二次函数综合题训练(含答案)
求二次函数解析式-综合题-练习+答案
求二次函数解析式：综合题例1 已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式．分析：本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)．那么显然有∴x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．因此，有ax2+bx＋c=a(x-x1)(x-x2)∴抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (*)(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)我们将(*)称为抛物线的两根式．对于本例利用两根式来解则更为方便．解：∵抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x-1)又∵抛物线过M(0，1)，将x=0，y=1代入上式，解得a=-1∴函数解析式为y=-x2＋1．说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：①三项条件确定二次函数；②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；③二次函数的解析式有三种形式：究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定．例2 由右边图象写出二次函数的解析式．分析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点．解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)．设解析式为y=a(x＋1)2+2∵过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为y=-2(x+1)2+2，即y=-2x2-4x．说明：已知顶点坐标可以设顶点式．本题也可设成一般式y=ax2+bx＋c，∵过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，本题还可以用过点(0，0)，(-2，0)而设解析式为y=a(x+2)·x再将顶点坐标(1，2)代入求出a．例3 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)在y轴上截距为-2．分析：(1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2 解：(1)设y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)∴设a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8∴解析式y=2x2+4x-6(2)∵图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x 轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．(3)∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y 随x增大而减小∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n∵过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2)说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx＋c，得：题(2)充分利用对称性可简化计算．例4 已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，±2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法．解法(一)：∵抛物线的对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2，∴顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．故设二次函数式y=a(x＋1)2＋2或y=a(x+1)2-2又∵抛物线经过点A(-3，0)∴0=a(-3＋1)2＋2或0=a(-3＋1)2-2所求函数式是解法(二)：根据题意：设函数解析式为y=ax2＋bx＋c ∵点A(-3，0)在抛物线上∴0=9a-3b＋c ①又∵对称轴是x=-1∵顶点M到x轴的距离为2解由①，②，③组成的方程组：∴所求函数的解析式是：解法(三)：∵抛物线的对称轴是x=-1又∵图象经过点A(-3，0)∴点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)∴设函数式为y=a(x+3)(x-1)把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得2=a(-1＋3)(-1-1)或-2=a(-1＋3)(-1-1)解关于a的方程，得∴所求函数式为：说明：比较以上三种解法，可以看出解法(一)和解法(三)比解法(二)简便．M点到x轴的距离为2，纵坐标可以是2，也可以是-2，不要漏掉一解．例5 已知抛物线y=x2-6x＋m与x轴有两个不同的交点A 和B，以AB为直径作⊙C，(1)求圆心C的坐标．(2)是否存在实数m，使抛物线的顶点在⊙C上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．分析：(1)根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点．(2)依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在⊙C上，需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于⊙C的半径长，依据这个条件，列出关于m的方程，求出m值后再由已知条件做出判断．解：(1)∵y=x2-6x＋m=(x-3)2+m-9∴抛物线的对称轴为直线x=3∵抛物线与x轴交于A和B两点，且AB是⊙C的直径，由抛物线的对称性∴圆心C的坐标为(3，0)(2)∵抛物线与x轴有两个不同交点∴△=(-b)2-4m＞0，∴m＜9设A(x1，0)，B(x2，0)∵抛物线的顶点为P(3，m-9)解得：m=8或m=9∵m＜9，∴m=9舍去∴m＝8∴当m=8时，抛物线的顶点在⊙C上．说明“存在性”问题是探索性问题的主要形式．解答这类问题的基本思路是：假设“存在”—→演绎推理—→得出结论(合理或矛盾)．例6 已知抛物线y=ax2＋bx＋c，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)．又知方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根平方和等于40．(1)求抛物线的解析式；(2)试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方且使S△PAB=2S△CAB．如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．分析：求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式，通过解方程组求出系数也就得到解析式．第(2)问中问是否存在那么假设存在进行推理，从而判断存在或不存在．解：(1)由题设条件得∴抛物线顶点为(2，4)．又A点坐标为(-2，0)，而△ABC与△PAB同底，且当P点位于抛物线顶点时，△PAB面积最大．显然，S△PAB=16＜2S△ABC=2×12=24．故在x轴上方的抛物线上不存在点P使S△PAB=2S△CAB．例7 在一块底边长为a，高为h的三角形的铁板ABC上，要截出一块矩形铁板EFGH，使它的一边FG在BC边上，矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大．分析：问题问“矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大”，所以题目的目标是矩形面积(S)而自变量就是EF的长(x)，因此问题的关键就是用EF(x)表示矩形面积S，这就要用EF表示出EH．解：设内接矩形EFGH中，AM⊥BC，∵EH∥BC，设EF=x(0＜x＜h)则AN=h-x设矩形EFGH的面积为S说明：解决联系实际的问题，又与几何图形有关就应综合应用几何、代数知识，利用相似成比例列出函数式再求最值．例8 二次函数y=ax2＋bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，(1)求二次函数的解析式；(2)求原点O到直线AB的距离．分析：为直线x=3，来求系数a，b．注意根与系数关系定理的充分应用．为求原点O到直线AB的距离要充分利用三角形特征和勾股定理．解： (1)如图，由已知，有∴(x1+x2)2-2x1x2=26，∴a=-1．∴解析式为y=-x2＋6x-5=-(x-3)2＋4．(2)∵OB=5，OC=4，AC=3，∴△AOB为等腰三角形，作OD⊥AB于D，说明：有部分学生把二次函数的顶点坐标记错，也有的学生不会用“根与系数的关系”，得不出解析式．有不少学生没有发现△AOB是等腰三角形，若发现为等腰三角形，OD 是底边AB的高，利用勾股定理就迎刃而解了．发生错误的原因，没记熟抛物线的顶点坐标公式，有的学生记下来了，但与两个根如何综合使用发生了问题，有些学生求点O到直线AB的距离，没有分析出图形与数量关系，其实△AOB是等腰三角形，知道这一性质求OD的数据就方便多了．纠正错误的办法，加强抛物线顶点坐标的学习、顶点坐标与巧用“根与系数的关系”的学习；另外，也要加强寻找特殊点的学习．一般说，无论多难的题目，总是有解题规律的．在几何图形中，经过认真分析，有的题目总含等边三角形、等腰三角形、直角三角形．例9 设A，B为抛物线y=-3x2-2x＋k与x轴的两个相异交点，M为抛物线的顶点，当△MAB为等腰直角三角形时，求k的值．分析：首先按题意画出图形，再运用抛物线的对称性挖掘题中的隐含条件，来解答本题，得出解后要分析解的合理性进行取舍．解：∵抛物线与x轴有两个相异交点，故△＞0，即(-2)2-4·(-3)k＞0，解关于k的不等式，得根据题意，作出图象，如图设N为对称轴与x轴的交点，由抛物线的对称性知，N 为AB中点．∵∠AMB＝Rt∠，且MN的长即为M点的纵坐标，又设A点坐标(x1，0)，B点坐标(x2，0)，则有解关于k的方程，得∴k＝0．说明：本题有一个重要的隐含条件，即要使抛物线与x 轴有两个相异交点，应首先满足△＞0．(2)本题要求学生会运用抛物线的对称性观察图形，联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个重要定理，找到等量关系，列出关于k的方程，如果没有这种灵活运用定理的能力，将得不到关于k的方程，难以求解．例10 某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每提价1元(每件)，日销售量就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少时，才能使每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？分析：此题主要涉及两个量，即售出价和每天获得的利润．而每天获得的利润是随着售出价的改变而改变的，所以要找到二者的函数关系式，应把售出价设为自变量，把每天获得的利润看作是售出价的函数．这样，再根据已知条件，就可列出二者的函数关系式．解：设该商品的售出价定为x元／件时，每天可获得y 元的利润．即每件提价(x-20)(元)，每天销售量减少10(x-20)(件)，也就是每天销售量为[100-10(x-20)](件)，每件利润(x-18)(元)根据题意，得：y＝(x-18)[100-(x-20)×10]=-10x2+480x-5400=-10(x-24)2+360．(20≤x≤30)y是x的二次函数∵a=-10＜0，20≤24≤30∴当x=24时，y有最大值为360．答：每件售出价为24元时，才能使每天获得的利润最大，每天的最大利润是360元．例11 改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点F到A 点的距离是多少？分析：要求点F到A点的距离，也就是求A、F两点横坐标的差．又A点横坐标为0，所以只需求出F点横坐标．F 点在抛物线上是抛物线与x轴的交点，所以要根据已知条件，求出抛物线的解析式．解：过C点作CD⊥Ox于D，BE⊥CD于E，则有CE=BE ＝2，AB=DE=1.5，则B(0，1.5)，C(2，3.5)．∵C为抛物线的最高点，例12 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图．地导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米(即图中E点)．(1)若导弹运行轨道为一抛物线，求抛物线的解析式；(2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由．分析：题中的实际条件转化成数学意义就是已知抛物线的顶点E，而且过点D求抛物线的解析式以及判断C是否在曲线上．解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3(2)设C(x0，y0)，过C点作CB⊥Ox，垂足为B．在Rt△OBC 和Rt△ABC中，OA=1，例13 已知函数y1=-x2+b1x+c1与x轴相交于原点O(0，0)和点A(4，0)，若函数y2=-x2+b2x+c2，(b1≠b2)也经过点A，且y1与y2的顶点所在直线平行于x轴．(1)求两个函数的解析式．(2)当x为何值时，y1＜y2．分析：解答第(1)题的关键是求y2的解析式，由题意可知a1=a2=-1，因此可以判断两条抛物线的形状和开口方向都相同，再利用y1与y2的顶点所在直线平行于x轴，可判断出y1和y2在x轴上截得的线段长相等，从而求出y2与x轴另一个交点B(8，0)，由A，B点都是抛物线与x轴交点，可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)形式解：(1)∵y1=-x2+b1x+c1过点O(0，0)，A(4，0)∴0=0＋0＋c1 ∴c1=00=-16+4b1+0 ∴b1=4∴函数y1=-x2+4x∵a1=a2=-1∴两条抛物线的形状，开口方向相同．又∵y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等∵b1≠b2，y1与y2都经过A(4，0)点∴y2与x轴的另一个交点是点B(8，0)y2=-(x-4)(x-8)=-x2＋12x-32注：以上求y2的解析式是采用数、形结合的方法，进行推理得到的，此外，也可用计算方法求到b2和c2，然后写出y2的解析式，具体解法如下：∵y1的顶点是(2，4)y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等，y2又过点A(4，0)∵b1=4，而b1≠b2 ∴b′2=4(舍去)∴y2=-x2+12x-32解：(2)若要使y1＜y2只要使-x2+4x＜-x2+12x-32即可解不等式，得x＞4∴当x＞4时，y1＜y2例14 m是怎样的数值时，二次函数y＝(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．分析：二次函数的图象与x轴的负方向交于两个不同点的条件是二次项系数不为零，判别式大于零，两根之和小于零，两根之积大于0．(所谓两根是这个函数对应的一元二次方程的两根)解：设二次函数与x轴两交点的横坐标为x1，x2．要使它的图象与x轴两交点都在x轴的负方向上，应满足不等式组：解得1＜m＜2．答：当1＜m＜2时，二次函数y=(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．对二次函数式中的m不知代表什么，也无从下手求m．当抛物线与x轴相交时，y=0，两个交点的横标即为方程的两个根，两个根在原点的左方，列不出算式，不知道列出这种算式与“根与系数的关系”有关．总之有不少学生没有掌握二次函数与一元二次方程的内在联系而解题失败．发生错误的原因，不知道在一元二次函数式中的m其实质是参数．一元二次方程的根在直角坐标系x轴上的分布理论如何表达，许多学生不清楚．解不等式功底不深厚也会发生错误．纠正错误的办法，加强一元二次函数式的学习，m属于实数，任给m一个数值，就存在一条具体数值的抛物线，给出m的数值是无穷的，随着m值的不同也产生了不同的抛物线，可用“抛物线族”这个名词去表达本题的一元二次函数表达式所勾勒的抛物线是无穷无尽的．另外也要加强方程理论、根与系数关系、根的判别式的学习．例15 已知抛物线l：y=x2-(k-2)x+(k+1)2．(1)证明：不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2＋12x＋9上；(2)要使抛物线y=x2-(k-2)x＋(k＋1)2和x轴有两个不同的交点A，B，求k的取值范围；(3)当(2)中的A，B间距离取得最大值时，设这条抛物线顶点为C，求此时的k值和∠ACB的度数．分析：把l的顶点坐标用k的代数式表示分别代入y=3x2+12x+9的左、右后能使两边相等说明顶点在抛物线y=3x2+12x+9上．抛物线与x轴交点的情况就是相应一元二次方程有无实根的情况．AB间距离又可列出反的二次函数．解：∴左边=右边，所以不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y＝3x2+12x+9上．(2)欲使抛物线l与x轴有两个交点，则△＞0，即△=[-(k-2)]2-4(k+1)2=-3k2-12k＞0，解之，-4＜k＜0．(3)当-4＜k＜0时，抛物线l与x轴有两个不同的交点A，B，设A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＞x2，x1＋x2＝k-2，x1x2＝(k＋1)2，说明：不明白“不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2+12x+9”上这句话的意思，实质上就是方程与曲线的关系，点在曲线上，即点的坐标满足曲线的方程；将抛物线顶点坐标的表达式代入抛物线函数式左右相等，即达到(1)提问；不知道抛物线与x轴相交，是△＞0，无法运算而失败；不知道用“根与系数的关系”以及截距公式，不会巧用“根与系数的关系”，求不出最大值，因而求不出y=ax2＋bx＋c(a≠0)的a，b，c，使该题后面的提问无法进行；在x轴与抛物线顶点所构造出的三角形中，求边长时没有绝对值的概念、正切函数值不熟悉而求不出∠ACB=60°．发生错误的原因，本题是综合题，而且是中考的考题，要顺利而正确地回答出本题所有答案，从初一至初三所学的数学知识应该牢固掌握，第一问求出抛物线顶点坐标表达式，将表达式代入(1)的函数式，若相等，即满足了函数式的要求，按初中阶段属于验根的手段，按高中就是曲线与方程的关系了．这个不难的问题为什么学生束手无策呢？只是用文字表示了顶点坐标，很抽象，不易理解．本题的难度之一是出现了“k”，这个“k”其本质起到了参数作用．有些精品文档。
二次函数难题综合(附答案)
庞圣洁（二次函数难题）之马矢奏春创作创作时间：二零二一年六月三十日一．选择题（共22小题）1．（•陕西模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M （﹣1,2）和点N（1,﹣2）,交x轴于A,B两点,交y轴于C．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上；④若a=1,则OA•OB=OC2．以上说法正确的有（）A．①②③④B．②③④ C．①②④ D．①②③2．（•泰安模拟）如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧）,动点P从A点动身,先达到抛物线的对称轴上的某点E,再达到x轴上的某点F,最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为（）A．B．C． D．3．（•潍坊模拟）若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数,则c的取值范围是（）A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤14．（•天桥区一模）如图,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A,B两点,且点A的横坐标是﹣2,点B的横坐标是3,则以下结论：①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的极点一定是原点；②x＞0时,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增年夜而增年夜；③AB的长度可以即是5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时,ax2+kx＜b,其中正确的结论是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤5．（•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,若M=a+b﹣c,N=4a﹣2b+c,P=2a﹣b．则M,N,P中,值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．（•杭州模拟）关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,则下列结论：①2a+b＜0；②ab＜0；③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④抛物线y=2x2+ax+b﹣2的极点在第四象限．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（•无锡校级三模）已知抛物线y=﹣x2+1的极点为P,点A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结PA、PD,PD交AB于点E,△PAD与△PEA相似吗？（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB=AD时相似 D．无法确定8．（•杭州模拟）下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时,有三个公共点；②m=3时,只有两个公共点；③若只有两个公共点,则m=3；④若有三个公共点,则m≠3．其中描述正确的有（）个．A．一个B．两个C．三个D．四个9．（•黄石）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α,β,且α＜β,则α,β满足（）A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞210．（•盐城模拟）如图,分别过点Pi（i,0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线,交的图象于点Ai,交直线于点Bi．则的值为（）A．B．2 C．D．11．（•西湖区校级模拟）已知二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1,y1）,B（2,y2）C（4,y3）,则y1、y2、y3的年夜小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y212．（•乐山）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|,则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定13．（•包头）已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最年夜值,且ac=4,则二次函数的极点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（•蚌埠自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,Q （n,2）是图象上的一点,且AQ⊥BQ,则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣215．（•秀洲区一模）已知点A（x1,y1）,B（x2,y2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）上,若x1＜x2,x1+x2=1﹣a,则（）A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1与y2年夜小不能确定16．（•天河区一模）如图,二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A,B的坐标分别为（1,﹣3）,（6,1）,当y1＞y2时,x的取值范围是（）A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞117．已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函数值始终是正的,则a的取值范围（）A．a＞B．a＜0或a＞C．D．18．（•荣县校级二模）已知直线经过点A（0,2）,B（2,0）,点C 在抛物线y=x2的图象上,则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．119．（•下城区校级模拟）关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2,以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值,抛物线总经过点（1,0）；③若m＞6,抛物线交x轴于A、B两点,则AB＞1；④抛物线的极点在y=﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（）A．①②③④B．①②③ C．①②④ D．②③④20．（•湖州）已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c,0）,以该抛物线与坐标轴的三个交点为极点的三角形面积为S,则S可暗示为（）A．|2+b||b+1| B．c（1﹣c）C．（b+1）2 D．21．（•茂名）下列四个函数：①y=kx（k为常数,k＞0）②y=kx+b（k,b为常数,k＞0）③y=（k为常数,k＞0,x＞0）④y=ax2（a为常数,a＞0）其中,函数y的值随着x值得增年夜而减少的是（）A．①B．②C．③D．④22．（•碑林区校级一模）已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3,而且a,b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根,则实数m,n,a,b的年夜小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b二．解答题（共8小题）23．（•本溪）如图,直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为C,连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上,连接MB,当∠MBA+∠CBO=45°时,求点M的坐标；（3）点P从点C动身,沿线段CA由C向A运动,同时点Q从点B 动身,沿线段BC由B向C运动,P、Q的运动速度都是每秒1个单元长度,当Q点达到C点时,P、Q同时停止运动,试问在坐标平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻,以C、D、P、Q为极点的四边形为菱形？若存在,直接写出点D的坐标；若不存在,说明理由．24．（•黔南州）如图,在平面直角坐标系中,极点为（4,﹣1）的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点（点B在点C的左侧）,已知A点坐标为（0,3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问：当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最年夜？并求出此时P点的坐标和△PAC的最年夜面积．25．（•遵义）如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A （3,0）,B（﹣1,0）,与y轴交于点C．若点P,Q同时从A点动身,都以每秒1个单元长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点达到端点时,另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为极点的三角形为等腰三角形？若存在,请求出E点坐标；若不存在,请说明理由．（3）当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标．26．（•兰州）如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A（﹣1,0）,C（0,2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在,直接写出P点的坐标；如果不存在,请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最年夜？求出四边形CDBF的最年夜面积及此时E点的坐标．27．（•义乌市）如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C 三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l于点H,连结OP,试求△OPH的面积；②当m=﹣3时,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F．是否存在这样的点P,使以P,E,F为极点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．28．（•黄冈模拟）已知：如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3,0）、B（6,0）,与y轴的交点是C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x,y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点,过点P作PQ∥y 轴交直线BC于点Q．①当x取何值时,线段PQ的长度取得最年夜值,其最年夜值是几多？②是否存在这样的点P,使△OAQ为直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．29．（•武汉）如图,已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A,B两点．（1）直线AB总经过一个定点C,请直接出点C坐标；（2）当k=﹣时,在直线AB下方的抛物线上求点P,使△ABP的面积即是5；（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°,求点D到直线AB的最年夜距离．30．（•六盘水）如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点,并经过B点,已知A点坐标是（2,0）,B点的坐标是（8,6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的极点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC,并延长BC交抛物线于E点,连接BD,DE,求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P,与A,D两点构成△ADP,是否存在S△ADP=S△BCD？若存在,请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．庞圣洁（二次函数难题）参考谜底与试题解析一．选择题（共22小题）1．（•陕西模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M （﹣1,2）和点N（1,﹣2）,交x轴于A,B两点,交y轴于C．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上；④若a=1,则OA•OB=OC2．以上说法正确的有（）A．①②③④B．②③④ C．①②④ D．①②③【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】①二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1,2）和点N（1,﹣2）,因而将M、N两点坐标代入即可消去a、c解得b值．