2020年天津市十二区县重点学校高考数学一模试卷 (含答案解析)
2020届天津市一模数学试题(解析版)
2020届天津市一模数学试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则R A C B =I （ ）A ．{}01x x ≤<B ．{}10x x -<< C ．{}01x x << D ．{}11x x -<<【答案】B【解析】求解出集合B ，根据补集定义求得R C B ，利用交集定义求得结果. 【详解】当()1,1x ∈-时，[)20,1x ∈，即[)0,1B =()[),01,R C B ∴=-∞+∞U{}10R A C B x x ∴⋂=-<<本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的补集、交集运算的问题，属于基础题.2．若点(),3m 在函数()()121log 1f x x =--的图象上，则πtan 6m =（ ）A B C ．D ．3-【答案】D【解析】将点(),3m 代入函数解析式可求得m ，根据特殊角三角函数值可求得结果. 【详解】由题意知：()121log 13m --=，解得：5m =5tantan 663m ππ∴==-本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够利用点在函数上求得参数的取值，属于基础题.3．若ABC V 的三个内角A ，B ，C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则ABC V 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】C【解析】根据正弦定理可得三边关系，利用余弦定理可求得cos 0C <，从而得到三角形为钝角三角形. 【详解】由正弦定理可得：643a b c ==，则34b c =，12a c =由余弦定理可知：222222191416cos 01324224c c c a b c C ab c c +-+-===-<⨯⨯ 又()0,C π∈ ,2C ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭ABC ∆∴为钝角三角形本题正确选项：C 【点睛】本题考查三角形形状的判断，关键是能够灵活运用正余弦定理，通过最大角的余弦值的符号确定三角形形状.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ． 【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．5．在等比数列{}n a 中，公比为q ，则“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当1q >时，当10a <时，可知等比数列不是递增数列，得不充分条件；当等比数列{}n a 为递增数列时，当10a <时，01q <<，得不必要条件；综上可得结果. 【详解】当1q >时，若2q =，12a =-，则24a =-，则21a a <，此时等比数列{}n a 不是递增数列∴“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的不充分条件；当等比数列{}n a 为递增数列时，此时1n n a a +>，即111n n a q a q ->若10a <，则1n n q q -<，此时01q <<∴“等比数列{}n a 为递增数列”是“1q >”的不必要条件；综上所述：“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件 本题正确选项：D 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是通过等比数列的通项公式的形式判断出数列为递增数列和公比之间的关系.6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减，若21log 5a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.52c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D【解析】根据奇偶性可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增，并能将a 变为()2log 5f ；根据自变量的大小关系，结合函数单调性可得结果. 【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减()f x ∴在()0,∞+上单调递增则：()()2221log log 5log 55a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0.522log 5log 4.1220>>>>Q ()()()0.522log 5log 4.12f f f ∴>>即：a b c >> 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用函数的性质比较大小的问题，关键是能够根据奇偶性得到函数的单调性，进而将问题转变为自变量的大小的比较. 7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 取最大值时x 的值为（ ） A ．()3k k Z ππ+∈ B ．()4k k Z ππ+∈ C ．()6k k Z ππ+∈D ．()6k k Z ππ-∈【答案】C【解析】根据()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭可求得ϕ的范围；利用()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知()f x 关于6x π=对称，从而可得ϕ的取值；二者结合求得ϕ，代入函数解析式，令()222x k k Z πϕπ+=+∈解出x 即为结果.【详解】由()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭得：()()sin 2sin πϕπϕ+>+，即：sin sin ϕϕ>-sin 0ϕ∴> ()22k k k Z πϕππ∴<<+∈由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭得：()f x 关于6x π=对称 ()262k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈()6k k Z πϕπ∴=+∈，又()22k k k Z πϕππ<<+∈()26k k Z πϕπ∴=+∈ ()sin 22sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当()2262x k k Z πππ+=+∈，即()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取最大值本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数解析式、根据函数的最值求解自变量取值的问题，关键是能够判断出函数的对称轴，并能够根据函数值的大小关系得到ϕ的范围.8．在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，设矩形所在平面内一点P 满足1CP =u u u r，记1I AB AP =⋅u u u v u u u v ，2I AC AP =⋅u u u v u u u v ，3I AD AP =⋅u u u v u u u v，则（ ）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意点P ，都有12I I <D ．对任意点P ，都有13I I <【答案】C【解析】以C 为原点建立平面直角坐标系，可知P 点轨迹方程为221x y +=；利用坐标表示出12I I -和13I I -，利用y 的取值范围和三角函数的知识可求得结论. 【详解】以C 为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系：则P 点轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆；()0,2B ，()3,0D ，()3,2A设(),P x y ，则221x y +=()12I I AB AP AC AP AB AC AP CB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()0,2CB =u u u v，()3,2AP x y =--u u u r1224I I CB AP y ∴-=⋅=-u u u r u u u r[]1,1y ∈-Q []246,2y ∴-∈-- 120I I ∴-<，即12I I < ()13I I AB AP AD AP AB AD AP DB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()3,2DB =-u u u r ，()3,2AP x y =--u u u r133924325I I DB AP x y x y ∴-=⋅=-++-=-++u u u r u u u r设()cos ,sin P θθ则()133cos 2sin 55I I θθθϕ-=-++-+，其中2tan 3ϕ=-()[]sin 1,1θϕ-∈-Q ()55θϕ⎡-+∈+⎣即130I I ->，即13I I >综上所述，对于任意点P ，都有12I I <，13I I > 本题正确选项：C 【点睛】本题考查平面向量的应用问题，关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算的问题；通过作差法比较大小，利用求解函数值域的方式来确定大小关系.二、填空题9．设复数z 满足()1i 3i z +=-，则z =______．【解析】求解出复数z ，根据模长的定义可求得结果. 【详解】 由题意得：()()3132412122i i i iz i i ----====-+z ∴==【点睛】本题考查复数的模长的求解问题，属于基础题.10．已知三棱锥P ABC -的侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度均为1，若该三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______． 【答案】3π【解析】利用三线垂直确定三棱锥为正方体的一部分，其外接球直径为正方体的体对角线长，可得半径和表面积． 【详解】由三棱锥P ﹣ABC 的侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直可知， 该三棱锥为棱长为1的正方体的一角，故球O 的表面积为：3π． 故答案为3π． 【点睛】此题考查了几何体外接球问题，难度不大．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11．若不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解，则实数a 的取值范围是______．【答案】)+∞.【解析】将问题转换为()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点；分类讨论去掉原不等式中的绝对值符号，利用导数求解出()f x 在不同区间内的单调性，从而可得()f x 的图象；由于直线2y ax =-恒过点()0,-2，通过图象可知当直线2y ax =-过)A时为临界状态，求出临界状态时a 的取值，从而得到取值范围.【详解】当(x ∈时，320x x -<，此时不等式为：3222x x x ax -++≤-当)2,4x ⎡∈⎣时，320x x -≥，此时不等式为：3222x x x ax +-≤- 令()322g x x x x =-++，()0,2x ∈，则()2322g x x x '=-++，()0,2x ∈当170,3x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x ¢>；17,23x ⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝时，()0g x ¢< 即()g x 在170,3⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在17,23⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝上单调递减 令()322h x x x x =+-，)2,4x ⎡∈⎣，则()2322h x x x '=+-，)2,4x ⎡∈⎣当)2,4x ⎡∈⎣时，()()24220h x h''≥=+>()h x ∴在)2,4⎡⎣上单调递增由此可得：()()232,0,4f x x x x x =+-∈的图象如下图所示：可知：)2,2A则不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解等价于()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点 Q 直线2y ax =-恒过点()0,-2∴当直线2y ax =-过点A 时为临界状态，此时22a =∴当22a ≥时，不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解本题正确结果：)22,⎡+∞⎣ 【点睛】本题考查根据不等式在某一区间解的个数的情况求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的交点问题，通过数形结合的方式来进行求解；其中涉及到利用导数来判断函数的单调性，从而得到函数的大致图象.12．如图，已知2AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点（不含端点A ，B ，C ），且BM BN ⊥，则AM CN⋅u u u u r u u u r的最大值为______．【答案】14【解析】分析：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得AB C ，，的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M N ，的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得2αβ=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．详解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得001020A B C （，），（，），（，），以AB 为直径的半圆方程为2211,0024x y x y -+=（）（＞，＞）， 以AC 为直径的半圆方程为（2211,00x y x y -+=）（＞，＞） ， 设11110222Mcos sin N cos sin BM BN （，），（，），＜，＜，，ααββαβπ++⊥ 可得1110222BM BN cos sin cos sin ααββ⋅=-+⋅=u u u u v u u u v （，）（，）， 即有11022cos cos cos sin sin βαβαβ-++=（）， 即为cos cos cos sin sin ，βαβαβ=+ 即有0cos cosβαβαβπ=-（），＜，＜， 可得αββ-= ，即2αβ= ， 则111 1222AM CN cos sin cos sin ααββ⋅=+⋅-+u u u u v u u u v （，）（，）11112222cos cos cos cos sin sin αβαβαβ=--+++（）2211114222cos cos cos cos cos αββββ=--+=-=--+（），可得102cos ，β-= 即β233ππα==，时， AM CN ⋅u u u u v u u u v 的最大值为14，故答案为14．