二次函数综合练习题】[1]
求二次函数解析式-综合题-练习+答案
求二次函数解析式：综合题例1 已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式．分析：本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)．那么显然有∴x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．因此，有ax2+bx＋c=a(x-x1)(x-x2)∴抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (*)(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)我们将(*)称为抛物线的两根式．对于本例利用两根式来解则更为方便．解：∵抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x-1)又∵抛物线过M(0，1)，将x=0，y=1代入上式，解得a=-1∴函数解析式为y=-x2＋1．说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：①三项条件确定二次函数；②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；③二次函数的解析式有三种形式：究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定．例2 由右边图象写出二次函数的解析式．分析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点．解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)．设解析式为y=a(x＋1)2+2∵过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为y=-2(x+1)2+2，即y=-2x2-4x．说明：已知顶点坐标可以设顶点式．本题也可设成一般式y=ax2+bx＋c，∵过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，本题还可以用过点(0，0)，(-2，0)而设解析式为y=a(x+2)·x再将顶点坐标(1，2)代入求出a．例3 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)在y轴上截距为-2．分析：(1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2 解：(1)设y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)∴设a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8∴解析式y=2x2+4x-6(2)∵图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x 轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．(3)∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y 随x增大而减小∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n∵过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2)说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx＋c，得：题(2)充分利用对称性可简化计算．例4 已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，±2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法．解法(一)：∵抛物线的对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2，∴顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．故设二次函数式y=a(x＋1)2＋2或y=a(x+1)2-2又∵抛物线经过点A(-3，0)∴0=a(-3＋1)2＋2或0=a(-3＋1)2-2所求函数式是解法(二)：根据题意：设函数解析式为y=ax2＋bx＋c ∵点A(-3，0)在抛物线上∴0=9a-3b＋c ①又∵对称轴是x=-1∵顶点M到x轴的距离为2解由①，②，③组成的方程组：∴所求函数的解析式是：解法(三)：∵抛物线的对称轴是x=-1又∵图象经过点A(-3，0)∴点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)∴设函数式为y=a(x+3)(x-1)把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得2=a(-1＋3)(-1-1)或-2=a(-1＋3)(-1-1)解关于a的方程，得∴所求函数式为：说明：比较以上三种解法，可以看出解法(一)和解法(三)比解法(二)简便．M点到x轴的距离为2，纵坐标可以是2，也可以是-2，不要漏掉一解．例5 已知抛物线y=x2-6x＋m与x轴有两个不同的交点A 和B，以AB为直径作⊙C，(1)求圆心C的坐标．(2)是否存在实数m，使抛物线的顶点在⊙C上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．分析：(1)根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点．(2)依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在⊙C上，需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于⊙C的半径长，依据这个条件，列出关于m的方程，求出m值后再由已知条件做出判断．解：(1)∵y=x2-6x＋m=(x-3)2+m-9∴抛物线的对称轴为直线x=3∵抛物线与x轴交于A和B两点，且AB是⊙C的直径，由抛物线的对称性∴圆心C的坐标为(3，0)(2)∵抛物线与x轴有两个不同交点∴△=(-b)2-4m＞0，∴m＜9设A(x1，0)，B(x2，0)∵抛物线的顶点为P(3，m-9)解得：m=8或m=9∵m＜9，∴m=9舍去∴m＝8∴当m=8时，抛物线的顶点在⊙C上．说明“存在性”问题是探索性问题的主要形式．解答这类问题的基本思路是：假设“存在”—→演绎推理—→得出结论(合理或矛盾)．例6 已知抛物线y=ax2＋bx＋c，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)．又知方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根平方和等于40．(1)求抛物线的解析式；(2)试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方且使S△PAB=2S△CAB．如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．分析：求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式，通过解方程组求出系数也就得到解析式．第(2)问中问是否存在那么假设存在进行推理，从而判断存在或不存在．解：(1)由题设条件得∴抛物线顶点为(2，4)．又A点坐标为(-2，0)，而△ABC与△PAB同底，且当P点位于抛物线顶点时，△PAB面积最大．显然，S△PAB=16＜2S△ABC=2×12=24．故在x轴上方的抛物线上不存在点P使S△PAB=2S△CAB．例7 在一块底边长为a，高为h的三角形的铁板ABC上，要截出一块矩形铁板EFGH，使它的一边FG在BC边上，矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大．分析：问题问“矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大”，所以题目的目标是矩形面积(S)而自变量就是EF的长(x)，因此问题的关键就是用EF(x)表示矩形面积S，这就要用EF表示出EH．解：设内接矩形EFGH中，AM⊥BC，∵EH∥BC，设EF=x(0＜x＜h)则AN=h-x设矩形EFGH的面积为S说明：解决联系实际的问题，又与几何图形有关就应综合应用几何、代数知识，利用相似成比例列出函数式再求最值．例8 二次函数y=ax2＋bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，(1)求二次函数的解析式；(2)求原点O到直线AB的距离．分析：为直线x=3，来求系数a，b．注意根与系数关系定理的充分应用．为求原点O到直线AB的距离要充分利用三角形特征和勾股定理．解： (1)如图，由已知，有∴(x1+x2)2-2x1x2=26，∴a=-1．∴解析式为y=-x2＋6x-5=-(x-3)2＋4．(2)∵OB=5，OC=4，AC=3，∴△AOB为等腰三角形，作OD⊥AB于D，说明：有部分学生把二次函数的顶点坐标记错，也有的学生不会用“根与系数的关系”，得不出解析式．有不少学生没有发现△AOB是等腰三角形，若发现为等腰三角形，OD 是底边AB的高，利用勾股定理就迎刃而解了．发生错误的原因，没记熟抛物线的顶点坐标公式，有的学生记下来了，但与两个根如何综合使用发生了问题，有些学生求点O到直线AB的距离，没有分析出图形与数量关系，其实△AOB是等腰三角形，知道这一性质求OD的数据就方便多了．纠正错误的办法，加强抛物线顶点坐标的学习、顶点坐标与巧用“根与系数的关系”的学习；另外，也要加强寻找特殊点的学习．一般说，无论多难的题目，总是有解题规律的．在几何图形中，经过认真分析，有的题目总含等边三角形、等腰三角形、直角三角形．例9 设A，B为抛物线y=-3x2-2x＋k与x轴的两个相异交点，M为抛物线的顶点，当△MAB为等腰直角三角形时，求k的值．分析：首先按题意画出图形，再运用抛物线的对称性挖掘题中的隐含条件，来解答本题，得出解后要分析解的合理性进行取舍．解：∵抛物线与x轴有两个相异交点，故△＞0，即(-2)2-4·(-3)k＞0，解关于k的不等式，得根据题意，作出图象，如图设N为对称轴与x轴的交点，由抛物线的对称性知，N 为AB中点．∵∠AMB＝Rt∠，且MN的长即为M点的纵坐标，又设A点坐标(x1，0)，B点坐标(x2，0)，则有解关于k的方程，得∴k＝0．说明：本题有一个重要的隐含条件，即要使抛物线与x 轴有两个相异交点，应首先满足△＞0．(2)本题要求学生会运用抛物线的对称性观察图形，联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个重要定理，找到等量关系，列出关于k的方程，如果没有这种灵活运用定理的能力，将得不到关于k的方程，难以求解．例10 某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每提价1元(每件)，日销售量就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少时，才能使每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？分析：此题主要涉及两个量，即售出价和每天获得的利润．而每天获得的利润是随着售出价的改变而改变的，所以要找到二者的函数关系式，应把售出价设为自变量，把每天获得的利润看作是售出价的函数．这样，再根据已知条件，就可列出二者的函数关系式．解：设该商品的售出价定为x元／件时，每天可获得y 元的利润．即每件提价(x-20)(元)，每天销售量减少10(x-20)(件)，也就是每天销售量为[100-10(x-20)](件)，每件利润(x-18)(元)根据题意，得：y＝(x-18)[100-(x-20)×10]=-10x2+480x-5400=-10(x-24)2+360．(20≤x≤30)y是x的二次函数∵a=-10＜0，20≤24≤30∴当x=24时，y有最大值为360．答：每件售出价为24元时，才能使每天获得的利润最大，每天的最大利润是360元．例11 改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点F到A 点的距离是多少？分析：要求点F到A点的距离，也就是求A、F两点横坐标的差．又A点横坐标为0，所以只需求出F点横坐标．F 点在抛物线上是抛物线与x轴的交点，所以要根据已知条件，求出抛物线的解析式．解：过C点作CD⊥Ox于D，BE⊥CD于E，则有CE=BE ＝2，AB=DE=1.5，则B(0，1.5)，C(2，3.5)．∵C为抛物线的最高点，例12 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图．地导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米(即图中E点)．(1)若导弹运行轨道为一抛物线，求抛物线的解析式；(2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由．分析：题中的实际条件转化成数学意义就是已知抛物线的顶点E，而且过点D求抛物线的解析式以及判断C是否在曲线上．解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3(2)设C(x0，y0)，过C点作CB⊥Ox，垂足为B．在Rt△OBC 和Rt△ABC中，OA=1，例13 已知函数y1=-x2+b1x+c1与x轴相交于原点O(0，0)和点A(4，0)，若函数y2=-x2+b2x+c2，(b1≠b2)也经过点A，且y1与y2的顶点所在直线平行于x轴．(1)求两个函数的解析式．(2)当x为何值时，y1＜y2．分析：解答第(1)题的关键是求y2的解析式，由题意可知a1=a2=-1，因此可以判断两条抛物线的形状和开口方向都相同，再利用y1与y2的顶点所在直线平行于x轴，可判断出y1和y2在x轴上截得的线段长相等，从而求出y2与x轴另一个交点B(8，0)，由A，B点都是抛物线与x轴交点，可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)形式解：(1)∵y1=-x2+b1x+c1过点O(0，0)，A(4，0)∴0=0＋0＋c1 ∴c1=00=-16+4b1+0 ∴b1=4∴函数y1=-x2+4x∵a1=a2=-1∴两条抛物线的形状，开口方向相同．又∵y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等∵b1≠b2，y1与y2都经过A(4，0)点∴y2与x轴的另一个交点是点B(8，0)y2=-(x-4)(x-8)=-x2＋12x-32注：以上求y2的解析式是采用数、形结合的方法，进行推理得到的，此外，也可用计算方法求到b2和c2，然后写出y2的解析式，具体解法如下：∵y1的顶点是(2，4)y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等，y2又过点A(4，0)∵b1=4，而b1≠b2 ∴b′2=4(舍去)∴y2=-x2+12x-32解：(2)若要使y1＜y2只要使-x2+4x＜-x2+12x-32即可解不等式，得x＞4∴当x＞4时，y1＜y2例14 m是怎样的数值时，二次函数y＝(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．分析：二次函数的图象与x轴的负方向交于两个不同点的条件是二次项系数不为零，判别式大于零，两根之和小于零，两根之积大于0．(所谓两根是这个函数对应的一元二次方程的两根)解：设二次函数与x轴两交点的横坐标为x1，x2．要使它的图象与x轴两交点都在x轴的负方向上，应满足不等式组：解得1＜m＜2．答：当1＜m＜2时，二次函数y=(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．对二次函数式中的m不知代表什么，也无从下手求m．当抛物线与x轴相交时，y=0，两个交点的横标即为方程的两个根，两个根在原点的左方，列不出算式，不知道列出这种算式与“根与系数的关系”有关．总之有不少学生没有掌握二次函数与一元二次方程的内在联系而解题失败．发生错误的原因，不知道在一元二次函数式中的m其实质是参数．一元二次方程的根在直角坐标系x轴上的分布理论如何表达，许多学生不清楚．解不等式功底不深厚也会发生错误．纠正错误的办法，加强一元二次函数式的学习，m属于实数，任给m一个数值，就存在一条具体数值的抛物线，给出m的数值是无穷的，随着m值的不同也产生了不同的抛物线，可用“抛物线族”这个名词去表达本题的一元二次函数表达式所勾勒的抛物线是无穷无尽的．另外也要加强方程理论、根与系数关系、根的判别式的学习．例15 已知抛物线l：y=x2-(k-2)x+(k+1)2．(1)证明：不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2＋12x＋9上；(2)要使抛物线y=x2-(k-2)x＋(k＋1)2和x轴有两个不同的交点A，B，求k的取值范围；(3)当(2)中的A，B间距离取得最大值时，设这条抛物线顶点为C，求此时的k值和∠ACB的度数．分析：把l的顶点坐标用k的代数式表示分别代入y=3x2+12x+9的左、右后能使两边相等说明顶点在抛物线y=3x2+12x+9上．抛物线与x轴交点的情况就是相应一元二次方程有无实根的情况．AB间距离又可列出反的二次函数．解：∴左边=右边，所以不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y＝3x2+12x+9上．(2)欲使抛物线l与x轴有两个交点，则△＞0，即△=[-(k-2)]2-4(k+1)2=-3k2-12k＞0，解之，-4＜k＜0．(3)当-4＜k＜0时，抛物线l与x轴有两个不同的交点A，B，设A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＞x2，x1＋x2＝k-2，x1x2＝(k＋1)2，说明：不明白“不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2+12x+9”上这句话的意思，实质上就是方程与曲线的关系，点在曲线上，即点的坐标满足曲线的方程；将抛物线顶点坐标的表达式代入抛物线函数式左右相等，即达到(1)提问；不知道抛物线与x轴相交，是△＞0，无法运算而失败；不知道用“根与系数的关系”以及截距公式，不会巧用“根与系数的关系”，求不出最大值，因而求不出y=ax2＋bx＋c(a≠0)的a，b，c，使该题后面的提问无法进行；在x轴与抛物线顶点所构造出的三角形中，求边长时没有绝对值的概念、正切函数值不熟悉而求不出∠ACB=60°．发生错误的原因，本题是综合题，而且是中考的考题，要顺利而正确地回答出本题所有答案，从初一至初三所学的数学知识应该牢固掌握，第一问求出抛物线顶点坐标表达式，将表达式代入(1)的函数式，若相等，即满足了函数式的要求，按初中阶段属于验根的手段，按高中就是曲线与方程的关系了．这个不难的问题为什么学生束手无策呢？只是用文字表示了顶点坐标，很抽象，不易理解．本题的难度之一是出现了“k”，这个“k”其本质起到了参数作用．有些精品文档。
中考数学一轮复习《二次函数》综合复习练习题(含答案)
中考数学一轮复习《二次函数》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．二次函数223y x x =-+的一次项系数是（ ） A ．1B ．2C ．2-D ．32．抛物线22(9)3y x =+-的顶点坐标是（ ） A ．(9,3)-B ．(9,3)--C ．(9,3)D ．(9,3)-3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m 时，水面宽度为4m ．那么水位下降1m 时，水面的宽度为（ ）A 6mB ．26mC ．)64mD ．()264m4．二次函数()225y x =+-的图象的顶点坐标是（ ） A ．2,5B ．()2,5C ．()2,5--D ．()2,5-5．在平面直角坐标系xOy 中，点123(1)(2)(4)y y y -，，，，，在抛物线22y ax ax c =-+上，当0a >时，下列说法一定正确的是( ) A ．若120y y <，则30y > B ．若230y y >，则10y < C ．若130y y <，则20y >D ．若1230y y y =，则20y =6．抛物线221y x x =-+的顶点坐标是（ ） A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(1，2)D ．(－1，2)7．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A ．()2323y x =++B ．()2323y x =-+C ．()2332y x =++D ．()2332y x =-+8．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A 的坐标为16(0)9，，则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）A ．7mB ．7.5mC ．8mD ．8.5m9．关于抛物线2(1)y x =-，下列说法错误的是( ) A ．开口向上B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小C ．对称轴是直线1x =D ．顶点()1,010．一次函数y x a =+与二次函数2y ax a =-在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD 为14的奖杯，杯体轴截面ABC 是抛物线2459y x =+的一部分，则杯口的口径AC 为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．下表中列出的是一个二次函致的自变量x 与函数y 的几组对应值：下列各选项中，正确的是（ ） x … 2- 0 1 3 …y … 6- 4 6 4 …A ．函数的图象开口向上B ．函数的图象与x 轴无交点C ．函数的最大值大于6D ．当12x -≤≤时，对应函数y 的取值范围是36y ≤≤二、填空题13．已知函数221y mx mx =++在32x -上有最大值4，则常数m 的值为 __.14．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当0y ＞时，自变量x 的取值范围是 _____．15．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为____米时，花圃的面积有最大值，最大值是____．16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m 时，水面宽4m ，如果水面上升1.5m ，则水面宽度为________．17．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是___________米．18．在平面直角坐标系中，抛物线2yx 的图象如图所示，已知A 点坐标()1,1，过点A 作1AA x ∥轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∥交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∥轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∥交抛物线于点4A ，…，依次进行下去，则点2022A 的坐标为______．19．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，如果水面下降0.5m ，那么水面宽度增加________m ．20．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB 间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF 的长为0.28米，则拱高OC 为_____米三、解答题21．已知关于x 的方程2(23)0mx m x m +-+=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．22．已知关于x 的一元二次方程x 2+x −m =0．(1)设方程的两根分别是x 1，x 2，若满足x 1+x 2=x 1•x 2，求m 的值． (2)二次函数y =x 2+x −m 的部分图象如图所示，求m 的值．23．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。
题库-二次函数性质综合题
二次函数性质综合题类型一 二次项系数确定型1.已知二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5.（1）若该二次函数图象关于y 轴对称，写出它的图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象的顶点在第一象限，求m 的取值范围．解：(1)∵二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5的图象关于y 轴对称，∴x =22m --=0， 解得m =0， ∴二次函数为y =x 2-5，∴顶点坐标为（0，-5）；(2)y =x 2-2mx +m 2+m -5=（x -m )2+m -5，∴顶点坐标为（m ，m -5），∵它的图象的顶点在第一象限，∴ m ＞0，且 m −5>0 ， 解得m>5．2.已知抛物线G ：y=x 2-2ax+a -1(a 为常数).（1）当a =3时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为P （p ,q ），①分别用含a 的代数式表示p ,q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，则点P 总落在__________图象上.A .一次函数B .反比例函数C .二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：y =x 2-2ax +N (a 为常数)，其中N 代表含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：_________（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中，k=___________,b=___________.解：(1)当a=3时，y=x2-6x+2=(x-3)2-7,∴点G的顶点坐标为(3,-7);(2)①y=x2-2ax+a-1=(x-a)2-a2+a-1,∴p=a,q=-a2+a-1;②q=-p2+p-1;③C(3)y=x2-2ax+a2+a-1,1,-1(答案不唯一)【解法提示】y=x2-2ax+a2+a-1=(x-a)2+a-1，顶点坐标为（a,a-1）,顶点所在的一次函数图象的表达式y=x-1.3.已知抛物线y=x2-2mx+2m2+2m,得出两个结论：结论一：当抛物线经过原点时，顶点在第三象限的角平分线所在的直线上；结论二：不论m取什么实数值，抛物线顶点一定不在第四象限.(1)请你求出抛物线经过原点时m的值及顶点坐标,并说明结论一是否正确?(2)结论二正确吗? 若你认为正确,请求出当实数m变化时,抛物线顶点的纵横坐标之间的函数关系式,并说明顶点不在第四象限的理由;若你认为不正确,求出抛物线顶点在第四象限时,m的取值范围.解：(1)结论一正确.抛物线经过原点时,2m2+2m=0,则m1=0，m2=-1,当m=-1时，抛物线解析式为y=x2+2x=(x+1)2-1,顶点坐标(-1,-1)；当m=0时，抛物线解析式为y=x2,顶点坐标(0,0),由于顶点(-1,-1)和顶点(0,0)都在第三象限的角平分线所在的直线上,∴结论一正确；（2）结论二正确.∵抛物线的解析式y =x 2-2mx +2m 2+2m 可变为y =(x -m )2+m 2+2m ,∴抛物线的顶点坐标为（m ,m 2+2m ）,若设抛物线的顶点为(x ,y ),则2,2x m y m m=⎧⎨=+⎩ ∴抛物线顶点的纵横坐标的函数关系式为y =x 2+2x ,∵抛物线y =x 2+2x 的顶点为(-1,-1),与x 轴的交点为(0,0),(-2,0),且抛物线开口向上，∴抛物线 y =x 2+2x 不可能在第四象限.即不论 m 取什么实数值,抛物线顶点一定不在第四象限.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2-2mx +m 2-m +2的顶点为D ．线段ab 的两端点分别为a （-3，m ），b （1，m ）．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点b （1，m ），求m 的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围． 解：（1）∵y =x 2-2mx +m 2-m +2=（x -m )2-m +2，∴D （m ，-m +2）；(2)∵抛物线经过点B （1，m ）,∴m =1-2m +m 2-m +2，解得m =3或m =1；(3)根据题意：∵A （-3，m ），B （1，m ），∴AB 所在直线的解析式为y =m （-3≤x ≤1）,与y =x 2-2mx +m 2-m +2,联立得： x 2-2mx +m 2-2m +2=0，令y =x 2-2mx +m 2-2m +2，若抛物线y =x 2-2mx +m 2-2m +2与线段AB 只有一个公共点，即函数y 在-3≤x ≤1范围内只有一个零点，当x =-3时，y =m 2+4m +11≤0，∵b 2-4ac ＞0，∴此种情况不存在，当x =1时，y =m 2-4m +3≤0， 解得1≤m ≤3．