②根据图象的特点及与直线MN比力,可知当﹣1＜x＜1时,二次函数图象在直线MN的下方．③同②理．④当y=0时利用根与系数的关系,可获得OA•OB的值,当x=0时,可获得OC的值．通过c建立等量关系求证．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1,2）和点N（1,﹣2）,∴,解得b=﹣2．故该选项正确．②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c,a＞0∴该二次函数图象开口向上∵点M（﹣1,2）和点N（1,﹣2）,∴直线MN的解析式为y﹣2=,即y=﹣2x,根据抛物线的图象的特点肯定是当﹣1＜x＜1时,二次函数图象在y=﹣2x的下方,∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；方法二：由①可得b=﹣2,a+c=0,即c=﹣a＜0,所以二次函数图象与y轴交于负半轴．故该选项正确．③根据抛物线图象的特点,M、A、C三点不成能在同一条直线上．故该选项毛病．④当a=1时,c=﹣1,∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣1当y=0时,0=x2﹣2x+c,利用根与系数的关系可得x1•x2=c,即OA•OB=|c|,当x=0时,y=c,即OC=|c|=1=OC2,∴若a=1,则OA•OB=OC2,故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C．【点评】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、一元二次方程根与系数的关系、直线解析式简直定．2．（•泰安模拟）如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧）,动点P从A点动身,先达到抛物线的对称轴上的某点E,再达到x轴上的某点F,最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为（）A．B．C． D．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标,求得抛物线的对称轴,然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与直线x=的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得A′B′即是所求的长度．【解答】解：如图∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点,∴x2﹣x﹣=x﹣2,解得：x=1或x=,当x=1时,y=x﹣2=﹣1,当x=时,y=x﹣2=﹣,∴点A的坐标为（,﹣）,点B的坐标为（1,﹣1）,∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E,与x轴的交点是F,∴BF=B′F,AE=A′E,∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′,延长BB′,AA′相交于C,∴A′C=++（1﹣）=1,B′C=1+=,∴A′B′==．∴点P运动的总路径的长为．故选A．【点评】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键,还要注意数形结合与方程思想的应用．3．（•潍坊模拟）若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数,则c的取值范围是（）A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤1【考点】二次函数的性质；分式有意义的条件；函数自变量的取值范围．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据分式的意义,分母不即是0,得出x2﹣2x+c≠0,再根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质,可知当二次项系数a＞0,△＜0时,有y＞0,此时自变量x的取值范围是全体实数．【解答】解：由题意,得△=（﹣2）2﹣4c＜0,解得c＞1．故选C．【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义,必需满足分母不即是0．难点在于分母是关于自变量x的二次函数,要使自变量x的取值范围是全体实数,必需满足△＜0．4．（•天桥区一模）如图,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A,B两点,且点A的横坐标是﹣2,点B的横坐标是3,则以下结论：①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的极点一定是原点；②x＞0时,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增年夜而增年夜；③AB的长度可以即是5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时,ax2+kx＜b,其中正确的结论是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】①由极点坐标公式判断即可；②根据图象获得一次函数y=kx+b为增函数,抛物线当x年夜于0时为增函数,本选项正确；③AB长不成能为5,由A、B的横坐标求出AB为5时,直线AB与x 轴平行,即k=0,与已知矛盾；④三角形OAB不成能为等边三角形,因为OA与OB不成能相等；⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称,作出对称后的图象,故y=﹣kx+b与抛物线交点横坐标分别为﹣3与2,找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．【解答】解：①抛物线y=ax2,利用极点坐标公式得：极点坐标为（0,0）,本选项正确；②根据图象得：直线y=kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y=ax2（a≠0）当x＞0时为增函数,则x＞0时,直线与抛物线函数值都随着x的增年夜而增年夜,本选项正确；③由A、B横坐标分别为﹣2,3,若AB=5,可得出直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,故AB不成能为5,本选项毛病；④若OA=OB,获得直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,∴OA≠OB,即△AOB不成能为等边三角形,本选项毛病；⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称,如图所示：可得出直线y=﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3,2,由图象可得：当﹣3＜x＜2时,ax2＜﹣kx+b,即ax2+kx＜b,则正确的结论有①②⑤．故选B．【点评】此题考查了二次函数综合题,涉及的知识有：抛物线极点坐标公式,一次函数与二次函数的增减性,关于y轴对称点的性质,利用了数形结合的思想,熟练对称性质及数形结合思想是判毕命题⑤的关键．5．（•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,若M=a+b﹣c,N=4a﹣2b+c,P=2a﹣b．则M,N,P中,值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据图象获得x=﹣2时对应的函数值小于0,获得N=4a﹣2b+c的值小于0,根据对称轴在直线x=﹣1右边,利用对称轴公式列出不等式,根据开口向下获得a小于0,变形即可对P作出判断,根据a,b,c的符号判断得出a+b﹣c的符号．【解答】解：∵图象开口向下,∴a＜0,∵对称轴在y轴左侧,∴a,b同号,∴a＜0,b＜0,∵图象经过y轴正半轴,∴c＞0,∴M=a+b﹣c＜0当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c＜0,∴N=4a﹣2b+c＜0,∵﹣＞﹣1,∴＜1,∵a＜0,∴b＞2a,∴2a﹣b＜0,∴P=2a﹣b＜0,则M,N,P中,值小于0的数有M,N,P．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,根据图象判断出对称轴以及a,b,c的符号是解题关键．6．（•杭州模拟）关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,则下列结论：①2a+b＜0；②ab＜0；③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④抛物线y=2x2+ax+b﹣2的极点在第四象限．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】把方程的根x=2代入计算即可求出2a+b=﹣8,判定①正确；利用根与系数的关系求出a＜﹣8,b＞8,从而判定②正确；根据二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点,且极点坐标在第四象限,向上平移2个单元,与x轴纷歧定有交点,判定③毛病,向下平移2个单元,极点一定在第四象限,判定④正确．【解答】解：∵x=2是方程2x2+ax+b=0的根,∴2×4+2a+b=0,∴2a+b=﹣8＜0,故①正确；∵x=2是方程2x2+ax+b=0的两个根中较小的根,∴﹣＞2+2,＞2×2,∴a＜﹣8,b＞8,∴ab＜0,故②正确；∵方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,∴二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点,且对称轴在直线x=2的右边,∴二次函数y=2x2+ax+b极点坐标在第四象限,向上平移2个单元获得二次函数y=2x2+ax+b+2,与x轴纷歧定有交点,∴关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根毛病,故③毛病；向下平移2个单元获得二次函数y=2x2+ax+b﹣2,极点坐标一定在第四象限,故④正确；综上所述,正确的结论有①②④共3个．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,主要利用了一元二次方程的根的界说,根与系数的关系,二次函数图象与几何变换,③④两题考虑用二次函数的平移求解是解题的关键．7．（•无锡校级三模）已知抛物线y=﹣x2+1的极点为P,点A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结PA、PD,PD交AB于点E,△PAD与△PEA相似吗？（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB=AD时相似 D．无法确定【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】先求出点P的坐标,从而获得OP的长,再设点A的横坐标为m,暗示出AD,再暗示出OD、OF、PF、AF,然后根据△PEF和△PDO相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出EF,然后利用勾股定理暗示出PA2、PE、PD,从而获得=,再根据两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似解答．【解答】解：令x=0,则y=1,∴OP=1,设点A的横坐标为m,则AD=﹣m2+1,∵AB⊥y轴,AD⊥x轴,∴AF=OD=m,OF=﹣m2+1,PF=1﹣（﹣m2+1）=m2,在Rt△PAF中,PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2,在Rt△POD中,PD===,由AB∥x轴得,△PEF∽△PDO,∴=,即=,解得,PE=m2,∴PA2=PD•PE=m4+m2,∴=,∵∠APE=∠DPA,∴△PAD∽△PEA,即,△PAD与△PEA始终相似．故选B．【点评】本题是二次函数综合题,主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,相似三角形的判定与性质,勾股定理的应用,暗示出两个三角形的公共角的夹边成比例是解题的关键．8．（•杭州模拟）下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时,有三个公共点；②m=3时,只有两个公共点；③若只有两个公共点,则m=3；④若有三个公共点,则m≠3．其中描述正确的有（）个．A．一个B．两个C．三个D．四个【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】令y=0,可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0,得出判别式的表达式,然后根据m的取值进行判断,另外要注意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数,不要忘了考虑一次函数的情况．【解答】解：令y=0,可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0,△=（3m﹣1）2﹣8（m2﹣1）=（m﹣3）2,①当m≠3,m=±1时,函数是一次函数,与坐标轴有两个交点,故毛病；②当m=3时,△=0,与x轴有一个公共点,与y轴有一个公共点,总共两个,故正确；③若只有两个公共点,m=3或m=±1,故毛病；④若有三个公共点,则m≠3且m≠±1,故正确；综上可得只有②④正确,共2个．故选B．【点评】此题考查了抛物线与x轴交点的知识,同学们容易忽略m=±1时,函数是一次函数的情况,这是我们要注意的处所．9．（•黄石）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α,β,且α＜β,则α,β满足（）A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．【专题】压轴题；数形结合．【分析】先令m=0求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点,画出函数图象,利用数形结合即可求出α,β的取值范围．【解答】解：令m=0,则函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（1,0）,（2,0）,故此函数的图象为：∵m＞0,∴原极点沿抛物线对称轴向下移动,两个根沿对称轴向两边逐步增年夜,∴α＜1,β＞2．故选D．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点,画出函数图象,利用数形结合解答是解答此题的关键．10．（•盐城模拟）如图,分别过点Pi（i,0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线,交的图象于点Ai,交直线于点Bi．则的值为（）A．B．2 C．D．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据Ai的纵坐标与Bi纵坐标的绝对值之和为AiBi的长,分别暗示出所求式子的各项,拆项后抵消即可获得结果．【解答】解：根据题意得：AiBi=x2﹣（﹣x）=x（x+1）,∴==2（﹣）,∴++…+=2（1﹣+﹣+…+﹣）=．故选A【点评】此题考查了二次函数综合题,属于规律型试题,找出题中的规律是解本题的关键．11．（•西湖区校级模拟）已知二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1,y1）,B（2,y2）C（4,y3）,则y1、y2、y3的年夜小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；推理填空题．【分析】求出抛物线的对称轴,求出A关于对称轴的对称点的坐标,根据抛物线的开口方向和增减性,即可求出谜底．【解答】解：y=ax2﹣2ax+1（a＜0）,对称轴是直线x=﹣=1,即二次函数的开口向下,对称轴是直线x=1,即在对称轴的右侧y随x的增年夜而减小,A点关于直线x=1的对称点是D（3,y1）,∵2＜3＜4,∴y2＞y1＞y3,故选D．【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用,主要考查学生的观察能力和分析能力,本题比力典范,可是一道比力容易犯错的题目．12．（•乐山）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|,则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】根据图象特征,首先判断出M中的各代数式的符号,然后去绝对值．【解答】解：因为开口向下,故a＜0；当x=﹣2时,y＞0,则4a﹣2b+c＞0；当x=1时,y＜0,则a+b+c＜0；因为对称轴为x=＜0,又a＜0,则b＜0,故2a+b＜0；又因为对称轴x=﹣＞﹣1,则b＞2a∴2a﹣b＜0；∴M=4a﹣2b+c﹣a﹣b﹣c+2a+b+b﹣2a=3a﹣b,因为2a﹣b＜0,a＜0,∴3a﹣b＜0,即M＜0,故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号简直定．13．（•包头）已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最年夜值,且ac=4,则二次函数的极点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最年夜值,即抛物线的开口向下,因而a＜0．求抛物线的极点坐标利用公式法：y=ax2+bx+c的极点坐标为（,）,对称轴是x=；代入就可以求召盘点坐标,从而确定极点所在象限．【解答】解：极点横坐标x==,纵坐标y==；∵二次函数有最年夜值,即抛物线的开口向下,a＜0,∴,,即：横坐标x＞0,纵坐标y＜0,极点在第四象限．故选D．【点评】考查求抛物线的极点坐标、对称轴及最值的方法：14．（•蚌埠自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,Q （n,2）是图象上的一点,且AQ⊥BQ,则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣2【考点】抛物线与x轴的交点；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】由勾股定理,及根与系数的关系可得．【解答】解：设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2．依题意有AQ2+BQ2=AB2．（x1﹣n）2+4+（x2﹣n）2+4=（x1﹣x2）2,化简得：n2﹣n（x1+x2）+4+x1x2=0．有n2+n+4+=0,∴an2+bn+c=﹣4a．∵（n,2）是图象上的一点,∴an2+bn+c=2,∴﹣4a=2,∴a=﹣．故选B．【点评】此题考查了二次函数的性质和图象,解题的关键是注意数形结合思想．15．（•秀洲区一模）已知点A（x1,y1）,B（x2,y2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）上,若x1＜x2,x1+x2=1﹣a,则（）A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1与y2年夜小不能确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】将点A（x1,y1）,B（x2,y2）分别代入y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）中得y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①；y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②；利用作差法求出y2﹣y1＞0,即可获得y1＞y2．【解答】解：将点A（x1,y1）,B（x2,y2）分别代入y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）中,得：y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①,y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②,②﹣①得：y2﹣y1=（x2﹣x1）[a（3﹣a）],因为x1＜x2,3﹣a＞0,则y2﹣y1＞0,即y1＜y2．故选B．【点评】本题难度较年夜,要充沛利用数据特点,进行计算．16．（•天河区一模）如图,二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A,B的坐标分别为（1,﹣3）,（6,1）,当y1＞y2时,x的取值范围是（）A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据函数图象,找出抛物线在直线上方的部份的自变量x 的取值范围即可．【解答】解：由图可知,当x＜1或x＞6时,抛物线在直线的上方,所以,当y1＞y2时,x的取值范围是x＜1或x＞6．故选B．【点评】本题考查了二次函数的图象,利用数形结合的思想解答即可,比力简单．17．已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函数值始终是正的,则a的取值范围（）A．a＞B．a＜0或a＞C．D．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】依照a＞0和a＜0两种情况讨论：当a＞0时,图象开口向上,只要极点纵坐标为正即可；当a＜0时,抛物线对称轴为x=﹣1,根据对称性,只要x=5时,y＞0即可．【解答】解：当a＞0时,图象开口向上,极点纵坐标为=6a﹣3,当6a﹣3＞0,即a＞时,y＞0；当a＜0时,抛物线对称轴为x=﹣1,根据对称性,只要x=5时,y＞0即可,此时y=25a+10a+7a﹣3＞0,解得a＞,不符合题意,舍去．故选A．【点评】本题考查了二次函数开口方向,极点坐标,对称轴在实际问题中的运用,还考查了分类讨论的数学思想．18．（•荣县校级二模）已知直线经过点A（0,2）,B（2,0）,点C 在抛物线y=x2的图象上,则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】解：通过计算发现,当O与C重合时,S△ABC=2,据此推断出以AB为底边的三角形的高,从图上找到点C1、C2,再作CC3∥AB,使得C3与C到AB的距离相等,若求出C的坐标,则存在C3点,使得以AB为底的三角形面积为2．【解答】解：∵S△ABC=×2×2=2,可见,当O与C重合时,S△ABC=2,作CD⊥AB,∵AO=BO=2,可见,△ACB为等腰直角三角形,CD=2×cos45°=2×=．由图易得,到AB距离为的点有C、C1、C2,作CC3∥AB,则CC3的解析式为y=﹣x,将y=﹣x和y=x2组成方程组得,,解得,,,则C3坐标为（﹣1,1）,可见,有四个点,使得S△ABC=2．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质,知道平行线间的距离相等以及知道同底等高的三角形面积相等是解题的关键．19．（•下城区校级模拟）关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2,以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值,抛物线总经过点（1,0）；③若m＞6,抛物线交x轴于A、B两点,则AB＞1；④抛物线的极点在y=﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（）A．①②③④B．①②③ C．①②④ D．②③④【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由二次函数的解析式,找出二次项系数a,一次项系数b及常数项c,将a,b及c的值代入b2﹣4ac,利用完全平方公式化简后,根据完全平方式恒年夜于即是0,可得出b2﹣4ac年夜于即是0,进而确定出该抛物线与x轴有交点,故①正确；将x=1代入抛物线解析式,求出y=0,可得出此抛物线恒过（1,0）,故②正确；令抛物线解析式中y=0,获得关于x的一元二次方程,设方程的两个解分别为x1,x2,利用根与系数的关系暗示出x1+x2,x1x2,AB的长可以用|x1﹣x2|暗示,利用二次根式的化简根式=|a|变形后,再利用完全平方公式化简,将暗示出的x1+x2及x1x2代入,化简后根据m年夜于6,可得出AB的长年夜于1,故③正确；利用极点坐标公式暗示出抛物线的极点坐标,代入y=﹣2（x﹣1）2中经验,可得出抛物线的极点在y=﹣2（x﹣1）2图象上,故④正确,综上,获得正确的序号．【解答】解：二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2,∵a=2,b=﹣m,c=m﹣2,∴b2﹣4ac=（﹣m）2﹣8（m﹣2）=（m﹣4）2≥0,则抛物线与x轴有交点,故①正确；∵当x=1时,y=2﹣m+m﹣2=0,∴不论m取何值,抛物线总经过点（1,0）,故②正确；设A的坐标为（x1,0）,B（x2,0）,令y=0,获得2x2﹣mx+m﹣2=0,∴x1+x2=,x1x2=,∴AB=|x1﹣x2|===||,当m＞6时,可得m﹣4＞2,即＞1,∴AB＞1,故③正确；∵抛物线的极点坐标为（,）,∴将x=代入得：y=﹣2（﹣1）2=﹣2（﹣+1）=,∴抛物线的极点坐标在y=﹣2（x﹣1）2图象上,故④正确,综上,正确的序号有①②③④．故选A【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点,以及二次函数的性质,涉及的知识有：抛物线与x轴交点的判断方法,根与系数的关系,极点坐标公式,以及判断一个点是否在抛物线上,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．。
《二次函数》同步综合练习卷(含答案)
《二次函数》同步综合练习卷一．选择题1．下列函数中属于二次函数的是（）A．y＝x（x+1）B．x2y＝1C．y＝2x2﹣2（x2+1）D．y＝2．若b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a的值等于（）A．﹣1 B．1 C．D．3．设函数y＝kx2+（3k+2）x+1，对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．04．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，a），B（2，b），C（5，c），则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b5．已知抛物线c：y＝x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x＝1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′B．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′C．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′6．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或27．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），且对称轴为x＝2，则这条抛物线的顶点坐标为（）A．（2，3）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）8．用配方法将y＝x2﹣6x+11化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣2 C．y＝（x﹣6）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+29．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；其中正确的是（）A．①④B．②④C．②③D．③④10．如表是一组二次函数y＝x2+x﹣1的自变量x与函数值y的对应值．由上表可知，方程x2+x﹣1＝0的一个近似解是（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.811．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B （3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，半圆O的直径AB＝4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM＝x，则y关于x 的函数关系式是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2+x C．y＝﹣x2﹣x D．y＝x2﹣x13．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m二．填空题14．有下列函数：①y＝1﹣x2；②y＝；③y＝x（x﹣3）；④y＝ax2+bx+c；⑤y＝2x+1．其中，是二次函数的有（填序号）15．二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m n（填“＞”或“＜”）．16．若抛物线y＝ax2﹣x+c与y＝2（x﹣3）2+1对称轴相同，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则c的值为．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的有．①abc＞0②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3③2a+b＝0④当x＞0时，y随x的增大而减小18．已知点（﹣1，m）、（2，n）在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a0（用“＞”或“＜”连接）．19．将抛物线y＝﹣3x2向左平移一个单位后，得到的抛物线解析式是．20．函数y＝﹣（x﹣1）2﹣7的最大值为．21．有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点：甲：对称轴是直线x＝2；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．22．将二次函数y＝x2+6x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为．23．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y＝﹣x+p相交于点A和C （2m﹣4，m﹣6），抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点D，点P在抛物线的对称轴上，连PA，PD，当PA+PD的长最短时，点P的坐标为．24．试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：．25．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．下列判断：①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M＝2，则x＝1．其中正确的说法有．（请填写正确说法的番号）26．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是．27．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．28．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE ﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ 的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①AD＝BE＝5；②当0＜t≤5时，y＝t2；③cos∠ABE＝；④当t＝秒时，△ABE∽△QBP；⑤当△BPQ的面积为4cm2时，时间t的值是或；其中正确的结论是．参考答案一．选择题1．解：A、y＝x2+x，是二次函数；B、y＝，不是二次函数；C、y＝﹣2，不是二次函数；D、不是整式，不是二次函数；故选：A．2．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＜0，a＞0，则b＞0，正确；第三个图的对称轴﹣＜0，a＜0，则b＜0，故与b＞0矛盾．由于第三个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向上，a＝1．