点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题． 13．已知正实数x ，y 满足141223x y x y+=++，则x y +的最小值为______． 【答案】94【解析】构造与已知条件有关的等式关系．x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦，利用基本不等式的性质即可解决． 【详解】∵x ＞0，y ＞0，∴2x+y ＞0，2x+3y ＞0，x+y ＞0，12x y ++423x y +=1，x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦， 那么：x+y=（x+y ）×1=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦×（12x y ++423x y +） =14（1+()42234232x y x y x y x y ++++++）=()522342342x y x y x y x y ++++++∵()2232342x y x y x y x y +++≥++=1，当且仅当2x=y=32时取等号．所以：x+y≥59144+=． 故x+y 的最小值为94．故答案为94【点睛】本题考查了整体思想的构造和转化．构造出与已知条件的形式．利用基本不等式的性质求解．属于中档题．14．某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 【答案】474.【解析】采用间接法，首先求解出任意安排3节课的排法种数；分别求出前5节课连排3节和后4节课连排3节的排法种数；作差即可得到结果.【详解】从9节课中任意安排3节共有：39504A =种其中前5节课连排3节共有：33318A =种；后4节课连排3节共有：33212A =种∴老师一天课表的所有排法共有：5041812474--=种本题正确结果：474 【点睛】本题考查有限制条件的排列问题的求解，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.三、解答题15．已知向量,14x m ⎫=⎪⎭r，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()f x m n =⋅r r ． （Ⅰ）求函数()f x 的单增区间； （Ⅱ）若()1f x =，求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （Ⅲ）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求函数()y f A =的范围．【答案】（1）4π2π4π,4π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ;（2）12;（3）31,2⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积得到f （x ）的解析式，求解单调区间即可；（2）由（1）的解析式，利用f （x ）=1，结合倍角公式求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值即可； （3）结合正弦定理结合内角和公式，得到fA ．的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可．试题解析：（1）21cosπ12cos sin 44222262xx x xx m n v v+⎛⎫⋅=+=+=++ ⎪⎝⎭，∴()π1262x f x sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 由πππ2π2π2262x k k -≤+≤+，k Z ∈得：4π2π4π4π33k x k -≤≤+，k Z ∈． ()f x 的递增区间是()4π2π4π4π33k k k Z ，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）()2cos cos 444x x x f x m n v v =⋅=+．11π1cos sin 22222262x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． ∵()1f x =，∴π1sin 262x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴2ππ1cos 12sin 3262x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）∵()2cos a c cosB b C -=．由正弦定理得()2sin sin cos sinA C cosB B C -=． ∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=．∴()2sin cos sin A B B C =+． ∵πA B C ++=．∴()sin sin 0B C A +=≠．∴1cos 2B =． ∵0πB <<．∴π3B =．∴2π03A <<．∴πππ6262A <+<，π1sin 1262A ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 又∵()π1262x f x sin ⎛⎫=++⎪⎝⎭．∴()π1262A f A sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故函数()f A 的取值范围是312⎛⎫⎪⎝⎭，．【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如()sin y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可．16．某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计所示．参加人数51520（Ⅰ）从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有两名同学参加活动次数恰好相等的概率；（Ⅱ）从“青志队”中任选两名学生，用X表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX．【答案】（1）（2）略【解析】(Ⅰ)这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率为…………………………………………4分…………………………………………5分(Ⅱ)由题意知……………………………………6分……………………………………7分……………………………………8分的分布列：0 1 2…………………………………………10分的数学期望:…………12分17．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD．E 为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13.【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE ⊥平面PAH.过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE. 所以∠APH 是PA 与平面PCE 所成的角. 在Rt △AEH 中，∠AEH=45°，AE=1， 所以AH=22. 在Rt △PAH 中，PH=22PA AH +=32， 所以sin ∠APH=AH PH =13.方法二：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ⋂AD=A ， 所以CD ⊥平面PAD. 于是CD ⊥PD.从而∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角. 所以∠PDA=45°. 由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD. 设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD u u u r ,AP u u u r的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A （0,0,0），P （0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)， 所以PE u u u r =（1,0,-2），EC uuu r =（1,1,0），AP u u u r=（0,0,2） 设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z)，由0,{0,n PEn EC⋅=⋅=u u u u u u u u ru u u r得20,{0,x zx y-=+=设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=||n APnAP⋅⋅u u u u ru u u r=22221322(2)1=⨯+-+.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13.【考点】线线平行、线面平行、向量法.18．已知椭圆C：2222x ya b＋＝1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2＋y2＝24c(c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P 作圆G的两切线，切点分别为M、N.(1)若椭圆C经过两点421,3⎛⎝⎭、33⎫⎪⎪⎝⎭，求椭圆C的方程；(2)当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求OPuuu r·OEuuu r的值(O是坐标原点)；(3)若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．.【答案】（1）2294x y＋＝1.（2）见解析（3）5110222e≤－－【解析】(1)解：令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝21a，n＝21b，得3219271.4m nm n⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，＋＝所以m＝19，n＝14，即椭圆方程为2294x y＋＝1.(2)证明：直线AB：x ya b＋-＝1，设点P(x0，y0)，则OP的中点为00,22x y⎛⎫⎪⎝⎭，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为220022x yx⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋y-＝22004x y+，化简为x2－x0x＋y2－y0y＝0，与圆x2＋y2＝24c作差，即直线MN：x0x＋y0y＝24c.因为点P(x0，y0)在直线AB上，得00x ya b＋-＝1，所以x0bx ya⎛⎫⎪⎝⎭＋＋24cby⎛⎫⎪⎝⎭－＝0，即24bx yacby⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，－＝，得x＝－24ca，y＝24cb，故定点E2244c ca b⎛⎫⎪⎝⎭-，，OPuuu r·OEuuu r＝220044b c cx x ba a b⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，＋-，＝24c.(3)解：由直线AB与圆G：x2＋y2＝24c(c是椭圆的焦半距)22a b+＞2c，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.因为0＜e＜1，所以0＜e2＜35①.连结ON、OM、OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c22a b+≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因为0＜e＜135-≤e2＜1，②.35-≤e2＜3551102e≤－－19．已知数列{}n a中，02a=，13a=，26a=，且对3n≥时，有()()1234448n n n na n a na n a---=+-+-．（Ⅰ）设数列{}n b满足1n n nb a na-=-，n*∈N，证明数列{}12n nb b+-为等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记()121!n n n ⨯-⨯⨯⨯=L ，求数列{}n na 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；122n n n b n -=-⋅；（Ⅱ）()()1121!1n n S n n +=-+++【解析】（Ⅰ）利用已知等式表示出12n n b b +-和12n n b b --，整理可知11222n nn n b b b b +--=-，从而可证得数列{}12n n b b +-为等比数列，根据等比数列通项公式求得122n n n b b +=-；利用配凑的方式可证得数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用等差数列通项公式，整理可得n b ；（Ⅱ）将n b 代入1n n n b a na -=-，整理可得：1122nn n n a n a ---=-，利用累乘的方式可求得n a ，进而可得()21!!nn na n n n =⋅++-；采用分组求和的方式，分别对2n n ⋅用错位相减的方法求和，对()1!!n n +-采用裂项相消的方法求和，分别求和后加和即可得到结果. 【详解】（Ⅰ）由题意知：()()()11254144n n n n a n a n a n a +--=+-++-()()11111212232n n n n n n n n n b b a n a a na a n a na ++-+-∴-=-+-+=-++ ()()()1112122221221n n n n n n n n n b b a na a n a a n a n a -------=--+-=-++- ()()()()12111222241222221n n n n n n n n n n a n a n a b b b b a n a n a --+----++--∴==--++-又212110222261242b b a a a a -=--+=-+=-∴数列{}12n n b b +-是以2-为首项，2为公比的等比数列11222n n n b b -+∴-=-⋅ 122n n n b b +∴=-，即11122n nn n b b +-=- ∴数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1012b =为首项，1-为公差的等差数列 ()()111122n n b n n -∴=+-⨯-=- ()112222n n n n b n n --∴=-⋅=-⋅ （Ⅱ）由（Ⅰ）知：1122nn n n n a na ---⋅=-，即：1122nn n n a n a ---=- 则：1122212n n n n a n a -----=--，2233222n n n n a n a -----=--，……，2211222a a -=-左右两侧分别相乘可得：()()1212121!2nn a n n n n n a -=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯=- ()12!2!n n a n a n ∴-=-= 2!n n a n ∴=+ ()2!21!!n n n na n n n n n n ∴=⋅+⋅=⋅++-令()()()()()2!1!3!2!4!3!1!!1!1n A n n n =-+-+-+⋅⋅⋅++-=+-⎡⎤⎣⎦()1231122232122n n n B n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯则()23412122232122nn n B n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯()()()1231121222222212212n n n n n n B n n n +++⨯-∴-=-⋅+++⋅⋅⋅+=-⋅=---则()1122n n B n +=-+()()1121!1n n n n S A B n n +∴=+=-+++【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式的形式、数列求和方法中的分组求和法、错位相减法和裂项相消法.