5.已知抛物线的表达式为 y =2x 2-4x -1.(1)求当x 为何值时y 取最小值,并求出最小值；(2)这个抛物线交x 轴于点(x 1,0),(x 2,0),求2112x x x x +的值； (3)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移 1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为a ,请你求出点a 的坐标.解：(1)y =2x 2-4x -1=2(x 2-2x +1)-2-1=2(x -1)2-3,当x =1时，y 取最小值，最小值为-3；(2)令y =0,得2x 2-4x -1=0,由题意得：方程的两个根为x 1,x 2,∵a =2,b =-4,c =-1,∴x 1+x 2=b a -=2,x 1x 2=c a =12-, 则22221121212121212()210;x x x x x x x x x x x x x x ++-+===- (3)二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到解析式为y=2(x-1-2)2-3,即y=2(x-3)2-3,再向下平移1个单位长度，得y=2(x-3)2-3-1,即y=2(x-3)2-4,则平移后顶点a的坐标为（3，-4）.6.已知二次函数y=-x2+2mx-4m+2（m为常数）（1）请你用m的代数式表示该函数的顶点坐标；（2）对于二次函数y=-x2+2mx-4m+2，若当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，请你求出m的取值范围；（3）若二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，写出H与m的函数关系式，并判断该函数图象的顶点是否有最高点（或最低点）？若有，请求出这个点的坐标．解：(1)∵2224,42 22(1)4b m ac bm m ma a--=-==-+⨯-,∴顶点坐标为（m，m2-4m+2）；(2)∵抛物线的对称轴为直线x=m，且a=-1＜0，∴当x≥m时，函数值y随x的增大而减小，∵当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，∴m≤1；(3)∵二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，∴H=m2-4m+2=（m-2）2-2，∵1＞0，∴函数顶点有最低点，坐标为（2，-2）．7.已知二次函数y=22x bx c++(b,c为常数).（1）当b=1，c=-3时，求二次函数在-2≤x≤2上的最小值；（2）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（3）当c =42b 时，若在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式.解：(1)当b =1，c =-3时，二次函数解析式为2223(1)4y x x x =+-=+-，∵x =-1在-2≤x ≤2的范围内，∴当x =-1时，函数取得最小值为-4；(2)当c =3时，二次函数解析式为y =223x bx ++=22()3x b b +-+，其对称轴为直线x =-b ,①若-b ＜0，即b ＞0时，当x =0时，y 有最小值为3；②若0≤-b ≤4，即4≤b ≤0时，当x =-b 时，y 有最小值为23b -+； ③若-b ＞4,即b ＜-4时，当x =4时，y 有最小值为8b +19;(3)当c =24b 时，二次函数的解析式为y =2224x bx b ++，它是开口向上，对称轴为直线x =-b 的抛物线，①若-b ＜2b ,即b ＞0时，在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 随x 增大而增大,∴当x =2b 时，y=2(2)2b b +×222412b b b +=为最小值，∴12b 2=21，∴b 或b =(舍)， ∴二次函数解析式为y =27x +;②若2b ≤-b ≤2b +3,即-1≤b ≤0,当x =-b 时，代入y =2224x bx b ++，得y 的最小值为23b ，∴23b =21， ∴b 舍)或b (舍)，③若-b ＞2b +3时,即b<-1，x =2b+3时，代入二次函数解析式y =2224x bx b ++中，得y 的最小值为212189b b ++，∴212189b b ++=21，∴b =-2或b =12(舍)，∴二次函数解析式为y =2416x x -+.综上所述，b =2或b =-2时，此时二次函数的解析式分别为y =27x ++或y =2416x x -+.类型二 二次项系数不确定型1.已知实数a ，c 满足111a c +=，2a +c -ac +2＞0，二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点 B （4，n ）、A （2，n ），且当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，求a 的值． 解：∵实数a ，c 满足111a c +=，∴c -ac =-a ，∵2a +c -ac +2＞0，∴2a -a +2＞0，∴a ＞-2，∵二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点B （4，n ）、A （2，n ）， ∴2b a -=422+=3， ∴b =-6a ， ∴y =ax 2+bx +9a =a （x 2-6x +9）=a （x -3）2，∵当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，∴|4a -a |=9， ∴a =±3，又∵a>-2, ∴a =3．2.已知抛物线的函数解析式为y =ax 2+bx -3a （b ＜0），若这条抛物线经过 点（0，-3），方程ax 2+bx -3a =0的两根为x 1，x 2，且|x 1-x 2|=4．（1）求抛物线的顶点坐标;（2）已知实数x ＞0，请证明x +1x ≥2，并说明x 为何值时才会有x +1x =2． 解：(1)∵抛物线过点（0，-3），∴-3a =-3，,∴a =1，∴y =x 2+bx -3,∵x 2+bx -3=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=-b ，x 1x 2=-3,∵|x 1-x 2|=4， ∴|x 1-x 2=4 ,4， ∴b 2=4 ,∵b ＜0， ∴b =-2 ,∴y =x 2-2x -3=（x -1)2-4 ,∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）;(2)∵x ＞0， ∴x +1x −2＝( x -1x )2 ≥0 ,∴x +1x ≥2，显然当x =1时，才有x +1x =2．3.已知函数24(2)m m y m x +-=+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x 为何值时y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)根据题意得m +2≠0且m 2+m -4=2，解得m 1=2，m 2=-3， 所以满足条件的m 值为2或-3；(2)当m +2＞0时，抛物线有最低点， 所以m =2， 抛物线解析式为y =4x 2， 所以抛物线的最低点为（0，0），当x ≥0时，y 随x 的增大而增大；(3)当m =-3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 抛物线解析式为y =-x 2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x ≥0时，y 随x 的增大而减小．4.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y =ax 2+bx （a ≠0）.（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，求a 、b 的值；（2）当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，求a 与m 之间的关系式；（3）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y =（k +1）x （k ≠-1）上，请用含k 的代数式表示b ．解：(1)∵顶点坐标为（1，1），∴ 21214b a b a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, 解得12a b =-⎧⎨=⎩； (2)当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，2224b m a b m a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 解得a =2m -； (3)过原点的抛物线y =ax 2+bx 的顶点坐标为（2b a-，24b a -）， ∵抛物线顶点在直线y =(k +1)x （k ≠-1）上， ∴2(1)()42b b k a a -=+-， 整理得：b =2k +2．5.已知二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）.（1）当a =1时，求二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）的顶点坐标和对称轴．（2）二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）与x 轴的交点恒过一个定点，求出这个定点；（3）当二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）时，x 在什么范围内，y 随着x 的增大而减小？解：(1)当a =1时，y =x 2-2x +1， 顶点坐标式为y =（x -1)2，则顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x =1；(2)令y =ax 2-（a +1）x +1=0， a （x 2-x ）+1-x =0，当x =1时，a （x 2-x ）+1-x =0恒成立， 则这个定点为（1，0）；(3)∵y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0），∴y =a (x −12a a+)2+1−2(1)4a a +， ∵a ＞0， ∴当x ＜12a a+时，y 随着x 的增大而减小． 6.已知函数y =（n +1）x m +mx +1-n (m ，n 为实数).（1）当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n ＞-1，那么：①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定经过哪个点？请说明理由．解：(1)①当m =1，n ≠-2时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y =0时，即（n +1）x m +mx +1-n =0，∴x =12n n -+ ， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；②当m =2，n ≠-1时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是二次函数， 当y =0时，y =（n +1）x m +mx +1-n =0，即（n +1）x 2+2x +1-n =0，△=22-4（1+n ）（1-n ）=4n 2≥0，∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；③当n =-1，m ≠0时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n 是一次函数，当y =0时，x =2m-， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；(2)①假命题，若它是一个二次函数，则m =2，函数y =（n +1）x 2+2x +1-n ， ∵n ＞-1，∴n +1＞0，抛物线开口向上， 对称轴：x =2122(1)1b a n n -=-=-++＜0， ∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 有可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小；②当x =1时，y =n +1+2+1-n =4．当x =-1时，y =0．∴它一定经过点（1，4）和（-1，0）．7.在平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x -3与y 轴交于点 A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线y =2x -3交于点 C ．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0）与线段bC 有唯一公共点，求n 的取值范围． 解：(1)∵直线y =2x -3与y 轴交于点A （0，-3），∴点A 关于x 轴的对称点B （0，3），l 为直线y =3，∵直线y =2x -3与直线l 交于点C ，∴点C 坐标为（3，3）;(2)∵抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0），∴y =nx 2-4nx +4n +n =n (x -2)2+n （n ＞0）,∴抛物线的对称轴为直线x =2，顶点坐标为（2，n ），∵点B （0，3），点C （3，3），①当n ＞3时，抛物线的最小值为n ＞3，与线段BC 无公共点；②当n=3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与线段BC有两个公共点；如果抛物线y=n （x-2）2+n经过点b，则3=5n，解得n=35，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（4，3），点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；如果抛物线y=n（x-2）2+n经过点C，则3=2n，解得n=32，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC有两个公共点,综上所述，当35≤n＜32或n=3时，抛物线与线段bC有一个公共点．8.已知抛物线C：y1=a（x-h）2-1，直线l：y2=kx-kh-1．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）当a=1，2≤x≤m时，y1≤x-3恒成立，求m的最大值；（3）当0＜a≤1，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数的点，求k的取值范围．解：(1)抛物线C的顶点坐标为（h，-1），当x=h时，y2=kh-kh-1=-1，所以直线l 恒过抛物线C的顶点；(2)当a=1时，抛物线C解析式为y1=(x-h)2-1，不妨令y3=x-3 ，如解图①所示,抛物线C的顶点在直线y=-1上移动，第8题解图①当2≤x≤3时，y1≤x-3恒成立，则可知抛物线C的顶点为（2，-1），设抛物线C与直线y3=x-3 除顶点外的另一交点为M，此时点M的横坐标即为m的最大值，由2(2)13y xy x⎧=--⎨=-⎩，解得x=2或x=3，∴m的最大值为3．(3)如解图②所示,由（1）可知：抛物线C与直线l都过点a（h，-1）．第8题解图②当0＜a≤1时，k＞0，在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数点，即当x=h+3时，y2＞y1恒成立．∴k（h+3）-kh-1＞a（h+3-h）2-1，整理得：k＞3a．又∵0＜a≤1，所以0＜3a≤3，所以k＞3．9.已知二次函数23 2y ax bx=+-的图象与y轴交于点B，（1）若二次函数的图象经过点A（1,1）.①二次函数的图象对称轴为直线x=1,求此二次函数的解析式；②对于任意的正数a，当x>n时，y随x的增大而增大，请求出n的取值范围；（2）若二次函数的图象的对称轴为直线x=-1,且直线y=2x-2与直线l也关于直线x=-1对称，且二次函数的图象在-5<x<-4这一段位于直线l的上方，在1<x<2这一段位于直线y=2x-2的下方，求此二次函数的解析式.解:(1)①由题意得31212a bba⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得525ab⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为253522y x x =-+-; ∵二次函数的图象经过点A （1,1）， ∴31,2a b +-= ∴b =52a -, ∴对称轴为55122242a b x a a a -=-=-=-+， ∵a>0,∴50,4a -< ∴122b x a =-<, ∵当x>n 时，y 随x 的增大而增大，1,221;2b n a n ∴≤-<∴<(2)由直线y =2x -2可知：直线y =2x -2与直线x =-1的交点为(-1,-4),与x 轴的交点为（1,0）,∵直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，∴直线l 与x 轴的交点为(-3,0),设直线l 的解析式为y =kx +d ,∵直线l 过点（-1，-4），（-3,0），代入解析式得4,03k d k d-=-+⎧⎨=-+⎩解得=2,6k d -⎧⎨=-⎩ ∴直线l 的解析式为y =-2x -6. ∵二次函数232y ax bx =+-的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与y =-2x -6关于直线x =-1对称，如解图，当1<x<2时，函数232y ax bx =+-的图象在直线y =2x -2的下方，第9题解图∴当-4<x<-3时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l ：y =-2x -6的下方； 又∵当-5<x<-4时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l 的上方， ∴当x =-4时，y =-2⨯（-4）-6=2， 即（-4,2）为函数232y ax bx =+-与y =-2x -6的图象的交点， ∴316422,12a b b a⎧--=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得716,78a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴此二次函数的解析式为27731682y x x =+-.。
九年级数学二次函数综合练习题及答案
九年级数学《二次函数》综合练习题及答案（一）一、基础练习1．把抛物线y=2x2向上平移1个单位，得到抛物线_______，把抛物线y=-2x2向下平移3 个单位，得到抛物线________．2．抛物线y=3x2-1的对称轴是_____，顶点坐标为________，它是由抛物线y=3x2•向_______平移______个单位得到的．3．把抛物线x2向左平移1个单位，得到抛物线_________，把抛物线x2向右平移3个单位，得到抛物线________．4．抛物线（x-1）2的开口向________，对称轴是______，顶点坐标是_________，•它是由抛物线2向______平移______个单位得到的．5．把抛物线y=-13（x+12）2向_____平移______个单位，就得到抛物线y=-13x2．6．把抛物线y=4（x-2）2向______平移_______个单位，就得到函数y=4（x+2）2的图象．7．函数y=-（x-13）2的最大值为________，函数y=-x2-13的最大值为________．8．若抛物线y=a（x+m）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x2的形状相同，•开口方向相同，则点（a，m）关于原点的对称点为________．9．已知抛物线y=a（x-3）2过点（2，-5），则该函数y=a（x-3）2当x=________•的时候，•有最____值______．10．若二次函数y=ax2+b，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x取x1+x2时，函数的值为________．11．一台机器原价50万元．如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y•万元，则y与x的函数关系式为（）A．y=50（1-x）2 B．y=50（1-x）2 C．y=50-x2 D．y=50（1+x）212．下列命题中，错误的是（）A．抛物线y=-2x2-1不与x轴相交;B．抛物线x2-1与x-1）2形状相同，位置不同;C．抛物线y=12（x-12）2的顶点坐标为（12，0）;D．抛物线y=12（x+12）2的对称轴是直线x=1213．顶点为（-5，0）且开口方向、形状与函数y=-13x2的图象相同的抛物线是（）A．y=-13（x-5）2 B．y=-13x2-5 C．y=-13（x+5）2 D．y=13（x+5）214．已知a<-1，点（a-1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数y=12x2-2的图象上，则（）A．y1<y2<y3 B．y1<y3<y2 C．y3<y2<y1 D．y2<y1<y315．函数y=（x-1）2+k与y=kx（k是不为0的常数）在同一坐标系中的图象大致为（）二、整合练习1．已知反比例函数y=kx的图象经过点A（4，12），若二次函数y=12x2-x•的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），C（n，2），求平移后的二次函数图象的顶点坐标．2．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE•的垂直平分线交AB于M，交DC于N．（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？3．将二次函数y=-2x2+8x-5的图象开口反向，并向上、下平移得一新抛物线，新抛物线与直线y=kx+1有一个交点为（3，4）．求：（1）这条新抛物线的函数解析式；（2）这条新抛物线和直线y=kx+1的另一个交点．答案:一、1．y=2x2+1 y=-2x2-32．y轴（0，-1）下 13．y=2（x+1）2 y=-2（x-3）24．上直线x=1 （1，0）右 15．右，12 6．左 4 7．0 138．（2，-3） 9．3 大 0 10．611．A 12．D 13．C14．C （因为a<-1，所以a-1<a<a+1<0，y=12x 2-2中，当x<0时，y 随x 的增大而减小，• 所以y 1>y 2>y 3）15．B （因为抛物线y=（x-1）2+k 过原点，所以0=1+k ，k=-1，双曲线y=-1x ） 二、1．由反比例函数y=k x 的图象过点A （4，12），所以12=4k ，k=2，• 所以反比例函数的解析式为y=2x． 又因为点B （2，m ），C （n ，2）在y=2x的图象上， 所以m=22，n=22=1，设二次函数y=12x 2-x 的图象平移后的解析式为y=12（x-h ）2+k ，它过点B （2，1），C （1，2）， 所以平移后的二次函数图象的顶点为（52，78）． 2．（1）连接ME ，设MN 交BE 交于P ，根据题意得MB=ME ，MN ⊥BE ． 过N 作NG ⊥AB 于F ，在Rt △MBP 和Rt △MNE 中，∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF ，又AB=FN ，Rt △EBA ≌Rt △MNE ，MF=AE=x ． 在Rt △AME 中，由勾股定理得ME 2=AE 2+AM 2，所以MB 2=x 2+AM 2，即（2-AM ）2=x 2+AM 2，解得AM=1-14x 2． 所以四边形ADNM 的面积 S=22AM DN AM AF AD ++⨯=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-14x 2）+x=-12x 2+x+2．即所求关系式为S=-12x2+x+2．（2）S=-12x2+x+2=-12（x2-2x+1）+52=-12（x-1）2+52．当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，此时最大值是52．3．（1）y=-2x2+8x-5=-2（x-2）2+3，将抛物线开口反向，且向上、•下平移后得新抛物线方程为y=2（x-2）2+m．因为它过点（3，4），所以4=2（3-2）2+m，m=2，这条新抛物线方程为y=2（x-2）2+2，即y=2x2-8x+10．（2）直线y=kx+1过点（3，4），4=3k+1，k=1，求得直线方程为y=x+1．另一个交点坐标为（32，52）。
二次函数单元综合测试(Word版 含答案)
