游戏网站奖项设模型

关键词：隶属函数、二次分布、MATLAB 软件求解、数学期望
一、问题的提出与重述
1.1 问题的提出 伴随着经济和电脑科技的发展，各种游戏逐渐走进了人们的生活中。为了使 游戏更具吸引力， 合理的奖励机制则十分重要，而怎样确定合理的奖励方案以获 得游戏本身的最大收益， 又使参与者得到满意的奖励成为了我们关注的问题。因 此要从多方面来考虑。在上述分析的基础上我们对此类问题进行了深入的解析， 以数学模型确立了各项奖励的价值及均分下的奖励值对应的最低分数。 并利用隶 属函数模型对问题进行了求解，问题由简到繁，步步推进，最终解决问题。实践 证明这种方法得到的结果是十分优越的，实现了游戏双方共同的满意程度。因此 这种方法对各种游戏的奖项合理设置都有很好的指导意义。 如果你作为网站的管 理， 如何才能更好的提高网站利润，吸引更多的网民朋友参加呢？如果你是参与 网站游戏的一个普通网民， 面对特殊的游戏规则时，你又该如何抉择呢？本论文 的数学模型将给出一定的建议。 1.2 问题的重述 某游戏网站主要提供网络竞猜服务，具体竞猜方法如下： 1、网站用户花 100 元注册一年会员资格，并同时一次性获得网站赠送的初始分 数 5000 分。只有获得会员资格的用户可以参与游戏，每个会员的游戏成绩以累 计总分的形式记载。 2、每道竞猜题目都是关于未来几天将要发生的公共事件的结果预测，在竞猜时 还没有确定的答案（如某场即将举行的足球赛的比分） 。网站每天公布大约 10 道竞猜题目，每题４个答案，其中有且只有一个会是正确的。 3、每个会员每天参与竞猜的题目数量没有限制，但每道题只能竞猜一次。会员 每猜对一题获得 100 分，猜错一题扣 40 分。 4、网站决定拿出全部收入的大约 50%设置 5 种奖项，最低奖项价值为 200 元， 最高奖项价值为 10 万元。获得每种奖励都有相应的最低分数的要求，即只有总 分不低于相应分数的用户可以兑换奖品， 并且兑换奖品时用户的总分自然地减去 相应的分数。 5、会员资格到期后，所有分数自动清零。 问题提出： 1、请你为该网站涉及每种奖项的价值及对应的最低分数要求，并讨论如果答错 一题不是扣 40 分而是扣 30 分或 50 分，结果如何变化。 2、如果网站允许分数为负数的用户花钱（如 2 元）将自己的分数清零，这种清 零功能对第 1 问的结果有什么影响？如果网站还允许分数低于 5000 分的用户花 钱购买分数， 如每花 2 元可以将自己的分数增加 100 分（但增加后的总分不能超 过 5000 分） ， 这种功能对第１问的结果有什么影响？有些会员对“会员资格到期 后， 所有分数会自动清零”的规则不满意，建议网站允许他们将现有分数带入下 一个会员期 （新的一年） ， 如果网站采纳这一建议， 对第１问的结果有什么影响？ 3、网站打算进一步提供通过手机短信参与竞猜游戏的服务，手机短信参与游戏 没有年费（自然也不会赠送任何初始分数） ，但网站对每条短信收费 0.1 元（每 条短信只能参与一道题） 。请对这种手机游戏讨论上面的两个问题。
会 员 第一问情况 参 与 获 奖 获 奖 方式 最 低 概率 分值 一 等 19600 0.01% 奖 二 等 18600 0.05% 奖 三 等 17800 0.2% 奖 四 等 12400 1% 奖 五 等 9200 5% 奖
允许清零情况 获 奖 获奖概 最 低 率 分值 22800 0.0182% 21200 20200 14800 11600 0.091% 0.364% 1.82% 9.1%
四等奖 945
五等奖 200
根据模型假设 5，得奖励金额调整如下： 单位（元） 一等奖 100000
二等奖 20000
三等奖 5000 表二
四等奖 1000
五等奖 200
Ⅱ、确定各奖项的得奖概率 根据题目中提到奖励金额为收入的 50%和模型假设 4，可以依次确定各奖项
获奖概率。 在此我们不妨考虑会员只有一个人的情况。网站收入为 100 元，则奖金额为 50 元。那么每个等级的奖金额乘以获得该奖的概率均应为 10 元。 即得：
则一年内一个会员猜 n 道题的概率为 ：
1 n Pa C 3650 2 C
n 3650 n
1 1 2
3650 n
1 2
m
3650
猜 n 道题对 m 道题的概率为：
1 1 Pb C 1 4 4
5.13 基于扣分改变后的模型一的变动 当答错一题所扣分数变化时， Pa , Pb 不变。只是所得积分情况有所变化。 当答错一题扣 30 分时： 猜 n 道题对 m 道题时，积分为 5000+100m-30(n-m) 当答错一题扣 50 分时： 猜 n 道题对 m 道题时，积分为 5000+100m-50(n-m） 其他方面无变化，按原模型一的求解方法，可以分别求出答错一题扣 30 分 和扣 50 分时，对应奖项的金额和相应的最低积分数见下表：
允许买分情况 获 奖 获奖概 最 低 率 分值 24400 0.0282% 22600 21400 15400 12400 0.141% 0.564% 2.82% 14.1%
允许保留分值 获 奖 获 奖 最 低 概率 分值 19909 0.01% 18909 18109 12709 9509 0.05% 0.2% 1% 5%