本题的难点是能够对递推关系式进行转化，配凑出等差或等比数列的形式，进而利用等差、等比数列的通项公式来进行求解. 20．已知函数()2112xf x e x kx =---，k ∈R ． （Ⅰ）若()f x 在R 上是增函数，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）讨论函数()f x 的极值，并说明理由；（Ⅲ）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，求证：函数()f x 有三个零点．【答案】（Ⅰ）(],1-∞；（Ⅱ）当(],1k ∈-∞时，()f x 无极值；当()1,k ∈+∞时，()f x 存在一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）利用()0f x '≥得x k e x ≤-；利用导数求得()xg x e x =-的最小值，则()min k g x ≤；（Ⅱ）由（Ⅰ）知(],1k ∈-∞，函数单调递增，无极值；当()1,k ∈+∞，可证得()g x k =有两根，即()0f x '=有两根，从而可得函数的单调性，进而确定有一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知()1,k ∈+∞且120x x <<；利用1x 和2x 表示k ，代入函数()f x 中，可表示出()1f x 和()2f x ；根据()1f x 和()2f x 设()()21112x h x x e x =-+-，通过导数可验证出()h x 单调递减，进而求得()10f x >，()20f x <，结合()f x 图象可证得结论.【详解】（Ⅰ）由()2112xf x e x kx =---得：()x f x e x k '=-- ()f x Q 在R 上是增函数 ()0f x '∴≥在R 上恒成立即：x k e x ≤-在R 上恒成立 设()xg x e x =-，则()1xg x e '=-当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '> 即()g x 在(),0-∞上单调递减；在()0,∞+上单调递增()()min 01g x g ∴== 1k ∴≤即k 的取值范围为：(],1-∞（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当(],1k ∈-∞时，()f x 在R 上是增函数，此时()f x 无极值； 当()1,k ∈+∞时，令()0f x '=，即()g x k =x →-∞Q 时，()g x →+∞；()01g =；x →+∞时，()g x →+∞()g x k ∴=有两个根，设两根为1x ，2x 且120x x <<可知：()1,x x ∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '< 即()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减()f x ∴在1x x =处取得极大值()1f x ；在2x x =处取得极小值()2f x综上所述：当(],1k ∈-∞时，()f x 无极值；当()1,k ∈+∞时，()f x 存在一个极大值和一个极小值（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()1,k ∈+∞，且120x x <<()1110x f x e x k '∴=--=；()2220x f x e x k '=--=又()()()111122************1111222xx x x f x e x kx e x e x x x e x =---=----=-+- ()()222221112x f x x e x =-+-第 21 页 共 21 页 令()()21112x h x x e x =-+-，则()()1x h x x e '=- 则()0h x '≤在R 上恒成立，即()h x 在R 上单调递减又()00h = (),0x ∴∈-∞时，()0h x >；()0,x ∈+∞时，()0h x <120x x <<Q ()()110f x h x ∴=>，()()220f x h x =<当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞可得()f x 大致图象如下：()f x ∴有三个零点【点睛】本题考查导数在函数中的综合应用问题，主要考查了根据函数单调性求解参数范围、讨论函数的极值个数、判断函数的零点个数问题，涉及到构造函数的方式、恒成立的处理方法、数形结合的方式等，对学生的综合运用能力要求较高.。
天津市部分区2020年高三质量调查试卷(一)数学试题参考答案
天津市部分区2020年高三质量调查试卷（一）数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)10．12,2,4⎧⎫-⎨⎬⎩⎭11．80- 12．213．280x y -+= 14．23；231215．(](),30,-∞-+∞三、解答题：（本大题共5个小题，共75分） 16．解：（1）由题设及正弦定理，得sin sinsin sin 2A BA C A +=．…………………1分 在ABC ∆中，因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A BC +=．………………………2分 由于+=A B C -π，从而sincos 22A B C+=， 所以cos2sin cos 222=C C C．………………………………………………………4分 在ABC ∆中，因为022C π<<，所以cos 02C ≠，所以1sin 22C =， 所以26=C π，即3C π=． ……………………………………………………………6分（2）在ABC ∆中，由于3c C π==， 则由余弦定理，得2272cos3a b ab π=+-，即227a b ab +-=． ……………8分 因为23a b =，所以22233722b b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2b =，从而3a =． …………………………………………………………10分在ABC ∆中，由正弦定理，得2sinsin sin 7b CB c⨯====π因为ABC ∆中，2b c =<=，且3C π=，所以03B π<<，所以cos 7===B ． ……………………………12分 所以()sin sin cos cos sin C B C B C B -=-．1272714=-⨯=．……………………………14分 17．解：因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以111111,⊥⊥A B BB BB B C ．又1111⊥A B B C ，从而以点1B 为坐标原点，分别以向量111,B B BC11B A 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系1-B xyz ． ……1分不妨设12=BB ，则有()()10,0,0,2,0,0,B B()()()10,0,2,1,2,0,1,0,1A M N ，所以()0,2,1=-MN ． ………………………2分（1）证明：【方法一】易知，平面ABC 的法向量为()12,0,0=B B ．由于10⋅=B B MN ，所以1⊥B B MN ，即1⊥BB MN ． …………………4分 又因为⊄MN 平面ABC ，所以MN //平面ABC ．………………………5分 【说明】本小题的其它解法如下（这里过程略述），若步骤完整、过程严谨，请参照赋分标准，酌情赋分：【方法二】取1B B 的中点Q ,连接MQ ．证明平面MNQ //平面ABC ，进而证得MN //平面ABC ．【方法三】取AB 的中点R ,连接,CR NR ．先证明MN //CR ,进而证得MN //平 面ABC ．（2）由题意，知()0,2,1=-MN ,()1,2,0=-BM ,()11,2,0=B M ． 设平面MNB 的法向量为(),,=m x y z ，则有0,0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m MN m BM 即20,20.-+=⎧⎨-+=⎩y z x y 令1=y ，得()2,1,2=m ． ……………………………………………………7分设平面1MNB 的法向量为()111,,=n x y z ，则有10,0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n MN n B M 即111120,20.-+=⎧⎨+=⎩y z x y 令11=y ，得()2,1,2=-n ．……………………………………………………8分所以1,3,3⋅===m n m n ，所以1cos ,9⋅==m n m n m n， ………………10分 设二面角1--B MN B 的大小为θ，所以45sin ,9m n θ==．故所求二面角1--B MN B ………………………………11分 （3）设点()0,,0P t （02t ≤≤），则()1,2,0PM t =-, 且有()2,12,3PM n t PM t n ⋅=-=+-=． 设直线PM 与平面1MNB 所成角为θ，则有2sin cos ,15PM n θ==215=， ………………12分 整理，得22116200t t +-=，解得23t =或107t =-（舍去）．…………14分 所以111123B P tB C ==． …………………………………………………………15分 18．解：（1）易得，抛物线C 的焦点F 的坐标为)，准线方程x =所以椭圆E 的右焦点)F，左焦点为()'F ． ……………………2分设椭圆E 的半焦距为c ,依题意得222222,,c b PQ a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩解得2,a b == ………………………………………5分 故所求椭圆的方程为22142x y +=． ………………………………………………6分 （2）【方法一】由题意，得E 的左顶点()2,0A -． 又知直线l 的斜率存在，不妨设为k （0k≠），点(),B B B x y , 则直线AB 方程为()2y k x =+．………………………………………………7分联立方程组()222,1.42y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩+消去y 并整理，得()2222218840k x k x k +++-=， （※）………………9分 易得()()()2222842184160kk k ∆=-+-=>，所以点2,B x -为方程（※）的实数根，从而22842=21B k x k --⨯+，所以222421B k x k -=+． 所以()222244222121B B k ky k x k k k ⎛⎫-=+=+= ⎪++⎝⎭． …………………………11分 由题意，点,B M 均在E 上，且,B M 关于原点O 对称，所以点(),B B M x y --,即222244,2121k k M k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭．………………………12分 因为1AMk =,所以2224211242+21k k k k +=--+，解得12k =-． ………………………14分 故所求直线l 的方程为()122y x =-+，即220x y ++=． …………………15分 【方法二】由题意，得E 的左顶点()2,0A -，直线AM 的斜率为1，所以直线AM 的方程为2y x =+． ……………………………………………7分联立方程组222,1.42y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得23840x x ++=． 解得2x =-，或23x =-．………………………………………………………10分 所以点M 的横坐标23M x =-（因为2-为点A 的横坐标）， 所以点M 的纵坐标43M y =，从而点24,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．…………………………12分 由题意，点,B M 均在E 上，且,B M 关于原点O 对称，所以点B 的坐标为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭，所以12AB k =-．………………………………14分所以直线AB 的方程为()122y x =-+,即所求直线l 的方程为220x y ++=．…………………………………………15分 19．解：（1）设等比数列{}n a 公比为q ，由4328,2a a a ==+，得312118,2a q a q a q ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去1a 并整理，得2440q q -+=，………………………2分 解得2q =,从而11a =．所以12n n a -=； ……………………………………………………………………3分设等差数列{}n b 的公差为d ，由12b a =,265b b a +=，得12,4616b d =⎧⎨+=⎩，…………………………………………………………………5分解得12,2b d ==．所以()2122n b n n =+-⨯=． …………………………………………………6分（2）由（1）及题意，得221,212,n n n n m c n n m ⎧⋅=-=⎨+=⎩，，其中m N *∈． ………………8分①当n 为奇数时，不妨设数列{}2nn ⋅的前n 项和为S奇，所以13521n S c c c c -=++++奇，即()3521123252212n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯奇， …………………………9分所以()()35721214123252232212n n S n n -+=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯奇．上述两式相减，得()35212132222222212n n S n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯奇()()4121212145610221221433n n n n n -++--=+--⨯=⨯--， …………11分 所以S =奇216510299n n +-⨯+． ………………………………………………12分 ②当n 为偶数时，易得，数列{}2+1n 前n 项和为()()2541=591341232n n S n n n ++⎡⎤⎣⎦+++++==+偶．………………14分设{C n }的前2n 项和为T 2n 则2n T S S =+奇偶212651022399n n n n +-=⨯+++．………………………………………15分20．解：（1）因为()ln 1f x x m x =--（()0,x ∈+∞），所以()1mf x x'=-（()0,x ∈+∞）． ……………………………………………1分 因为1x =是()f x 的极值点，所以()10f '=，即101m-=，所以1m =． …………………………………………………………2分 此时()ln 1f x x x =--，()111x f x x x-'=-=，（()0,x ∈+∞）． 易得，当01x <<时， ()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间()0,1上单调递减；在区间()1,+∞上单调递增，………4分 所以函数()f x 在1x =处的极值A 是最小值．…………………………………5分（2）由（1）知，1m =，所以()1ln 1x g x e x -=--，且()0,x ∈+∞． 所以()11x g x ex-'=-． ……………………………………………………………6分 设()11x h x ex -=-（()0,x ∈+∞），则()121x h x e x-'=+． ……………………7分 显然，当0x >时，()0h x '>恒成立，所以函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递增，且()10h =．………………………9分 所以,当01x <<时，()0h x <，即()0g x '<； 当1x >时，()0h x >，即()0g x '>．所以，函数()g x 的单调递减区间为()0,1；单调递增区间为()1,+∞． ………11分 （3）证明：由（1）可知,当1x >时，()()10f x f >=，即1ln x x ->．………………………………12分不妨令112n x =+（n ∈N *）， 则有11ln 122⎛⎫+< ⎪⎝⎭n n （n ∈N *）．……………………………………………13分 所以12121111111ln 1ln 1ln 1112222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n ， 即2111ln 1111ln 222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n e ．…………………………………15分 因为函数ln =y x 在区间()1,+∞上单调递增，所以2111111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n e （得证）． …………………………………16分。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一次调研测试参考答案及评分建议
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次调研测试参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}12A x x =-<<，}{101B =-，，，则A B =▲． 【答案】}{01，2． 若复数2i z a =+(i 为虚数单位，a ∈R )满足||3z =，则a 的值为▲．【答案】3． 从1234，，，这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是▲．【答案】564．根据下图所示的伪代码，可知输出的结果S 为▲．【答案】145． 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间[04500]，上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10000户家庭中，有▲户月消费额在1000元以下． 【答案】7506n S ．若2S 7程为y =，则该双曲线的方程为▲． 【答案】2221x y -=消费/元（第5题）8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1B B 的中点，则三棱锥1B ADE -的体积为 ▲．【答案】1129． 若函数()0()(2)0x x b x f x ax x x -⎧=⎨+⎩，≥，，＜( )a b ∈R ，为奇函数，则()f a b +的值为▲．【答案】1-10．已知1sin()63x π+=，则25sin()sin ()63x x ππ-+-的值为 ▲ ．【答案】5911．在平面直角坐标系xOy 中，点(10)(40)A B ，，，．若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】[- 12．已知边长为6的正三角形ABC ，12BD BC =，13AE AC =，AD 与BE 交于点P ，则PB PD ⋅的 值为 ▲ ．【答案】27413．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线2(0)y x x =>和3(0)y x x =>均相切，切点分别为 11()A x y ，和22()B x y ，，则12x x 的值为 ▲ ． 【答案】4314．已知函数2()23()f x ax +b a b =∈R ，．若对于任意[11]x ∈-，，都有()1f x ≤成立，则ab 的最大值是 ▲ ． 【答案】124二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，()()a b c a b c ab +-++＝．（1）求角C 的大小；（2）若2cos 2c=a B b=，，求△ABC 的面积．【解】（1）在△ABC 中，由(a +b －c )(a +b +c )＝ab ，得222122a b c ab +-=-，即cos C ＝12-． (3)分因为0＜C ＜π，所以C ＝23π．……………………………………………………………6分 （2）（法一）因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得sin C ＝2sin A cos B ，…………………………………………………………………………8分 因为A +B +C ＝π，所以sin C ＝sin(A +B )，所以sin(A +B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，………10分 又－3π＜A －B ＜3π， 所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2．………………………………………………12分 所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 23π＝ 3．………………………14分（法二）由2cos c a B =及余弦定理，得22222a c b c a ac+-=⨯，…………………………8分化简得a b =， (12)分所以，△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 23π＝3．………………………14分16．(本小题满分14分)如图，在直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，点E 是A 1C 1的中点． 求证：（1）BE ⊥AC ； （2）BE ∥平面ACD 1．【证明】（1）在直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中， 连结BD 交AC 于点F ，连结B 1D 1交A 1C 1于点E ．因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ． 因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直棱柱，所以BB 1⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以，BB 1⊥AC ．………………………………………………………………………3分（第16题）C 1D 1 ABC DA 1B 1EF又BD∩BB1＝B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，所以AC⊥平面B1BDD1．………………………………………………………………5分而BE⊂平面B1BDD1，所以BE⊥AC．………………………………………………7分（通过证明等腰三角形A1BC1，得BE⊥A1C1，再由AC∥A1C1得BE⊥AC，可得7分）（2）连结D1F，因为四棱柱ABCD–A1B1C1D1为直棱柱，所以四边形B1BDD1为矩形．又E，F分别是B1D1，BD的中点，所以BF＝D1E，且BF∥D1E．…………………………………………………………9分所以四边形BED1F是平行四边形．所以BE∥D1F．…………………………………………………………………………11分又D1F⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，所以BE∥平面ACD1．………………………………………………………………14分17．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>过点A(2，1)，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线:(0)l y kx m k=+≠与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB AC⊥，求直线l的方程．【解】（1）由条件知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>离心率为cea==所以222214b ac a=-=．又点A(2，1)在椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上，所以22411a b+=，……………………………………………………………………………2分解得2282ab⎧=⎪⎨=⎪⎩，．所以，所求椭圆的方程为22182x y +=． ………………………………………………4分 （2）将(0)y kx m k =+≠代入椭圆方程，得224()80x kx m ++-=， 整理，得222(14)8480k x mkx m +++-=．① 由线段BC 被y 轴平分，得28014B C mkx x k +=-=+，因为0k ≠，所以0m =． …………………………………………………………………8分 因为当0m =时，B C ，关于原点对称，设()()B x kx C x kx --，，，， 由方程①，得22814x k =+，又因为AB AC ⊥，A (2，1)，所以22(2)(2)(1)(1)5(1)AB AC x x kx kx k x ⋅=---+---=-+228(1)5014k k +=-=+， 所以12k =±．………………………………………………………………………………12分由于12k =时，直线12y x =过点A (2，1)，故12k =不符合题设． 所以，此时直线l 的方程为12y x =-． …………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O 1为圆心，半径为 1 km 的半圆面．公路l 经过点O ，且与直径OA 垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路PQ （点P 在直径OA 的延长线上，点Q 在公路l 上），T 为切点． （1）按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ =α(rad)，将△OPQ 的面积S 表示为α的函数； ②设OQ = t (km)，将△OPQ 的面积S 表示为t 的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ 的面积S 的最小值． 【解】（1）①由题设知，在Rt △O 1PT 中， ∠OPT =α，O 1T =1， 所以O 1P 1sin =α． 又OO 1=1，所以OP 11sin =+α． 在Rt △OPQ 中，（第18题）l 111sin tan (1)tan sin cos OQ OP ααααα+==+=．…3分 所以，Rt △OPQ 的面积为2(1sin )π(0)sin 22ααα+=<<． …………………………………………………………5分（取值范围不写或不正确扣1分）②由题设知，OQ =QT = t ，O 1T =1，且Rt △POQ ∽Rt △PTO 1， 所以1OP TP OQ TO =，即OP t = 化简，得222(1)1t OP=t t >-．………………………………………………………………8分 所以，Rt △OPQ 的面积为232212(1)211t t =t t t t ⋅=>--．…………………………………………………………10分 （取值范围不写或不正确扣1分）（2）选用（1）中①的函数关系2(1sin )π(0)sin 22S ααα+=<<． 222(1sin )(2sin 1)(0)(sin 2)2αααα+-π=<<．………………………………………………13分由222(1sin )(2sin 1)0(0)(sin 2)2S =αααα+-π'=<<，得6=απ．列表所以，当6=απ时，△OPQ 的面积S的最小值为2π(1sin )6πsin 26+⨯（）km 2）．………16分（2）选用（1）中②的函数关系32(1)1t S t t =>-． 1)t =>……………………………………………………………13分由0(1)S t '==>，得 列表所以，当t=OPQ的面积S的最小值为km2）．…………16分19．(本小题满分16分)已知函数()()f x a x a=+∈R．（1）求()f x的单调区间；（2）试求()f x的零点个数，并证明你的结论．【解】（1）由函数f(x)＝a ln x(a∈R)，得f ′(x)2)x+．…………………………2分因此，函数f(x)的单调增区间为(e-2，+∞)，单调减区间为(0，e-2)．……………………5分（2）由（1）可知，f min(x)＝f(e-2)＝a－2e-1．………………………………………………6分（i）当a＞2e-1时，由f(x)≥f(e-2)＝a－2e-1＞0，得函数f(x)的零点个数为0．…………8分（ii）当a＝2e-1时，因f(x)在(e-2，+∞)上是单调增，在(0，e-2)上单调减，故x∈(0，e-2)∪(e-2，+∞)时，f(x)＞f(e-2)＝0．此时，函数f(x)的零点个数为1．……………………………………………………10分（iii）当a＜2e-1时，f min(x)＝f(e-2)＝a－2e-1＜0．①a≤0时，因为当x∈(0，e-2]时，f(x)＝a ln x＜a≤0，所以，函数f(x)在区间(0，e-2]上无零点；另一方面，因为f(x)在[e-2，+∞)单调递增，且f(e-2)＝a－2e-1＜0，又e-2a∈(e-2，+∞)，且f(e-2a)＝a(1－2e-a)>0，此时，函数f(x)在(e-2，+∞)上有且只有一个零点．所以，当a≤0时，函数f(x)零点个数为1．