二次函数单元综合测试（Word版含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为24；（3）M点坐标为可以为（2，3），（552+，3），（552-，3）．【解析】【分析】（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．又∵点D（4，3）在二次函数上，∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，∴解得：a＝1．∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．（2）如图1所示．因点P 在二次函数图象上，设P （p ，p 2﹣4p+3）．∵y ＝x 2﹣4x+3与y 轴相交于点C ，∴点C 的坐标为（0，3）．又∵点B 的坐标为B （3，0），∴OB ＝OC∴△COB 为等腰直角三角形．又∵PF//y 轴，PE//x 轴，∴△PEF 为等腰直角三角形．∴EF 2PF ．设一次函数的l BC 的表达式为y ＝kx+b ，又∵B （3，0）和C （0，3）在直线BC 上，303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3．∴y F ＝﹣p+3．FP ＝﹣p+3﹣（p 2﹣4p+3）＝﹣p 2+3p ．∴EF 2p 22．∴线段EF 的最大值为，EF max 42-24． （3）①如图2所示：若∠CNB ＝90°时，点N 在抛物线上，作MN//y 轴，l//x 轴交y 轴于点E ，BF ⊥l 交l 于点F ．设点N 的坐标为（m ，m 2﹣4m+3），则点M 的坐标为（m ，3），∵C 、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3），∴CD ∥x 轴．又∵∠CNE ＝∠NBF ，∠CEN ＝∠NFB ＝90°，∴△CNE ∽△NBF ．∴CE NE ＝NF BF， 又∵CE ＝﹣m 2+4m ，NE ＝m ；NF ＝3﹣m ，BF ＝﹣m 2+4m ﹣3，∴24m m m-+＝2343m m m --+-， 化简得：m 2﹣5m+5＝0．解得：m 1＝552+，m 2＝552-． ∴M 点坐标为（55+，3）或（55-，3） ②如图3所示：当∠CBN ＝90°时，过B 作BG ⊥CD ，∵∠NBF ＝∠CBG ，∠NFB ＝∠BGC ＝90°，∴△BFN ∽△CGB ．∵△BFN 为等腰直角三角形，∴BF ＝FN ，∴0﹣（m 2﹣4m+3）＝3﹣m ．∴化简得，m 2﹣5m+6＝0．解得，m ＝2或m ＝3（舍去）∴M 点坐标为，（2，3）． 综上所述，满足题意的M 点坐标为可以为（2，3），（552+，3），（552-，3）． 【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．2．在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的14时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）22y x x =-++；（2）存在，（23，209）或（103，529-）；（3）5或 【解析】【分析】（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解．【详解】解：（1）∵抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），则44220422a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为22y x x =-++；（2）存在，理由是：在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，在22y x x =-++中，令y=0，解得：x=2或-1，∴点B 坐标为（-1，0），∴点E 坐标为（1，0），可知：点B 和点E 关于y 轴对称，∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ，∵D （0，2），∴=，在△BDE 中，有12×BE ×OD=12×BD ×EF ，即2×EF ，解得：，∴，∴tan ∠BDE=EF DF =55÷=43， 若∠PBC=2∠BDO ，则∠PBC=∠BDE ，∵BE=2，则BD 2+DE 2＞BE 2，∴∠BDE 为锐角，当点P 在第三象限时，∠PBC 为钝角，不符合；当点P 在x 轴上方时，∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++），过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ，则BG=c+1，PG=22c c -++，∴tan ∠PBC=PG BG =221c c c -+++=43， 解得：c=23， ∴22c c -++=209， ∴点P 的坐标为（23，209）；当点P 在第四象限时，同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，tan ∠PBC=PG BG =221c c c --+=43， 解得：c=103， ∴22c c -++=529-， ∴点P 的坐标为（103，529-）， 综上：点P 的坐标为（23，209）或（103，529-）；（3）设EF 与AD 交于点N ，∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ，则422m n n -=-+⎧⎨=⎩，解得：32m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 表达式为y=3x+2，设点M 的坐标为（s ，3s+2），∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1，则11114202m n m n -=-+⎧⎨=+⎩，解得：1112m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 表达式为y=x-2，令x=0，则y=-2，∴点E 坐标为（0，-2），可得：点E 是线段AC 中点，∴△AME 和△CME 的面积相等，由于折叠，∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ，由题意可得：当点F 在直线AC 上方时，∴S △MNE =14S △AMC =12S △AME =12S △FME ， 即S △MNE = S △ANE = S △MNF ，∴MN=AN ，FN=NE ，∴四边形FMEA 为平行四边形， ∴CM=FM=AE=12AC=221442+22 ∵M （s ，3s+2）， ()()2223222s s -++=解得：s=45-或0（舍），∴M （45-，25-）， ∴AM=22422455⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=6105，当点F 在直线AC 下方时，如图，同理可得：四边形AFEM 为平行四边形，∴AM=EF ，由于折叠可得：CE=EF ，∴AM=EF=CE=22，综上：AM 的长度为105或22 【点睛】 本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．3．如图，抛物线()250y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值． （3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】（1）265y x x =-+- （2）2t =；2（3）5412或4或5412【解析】【分析】（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d 为()24542d BP sin t =⋅︒=-，则12PBE S BE d =⨯⨯)()122244222t t t =⨯⨯-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值； （3）先求出2454222AM AB sin =⋅︒=⨯=N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ 是平行四边形，得到22NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角形，求得22884NH NQ HQ =+=+=；设()2,65N m m m -+-，则(),0G m ， (),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况解答即可．【详解】解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得51,6n a b =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为265y x x =-+-．()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形，∴45,ABC ∠=由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE的距离()4542d BP sin t =⋅︒=- 所以12PBE S BE d =⨯⨯)()1244222t t t t =⨯⨯-=-； ∵二次函数()()42f t t =-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴0422t +==时， ∴()()()22422maxf t f ==⨯⨯-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值为()3由题意得454AM AB sin =⋅︒== 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥ ∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，∴NQ AM ==过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H∵:5BC l y x =-，∴NQH 为等腰直角三角形，∴22884,NH NQ HQ =+=+=设()2,65N m m m -+-， 则(),0G m ，(),5H m m -，①点N 在x 轴上方时，此时()()2655,NH m m m =-+---∴()()26554m m m -+---=，即()()140,m m --=解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()2565,NH m m m =---+- ∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得54152m -=<（舍）或5412m +=③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2565,NH m m m =---+- ∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得5412m -=或5412m +=（舍）综上所述，5414,2m m +==，5412m -=符合题意， 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形， 点N 的横坐标为541-或4或541+．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键4．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 20x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点． （1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣4≤b ＜0． 【解析】 【分析】（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，从而可以求得b 的取值范围． 【详解】解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0， 故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0， 解得，0＜a ＜2，即a 的取值范围是0＜a ＜2； （3）由题意可得， 点A 和点B 在直线y ＝x 上， 设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣b a， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122x x+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a-）， ∵直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，∴点（2b a -，2ba -）在直线y ＝﹣x+2121a +上， ∴2ba -＝21221b a a ++∴﹣b ＝221a a ≤+4，（当a ＝2时取等号）∴0＜﹣b∴﹣4≤b ＜0，即b 的取值范围是﹣4≤b ＜0． 【点睛】本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线22y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD交直线AC 于点D ．①是否存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)213222y x x =+- (2)①存在，点P 的坐标为(22,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--②1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525Q ⎝⎭，44525Q ⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为(t ,213222t t +-)，利用21442∆∆∆=-=⋅=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解． 【详解】解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：1642020a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴此抛物线的解析式为213222y x x =+-， 故答案为213222y x x =+-． (2)①存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45．理由如下： 作出如下所示示意图：∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =， 令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴1152522ABC S AB OC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴445545PAC ABC S S ∆∆==⨯=， 设直线AC 的解析式为y mx n =+，则有402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213222t t +-， 即213,222P t t t ⎫⎛+- ⎪⎝⎭． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ⎫⎛-- ⎪⎝⎭． ∴2213112222222PD t t t t t ⎫⎛=+----=+ ⎪⎝⎭． ∵22111424222PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ∆∆∆=-=⋅=⨯⨯+=+． ∴244t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=， 解得：1222t =-+，2222t =--，32t =-．∴点P 的坐标为(222,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--， 故答案为：(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--． ②分类讨论：情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x x ，则EO=-x ，DE=122x +，在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO²+ED²=DO²， 故221(2)42++=x x ，解得80(),5舍==-x x ，此时Q 点坐标为816,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ， 在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE²+EO²=QO²， 故221()()42+=m m ，解得124545,==-m m ，此时Q 点坐标为4525,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或4525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述，Q 点的坐标为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,55Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．故答案为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．6．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”（1）当1n =时．①求线段AB 所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围．【答案】（1）①1944y x =-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当92x =时，k 有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥；【解析】 【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB 为1944y x =-+，则21944k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，kx），则得到221044n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52ba -≥，即可求出n 的取值范围． 【详解】解：（1）当1n =时，点B 为（5，1）， ①设直线AB 为y ax b =+，则251a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1944y x =-+； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得1944y x =-+， 设点P 为（x ，kx），由点P 在线段AB 上则 1944k x x =-+， ∴22191981()444216k x x x =-+=--+； ∵104-<，∴当92x =时，k 有最大值8116； 当1x =时，k 有最小值2；∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在92x =的位置时k 值最大． （2）∵()1,2A 、()5,B n ， 设直线AB 为y ax b =+，则25a b a b n +=⎧⎨+=⎩，解得：24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴21044n ny x --=+， 设点P 为（x ，kx），由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=-， 当204n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意； 当n≠2时，则对称轴为：101042242n n x n n --==--；∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大； 当204n ->时，有 ∴20410124n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩，解得：26n n >⎧⎨≥-⎩，∴不等式组的解集为：2n >； 当204n -<时，有∴2410524nnn-⎧<⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩，解得：1029n≤<，∴综合上述，n的取值范围为：109n≥．【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．7．定义：函数l与l'的图象关于y轴对称，点(),0P t是x轴上一点，将函数l'的图象位于直线x t=左侧的部分，以x轴为对称轴翻折，得到新的函数w的图象，我们称函数w是函数l的对称折函数，函数w的图象记作1F，函数l的图象位于直线x t=上以及右侧的部分记作2F，图象1F和2F合起来记作图象F．例如：如图，函数l的解析式为1y x=+，当1t=时，它的对称折函数w的解析式为()11y x x=-<．（1）函数l的解析式为21y x=-，当2t=-时，它的对称折函数w的解析式为_______；（2）函数l的解析式为1²12y x x=--，当42x-≤≤且0t=时，求图象F上点的纵坐标的最大值和最小值；（3）函数l的解析式为()2230y ax ax a a=--≠．若1a=，直线1y t=-与图象F有两个公共点，求t的取值范围．【答案】（1）()212y x x=+<-；（2）F的解析式为2211(0)211(0)2y x x xy x x x⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩；图象F上的点的纵坐标的最大值为32y=，最小值为3y=-；（3）当3t=-，312t<≤，352t+<<时，直线1y t=-与图象F有两个公共点．【解析】【分析】（1）根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可；（2）先根据题意确定F的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；（3）先求出当a=1时图像F的解析式，然后分14t-=-、点(),1t t-落在223()y x x x t=--≥上和点(),1t t-落在()223y x x x t=--+<上三种情况解答，最后根据图像即可解答．【详解】解：（1）()212y x x=+<-（2）F的解析式为2211(0)211(0)2y x x xy x x x⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩当4x=-时，3y=-，当1x=-时，32y=，当1x=时，32y=-，当2x=时，1y=，∴图象F上的点的纵坐标的最大值为32y=，最小值为3y=-.（3）当1a=时，图象F的解析式为2223()23()y x x x ty x x x t⎧=--≥⎨=--+<⎩∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4；a：当14t-=-时，3t=-，∴当3t=-时直线1y t=-与图象F有两个公共点；b：当点(),1t t-落在223()y x x x t=--≥上时，2123t t t-=--，解得1t=232t=c：当点(),1t t-落在()223y x x x t=--+<上时，2123t t t-=--+，解得34t=-（舍），41t=14t-=，∴55t=∴当31712t -<≤或31752t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点； 综上所述：当3t =-，3171t -<≤，3175t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点.【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识，弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-， 故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①， 则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=，①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-， 则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32）， AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32）， 故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时， ∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BDAM AN ==， 解得：AN=94， 故点N （14-，0）、M （-1，32）； 故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； （3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35， 则直线AD 的表达式为：y=3342x -， 设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -）， 则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<， 故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．9．如图，直线3y x 与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可．【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0，解得x=-3，令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3），∴OA=OC=3，∵tan ∠CBO=3OC OB=， ∴OB=1，∴点B （-1，0），把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得， 93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为：243y x x =++，∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1，∴顶点(2,1)D --；（2）∵A （-3，0），B （-1，0），∴AB=-1-（-3）=2，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC=2OA=32，∠BAC=45°，∵B（-1，0），D（-2，-1），∴∠ABD=45°，①AB和BP是对应边时，△ABC∽△BPA，∴AB ACBP BA=，即2322BP=，解得BP=223，过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=23×22=23，∴OE=1+23=53，∴点P的坐标为（-53，-23）；②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB ACBA BP=，即2322=，解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=32×22=3， ∴OE=1+3=4， ∴点P 的坐标为（-4，-3）；综合上述，当52,33P ⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P ，A ，B 为顶点的三角形与ABC ∆相似；【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．10．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x =--+；（2）存在，点P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，使△PAC 的面积最大；（3）存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）直接把点A （﹣3，0），B （1，0）代入二次函数y ＝ax 2+bx+2求出a 、b 的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2，连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．根据三角形的面积公式得出△PAC 的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC 为边，在线段BC 两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ，根据全等三角形的判定定理得出△Q 1CD ≌△CBO ，△CBO ≌△BQ 2E ，故可得出各点坐标．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得 ∴二次函数的关系解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2； （2）存在．∵如图1所示，设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2． 连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．则PM ＝﹣23m 2﹣43m+2．，PN ＝﹣m ，AO ＝3． ∵当x ＝0时，y ＝﹣23×0﹣43×0+2＝2， ∴OC ＝2，∴S △PAC ＝S △PAO +S △PCO ﹣S △ACO ＝12AO•PM+12CO•PN ﹣12AO•CO ＝12×3×（﹣23m 2﹣43m+2）+12×2×（﹣m ）﹣12×3×2 ＝﹣m 2﹣3m∵a ＝﹣1＜0∴函数S △PAC ＝﹣m 2﹣3m 有最大值∴当m ＝﹣2b a ＝﹣32时，S △PAC 有最大值． ∴n ＝﹣23m 2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52， ∴存在点P （﹣32，52），使△PAC 的面积最大．（3）如图2所示，以BC 为边在两侧作正方形BCQ 1Q 2、正方形BCQ 4Q 3，则点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4为符合题意要求的点．过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ， ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q 1CD 与△CBO 中，∵11324Q C BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q 1CD ≌△CBO ，∴Q 1D ＝OC ＝2，CD ＝OB ＝1，∴OD ＝OC+CD ＝3，∴Q 1（2，3）；同理可得Q 4（﹣2，1）；同理可证△CBO ≌△BQ 2E ，∴BE ＝OC ＝2，Q 2E ＝OB ＝1，∴OE ＝OB+BE ＝1+2＝3，∴Q 2（3，1），同理，Q 3（﹣1，﹣1），∴存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．。
《二次函数》同步综合练习卷(含答案)