故选：B．3．解：∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，∵k为负数，即k＜0，∴函数y＝kx2+（3k+2）x+1表示的是开口向下的二次函数，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，∴x＝﹣＝﹣∴m≤﹣＝．∵k＜0，∴﹣＞0∴，∵m≤对一切k＜0均成立，∴m≤，∴m的最大整数值是m＝﹣2．故选：B．4．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x＝3．∵点A（﹣1，a），B（2，b），C（5，c）都在二次函数y＝x2﹣6x+c的图象上，而三点横坐标离对称轴x＝3的距离按由远到近为：（﹣1，a）、（5，c）、（2，b），∴a＞c＞b，故选：B．5．解：∵抛物线C：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为x＝﹣1．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣3）．则与A点以对称轴对称的点是B（2，﹣3）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x＝1对称，就是要将B点平移后以对称轴x＝1与A点对称．则B点平移后坐标应为（4，﹣3）．．因此将抛物线C向右平移4个单位．故选：B．6．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，故选：D．7．解：根据题意得：，解得：a＝﹣1，b＝4，c＝﹣3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，则抛物线顶点坐标为（2，1）．故选：B．8．解：y＝x2﹣6x+11，＝x2﹣6x+9+2，＝（x﹣3）2+2．故选：D．9．解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将（﹣1，3）、（0，0）、（3，3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误；当y＝0时，x（x﹣2）＝0，解得x＝0或x＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故③正确；当y＞0时，x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确；故选：D．10．解：观察表格得：方程x2+x﹣1＝0的一个近似根为0.6，故选：C．11．解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，c＞0∵抛物线的顶点坐标是A（1，4）∴抛物线对称轴为直线x＝﹣∴b＝﹣2a∴b＞0，则①错误，②正确；方程ax2+bx+c＝4方程的解，可以看做直线y＝4与抛物线y＝ax2+bx+c的交点的横坐标．由图象可知，直线y＝4经过抛物线顶点，则直线y＝4与抛物线有且只有一个交点．则方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根，③正确；由抛物线对称性，抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1.0）则④错误；不等式x（ax+b）≤a+b可以化为ax2+bx+c≤a+b+c∵抛物线顶点为（1，4）∴当x＝1时，y最大＝a+b+c∴ax2+bx+c≤a+b+c故⑤正确故选：B．12．解：连接O1M，OO1，可得到直角三角形OO1M，依题意可知⊙O的半径为2，则OO1＝2﹣y，OM＝2﹣x，O1M＝y．在Rt△OO1M中，由勾股定理得（2﹣y）2﹣（2﹣x）2＝y2，解得y＝﹣x2+x．故选：A．13．解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x＝﹣＝＝15（m）．故选：B．二．填空题（共15小题）14．解：①y＝1﹣x2；②y＝，是反比例函数；③y＝x（x﹣3）；④y＝ax2+bx+c，需要添加a≠0；⑤y＝2x+1，是一次函数．其中，是二次函数的有：①y＝1﹣x2；③y＝x（x﹣3）．故答案为：①③．15．解：根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小，故m＞n，故答案为＞．16．解：y＝2（x﹣3）2+1对称轴是x＝3，顶点坐标为（3，1），∵抛物线y＝ax2﹣x+c与y＝2（x﹣3）2+1对称轴相同，∴﹣＝3，解得，a＝，∵两抛物线的顶点相距3个单位长度，∴y＝x2﹣x+c的顶点坐标为（3，4）或（3，﹣2），把（3，4）代入y＝x2﹣x+c得，c＝，把（3，﹣2）代入y＝x2﹣x+c得，c＝﹣，故答案为：或﹣．17．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；∵对称轴为直线x＝1，∴＝1，即2a+b＝0，故③正确；∵由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；故答案为②③．18．解：∵二次函数的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣1，∴该抛物线对称轴为x＝1，∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，且m＞n，∴a＞0．故答案为：＞．19．解：∵抛物线y＝﹣3x2向左平移一个单位后的顶点坐标为（﹣1，0），∴所得抛物线的解析式为y＝﹣3（x+1）2，故答案为：y＝﹣3（x+1）2．20．解：∵在函数y＝﹣（x﹣1）2﹣7中a＝﹣1＜0，∴当x＝1时，y取得最大值，最大值为﹣7，故答案为：﹣7．21．解：对称轴是直线x＝2，则一次项系数与二次项系数的比是﹣4，因而可设函数解析式是y＝ax2﹣4ax+ac，与y轴交点的纵坐标也是整数，因而ac是整数，y＝ax2﹣4ax+ac＝a（x2﹣4x+c），与x轴两个交点的横坐标都是整数，即方程x2﹣4x+c＝0有两个整数解，设是﹣1和+5，则c＝﹣5，则y＝ax2﹣4ax+ac＝a（x2﹣4x﹣5），∵以这三个交点为顶点的三角形的面积为3，∴a＝±．则函数是：y＝±（x+1）（x﹣5）．（答案不唯一）．22．解：y＝x2+6x+5，＝x2+6x+9﹣4，＝（x2+6x+9）﹣4，＝（x+3）2﹣4．故答案是：y＝（x+3）2﹣4．23．解：∵点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直线y＝﹣x+p上∴，解得：m＝3，p＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x﹣3）（x+1），∵C（2，﹣3），代入得：﹣3＝a（2﹣3）（2+1），∴a＝1∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，对称轴EF为x＝1，当x＝0时y＝﹣3，即D点的坐标为（0，﹣3），作D关于EF的对称点N，连接AN，交EF于P，则此时P为所求，根据对称得N的坐标为（2，﹣3），设直线AN的解析式为y＝kx+e，把A、N的坐标代入得：，解得：k＝﹣1，e＝﹣1，即y＝﹣x﹣1，把x＝1代入得：y＝﹣2，即P点的坐标为（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．24．解：∵一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2，∴设两个根分别为0和，∴此一元二次方程可以是：x（x﹣）＝0，∴二次函数关系式为：y＝x（x﹣）＝x2﹣x．故答案为：y＝x2﹣x．25．解：∵当y1＝y2时，即﹣x2+4x＝2x时，解得：x＝0或x＝2，∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y；1∴①错误；∵抛物线y1＝﹣x2+4x，直线y2＝2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴②正确；∵抛物线y1＝﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，∴③正确；∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；当M＝2，2x＝2，x＝1；x＞2时，y＞y1；2＝2+，x2＝2﹣（舍去），当M＝2，﹣x2+4x＝2，x∴使得M＝2的x值是1或2+，∴④错误；∴正确的有②③两个．故答案为②③．26．解：根据题意得：y＝10（x+1）2，故答案为：y＝10（x+1）227．解：设抛物线解析式为y＝ax2，把点B（10，﹣4）代入解析式得：﹣4＝a×102，解得：a＝﹣，∴y＝﹣x2，把x＝9代入，得：y＝﹣＝﹣3.24，此时水深＝4+2﹣3.24＝2.76米．28．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒∴BC＝BE＝10，∴AD＝BC＝10．∴①错误；又∵从M到N的变化是4，∴ED＝4，∴AE＝AD﹣ED＝10﹣4＝6．∵AD∥BC，∴∠EBQ＝∠AEB，∴cos∠EBQ＝cos∠AEB＝，故③错误；如图1，过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠EBQ＝∠AEB，∴sin∠EBQ＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠EBQ＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ×PF＝×2t×t＝t2，故②正确，如图4，当t＝时，点P在CD上，∴PD＝﹣BE﹣ED＝﹣10﹣4＝，PQ＝CD﹣PD＝8﹣＝，∴，，∴∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④正确．由②知，y＝t2当y＝4时， t2＝4，从而，故⑤错误综上所述，正确的结论是②④．。
二次函数综合练习题(含答案)
二次函数综合练习题一、选择题1．〔2013，6，3分〕二次函数y ＝x 2－3x ＋m 〔m 为常数〕的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，那么关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是〔 〕． A ．x 1＝1，x 2＝－1 B ．x 1＝1，x 2＝2 C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝3 【答案】B ．【解析】∵二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴的一个交点为〔1，0〕，∴0＝12－3＋m ，解得m ＝2，∴二次函数为y ＝x 2－3x ＋2．设y ＝0，那么x 2－3x ＋2＝0．解得x 2＝1，x 2＝2，这就是一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根．所以应选B ．【方法指导】考察一元二次方程的根、二次函数图象与x 轴交点的关系．当b 2－4ac ≥0时，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根．【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选．2．〔2013，8，3分〕方程0132=-+x x 的根可视为函数3+=x y 的图象与函数xy 1=的图象交点的横坐标，那么方程3210x x +-=的实根0x 所在的围是〔 〕． A ．4100<<x B ．31410<<x C ．21310<<x D ．1210<<x 【答案】C ．【解析】首先根据题意推断方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋3与xy 1=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3＋2x －1=0的实根x 0所在围．解：依题意得方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋2与xy 1=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如下图，它们的交点在第一象限．当x =14时，y =x 2＋2=2116，1y x ==4，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x =13时，y =x 2＋2=219，1y x ==3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x =12时，y =x 2＋2=214，1y x==2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x =1时，y =x 2＋2=3，1y x==1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．所以方程3210x x +-=的实根0x 所在的围是21310<<x ．所以应选C ．【方法指导】此题考察了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点〞，还要善于分析各图象的变化趋势．【易错警示】不会得出函数解析式，不会观察图象而出错．3. 〔2013市(A )，12，4分〕一次函数y ＝ax ＋b 〔a ≠0〕、二次函数y ＝ax 2＋bx 和反比例函数y ＝kx(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象如下图，A 点的坐标为(－2，0)．那么以下结论中，正确的选项是〔〕A ．b ＝2a ＋kB ．a ＝b ＋kC ．a ＞b ＞0D ．a ＞k ＞0 【答案】D ．【解析】∵一次函数与二次函数的图象交点A 的坐标为〔－2，0〕，∴－2a ＋b ＝0，∴b ＝2a ． 又∵抛物线开口向上，∴a ＞0，那么b ＞0．而反比例函数图象经过第一、三象限，∴k ＞0． ∴2a ＋k ＞2a ，即b ＜2a ＋k ．故A 选项错误． 假设B 选项正确，那么将b ＝2a 代入a ＝b ＋k ，得a ＝2a ＋k ，a ＝－k ．又∵a ＞0，∴－k ＞0，即k ＜0，这与k ＞0相矛盾，∴a ＝b ＋k 不成立．故B 选项错误．再由a ＞0，b ＝2a ，知a ，b 两数均是正数，且a ＜b ，∴b ＞a ＞0．故C 选项错误． 这样，就只有D 选项正确．【方法指导】此题考察一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题．解决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象与性质，能根据图象所在象限的位置准确判断出各系数的符号．上面解法运用的是排除法，至于D 为何正确，可由二次函数y ＝ax 2＋bx 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象，知当x ＝－2b a ＝－22aa＝－1时，y ＝－k ＞－24b a ＝－244a a ＝－a ，即k ＜a ．又因为a ＞0，k ＞0，所以a ＞k ＞0．【易错警示】二次函数a 、b 、c 的符号确实定与函数图象的关系混淆不清． 4. 〔2013，7，4分〕抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是〔 〕 A ．(3，1) B ．(3，－1)C ．(－3，1)D ．(－3，－1)【答案】：A【解析】抛物线2()y a x h k =-+的顶点是〔h ，k 〕【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶点公式24(,)24b ac b a a--求顶点坐标。
二次函数综合试题及答案
二次函数综合试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = 3x^2 + 5C. y = 2x + 1D. y = -x^2 + 3答案：C2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为：A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2 / 4a)D. (b, -c)答案：C二、填空题1. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(-1, -4)，则a的值为______。
答案：a > 02. 二次函数y = x^2 - 2x + 3的最小值为______。
答案：2三、解答题1. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求该函数与x轴的交点。
解：令y = 0，得到方程2x^2 - 4x + 3 = 0。
使用求根公式，得到x1 = (2 + √10) / 2，x2 = (2 - √10) / 2。
因此，与x轴的交点坐标为((2 + √10) / 2, 0)和((2 - √10) / 2, 0)。
2. 某抛物线经过点(1, 1)和(2, 4)，且对称轴为直线x = 2。
求该抛物线的解析式。
解：设抛物线解析式为y = a(x - 2)^2 + k。
将点(1, 1)代入，得到a(1 - 2)^2 + k = 1，即a + k = 1。
将点(2, 4)代入，得到a(2 - 2)^2 + k = 4，即k = 4。
解得a = -3，k = 4。
因此，抛物线的解析式为y = -3(x - 2)^2 + 4。
四、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 100x + 5000，其中x为生产数量。
求该工厂生产多少件产品时，成本最低。
解：成本函数C(x) = 0.5x^2 - 100x + 5000是一个开口向上的二次函数，其顶点即为成本最低点。
九年级数学二次函数专项训练含答案-精选5篇
九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4 B ．有最小值4 C ．有最大值6 D ．有最小值6 2．已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3)，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（ ）A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(0,5) 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线245y x x =-+，将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =--- 4．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( ) A ．216y x =+ B ．2(4)y x =+ C ．28y x x =+ D ．2164y x =- 5．把抛物线22y x =向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ）A ．22(2)1y x =-+-B ．22(2)1y x =--+C ．22(2)1y x =++D ．22(2)1y x =--6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：①234x <<，①320a b +>，①24b a c ac >++，①a c b >>．正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．对于抛物线23(1)2y x =-+-，下列说法正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．当1x >-时，y 随x 增大而减小C ．函数最小值为﹣2D ．顶点坐标为（1，﹣2）8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 9．已知A (−3，−2) ，B (1，−2)，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动，形状保持不变，与x 轴交于C ，D 两点（C 在D 的右侧），下列结论：①c ≥−2 ；①当x >0时，一定有y 随x 的增大而增大；①若点D 横坐标的最小值为−5，点C 横坐标的最大值为3；①当四边形ABCD 为平行四边形时，a =12． 其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 10．已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥或0m <B ．m 1≥C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-11．已知函数()211y ax a x =-++，则下列说法不正确的个数是（ ）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则1a =①方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根①若11x a<<，则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ①不存在实数a ，使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动，连接DP ，作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ，N 两点，设点P 的运动路程为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．14．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．15．小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时，填好了下面的表格：根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________．16．已知二次函数223y x x =--+，当12a x时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______．17．已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．（1）若(1,0)A -，则b =______．（2）若(1,0)M -，(1,0)N ，抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点，则b 的取值范围为______．三、解答题18．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式 19．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值．20．如图，一次函数y A 、B ，二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2，0)和点B (8，0)，与y 轴交于点C (0，﹣8)，连接AC ，D 是抛物线对称轴上一动点，连接AD ，CD ，得到①ACD ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）①ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出D 点的坐标；如果不能，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E ，使得①ACE 与①ACD 面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13．-1214．﹣1≤x ≤215．3.24x 3.25<<16．1-17． 32- 3322b -<< 18．解：①抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，①设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，①()()21545y x x x x =-+-=-++．①该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．19．.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ， 令0,x = 则3,y = ∴ 点()0,3A把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴==如图，要使MBC △的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x=-=-⨯()3,0C-∴点()2,0D-，连接,BD交对称轴于,MMD MC∴=，此时，MB MC MB MD BD+=+=最小，此时：BD=MBC∴20．解：（1）对于y x=x=0时，y=当y=0时，03x-=，妥得，x=3①A（3，0），B（0，把A（3，0），B（0，2y bx c++得：+=0b cc⎧⎪⎨=⎪⎩解得，bc⎧=⎪⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为：2y x x=-（2）抛物线的对称轴为直线12bxa=-==故设P（1，p），Q（m，n）①当BC为菱形对角线时，如图，①B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，①①BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴①在菱形BQCP 中，BC ①PQ①PQ ①x 轴①点P 在x =1上，①点Q 也在x =1上，当x =1时，211y①Q （1，）； ①当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，①BC //PQ ，且BC =PQ①BC //x 轴，①令y =2y 解得，120,2x x ==①(2,C①PQ=BC=22①PB=BC=2①迠P在x轴上，①P(1,0)①Q(3，0)；若点Q在点P的左侧，如图，同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）21．解：（1）由题意可得：0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩，解得：1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，①抛物线的解析式为：y＝12x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，①点A（﹣2，0），点B（8，0），①对称轴为直线x＝3，①①ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，①当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，①点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，①连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC 解析式为：y ＝kx ﹣8，①0＝8k ﹣8，①k ＝1，①直线BC 解析式为：y ＝x ﹣8，当x ＝3，y ＝﹣5，①点D （3，﹣5）；（3）存在，①点A （﹣2，0），点C （0，﹣8），①直线AC 解析式为y ＝﹣4x ﹣8，如图，①①ACE 与①ACD 面积相等，①DE ①AC ，①设DE 解析式为：y ＝﹣4x +n ，①﹣5＝﹣4×3+n ，①n ＝7，①DE 解析式为：y ＝﹣4x +7， 联立方程组可得：2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得：12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ①点E1，﹣1，）．九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．y ＝（2x ﹣1）2 B ．y ＝（x +1）2﹣x 2 C ．y ＝ax 2D ．y ＝2x +32．若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（ ）A ．3B ．2-C ．2D ．2或33．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数2135y x x =-+，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（ ） A ．1,3,5a b c ==-= B ．1,3,5a b c ===C ．5,3,1a b c ===D ．5,3,1a b c ==-=5．如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≠ B ．a≥0C ．a=2D ．a>06．下列函数中①31y x ；①243y x x =-；①1y x=；①225=-+y x ，是二次函数的有（） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①7．若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．208．函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( ) A ．a≠0，b≠0，c≠0 B ．a<0，b≠0，c≠0 C ．a>0，b≠0，c≠0 D ．a≠0二、填空题 9．若()2321m m y m x --=+是二次函数，则m 的值为______．10．若22ay x -=是二次函数，则=a ________．11．在二次函数21y x =-+中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 12．下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；①3y x =-；①2431y x x =-+；①2(1)y m x bx c =-++；①y =(x -3)2-x 213．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数． 14．已知函数2135m y x -=-① 当m ＝ _________时，y 是关于x 的一次函数； ① 当m ＝_________时，y 是关于x 的二次函数 ．15．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．16．已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________． 三、解答题17．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？ 22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．18．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m x +8． （1）若这个函数是一次函数，求m 的值； （2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.19．若函数y=（a -1）x b+1+x 2+1是二次函数，试讨论a 、b 的取值范围.20．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.参考答案：1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D 9．4 10．2± 11．0 12．①13． 4，-2 4 14． 1 3215．316．2y x 2x 3=-++17．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数18．（1）m （2）m ≠m ≠19．①a≠0；①b=0或-1，a 取全体实数①当a=1，b 为全体实数时，y=x 2+1是二次函数 20．y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题（附答案）一．选择题1．如果在二次函数的表达式y ＝ax 2+bx +c 中，a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．±2D．03．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y14．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是27．已知二次函数y＝x2﹣4x+5（0≤x≤3），则它的最大值是（）A．