………………………………………13分②0＜a＜2e-1时，因为f (x )在[e -2，+∞)上单调递增，且f (1)＝a ＞0，f (e -2)＝a －2e -1＜0， 所以，函数f (x )在区间(e -2，+∞)有且只有1个零点；另一方面，因为f (x )在(0，e -2]上是单调递减，且f (e -2)＝a －2e -1＜0 又4e a -∈(0，e -2)，且f ( )4e a -＝a －24e aa ＞a －242()a a＝0，（当0x >时，2e x x >成立） 此时，函数f (x )在(0，e -2)上有且只有1个零点． 所以，当0＜a ＜2e -1时，函数f (x )零点个数为2．综上所述，当a ＞2e -1时，f (x )的零点个数为0；当a ＝2e -1，或a ≤0时，f (x )的零点个数为1； 当0＜a ＜2e -1时，f (x )的零点个数为2．………………………………………16分 20．(本小题满分16分)若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”． （1）已知数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n －1．①求{a n }的通项公式；②试判断{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论． （2）已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z ()n *∈N ． 求证：{a n }为“等比源数列”．【解】（1）①由a n +1＝2a n －1，得a n +1－1＝2(a n －1)，且a 1－1＝1，所以数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．……………………………………2分 所以a n －1=2n-1．所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n-1+1．………………………………………………4分 ②数列{a n }不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列{a n }是“等比源数列”，则存在三项a m ，a n ，a k (m ＜n ＜k )按一定次序排列构成等比数列．因为a n ＝2n -1+1，所以a m ＜a n ＜a k ．……………………………………………………7分 所以a n 2＝a m ·a k ，得 (2n -1+1)2＝(2m -1+1)(2k -1+1)，即22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m ＝1． 又m ＜n ＜k ，m ，n ，k ∈N *，所以2n －m －1≥1，n －m +1≥1，k －1≥1，k －m ≥1．所以22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m 为偶数，与22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m ＝1矛盾． 所以，数列{a n }中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．综上可得，数列{a n }不是“等比源数列”．…………………………………………10分（2）不妨设等差数列{a n }的公差d ≥0．当d ＝0时，等差数列{a n }为非零常数数列，数列{a n }为“等比源数列”． 当d ＞0时，因为a n ∈Z ，则d ≥1，且d ∈Z ，所以数列{a n }中必有一项a m ＞0．为了使得{a n }为“等比源数列”，只需要{a n }中存在第n 项，第k 项(m ＜n ＜k )，使得a n 2＝a m a k 成立，即[a m +(n －m )d ]2＝a m [a m +(k －m )d ]，即(n －m )［2a m +(n －m )d ］＝a m (k －m )成立．…13分 当n ＝a m +m ，k ＝2a m +a m d +m 时，上式成立．所以{a n }中存在a m ，a n ，a k 成等比数列． 所以，数列{a n }为“等比源数列”．……………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分建议21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆O 的直径10AB=，C 为圆上一点，6BC=．过C 作圆O 的切线l ，AD ⊥l 于点D ，且交圆O 于点E ，求DE 的长．【解】因为圆O 的直径为AB ，C 为圆上一点，所以908ACB AC ∠=︒===，．因为直线l 为圆O 的切线， 所以DCA CBA ∠=∠． 所以Rt △ABC ∽Rt △ACD ，所以AB AC BCAC AD DC==．……………………………………5分 又因为10AB=，6BC=所以2325AC AD AB ==，245AC BC DC AB ⋅==． 由2DC DE DA =⋅，得2224()1853255DC DE DA ===．………………………………………10分 B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵1022⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求逆矩阵1-M 的特征值． ABCDEOl（第21_A 题）【解】设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，则110102201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM ， 所以2222ab ac bd ⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以1022022 1.a b a c b d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，解得1011.2a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，，，所以110112M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．……………………………………5分 1-M 的特征多项式11()(1)()01212f λλλλλ-==--=-，所以1λ=或12．所以，矩阵M 的逆矩阵1-M 的特征值为1或12．……………………………………………10分 C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点(2)4A π，，圆C的方程为ρθ=(圆心为点C )，求直线AC 的极坐标方程．【解法一】以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．圆C的平面直角坐标方程为22x y +=，即22(8x y +-=，圆心(0C ． A的直角坐标为．……………………………………………………………………4分直线AC的斜率1AC k ==-．所以，直线AC的直角坐标方程为y x =-+8分极坐标方程为(cos sin )ρθθ+=sin()24ρθπ+=．…………………………10分【解法二】在直线AC 上任取一点()M ρθ，，不妨设点M 在线段AC 上．由于圆心为)2C π，，OAC OAM OCM S S S ∆∆∆=+，……………………………………………4分所以1112sin 2sin()sin()242422ρθρθπππ⨯=⨯⨯-+⨯⨯-，即(cos sin )ρθθ+=化简，得直线AC 的极坐标方程为sin()24ρθπ+=． ………………………………………10分D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知00a b ≥，≥，求证：6644()a b ab a b ++≥． 【证明】6644()a b ab a b +-+55()()a a b a b b =---………………………………………………………………………2分 55()()a b a b =--…………………………………………………………………………4分 2432234()()a b a a b a b ab b =-++++………………………………………………………8分又00a b ≥，≥，所以6644()0a b ab a b +-+≥，即6644()a b ab a b ++≥．……………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，1AB =，2AD AS ==，P 是棱SD 上一点，且12SP PD =．（1）求直线AB 与CP 所成角的余弦值； （2）求二面角A PC D --的余弦值．【解】（1）如图，分别以AB AD AS ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系． 则(000)(100)(120)(020)(002).A B C D S ，，，，，，，，，，，，，， 设000()P x y z ，，，由13SP SD =，得0001(2)(022)3x y z -=-，，，，， 00024033x y z ∴===，，，点P 坐标为24(0)33，，．44(1)33CP =--，，，(100)AB =，，，………………2分设直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α=4分 （2）设平面APC 的一个法向量为111()m x y z =，，， 所以111120240.33m AC x y =m AP y z ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令12y =-，则1141x z ==，，(421)m =-，，．……………………………………………6分 设平面SCD 的一个法向量为222()n x y z =，，，由于(100)(022)DC DS ==-，，，，，， 所以2220220n DC x n DS y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令21y =，则21z =，(011)n =，，．……………………8分 设二面角A PC D --的大小为θ，由于cos m n <=，， 所以，由向量m n ，的方向，得42cos cos m n =θ=-<>，…………………………10分 23．已知函数0()(sin cos )f x x x x =+，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求12()()f x f x ，的表达式；（2）写出()n f x 的表达式，并用数学归纳法证明． 【解】（1）因为()n f x 为1()n f x -的导数， 所以10() ()f x f x '=(sin cos )(cos sin )x x x x x =++-(1)cos (1)(sin )x x x x =++--，…………………………………………………2分同理，2()(2)sin (2)cos f x x x x x =-+--．………………………………………………4分 （2）由（1）得32() ()(3)cos (3)sin f x f x =x x x x '=-++-，……………………………………5分把123()()()f x f x f x ，，分别改写为 1()(1)sin()(1)cos()22f x x x x x ππ=+++-+,222()(2)sin()(2)cos()22f x x x x x ππ=+++-+, 333()(3)sin()(3)cos()22f x x x x x ππ=+++-+, 猜测()()sin()()2n n f x x n x x n π=+++-cos()2n x π+（ ）*．……………………………7分下面用数学归纳法证明上述等式．（i ）当1n =时，由（1）知，等式（ ）*成立； （ii ）假设当n k =时，等式（ ）*成立，即()()k f x x k =+sin()()cos()22k k x x k x ππ++-+． 则当1n k =+时，即当1n k =+时，等式（ ）*成立． 综上所述，当n *∈N 时，()()sin()()2n n f x x n x x n π=+++-cos()2n x π+成立．……10分。
2020届天津市高三高考全真模拟(一)数学试题(解析版)
根据函数的性质排除选项是解题关键.
7．设 a 0.30.6 ， b 0.60.3 ， c 0.30.3 ，则 a，b，c 的大小关系为（
）
A． b a c
【答案】B
B． a c b
C． b c a
D． c b a
【解析】根据指数函数的单调性得出 0.30.6 0.30.3 ，而根据幂函数的单调性得出
A． AE
B． AC
C． DC
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D． BC
【答案】A
【解析】利用 AB, DC 是相等向量及 E 为中点可得正确的选项．
【详解】
因为 1 AB AD AD DE AE ，故选 A． 2
【点睛】 本题考查向量的加法及向量的线性运算，属于容易题． 4．下列命题中错误的是（ ）
2020 届天津市高三高考全真模拟（一）数学试题
一、单选题
1．已知全集U R ，集合 A {x | 2 x 3} , B {y | y 2x1, x 0} ，则 A U B
（）
A．{x | 2 x 0} C．{x | 0 x 1}
2
【答案】B
B．{x | 2 x 1} 2
点睛：抓住两个边界：当直线 1 与 OP 垂直时，弦长|AB|最小；当直线 1 过圆心 O 时，
弦长|AB|最大，从而定出了弦长的变化范围，又弦长为整数，故中间只有一种情况，结
合圆的对称性，不难发现此时有两种情况.
9．已知函数 f (x) 1 m cos 2x (m 2)sin x ，其中1 m 2 ，若函数 f x 的最大值
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定理和化简整理能力，属于中档题．
13． (x 1)7 (x 1)3 的展开式中 x 的系数是__________． 【答案】 4
2020年高考数学天津卷附答案解析版
（Ⅰ）当 k 6 时，
（i）求曲线 y f x 在点1，f1处的切线方程；
（ii）求函数 g x f x f x 9 的单调区间和极值；
x
（ Ⅱ ） 当 k≥ 3 时 ， 求 证 ： 对 任 意 的 x1，x21， ， 且 x1＞x2 ， 有
f x1 f x2 ＞f x1 f x2 .
r 1 .所以
x 2的 系 数 为
C51 2 10 .故答案为：10. 【考点】二项展开式的通项公式的应用
2
x1 x2
数学试卷 第 6 页（共 6 页）
2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题 1. 【答案】C 【解析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：
UB 2，1，1，则 A U B 1，1.故选：C.
【考点】补集运算，交集运算 2. 【答案】A 【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.求解二次不 等式a2＞a 可得： a＞1或 a＜0，据此可知： a＞1是 a2＞a 的充分不必要条件.故选：A.
【考点】函数图象的识辨 4. 【答案】B
【解析】根据直方图确定直径落在区间5.43，5.47 之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.根 据直方图，直径落在区间5.43，5.47 之间的零件频率为：6.25 5.00 0.02 0.225 ，则区间5.43，5.47内
零件的个数为： 80 0.225 18 .故选：B.