《二次函数》同步综合练习卷一．选择题1．下列函数中属于二次函数的是（）A．y＝x（x+1）B．x2y＝1C．y＝2x2﹣2（x2+1）D．y＝2．若b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a的值等于（）A．﹣1 B．1 C．D．3．设函数y＝kx2+（3k+2）x+1，对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．04．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，a），B（2，b），C（5，c），则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b5．已知抛物线c：y＝x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x＝1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′B．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′C．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′6．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或27．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），且对称轴为x＝2，则这条抛物线的顶点坐标为（）A．（2，3）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）8．用配方法将y＝x2﹣6x+11化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣2 C．y＝（x﹣6）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+29．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；其中正确的是（）A．①④B．②④C．②③D．③④10．如表是一组二次函数y＝x2+x﹣1的自变量x与函数值y的对应值．由上表可知，方程x2+x﹣1＝0的一个近似解是（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.811．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B （3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，半圆O的直径AB＝4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM＝x，则y关于x 的函数关系式是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2+x C．y＝﹣x2﹣x D．y＝x2﹣x13．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m二．填空题14．有下列函数：①y＝1﹣x2；②y＝；③y＝x（x﹣3）；④y＝ax2+bx+c；⑤y＝2x+1．其中，是二次函数的有（填序号）15．二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m n（填“＞”或“＜”）．16．若抛物线y＝ax2﹣x+c与y＝2（x﹣3）2+1对称轴相同，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则c的值为．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的有．①abc＞0②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3③2a+b＝0④当x＞0时，y随x的增大而减小18．已知点（﹣1，m）、（2，n）在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a0（用“＞”或“＜”连接）．19．将抛物线y＝﹣3x2向左平移一个单位后，得到的抛物线解析式是．20．函数y＝﹣（x﹣1）2﹣7的最大值为．21．有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点：甲：对称轴是直线x＝2；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．22．将二次函数y＝x2+6x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为．23．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y＝﹣x+p相交于点A和C （2m﹣4，m﹣6），抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点D，点P在抛物线的对称轴上，连PA，PD，当PA+PD的长最短时，点P的坐标为．24．试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：．25．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．下列判断：①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M＝2，则x＝1．其中正确的说法有．（请填写正确说法的番号）26．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是．27．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．28．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE ﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ 的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①AD＝BE＝5；②当0＜t≤5时，y＝t2；③cos∠ABE＝；④当t＝秒时，△ABE∽△QBP；⑤当△BPQ的面积为4cm2时，时间t的值是或；其中正确的结论是．参考答案一．选择题1．解：A、y＝x2+x，是二次函数；B、y＝，不是二次函数；C、y＝﹣2，不是二次函数；D、不是整式，不是二次函数；故选：A．2．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＜0，a＞0，则b＞0，正确；第三个图的对称轴﹣＜0，a＜0，则b＜0，故与b＞0矛盾．由于第三个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向上，a＝1．故选：B．3．解：∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，∵k为负数，即k＜0，∴函数y＝kx2+（3k+2）x+1表示的是开口向下的二次函数，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，∴x＝﹣＝﹣∴m≤﹣＝．∵k＜0，∴﹣＞0∴，∵m≤对一切k＜0均成立，∴m≤，∴m的最大整数值是m＝﹣2．故选：B．4．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x＝3．∵点A（﹣1，a），B（2，b），C（5，c）都在二次函数y＝x2﹣6x+c的图象上，而三点横坐标离对称轴x＝3的距离按由远到近为：（﹣1，a）、（5，c）、（2，b），∴a＞c＞b，故选：B．5．解：∵抛物线C：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为x＝﹣1．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣3）．则与A点以对称轴对称的点是B（2，﹣3）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x＝1对称，就是要将B点平移后以对称轴x＝1与A点对称．则B点平移后坐标应为（4，﹣3）．．因此将抛物线C向右平移4个单位．故选：B．6．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，故选：D．7．解：根据题意得：，解得：a＝﹣1，b＝4，c＝﹣3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，则抛物线顶点坐标为（2，1）．故选：B．8．解：y＝x2﹣6x+11，＝x2﹣6x+9+2，＝（x﹣3）2+2．故选：D．9．解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将（﹣1，3）、（0，0）、（3，3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误；当y＝0时，x（x﹣2）＝0，解得x＝0或x＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故③正确；当y＞0时，x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确；故选：D．10．解：观察表格得：方程x2+x﹣1＝0的一个近似根为0.6，故选：C．11．解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，c＞0∵抛物线的顶点坐标是A（1，4）∴抛物线对称轴为直线x＝﹣∴b＝﹣2a∴b＞0，则①错误，②正确；方程ax2+bx+c＝4方程的解，可以看做直线y＝4与抛物线y＝ax2+bx+c的交点的横坐标．由图象可知，直线y＝4经过抛物线顶点，则直线y＝4与抛物线有且只有一个交点．则方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根，③正确；由抛物线对称性，抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1.0）则④错误；不等式x（ax+b）≤a+b可以化为ax2+bx+c≤a+b+c∵抛物线顶点为（1，4）∴当x＝1时，y最大＝a+b+c∴ax2+bx+c≤a+b+c故⑤正确故选：B．12．解：连接O1M，OO1，可得到直角三角形OO1M，依题意可知⊙O的半径为2，则OO1＝2﹣y，OM＝2﹣x，O1M＝y．在Rt△OO1M中，由勾股定理得（2﹣y）2﹣（2﹣x）2＝y2，解得y＝﹣x2+x．故选：A．13．解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x＝﹣＝＝15（m）．故选：B．二．填空题（共15小题）14．解：①y＝1﹣x2；②y＝，是反比例函数；③y＝x（x﹣3）；④y＝ax2+bx+c，需要添加a≠0；⑤y＝2x+1，是一次函数．其中，是二次函数的有：①y＝1﹣x2；③y＝x（x﹣3）．故答案为：①③．15．解：根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小，故m＞n，故答案为＞．16．解：y＝2（x﹣3）2+1对称轴是x＝3，顶点坐标为（3，1），∵抛物线y＝ax2﹣x+c与y＝2（x﹣3）2+1对称轴相同，∴﹣＝3，解得，a＝，∵两抛物线的顶点相距3个单位长度，∴y＝x2﹣x+c的顶点坐标为（3，4）或（3，﹣2），把（3，4）代入y＝x2﹣x+c得，c＝，把（3，﹣2）代入y＝x2﹣x+c得，c＝﹣，故答案为：或﹣．17．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；∵对称轴为直线x＝1，∴＝1，即2a+b＝0，故③正确；∵由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；故答案为②③．18．解：∵二次函数的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣1，∴该抛物线对称轴为x＝1，∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，且m＞n，∴a＞0．故答案为：＞．19．解：∵抛物线y＝﹣3x2向左平移一个单位后的顶点坐标为（﹣1，0），∴所得抛物线的解析式为y＝﹣3（x+1）2，故答案为：y＝﹣3（x+1）2．20．解：∵在函数y＝﹣（x﹣1）2﹣7中a＝﹣1＜0，∴当x＝1时，y取得最大值，最大值为﹣7，故答案为：﹣7．21．解：对称轴是直线x＝2，则一次项系数与二次项系数的比是﹣4，因而可设函数解析式是y＝ax2﹣4ax+ac，与y轴交点的纵坐标也是整数，因而ac是整数，y＝ax2﹣4ax+ac＝a（x2﹣4x+c），与x轴两个交点的横坐标都是整数，即方程x2﹣4x+c＝0有两个整数解，设是﹣1和+5，则c＝﹣5，则y＝ax2﹣4ax+ac＝a（x2﹣4x﹣5），∵以这三个交点为顶点的三角形的面积为3，∴a＝±．则函数是：y＝±（x+1）（x﹣5）．（答案不唯一）．22．解：y＝x2+6x+5，＝x2+6x+9﹣4，＝（x2+6x+9）﹣4，＝（x+3）2﹣4．故答案是：y＝（x+3）2﹣4．23．解：∵点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直线y＝﹣x+p上∴，解得：m＝3，p＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x﹣3）（x+1），∵C（2，﹣3），代入得：﹣3＝a（2﹣3）（2+1），∴a＝1∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，对称轴EF为x＝1，当x＝0时y＝﹣3，即D点的坐标为（0，﹣3），作D关于EF的对称点N，连接AN，交EF于P，则此时P为所求，根据对称得N的坐标为（2，﹣3），设直线AN的解析式为y＝kx+e，把A、N的坐标代入得：，解得：k＝﹣1，e＝﹣1，即y＝﹣x﹣1，把x＝1代入得：y＝﹣2，即P点的坐标为（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．24．解：∵一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2，∴设两个根分别为0和，∴此一元二次方程可以是：x（x﹣）＝0，∴二次函数关系式为：y＝x（x﹣）＝x2﹣x．故答案为：y＝x2﹣x．25．解：∵当y1＝y2时，即﹣x2+4x＝2x时，解得：x＝0或x＝2，∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y；1∴①错误；∵抛物线y1＝﹣x2+4x，直线y2＝2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴②正确；∵抛物线y1＝﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，∴③正确；∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；当M＝2，2x＝2，x＝1；x＞2时，y＞y1；2＝2+，x2＝2﹣（舍去），当M＝2，﹣x2+4x＝2，x∴使得M＝2的x值是1或2+，∴④错误；∴正确的有②③两个．故答案为②③．26．解：根据题意得：y＝10（x+1）2，故答案为：y＝10（x+1）227．解：设抛物线解析式为y＝ax2，把点B（10，﹣4）代入解析式得：﹣4＝a×102，解得：a＝﹣，∴y＝﹣x2，把x＝9代入，得：y＝﹣＝﹣3.24，此时水深＝4+2﹣3.24＝2.76米．28．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒∴BC＝BE＝10，∴AD＝BC＝10．∴①错误；又∵从M到N的变化是4，∴ED＝4，∴AE＝AD﹣ED＝10﹣4＝6．∵AD∥BC，∴∠EBQ＝∠AEB，∴cos∠EBQ＝cos∠AEB＝，故③错误；如图1，过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠EBQ＝∠AEB，∴sin∠EBQ＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠EBQ＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ×PF＝×2t×t＝t2，故②正确，如图4，当t＝时，点P在CD上，∴PD＝﹣BE﹣ED＝﹣10﹣4＝，PQ＝CD﹣PD＝8﹣＝，∴，，∴∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④正确．由②知，y＝t2当y＝4时， t2＝4，从而，故⑤错误综上所述，正确的结论是②④．。
二次函数综合练习一(含答案)
2013年-----二次函数综合练习一一．选择题（共17小题）1．（2013•重庆）一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（）2．C D．3．（2013•雅安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）．C D．2．C D．5．（2013•宿迁）下列三个函数：①y=x+1；②；③y=x 2﹣x+1．其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数6．（2013•深圳）已知二次函数y=a （x ﹣1）2﹣c 的图象如图所示，则一次函数y=ax+c 的大致图象可能是（ ）．CD ．7．（2013•齐齐哈尔）数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y=x 2+1与y=的交点的横8．（2013•攀枝花）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c 在同一直角坐标系内的大致图象是（）．CD ．9．（2013•聊城）二次函数y=ax 2+bx 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（ ）．CD ．10．（2013•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=﹣mx +2x+2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能是．CD ．11．（2013•达州）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，反比例函数与一次函数y=cx+a 在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）．CD ．12．（2012•西宁）如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（ ）13．（2012•泰安）二次函数y=a （x+m ）2+n 的图象如图，则一次函数y=mx+n 的图象经过（ ）14．（2013•舟山）若一次函数y=ax+b （a ≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax 2+bx 的对称轴216．（2013•泰安）对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，17．（2013•日照）如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．其中正确的有（）二．填空题（共10小题）18．（2013•南通）已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于_________．19．（2013•荆州）若根式有意义，则双曲线y=与抛物线y=x2+2x+2﹣2k的交点在第_________象限．20．（2013•营口）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第_________象限．21．（2013•绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是_________（写出你认为正确的所有结论序号）．22．（2013•贺州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中结论正确的是_________．（填正确结论的序号）23．（2013•德阳）已知二次函数的y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c ＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的番号有_________．24．（2013•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于点B、C，则BC的长值为_________．25．（2013•本溪）在平面直角坐标系中，把抛物线y=﹣x2+1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是_________．26．（2012•南京）已知下列函数①y=x2；②y=﹣x2；③y=（x﹣1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x﹣3的图象的有_________（填写所有正确选项的序号）．27．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= _________cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_________cm2．三．解答题（共3小题）28．（2013•宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．29．（2013•牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．30．（2013•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式．（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．2013年-----二次函数综合练习一参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．（2013•重庆）一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（）y=﹣﹣＞﹣2．C D．3．（2013•雅安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）．C D．﹣图象在第一三象限，2．C D．（2013•宿迁）下列三个函数：①y=x+1；②；③y=x2﹣x+1．其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数5．y=的函数图象，既是轴对称图形，又是中心对称图形；6．（2013•深圳）已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）．C D．7．（2013•齐齐哈尔）数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y=x2+1与y=的交点的横的图象，即可得解．y=8．（2013•攀枝花）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c 在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）．CD ．，9．（2013•聊城）二次函数y=ax 2+bx 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（ ）．C D．﹣10．（2013•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是．C D．，与x=11．（2013•达州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）．C D．的图象在第一、三象限，12．（2012•西宁）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）13．（2012•泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）14．（2013•舟山）若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴即可求解．=﹣216．（2013•泰安）对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，﹣17．（2013•日照）如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．其中正确的有（），（舍去），二．填空题（共10小题）18．（2013•南通）已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于3．x=x==∴19．（2013•荆州）若根式有意义，则双曲线y=与抛物线y=x2+2x+2﹣2k的交点在第二象限．的图象位于第二、四象限，=y=20．（2013•营口）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限．21．（2013•绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是①③④（写出你认为正确的所有结论序号）．＞x﹣轴交点的横坐标分别为﹣b=x﹣＞＞m+n22．（2013•贺州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中结论正确的是①②⑤．（填正确结论的序号）=1=123．（2013•德阳）已知二次函数的y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c ＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的番号有①③④．=1，代入得（﹣24．（2013•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于点B、C，则BC的长值为6．y=时，25．（2013•本溪）在平面直角坐标系中，把抛物线y=﹣x2+1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是y=﹣（x+1）2+4．x﹣（26．（2012•南京）已知下列函数①y=x2；②y=﹣x2；③y=（x﹣1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x﹣3的图象的有①③（填写所有正确选项的序号）．27．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．，即=x×﹣x+，﹣=最大，最大值是﹣×（+×+=cm 故答案是：，三．解答题（共3小题）28．（2013•宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．29．（2013•牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．∴，∴30．（2013•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式．（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．﹣×。
二次函数综合练习题(含答案)