1B．2C．3D．58．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤9．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（）个．①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．A．3B．2C．1D．0二．填空题11．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）12．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为．13．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为．14．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三．解答题17．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．18．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．19．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B（1，1）．（1）求m的值；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．20．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．21．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．22．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．2．解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝2．故选：B．3．解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1，而A（，y1）到直线x＝1的距离最近，C（﹣，y3）到直线x＝1的距离最远，∴y3＞y2＞y1．故选：C．4．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故选：D．5．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．6．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选：D．7．解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，由于0≤x≤3，所以当x＝2时，y有最小值1，当x＝0时，y有最大值5．故选：D．8．解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选：B．9．解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以②正确；∵x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，所以③正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．故选：C．二．填空题11．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a412．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），故答案为（﹣1，8）．13．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，所以当x＝1时，函数取得最小值为5，故答案为5．14．解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．16．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三．解答题17．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，即左边＝右边，所以点C在该函数的图象上．18．解：设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入得，解得，∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4，∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P（2，2），把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2．19．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2．把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，∴m＝±2．∵点A在二象限，∴m＝﹣2．（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．20．解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；∵a＜0，∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．（3）由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，∴当a＞0时，≤0，解得a≥；当a＜0，≥3，解得a≤﹣．∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．21．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，∴令x＝0，得y＝﹣2，∴G（0，﹣2），∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，∴二次函数表达式为y＝﹣x2，由一次函数与二次函数联立可得，解得，，∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．22．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝把x＝代入，得y＝4则点C坐标为（，4）设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，解得∴AB解析式为：∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入，解得m＝2∴点D坐标为，∴CD＝CE﹣DE＝2过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝23．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+1；（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C（0，3），则OC＝3，BC＝2，BC∥x轴，∴S△ABC＝×BC×OC＝＝3．九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+12．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2 5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣66．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，则点B的横坐标．x B的值为．13．已知二次函数y＝ax2开口向上，且|2﹣a|＝3，则a＝．14．已知抛物线y＝x2﹣3x+1的图象上有一点A（m，n），则m﹣n的最大值是．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为．三．解答题（共7小题）17．看图回答．（1）当y＝0时，求x的值；（2）当y＞5时，求x的范围；（3）y随x的增大而增大时，求x的范围．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5r2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．20．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？21．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，已知线段DE与线段BC关于平面内某点成中心对称，其中DE的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，求落在对称轴上的点的坐标；（3）如图2，点M为第二象限抛物线上，作MN∥BC交抛物线于点N，直线NB、MC 交于点P，求P点的横坐标．22．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为；（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，求实数a的取值范围．23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为．（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA′交y轴于点Q，连接AM，AQ，此时△AMQ的周长最小，请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A，O，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+1解：A．根据二次函数的定义，y＝4x是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意．B．根据二次函数的定义，y＝3x﹣5不是二次函数，是一次函数，故B不符合题意．C．根据二次函数的定义，y＝是反比例函数，不是二次函数，故C不符合题意．D．根据二次函数的定义，y＝2x2+1是二次函数，故D符合题意．故选：D．2．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．解：A、由图知a＞0，﹣＝1，c＞0，即b＜0，∵已知a＞b＞c，故本选项错误；B、由图知a＜0，而已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，必须a＞0，故本选项错误；C、图C中条件满足a＞b＞c，且a+b+c＝0，故本选项正确；D、∵a+b+c＝0，即当x＝1时a+b+c＝0，与图中与x轴的交点不符，故本选项错误．故选：C．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）解：∵二次函数可化为y＝（x﹣3）2+5，∴二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（3，5），故选：D．4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2解：y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣2＝（x+1）2﹣2，即y＝（x+1）2﹣2．故选：D．5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6解：y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，∴当x＜2时，y随着x增大而增大，∴当x＝时有最大值y＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5，故选：C．6．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+1解：设所求的抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+1，∵所求抛物线与函数y＝的图象相同且开口方向相反，∴a＝﹣，∴所求的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+1．故选：D．7．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1解：当x＝﹣1时，y1＝（x﹣1）2＝（﹣1﹣1）2＝4；当x＝1时，y2＝（x﹣1）2＝（1﹣1）2＝0；当x＝2时，y3＝（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1，所以y2＜y3＜y1．故选：C．8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．4解：根据表格数据可知：抛物线的对称轴是直线x＝＝，∴③错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0有两根为x1＝﹣2，x2＝3；故①正确；从表格可知当x＝0时，y＝6，∴抛物线与y轴的交点为（0，6）；∴②正确；从表格可知：当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，∴抛物线开口向下，故④错误．故选：B．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对解：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠OBE＝∠OCF＝45°，∵BE＝CF，∴△BOE≌△COF，∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，∴∠BOE+∠COE＝∠COF+∠COE，即∠EOF＝∠BOC＝90°，且S△COE+S△COF＝S△COE+S△BOE，即S四边形OECF＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，由垂线段最短可得，当OE⊥BC时，OE＝BC＝×4＝2，△OEF面积取最小值为×2×2＝2，∴结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错，故选：A．10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°解：把（25，0.725），（50，0.06），（60，0.09）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴y＝0.0001x2﹣0.008x+0.21＝0.0001（x﹣40）2+0.05，∵0.0001＞0，∴x＝40时，y最小为0.05，∴燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°，故选：B．二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为3．解：∵函数是二次函数，∴m2﹣7＝2且m+3≠0，解得：m＝3．则m的值为3．故答案为：3．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，则点B的横坐标．x B的值为5．解：∵y＝x2﹣4x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴点A，B关于直线x＝2对称，∵点A横坐标为﹣1，∴点B横坐标为5，故答案为：5．13．已知二次函数y＝ax2开口向上，且|2﹣a|＝3，则a＝5．解：∵|2﹣a|＝3，∴2﹣a＝±3，解得：a＝﹣1或5，又二次函数y＝ax2开口向上，则a＞0，故a＝5．故答案为：5．14．已知抛物线y＝x2﹣3x+1的图象上有一点A（m，n），则m﹣n的最大值是3．解：∵点A（m，n）在抛物线y＝x2﹣3x+1上，∴n＝m2﹣3m+1，∴m﹣n＝﹣m2+4m﹣1＝﹣（m﹣2）2+3，∴当m＝2时，m﹣n有最大值为3，故答案为：3．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为﹣．解：设A（x1，0），B（x2，0），令y＝0，则y＝﹣x2+2x+c＝0，由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣c，则AB＝|x1﹣x2|＝＝＝2，令x＝0，则y＝c，∴C（0，c），∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为c，当y＝c时，则﹣x2+2x+c＝c，解得：x＝2，或x＝0，∴D（2，c），∴CD＝2，∵AB+CD＝3，∴2+2＝3，解得：c＝﹣，故答案为：﹣．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为142．解：连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠EBF＝90°，∵EF＝10，点G是EF的中点，∴BG＝EF＝10＝5，∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD 面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积，∵AB＝12＝CD，BC＝16＝AD，∴AC＝20，S△ACD＝×12×16＝96，∴BH＝＝，∴G'H＝BH﹣5＝﹣5＝，∴S△ACG'＝AC•G'H＝×20×＝46，∴S四边形AG'CD＝S△ACD+S△ACG'＝46+96＝142，即四边形AGCD面积的最小值是142．故答案为：142．三．解答题（共7小题）17．看图回答．（1）当y＝0时，求x的值；（2）当y＞5时，求x的范围；（3）y随x的增大而增大时，求x的范围．解：（1）由图象可知，抛物线经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴当y＝0时，x的值为﹣1和3；（2）∵抛物线经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，﹣3）得，﹣3＝﹣3a，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），令y＝5得5＝（x+1）（x﹣3），解得x1＝4，x2＝﹣2，∴当y＞5时，求x的范围是x＞4或x＜﹣2；（3）∵y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2+4，∴抛物线开口向上，顶点为（1，4），对称轴为直线x＝1，∴y随x的增大而增大时，x的范围是x＞1．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．解：（1）y＝x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1；（2）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣1）；（3）x＞3时，y随x的增大而增大；x＜3时，y随x增大而减小．19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5r2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，答：小球飞行高度达到最高时的飞行时间为2s．20．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？解：（1）根据题意，降价2元则销售量为60+2×10＝80（斤），销售利润为：（30﹣15﹣2）×80＝1040（元），。
《二次函数》同步综合练习卷(含答案)
《二次函数》同步综合练习卷一．选择题1．下列函数中属于二次函数的是（）A．y＝x（x+1）B．x2y＝1C．y＝2x2﹣2（x2+1）D．y＝2．若b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a的值等于（）A．﹣1 B．1 C．D．3．设函数y＝kx2+（3k+2）x+1，对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．04．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，a），B（2，b），C（5，c），则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b5．已知抛物线c：y＝x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x＝1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′B．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′C．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′6．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或27．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），且对称轴为x＝2，则这条抛物线的顶点坐标为（）A．（2，3）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）8．用配方法将y＝x2﹣6x+11化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣2 C．y＝（x﹣6）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+29．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；其中正确的是（）A．①④B．②④C．②③D．③④10．如表是一组二次函数y＝x2+x﹣1的自变量x与函数值y的对应值．由上表可知，方程x2+x﹣1＝0的一个近似解是（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.811．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B （3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，半圆O的直径AB＝4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM＝x，则y关于x 的函数关系式是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2+x C．y＝﹣x2﹣x D．y＝x2﹣x13．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m二．填空题14．有下列函数：①y＝1﹣x2；②y＝；③y＝x（x﹣3）；④y＝ax2+bx+c；⑤y＝2x+1．其中，是二次函数的有（填序号）15．二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m n（填“＞”或“＜”）．16．若抛物线y＝ax2﹣x+c与y＝2（x﹣3）2+1对称轴相同，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则c的值为．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的有．①abc＞0②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3③2a+b＝0④当x＞0时，y随x的增大而减小18．已知点（﹣1，m）、（2，n）在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a0（用“＞”或“＜”连接）．19．将抛物线y＝﹣3x2向左平移一个单位后，得到的抛物线解析式是．20．函数y＝﹣（x﹣1）2﹣7的最大值为．21．有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点：甲：对称轴是直线x＝2；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．22．将二次函数y＝x2+6x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为．23．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y＝﹣x+p相交于点A和C （2m﹣4，m﹣6），抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点D，点P在抛物线的对称轴上，连PA，PD，当PA+PD的长最短时，点P的坐标为．24．试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：．25．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．下列判断：①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M＝2，则x＝1．其中正确的说法有．（请填写正确说法的番号）26．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是．27．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．28．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE ﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ 的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①AD＝BE＝5；②当0＜t≤5时，y＝t2；③cos∠ABE＝；④当t＝秒时，△ABE∽△QBP；⑤当△BPQ的面积为4cm2时，时间t的值是或；其中正确的结论是．参考答案一．选择题1．解：A、y＝x2+x，是二次函数；B、y＝，不是二次函数；C、y＝﹣2，不是二次函数；D、不是整式，不是二次函数；故选：A．2．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＜0，a＞0，则b＞0，正确；第三个图的对称轴﹣＜0，a＜0，则b＜0，故与b＞0矛盾．由于第三个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向上，a＝1．故选：B．3．解：∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，∵k为负数，即k＜0，∴函数y＝kx2+（3k+2）x+1表示的是开口向下的二次函数，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，∴x＝﹣＝﹣∴m≤﹣＝．∵k＜0，∴﹣＞0∴，∵m≤对一切k＜0均成立，∴m≤，∴m的最大整数值是m＝﹣2．故选：B．4．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x＝3．∵点A（﹣1，a），B（2，b），C（5，c）都在二次函数y＝x2﹣6x+c的图象上，而三点横坐标离对称轴x＝3的距离按由远到近为：（﹣1，a）、（5，c）、（2，b），∴a＞c＞b，故选：B．5．解：∵抛物线C：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为x＝﹣1．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣3）．则与A点以对称轴对称的点是B（2，﹣3）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x＝1对称，就是要将B点平移后以对称轴x＝1与A点对称．则B点平移后坐标应为（4，﹣3）．．因此将抛物线C向右平移4个单位．故选：B．6．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，故选：D．7．解：根据题意得：，解得：a＝﹣1，b＝4，c＝﹣3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，则抛物线顶点坐标为（2，1）．故选：B．8．解：y＝x2﹣6x+11，＝x2﹣6x+9+2，＝（x﹣3）2+2．故选：D．9．解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将（﹣1，3）、（0，0）、（3，3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误；当y＝0时，x（x﹣2）＝0，解得x＝0或x＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故③正确；当y＞0时，x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确；故选：D．10．解：观察表格得：方程x2+x﹣1＝0的一个近似根为0.6，故选：C．11．解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，c＞0∵抛物线的顶点坐标是A（1，4）∴抛物线对称轴为直线x＝﹣∴b＝﹣2a∴b＞0，则①错误，②正确；方程ax2+bx+c＝4方程的解，可以看做直线y＝4与抛物线y＝ax2+bx+c的交点的横坐标．由图象可知，直线y＝4经过抛物线顶点，则直线y＝4与抛物线有且只有一个交点．则方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根，③正确；由抛物线对称性，抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1.0）则④错误；不等式x（ax+b）≤a+b可以化为ax2+bx+c≤a+b+c∵抛物线顶点为（1，4）∴当x＝1时，y最大＝a+b+c∴ax2+bx+c≤a+b+c故⑤正确故选：B．12．解：连接O1M，OO1，可得到直角三角形OO1M，依题意可知⊙O的半径为2，则OO1＝2﹣y，OM＝2﹣x，O1M＝y．在Rt△OO1M中，由勾股定理得（2﹣y）2﹣（2﹣x）2＝y2，解得y＝﹣x2+x．故选：A．13．解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x＝﹣＝＝15（m）．故选：B．二．填空题（共15小题）14．解：①y＝1﹣x2；②y＝，是反比例函数；③y＝x（x﹣3）；④y＝ax2+bx+c，需要添加a≠0；⑤y＝2x+1，是一次函数．其中，是二次函数的有：①y＝1﹣x2；③y＝x（x﹣3）．故答案为：①③．15．解：根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小，故m＞n，故答案为＞．16．解：y＝2（x﹣3）2+1对称轴是x＝3，顶点坐标为（3，1），∵抛物线y＝ax2﹣x+c与y＝2（x﹣3）2+1对称轴相同，∴﹣＝3，解得，a＝，∵两抛物线的顶点相距3个单位长度，∴y＝x2﹣x+c的顶点坐标为（3，4）或（3，﹣2），把（3，4）代入y＝x2﹣x+c得，c＝，把（3，﹣2）代入y＝x2﹣x+c得，c＝﹣，故答案为：或﹣．17．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；∵对称轴为直线x＝1，∴＝1，即2a+b＝0，故③正确；∵由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；故答案为②③．18．解：∵二次函数的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣1，∴该抛物线对称轴为x＝1，∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，且m＞n，∴a＞0．故答案为：＞．19．解：∵抛物线y＝﹣3x2向左平移一个单位后的顶点坐标为（﹣1，0），∴所得抛物线的解析式为y＝﹣3（x+1）2，故答案为：y＝﹣3（x+1）2．20．解：∵在函数y＝﹣（x﹣1）2﹣7中a＝﹣1＜0，∴当x＝1时，y取得最大值，最大值为﹣7，故答案为：﹣7．21．解：对称轴是直线x＝2，则一次项系数与二次项系数的比是﹣4，因而可设函数解析式是y＝ax2﹣4ax+ac，与y轴交点的纵坐标也是整数，因而ac是整数，y＝ax2﹣4ax+ac＝a（x2﹣4x+c），与x轴两个交点的横坐标都是整数，即方程x2﹣4x+c＝0有两个整数解，设是﹣1和+5，则c＝﹣5，则y＝ax2﹣4ax+ac＝a（x2﹣4x﹣5），∵以这三个交点为顶点的三角形的面积为3，∴a＝±．则函数是：y＝±（x+1）（x﹣5）．（答案不唯一）．22．解：y＝x2+6x+5，＝x2+6x+9﹣4，＝（x2+6x+9）﹣4，＝（x+3）2﹣4．故答案是：y＝（x+3）2﹣4．23．解：∵点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直线y＝﹣x+p上∴，解得：m＝3，p＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x﹣3）（x+1），∵C（2，﹣3），代入得：﹣3＝a（2﹣3）（2+1），∴a＝1∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，对称轴EF为x＝1，当x＝0时y＝﹣3，即D点的坐标为（0，﹣3），作D关于EF的对称点N，连接AN，交EF于P，则此时P为所求，根据对称得N的坐标为（2，﹣3），设直线AN的解析式为y＝kx+e，把A、N的坐标代入得：，解得：k＝﹣1，e＝﹣1，即y＝﹣x﹣1，把x＝1代入得：y＝﹣2，即P点的坐标为（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．24．解：∵一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2，∴设两个根分别为0和，∴此一元二次方程可以是：x（x﹣）＝0，∴二次函数关系式为：y＝x（x﹣）＝x2﹣x．故答案为：y＝x2﹣x．25．解：∵当y1＝y2时，即﹣x2+4x＝2x时，解得：x＝0或x＝2，∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y；1∴①错误；∵抛物线y1＝﹣x2+4x，直线y2＝2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴②正确；∵抛物线y1＝﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，∴③正确；∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；当M＝2，2x＝2，x＝1；x＞2时，y＞y1；2＝2+，x2＝2﹣（舍去），当M＝2，﹣x2+4x＝2，x∴使得M＝2的x值是1或2+，∴④错误；∴正确的有②③两个．故答案为②③．26．解：根据题意得：y＝10（x+1）2，故答案为：y＝10（x+1）227．解：设抛物线解析式为y＝ax2，把点B（10，﹣4）代入解析式得：﹣4＝a×102，解得：a＝﹣，∴y＝﹣x2，把x＝9代入，得：y＝﹣＝﹣3.24，此时水深＝4+2﹣3.24＝2.76米．28．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒∴BC＝BE＝10，∴AD＝BC＝10．∴①错误；又∵从M到N的变化是4，∴ED＝4，∴AE＝AD﹣ED＝10﹣4＝6．∵AD∥BC，∴∠EBQ＝∠AEB，∴cos∠EBQ＝cos∠AEB＝，故③错误；如图1，过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠EBQ＝∠AEB，∴sin∠EBQ＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠EBQ＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ×PF＝×2t×t＝t2，故②正确，如图4，当t＝时，点P在CD上，∴PD＝﹣BE﹣ED＝﹣10﹣4＝，PQ＝CD﹣PD＝8﹣＝，∴，，∴∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④正确．由②知，y＝t2当y＝4时， t2＝4，从而，故⑤错误综上所述，正确的结论是②④．。