A.12
B. 24
C. 36
6.设
a
30.7
，
b
1 3
，0.8
2020年天津市十二区县高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{2，3，5}C．{1，2，4}D．{0，2，3，5}2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．0B．3C．6D．123．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＞0”D．若“p且q”为假，则p，q全是假命题5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率，点P是抛物线y2=4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣x2=1C．y2﹣=1D．﹣=16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．7．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=3，AD=4，BD=6，则PB=（）A．6B．8C．10D．148．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．i是虚数单位，复数=．10．在的二项展开式中，x2的系数为．11．已知曲线y=x﹣1与直线x=1，x=3，x轴围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为．12．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为．13．直线l：（t为参数），圆C：ρ=2cos（θ+）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，则实数a的取值范围为．14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，，若集合M=，N=．则M∩N=．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数，x∈R（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答．（Ⅰ）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；（Ⅱ）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望．17．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．18．设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；（Ⅱ）PQ是圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．19．己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，记b n=．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，|m﹣1|≥3b n都成立，求实数m的取值范围；}的前n项和分别为S n，T n．证明：对任意的正整数n，都有2S n （Ⅲ）设数列{b2n}，{b2n﹣1＜2T n+3．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{2，3，5}C．{1，2，4}D．{0，2，3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3，5}，∴∁U A={0，4}，∵B={2，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}．故选A2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．0B．3C．6D．12【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z，结合图象可得，过点A（0，3）时有最大值为z=0+6=6，故选：C．3．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上【考点】程序框图．【分析】根据程序框图中的运算规律确定出所求函数解析式即可．【解答】解：根据题意得：程序框图输出的所有点都在函数y=2x﹣1的图象上，故选：D．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＞0”D．若“p且q”为假，则p，q全是假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．否命题是即否定条件又否定结论；B．根据充分条件和必要条件的概念判定即可；C．存在命题的否定：把存在改为任意，再否定结论；D．且命题的概念判断即可．【解答】A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故错误；B．若a，b∈R，则“ab≠0”可推出a≠0且b≠0，但由a≠0推不出ab≠0，故是充分不必要条件，故正确；C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故错误；D．若“p且q”为假，则p，q不全是真命题，故错误．故选B．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率，点P是抛物线y2=4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣x2=1C．y2﹣=1D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点坐标和准线方程，双曲线的离心率，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，可得FF1=，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线的方程为x=﹣1，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的e==，由P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离为|PF|，可得|PF|+|PF1|的最小值为，当P，F，F1三点共线，可得最小值|FF1|==，即有c=，由c2=a2+b2，解得a=2，b=1，即有双曲线的方程为﹣x2=1．故选：B．6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】首先由三角形面积公式得到S△ABC=ab•sinC，再由余弦定理，结合6S=（a+b）2﹣c2，得出3sinC﹣2cosC=2，然后通过（3sinC﹣2cosC）2=4，求出结果即可．【解答】解：△ABC中，∵S△ABC=ab•sinC，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，且6S=（a+b）2﹣c2，∴3absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得3sinC﹣2cosC=2，∴（3sinC﹣2cosC）2=4．∴=4，化简可得5tan2C﹣12tanC=0．∵C∈（0，180°），∴tanC=，故选：C．7．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=3，AD=4，BD=6，则PB=（）A．6B．8C．10D．14【考点】与圆有关的比例线段．【分析】圆中的性质相交弦定理、切割线定理应用．【解答】解：由相交弦定理得：AD•BD=CD•DT，即4×6=3×DT，解得DT=8设PB=x，PT=y因为PT为切线，所以DT⊥PT，在Rt△PDT中，PT2+DT2=PD2，即y2+64=（6+x）2①由切割线定理知，PT2=PB×PA，即y2=x×（x+10）②联立①②得，x=14故选：D8．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】利用换元法将函数进行转化，利用数形结合以及分类讨论进行求解即可．【解答】解：设f（x）=t，（t＞0）则由y=f[f（x）]﹣4m=0得f[f（x）]=4m，即f（t）=4m，则m（|t﹣2|+|t﹣4|）=4m，则|t﹣2|+|t﹣4|=4，得t=5，或t=1，若t=1，则f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|）=1，即|x﹣2|+|x﹣4|=，若t=5，则f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|）=5，即|x﹣2|+|x﹣4|=，设g（x）=|x﹣2|+|x﹣4|，（x≥0），∵函数f（x）是偶函数，∴要使函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则等价为当x≥0时，函数y=f[f（x）]﹣4m恰有2个零点，作出g（x）在[0，+∞）上的图象如图：①，即，即＜m＜，②，即，即0＜m＜，综上实数m的取值范围是，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．i是虚数单位，复数=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】将复数分母实数化，分子、分母同乘以（1+i），化简即可．【解答】解：===；故答案为：．10．在的二项展开式中，x2的系数为90．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，再由x的指数等于2求得r，则答案可求．【解答】解：由，得=，由，得r=2．∴x2的系数为．故答案为：90．11．已知曲线y=x﹣1与直线x=1，x=3，x轴围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据积分的应用，求出区域的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：作出曲线对应的平面区域，则区域B是边长分别为1，2的矩形，则面积S B=2，区域A的面积S A=dx=lnx=ln3﹣ln1=ln3，则对应的概率P==，故答案为：12．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，且球的半径是，正方体的棱长是3，∴几何体的体积V==故答案为：．13．直线l：（t为参数），圆C：ρ=2cos（θ+）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，则实数a的取值范围为[，2]．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】求出直线l与圆C的普通方程得出圆C的半径，利用点到直线的距离公式列出不等式解出a的范围．【解答】解：直线l的普通方程为2x+ay﹣a=0．∵ρ=2cos（θ+），∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为：x2+y2=2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆C的圆心为C（1，﹣1），圆C的半径r=．∵圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，∴圆心C到直线l的距离0≤d≤．即0≤≤．解得．故答案为：[，2]．14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，，若集合M=，N=．则M∩N=[，2]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示，根据λ的范围求出的范围，即M的范围，根据基本不等式求出N的范围，得出M∩N．【解答】解：∵，∴0≤λ≤1．=．==（）=．==．∴=（）•（）=+=2λ．∴M==[0，2]．∵a＞b，ab=1，∴a﹣b＞0，==≥2=．∴N={x|x=，a＞b，ab=1}=[，+∞）．∴M∩N=[，2]．故答案为：．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数，x∈R（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=（1）由周期公式可得；（2）由x的范围和三角函数的最值可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=cos2x+cos2（x﹣）===（1）函数f（x）的最小正周期；（2）∵函数f（x）在单调递增，在单调递减，∵，∴．16．某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答．（Ⅰ）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；（Ⅱ）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，利用对立事件概率计算公式能求出该考生至少抽取到2道B类题的概率．（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列与期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，P（A）=．…（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，…，，，，，…∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 4P…∴随机变量X的期望为：．…17．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【分析】（I）由等边三角形性质得出AO⊥EF，利用面面垂直的性质得出AO⊥平面EFCB，故AO⊥BE；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，则=（0，0，1）为平面AEF的一个法向量，求出平面ABE的法向量，则cos＜＞与二面角的余弦值相等或相反．（III）令|cos＜＞|=，列方程解出a．【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，又∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB=EF，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB，又BE⊂平面EFCB，∴AO⊥BE．（Ⅱ）取CB的中点D，连接OD，则OD⊥EF，以O为原点，分别以OE、OA、OD为坐标轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），E（a，0，0），F（﹣a，0，0），，，，∴，=（a，﹣a，0），设平面AEB的一个法向量，则，∴，令y=1，得=（，1，﹣1）．平面AEF的一个法向量为，∴=﹣1，||=，||=1，∴，由二面角F﹣AE﹣B为钝二面角，∴二面角F﹣AE﹣B的余弦值为﹣．（Ⅲ），∴=4，||=，||=，∴cos＜，＞=，∴6a2﹣12a+16=10，解得a=1．18．设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；（Ⅱ）PQ是圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）运用分点坐标公式可得M的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到；（II）解法一、设出PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径，计算即可得到所求方程；解法二、设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式，可得PQ的斜率，求得PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式计算即可得到所求椭圆方程．【解答】解：（I）∵A（a，0）B（0，b）点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|∴M，，∴，∴∴椭圆E的离心率e为；（II）解法一：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2．（1），依题意，圆心C（﹣2，1）是线段PQ的中点，且．易知，PQ不与x轴垂直，设其直线方程为y=k（x+2）+1，代入（1）得（1+4k2）x2+8k（2k+1）x+4（2k+1）2﹣4b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由x1+x2=﹣4，得，解得．从而．于是，由，得，2b2﹣4=6，解得b2=5．故椭圆E的方程为．解法二：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2．（1），依题意点P、Q关于圆C（﹣2，1）对称且，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，两式相减得﹣4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，易知PQ不与x轴垂直，则x1≠x2，，∴PQ的斜率为，设其直线方程为，代入（1）得x2+4x+8﹣2b2=0∴x1+x2=﹣4．于是，由，得，2b2﹣4=6解得b2=5．故椭圆E的方程为．19．己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，记b n=．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，|m﹣1|≥3b n都成立，求实数m的取值范围；}的前n项和分别为S n，T n．证明：对任意的正整数n，都有2S n （Ⅲ）设数列{b2n}，{b2n﹣1＜2T n+3．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由a2=16a4，结合数列是非单调数列求出等比数列的公比，可得等比数列的通项公式；（Ⅱ）由b n=，得，分n为奇偶数求出{b n}的最大值，代入|m﹣1|≥3b n，解得m≥2或m≤0；（Ⅲ）放缩得到，代入S n﹣T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2n﹣b2n）可得2S n﹣2T n＜3，即2S n＜2T n+3．﹣1【解答】（Ⅰ）解：∵数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，∴，解得q=，∵数列是非单调数列，∴q=﹣，则；（Ⅱ）解：由b n=，得，当n为奇数时，；当n为偶数时，，且{b n}为减函数，∴，则|m﹣1|≥3b n=1，解得m≥2或m≤0；（Ⅲ）证明：∵===，∴S n﹣T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2n﹣b2n）﹣1=．∴2S n﹣2T n＜3，即2S n＜2T n+3．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）﹣g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+∞）上单调递增，可得对∀x＞0，都有h′（x）≥0，得到，由得到a的取值范围；（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值；（3）由题意知，，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0＜x1＜x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合又得到，即．【解答】（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，则，∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对∀x＞0，都有，即对∀x＞0，都有，∵，∴a≤0，故实数a的取值范围是（﹣∞，0]；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则，当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1；（3）证明：由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，∴，即，不妨令0＜x1＜x2，记，令，则，∴在（1，+∞）上单调递增，则，∴，则，∴，又，∴，即，令，则x＞0时，，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，又，∴，则，即．2020年7月21日。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学一模试卷理科