二次函数综合练习题一、选择题1．〔2013，6，3分〕二次函数y ＝x 2－3x ＋m 〔m 为常数〕的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，那么关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是〔 〕． A ．x 1＝1，x 2＝－1 B ．x 1＝1，x 2＝2 C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝3 【答案】B ．【解析】∵二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴的一个交点为〔1，0〕，∴0＝12－3＋m ，解得m ＝2，∴二次函数为y ＝x 2－3x ＋2．设y ＝0，那么x 2－3x ＋2＝0．解得x 2＝1，x 2＝2，这就是一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根．所以应选B ．【方法指导】考察一元二次方程的根、二次函数图象与x 轴交点的关系．当b 2－4ac ≥0时，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根．【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选．2．〔2013，8，3分〕方程0132=-+x x 的根可视为函数3+=x y 的图象与函数xy 1=的图象交点的横坐标，那么方程3210x x +-=的实根0x 所在的围是〔 〕． A ．4100<<x B ．31410<<x C ．21310<<x D ．1210<<x 【答案】C ．【解析】首先根据题意推断方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋3与xy 1=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3＋2x －1=0的实根x 0所在围．解：依题意得方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋2与xy 1=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如下图，它们的交点在第一象限．当x =14时，y =x 2＋2=2116，1y x ==4，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x =13时，y =x 2＋2=219，1y x ==3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x =12时，y =x 2＋2=214，1y x==2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x =1时，y =x 2＋2=3，1y x==1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．所以方程3210x x +-=的实根0x 所在的围是21310<<x ．所以应选C ．【方法指导】此题考察了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点〞，还要善于分析各图象的变化趋势．【易错警示】不会得出函数解析式，不会观察图象而出错．3. 〔2013市(A )，12，4分〕一次函数y ＝ax ＋b 〔a ≠0〕、二次函数y ＝ax 2＋bx 和反比例函数y ＝kx(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象如下图，A 点的坐标为(－2，0)．那么以下结论中，正确的选项是〔〕A ．b ＝2a ＋kB ．a ＝b ＋kC ．a ＞b ＞0D ．a ＞k ＞0 【答案】D ．【解析】∵一次函数与二次函数的图象交点A 的坐标为〔－2，0〕，∴－2a ＋b ＝0，∴b ＝2a ． 又∵抛物线开口向上，∴a ＞0，那么b ＞0．而反比例函数图象经过第一、三象限，∴k ＞0． ∴2a ＋k ＞2a ，即b ＜2a ＋k ．故A 选项错误． 假设B 选项正确，那么将b ＝2a 代入a ＝b ＋k ，得a ＝2a ＋k ，a ＝－k ．又∵a ＞0，∴－k ＞0，即k ＜0，这与k ＞0相矛盾，∴a ＝b ＋k 不成立．故B 选项错误．再由a ＞0，b ＝2a ，知a ，b 两数均是正数，且a ＜b ，∴b ＞a ＞0．故C 选项错误． 这样，就只有D 选项正确．【方法指导】此题考察一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题．解决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象与性质，能根据图象所在象限的位置准确判断出各系数的符号．上面解法运用的是排除法，至于D 为何正确，可由二次函数y ＝ax 2＋bx 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象，知当x ＝－2b a ＝－22aa＝－1时，y ＝－k ＞－24b a ＝－244a a ＝－a ，即k ＜a ．又因为a ＞0，k ＞0，所以a ＞k ＞0．【易错警示】二次函数a 、b 、c 的符号确实定与函数图象的关系混淆不清． 4. 〔2013，7，4分〕抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是〔 〕 A ．(3，1) B ．(3，－1)C ．(－3，1)D ．(－3，－1)【答案】：A【解析】抛物线2()y a x h k =-+的顶点是〔h ，k 〕【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶点公式24(,)24b ac b a a--求顶点坐标。
二次函数练习题及答案
二次函数练习题(1)1．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示,下列五个代数式ab 、ac 、a-b+c 、b 2- 4ac 、2a+b 中,值大于0的个数为( )A.5B.4C.3D.22．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论：①0<c ；②0>b ；③024>++c b a ；④042>-ac b ．其中正确的有 （ ）（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ） 4个3．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y·轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．4．把抛物线y=12x 2 向左平移三个单位, 再向下平移两个单位所得的关系式为________.5.将抛物线y=ax 2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________.6．抛物线c bx ax y ++=2如右图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是__________．7．已知二次函数y=2x 2-mx-4的图象与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和为2,则m=_________.8．如图，四边形ABCD 是矩形，A 、B 两点在x 轴的正半轴上，C 、D 两点在抛物线y ＝－x 2＋6x 上．设OA ＝m (0＜m ＜3)，矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为 ．9．已知抛物线22b x x y ++=经过点1()4a -，和1()a y -，，则1y 的值是 ．10、若二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c 的变化范围是 ( )图1(A) 0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<111、已知二次函数y ＝ax 2（a ≥1）的图像上两点A 、B 的横坐标分别是－1、2，点O 是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB 的周长为 。
苏科版九年级数学下册《二次函数综合》专项练习题-附带答案
苏科版九年级数学下册《二次函数综合》专项练习题-附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．二次函数y=（x+1）2+2的最小值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．已知函数，当时，则m的取值范围是（）A．m≥−2B．−2≤m≤−1C．−2≤m≤−1D．m≤−123．已知二次函数y=－2x2+4x+k(其中k为常数)，分别取x1=－0.99；x2=0.98；x3=0.99，那么对应的函数值为y1、y2、y3中，最大的为( )A．y3B．y2C．y1D．不能确定，与k的取值有关4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是( )A．B．C．D．5．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（）x …﹣1 0 1 3 …y …﹣3 1 3 1 …A．a＜0B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间C．2a+b＞0，y2）都在函数图象上，则y1＜y2D．若点（5，y1）、（﹣326．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(1，n)，其部分图像如图所示，下面结论错误的是（）A．abc>0B．b2−4ac>0C．关于x的方程ax2+bx+c=n+1没有实数根D．关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根x1取值范围为：−1<x1<07．如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y=a(x−m)2+n的顶点在线段AB上运动，与x 轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为−3，则点D的横坐标最大值为（）A．−3B．1 C．5 D．88．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．将抛物线y=−2x3向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为.10．已知二次函y=−x2+2mx+1，当−2≤x≤1时最大值为4，则m的值为．11．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，当y<0时，则x的取值范围是．12．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于两点A(−1，p)，B(4，q)，则不等式ax2−mx+c<n 的解集是.13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0．正确的是．三、解答题14．如图，二次函数的图象与轴分别交于点（点在点的左侧），且经过点，与y轴交于点C .（1）求的值.（2）将线段平移，平移后对应点O′和B′都落在拋物线上，求点的坐标.15．在国庆期间，大润发商场新上市了一款童装，进价每件80元，现以每件120元销售，每天可售出20件．在试销售阶段发现，若每件童装降价1元，那么每天就可多售2件，设每件童装单价降价了x元．（1）若销售单价降低5元，则该款童装每天的销售量为件，每天利润是元；（2）请写出每天销售该款童装的利润y（元）与每件童装降价x（元）之间的函数关系式；（3）当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？16．我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品草莓，已知该草莓的成本为每千克10元，草莓成熟后投入市场销售，经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间函数关系如图所示.（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围.（2）当该品种草莓的定价为多少时，每天销售获得利润最大？最大利润是多少？（3）某村今年草莓采摘期限30天，预计产量6000千克，则按照（2）中的方式进行销售，能否销售完这批草莓？请说明理由.17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G.求出△PFG的周长最大值；（3）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．中国女排队员平时刻苦训练，掌握了纯熟的技能，在赛场上敢拼敢打，是国民的骄傲，为备战杭州亚运会，女排队员克服重重困难，进行封闭集训．已知排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−h)2+k(a<0)．（1）若某队员第一次在O处正上方2米发球，当排球运行至离O的水平距离为6米时，到达最大高度2.8米．①求排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式；②这次所发的球能否过网▲（填“能”或“否”）．（2）若该队员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满(x−4)2+2.88，请问：该队员此次发球有没有出界？并说明理由．足函数关系y=−150答案1．A 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．D 8．D9．y =−2x 2+3 10．−√3 11．−1<x <3 12．−1<x <4 13．①④14．（1）解：将点、代入二次函数解析式得{16+4b +c =09−3b +c =7解得；（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，由题意可得设平移后点和的坐标分别为，则为一元二次方程的两个根（），且 ∴x 2−2x −8−m =0 由根与系数的关系可得： ∴{x 2+x 1=2x 2−x 1=4 解得∴x 1x 2=−1×3=−8−m ∴m =5 ∴B ′(3，−5) . 15．（1）30；1050（2）解：由题意，得y =(120−80−x)(20+2x)=−2x 2+60x +800(0≤x ≤40) ∴y 与x 的函数关系式为y =−2x 2+60x +800(0≤x ≤40)； （3）解：由（2）知：y =−2x 2+60x +800=−2(x −15)2+1250∵−2<0∴当x =15时，销售单价定价为120−15=105元时，商场每天可获得最大利润1250元．16．（1）解：设y 与x 的函数关系式为y=kx+b （k ≠0），把A （12，400），B （14，350）分别代入得，解得：，∴y 与x 的函数关系式为y=-25x+700，由题意知： ∴10≤x ≤28（2）解：设每天的销售利润为w 元，由题意知w=（x-10）（-25x+700）=-25x 2+950x-7000 =-25（x-19）2+2025.∵a=-25＜0，∴当x=19时，w 取最大值，为2025.当该品种草莓定价为19元/千克时，每天销售获得的利润最大，为2025元. （3）解：能销售完这批草莓.理由如下：当x=19时，y=-25×19+700=225，225×30=6750＞6000. ∴按照（2）中的方式进行销售，能销售完17．（1）解：∵直线AB ：y ＝x ＋3与坐标轴交于A(－3，0)、B(0，3)两点 代入抛物线解析式y ＝－x 2＋bx ＋c 中有 {0=−9−3b +c 3=c ∴{b =−2c =3∴抛物线解析式为：y ＝－x 2－2x ＋3（2）解：∵由题意可知△PFG 是等腰直角三角形 设P(m ，－m 2－2m ＋3) ∴F(m ，m ＋3)∴PF ＝－m 2－2m ＋3－m －3＝－m 2－3m.△PFG 周长为：－m 2－3m ＋ (－m 2－3m)＝－(＋1)(m ＋)2＋ ∴△PFG 周长的最大值为：.（3）解：点M 有三个位置，如图所示的M 1、M 2、M 3，都能使△ABM 的面积等于△ABD的面积．此时DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等.∵D(－1，4)，∴E(－1，2)、则N(－1，0)∵y＝x＋3中，k＝1，∴直线DM1解析式为：y＝x＋5，直线M3M2解析式为：y＝x＋1.∴x＋5＝－x2－2x ＋3或x＋1＝－x2－2x＋3，∴x1＝－1(舍去)，x2＝－2，x3＝，x4＝，∴M1(－2，3)，M2(，)M3(，).18．（1）解：①由题意可得抛物线的顶点为(6，2.8)设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+2.8(a<0)把(0，2)代入，得a=−145(x−6)2+2.8．∴所求函数关系为y=−145②能．（2）解：没有出界．(x−4)2+2.88=0令y=0，则−150解得x1=−8（舍）x2=16．∵x2=16<18∴没有出界。
(完整版)二次函数练习题及答案
n dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo二次函数练习题一、选择题：1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A. B. C. D.2. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x 轴上D. y 轴上4. 抛物线的对称轴是( )A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<06. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点在第___象限( )A. 一B. 二C. 三D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x 轴于点A(m ，0)和点B ，且m>4，那么AB 的长是( )A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1<x 1<x 2，x 3<-1，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3 B. y 2<y 3<y 1 C. y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 3andllt hi ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( )A.B.C. D.二、填空题：11. 二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是______________.12. 若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y=________.13. 若抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________.14. 抛物线y=x 2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.16. 在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g 是常数，通常取10m/s 2).若v 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18. 已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点，则y 1的值是_________.三、解答题：19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)，(1)求此二次函数图象上点A 关于对称轴对称的点A ′的坐标； (2)求此二次函数的解析式；20. 在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8. (1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点. (1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB的面积S△MCB.22.某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n 答案与解析：一、选择题1.考点：二次函数概念.选A.2.考点：求二次函数的顶点坐标. 解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k 的形式，顶点坐标即为(h ，k)，y=x 2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C. 3.考点：二次函数的图象特点，顶点坐标. 解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x 轴上，答案选C. 4. 考点：数形结合，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象为抛物线，其对称轴为. 解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B. 5. 考点：二次函数的图象特征. 解析：由图象，抛物线开口方向向下， 抛物线对称轴在y 轴右侧， 抛物线与y 轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x 轴上方，答案选C. 6. 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征. 解析：由图象，抛物线开口方向向下， 抛物线对称轴在y 轴右侧， 抛物线与y 轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x 轴上方，在第四象限，答案选D. 7. 考点：二次函数的图象特征. 解析：因为二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，所以抛物线对an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs 称轴所在直线为x=4，交x 轴于点D ，所以A 、B 两点关于对称轴对称，因为点A(m ，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C. 8. 考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状. 解析：因为一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax 2+bx 的图象开口方向向下，对称轴在y 轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C. 9. 考点：一次函数、二次函数概念图象及性质. 解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1<x 1<x 2，当x>-1时，由图象知，y 随x 的增大而减小，所以y 2<y 1；又因为x 3<-1，此时点P 3(x 3，y 3)在二次函数图象上方，所以y 2<y 1<y 3.答案选D. 10.考点：二次函数图象的变化.抛物线的图象向左平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到.答案选C.二、填空题 11. 考点：二次函数性质. 解析：二次函数y=x 2-2x+1，所以对称轴所在直线方程.答案x=1. 12. 考点：利用配方法变形二次函数解析式. 解析：y=x 2-2x+3=(x 2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2. 13. 考点：二次函数与一元二次方程关系. 解析：二次函数y=x 2-2x-3与x 轴交点A 、B 的横坐标为一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，求得x 1=-1，x 2=3，则AB=|x 2-x 1|=4.答案为4. 14. 考点：求二次函数解析式. 解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3， 答案为y=x 2-2x-3. 15. 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一. 解析：需满足抛物线与x 轴交于两点，与y 轴有交点，及△ABC 是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x 2-1. 16. 考点：二次函数的性质，求最大值. 解析：直接代入公式，答案：7.Al l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r 17. 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一. 解析：如：y=x 2-4x+3. 18. 考点：二次函数的概念性质，求值. 答案：.三、解答题 19. 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式. 解析：(1)A ′(3，-4) (2)由题设知： ∴y=x 2-3x-4为所求 (3) 20. 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式. 解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根 又∵(x 1+1)(x 2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x 1+x 2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x 2-9为所求 (2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5)，P(2，-9). 21. 解： (1)依题意：n dAl lt h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o (2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x 1=5，x 2=-1 ∴B(5，0) 由，得M(2，9) 作ME ⊥y 轴于点E ， 则 可得S △MCB =15. 22. 思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式： 总利润=单个商品的利润×销售量.要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大.因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x 元，商品的售价就是(13.5-x)元了. 单个的商品的利润是(13.5-x-2.5) 这时商品的销售量是(500+200x) 总利润可设为y 元. 利用上面的等量关式，可得到y 与x 的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润. 解：设销售单价为降价x 元.Al l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 顶点坐标为(4.25，9112.5). 即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5-4.25=9.25时，可取得最大利润9112.5元。
人教版九年级上册数学 二次函数 综合训练题(含答案)