三、符号说明
i Pi
表示奖项的等级 表示获第 i 等奖的概率 表示一个会员每年猜题数目的变量 表示一个会员一年内猜n道题的概率 表示猜n道题对m道的概率 表示会员年终积分数 表示会员最终积分为x的概率 表示网站收入 表示等奖要求的最低积分线 表示 i 等奖奖励的金额 表示答 n 题对 m 道情况下清零次数的期望 表示一年内总的清零次数的期望 表示答n题对m道情况下购买分数次数的期望 表示一年内总的买分次数的期望
k 1.554 a 8.41
将求得的参数带入原隶属函数得：
1 A x e 1.554 x 8.41 xa xa
根据 A x 确定各类奖项的奖励金额如下表： 单位（元） 一等奖 100000
二等奖 21140
三等奖 44．1 模型一（基本模型）的建立 5.1.1 求会员最后得分的概率分布 一年内公布的题目数为 3650 道，则对会员来说对于每个题目猜与不猜的概 率都是 1/2。而对于具体的一个题，猜对的概率为 1/4。答题数目服从二项分布：
n ~ B 3650,1 / 2 ，答对题数目服从二项分布： m ~ B n,1 / 4 。
4、请你根据对上述问题的分析结果，给网站管理层写一篇短文，对该游戏的奖 项设计和相关功能提出意见和建议。同时，请你给准备参与该游戏的用户写一篇 短文，对参与者提出你的忠告和建议。
二、 模型假设
1、假设竞猜时所有题目结果皆未知且与会员知识面和阅历无关，即每个会员猜 对每一道题的概率均为 1/4； 2、假设一年按 365 天计算； 3、假设会员在年初同时办理入会； 4、假设各奖项获奖概率与奖励金额的乘积相等； 5、假设各奖项奖励金额除了最高位的数字外，其他位的数字均为零； 6、假设为了提高会员答题热情，一至五等奖奖励金额之间的差距依次减小； 7、假设在不允许续分时，最后一天所有获奖会员全部顺利兑奖，无遗忘等情况； 8、假设网站每天都准时公布 10 道题； 9、假设积分可以清零时，当会员的积分小于-100 时，马上清零。
Pi mi 10 mi 由表二可得，将 mi 的值依次代入上式可一次求得获得各等奖的概率如下表：
一等奖 0.01%
二等奖 0.05%
三等奖 0.2% 表三
四等奖 1%
五等奖 5%
Ⅲ、确定各奖项的最低积分线 会 员 年 终 最 低 积 分 为 （ 5000 40 3650 ） ， 即 -141000 分 。 最 高 积 分 为
m n
n m
猜 n 道题对 m 道题对应的积分数为：
5000 100m 40n m 即： 5000 140m 40n
5.1.2 确定各奖项的金额及所要求的最低积分线 Ⅰ、确定各奖项的奖励金额 根据假设 6，构造奖励金额对奖励等级的模糊函数。我们选择隶属函数中 G 型分布如下：

Pa Pb x px Q xi mi E nm En Eq nm E
Di
表示获 i 等奖的会员在本年兑奖的概率
四、 问题分析
1.对于问题一， 本问要求为该网站设计每种奖项的价值及对应的最低分数要 求，并讨论如果答错一题不是扣 40 分而是扣 30 或者 50 分，结果如何变化？ 本节通过建立隶属函数模型求解出各奖项的奖金额， 在通过假设中的资金每 个奖项平均分配的情况算出各奖的获奖概率。当扣分为 30 或者为 50 分时，情况 类似。 2.对于问题二特殊规则下对模型一结果的影响， 本问要求讨论在三种游戏规 则下，对第一问求解结果有何影响。其解题思路基本和模型一基本一致，只是奖 金总额和获奖概率的变化。 3.对于问题三，由第一问的分析可知，最低分的确定主要由两方面决定，一 是得各种分的概率分布函数， 一是网站的收入。由于无论通过何种方式竞猜其中 对一个题选择答与不答，答之后答对答错的情况是一样的，都是随机的。所以通 过短信竞猜与网上答题得分概率分布函数不变。 另一方面， 由于付费方式的不同， 所以网站的收入会有所变化，进而求出短信答题时的获奖最低积分与其概率。
1 A x e k x a xa xa k 0
根据题目一等奖、五等奖的奖励金额分别为 100000 元和 200 元，即可得到 函数的两个特殊值：
A 1 100000 （1） A 5 200
将特殊值（1）带入原隶属函数中进一步求得隶属函数中的参数：
游戏网站奖项设计模型
[摘要]
本文结合概率分布变换、隶属函数、二次分布、数学期望及类推等数学思想。 从理论角度研究大型游戏网站的积分规则管理与奖金分配方案。 各项奖金额的确定， 主要从奖额对用户吸引程度， 通过模糊分析建立隶属度函数确定各奖项的最终奖额， 分别为 10 万、2 万、5 千、1 千、2 百元。各奖项获奖最低分值与各奖项的获奖概率 段有关本。 ，通过 MATLAB 软件求解，再通过概率段取值对应得到各奖项最低分值， 分别为 19600、18600、17800、12400、9200。求出其第一问结果（见表五） ，当答 错题扣分为 30、50 时，获奖最低分值严重偏大、偏小。偏大时对参加游戏的用户无 形中制造了恐惧感， 偏小时分值明显不可行。 由此说明每道题答错扣 40 分更为合理。 其在特殊游戏规则下的结果为：