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学一模试卷理科创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜2}2．设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣23．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A． B．C． D．4．已知函数f（x）满足，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为（）A．0 B．9 C．18 D．275．已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2B． C． D．26．的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．160 C．100 D．807．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π8．已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞10010．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a．则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．12．设函数，若互不相等的实数a，b，c，d满足f （a）=f（b）=f（c）=f（d），则2a+2b+2c+2d的取值范围是（）A．B．（98，146）C．D．（98，266）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|=．14．设x，y 满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．已知sin10°+mcos10°=2cos140°，则m=．16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12.00分）已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：10000以上步数/步0～30003001～60006001～80008001～10000127155男生人数/人03791女性人数/人规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P（X≤2）和X 的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y；求x ＞y的概率．19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且满足（其中O为坐标原点）．证明：直线l的斜率为定值．21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（lnx﹣x+1）．（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；（2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜2}【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}={x|0＜x＜2}，B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B={x|0＜x＜1}．故选：B．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【分析】把z=a+4i（a∈R）代入（2﹣i）z，利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z=（2﹣i）（a+4i）=（2a+4）+（8﹣a）i为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A． B．C． D．【分析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：由题意此点取自黑色部分的概率是：P==，故选：A．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．4．已知函数f（x）满足，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为（）A．0 B．9 C．18 D．27【分析】根据题意，分析可得函数的解析式，求出其导数f′（x）=24x2﹣6，计算可得f′（1）的值，结合导数的几何意义分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足，则f（x）=8x3﹣6x，其导数f′（x）=24x2﹣6，则有f′（1）=24﹣6=18，即函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为18；故选：C．【点评】本题考查利用导数求函数切线的方程，注意先求出函数的解析式．5．已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2B． C． D．2【分析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c==a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c==a，则双曲线C的离心率e==，故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离为b．6．的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．160 C．100 D．80【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有x3的项得答案．【解答】解：=，∵x（1+2x）5的展开式中含x3的项为，的展开式中含x3的项为．∴的展开式中，x3的系数为40+80=120．故选：A．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π【分析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积．【解答】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴表面积为：4×6×2+2（4×6﹣4π）+2×2π×4=96+8π，故选：B．【点评】本题考查了圆柱和长方体的三视图，结构特征，面积计算，属于基础题．8．已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称【分析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案．【解答】解：把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）=cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故A错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故B正确；把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），取x=0，得y=，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故C错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin （2x﹣），取x=0，得y=﹣，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D错误．∴正确的结论是B．故选：B．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，考查y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，是基础题．9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞100【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可．【解答】解：n=1，s=0，n=2，s=2，n=3，s=4，…，n=99，s=，n=100，s=，n=101＞100，结束循环，故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a．则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由正弦定理和余弦定理即可求出a=，再由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：根据正弦定理可得===，∴sinB=，sinC=，∵2bsinB+2csinC=bc+a，∴+=bc+a，∴b2+c2=abc+a2，∴b2+c2﹣a2=abc，∴==cosA=∴a=，∴3=b2+c2﹣bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，=bcsinA=bc≤∴S△ABC故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．11．已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】解：设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，则A（，），B（，﹣），将点A的坐标代入x=ty+m，得m=﹣，∴M（﹣，0），∴=（，）•（，﹣）=﹣=（t2﹣）2﹣，则当t2=，即t=±时，的最小值为﹣故选：C．【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及向量的数量积和二次函数的性质，属于中档题12．设函数，若互不相等的实数a，b，c，d满足f （a）=f（b）=f（c）=f（d），则2a+2b+2c+2d的取值范围是（）A．B．（98，146）C．D．（98，266）【分析】不妨设a＜b＜c＜d，利用f（a）=f（b）=f（c）=f（d），结合图象可得c的范围，且2a+2b=2，c+d=11，将所求式子转化为c的函数，运用对勾函数的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：画出函数f（x）的图象，由x≤2时，f（x）=|2x+1﹣2|，可得2﹣2a+1=2b+1﹣2，可化为2a+2b=2，当x＞2时，f（x）=x2﹣11x+30，可得c+d=11，令x2﹣11x+30=2，解得x=4或7，由图象可得存在a，b，c，d使得f（a）=f（b）=f（c）=f（d），可得4＜c＜5，即有16＜2c＜32，则2a+2b+2c+2d=2+2c+2d=2+2c+，设t=2c，则t+在（16，32）递减，可得g（t）=t+∈（96，144），则2+2c+的范围是（98，146）．故选：B．【点评】本题考查代数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|=1．【分析】根据单位向量的夹角为30°即可求出的值，从而可求出的值，进而得出的值．【解答】解：单位向量的夹角为30°；∴，；∴=；∴．故答案为：1．【点评】考查向量数量积的运算，以及单位向量的概念．14．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为2．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（4，﹣2），所以z=x+y 的最大值为：2．故答案为：2．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．15．已知sin10°+mcos10°=2cos140°，则m=﹣．【分析】由题意可得m=，再利用三角恒等变换求得它的值．【解答】解：由题意可得m=====﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题．16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．【分析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积．【解答】解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI=，IE=6﹣．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=，OP=，．∴．该四棱锥的外接球的体积V=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知求出半径是解答的关键．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12.00分）已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．可得=a3•a11，即（5+5d）2=（5+2d）（5+10d），解得：d．（2）=（2n+3）•3n﹣1．利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴=a3•a11，即（5+5d）2=（5+2d）（5+10d），化为：d2﹣2d=0，解得：d=2．∴a n=5+2（n﹣1）=2n+3．（2）=（2n+3）•3n﹣1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+（2n+3）•3n﹣1．∴3S n=5×3+7×32+……+（2n+1）×3n﹣1+（2n+3）×3n，∴﹣2S n=5+2（3+32+……+3n﹣1）﹣（2n+3）×3n=5+2×﹣（2n+3）×3n，解得S n=（n+1）3n﹣1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步0～30003001～60006001～80008001～10000以上10000127155男生人数/人03791女性人数/人规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P（X≤2）和X 的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y；求x ＞y的概率．【分析】（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为=，X～B（3，），由此能求出P（X≤2）和X的数学期望．（2）“x＞y“包含“x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“，“x=1，y=0“，分别求出相应的概率，由此能求出P（x＞y）．【解答】解：（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为=，X～B（3，），∴P（X≤2）=1﹣（）3=，X的数学期望E（X）=3×=．（2）“x＞y“包含“x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“，“x=1，y=0“，P（x=3，y=2）==，P（x=3，y=1）==，P（x=3，y=0）=×=，P（x=2，y=1）=×=，P（x=2，y=0）=×=，P（x=1，y=0）=×=，∴P（x＞y）=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随时机变量的数学期望的求法，考查二项分布、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）根据AE⊥EF，AE⊥CF可得AE⊥平面BCFE，故而平面AEFD⊥平面EBCF；（2）建立空间坐标系，根据BD⊥EC求出AE，求出平面BDF和平面BCD的法向量即可得出二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E，F分别为线段AB，DC的中点，∴EF∥AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．（2）解：由（1）可得EA，EB，EF两两垂直，故以E为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE=m，则E（0，0，0），A（0，0，m），B（m，0，0），F（0，3，0），C（m，4，0），D（0，2，m），∴=（﹣m，2，m），，∵DB⊥EC，∴﹣m2+8=0，∴m=2．∴=（﹣2，2，2），，，设面DBF的法向量为，则，即，令y=4可得：=（3，4，），同理可得平面CDB的法向量为，∴cos＜＞===．由图形可知二面角F﹣BD﹣C为锐角，∴二面角F﹣BD﹣C的余弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且满足（其中O为坐标原点）．证明：直线l的斜率为定值．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、a，b，c的关系，解方程可得a，b，即可得到所求椭圆方程；（2）由题意可设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0），P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得=，+=1，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，故椭圆C的方程为+y2=1；（2）证明：由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0），P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），令x=0，可得y=m，即|MO|=|m|，令y=0，可得x=﹣，即|NO|=||，=|MO|•|y1|，S△QMO=|MO|•|y2|，则S△PMOS△PNO=|MO|•|x1|，S△QNO=|NO|•|x2|，由，可得=，即有﹣2=﹣2，可得=，即=（）2=k2，由y=kx+m代入椭圆+y2=1，可得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0，即为1+4k2﹣m2＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km（﹣）+m2=，可得=k2•，即有4k2=1（m≠0），可得k=﹣（舍去），则直线l的斜率为定值．