人教版九年级上册数学二次函数综合训练题一．选择题（共10小题）1．如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c 过E、B、C三点，下列判断中：①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD=5，其中正确的个数有（）A．5 B．4 C．3 D．22．如图，点M是抛物线y=ax2（x＞0）上的任意一点，MA⊥x轴于点A，MB⊥y轴于点B，连接AB，交抛物线于点P，则的值是（）B．C．D．A．3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④ C．①②③D．①②③④4．已知二次函数y=x2﹣2ax+6，当﹣2≤x≤2时，y≥a，则实数a的取值范围是（）A．B．﹣2≤a≤2 C．D．0≤a≤25．下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.36．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为（）A．15 B．18 C．21 D．247．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+3上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（）A．1+B．1﹣C．﹣1 D．1﹣或1+9．二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（）A．B．C．D．10．二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（）A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）B．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）C．开口向上，顶点坐标为（1，4） D．开口向下，顶点坐标为（1，4）二．填空题（共6小题）11．已知函数y=，其图象如图中的实线部分，图象上两个最高点分别是A，B，连接AB，则图中曲四边形ABCO（阴影部分）的面积是．12.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（3，0），顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上．若抛物线y=﹣x2﹣5x+c经过点B、C，则菱形ABCD的面积为．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+4x的顶点为A，与x轴分别交于O、B两点，过顶点A分别作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，连接BD，交AC于点E，则△ADE与△BCE的面积和为．14 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣3）2+2（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线y=﹣x2﹣2于点B，则A、B两点间的距离为．16.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y=﹣x2+3bx+2b+经过B、C两点，则正方形OABC的周长为．三．解答题（共10小题）17．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．18．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=﹣x+3交于C、D两点．连接BD、AD．（1）求m的值．（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标．19．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的顶点B的坐标；（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=1，请直接写出点P的坐标．20．如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．21．已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3（1）求它的顶点坐标和对称轴；（2）求它与x轴的交点；（3）画出这个二次函数图象的草图．22．如图，二次函数y=ax2﹣2ax+3（a≠0）的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中AB=4，连接BC．（1）求二次函数的对称轴和函数表达式；（2）若点M是线段BC上的动点，设点M的横坐标为m，过点M作MN∥y轴交抛物线于点N，求线段MN的最大值；（3）当0≤x≤t时，则3≤y≤4，直接写出t的取值范围．23．如图1为抛物线桥洞，已知底面宽AB=16m，与拱顶M的距离4m．（1）在图2中，建立适当的坐标系，求抛物线的解析式；（2）若水深1米，求水面CD的宽度（结果用根号表示）24．如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形DEFG的边长均为8cm，EF与AC在同一条直线上，开始时点A与点F重合，让△ABC向左移动，运动速度为1cm/s，最后点A与点E重合．（1）试写出两图形重叠部分的面积y（cm2）与△ABC的运动时间x（s）之间的关系式；（2）当点A向左运动2.5s时，重叠部分的面积是多少？25．如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，点C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．26．如图，抛物线y=（x+1）2﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A、C两点的坐标；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，求此时点P的坐标及最小周长；（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，当四边形AMCO的面积最大时，求出四边形AMCO的最大面积及此时点M的坐标．答案一、选择1.C．2．A．3．C．4．C5．C．6．B．7．B．8．A9．A．10．A．二．填空题11．2．12．20．13．4．14．15．15．7．16．8．三．解答题17．解：（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD=×2×a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，∴E（，0），∴BE=3﹣=∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x2﹣2x+；综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+．18．解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+3过（3，0），∴0=﹣9+3m+3，∴m=2（2）由，得，，∴D（，﹣），∵S△ABP=4S△ABD，∴AB×|y P|=4×AB×，∴|y P|=9，y P=±9，当y=9时，﹣x2+2x+3=9，无实数解，当y=﹣9时，﹣x2+2x+3=﹣9，x1=1+，x2=1﹣，∴P（1+，﹣9）或P（1﹣，﹣9）．19．解：（1）将A（﹣2，0）、O（0，0）代入解析式y=﹣x2+bx+c，得c=0，﹣4﹣2b+c=0，解得c=0，b=﹣2，所以二次函数解析式：y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，所以，顶点B坐标（﹣1，1）；（2）∵AO=2，S△AOP=1，∴P点的纵坐标为：±1，∴﹣x2﹣2x=±1，当﹣x2﹣2x=1，解得：x1=x2=﹣1，当﹣x2﹣2x=﹣1时，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，∴点P的坐标为（﹣1，1）或（﹣1+，﹣1））或（﹣1﹣，﹣1）．20．解：（1）∵OM=ON=4，∴M点坐标为（4，0），N点坐标为（0，4），设抛物线解析式为y=a（x﹣4）2，把N（0，4）代入得16a=4，解得a=，所以抛物线的解析式为y=（x﹣4）2=x2﹣2x+4；（2）∵点A的横坐标为t，∴DM=t﹣4，∴CD=2DM=2（t﹣4）=2t﹣8，把x=t代入y=x2﹣2x+4得y=t2﹣2t+4，∴AD=t2﹣2t+4，∴l=2（AD+CD）=2（t2﹣2t+4+2t﹣8）=t2﹣8（t＞4）．21．解：（1）y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4），对称轴x=﹣1；（2）令y=0，得﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，故与x轴的交点坐标：（1，0），（﹣3，0）（3）画出函数的图象如图：22．解：（1）∵二次函数解析式为y=ax2﹣2ax+3，∴对称轴x=1，∵AB=4，∴A（﹣1，0），B（3，0），把（﹣1，0）代入二次函数的解析式得到a=﹣1，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，设M（m，﹣m+3），则N（m，﹣m2+2m+3），∴NM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴m=时，MN有最大值，最大值为．（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标（1，4），∵y=3时3=﹣x2+2x+3，解得x=0或2，∴0≤x≤t时，则3≤y≤4，∴结合图象可知，1≤t≤2．23．解：（1）建立如图所示的坐标系，设这条抛物线的解析式为y=ax2+4（a≠0）．由已知抛物线经过点B（8，0），可得0=a×82+4，有a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4．（2）当y=1时，1=﹣x2+4，解得：x=±4，4﹣（﹣4）=8，∴水面CD的宽为8m．24．解（1）重叠部分的面积y与线段AF的长度x之间的函数关系式为y=x2．（2）当点A向左移动2cm，即x=2cm，当x=25时，y=×2.52=3.125（cm2）．所以当点A向左移动2.5cm时，重叠部分的面积是3.125cm2．25．解：（1）∵抛物线的对称轴为x=﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）．（2）①将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b=2，c=﹣3，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3．∵将x=0代入得y=﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．∴OC=3．∵点B的坐标为（1，0），∴OB=1．设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC=4S△BOC，∴OC•|a|=OC•OB，即×3×|a|=4××3×1，解得a=±4．当a=4时，点P的坐标为（4，21）；当a=﹣4时，点P的坐标为（﹣4，5）．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）．②如图所示：设AC的解析式为y=kx﹣3，将点A的坐标代入得：﹣3k﹣3=0，解得k=﹣1，∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q的坐标为（x，﹣x﹣3）．∴QD=﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）=﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3=﹣x2﹣3x=﹣（x2+3x+﹣）=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值，QD的最大值=．26．解：（1）令x=0，得y=﹣3，∴点C坐标（0，﹣3）．令y=0则（x+1）2﹣4=0，解得x=﹣3或1，∴点A坐标（﹣3，0），B（1，0），∴A（﹣3，0），C（0，﹣3）．（2）如图1中，连接AC交对称轴于P，∵PB=PA，∴PB+PC=PB+PA，∴此时PB+PC最短，△PBC的周长最短，设直线AC解析式为y=kx+b则解得，∴直线AC解析式为y=﹣x﹣3，∵对称轴x=﹣1，∴点P坐标（﹣1，﹣2），在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°，OA=OC=3，∴AC=3，∵BC===，∴△PBC周长的最小值为3+．（3）如图2中，设M（m，m2+2m﹣3），连接OM．∵S四边形AMCO=S△AOM+S△MOC=×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）=﹣m2﹣m+=﹣（m+）2+，∵﹣＜0，∴m=﹣时，四边形AMCO面积最大，最大值为，此时点M（﹣，﹣）．。
高考二次函数综合题练习
二次函数综合题一、解答题（题型注释）1．（2014?七里河区校级三模）已知f （x ）是二次函数，且f （0）=0，f （x+1）=f （x ）+x+1，（1）求f （x ）的表达式；（2）若f （x ）＞a 在x ∈[﹣1，1]恒成立，求实数a 的取值范围．2．已知函数()()||()f x x t x t R =-∈．（1）视t 讨论函数()f x 的单调区间；（2）若(0,2)t ∃∈，对于[1,2]x ∀∈-，不等式()f x x a >+都成立，求实数a 的取值范围．3．（本小题满分10分）函数f （x ）＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．4．已知函数2()(1)1f x x m x =+-+.（Ⅰ）若方程()0f x =有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若关于x 的不等式()0f x <的解集为12(,)x x ，且120||x x <-<，求实数m 的取值范围.5．已知函数)1(52)(2>+-=a ax x x f .(1)若)(x f 的定义域和值域均是],1[a ，求实数a 的值；(2)若)(x f 在区间]2(，-∞上是减函数，且对任意的1x ，]1,1[2+∈a x ，总有12|()()|4f x f x -≤，求实数a 的取值范围.6．（本小题满分12分）已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)3f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数31(log ),[,3]3y f x m x =+∈的最小值为3，求实数m 的值；（3）若对任意互不相同的12,(2,4)x x ∈，都有1212|()()|||f x f x k x x -<-成立，求实数k 的取值范围．7．已知二次函数2()f x ax bx =++c 的图象通过原点，对称轴为n x 2-=，()n ∈*N ．()f x '是()f x 的导函数，且(0)2,f n '=()n ∈*N ．（1）求)(x f 的表达式（含有字母n ）；（2）若数列{}n a 满足)(1n n a f a '=+，且14a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）条件下，若212nn a a n n b -+⋅=，n n b b b S +++=K 21，是否存在自然数M ，使得当M n >时n n S n -⋅+1250>恒成立?若存在，求出最小的M ；若不存在，说明理由． 8．设函数()221f x x ax a =+--，[]0,2x ∈，a 为常数 （1）求()f x 的最小值()g a 的解析式;（2）在（1）中，是否存在最小的整数m ，使得()0g a m -≤对于任意a R ∈均成立，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.9．设函数2()=2f x kx x +(k 为实常数)为奇函数，函数()()1f x g x a =-(01a a >≠且).(1)求k 的值；(2)求()g x 在[]1,2-上的最大值；(3)当a =时，2()21g x t mt ≤-+对所有的[1,1]x ∈-及[1,1]m ∈-恒成立，求实数的取值范围．10．已知二次函数2()4,f x ax bx =++集合{}()A x f x x == （1）若{}1,A =求函数()f x 的解析式；（2）若1A ∈,且12,a ≤≤设()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值、最小值分别为,M m ，记()g a M m =-，求()g a 的最小值.11．已知函数()f x ＝x2－4x ＋a ＋3，g(x)＝mx ＋5－2m ．(Ⅰ)若方程f(x)=0在[－1，1]上有实数根，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝0时，若对任意的x 1∈[1，4]，总存在x 2∈[1，4]，使f(x 1)＝g(x 2)成立，求实数m 的取值范围；(Ⅲ)若函数y ＝f(x)（x ∈[t ，4]）的值域为区间D ，是否存在常数t ，使区间D 的长度为7－2t ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p ，q]的长度为q －p ）．12．已知函数f(x)=2ax bx c ++，其中*,,.a N b N c Z ∈∈∈（I ）若b>2a,且 f(sinx)(x ∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值；（II ）若对任意实数x ，不等式24()2(1)x f x x ≤≤+恒成立,且存在2000()2(1)x f x x <+使得成立，求c的值。
2021中考数学专题复习：二次函数综合专项训练题1(培优 附答案详解)
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．（1）求这个抛物 Nhomakorabea的表达式；
（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD的面积；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线 与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ， ， 、 两点间的距离为 ，抛物线的对称轴为 ．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx＋k，与x轴，y轴分别交于点A，B，经过点A的抛物线y＝ax2＋bx﹣3a与x轴另一个交点为点D，AD＝4，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标（用k表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线的对称轴在y轴右侧，连接BD，BD比BO长1，抛物线与线段BC恰有一个公共点，求直线y＝mx＋k的解析式和a的取值范围．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，对称轴上是否存在点 ，使 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，抛物线的顶点为 ，对称轴交 轴于点 ，点 为抛物线上一点，点 不与点 重合．当 时，过点 分别作 轴的垂线和平行线，与 轴交于点 、与对称轴交于点 ，得到矩形 ，求矩形 周长的最大值；
二次函数基础知识综合练(2)
二次函数综合练习（1）一、填空题 1．抛物线22-=x y 的顶点坐标为（ ） 2．二次函数y=(x －3)(x ＋2)的图象的对称轴是（ ） 3．已知抛物线y=x 2－8x ＋c 的顶点在x 轴上，则c 的值是（ ）4．童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y （元）与销售单价x （元）满足关系 y=－x 2+50x －500，则要想获得最大利润每天必须卖出（ ） 5．二次函数y ＝x 2－2x+1与x 轴的交点个数是（ ） 6．若A(－134，y 1)、B(－1，y 2)、C(53，y 3)为二次函数y=－x 2－4x+5的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）7．把抛物线y ＝2x 2先向左平移3个单位，向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） 8．某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图所示），大门的地面宽度为8m ，两侧距地 面4米高处各有一个挂校名匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m ，则校门的高为（精 确到0.1 m ，水泥建筑物的厚度忽略不计）（ ）9．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ） 10．已知函数y=x 2－2x －2的图象如图2示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x的取值范围是（ ）第8题) (第9第11．抛物线2)3(94-=x y 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，则△AOB 的面积为 。
12．某二次函数的图象与x 轴交于点(－1，0)，(4，0)，且它的形状与抛物线y ＝－x 2形状相同。
则这个二次函数的解析式为 。
13．二次函数的图象经过三个定点（2，0），（3，0），（•0，-•1），则它的解析式为________，该图象的顶点坐标为__________．对称轴 14．当k=________时，直线x+2y+k+1=0和2x+y+2k=0的交点在抛物线y=-x 2上．15．已知二次函数y=x 2-2（k+1）x+k 2+2的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且（x 1+1）（x 2+1）=8，则k 的值为__________． 16．如果y 与x 2成正比例，并且它的图象上一点P 的横坐标a 和纵坐标b 分别是方程x 2-x-6=0的两根，那么这个函数的解析式为_________． 17．抛物线y=x 2-4x+11的对称轴是直线________，顶点坐标为________． 18．如果抛物线y=-23x 2+（m+2）x+27m 的对称轴为直线x=32，则m 的值为_________．19．把函数y=5x 2+10mx+n 的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，•所得图象的函数解析式为y=5x 2+30x+44，则m=_______，n=_______． 20．开口向下的抛物线y=a （x+1）（x-4）与x 轴交于A 、B 两点，与y•轴交于点C ．•若∠ACB=90°，则a 的值为________． 21．如图，二次函数y=x 2-ax+a-5的图象交x 轴于点A 和B ，交y 轴于点C ，当线段AB•的长度最短时，点C 的坐标为________． 22．在同一直角坐标系内，二次函数y 1=ax 2+bx+c 与y 2=cx 2+bx+a 的图象大致为（ ）23．在同一直角坐标系内，函数y=ax 2+bx 与y=b x（b ≠0）的图象大致为（ ）25．给出下列四个函数：y=-2x ，y=2x-1，y=3x （x>0），y=-x 2+3（x>0），其中y 随x•的增大而减小的函数有（ ）26．当m 取任何实数时，抛物线y=-2（x-m ）2-m 的顶点所在的直线为（ ） A ．x 轴 B ．y 轴 C ．y=x D ．y=-x27．当m 取任何实数时，抛物线y=-2（x+m ）2-m 2的顶点所在的曲线为（ ） A ．y=x 2 B ．y=-x 2 C ．y=x 2（x>0） D ．y=-x 2（x>0）28．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与抛物线y=x 2-4x+3关于x 轴对称，则a 、b 、c•的值分别是（ ） A ．-1，4，-3 B ．-1，-4，-3 C ．-1，4，3 D ．-1，-4，3 29、.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是（ ）A.43 B.－43 C.45 D.－45二次函数综合练习（2）30．如果抛物线y=-23x 2+（m+2）x+27m 的对称轴为直线x=32，则m 的值为_________．31、如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（ ）32、直线y=3x-3与抛物线y=x 2-x+1的交点的个数是( ).33.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____. 34.在同一坐标系中，二次函数y=－21x 2，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______.35.已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是______ 36.函数y=34x －2－3x 2有最_ _值为___.37.函数y=21x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（ ）38.抛物线y=－2x 2－x+1的顶点在第_____象限（ ）39.不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点都( )A.在y=x 直线上;B.在直线y=－x 上;C.在x 轴上;D.在y 轴上40、函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经过原点和第一、三、四象限，则函数有最______值，且a________0，b________0，c__________0。
中考数学总复习《二次函数综合题》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《二次函数综合题》专项提升练习题(附答案)学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________类型一 线段问题1. 如图，抛物线y ＝14 x 2＋bx ＋c 过点A (4，0)，B (－4，4)，与y 轴交于点C ，连接AB .(1)求抛物线的表达式；(2)若E 是线段AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，过点E 作y 轴的平行线，分别交抛物线，x 轴于F ，D 两点，若DE ＝2DF ，请求出点E 的坐标．第1题图2. 平面直角坐标系中已知抛物线y ＝ax 2＋83 x ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y轴交于点C (0，－4).(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上一动点(不与点A ，B ，C 重合)，作 PD ⊥x 轴，垂足为D ，连接PC . ①如图，若点P 在第三象限，且tan ∠CPD ＝2，求点P 的坐标；②直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 的对称点E ′落在y 轴上时，请直接写出四边形 PECE ′的周长．第2题图 备用图类型二 面积问题1. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0)交x 轴于A (－1，0)，B (5，0)两点，交y 轴于点C ，连接AC ，BC ，点G 为线段BC 上方的抛物线上一点，过点G 作GH ∥AC 交BC 于点H . (1)求抛物线的解析式；(2)连接AG ，AH ，BG ，设h ＝S △AGB －S △AHB ，点G 的横坐标为t ，求h 关于t 的函数解析式，并求出h 的最大值．第1题图2. 在平面直角坐标系中点O 是坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点A (3，3)，对称轴为直线x ＝2. (1)求a ，b 的值；(2)已知点B ，C 在抛物线上，点B 的横坐标为t ，点C 的横坐标为t ＋1.过点B 作x 轴的垂线交直线OA 于点D ，过点C 作x 轴的垂线交直线OA 于点E . (ⅰ)当0＜t ＜2时，求△OBD 与△ACE 的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B ，使得以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形的面积为32 ？若存在，请求出点B 的横坐标t 的值；若不存在，请说明理由．类型三存在性问题典例精析例如图，在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点．(1)若点M为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得△BCM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；例题图①【思路点拨】判断等腰三角形存在性问题，一般要进行分类讨论．①BC为腰时：分别以点B，C为圆心，BC长为半径画圆，与直线x＝1的交点即为所求作的点；②BC为底时：作线段BC的垂直平分线，与直线x＝1的交点即为所求作的点．(2)在抛物线上是否存在一点N，使得△BCN是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；例题图②【思路点拨】判断直角三角形存在性问题，一般要进行分类讨论．①BC 为直角边时：分别过点B ，C 作BC 的垂线，与抛物线的交点即为所求作的N 点； ②BC 为斜边，点N 为直角顶点时：以BC 的中点为圆心，12 BC 的长为半径作圆，所作的圆与抛物线的交点即为所求作的N 点．(3)若点Q 为第一象限内抛物线上一点，过点Q 作QG ⊥x 轴，垂足为G ，连接AC ，OQ .是否存在点Q ，使得△QGO ∽△AOC ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； 【思路点拨】判断相似三角形存在性问题，通常利用相似三角形的性质，列出线段比例关系，求解即可．例题图③(4)若点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，是否存在点E ，使得以D ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由； 【思路点拨】判断平行四边形存在性问题，一般要进行分类讨论． ①当DE ，FC 是平行四边形对角线时； ②当DF ，EC 是平行四边形对角线时； ③当DC ，EF 是平行四边形对角线时．再利用平行四边形对角线的性质结合中点坐标公式求点坐标即可．例题图④(5)若点H是x轴上一点，点K是平面任意一点，是否存在点H，使得以点A，C，H，K为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；【思路点拨】判断矩形存在性问题，一般要进行分类讨论．①当AC为矩形的边时，∠ACH＝90°；②当AC为矩形的对角线时，∠AHC＝90°.再利用勾股定理求解即可．例题图⑤(6)若点S是第一象限抛物线上一点，过点S作ST⊥BC于点T，连接AC，CS，是否存在点S使得△CST中有一个角与∠CAO相等，若存在，求出S点坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】判断角度存在性问题，一般要进行分类讨论．①若∠SCT＝∠CAO；②若∠CST＝∠CAO.再构造直角三角形，利用三角函数求解即可．例题图⑥对接中考1. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－1，0)，点B(5，0)，交y轴于点C.(1)求b，c的值；(2)点P(x0，y0)(0＜x0＜5)是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图，将一块自制的直角三角板放置在平面直角坐标系中顶点为坐标原点，A(0，－3)，B(6，0)，将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O，抛物线L经过点A′，B′，B.(1)求抛物线L的解析式；(2)点Q为平面内一点，在直线AB上是否存在点P，使得以点A，B′，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图拓展类型二次函数性质综合题1. 在二次函数y＝x2－2tx＋3(t＞0)中(1)若它的图象过点(2，1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值；(3)如果A(m－2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3，求m的取值范围．2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a，b均为常数，且a≠0)的对称轴为直线x＝2.(1)求抛物线顶点M的坐标和b的值(用含a的代数式表示)；(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在此抛物线上，且x1＜2＜x2，x1＋x2＜4，若a＞0，试比较y1与y2的大小，并说明理由；(3)若自变量x的值满足－1≤x≤1，与其对应的函数的最大值为18，请直接写出b的值．3. 在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2－4ax＋c(a＜0)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C.(1)若OC＝2OB，求抛物线的解析式；(2)若抛物线的最大值为6，求a 的值；(3)若点P (x 0，m )，Q (52，n )在抛物线上，且m ＜n ，求x 0的取值范围．参考答案类型一 线段问题1. 解：(1)∵抛物线y ＝14 x 2＋bx ＋c 过点A (4，0)，B (－4，4)∴将A (4，0)，B (－4，4)分别代入y ＝14x 2＋bx ＋c 中得⎩⎪⎨⎪⎧4＋4b ＋c ＝04－4b ＋c ＝4 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12c ＝－2∴抛物线的表达式为y ＝14 x 2－12x －2；(2)由点A (4，0)，B (－4，4)可得直线AB 的表达式为y ＝－12 x ＋2设点E (x ，－12 x ＋2)，其中－4<x <4，则F (x ，14 x 2－12 x －2)∴DE ＝2－12 x ，DF ＝|14 x 2－12 x －2|分两种情况讨论：①当点F 在x 轴上方时，即2－12 x ＝2×(14 x 2－12 x －2)解得x 1＝－3，x 2＝4(舍去) 将x ＝－3代入y ＝－12 x ＋2中得y ＝72∴E (－3，72)；②当点F 在x 轴下方时，即2－12 x ＝2×(－14 x 2＋12 x ＋2)解得x 1＝－1，x 2＝4(舍去)将x ＝－1代入y ＝－12 x ＋2得y ＝52 ，∴E (－1，52)；综上所述，当DE ＝2DF 时，点E 的坐标为(－3，72 )或(－1，52).2. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋83 x ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (1，0)，与y 轴交于点C (0，－4)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋83＋c ＝0c ＝－4 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43c ＝－4∴抛物线的函数解析式为y ＝43 x 2＋83x －4；(2)①如解图①，过点C 作CE ⊥PD 于点E第2题解图①则∠PEC ＝∠CED ＝90° ∵C (0，－4) ∴OC ＝4∵PD ⊥x 轴，垂足为D ∴∠PDO ＝90°，∠DOC ＝90° ∴四边形DOCE 是矩形 ∴DE ＝OC ＝4 设P (x ，43 x 2＋83 x －4)∴CE ＝－x∴PE ＝PD －DE ＝－(43 x 2＋83 x －4)－4＝－43 x 2－83 x∵tan ∠CPD ＝CEPE ＝2∴－x －43x 2－83x ＝2解得x 1＝－138 ，x 2＝0(不合题意，舍去)当x ＝－138 时，43 x 2＋83 x －4＝－7716∴P (－138 ，－7716)；②四边形PECE ′的周长为353 或853.【解法提示】设P (m ，43 m 2＋83 m －4)，对于y ＝43 x 2＋83 x －4，当y ＝0时，43 x 2＋83 x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴B (－3，0)，∴OB ＝3，在Rt △BOC 中由勾股定理得BC ＝OB 2＋OC 2 ＝5.当点P 在第三象限时，如解图②，过点E 作EF ⊥y 轴于点F第2题解图②则四边形DEFO 是矩形，∴EF ＝DO ＝－m ，∵点E 与点E ′关于PC 对称，∴∠ECP ＝∠E ′CP ，CE ＝CE ′，PE ＝PE ′，∵PE ∥y 轴，∴∠EPC ＝∠PCE ′，∴∠EPC ＝∠ECP ，∴PE ＝CE ，∴PE ＝CE ＝CE ′＝PE ′，∴四边形PECE ′是菱形，∵EF ∥OA ，∴△CEF ∽△CBO ，∴CE CB ＝EFBO，∴CE 5 ＝－m 3 ，∴CE ＝－53m ，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把B (－3，0)，C (0，－4)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－4 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43b ＝－4，∴直线BC 的解析式为y ＝－43 x －4，∴E (m ，－43 m －4)，∴PE ＝－43 m 2－4m ，∵PE ＝CE ，∴－43 m 2－4m ＝－53 m ，解得m 1＝－74 ，m 2＝0(舍去)，∴CE ＝－53 ×(－74 )＝3512 ，∴四边形PECE ′的周长为4CE ＝4×3512 ＝353；当点P 在第二象限时，如解图③第2题解图③同理可得43 m 2＋4m ＝－53 m ，解得m 1＝－174 ，m 2＝0(舍去)，∴CE ＝－53 ×(－174 )＝8512 ，∴四边形PECE ′的周长为4CE ＝4×8512 ＝853 ；综上所述，四边形PECE ′的周长为353 或853.类型二 面积问题1. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0)交x 轴于A (－1，0)，B (5，0)两点∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋5＝025a ＋5b ＋5＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝4 ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)如解图，过点G 作GD ∥y 轴交BC 于点D ，连接CG ∵当x ＝0时，y ＝－x 2＋4x ＋5＝5 ∴C (0，5) ∵GH ∥AC ∴S △AGH ＝S △CGH∴h ＝S △AGB －S △AHB ＝S △AGH ＋S △BGH ＝S △CGH ＋S △BGH ＝S △BGC . 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0) 将B (5，0)，C (0，5)代入y ＝kx ＋b 1中∴⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b 1＝0b 1＝5 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b 1＝5 ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋5∵点G 的横坐标为t (0＜t ＜5)，∴G (t ，－t 2＋4t ＋5)，D (t ，－t ＋5) ∴GD ＝－t 2＋4t ＋5－(－t ＋5)＝－t 2＋5t ∴h ＝S △BGC ＝S △CGD ＋S △BGD ＝12 GD ·t ＋12 GD ·(5－t ) ＝－52 (t －52 )2＋1258∵－52＜0，0＜t ＜5∴当t ＝52 时，h 取最大值，最大值为1258.第1题解图2. 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝2，9a ＋3b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4；(2)(i)如解图①，延长BD 与x 轴交于点M ，延长CE 与x 轴交于点N ，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，连接OB ，AC第2题解图①由(1)知抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ，易知直线OA 的解析式为y ＝x ∵点B ，C 在抛物线上，点B 横坐标为t ，点C 的横坐标为t ＋1 ∴B (t ，－t 2＋4t )，C (t ＋1，－(t ＋1)2＋4(t ＋1))，D (t ，t )，E (t ＋1，t ＋1) ∴OM ＝t ，BD ＝－t 2＋3t ，CE ＝－(t ＋1)2＋3(t ＋1)，AF ＝－t ＋2 ∵0<t <2 ∴1<t ＋1<3∴S △OBD ＋S △ACE ＝12 OM ·BD ＋12 CE ·AF ＝12 t ·(－t 2＋3t )＋12 [－(t ＋1)2＋3(t ＋1)]·(－t ＋2)＝2；(ii)存在．如解图②，当点B 在点D 上方，即2<t <3时，过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ，连接BE ，CD第2题解图②∵BD ∥EC∴四边形DBEC 为梯形此时，BD ＝－t 2＋3t ，CE ＝－(t ＋1)2＋3(t ＋1) ∵DQ ＝1∴S 四边形DBEC ＝12 (BD ＋EC )·DQ ＝12 [－t 2＋3t －(t ＋1)2＋3(t ＋1)]·1＝t －1当S 四边形DBEC ＝32 时，可得t －1＝32 ，解得t ＝52；当点D 在点B 上方，即t >3时，如解图③，过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ，连接BC第2题解图③此时BD ＝t 2－3t ，CE ＝(t ＋1)2－3(t ＋1)∴S 四边形DBCE ＝12 (BD ＋EC )·DQ ＝12 [t 2－3t ＋(t ＋1)2－3(t －1)]·1＝t 2－2t －1令t 2－2t －1＝32 ，解得t 1＝142 ＋1<3，t 2＝－142 ＋1<3，均舍去；综上所述，t 的值为52.类型三 存在性问题典例精析例 解：(1)存在 设点M (1，m )由题意得BC ＝32 ，BM ＝4＋m 2 ，CM ＝1＋（m －3）2①当BC 为腰时 a ．若BC ＝BM ，如解图①例题解图①即32＝4＋m2解得m＝±14则M1(1，14)，M2(1，－14)；b．若BC＝CM，如解图②即32＝1＋（m－3）2，解得m＝3±17，则M3(1，3＋17)，M4(1，3－17)；②当BC为底边时，则CM＝BM，如解图②，即1＋（m－3）2＝4＋m2解得m＝1，则M5(1，1)；∴综上所述，满足条件的点M的坐标为(1，14)或(1，－14)或(1，3＋17)或(1，3－17)或(1，1)；例题解图②(2)存在设点N(x，－x2＋2x＋3).①当点C为直角顶点时，如解图③，则∠N1CB＝90°，过点N1作N1H⊥y轴于点H∵△BOC是等腰直角三角形∴∠BCO＝45°∴∠N1CH＝180°－90°－45°＝45°∴△N1CH是等腰直角三角形∴N1H＝HC，即x＝－x2＋2x＋3－3解得x1＝0(舍去)，x2＝1∴N1(1，4)；例题解图③②当点B 为直角顶点时，如解图③，则∠CBN 2＝90°，过点N 2作N 2G ⊥y 轴，过点B 作BG ⊥x 轴交N 2G 于点G∴同理可得∠BN 2G ＝45°，△BN 2G 是等腰直角三角形 ∴N 2G ＝BG ，即3－x ＝－(－x 2＋2x ＋3) 解得x 1＝－2，x 2＝3(舍去) ∴N 2(－2，－5).综上所述，满足条件的点N 的坐标为 (1，4)或(－2，－5)； (3)存在∵点Q 在第一象限内抛物线上 ∴设Q (m ，－m 2＋2m ＋3)，0＜m ＜3 ∵QG ⊥x 轴∴G (m ，0)，OG ＝m ，QG ＝－m 2＋2m ＋3 ∵△AOC ∽△QGO ∴AO QG ＝CO OG ，即1－m 2＋2m ＋3 ＝3m解得m 1＝5＋1336 或m 2＝5－1336 (舍去)此时点Q 的坐标为(5＋1336 ，5＋13318 )；(4)存在设E (m ，－m 2＋2m ＋3)，F (n ，0)，易得抛物线顶点D 的坐标为(1，4)，点C 的坐标为(0，3)①如解图④，当DE ，FC 是平行四边形对角线时 ∵平行四边形对角线互相平分 ∴DE ，FC 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝n ＋04－m 2＋2m ＋3＝0＋3 解得m ＝1＋5 或m ＝1－5∴E 1(1＋5 ，－1)或E 2(1－5 ，－1)；例题解图④②如解图⑤，当DF ，EC 是平行四边形对角线时，同理DF ，EC 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＝m ＋04＋0＝－m 2＋2m ＋3＋3 解得m ＝1＋3 或m ＝1－3 ∴E 3(1＋3 ，1)或E 4(1－3 ，1)；例题解图⑤③当DC ，EF 是平行四边形对角线时，DC ，EF 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋0＝m ＋n 4＋3＝－m 2＋2m ＋3＋0方程组无实数解．综上所述，满足条件的点E 的坐标为(1＋5 ，－1)或(1－5 ，－1)或(1＋3 ，1)或(1－3 ，1)； (5)存在如解图⑥，由题意知，A (－1，0)，C (0，3)，设点H 的坐标为(p ，0) ∴AH 2＝(p ＋1)2，CH 2＝p 2＋32，AC 2＝12＋32＝10 当AC 为矩形的边时，∠ACH ＝90° ∴AH 2＝CH 2＋AC 2即(p ＋1)2＝p 2＋32＋10，解得p ＝9 ∴点H 的坐标为(9，0)；当AC 为矩形的对角线时，∠AHC ＝90° ∴此时点H 与原点重合，点H 的坐标为(0，0). 综上所述，满足条件的点H 的坐标为(9，0)或(0，0)；例题解图⑥(6)存在如解图⑦，过点S 作SZ ⊥x 轴于点Z ，交BC 于点X ∵A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)∴OA ＝1，OC ＝OB ＝3，易得直线BC 的函数解析式为y ＝－x ＋3 ∴∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∵SZ ⊥x 轴∴∠BXZ ＝∠SXT ＝45° ∵ST ⊥BC ∴XT ＝ST设S (m ，－m 2＋2m ＋3)，且0＜m ＜3，则X (m ，－m ＋3) ∴CX ＝m 2＋（－m ＋3－3）2 ＝2 m ，SX ＝－m 2＋3m ∴ST ＝TX ＝22 SX ＝－22 m 2＋322m ∴CT ＝CX －TX ＝2 m －(－22 m 2＋322 m )＝22 m 2－22m ①若∠SCT ＝∠CAO∴tan ∠SCT ＝tan ∠CAO ＝OCOA ＝3∵tan ∠SCT ＝STCT ＝3∴ST ＝3CT ∴－22 m 2＋322 m ＝3×(22 m 2－22m )解得m ＝32 或m ＝0(舍去)∴点S 的坐标为(32 ，154 )；②若∠CST ＝∠CAO 则tan ∠CST ＝tan ∠CAO ＝3 ∵tan ∠CST ＝CTST ＝3∴3ST ＝CT ∴3×(－22 m 2＋322 m )＝22 m 2－22m 解得m ＝52 或m ＝0(舍去)∴点S 的坐标为(52 ，74)；综上所述，存在点S ，使得△CST 中有一个角与∠CAO 相等，点S 的坐标为(32 ，154 )或(52 ，74).例题解图⑦对接中考1. 解：(1)由题意可知，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (－1，0)，点B (5，0)∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝025＋5b ＋c ＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝－5； (2)①如解图，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ∴S △PBC ＝S △CPD ＋S △PDB由(1)可知，c ＝－5，故点C 的坐标为(0，－5) 易知BC 的表达式为y ＝x －5∵点P 的坐标为(x 0，y 0)(0<x 0<5)，点P 在抛物线上 ∴y 0＝x 20 －4x 0－5设点D 的坐标为(x 0，x 0－5)∴|PD |＝x 0－5－x 20 ＋4x 0＋5＝－x 20 ＋5x 0∴S △PBC ＝12 ×|PD |×5＝12 ×(－x 20 ＋5x 0)×5 ＝－52 (x 0－52 )2＋1258∴当x 0＝52 时，△PBC 面积最大，最大值为1258；第1题解图②存在．由题意可知，∠EPF ＝90°，△PEF 为等腰直角三角形 ∴PE ＝PF∵PE ⊥x 轴，PF ∥x 轴，且点E 在线段BC 上，点F 在抛物线上 由(2)可知PE ＝－x 20 ＋5x 0 易知PF ＝|4－2x 0|∴|PF |＝|PE |，即|4－2x 0|＝|－x 20 ＋5x 0|解得x 0＝4或x 0＝7－332 或x 0＝－1(舍去)或x 0＝7＋332 (舍去)当x 0＝4时，解得y ＝－5当x 0＝7－332 时，解得y 0＝3－3332∴综上所述，当△PEF 为等腰直角三角形时，点P 的坐标为(4，－5)或(7－332 ，3－332 ).2. 解：(1)由题意得A ′(－3，0)，B ′(0，－6)，B (6，0)已知抛物线L 经过点A ′，B ′，B ，设抛物线L 的解析式为y ＝a (x ＋3)(x －6)(a ≠0) 将点B ′(0，－6)代入抛物线解析式中得－6＝a (0＋3)(0－6)，解得a ＝13∴抛物线L 的解析式为y ＝13 (x ＋3)(x －6)＝13 x 2－x －6；(2)存在．∵A (0，－3)，B ′(0，－6) ∴AB ′＝3设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0) 将A (0，－3)，B (6，0)代入直线AB 的解析式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－36k ＋b ＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3k ＝12∴直线AB 的解析式为y ＝12 x －3∵点P 在直线AB 上∴设点P (m ，12m －3)，分情况讨论：①当以AB ′为边且AP 2＝AB ′2时，即m 2＋(12 m )2＝9解得m 1＝655 ，m 2＝－655∴点P 的坐标为(655 ，355 －3)或(－655 ，－355 －3)；②当以AB ′为边且B ′P 2＝AB ′2时，即m 2＋(12 m ＋3)2＝9解得m 1＝0(舍去)，m 2＝－125∴P (－125 ，－215 )；③当以AB ′为对角线时 ∵AB ′＝3∴AB ′的中点坐标为(0，－92 )由菱形的性质可得y P ＝－92即12 m －3＝－92 ，解得m ＝－3 ∴P (－3，－92)；综上所述，点P 的坐标为(655 ，355 －3)或(－655 ，－355 －3)或(－125 ，－215 )或(－3，－92). 拓展类型 二次函数性质综合题1. 解：(1)把点(2，1)代入y ＝x 2－2tx ＋3中 得4－4t ＋3＝1解得t ＝32； (2)∵抛物线对称轴为直线x ＝t①若0<t ≤3∵a ＝1>0∴当x ＝t 时，函数y 取得最小值∵y 的最小值为－2∴t 2－2t 2＋3＝－2解得t ＝±5 .∵0＜t ≤3∴t ＝5 ；②若t >3，∵a ＝1>0∴当0≤x ≤3时，y 随x 的增大而减小∴当x ＝3时，函数y 取得最小值∵y 的最小值为－2∴9－6t ＋3＝－2解得t ＝73(不符合题意，舍去). 综上所述，t 的值为5 ；(3)∵A (m －2，a )，C (m ，a )关于对称轴直线x ＝t 对称∴m －2＋m 2＝t ，即m －1＝t ，且点A 在对称轴左侧，点C 在对称轴右侧． 在y ＝x 2－2tx ＋3中令x ＝0，则y ＝3∴抛物线与y 轴交点为(0，3)∴此交点关于对称轴直线x ＝t 的对称点为(2m －2，3).∵a <3，b <3且t >0∴4<2m －2，解得m >3.当点A ，B 都在对称轴左边时∵a <b∴4<m －2，解得m >6∴m >6；当点A ，B 分别在对称轴两侧时∴B 到对称轴的距离大于A 到对称轴的距离∴4－(m －1)>m －1－(m －2)，解得m <4∴3<m <4.综上所述，m 的取值范围为3<m <4或m >6.2. 解：(1)由题意得，－b 2a＝2 解得b ＝－4a∴4ac －b 24a ＝12a －（－4a ）24a＝3－4a ∴抛物线顶点M 的坐标为(2，3－4a )；(2)y 2＜y 1，理由如下：由题可知，抛物线的对称轴为直线x ＝2∴A (x 1，y 1)关于直线x ＝2的对称点为(4－x 1，y 1)∵x 1＜2＜x 2，x 1＋x 2＜4∴2＜x 2＜4－x 1∵a ＞0∴抛物线开口向上∴在对称轴右侧y 随x 的增大而增大∴y 2＜y 1；(3)b 的值为－12或20.【解法提示】由(1)知，b ＝－4a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2－4ax ＋3，当a ＞0时，抛物线开口向上，此时在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝－1时，函数值y 最大，最大值为a ＋4a ＋3，∴a ＋4a ＋3＝18，解得a ＝3，∴b ＝－4a ＝－12；当a ＜0时，抛物线开口向下，此时在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝1时，函数值y 最大，最大值为a －4a ＋3，∴a －4a ＋3＝18，解得a ＝－5，∴b ＝－4a ＝20.综上所述，b 的值为－12或20.3. 解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x ＝－－4a 2a＝2，抛物线与x 轴的交点为A (1，0)，B ∴B (3，0)∴OB ＝3.∵OC ＝2OB∴OC ＝6.∴抛物线开口向下∴C (0，－6).把A (1，0)，C (0，－6)代入y ＝ax 2－4ax ＋c 中得⎩⎪⎨⎪⎧a －4a ＋c ＝0，c ＝－6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，c ＝－6， ∴抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋8x －6；(2)由解析式可知抛物线的最大值为4ac －（－4a ）24a ＝4ac －16a 24a＝c －4a . ∵抛物线的最大值为6∴c －4a ＝6.∵抛物线过点A (1，0)∴a －4a ＋c ＝0，即c －4a ＝－a∴－a ＝6，即a ＝－6；(3)已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，a ＜0∴(52 ，n )与(32，n )关于对称轴对称 当点P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得x 0＜32； 当点P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而减小，由m ＜n ，得x 0＞52. 综上所述，x 0的取值范围为x 0＜32 或x 0＞52.。
二次函数综合题
二次函数综合题类型一㊀对称性㊁增减性问题1.已知二次函数y =ax 2-2ax.(1)二次函数图象的对称轴是直线x =㊀;(2)当0ɤx ɤ3时,y 的最大值与最小值的差为4,求该二次函数的表达式;(3)若a <0,对于二次函数图象上的两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),当t ɤx 1ɤt +1,x 2ȡ3时,均满足y 1ȡy 2,请结合函数图象,直接写出t 的取值范围.(2)当=解:(1)a 1>;0时,ȵ该函数图象的对称轴为直线x 1,ʑ当x =1时,y 有最小值为-a ,当x =3时,y 有最大值为3a ,ʑ3a -(-a )=4,ʑa =1,ʑ二次函数的表达式为y =x 2-2x.当a <0时,同理可得,y 有最大值为-a ;y 有最小值为3a ,ʑ-a -3a =4,ʑa =-1,ʑ二次函数的表达式为y=-x2+2x,综上所述,该二次函数的表达式为y=x2-2x或y=-x2+2x;(3)-1ɤtɤ2.ʌ解法提示ɔȵa<0,该函数图象的对称轴为直线x=1,ʑx<1时,y随x的增大而增大,x>1时,y随x的增大而减小,x=-1和x=3时的函数值相等.ȵtɤx1ɤt+1,x2ȡ3时,均满足y1ȡy2,ʑtȡ-1,t+1ɤ3,ʑ-1ɤtɤ2.2.在平面直角坐标系xOy中,点(m-2,y1),(m, y2),(2-m,y3)在抛物线y=x2-2ax+1上,其中mʂ1且mʂ2.(1)求出该抛物线的对称轴(用含a的式子表示);(2)当m=0时,若y1=y3,比较y1与y2的大小关系,并说明理由;(3)若存在大于1的实数m,使y1>y2>y3,求a的取值范围.解:(1)ȵy=x2-2ax+1,ʑ抛物线对称轴为直线x=--2a2=a; (2)y1>y2.理由如下:ȵm=0,y1=y3,ʑ点(-2,y1)与点(2,y3)关于抛物线对称轴对称,ʑ抛物线对称轴为直线x=-2+22=0,即a=0,ʑy=x2+1,ʑ抛物线开口向上,顶点坐标为(0,1),ʑy2=1为函数最小值,ʑy1>y2;(3)将(m-2,y1),(m,y2),(2-m,y3)分别代入y=x2-2ax+1,得y1=m2-4m-2am+4a+5,y2=m2-2am+1,y3= m2-4m+2am-4a+5,ȵy1>y2>y3,ʑm2-4m-2am+4a+5>m2-2am+1>m2-4m+ 2am-4a+5,解得m-1<a<1.ȵm>1,ʑ0<a<1.3.已知抛物线y=2x2-4mx+2m2-1.(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)若直线y =n 与该抛物线交于点A ,B ,且AB=2,求n 的值;(3)若抛物线y =2x 2-4mx +2m 2-1经过点P (t ,y 1),Q (t +1,y 2),y 1y 2<0,求y 1的取值范围.解:(1)ȵy =2x 2-4mx +2m 2-1=2(x -m )2-1,ʑ该抛物线顶点坐标为(m ,-1);(2)ȵAB =2,抛物线对称轴为直线x =m ,1,n ),(m +1,n )ʑ抛物线与直线y =n 的两个交点坐标为(m -,将(m +1,n )代入y =2(x -m )2-1得n =2-1=1;(3)ȵ抛物线y =2(x -m )2-1,a =2>0,ʑ抛物线开口向上,对称轴为直线x =m ,令2(x -m )2-1=0,解得x 1=m -22,x 2=m +22,ʑx 2-x 1=2>1.ȵy 1y 2<0,ʑy 1<0,y 2>0或y 1>0,y 2<0,如解图①,当y 1<0,y 2>0时,t <m +22<t +1,ʑm+22-1<t<m+22,第3题解图①当t=m时,y1取最小值为-1,ʑ-1ɤy1<0,如解图②,当y第3题解图②t<m-22<t+1,ʑm-22-1<t<m-22,将t=m-22-1代入y=2(x-m)2-1得y=2(m-22-1-m)2-1=2+22,ʑ0<y1<2+22,综上所述,-1ɤy1<0或0<y1<2+22.类型二㊀公共点问题考向一㊀定抛物线与动线段1.如图,已知直线y =2x +1与抛物线y =2x 2+bx +c 交于点A (0,1),B (3,7),点C (4,m )在该直线上.(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)将线段AC 沿着y 轴向上或向下平移,使平移后的线段AᶄCᶄ(点Aᶄ,Cᶄ分别为点A ,C 的对应点)与该抛物线只有一个公共点,设点Aᶄ的纵坐标为n ,求n 的取值范围.解:(1)将点A (0,1),B (3,7)代入y =2x 2+bx +c ,得c =1,2ˑ32+3b +c =7,{解得b =-4,c =1,{ʑy =2x 2-4x +1=2(x -1)2-1,ʑ该抛物线的顶点坐标为(1,-1);(2)将C(4,m)代入y=2x+1得,m=2ˑ4+1=9,ʑC(4,9),当x=4时,y=2x2-4x+1=2ˑ42-4ˑ4+1=17.