(完整版)二次函数综合应用---含答案
二次函数应用（能力提高）一、选择题：1.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（ C ）（A）8 （B）14 （C）8或14 （D）-8或-142.已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过(B)（A）一、二、三象限（B）一、二、四象限（C）一、三、四象限（D）一、二、三、四象限3.当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是（ A ）（C）（D）第7题4.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（ A ）（A）ac+1=b （B）ab+1=c （C）bc+1=a （D）以上都不是5.若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是(C )(A)0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<16.将抛物线y=-2x2-1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ A ）（A）个单位 (B)1个单位 (C)个单位 (D)个单位232127.如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4,2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx2-(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，则m的值为（ D ）（A）0（B）（C）－1（D）0或或－121-21-8.（2015浙江）设二次函数11212())0(()y a x x x x a x x=--≠≠，的图象与一次函数()2y dx e d=+≠的图象交于点1(0)x，，若函数21y y y=+的图象与x轴仅有一个交点，则（ B ）（A）12()a x x d-=（B）21()a x x d-=（C）212()a x x d-=（D）()212a x x d+=二、填空题：1.已知二次函数y＝－4x2－2mx＋m2与反比例函数y＝的图像在第二象限内的一个交点的横坐标是xm42+－2，则m的值是 -7t h 2.已知抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在x 轴上截得的线段长为6，则该抛物线的解析式为 _ y = −(x +1)(x −5)___3.已知二次函数y ＝ax 2（a≥1）的图像上两点A 、B 的横坐标分别是－1、2，点O 是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB 的周长为 42+254.老师给出一个函数,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。
二次函数单元综合测试卷(含答案)
二次函数综合测试卷一、填空：(30分)1．二次函数的图象经过三个定点（2，0），（3，0），（•0，-•1），则它的解析式为________，该图象的顶点坐标为__________．2．当k=________时，直线x+2y+k+1=0和2x+y+2k=0的交点在抛物线y=-x2上．3．已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2+2的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且（x1+1）（x2+1）=8，则k的值为__________．4．如果y与x2成正比例，并且它的图象上一点P的横坐标a和纵坐标b分别是方程x2-x-6=0的两根，那么这个函数的解析式为_________．5．抛物线y=x2-4x+11的对称轴是直线________，顶点坐标为________．6．如果抛物线y=-23x2+（m+2）x+27m的对称轴为直线x=32，则m的值为_________．7．把函数y=5x2+10mx+n的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，•所得图象的函数解析式为y=5x2+30x+44，则m=_______，n=_______．8．二次函数y=a x2+bx+c中的a、b、c满足条件________时，•它的图象经过坐标系中的四个象限．9．开口向下的抛物线y=a（x+1）（x-4）与x轴交于A、B两点，与y•轴交于点C．•若∠ACB=90°，则a的值为________．10．如图，二次函数y=x2-ax+a-5的图象交x轴于点A和B，交y轴于点C，当线段AB•的长度最短时，点C的坐标为________．二、选择题：(20分)11．在同一直角坐标系内，二次函数y1=ax2+bx+c与y2=cx2+bx+a的图象大致为（）12．在同一直角坐标系内，函数y=ax2+bx与y=bx（b≠0）的图象大致为（）13．给出下列四个函数：y=-2x，y=2x-1，y=3x（x>0），y=-x2+3（x>0），其中y随x•的增大而减小的函数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个14．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x-m）2-m的顶点所在的直线为（）A．x轴 B．y轴 C．y=x D．y=-x15．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x+m）2-m2的顶点所在的曲线为（）A．y=x2 B．y=-x2 C．y=x2（x>0） D．y=-x2（x>0）16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x2-4x+3关于x轴对称，则a、b、c•的值分别是（） A．-1，4，-3 B．-1，-4，-3 C．-1，4，3 D．-1，-4，317．已知抛物线y=a x2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x2-4x+3关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为（）A．y=x2+4x+3 B．y=x2-4x-3 C．y=x2+4x-3 D．y=-x2-4x+318．从一张矩形纸片ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个半圆，它们的直径分别是AE、DE，要使剪下的两个半圆的面积和最小，点E应选在（）A．边AD的中点外 B．边AD的13处 C．边AD的14处 D．边AD的15处19．对某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果x1，x2，…，x n，如果用x作为这条路线长度的近似值，当x=p时，（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-x n）2最小，则p的值为（）A．1n（x1+x2+…+x n） B．1n（x1-x2-…-x n）C．1nn+（x1+x2+…+x n） D．1nn+（x1+x2+…+x n）20．已知函数y=-（x-1）2-（x-3）2-（x-5）2-（x-7）2，当x=p时，函数y取得最大值，则p•的值为（）A．4 B．8 C．10 D．16三、解答题：(90分)1．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x=t•截这个三角形所得位于直线左方的图形面积为y．（1）写出以自变量为t的函数y的解析式；（2）画出（1）中函数y的图象．2．如图，AB是半径为R的圆的直径，C为直径AB上的一点，•过点C•剪下两个正方形ADCE和BFCG，它们的对角线分别是AC、CB．要使剪下的两个正方形的面积和最小，•点C应选在何处？3．已知一个二次函数的图象过点A（-1，10），B（1，4），C（2，7），点D和B•关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只有一个公共点D的直线？如果存在，求出符合条件的直线；如不存在，请说明理由．4．如图，在直角坐标系xOy中，A、B是x轴上的两点，以AB为直径的圆交y轴于C，设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x2-mx+n，方程x2-mx+n=0的两根倒数和为-2．（1）求n的值；（2）求此抛物线的解析式；（3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点，问是否存在此线段EF•为直径的圆恰好与x轴相切，若存在，求出此圆的半径；若不存在，说明理由．5．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x度，•那么这个月这户居民只交10元用电费．如果超过x度，这个月除了要交10元用电费外，超过部分按每度元交费．（1）该厂某户居民1月份用电90度，超过了x度的规定，试用x的代数式表示超过部分应交的电费（元）；（2）下表是这户居民2月、3月的用电情况和交费情况，请根据表中的数据，•求出电厂规定的这个标准x度．月份用电量（度）交电费总数（元）2月 80 253月 45 106．如图（1），平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A•点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6）．D是BC边上的动点（与点B、C不重合），现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，使△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．（1）如图②，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线y=-124x2+6的公共点的个数，•在图②的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y=-124x2+6始终有公共点，请在图①中作出这样的公共点．附加题：(10分)当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线y=x 2-2mx+m 2+3m-2． ① 得y=（x-m ）2+3m-2 ②抛物线的顶点坐标为（m ，3m-2），即32x my m =⎧⎨=-⎩ 当m 的值变化时，x ，y 的值也随之变化，•因而y 值也随x 值的变化而变化．将③代入④，得y=3x-2 ⑤可见不论m 取任何实数抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式y=3x-2，即抛物线①的顶点总在直线y=3x-2上．在上述过程中，由①到②所用的数学方法是__________；由③、④到⑤所用的数学方法是________．请解答:求出抛物线y=x 2-4mx+4m 2-2m•的顶点的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式．答案:一、填空： 1．y=-16x 2+56x-1 （52，124）2．13±63 3．14．y=-29x 2和y=34x 25．x=2 （2，7） 6．0 7．1 18．a 、c 异号，b 为任何实数 9．-10．（0，-3）（设A （x 1，0），B （x 2，0）．（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=a 2-4a+20=（a-2）2+16．当a=2时，•线段AB 的长度最短为4，此时y=x 2-2x-3，点C 的坐标为（0，-3） 二、选择题：11．D 12．D 13．A 14．D 15．B 16．A 17．A 18．A 19．A 20．A 三、解答题：1．（1）y=223(01)23(2)3(2)2t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪--+≤≤⎪⎩（2）如第1题图.2．设AC 长为x ，BC 长为2R-x ，S 正方形ADCE =12x 2，S 正方形BFCG =12（2R-x ）2． 两个正方形面积之和为y=12x 2+12（2R-x ）2=x 2-2Rx+2R 2=（x-R ）2+R 2， 当x=R 时，两个正方形面积之和有最小值R 2，此时点C 应选在AB•的中点处，即圆心．3．过点A 、B 、C 的抛物线的解析式为y=2x 2-3x+5，其对称轴为直线x=34． 因D 和B 关于直线x=34对称，所以D 点坐标为（12，4）． 与抛物线只有一个公共点D 的直线有两条：（1）平行于y 轴，即直线x=12． （2）不平行于y 轴，设直线为y=kx+b ，因为过D 点，所以4=12k+b ． 即k=8-2b ，（8-2b ）x+b=2x 2-3x+5．2x 2+（2b-11）x+5-b=0．方程有两个相等的实数根，△=（2b-11）2-8（5-b ）=0，解得b=92，k=-1．所以y=-x+92．符合条件的直线为y=-x+92和x=12． 4．（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），则OA=-x 1，OB=x 2．因为AB 是直径，OC ⊥AB ，所以CO 2=OA·OB ，•即n 2=-x 1x 2． 又x 1x 2=n ，所以n 2=-n ，n=-1，n=0（舍去）． （2）11x +21x =1212x x x x +=-2，又x 1+x 2=m ，x 1x 2=-1，1m -=-2，m=2， 所求的抛物线的解析式为y=x 2-2x-1．（3）由（2）得抛物线的对称轴为x=1．设满足条件的圆的半径为│a │， 则点F•的坐标为（1+│a │，a ），点F 在抛物线上，a=（1+│a │）2-2（1+│a │）-1，即a 2-a-2=0，a 1=2，a 2=-1， 所求的圆的半径为1或2，故存在以EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切． 5．（1）100x（90-x ）元 （2）表格中的数据告诉我们，这户居民2月份用电超标，3•月份用电不超标， 可见45≤x<80，列出方程10+100x（80-x ）=25，即x 2-80x+150=0，解得x 1=30，x 2=50． 因45≤x<80，所以x=30，电厂规定的标准是30度．6．（1）解：根据题意，可知D （6，6），E （10，2），直线DE 的函数关系式为y=-x+12． （2）解：根据题意，可知∠CDO=∠ODF ，∠BDE=∠GDE ．∠CDO+∠ODF+∠BDE+∠GDE=180°，•∠CDO+∠BDE=90°，∠COD+∠CDO=90°，∠COD=∠BDE ．又∠COD=∠DBE=90°，△COD ≌△BDE ．CE COBE BD=． 根据题意，可知BE=6-b ，BD=10-a ，6610a b a =--，b+16a 2-53a+6=16（a-5）2+116． 当a=5时，b 最小值=116．（3）猜想：直线DE 与抛物线y=-124x 2+6只有1个公共点． 证明:由（1）可知，DE 所在直线为y=-124x+12． 代入抛物线y=-x 2+6，消去y ，得-124x 2+6=-x+12．化简，得x 2-24x+144=0，△=0． 直线DE 与抛物线y=-124x 2+6只有1个公共点． 作法一：延长OF 交DE 于点H ，作法二：在DB 上取点M ，使DM=CD ，过M 作MH ⊥BC ，交DE 于点H ． 附加题：配方法; 消元法; y=-4x.。
人教版九年级上册数学 二次函数 综合训练题(含答案)
人教版九年级上册数学二次函数综合训练题一．选择题（共10小题）1．如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c 过E、B、C三点，下列判断中：①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD=5，其中正确的个数有（）A．5 B．4 C．3 D．22．如图，点M是抛物线y=ax2（x＞0）上的任意一点，MA⊥x轴于点A，MB⊥y轴于点B，连接AB，交抛物线于点P，则的值是（）B．C．D．A．3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④ C．①②③D．①②③④4．已知二次函数y=x2﹣2ax+6，当﹣2≤x≤2时，y≥a，则实数a的取值范围是（）A．B．﹣2≤a≤2 C．D．0≤a≤25．下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.36．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为（）A．15 B．18 C．21 D．247．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+3上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（）A．1+B．1﹣C．﹣1 D．1﹣或1+9．二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（）A．B．C．D．10．二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（）A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）B．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）C．开口向上，顶点坐标为（1，4） D．开口向下，顶点坐标为（1，4）二．填空题（共6小题）11．已知函数y=，其图象如图中的实线部分，图象上两个最高点分别是A，B，连接AB，则图中曲四边形ABCO（阴影部分）的面积是．12.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（3，0），顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上．若抛物线y=﹣x2﹣5x+c经过点B、C，则菱形ABCD的面积为．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+4x的顶点为A，与x轴分别交于O、B两点，过顶点A分别作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，连接BD，交AC于点E，则△ADE与△BCE的面积和为．14 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣3）2+2（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线y=﹣x2﹣2于点B，则A、B两点间的距离为．16.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y=﹣x2+3bx+2b+经过B、C两点，则正方形OABC的周长为．三．解答题（共10小题）17．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．18．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=﹣x+3交于C、D两点．连接BD、AD．（1）求m的值．（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标．19．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的顶点B的坐标；（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=1，请直接写出点P的坐标．20．如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．21．已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3（1）求它的顶点坐标和对称轴；（2）求它与x轴的交点；（3）画出这个二次函数图象的草图．22．如图，二次函数y=ax2﹣2ax+3（a≠0）的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中AB=4，连接BC．（1）求二次函数的对称轴和函数表达式；（2）若点M是线段BC上的动点，设点M的横坐标为m，过点M作MN∥y轴交抛物线于点N，求线段MN的最大值；（3）当0≤x≤t时，则3≤y≤4，直接写出t的取值范围．23．如图1为抛物线桥洞，已知底面宽AB=16m，与拱顶M的距离4m．（1）在图2中，建立适当的坐标系，求抛物线的解析式；（2）若水深1米，求水面CD的宽度（结果用根号表示）24．如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形DEFG的边长均为8cm，EF与AC在同一条直线上，开始时点A与点F重合，让△ABC向左移动，运动速度为1cm/s，最后点A与点E重合．（1）试写出两图形重叠部分的面积y（cm2）与△ABC的运动时间x（s）之间的关系式；（2）当点A向左运动2.5s时，重叠部分的面积是多少？25．如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，点C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．26．如图，抛物线y=（x+1）2﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A、C两点的坐标；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，求此时点P的坐标及最小周长；（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，当四边形AMCO的面积最大时，求出四边形AMCO的最大面积及此时点M的坐标．答案一、选择1.C．2．A．3．C．4．C5．C．6．B．7．B．8．A9．A．10．A．二．填空题11．2．12．20．13．4．14．15．15．7．16．8．三．解答题17．解：（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD=×2×a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，∴E（，0），∴BE=3﹣=∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x2﹣2x+；综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+．18．解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+3过（3，0），∴0=﹣9+3m+3，∴m=2（2）由，得，，∴D（，﹣），∵S△ABP=4S△ABD，∴AB×|y P|=4×AB×，∴|y P|=9，y P=±9，当y=9时，﹣x2+2x+3=9，无实数解，当y=﹣9时，﹣x2+2x+3=﹣9，x1=1+，x2=1﹣，∴P（1+，﹣9）或P（1﹣，﹣9）．19．解：（1）将A（﹣2，0）、O（0，0）代入解析式y=﹣x2+bx+c，得c=0，﹣4﹣2b+c=0，解得c=0，b=﹣2，所以二次函数解析式：y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，所以，顶点B坐标（﹣1，1）；（2）∵AO=2，S△AOP=1，∴P点的纵坐标为：±1，∴﹣x2﹣2x=±1，当﹣x2﹣2x=1，解得：x1=x2=﹣1，当﹣x2﹣2x=﹣1时，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，∴点P的坐标为（﹣1，1）或（﹣1+，﹣1））或（﹣1﹣，﹣1）．20．解：（1）∵OM=ON=4，∴M点坐标为（4，0），N点坐标为（0，4），设抛物线解析式为y=a（x﹣4）2，把N（0，4）代入得16a=4，解得a=，所以抛物线的解析式为y=（x﹣4）2=x2﹣2x+4；（2）∵点A的横坐标为t，∴DM=t﹣4，∴CD=2DM=2（t﹣4）=2t﹣8，把x=t代入y=x2﹣2x+4得y=t2﹣2t+4，∴AD=t2﹣2t+4，∴l=2（AD+CD）=2（t2﹣2t+4+2t﹣8）=t2﹣8（t＞4）．21．解：（1）y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4），对称轴x=﹣1；（2）令y=0，得﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，故与x轴的交点坐标：（1，0），（﹣3，0）（3）画出函数的图象如图：22．解：（1）∵二次函数解析式为y=ax2﹣2ax+3，∴对称轴x=1，∵AB=4，∴A（﹣1，0），B（3，0），把（﹣1，0）代入二次函数的解析式得到a=﹣1，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，设M（m，﹣m+3），则N（m，﹣m2+2m+3），∴NM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴m=时，MN有最大值，最大值为．（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标（1，4），∵y=3时3=﹣x2+2x+3，解得x=0或2，∴0≤x≤t时，则3≤y≤4，∴结合图象可知，1≤t≤2．23．解：（1）建立如图所示的坐标系，设这条抛物线的解析式为y=ax2+4（a≠0）．由已知抛物线经过点B（8，0），可得0=a×82+4，有a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4．（2）当y=1时，1=﹣x2+4，解得：x=±4，4﹣（﹣4）=8，∴水面CD的宽为8m．24．解（1）重叠部分的面积y与线段AF的长度x之间的函数关系式为y=x2．（2）当点A向左移动2cm，即x=2cm，当x=25时，y=×2.52=3.125（cm2）．所以当点A向左移动2.5cm时，重叠部分的面积是3.125cm2．25．解：（1）∵抛物线的对称轴为x=﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）．（2）①将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b=2，c=﹣3，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3．∵将x=0代入得y=﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．∴OC=3．∵点B的坐标为（1，0），∴OB=1．设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC=4S△BOC，∴OC•|a|=OC•OB，即×3×|a|=4××3×1，解得a=±4．当a=4时，点P的坐标为（4，21）；当a=﹣4时，点P的坐标为（﹣4，5）．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）．②如图所示：设AC的解析式为y=kx﹣3，将点A的坐标代入得：﹣3k﹣3=0，解得k=﹣1，∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q的坐标为（x，﹣x﹣3）．∴QD=﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）=﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3=﹣x2﹣3x=﹣（x2+3x+﹣）=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值，QD的最大值=．26．解：（1）令x=0，得y=﹣3，∴点C坐标（0，﹣3）．令y=0则（x+1）2﹣4=0，解得x=﹣3或1，∴点A坐标（﹣3，0），B（1，0），∴A（﹣3，0），C（0，﹣3）．（2）如图1中，连接AC交对称轴于P，∵PB=PA，∴PB+PC=PB+PA，∴此时PB+PC最短，△PBC的周长最短，设直线AC解析式为y=kx+b则解得，∴直线AC解析式为y=﹣x﹣3，∵对称轴x=﹣1，∴点P坐标（﹣1，﹣2），在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°，OA=OC=3，∴AC=3，∵BC===，∴△PBC周长的最小值为3+．（3）如图2中，设M（m，m2+2m﹣3），连接OM．∵S四边形AMCO=S△AOM+S△MOC=×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）=﹣m2﹣m+=﹣（m+）2+，∵﹣＜0，∴m=﹣时，四边形AMCO面积最大，最大值为，此时点M（﹣，﹣）．。
二次函数综合测评卷(含答案)
