空间直线的距离是数学中的一个重要问题，其求解涉及到向量、空间几何和线性代数等知识。

在高等数学中，我们通常使用向量和参数方程来求解点到空间直线的距离，下面将对这一问题做详细的介绍和解析。

一、点到空间直线的距离公式的推导在三维空间中，我们可以用参数方程来表示一条直线，假设直线上有一点P(x0, y0, z0)，直线的参数方程为：x = x1 + aty = y1 + btz = z1 + ct其中，P1(x1, y1, z1)是直线上的一个点，a、b、c是直线的方向向量的分量，t是参数。

假设直线上的任意一点为Q(x, y, z)，则向量PQ = (x - x0, y - y0, z - z0)直线的方向向量为u = (a, b, c)那么点P到直线的距离d为点PQ在方向向量u上的投影，即d = |PQ·u / |u|其中，PQ·u表示向量PQ与向量u的点积，|u|表示向量u的模长。

我们可以将点到直线的距离公式进行化简，得到d = |(x - x0, y - y0, z - z0)·(a, b, c)| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)这就是点到空间直线的距离公式。

二、点到空间直线的距离公式的应用点到空间直线的距离公式在实际问题中有着广泛的应用，比如在工程、地理和物理等领域，常常需要计算点到直线的距离来解决实际问题。

例如在工程领域中，当需要设计道路、管道或者电线等时，经常需要确定某一点到直线的距离，以便做出合理的规划和设计。

此时可以通过点到空间直线的距离公式来准确计算距离，从而得到精确的设计方案。

在地理领域中，用来确定地理位置之间的距离也经常会涉及到点到直线的距离计算，比如在航空航海、勘探勘测和地图测绘领域中，通过点到空间直线的距离公式可以计算出两个地理位置之间的距离，从而为实际操作提供准确的数据支持。

点到空间直线的距离公式在数学和实际问题中都具有重要意义和应用价值，通过对这一问题的深入研究和了解，不仅可以加深对数学知识的理解，还能为解决实际问题提供有效的数学工具。

高等数学基本函数及图像

第一节初等函数1、基本初等函数及图形基本初等函数为以下五类函数：(1) 幂函数 μx y =，μ是常数；(2) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；(3) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；(4) 三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；(5) 反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数 x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．我现在就付诸行动［美］奥格.曼狄诺著安辽我的幻想毫无价值，我的计划渺如尘埃，我的目标不可能达到。

一切的一切毫无意义——除非我们付诸行动。

我现在就付诸行动。

一张地图，不论多么详尽，比例多么精确，它永远不可能带着它的主人在地面上移动半步。

一个国家的法律，不论多么公正，永远不可能防止罪恶的发生。

任何宝典，即使我手中的羊皮卷，永远不可能创造财富。

只有行动才能使地图、法律、宝典、梦想、计划、目标具有现实意义。

行动像食物和水一样，能滋润我，使我成功。

我现在就付诸行动。

拖延使我裹足不前，它来自恐惧。

现在我从所有勇敢的心灵深处，体会到这一秘密。

我知道，要想克服恐惧，必须毫不犹豫，起而行动，惟其如此，心中的慌乱方得以平定。

现在我知道，行动会使猛狮般的恐惧减缓为蚂蚁般的平静。

点和直线知识点总结

点和直线知识点总结一、点的基本概念1. 点的定义：点是几何中的基本要素，不具有大小和形状，只有位置。

点通常用大写字母表示，如A、B、C等。

2. 点的坐标：在直角坐标系中，点的位置可以用坐标来表示。

一般情况下，坐标为(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

3. 点的性质：点与点之间的距离没有大小，可以用直线段来连接，两点确定一条直线。

4. 点的集合：几何中的点可以组成各种集合，如直线、射线、线段等。

二、直线的基本概念1. 直线的定义：直线是由一系列相互相等且连续无间隔的点构成的集合。

直线是无限长的，没有具体的起点和终点。

2. 直线的方程：直线在平面直角坐标系中可以用一元一次方程表示。

一般情况下，直线的方程为y=ax+b（斜率截距式）、Ax+By+C=0（一般式）等。

3. 直线的性质：直线是平面上最简单的几何图形，具有唯一性和无限性。

直线上的任意两点都可以确定一条直线。

4. 直线的倾斜程度：直线的斜率是描述直线倾斜程度的重要参数，通常表示为k，斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大。

5. 直线的严重位置关系：直线之间有平行、垂直、相交等多种位置关系，这些位置关系在几何学中有重要的应用价值。

三、点和直线的相关定理1. 点与直线的关系：点在直线上、直线上的两点之间的距离、点到直线的距离等都是几何中常见的问题，需要掌握相应的解题方法和定理。

2. 直线之间的位置关系：包括平行、垂直、相交等多种情况，需要根据题目给出的条件和信息来确定直线之间的位置关系，从而求解问题。

3. 直线的相交角：当两条直线相交时，它们所成的相交角有特定的性质和关系，可以利用这些性质求解问题。

4. 直线的倾斜角：描述直线倾斜程度的角度称为倾斜角，可以根据斜率来确定直线的倾斜角。

四、点和直线的计算方法1. 点的坐标计算：根据题目给出的条件和信息，可以求解点的坐标，包括点的坐标之间的关系、点到坐标轴的距离等。

2. 直线的方程计算：根据直线上已知点的坐标或直线的斜率截距等条件，可以确定直线的方程。

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