①若线段AC向上平移,当线段AC向上平移17 -9=8个单位时,线段AᶄCᶄ与抛物线有一个交点Cᶄ(4,17),此时点Aᶄ的坐标为(0,9).若向上平移超过8个单位,则抛物线与线段AᶄCᶄ没有交点,ʑ1<nɤ9;②若线段AC向下平移,设线段AC向下平移a个单位,令2x+1-a=2x2-4x+1,整理得2x2-6x+a=0,令(-6)2-4ˑ2a=0,解得a=92,ʑn=1-92=-72,综上所述,n的取值范围为1<nɤ9或n=-72.2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+4x+c(a ʂ0)经过点A (3,-4)和B (0,2).(1)求抛物线的表达式和顶点坐标;(2)将抛物线在A ,B 之间的部分记为图象M (含A ,B 两点).将图象M 沿直线x =3翻折,得到图象N.若过点C (9,4)的直线y =kx +b 与图象M ㊁图象N 都相交,且只有两个交点,求b 的取值范围.解:(1)将点A (3,-4)和B (0,2)代入抛物线y =ax 2+4x +c (a ʂ0),可得9a +12+c =-4,c =2,{解得a =-2,c =2,{ʑ抛物线的表达式为y =-2x 2+4x +2.ȵy =-2x 2+4x +2=-2(x -1)2+4,ʑ抛物线的顶点坐标为(1,4);(2)设点B (0,2)关于x =3的对称点为Bᶄ,则点Bᶄ(6,2).如解图,若直线y =kx +b 经过点C (9,4)和Bᶄ(6,2),可得b =-2.若直线y =kx +b 经过点C (9,4)和A (3,-4),可得b =-8.当直线y =kx +b 平行x 轴时,b =4,综上所述,第2题解图考向二㊀动抛物线与定线段(直线) 1.已知:抛物线y=x2-2x+3a+1(a为常数).(1)当a=1时,求该抛物线的顶点坐标;(2)抛物线上有两点M(-1,yM ),N(2,yN),请比较y M与y N的大小;(3)在平面直角坐标系中,若该抛物线在xɤ3的部分与直线y=2x-3有两个交点,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,抛物线为y=x2-2x+4=(x-1)2+3,则该抛物线的顶点坐标为(1,3);(2)由题意易知抛物线的对称轴为直线x= --22ˑ1=1,ȵ抛物线开口向上,且1-(-1)=2,2-1=1,2>1,ʑy M>y N;(3)ȵ二次函数的图象在xɤ3的部分与一次函数y=2x-3的图象有两个交点,令x2-2x+3a+1=2x-3,整理得x2-4x+3a+4=0,由根的判别式得16-4(3a+4)>0,解得a<0,把x=3代入y=2x-3,得y=3ˑ2-3=3,把(3,3)代入y=x2-2x+3a+1得3=9-6+3a+1,解得a=-13,ʑa的取值范围为-13ɤa<0.2.(2021燕山区二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax-3a(aʂ0).(1)求抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标;(2)已知点B(3,4),将点B向左平移3个单位长度,得到点C.若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.解:(1)ȵ抛物线y=ax2-2ax-3a,ʑ抛物线的对称轴是直线x=--2a2a=1,令x=0,则y=-3a,ʑ抛物线与y轴交点坐标为(0,-3a); (2)y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x-3)=a(x+1)(x-3),ʑ抛物线与x轴交于点A(-1,0),D(3,0),与y 轴交于点E(0,-3a),顶点坐标是(1,-4a).由题意得点C(0,4),B(3,4),①当a>0时,如解图①,显然抛物线与线段BC 无公共点;②当a<0时,若抛物线顶点在线段BC上,如解图②,则顶点坐标为(1,4),ʑ-4a=4,ʑa=-1;③当a<0时,若抛物线的顶点不在线段BC上,如解图③,ȵ抛物线与线段BC恰有一个公共点,ʑ-3a>4,ʑa<-43,综上所述,a的取值范围是a<-43第2题解图考向三㊀动抛物线与动直线1.(2021西城区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2a2x+1(aʂ0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B.(1)直接写出抛物线的对称轴;(2)若AB=4,求抛物线所对应的函数解析式;(3)已知点P(a+4,1),Q(0,a+1),如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.解:(1)抛物线的对称轴为直线x=a;ʌ解法提示ɔȵ抛物线y=ax2-2a2x+1(aʂ0),ʑ抛物线的对称轴为直线x=--2a22a=a. (2)由题意可知抛物线的对称轴为直线x=ʃ2,ʑa=ʃ2,ʑ抛物线所对应的函数解析式为y=2x2-8x+1或y=-2x2-8x+1;(3)当a>0时,如解图①,抛物线过点P(a+4, 1)时,则a+42=a,解得a=4,ʑQ(0,5),此时,抛物线与线段PQ有一个公共点.当a<0时,如解图②,抛物线过点P(a+4,1)时,a+4=0,解得a=-4,㊀图②第1题解图此时,Q(0,-3),抛物线与线段PQ有一个公共点;综上所述,当0<aɤ4或-4ɤa<0时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点.类型三㊀整点问题1.(2021顺义区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a(a>0)与y轴交于点A.(1)求点A和抛物线顶点的坐标(用含a的式子表示);(2)直线y=-ax+3a与抛物线y=ax2-4ax+3a围成的区域(不包括边界)记作G.横㊁纵坐标都为整数的点叫做整点.①当a=1时,结合函数图象,求区域G中整点的个数;②当区域G中恰有6个整点时,直接写出a的取值范围.解:(1)ȵy=ax2-4ax+3a=a(x-2)2-a,ʑ抛物线的顶点的坐标为(2,-a).ȵ抛物线y=ax2-4ax+3a(a>0)与y轴交于点A,ʑA(0,3a);(2)①当a=1时,直线y=-x+3,抛物线y=x2-4x+3,可得直线y=-x+3与抛物线y=x2-4x+3的交点为(3,0),(0,3);则(1,1),(2,0)是区域G中的两个整点,即区域G中整点的个数为2个;②32<aɤ2.ʌ解法提示ɔ联立直线y=-ax+3a与抛物线y= ax2-4ax+3a,可得交点为(0,3a),(3,0),ʑ区域G由0ɤxɤ3,-aɤyɤ3a组成;当x=1时,与直线的交点为(1,2a),与抛物线的交点为(1,0),同理可得,当x=2时,与直线的交点为(2,a),与抛物线的交点为(2,-a),区域G中的整点不包括边界,整点有6个,如解图,当0<a< 1时,G中最多有1个整点;当a=1时,G中有2个整点;当1<aɤ1.5时,G中最多有5个整点;当1.5<aɤ2时,G中最多有6个整点;当2<aɤ3.5时,G中最多有13个整点;ʑ当32<aɤ2时,区域G中恰有6个整点.第1题解图2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax+ a-1(其中a是常数,a>0)与y轴交于点A.我们将横㊁纵坐标都是整数的点叫做 整点 .(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)如果线段OA(包含端点)上的 整点 个数大于3个且小于8个,求a的取值范围;(3)若抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有6个整点,求a的取值范围.解:(1)ȵy=ax2-2ax+a-1=a(x-1)2-1,ʑ该抛物线的顶点坐标为(1,-1);(2)ȵ点A为抛物线与y轴的交点,ʑ点A的坐标为(0,a-1).ȵa>0,线段OA(包含端点)上的整点个数大于3个且小于8个,则a-1>2,且a-1<7,ʑa的取值范围为3<a<8;(3)当a=1时,抛物线的解析式为y=x2-2x,如解图,此时抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有4个整点,第2题解图当a=14时,抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有6个整点,当a=19时,抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有8个整点,ȵ抛物线的顶点坐标为(1,-1),ʑ要使抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有6个整点,则x=-2所对应的y值要大于0,且x =-1所对应的y值小于等于0,ʑ4a+4a+a-1>0,a+2a+a-1ɤ0,解得a>19,且aɤ14,ʑ当抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有6个整点时,a的取值范围为19<aɤ14.。
二次函数基础练习题(含答案)
二次函数练习题〔一〕1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s 〔米〕与时间t 〔秒〕的数据如下表：写出用t 表示s 的函数关系式. 2、 以下函数：① 23yx ；②()21y x x x =-+；③()224y x x x =+-；④ 21yx x ；⑤()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a，b，c3、当m 时，函数()2235y m x x =-+-〔m 为常数〕是关于x 的二次函数 4、当____m =时，函数2221mm ym m x 是关于x 的二次函数5、当____m =时，函数()2564m m y m x-+=-+3x 是关于x 的二次函数6、假设点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，那么 A 点的坐标是＿＿＿＿. 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2中，s 与 r 的关系是〔 〕A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x 〔cm 〕的小正方形，用余下的局部做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的外表积S 〔cm 2〕与小正方形边长x 〔cm 〕之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的外表积．9、矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，那么猪舍的总面积S 〔米2〕与x 有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？二次函数练习题〔二〕-----函数2ax y =的图象与性质1、填空：〔1〕抛物线221x y =的对称轴是〔或 〕，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 〔2〕抛物线221x y -=的对称轴是 〔或 〕，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 2、对于函数22x y =以下说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的选项是 . 3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是〔 〕A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2〔g ＝9.8〕，那么 s 与 t 的函数图像大致是〔 〕A B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是〔 〕A ．B ．C ．D ．6、函数24mm y mx 的图象是开口向下的抛物线，求m 的值.s tOstO stOs tO7、二次函数12-=m mx y 在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值.8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系.9、函数()422-++=m mx m y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？10、如果抛物线2y ax 与直线1y x =-交于点,2b ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.-----函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小. 2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的选项是 . 4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 〔填大或小〕值，是 .5、函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，那么m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，假设当x 取x 1、x 2〔x 1≠x 2〕时，函数值相等，那么当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .-----函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 .2、试写出抛物线23x y =经过以下平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标. 〔1〕右移2个单位；〔2〕左移32个单位；〔3〕先左移1个单位，再右移4个单位.3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质〔至少2个〕.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6.〔1〕求出此函数关系式.〔2〕说明函数值y 随x 值的变化情况.7、抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.-----()k h x a y +-=2的图象与性质1、请写出一个二次函数以〔2, 3〕为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.5、 抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，那么抛物线的关系式是6、 如下图，抛物线顶点坐标是P 〔1，3〕，那么函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是〔 〕 A 、x>3 B 、x<3 C 、x>1 D 、x<17、函数()9232+--=x y .（1） 确定以下抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4） 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离；（5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？8、函数()412-+=x y .（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 假设图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积；（3） 指出该函数的最值和增减性；（4） 假设将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；（5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（6） 画出该函数图象，并根据图象答复：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0.二次函数练习题〔六〕-----c bx ax y ++=2的图象和性质1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为〔0，3〕的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，那么 y ＝＿＿＿＿.5、把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，那么两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________； 7、函数x x y +-=22有最____值，最值为___ ____；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，那么b 与c 分别等于〔 〕 A 、6，4 B 、－8，14 C 、－6，6 D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为〔 〕 A 、22 B 、23 C 、32 D 、3310、通过配方，写出以下函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： 〔1〕12212+-=x x y ； 〔2〕2832-+-=x x y ； 〔3〕4412-+-=x x y11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，假设有，求出该最大值；假设没有，说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标13、一次函数的图象过抛物线223y x x 的顶点和坐标原点1） 求一次函数的关系式；2） 判断点()2,5-是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，假设将每台提高一个单位价格，那么会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？二次函数练习题〔七〕-----c bx ax y ++=2的性质1、函数2yx px q 的图象是以3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为 2、二次函数2224y mx x mm 的图象经过原点，那么此抛物线的顶点坐标是3、如果抛物线2yax bxc 与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x ，那么ac b4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，那么b 的值为______.5、二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图，那么a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么直线bc ax y +=的图象不经过第 象限. 7、二次函数2yax bx c 〔0≠a 〕的图象如下图，那么以下结论：1〕,a b 同号； 2〕当1x和3x 时，函数值相同；3〕40ab；4〕当2422b b acy a-±-=-时，x 的值只能为0； 其中正确的选项是 8、二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，那么m= 9、二次函数2yx ax b 中，假设0a b ，那么它的图象必经过点〔 〕A ()1,1--B ()1,1-C 1,1D ()1,1-10、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如下图，那么以下选项中正确的选项是〔 〕 A 、0,0>>c ab B 、0,0><c ab C 、0,0<>c ab D 、0,0<<c ab111、函数c bx ax y ++=2的图象如下图，那么函数b ax y +=的图象是〔 〕12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有〔 〕A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 13、抛物线的图角如图，那么以下结论： ①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是〔 〕.〔A 〕①② 〔B 〕②③ 〔C 〕②④ 〔D 〕③④ 14、二次函数2y ax bxc 的最大值是3a ，且它的图象经过()1,2--，1,6两点，求a 、b 、c15、试求抛物线2y ax bx c 与x 轴两个交点间的距离〔240b ac 〕二次函数练习题〔八〕-----确定二次函数解析式1、抛物线y=ax 2+bx+c 经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，那么a= , b= , c=2、把抛物线y=x 2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，那么所得的抛物线的解析式为 .3、 二次函数有最小值为1，当0x 时，1y ，它的图象的对称轴为1x ，那么函数的关系式为4、根据条件求二次函数的解析式〔1〕抛物线过〔-1，-6〕、〔1，-2〕和〔2，3〕三点〔2〕抛物线的顶点坐标为〔-1，-1〕，且与y 轴交点的纵坐标为-3 〔3〕抛物线过〔－1，0〕，〔3，0〕，〔1，－5〕三点；〔4〕抛物线在x 轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是〔3，－2〕；5、二次函数的图象经过1,1、2,1两点，且与x 轴仅有一个交点，求二次函数的解析式6、抛物线y=ax 2+bx+c 过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线y=3x-3上，a<0,求此二次函数的解析式.7、二次函数的图象与x 轴交于A 〔-2，0〕、B 〔3，0〕两点，且函数有最大值是2. （1） 求二次函数的图象的解析式；（2） 设次二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积.8、以x 为自变量的函数)34()12(22-+-++-=m m x m x y 中，m 为不小于零的整数，它的图象与x 轴交于点A 和B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b 的图象经过点A ，与这个二次函数的图象交于点C ，且ABC S ∆=10,求这个一次函数的解析式.二次函数练习题〔九〕-----二次函数与方程和不等式1、二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，那么k 的取值范围是 .2、关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，那么抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限；3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为〔 〕 A 、0 B 、1 C 、2 D 、以上都不对4、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是〔 〕 A 、0,0>∆>a B 、0,0<∆>a C 、0,0>∆<a D 、0,0<∆<a5、12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，假设有一个交点在x 轴上，那么k 为〔 〕 A 、0 B 、-1 C 、2 D 、416、假设方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线〔 〕A 、x ＝－3 B 、x ＝－2 C 、x ＝－1 D 、x ＝1 7、二次函数2y x px q 的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为1,0，求,p q 的值。
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九年级数学下册第2章二次函数练习题
一、选择题
1．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则它的对称轴是( )
A ．a
b x -
= B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3 2. 函数y=x 2+2x －2写成y=a （x －h ）2+k 的形式是（ ）．
A ．y=（x －1）2+2
B ．y=（x －1）2+1
C ．y=（x+1）2－3
D ．y=（x+2）2－1 3. 将抛物线
绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ）
A.
B. C. D. 4．二次函数
与x 轴的公共点个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）
6．已知函数42
12--=x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＞－2 D ．－2＜x ＜4
7．小颖在二次函数y=2x 2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点（－1，y 1），（2，y 2），
（－3，y 3），则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（ ）．
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 2＞y 3＞y 1
C ．y 3＞y 1＞y 2
D ．y 3＞y 2＞y 1
8.．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a ＋b ＋
c ＝2；2
1>a ③；④b ＜1．其中正确的结论是( )
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
9. 把抛物线y =x +bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析
式为y = x -3x ＋5，则（ ）
A ．b =3，c =7
B ．b =6，c =3
C ．b =9，c =5
D ．b =9，c =21
10. 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线
的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是（ ）
A ．3.5m
B ．4m
C ．4.5m
D ．4.6m
二、填空题1.若 y =（ m 2+ m ）x m2 – 2m －
1是二次函数，则m =___________．
2.将抛物线y=2x 2－4x+1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数关系式
是_______________． 3. 已知抛物线与x 轴的交点是
、B （1，0），且经过点C （2，8）。
则解析式为_______ 4.．已知函数42
12--=x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是 _______ 5．二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且a －b ＋c 0 a ＋b ＋c 0
6．如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是_________．
第 第10题
7．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程
的解为_________．
8．直线y=2x 1与抛物线y=x 2的公共点坐标是______________．
9. 二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方，m的取值范围是______________。
10. 观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是____________；
三.解答：
1、已知一次函数y=－2x+c与二次函数y=ax2+bx－4的图象都经过点A（1，－1），二次函数的对称轴直线是x=－1，
（1）请求出一次函数和二次函数的表达式．
（2）指出二次函数值大于一次函数值的自变量X取值范围。
2、.已知抛物线的顶点P(3，-2)且与x轴交于点A（1，0）。
与x轴的另一个交点是B
点(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积等于12，若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由。
3．如图①，已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四
边形为平行四边形，求D点的坐标；
(第6题图)。