二次函数综合测评卷一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列各式中，y 是x 的二次函数的是( ).A.x 2+2y 2=2B.x =y 2C.3x 2－2y =1D.21x +2y －3=0 2.对于二次函数y =(x －1)2+3的图象，下列说法正确的是( ). A.开口向下 B.对称轴是直线x =－1 C.顶点坐标是(1，3) D.与x 轴有两个交点（第3题）3.如图所示，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用12m 长的篱笆围成一个矩形(ABCD )花园，这个矩形花园的最大面积是( ).A.16m 2B.12m 2C.18m 2D.以上都不对 4.如果抛物线y =mx 2+(m －3)x －m +2经过原点，那么m 的值等于( ). A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图所示，直线x =1是抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴，那么有( ). A.abc ＞0 B.b ＜a +c C.a +b +c ＜0 D.c ＜2b(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)6.已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法中正确的是( ).A.有最小值0，有最大值3B.有最小值－1，有最大值0C.有最小值－1，有最大值3D.有最小值－1，无最大值7.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为点P (－2，2)，与y 轴交于点A (0，3).若平移该抛物线使其顶点P 由(－2，2)移动到(1，－1)，此时抛物线与y 轴交于点A ′，则AA ′的长度为( ). A.343 B.241C.32D.3 8.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB =8m ，然后用一根长4m 的小竹竿CD 竖直地接触地面和门的内壁，测得AC =1m ，则门高OE 为( ).A.9mB.764m C.8.7m D.9.3m 9.已知二次函数y =x 2+bx +c 与x 轴只有一个交点，且图象过A (x 1，m )，B (x 1+n ，m )两点，则m ，n 满足的关系为( ). A.m =21n B.m =41n C.m =21n 2 D.m =41n 2 10.已知二次函数y =－(x －1)2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为( ). A.25 B.2 C. 23 D. 21二、填空题(每题4分，共24分)11.如果某个二次函数的图象经过平移后能与y =3x 2的图象重合，那么这个二次函数的表达式可以是 (只要写出一个)．12.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线.若点P (5，0)在抛物线上，则9a －3b +c 的值为 .（第12题）（第13题） (第14题) (第15题)13.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A ，B (m +2，0),与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是 .14.如图所示，将两个正方形并排组成矩形OABC ，OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上.正方形EFMN 的边EF 落在线段CB 上，过点M ，N 的二次函数的图象也过矩形的顶点B ，C ，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的表达式为 ．15.某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w (元)与降价x (元)的函数关系如图所示.这种工艺品的销售量y （件）关于降价x （元）的函数表达式为 ． 16.已知抛物线y =a (x －1)（x +a2）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若△ABC 为等腰三角形，则a 的值是 ． 三、解答题(共66分)17.(6分)已知抛物线的顶点坐标是(2，－3)，且经过点（1，－25）． (1)求这个抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象．(2)当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减小？18.(8分)今有网球从斜坡点O 处抛出，网球的运动轨迹是抛物线y =4x －21x 2的图象的一段，斜坡的截线OA 是一次函数y =21x 的图象的一段，建立如图所示的平面直角坐标系．(第18题)(1)求网球抛出的最高点的坐标．(2)求网球在斜坡上的落点A 的竖直高度．19.(8分)若直线y =x +3与二次函数y =－x 2+2x +3的图象交于A ，B 两点，(1)求A ，B 两点的坐标． (2)求△OAB 的面积．(3)x 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？20.（10分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫的距离为x (km )，乘坐地铁的时间y 1(min )是关于x 的一次函数，其关系如下表所示：1(2)李华骑单车的时间也受x 的影响，其关系可以用y 2=21x 2－11x +78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.21.（10分）已知二次函数y =ax 2+bx +21(a ＞0，b ＜0)的图象与x 轴只有一个公共点A. (1)当a =21时，求点A 的坐标. (2)过点A 的直线y =x +k 与二次函数的图象相交于另一点B ，当b ≥－1时，求点B 的横坐标m 的取值范围.22.(12分)设函数y =kx 2+(2k +1)x +1(k 为实数)．(1)写出符合条件的两个函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一平面直角坐标系内，用描点法画出这两个函数的图象．(2)根据所画的函数图象，提出一个对任意实数k ，函数的图象都具有的特征的猜想，并给予证明．(3)对任意负实数k ，当x <m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．23.(12分)如图1所示，点P (m ，n )是抛物线y =41x 2－1上任意一点，l 是过点(0，－2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为点H ． 【特例探究】(1)当m =0时，OP = ，PH = ；当m =4时，OP =，PH = ． 【猜想验证】(2)对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想． 【拓展应用】(3)如图2所示，图1中的抛物线y =41x 2－1变成y =x 2－4x +3，直线l 变成y =m (m ＜－1).已知抛物线y =x 2－4x +3的顶点为点M ，交x 轴于A ，B 两点，且点B 坐标为(3，0)，N 是对称轴上的一点，直线y =m (m ＜－1)与对称轴交于点C ，若对于抛物线上每一点都满足：该点到直线y =m 的距离等于该点到点N 的距离．①用含m 的代数式表示MC ，MN 及GN 的长，并写出相应的解答过程. ②求m 的值及点N 的坐标．(第23题)二次函数综合测评卷一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列各式中，y 是x 的二次函数的是(C ).A.x 2+2y 2=2B.x =y 2C.3x 2－2y =1D.21x+2y －3=0 2.对于二次函数y =(x －1)2+3的图象，下列说法正确的是(C ). A.开口向下 B.对称轴是直线x =－1 C.顶点坐标是(1，3) D.与x 轴有两个交点（第3题）3.如图所示，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用12m 长的篱笆围成一个矩形(ABCD )花园，这个矩形花园的最大面积是(C ).A.16m 2B.12m 2C.18m 2D.以上都不对 4.如果抛物线y =mx 2+(m －3)x －m +2经过原点，那么m 的值等于(C ). A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图所示，直线x =1是抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴，那么有(D ). A.abc ＞0 B.b ＜a +c C.a +b +c ＜0 D.c ＜2b(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)6.已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法中正确的是(C ).A.有最小值0，有最大值3B.有最小值－1，有最大值0C.有最小值－1，有最大值3D.有最小值－1，无最大值7.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为点P (－2，2)，与y 轴交于点A (0，3).若平移该抛物线使其顶点P 由(－2，2)移动到(1，－1)，此时抛物线与y 轴交于点A ′，则AA ′的长度为(A ). A.343 B.241C.32D.3 8.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB =8m ，然后用一根长4m 的小竹竿CD 竖直地接触地面和门的内壁，测得AC =1m ，则门高OE 为(B ).A.9mB.764m C.8.7m D.9.3m 9.已知二次函数y =x 2+bx +c 与x 轴只有一个交点，且图象过A (x 1，m )，B (x 1+n ，m )两点，则m ，n 满足的关系为(D ). A.m =21n B.m =41n C.m =21n 2 D.m =41n 2 10.已知二次函数y =－(x －1)2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为(D ). A.25 B.2 C. 23 D. 21（第10题答图）【解析】二次函数y =－(x －1)2+5的大致图象如答图所示：①当m ≤0≤x ≤n ＜1时，当x =m 时y 取最小值，即2m =－(m －1)2+5，解得m =－2或m =2(舍去).当x =n 时y 取最大值，即2n =－(n －1)2+5，解得n =2或n =－2(均不合题意，舍去).②当m ≤0≤x ≤1≤n 时，当x =m 时y 取最小值，由①知m =－2.当x =1时y 取最大值，即2n =－(1－1)2+5，解得n =25，或x =n 时y 取最小值，x =1时y 取最大值，2m =－(n －1)2+5，n =25，∴m =811.∵m ＜0，∴此种情形不合题意.∴m +n =－2+25=21.故选D. 二、填空题(每题4分，共24分)11.如果某个二次函数的图象经过平移后能与y =3x 2的图象重合，那么这个二次函数的表达式可以是 y =3（x +2）2+3 (只要写出一个)．12.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线.若点P (5，0)在抛物线上，则9a －3b +c 的值为 0 .（第12题）（第13题） (第14题) (第15题)13.如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A ，B (m +2，0),与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是 (－2,0) .14.如图所示，将两个正方形并排组成矩形OABC ，OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上.正方形EFMN 的边EF 落在线段CB 上，过点M ，N 的二次函数的图象也过矩形的顶点B ，C ，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的表达式为 y =－34x 2+38x +1 ． 15.某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w (元)与降价x (元)的函数关系如图所示.这种工艺品的销售量y （件）关于降价x （元）的函数表达式为 y =60+x ． 16.已知抛物线y =a (x －1)（x +a2）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若△ABC 为等腰三角形，则a 的值是 2或34或251 ．三、解答题(共66分)17.(6分)已知抛物线的顶点坐标是(2，－3)，且经过点（1，－25）． (1)求这个抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象．(2)当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减小？ 【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y =a （x －2）2－3，把(1,－ 25)代入,得－25=a －3，即a =21. ∴抛物线的函数表达式为y =21x 2－2x －1.图略. (2)∵抛物线对称轴为直线x =2,且a >0,∴当x ≥2时，y 随x 的增大而增大；当x ≤2时，y 随x 的增大而减小.18.(8分)今有网球从斜坡点O 处抛出，网球的运动轨迹是抛物线y =4x －21x 2的图象的一段，斜坡的截线OA 是一次函数y =21x 的图象的一段，建立如图所示的平面直角坐标系．(第18题)(1)求网球抛出的最高点的坐标．(2)求网球在斜坡上的落点A 的竖直高度．【答案】(1)∵y =4x －21x 2=－21（x －4）2+8，∴网球抛出的最高点的坐标为（4，8）. (2)由题意得4x －21x 2=21x ,解得x =0或x =7.当x =7时，y =21×7=27.∴网球在斜坡的落点A的垂直高度为27.19.(8分)若直线y =x +3与二次函数y =－x 2+2x +3的图象交于A ，B 两点， (1)求A ，B 两点的坐标． (2)求△OAB 的面积．(3)x 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？【答案】(1)由题意得⎩⎨⎧++-=+=3232x x y x y ，解得⎩⎨⎧==30y x 或⎩⎨⎧==41y x .∴A ，B 两点的坐标分别为（0，3），（1，4）.(2)∵A ，B 两点的坐标是（0，3），（1，4），∴OA =3，OA 边上的高线长是1.∴S △OAB =21×3×1=23. (3)当x ＜0或x ＞1时，一次函数的值大于二次函数的值.20.（10分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫的距离为x (km )，乘坐地铁的时间y 1(min )是关于x 的一次函数，其关系如下表所示：(1)求y 1关于x 的函数表达式.(2)李华骑单车的时间也受x 的影响，其关系可以用y 2=21x 2－11x +78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.【答案】(1)设y 1=kx +b ，将(8，18)，(9，20)代入，得⎩⎨⎧=+=+209188b k b k ,解得⎩⎨⎧==22b k .∴y 1关于x的函数表达式为y 1=2x +2.(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y .则y =y 1+y 2=2x +2+21x 2－11x +78=21x 2－9x +80.∴当x =9时，y 有最小值，y min =2149802142⨯-⨯⨯=39.5.∴李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5min . 21.（10分）已知二次函数y =ax 2+bx +21(a ＞0，b ＜0)的图象与x 轴只有一个公共点A. (1)当a =21时，求点A 的坐标. (2)过点A 的直线y =x +k 与二次函数的图象相交于另一点B ，当b ≥－1时，求点B 的横坐标m 的取值范围.【答案】(1)∵二次函数y =ax 2+bx +21 (a ＞0，b ＜0)的图象与x 轴只有一个公共点A ，∴Δ=b 2－4a ×21=b 2－2a =0.∵a =21，∴b 2=1.∵b ＜0，∴b =－1.∴二次函数的表达式为y =21x 2－x +21.当y =0时，21x 2－x +21=0，解得x 1=x 2=1，∴A (1，0). (2)∵b 2=2a ，∴a =21b 2，∴y =21b 2x 2+bx +21=21 (bx +1)2.当y =0时，x =－b 1，∴A （－b 1，0）.将点A （－b 1,0）代入y =x +k ，得k =b 1.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=b x y bx x b y 1212122消去y 得21b 2x 2+(b －1)x +21－b 1=0，解得x 1=－b 1，x 2=22b b -.∵点A 的横坐标为－b 1，∴点B 的横坐标m =22bb -.∴m =22b b -=2（21b －b 21）=2（b 1－41）2－81.∵2＞0，∴当b 1＜41时，m 随b 1的增大而减小.∵－1≤b ＜0，∴b 1≤－1.∴m ≥2×（－1－41）2－81=3，即m ≥3. 22.(12分)设函数y =kx 2+(2k +1)x +1(k 为实数)．(1)写出符合条件的两个函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一平面直角坐标系内，用描点法画出这两个函数的图象．(2)根据所画的函数图象，提出一个对任意实数k ，函数的图象都具有的特征的猜想，并给予证明．(3)对任意负实数k ，当x <m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．【答案】(1)如：y =x +1,y =x 2+3x +1，图略.(2)不论k 取何值，函数y =kx 2+(2k +1)x +1的图象必过定点(0,1),(－2,－1)，且与x 轴至少有1个交点.证明如下：由y =kx 2+(2k +1)x +1，得k (x 2+2x )+(x －y +1)=0.当x 2+2x =0,x －y +1=0，即x =0,y =1，或x =－2,y =－1时，上式对任意实数k 都成立，∴函数的图象必过定点(0,1),(－2,－1).∵当k =0时，函数y =x +1的图象与x 轴有一个交点；当k ≠0时，Δ=(2k +1)2－4k =4k 2+1>0，函数图象与x 轴有两个交点,∴函数y =kx 2+(2k +1)x +1的图象与x 轴至少有1个交点.(3)只要写出的m ≤－1就可以.∵k <0，∴函数y =kx 2+(2k +1)x +1的图象在对称轴直线x =－k k 212+的左侧，y 随x 的增大而增大.由题意得m ≤－k k 212+.∵当k <0时，k k 212+=－1－k 21>－1.∴m ≤－1.23.(12分)如图1所示，点P (m ，n )是抛物线y =41x 2－1上任意一点，l 是过点(0，－2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为点H ．【特例探究】(1)当m =0时，OP = 1 ，PH = 1 ；当m =4时，OP = 5 ，PH = 5 ．【猜想验证】(2)对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想．【拓展应用】(3)如图2所示，图1中的抛物线y =41x 2－1变成y =x 2－4x +3，直线l 变成y =m (m ＜－1).已知抛物线y =x 2－4x +3的顶点为点M ，交x 轴于A ，B 两点，且点B 坐标为(3，0)，N 是对称轴上的一点，直线y =m (m ＜－1)与对称轴交于点C ，若对于抛物线上每一点都满足：该点到直线y =m 的距离等于该点到点N 的距离．①用含m 的代数式表示MC ，MN 及GN 的长，并写出相应的解答过程.②求m 的值及点N 的坐标．(第23题)【答案】 (1)1，1，5，5.(2)猜想：OP =PH .证明：设PH 交x 轴于点Q ∵P 在y =41x 2－1上，∴P （m ，41m 2－1），PQ =∣41m 2－1∣，OQ =|m |.∵△OPQ 是直角三角形，∴OP =22OQ PQ +=222141m m +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22141⎪⎭⎫ ⎝⎛+m =14m 2+1.∵PH =yp －（－2）=（41m 2－1）－（－2）=41m 2+1，∴OP =PH . (3)①∵M （2，－1），∴CM =MN =－m －1.GN =CG －CM －MN =－m －2（－m －1）=2+m .②点B 的坐标是（3，0），BG =1，GN =2+m .由勾股定理得BN =22GN BG +=()2221m ++.∵对于抛物线上每一点都有：该点到直线y =m 的距离等于该点到点N 的距离，∴1+（2+m ）2=（－m ）2,解得m =－45. ∵GN =2+m =2－45=43，∴N （2，－43）.。
2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题(含答案)
2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P 抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题（答案）一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．【答案】（1）（m，﹣m2﹣3）；（2）抛物线顶点到x轴的最小距离为4；（3）直线AB过定点（0，﹣）．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．【答案】（1）y＝x2﹣2x+1；（2）①k1k2＝﹣4；②证明见解答过程．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．【答案】（1）m＝1；（2）点G的坐标为；（3）见解析．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．【答案】（1）解析式为：y＝x2﹣2x；（2）E1（0，0），E2（6，6）；（3）证明见解答过程．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣1；（2）；（3）定值1．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）D（4，5）；（3）m、n之间的数量关系为n+3m＝2．理由间接性．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣1；（2）①F′G＝为定值；②PH•QH的最大值为：．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）3或；（3）见解析．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．【答案】（1）3a+c＝1；（2）①4；②见解答．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）S1﹣S2的最大值为，点P的坐标为：（，）；（3）m＝．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）（﹣1，0），，；（3）P（6，0）．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为（﹣1，4）；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为﹣2≤m≤﹣1 ．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．【答案】（1）①（﹣1，4）；②﹣2≤m≤﹣1；（2）①证明见解析过程；②△DOQ的形状不会随着n的变化而变化，理由见解析过程．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．【答案】（1）E（m，﹣m2﹣m﹣1）；（2）①m＝3﹣1；②6﹣6．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．【答案】（1）y＝x2+x；点B在抛物线上，理由见解答过程；（2）2；（3）≤n≤﹣或≤n≤或≤n≤．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①△BCD面积的最大值为；②D（，﹣）．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）；（3）存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN；N的坐标是或．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）．。
中考数学二次函数专题训练50题(含参考答案)
中考数学二次函数专题训练50题含答案一、单选题1．二次函数y ＝﹣2x 2﹣1图象的顶点坐标为（ ） A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（﹣2，1）2．下列函数图象不属于中心对称图形的是（ ） A ．20222023yxB ．220222023yx x C ．2023y =- D ．2022xy =-3．下列关系式中，属于二次函数的是（ ）A ．22y x =-B ．y =C ．31y x =-D ．1y x=4．若抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上，则a 的取值范围是（ ） A ．2a <B ．2a >C ．a<0D ．0a >5．已知点1(4)y -，、2(1)y -，、353y ⎛⎫⎪⎝⎭，都在函数245y x x =--+的图象上，则123y y y 、、的大小关系为( )A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >> 6．在平面直角坐标系中，将抛物线221y x x =+-，绕原点旋转180°，所得到的抛物线的函数关系式是（ ） A ．221y x x =-+ B ．221y x x =--- C ．221y x x =-+-D ．221y x x =-++7．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过原点和第一、二、三象限，则（ ） A ．0,0,0a b c >>> B ．0,0,0a b c <<= C ．0,0,0a b c <D ．0,0,0a b c >>=8．二次函数241y mx x =-+有最小值3-，则m 等于（ ） A ．1B ．1-C ．1±D ．12±9．已知点 A （−1，a ），B （1，b ），C （2，c ）是抛物线 y = -2x + 2x 上的三点，则 a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a>c>bB ．b>a>cC ．b>c>aD ．c>a>b10．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是（）A．235B．5C．6D．25411．如图，已知直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，则①abc、①a﹣b+c、①a+b+c、①2a﹣b、①3a﹣b，其中是负数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7B．y=（x+4）2+7C．y=（x﹣4）2﹣25D．y=（x+4）2﹣2513．若二次函数y=（x﹣k）2+m，当x≤2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k=2B．k＞2C．k≥2D．k≤214．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：则方程ax2＋bx＋3＝0的根是（）A．0或4B．1或3C．-1或1D．无实根15．二次函数图像如图所示，下列结论：①0abc >，①20a b +=，①，①方程20ax bx c ++=的解是-2和4，①不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个16．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0，①3a ﹣b ＝0，①a ＋b ＋c ＝0，①9a ﹣3b ＋c ＜0，①b 2﹣4ac ＞0.其中正确的有（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①17．将抛物线y=2x2向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是（ ） A ．y=2（x+1）2B ．y=2（x ﹣1）2C ．y=2x2﹣1D ．y=2x2+118．如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①ac <0；①2a ﹣b=0；①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；①方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，x 2=3；①30a c +=；①对于任意实数m ，2am bm a b +≥+总是成立的．正确的说法有（ ）A ．2B ．3C ．4D ．519．如图是二次函数21y ax bx c =++，反比例函数2my x=在同一直角坐标系的图象，若y 1与y 2交于点A (4，yA )，则下列命题中，假命题是( )A ．当x ＞4时，12y y ＞B ．当1x <-时，12y y ＞C ．当12y y ＜时，0＜x ＜4D ．当12y y ＞时，x ＜020．如图是二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为x =12， 且经过点（2，0），下列结论正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．2-4ac<0bC ．a+b=1D ．当x ＞2或x ＜-1时，y ＜0二、填空题21．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；①在第一象限内函数y 随自变量x 的增大而减少，则这个函数的表达式为__________． 22．抛物线()269y x =-++的顶点坐标是______． 23．抛物线244y x x =+-的对称轴是直线______． 24．抛物线y ＝－（x －1）2－2的顶点坐标是________．25．二次函数210y ax bx a =+≠-（）的图象经过点（1，1），则代数式1a b --的值为______． 26．将抛物线2yx 向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是______；27．若抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是（1，4），（5，4），则这条抛物线的对称轴是直线____________．28．抛物线 245y x x =-+，当34x -≤≤时，y 的取值范围是___________ 29．已知二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是______．30．如图，抛物线2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点B ，C 作一条直线l ． （1）ABC ∠的度数是______；（2）点P 在线段OB 上，且点P 的坐标为()2,0，过点P 作PM x ⊥轴，交直线l 于点N ，交抛物线于点M ，则线段MN 的长为______．31．如图，一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣3）（0≤x≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m ＝_____．32．二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的图象的解析式为_____．33．如图，直角梯形OABC 的直角顶点是坐标原点，边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．OA ①BC ，D 是BC 上一点，BD =14OA AB =3，①OAB =45°，E ，F 分别是线段OA ，AB 上的两个动点，且始终保持①DEF =45°．设OE =x ，AF =y ，则y 与x 的函数关系式为_____．34．已知某抛物线上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是_____．35．已知点A(－3，m)在抛物线y ＝x 2＋4x ＋10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点的坐标为________．36．若二次函数()22212y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称，则m 的值为：________．此函数图象的顶点和它与x 轴的两个交点所确定的三角形的面积为：________.37．二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如表下列结论：①ac ＜0； ①当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小； ①当2x =时，5y =； ①3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根. 其中正确的结论是_________（填正确结论的序号）.38．如图所示，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象，下列结论中：0abc >①； 40a c +>②；③若t 为任意实数，则有2a bt at b -≥+； ④若函数图象经过点()2,1，则311222a b c ++=；⑤当函数图象经过()2,1时，方程210ax bx c ++-=的两根为1x ，212()x x x <，则1228x x -=-．其中正确的结论有______．39．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的动点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ．则四边形EFGH 面积的最小值为___．40．如图，已知二次函数2y x 2x 3=-++的图象与y 轴交于点A ，MN 是该抛物线的对称轴，点P 在射线MN 上，连结PA ，过点A 作AB AP ⊥交x 轴于点B ，过A 作AC MN ⊥于点C ，连结PB ，在点P 的运动过程中，抛物线上存在点Q ，使QAC PBA ∠∠=，则点Q 的横坐标为______．三、解答题41．已知抛物线y =x 2+（b -2）x +c 经过点M （-1，-2b ）． （1）求b +c 的值．（2）若b =4，求这条抛物线的顶点坐标．42．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ≤14）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？43．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“D 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D 点”根据该约定，完成下列各题．(1)在下列关于x 的函数中，是“D 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“D 函数”的打“×”，my x=（0m ≠）（_______）；31y x =-（_______）；2y x =（_______）．(2)若点A （1，m ）与点B （n ，4-）是关于x 的“D 函数”2y ax bx c =++（0a ≠）的一对“D 点”，且该函数的对称轴始终位于直线1x =的右侧，求a ，b ，c 的值或取值范围；(3)若关于x 的“D 函数”223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①0a b c ++=；①()()2230c b a c b a +-++<；求该“D 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．44．（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A 为全程25km 的普通道路，路线B 包含快速通道，全程30km ，走路线B 比走路线A 平均速度提高50%，时间节省6min ，求走路线B 的平均速度；（2）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD ＝50m ，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，求居民楼AB 的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣32t2，求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离．45．已知二次函数222y x x k=-+++与x轴的公共点有两个．求：()1求k的取值范围；()2当1k=时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；()3观察图象，当x取何值时0y>？46．如图，抛物线245y x x=-++与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．(1)求出A、B、C三点的坐标；(2)将抛物线245y x x=-++图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图像，得到的新图像记作M，图像M与直线y t=恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图像N．①在图像M上找一点P，使得PAB的面积为3，求出点P的坐标；①当图像N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．47．如图，在△ABC 中，AB=4，D 是AB 上的一点（不与点A、B 重合），DE①BC，交AC 于点E.设△ABC 的面积为S，△DEC 的面积为S'.（1）当D是AB中点时，求SS'的值；（2）设AD=x，SS'=y，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据y的范围，求S-4S′的最小值．48．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣38x2+34x+3与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．（1）求直线BC的解析式；（2）过P作PM①x轴，交BC于M，当PM﹣CM的值最大时，求P的坐标和PM﹣CM的最大值；（3）如图2，将该抛物线向右平移1个单位，得到新的抛物线y1，过点P作直线BC 的垂线，垂足为E，作y1对称轴的垂线，垂足为F，连接EF，请直接写出当PEF是以PF为腰的等腰三角形时，点P的横坐标．49．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：（1）点A 、B 的坐标；（2）抛物线的函数表达式；（3）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+BM 的最小值及点M 的坐标； （4）在抛物线对称轴上是否存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．50．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的图象过(03)A ，，()10B -，，0(3)C ，三点，顶点为P ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点G 在y 轴上，且OGB OAB ACB ∠+∠=∠，求AG 的长；(3)若//AD x 轴且D 在抛物线上，过D 作DE BC ⊥于E ，M 在直线DE 上运动，点N 在x 轴上运动，是否存在这样的点M 、N 使以A 、M 、N 为顶点的三角形与APD △相似若存在，请求出点M 、N 的坐标．参考答案：1．B【分析】根据二次函数的解析式特点可知其图象关于y 轴对称，可得出其顶点坐标．【详解】解：①221y x =-- ,①其图象关于y 轴对称，①其顶点在y 轴上，当0x =时，1y =-，所以顶点坐标为（0，﹣1），故选择：B.【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数y=ax 2+c 的图象关于y 轴对称是解题的关键．2．B【分析】分别根据一次函数图象，二次函数图象，常数函数的图象的对称性分析判断即可得解．【详解】解：A ．直线20222023y x 是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．抛物线220222023y x x 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．直线2023y =-是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．直线2022x y =-是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，常数函数的图象，熟记各图形以及其对称性是解题的关键．3．A【分析】根据二次函数的定义进行解答即可．【详解】22y x =-符合二次函数的定义，故A 符合题意；y B 不符合题意； 31y x =-是一次函数，故C 不符合题意；1y x=中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式()20y ax bx c a =++≠是解题的关键．4．B【分析】根据抛物线的开口向上，可得20a ->，进而即可求得a 的取值范围．【详解】解：①抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上，①20a ->即2a >故选B【点睛】本题考查了二次函数2y ax =图象的性质，掌握0a >时，抛物线的开口向上是解题的关键．5．C【分析】根据函数解析式求出对称轴，在根据函数的性质求解即可；【详解】解：①245y x x =--+，①函数图像的对称轴是直线422x -=-=--，图象的开口向下， ①当<2x -时，y 随x 的增大而增大， 点353y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于对称轴的对称点是⎛⎫- ⎪⎝⎭317,3y ， ①17413-<-<-， ①213y y y >>；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6．D【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据旋转求出旋转后的抛物线顶点坐标，然后根据顶点式写出抛物线的解析式即可．【详解】解：①()222112y x x x =+-=+-，①抛物线的顶点坐标为()1,2--，①将抛物线221y x x =+-，绕原点旋转180︒后顶点坐标变为()1,2，1a =-，①旋转后的函数关系式为()221221y x x x =--+=-++．故选：D ．【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标和a 的值．7．D【详解】试题分析：由题意得，二次函数经过原点可知，,又只经过第一，二，三象限，画图可知抛物线开口向上，对称轴在轴的负半轴，综合可知，故选D.考点：二次函数的对称轴及开口方向综合问题.8．A【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．【详解】①二次函数241y mx x =-+有最小值3-， ①41634m m-=-， 解得1m =．故选A ．9．C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =-x 2+2x 的开口向下，对称轴为直线x =1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【详解】解：①抛物线y =-x 2+2x =-（x -1）2+1，①抛物线y =-x 2+2x 的开口向下，对称轴为直线x =1，而A （-1，a ）离直线x =1的距离最远，B （1，b ）在直线x =1上，①b ＞c ＞a ，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．10．B【分析】易证△CFE ∽△BEA ，可得CF CE BE AB=，根据二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，列出方程式即可解题．【详解】若点E 在BC 上时，如图∵∠EFC +∠AEB ＝90°，∠FEC +∠EFC ＝90°，∴∠CFE ＝∠AEB ，∵在△CFE 和△BEA 中，90CFE AEB C B ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩， ∴△CFE ∽△BEA ，由二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，此时CF CE BE AB=，BE ＝CE ＝x ﹣52，即525522x y x -=-， ∴225()52y x =-， 当y ＝25时，代入方程式解得：x 1＝32（舍去），x 2＝72， ∴BE ＝CE ＝1，∴BC ＝2，AB ＝52， ∴矩形ABCD 的面积为2×52＝5； 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数顶点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E 为BC 中点是解题的关键．11．B【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴的交点判定系数符号,及运用一些特殊点解答问题.【详解】由抛物线的开口向下可得:a ＜0,根据抛物线的对称轴在y 轴左边可得:a ,b 同号，所以b ＜0,根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:c ＞ 0,直线x ＝－1是抛物线y ＝ ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴，所以－b 2a＝－1,可得b ＝2a ,由图知，当x ＝－3时y ＜0,即9a －3b ＋c ＜ 0,所以9a －6a ＋c ＝3a ＋c ＜0,因此①abc ＞0;①a －b ＋c ＝a －2a ＋c ＝c －a ＞ 0;①a ＋b ＋c ＝ a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＜ 0;①2a －b ＝2a － 2a ＝ 0;①3a －b ＝3a － 2a ＝ a ＜0所以①①小于0,故负数有2个，故答案选B.【点睛】本题主要考查了结合图形判断抛物线方程的系数，解本题的要点在于熟知抛物线的基本性质.12．C【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【详解】y =x 2-8x -9=x 2-8x +16-25=（x -4）2-25．故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．13．C【详解】试题分析：根据二次函数的增减性可得：当x≤k 时，y 随x 的增大而减小，则k≥2．考点：二次函数的性质14．B【分析】将（0，2）（3，-1）（4，2）代入到二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，分别求出a 、b 的值，即可求出方程的解.【详解】由题意得：29311642c a b c a b c =⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得：142a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩①方程230ax bx ++=为2430x x -+=(1)(3)0x x --=解得：121,3x x ==故选B【点睛】本题考查二次函数抛物线与坐标轴的交点以及待定系数法函数解析式和一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.15．C【详解】试题分析： ①抛物线开口向上，①0a >，①抛物线对称轴为直线2b x a =-=1，①0b <，①抛物线与y 轴交点在x 轴下方，①0c <，①0abc >，所以①正确； ①2b x a=-=1，即2b a =-，①20a b +=，所以①正确； ①抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0），而抛物线对称轴为直线x=1，①抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0），①当3x =时，0y <，①，所以①错误． ①抛物线与x 轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），①方程20ax bx c ++=的解是-2和4，①①正确；由图像可知：不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ，①①正确．①正确的答案为：①①①①．故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．16．B【分析】根据二次函数的图像和性质逐一进行判断即可【详解】解：①抛物线开口朝下，①a ＜0，①对称轴x =3-22b a=- ①b =3a ＜0，①3a ﹣b ＝0，故①正确；①抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，①c ＞0，①abc ＞0，故①错误；①抛物线的对称轴x =3-2，与x 轴的一个交点为（-4，0）， ①抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），①a +b +c =0，故①正确；根据图象知道当x =-3时，y =9a -3b +c ＞0，故①错误；根据图象知道抛物线与x 轴有两个交点，①b 2-4ac ＞0，故①正确．①正确答案为：①①①．故选：B【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．17．B【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【详解】二次函数y=2x 2的图象向右平移1个单位，得：y=2（x-1）2，故选B ．【点睛】本题考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．18．D【分析】根据二次函数系数与图像性质，二次函数与方程，二次函数与不等式之间的关系判断每一个结论，从而得出答案．【详解】①由图像可知，抛物线的开口向上，①a ＞0，①抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，①c ＜0，①ac ＜0，故此选项正确；①由图像可知，对称轴为x=1， ①12b x a=-=， ①-b=2a ，①2a+b=0，故此选项错误；①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故此选项正确；①由图像可知，方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，且对称轴为x=1， ①1212x x +=， ①2122(1)3x x =-=--=，故此选项正确；①由①可知，12133c x x a==-⨯=-， 3c a ∴=-，30a c ∴+=，故此选项正确；①由图像可知，抛物线的顶点坐标为(1,)a b c ++，∴当x=1时，二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值a+b+c ，∴2ax bx c a b c ++≥++，当x=m 时，则有2am bm c a b c ++≥++，∴2am bm a b +≥+，故此选项正确；①正确的说法有①①①①①共5个．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、方程、不等式之间的知识点，要掌握如何利用图像上的信息确定字母系数的范围，并记住特殊值的特殊用法，如x=1，x=-1时对应的y 值是解题的关键．19．D【分析】结合图形、利用数形结合思想解答．【详解】由函数图象可知，当x ＞4时，y 1＞y 2，A 是真命题；当x ＜-1时，y 1＞y 2，C 是真命题；当y 1＜y 2时，0＜x ＜4，C 是真命题；y 1＞y 2时，x ＜0或x ＞4，D 是假命题；故选D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．20．D【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号；根据对称轴求出b=-a ；把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关. ．【详解】：①二次函数的图象开口向下，①a<0，①二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，①c>0，①对称轴是直线x=12，①−2b a =12， ①b=−a>0，①abc<0.故A 错误；①抛物线与x 轴有两个交点，①b 2-4ac>0, 故B 错误①b=−a ，①a+b=0，故C 错误；故答案选D【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系.21．1y x= 【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质作答． 【详解】解：该题答案不唯一，可以为1y x=等． 故答案为：1y x =． 【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数以及二次函数的性质，熟知函数的增减性是解答此题的关键．22．()6,9-【分析】直接根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：()269y x =-++的顶点为()6,9-， 故答案为：()6,9-．【点睛】本题考查了抛物线顶点式解析式的顶点坐标，解题关键是理解抛物线()()20y a x h k a =-+≠的顶点坐标为()h k ，． 23．2x =-【分析】将题目的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴，本题得以解决．【详解】解：①抛物线2244(2)8y x x x =+-=+-，①该抛物线的对称轴是直线2x =-，故答案为：2x =-．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．24．(1，－2)【分析】对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ，． 【详解】由y ＝－（x －1）2－2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为()12-，故答案为：()12-，． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ，，掌握顶点式是解题的关键．25．-1【详解】①二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1，1)，①a+b−1=1，①a+b=2，①1−a−b=1−(a+b)=1−2=−1.故答案为-1.26．()22y x =+或244y x x =++【分析】根据函数的平移规律：左加右减；上加下减即可求解．【详解】解：①抛物线2y x 向左平移2个单位，①平移后抛物线的解析式为()22y x =+故答案为：()22y x =+【点睛】本题考查了抛物线的平移变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键． 27．x =3【分析】因为点（1，4），（5，4）的纵坐标都为4，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x =122x x +求解即可．【详解】解：抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是（1，4），（5，4）， ①两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x =1532+=，即x =3． 故答案为：3．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的平行线交点问题．掌握抛物线的性质，会利用关于对称轴对称的两点坐标求对称轴是解题关键．28．126y ≤≤【分析】先化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：①2245(2)1y x x x =-+=-+，①抛物线开口向上，对称轴为直线=2x ，函数有最小值1，当3x =-时，26y =，当=4x 时， 5.y =，①当34x -≤≤时，y 的取值范围是126y ≤≤；故答案为：126y ≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．29．14m >-且0m ≠ 【分析】根据题意可得0m ≠，且判别式0∆>，求解不等式即可．【详解】解：①二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点①0m ≠，且判别式240b ac ∆=->①14(1)0m ∆=-⨯⨯->，0m ≠ 解得14m >-且0m ≠ 故答案为：14m >-且0m ≠ 【点睛】此题考查了二次函数的定义以及二次函数与x 轴交点问题，掌握二次函数的定义以及性质是解题的关键．30． 45°； 2【分析】（1）分别求出A,B,C 的坐标，得到OB OC =，故可求解；（2）先求出直线l 的解析式，再得到M,N 的坐标即可求解．【详解】（1）当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，①点A 在点B 的左侧， ①点A 坐标为()1,0-，点B 坐标为()3,0．当0x =时，=3y -，①点C 坐标为()0,3-，①OB OC =，①=45ABC ∠︒．（2）设直线l 的函数表达式为y kx b =+，根据题意得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， ①直线l 的函数表达式为3y x =-；当2x =时，31=-=-y x ，①点N 的坐标为2,1；当2x =时，22232433=--=--=-y x x ，①点M 的坐标为()2,3-；①()132=---=MN ．故答案为：45°；2．【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数综合，解题的关键是求出各点坐标． 31．m=2【分析】根据图像的旋转变化规律及二次函数的平移规律得出平移后的解析式，进而即可求值．【详解】①一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣3）（0≤x≤3），①点O （0,0），A 1（3,0）①将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；如此进行下去，直至得C 13．①C 13的解析式与x 轴的坐标为（36,0）、（39,0）①C 13的解析式为：y ＝﹣（x －36）（x －39）当x ＝37时，m=y ＝﹣1×（﹣2）＝2故答案为：2【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，解题的关键是得出二次函数平移后的解析式．32．y ＝2（x+2）2﹣5【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y ＝2（x+2）2，即y ＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y ＝2（x+2）2向下平移5个单位长度所得抛物线的解析式为：y ＝2（x+2）2﹣5，即y ＝2（x+2）2﹣5．故答案为：y ＝2（x+2）2﹣5．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．33．213y x x =【分析】首先过B 作x 轴的垂线，设垂足为M ，由已知易求得OA Rt①ABM 中，已知①OAB 的度数及AB 的长，即可求出AM 、BM 的长，进而可得到BC 、CD 的长，再连接OD ，证①ODE ①①AEF ，通过得到的比例线段，即可得出y 与x 的函数关系式．【详解】解：过B 作BM ①x 轴于M ．在Rt①ABM 中，①AB =3，①BAM =45°，①AM =BM =2， ①BD =14OA ，OA ∴=，①BC =OA﹣AM =，CD =BC ﹣BD ，①D ，3OD ∴== ． 连接OD ，则点D 在①COA 的平分线上，所以①DOE =①COD =45°．又①在梯形DOAB 中，①BAO =45°，①由三角形外角定理得：①ODE =①DEA ﹣45°，又①AEF =①DEA ﹣45°，①①ODE=①AEF ，①①ODE ①①AEF ，OE OD AF AE∴= 即x y =①y 与x 的解析式为：213y x =-．故答案为：213y x =-．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．34．（1，﹣4）【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标．【详解】①抛物线过点（0，﹣3）和（2，﹣3），①抛物线的对称轴方程为直线x＝022+＝1，①当x＝1时，y＝﹣4，①抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为（1，﹣4）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．35．(－1，7)【详解】先根据抛物线上点的特点求出点A的坐标，再利用抛物线的对称性即可得出答案.解：把点A(－3，m)代y＝x2＋4x＋10得，m＝(-3)2＋4×(-3)＋10=7,①点A(－3，7),①对称轴42 22ba-=-=-，①点A(－3，7)关于对称轴x＝2的对称点坐标为（－1，7）.故答案为（－1，7）.36．11【分析】由图象关于y轴对称可知对称轴为x=0，由此可求解m的值；代入m值后，分别求解抛物线与x 轴的两个交点以及与y 轴的交点，利用三角形面积公式计算三角形面积.【详解】①图象关于y 轴对称，①对称轴为x=0， ①()211022m b m a --=-=-=- 解得m=1，代入原方程得：21y x =-+当y=0时，210x -+=，x=±1，当x=0时，y=1，则S △=2112⨯=. 【点睛】本题考查了二次函数对称轴及其与x 、y 轴的交点.37．①①①．【详解】试题解析：①x =-1时y =-1，x =0时，y =3，x =1时，y =5，①1{35a b c c a b c -+-++＝＝＝，解得1{33a b c -＝＝＝，①y =-x 2+3x +3，①ac =-1×3=-3＜0，故①正确；对称轴为直线x =-33212=⨯-（）， 所以，当x ＞32时，y 的值随x 值的增大而减小，故①错误； 当x =2时，y =-4+4+3=3；故①正确.方程为-x 2+2x +3=0，整理得，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3，所以，3是方程ax 2+（b -1）x +c =0的一个根，正确，故①正确.综上所述，结论正确的是①①①．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．38．①①①【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数与一元二次方程的关系综合进行判断即可．【详解】解：由抛物线开口向上，因此0a >， 对称轴是直线12b x a=-=-，因此a 、b 同号，所以0b >， 抛物线与y 轴的交点在负半轴，因此0c <． ，所以0abc <，故①不正确； 由对称轴12b x a=-=-可得2b a =， 由图象可知，当1x =时，0y a b c =++>，即20a a c ++>，30a c ∴+>，又0a >，40a c ∴+>，因此①正确；当=1x -时，y a b c =-+最小值，∴当()1x t t =≠-时，2a b c at bt c -+<++，即2a bt at b -<+，x t ∴=（t 为任意实数）时，有2a bt at b -≤+，因此①不正确；函数图象经过点()2,1，即421a b c ++=，而2b a =，231a b c ∴++=，311222a b c ∴++=， 因此①正确；当函数图象经过()2,1时，方程21ax bx c ++=的两根为1x ，212()x x x <，而对称轴为=1x -， 14x ∴=-，22x =，122448x x ∴-=--=-，因此①正确；综上所述，正确的结论有：①①①，故答案为：①①①．【点睛】本查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a 、b 、c 的关系以及二次函数与一元二次方程的根的关系是正确判断的前提． 39．8【分析】由已知可证明①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH （SAS ），再证明四边形EFGH 是正方形，设AE ＝x ，则AH ＝DG ＝BE ＝CF ＝4﹣x ，在Rt①EAH 中，由勾股定理得EH 2＝x 2+（4﹣x ）2，所以S 四边形EFGH ＝EH 2＝2（x ﹣2）2+8，可知当x ＝2时，S 四边形EFGH 有最小值8，【详解】解：设AE ＝x ，则AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x ，①正方形ABCD ，边长为4，①AH ＝DG ＝BE ＝CF ＝4﹣x ，①A =①B =①C =①D =90°①①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH （SAS ），①①AEH +①BEF ＝90°，①EFB +①GFC ＝90°，①FGC +①HGD ＝90°，①①HEF ＝①EFG ＝①FGH ＝90°，①EF ＝EH ＝HG ＝FG ，①四边形EFGH 是正方形，在Rt ①EAH 中，EH 2＝AE 2+AH 2，即EH 2＝x 2+（4﹣x ）2，①S 四边形EFGH ＝EH 2＝2x 2﹣8x +16＝2（x ﹣2）2+8，当x ＝2时，S 四边形EFGH 有最小值8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.40．53【分析】通过作辅助线，连接CO ，过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ，先证明AOB 与ACP 相似，得到ABP AOC ∠∠=，再证QDA 与CAO 相似，设出点Q 的坐标，通过相似比即可求出点Q 坐标．【详解】如图，连接CO ，过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ，。
2023年中考数学专题复习：二次函数综合题训练(含答案)
9．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．抛物线 经过点 、 ．
(1)求抛物线解析式及顶点 坐标；
(2) 为抛物线第一象限内一点，使得 面积最大，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
3．(1)
(2)
(3)存在，
(4) 或
4．(1)
(2)①最大值为8，m＝2；②存在， 或
5．(1)C（0，6）；抛物线的解析式为y＝−x2＋5x＋6
(2)P（3，12）
(3)点N的坐标为（ ， ）或（ ， ）
6．(1)y＝ x2﹣3x﹣8，点B坐标（8，0），点E坐标（3，﹣4）
(2)存在，F
(3)﹣ 或﹣
(3)将抛物线沿射线AC方向平移 个单位长度，若点F为新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系内是否存在点M，使以点B、C、F、M为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴交于点A( ，0)、B(4，0)，与y轴交于点C．
(3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．
3．如图，已知A（﹣2，0）、B（3，0），抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N．
(3)在（2）的条件下，有一条长度为 的线段 落在 上（ 与点 重合， 与点 重合），将线段 沿 轴正方向以每秒 个单位向右平移，设移动时间为 秒，当四边形 周长最小时，求 的值．
人教版 九年级数学上册 22章 二次函数 综合训练(含答案)
人教版九年级数学上册22章二次函数综合训练一、选择题（本大题共8道小题）1. 二次函数y＝(x－1)2＋3的图象的顶点坐标是()A．(1，3) B．(1，－3)C．(－1，3) D．(－1，－3)2. 二次函数y＝x2－2x－2的图象与坐标轴的交点个数是()A．0 B．1 C．2 D．33. 某商品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为()A．130元/个B．120元/个C．110元/个D．100元/个4. 抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是()A．直线x＝2 B．直线x＝－2C．直线x＝1 D．直线x＝－15. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是()A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1C．x＝－3 D．x＝－26. 若A(－1，0)为抛物线y＝－3(x－1)2＋c上一点，则当y≥0时，x的取值范围是()A ．－1＜x ＜3B ．x ＜－1或x ＞3C ．－1≤x ≤3D ．x ≤－1或x ≥37. 2019·资阳如图是函数y ＝x 2－2x －3(0≤x ≤4)的图象，直线l ∥x 轴且过点(0，m )，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线l 下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是( )A ．m ≥1B ．m ≤0C ．0≤m ≤1D ．m ≥1或m ≤08. 如图，抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作C 1，将C 1向左平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，若直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．－458＜m ＜－52B ．－298＜m ＜－12C ．－298＜m ＜－52D ．－458＜m ＜－12二、填空题（本大题共8道小题）9. 已知函数y ＝－x 2－2x ，当________时，函数值y 随x 的增大而增大．10. 若函数y ＝x 2＋2x －m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为________．11. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线，若点P (4，0)在该抛物线上，则4a －2b ＋c 的值为________．12. 抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个交点坐标分别为______________．13. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是____________．14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于D，C两点．若A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为________．(用含a的代数式表示)15. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．16. 2018·湖州如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a>0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题（本大题共6道小题）17. 判断下列二次函数的图象与x轴的公共点的个数及公共点的坐标．(1)y＝12x2＋x＋1；(2)y＝－3x2－6x－3；(3)y＝－3x2－x＋4.18. 已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的解析式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；(3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．19. 如图，正方形ABCD的顶点A在抛物线y＝x2上，点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为(1，0)．(1)求点D的坐标；(2)将抛物线y＝x2适当平移，使得平移后的抛物线同时经过点B与点D，求平移后抛物线的解析式，并说明你是如何平移的．20. 已知一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCD的三边组成，隧道的最大高度为4.9米，AB＝10米，BC＝2.4米，现把隧道横断面放在如图所示的平面直角坐标系中，有一辆高为4米，宽为2米的装有集装箱的汽车要通过该隧道，如果不考虑其他因素，汽车的右侧至少离开隧道石壁多少米才不至于碰到隧道顶部？21. 一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg.经销一段时间后得到如下数据：销售单价x(元/kg)120130 (180)每天销量y(kg)10095 (70)设y与x(1)直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？22. 如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c(a≠0)经过点A(0，3)，B(－1，0)．请回答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．人教版九年级数学上册22章二次函数综合训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】A2. 【答案】D3. 【答案】B[解析] 设利润为y 元，涨价x 元，则有y ＝(100＋x －90)(500－10x)＝－10(x －20)2＋9000，故每个商品涨价20元，即单价为120元/个时，获得最大利润．4. 【答案】C5. 【答案】A[解析] ∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标是(1，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．故一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是x 1＝－3，x 2＝1.故选A.6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】C【解析】 如图．∵抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，∴B (5，0)，A (9，0)．∴抛物线C 1向左平移4个单位长度得到C 2，∴平移后抛物线的解析式为y ＝12(x －3)2－2.当直线y ＝12x ＋m 过点B 时，有2个交点， ∴0＝52＋m ，解得m ＝－52；当直线y ＝12x ＋m 与抛物线C 2只有一个公共点时，令12x ＋m ＝12(x －3)2－2，∴x 2－7x ＋5－2m ＝ 0，∴Δ＝49－20＋8m ＝0，∴m ＝－298，此时直线的解析式为y＝12x －298，它与x 轴的交点为(294，0)，在点A 左侧，∴此时直线与C 1，C 2有2个交点，如图所示．∴当直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点时，－298＜m ＜－52.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】x ≤－1【解析】∵函数y ＝－x 2－2x ，其图象的对称轴为x ＝－b2a ＝－1，且a ＝－1<0，∴在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，∴x ≤－1.10. 【答案】－1[解析] 依题意可知Δ＝0，即b 2－4ac ＝22－4×1×(－m)＝0，解得m ＝－1.11. 【答案】0【解析】设抛物线与x 轴的另一个交点是Q ，∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与x 轴的一个交点是P(4，0)，∴与x 轴的另一个交点Q(－2，0)，把(－2，0)代入解析式得：0＝4a －2b ＋c ，∴4a －2b ＋c ＝0.12. 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫23，0，(2，0) [解析] 令y ＝0，则3x 2－8x ＋4＝0，解方程得x 1＝23，x 2＝2，∴抛物线y ＝3x 2－8x ＋4与x 轴的两个交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，(2，0)．13. 【答案】x 1＝－2，x 2＝1[解析] 方程ax 2＝bx ＋c 的解即抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 交点的横坐标．∵交点是A(－2，4)，B(1，1)，∴方程ax 2＝bx ＋c 的解是x 1＝－2，x 2＝1.14. 【答案】8a[解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a(x －2)2交于点B ，∴BD ＝BC ＝2， ∴DC ＝4.∵y ＝a(x －2)2＝ax 2－4ax ＋4a ， ∴E(0，4a)，∴S 四边形ACED ＝S △ACD ＋S △CDE ＝12DC·OE ＝12×4×4a ＝8a.15. 【答案】1.6秒 【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t ＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同. 故该距离为0.5秒， 所以此时第一个小球抛出后t ＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．16. 【答案】－2[解析] ∵四边形ABOC 是正方形，∴点B 的坐标为(－b 2a ，－b2a )． ∵抛物线y ＝ax 2过点B ，∴－b 2a ＝a (－b2a )2，解得b 1＝0(舍去)，b 2＝－2.三、解答题（本大题共6道小题）17. 【答案】解：(1)y ＝12x 2＋x ＋1， ∵Δ＝1－4×12×1＝－1＜0，∴抛物线与x 轴没有公共点． (2)y ＝－3x 2－6x －3，∵Δ＝(－6)2－4×(－3)×(－3)＝0， ∴抛物线与x 轴有一个公共点， 坐标为(－1，0)． (3)y ＝－3x 2－x ＋4，∵Δ＝(－1)2－4×(－3)×4＝49＞0，∴抛物线与x 轴有两个公共点，坐标分别为(1，0)，(－43，0)．18. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)，∴4a ＝－8，解得a ＝－2，∴此抛物线的解析式为y ＝－2x 2.(2)当x ＝－1时，y ＝－2，∴点B(－1，－4)不在此抛物线上．(3)把y ＝－6代入y ＝－2x 2，得－2x 2＝－6，解得x ＝±3，∴抛物线上纵坐标为－6的点的坐标为(3，－6)，(－3，－6)．19. 【答案】解：(1)∵B (1，0)，点A 在抛物线y ＝x 2上， ∴A (1，1)．又∵在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝1， ∴D (2，1)．(2)设平移后抛物线的解析式为y ＝(x －h )2＋k .把(1，0)，(2，1)代入，得⎩⎨⎧0＝（1－h ）2＋k ，1＝（2－h ）2＋k ， 解得⎩⎨⎧h ＝1，k ＝0，∴平移后抛物线的解析式为y ＝(x －1)2，该抛物线可由原抛物线向右平移1个单位长度得到．20. 【答案】解：由题意，知AB ＝10米，BC ＝2.4米， ∴C(10，0)，B(10，－2.4)，A(0，－2.4)． 由题意，知抛物线的顶点坐标为(5，2.5)． 设抛物线的解析式为y ＝a(x －5)2＋2.5. 将(10，0)代入解析式， 得0＝a(10－5)2＋2.5， 解得a ＝－110，∴y ＝－110(x －5)2＋2.5＝－110x 2＋x.此公路为双向公路，当汽车高为4米时，在抛物线隧道中对应的纵坐标y ＝4－2.4＝1.6，由1.6＝－110x 2＋x ，解得x 1＝2，x 2＝8.故汽车要通过隧道，其右侧至少要离开隧道石壁2米才不至于碰到隧道顶部．21. 【答案】解：(1)y ＝－12x ＋160，120≤x ≤180.(3分)(2)设销售利润为W 元，则W ＝y(x －80)＝(－12x ＋160)(x －80)，(4分)即W ＝－12x 2＋200x －12800＝－12(x －200)2＋7200.(5分)∵－12＜0，∴当x ＜200时，W 随x 的增大而增大， 又120≤x ≤180，∴当x ＝180时，W 取最大值，此时，W ＝－12(180－200)2＋7200＝7000.答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．(8分)22. 【答案】(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A (0，3)，B (－1，0)， ∴⎩⎨⎧c ＝3a ＋2×（－1）＋c ＝0 解得⎩⎨⎧a ＝－1c ＝3∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，B (－1，0)， ∴点D 的坐标是(1，4)，点E 的坐标是(1，0)， ∴DE ＝4，BE ＝2，∴BD ＝DE 2＋BE 2＝42＋22＝25， 即BD 的长是25；(3)假设在抛物线的对称轴上存在点M ，使得△MBC 的面积是4， 设点M 的坐标为(1，m )， ∵B (－1，0)，E (1，0)， ∴点C 的坐标为(3，0)， ∴BC ＝4，∵△MBC 的面积是4，∴S △MBC ＝BC ×|m |2＝4×|m |2＝4，解得m ＝±2，即点M 的坐标为(1，2)或(1，－2)．。
完整版)初中数学二次函数综合题及答案
完整版)初中数学二次函数综合题及答案二次函数题选择题：1、若y=(m-2)x^2-m是关于x的二次函数，则m=（）A。
-1.B。
2.C。
-1或2.D。
m不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)模型的是（）A。
在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B。
我国人口自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C。
矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系D。
圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x^2，则抛物线的解析式是（）A。
y=-(x-2)^2+2.B。
y=-(x+2)^2+2C。
y=-(x+2)^2+2.D。
y=-(x-2)^2-25、抛物线y=1/2x^2-6x+24的顶点坐标是（）A。
(-6,-6)。
B。
(-6,6)。
C。
(6,6)。
D。
(6,-6)6、已知函数y=ax^2+bx+c，图象如图所示，则下列结论中正确的有（）个①abc0.④2c<3bA。
1.B。
2.C。
3.D。
47、函数y=ax^2-bx+c（a≠0）的图象过点（-1，1），则b+c/a的值是（）A。
-1.B。
1.C。
-2.D。
2二填空题：8、已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（）A。
A。
B。
B。
C。
C。
D。
D13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x^2+2mx+m上的点的坐标是（）m,m）16、若抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，最小值为-2，则关于方程ax^2+bx+c=-2的根为（）1±√317、抛物线y=(k+1)x^2+k^2-9开口向下，且经过原点，则k=（）2或-2解答题：（二次函数与三角形）1、已知：二次函数y=x^2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，-2）．1）求此二次函数的解析式．解：因为对称轴为x=1，所以顶点坐标为（1，k），其中k为最小值．又因为经过点（2，-2），所以方程组4+2b+c=k1+b+c=k解得b=-3，c=2，k=0，所以二次函数的解析式为y=x^2-3x+2．2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△XXX的面积最大，并求出最大面积．解：易得B、C两点坐标分别为（0，2）和（3，0）．设点E的横坐标为x，则其纵坐标为y=x^2-3x+2．则△XXX的面积为S(x)=1/2(3-x)(x^2-3x+2-2)，化简得S(x)=-1/2x^3+9/2x^2-8x+3．对S(x)求导得S'(x)=-3/2x^2+9x-8，令其等于0得x=2或4/3，代入S(x)得S(2)=4和S(4/3)=16/27，故△XXX的最大面积为4，当且仅当E的坐标为（2，-2）时取得．2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，4)，顶点为（1，2）．1）求抛物线的函数表达式；2）在抛物线上取一点P，作△ABC的高PH，交AB于点H，求证：PH=2BP．解：（1）因为抛物线与x轴交于A、B两点，所以其解析式为y=a(x-a)(x-b)，其中a<1<b．因为顶点为（1，2），所以方程组a(1-a)(1-b)=2a(b-a)(b-1)=4解得a=1/2，b=3/2，所以抛物线的函数表达式为y=1/2(x-1)^2+2．2）设点P的坐标为（x,y），则PH的长度为y-4，BP的长度为x-1．根据△ABC的面积公式得4=1/2y(x-1)，即y=8/(x-1)．又因为P在抛物线上，所以y=1/2(x-1)^2+2．将y代入上式得x^3-3x^2+2x-8=0，解得x=2或-1±√3．当x=2时，PH=2BP成立，当x=-1±√3时，PH≠2BP不成立．故结论成立．2、设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形。
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二次函数综合题训练一、综合题（共24题；共305分）1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为1．（1）求该二次函数的表达式；（2）求．2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围；（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值．3.已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点.（1）求c的取值范围；（2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由.4.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）.（1）求a的值和图象的顶点坐标。
（2）点Q（m，n)在该二次函数图象上.①当m=2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.5.若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数.（1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值.6.已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.（1）求k的值：（2）若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．（1）求拋物线的解析式；（2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．8.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．9.如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点，与轴另一交点为，顶点为．（1）求抛物线的解析式；（2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过三点．（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；（2）过定点的直线与二次函数图象相交于两点．①若，求的值；②证明：无论为何值，恒为直角三角形；③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．11.如图，二次函数的图象过原点，与x轴的另一个交点为（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．12.已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点.（1）若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=－1,垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数 k，都有A、D、C三点共线.13.如图，抛物线与x轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点位于轴下方时，求面积的最大值；（3）设此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为．①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；②当时，直接写出的面积．14.如图1，已知抛物线过点．（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当时，求点D的坐标；（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y 轴于点N，和的面积分别为，求的最大值．15.二次函数的图象交x轴于A(-1, 0)，B(4, 0)两点，交y轴于点C.动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC.设运动的时间为t秒.（1）求二次函数的表达式:（2）连接BD，当时，求△DNB的面积:（3）在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标; （4）当时，在直线MN上存在一点Q, 使得∠AQC+∠OAC=90°，求点Q的坐标，16.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.17.如图一，抛物线过三点（1）求该抛物线的解析式；（2）两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围；（3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结，点为线段的中点，点分别为直线和上的动点，求周长的最小值．18.如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．19.抛物线经过点A(3 ,0) 和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积.20.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．21.如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C 和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积. 23.如图，抛物线y= x2+bx+c与直线y= x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）解：由题意可设抛物线解析式为：．把代入，得，解得．故该二次函数解析式为（2）解：令，则．则．∵二次函数图象的顶点坐标为，，则点与点关系直线对称，∴，∴．∴，即【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）已知二次函数的顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式，再将点A的坐标代入函数解析式，就可得到函数解析式。
（2）由y=0解关于x的一元二次方程，解方程求出点B的坐标或利用对称性求出点B的坐标，就可求出OB的长，再由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标及OC的长，然后在Rt△OBC中，利用锐角三角函数的定义可求出结果。
2.【答案】（1）解：令y=0，则- x2+2x+6=0，∴x1=-2，x2=6，∴A（-2，0），B（6，0）.由函数图象得，当y≥0时，-2≤x≤6（2）解：由题意得B2（6-n，m），B3（-n，m），函数图象的对称轴为直线x= =2.∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴=2，∴n=1，∴m=- ×（-1）2+2x（-1）+6= ；∴m，n的值分别为，1【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用，坐标与图形变化﹣平移，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质【解析】【分析】（1）图像与x轴的交点，即y=0，求二次方程根即可求解。
根据加权平均数的定义来求；注意A在B的左侧，。
即图像在x轴上方（含交点）x的范围。
(2)根据坐标平移特点知，左右平移横坐标变化，纵坐标不变，上下移动，纵坐标变化，横坐标不变，又因为B2和B3在图像上，且纵坐标相同，故两点对称，可根据对称轴列关系式，求出n的值，再把B3坐标代入函数关系式，即可求出m.3.【答案】（1）解：b2-4ac＝(-4)2 -8c＝16 -8c.由题意，得b2 -4ac＞0，∴16 -8c＞0∴c的取值范围是c＜2（2）解：m＜n. 理由如下:∵抛物线的对称轴为直线x＝1，又∵a＝2＞0，∴当x≥1时，y随x的增大而增大.∵2＜3，∴m＜n.【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）由二次函数与x轴有两个不同的交点即△=b2-4ac＞0，解之即可求得答案.（2）由二次函数解析式可得其对称轴x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，由1＜2＜3得m＜n.4.【答案】（1）解：把P（-2，3）代入y=x2+ax+3，得3=（-2）2-2a+3，解得a=2.∵y=x2+2x+3=(x+1）2+2，∴顶点坐标为（-1，2）（2）解：①把x=2代入y=x2+2x+3，求得y=11，∴当m=2时，n=11.②2≤<11【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）将点P的坐标代入抛物线即可算出a的值，从而求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式配成顶点式，即可求出其顶点坐标；（2）将点Q的横坐标x=2代入（1）所求的抛物线的解析式即可算出对应的函数值，该值就是n的值；（3）由于该函数顶点坐标是（-1,2），且函数开口向上，点Q的横坐标横坐标是2的时候，对应的函数值是11，故点Q到到y轴的距离小于2的时候，对应的函数值n的取值范围是2≤n＜11.5.【答案】（1）解：，其顶点坐标为，是的伴随函数，在一次函数的图象上，.，一次函数为：，一次函数与坐标轴的交点分别为，，直线与两坐标轴围成的三角形的两直角边长度都为，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：（2）解：设函数与轴两个交点的横坐标分别为，，则，，，∵函数与轴两个交点间的距离为4，，解得，，函数为：，其顶点坐标为，是的伴随函数，，【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【分析】（1）首先求出的顶点坐标，然后将该点的坐标代入即可算出p 的值，从而求出直线的解析式，根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出其与两坐标轴交点的坐标，从而根据三角形的面积计算方法即可算出答案；（2）设函数与轴两个交点的横坐标分别为，，故，就应该是方程的两个根，根据一元二次方程，根与系数的关系得出，，进而根据这两点间的距离为4，及完全平方公式的恒等变形得出，求解即可算出n的值，从而求出抛物线的顶点坐标，将该点的坐标代入一次函数即可算出m的值，从而得出答案。