【点评】本题考查椭圆方程和性质，主要是离心率和基本量的关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式和韦达定理，同时考查三角形的面积的求法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（lnx﹣x+1）．（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；（2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的取值范围．【分析】（1）令f′（x）=0可得x=1或xe x﹣a=0，讨论a的范围得出方程xe x﹣a=0的根的情况，从而得出结论；（2）讨论a的范围，分别得出f（x）的最小值，从而得出结论．【解答】解：（1）f′（x）=（x﹣1）e x+a（﹣1）=（x＞0），令g（x）=xe x﹣a（x＞0），g′（x）=（x+1）e x＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（0）=﹣a．∴当a≤0或a=e时，f′（x）=0只有1个零点，当0＜a＜e或a＞e时，f″（x）有两个零点．（2）当a≤0时，xe x﹣a＞0，则f（x）在x=1处取得最小值f（1）=﹣e，当a＞0时，y=xe x﹣a在（0，+∞）上单调递增，则必存在正数x0，使得x0e﹣a=0，若a＞e，则x0＞1，故函数f（x）在（0，1）和（x0，+∞）上单调递增，在（1，x0）上单调递减，又f（1）=﹣e，不符合题意；若0＜a＜e时，则0＜x0＜1，设正数b=e∈（0，1），则f（b）=（b﹣2）e b+a（lnb﹣b+1）＜aln（e﹣b+1）=a（﹣）=﹣e ﹣ab＜﹣e，不符合题意．综上，a的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】本题考查了函数单调性判断与最值计算，考查函数零点个数与单调性的关系，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程][选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠∅，求出f（x）的最小值和g（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．g（x）=，不等式g（x）＜6，x≤﹣2时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：x＞﹣1，不等式无解；﹣2＜x＜时，1﹣4x﹣x﹣2＜6，解得：﹣＜x＜，x≥时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：3＞x，综上，不等式的解集是（﹣，3）；（2）因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f（x1）=﹣g（x2）成立，所以{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠∅，又f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|≥|（3x﹣3a）﹣（3x+1）|=|3a+1|，故g（x）的最小值是﹣，可知﹣g（x）max=，所以|3a+1|≤，解得﹣≤a≤，所以实数a的取值范围为[﹣，]．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，绝对值不等式的解法问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．【分析】（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，整理即可；（2）别将θ=，θ=代入ρ=4cosθ+8sinθ，求出得ρ1，ρ2的值，从而求出三角形的面积．【解答】解：（1）∵圆C1的普通方程为x2+y2﹣4x﹣8y=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程得ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ=0，故C1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ，C2的平面直角坐标系方程是y=x；（2）分别将θ=，θ=代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4，ρ2=4+2，则△OMN的面积为×（2+4）×（4+2）×sin（﹣）=8+5．【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的转化，考查代入求值问题，是一道中档题．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校。
2020届天津市十二区县重点学校数学高考试题试卷模拟测试题
2020届天津市十二区县重点学校数学高考一模试题一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）1．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{x|0≤x≤1，x∈Z}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{﹣2，﹣1，3}D．{﹣2，﹣1，0，3}2．（5分）已知a∈R，则“﹣1＜a＜0”是“ax2+2ax﹣1＜0对∀x∈R恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方等于10，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB＝BC＝，AB⊥BC，AA1＝2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，利用张衡的结论可得该球的表面积为（）A．8B．8C．12D．125．（5分）某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[40，50），第2组[50，60），第3组[60，70），第4组[70，80），第5组[80，90），第6组[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（）A．1，3，4B．2，3，3C．2，2，4D．1，1，66．（5分）若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．C．D．7．（5分）已知函数y＝f（x﹣2）的图象关于直线x＝2对称，在x∈（0，+∞）时，f（x）单调递增．若a＝f（4ln3），b＝f（2﹣e），（其中e为自然对数的底数，π为圆周率），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．（5分）关于函数，有下列命题：①f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）的图象关于x＝对称；③f（x）在区间[﹣，﹣]上单调递增；④将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数y＝2sin2x的图象重合．其中正确的命题是（）A．①②③B．②④C．①③D．①②④9．（5分）在等腰梯形中，AB∥CD，AB＝2，AD＝1，∠DAB＝，点F是线段AB上的一点，M为直线BC上的动点，若＝3，，且＝﹣1，则•的最大值为（）A．B．C．﹣1D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上）10．（5分）若复数z满足：z（1+i）＝|1+i|，则复数z的虚部是．11．（5分）二项式中，则其展开式中x的系数是．12．（5分）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，其准线过（﹣2，2），过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则p＝；弦AB的长为．13．（5分）为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作．为了了解学生和家长对网课授课方式的满意度，从经济不发达的A城市和经济发达的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：若评分不低于80分，则认为该用户对此授课方式“认可”，否则认为该用户对此授课方式“不认可”．以该样本中A，B城市的用户对此授课方式“认可”的频率分别作为A，B 城市用户对此授课方式“认可”的概率．现从A城市和B城市的所有用户中分别随机抽取2个用户，用X表示这4个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则P（X＝3）＝；用Y表示这从A城市随机抽取2个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则Y的数学期望为．14．（5分）若存在a，b，c∈（0，+∞），使得不等式成立，则实数m的取值范围是．15．（5分）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣k|x+2|有三个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，b﹣c＝2，cos A＝﹣．（Ⅰ）求a和sin C的值；（Ⅱ）求cos（2C+）的值17．（15分）如图，平面EFBA⊥平面ABCD，EFBA为矩形，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，M，N分别为FC，AC中点，∠ADC＝45°，DC＝3AB＝3，AE＝2．（Ⅰ）证明：MN∥平面EFBA；（Ⅱ）求二面角F﹣AC﹣D的正弦值；（Ⅲ）线段ED上是否存在点P，使得PN⊥面MAC，若存在求出EP的长，若不存在，说明理由．18．（15分）已知椭圆的左、右焦点F1，F2，离心率为，点M是椭圆上的动点，△MF1F2的最大面积是．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）圆E经过椭圆的左右焦点，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于两点P，Q，且．（i）求直线OA的斜率；（ii）当△APQ的面积取到最大值时，求直线l的方程．19．（15分）等比数列{a n}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4＝4a32，数列{b n}的前n项和S n＝，n∈N*，且b1＝1（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；。
2020届天津市部分区高考一模数学试题及答案
绝密★启用前2020届天津市部分区高考一模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知a ，b R ∈，若2b ia i i+-=（i 是虚数单位），则复数a bi +是（） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i +答案：B根据复数的除法，先得到21a i bi -=-+，根据复数相等，求出参数，即可得出结果. 解：因为()()()21b i i b i a i bi i i i +-+-===-+-， 所以12a b =⎧⎨=⎩，因此12a bi i +=+.故选：B. 点评：本题主要考查复数的除法，以及由复数相等求参数的问题，属于基础题型. 2．设R θ∈，则22ππθ-<是“sin 0θ>”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A根据充分条件与必要条件的概念，以及正弦函数的性质，即可得出结果. 解： 若22ππθ-<，则222πππθ-<-<，即0θπ<<，所以sin 0θ>；若sin 0θ>，则22,k k k Z πθππ<<+∈，不能推出“22ππθ-<”.所以22ππθ-<是“sin 0θ>”的充分不必要条件.故选：A.点评：本题主要考查判断命题的充分不必要条件，涉及正弦函数的性质，属于基础题型. 3．已知函数()2ln f x x x ax =+-．若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行，则实数a =（）A ．72B ．2C ．32D ．1答案：D先对函数求导，求得()13f a '=-；再由题意，得到32a -=，求解，即可得出结果. 解：因为()2ln f x x x ax =+-，所以()12f x x a x'=+-，则()13f a '=-； 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行， 所以32a -=，解得：1a =. 故选：D. 点评：本题主要考查已知曲线在某点处的切线斜率求参数的问题，属于基础题型.4．在ABC 中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，以边BC 所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为（） A ．36π B ．12π C ．36 D ．12答案：B根据旋转体的概念，结合题意得到该几何体是圆锥，根据体积计算公式，即可得出结果. 解：因为在ABC 中，90B ∠=︒，所以BC AB ⊥，若以边BC 所在的直线为轴，将ABC 旋转一周，所得的几何体是以BC 为高，以AB 为底面圆半径的圆锥，因为3AB =，4BC =， 因此，其体积为：()21123V AB BC ππ=⨯⨯⨯=.故选：B. 点评：本题主要考查求圆锥的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于基础题型.5．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．若分数在区间[)20,40的频数为5，则大于等于60分的人数为（）A ．15B ．20C ．35D ．45答案：C根据分数在区间[)20,40的频数，求出样本容量，再根据大于等于60分频率，即可得出对应的人数. 解：因为分数在区间[)20,40的频数为5，由频率分布直方图可知，区间[)20,40对应的频率为1(0.010.020.015)200.1-++⨯=， 因此样本容量为5500.1=， 所以，大于等于60分的人数为()500.020.0152035⨯+⨯=. 故选：C. 点评：本题主要考查频率分布直方图的简单应用，属于基础题型.6．已知函数()25x f x x =+．若131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(3log 5b f =，()0.26c f =．则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>答案：D先根据对数函数与指数函数的性质，得到13310log log 512<<<，0.261>，再根据函数单调性，即可判断出结果. 解：因为113333310log 1log log log 5lo 2g 312=<=<<=，0.261>，函数2x y =与5y x =都是增函数，所以()25xf x x =+也是增函数，因此(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭， 即c b a >>. 故选：D. 点评：本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.7．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称．给出下面四个结论：①将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心；③142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；④()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确的结论为（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④答案：C先由函数周期性与对称轴，求出函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，根据三角函数的平移原则，正弦函数的对称性与单调性，逐项判断，即可得出结果. 解：因为函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称，所以2,62k k Z ππωππωϕπ⎧=⎪⎪⎨⎪+=+∈⎪⎩，解得2,6k k Z ωπϕπ=⎧⎪⎨=+∈⎪⎩， 因为2πϕ<，所以6π=ϕ，因此()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；①将()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π个单位长度后函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2,6x k k π-=π∈Z 得,122k x k Z ππ=+∈，所以其对称中心为：,0,122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故①错； ②由2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，即函数()f x 的对称中心为,0,122k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；令512212k πππ-+=，则1k =，故②正确；③sin cos 26624f ππππ⎛⎫+== ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，故③错； ④由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得2,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 即函数()f x 的增区间为2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，因此()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．即④正确. 故选：C. 点评：本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数的对称性，单调性，周期性等即可，属于常考题型.8．设双曲线()222210x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A ，B ，C ，D四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是（） A．3BC或3D．答案：A先由题意，得到四边形ABCD 为矩形，设点00(,)A x y 位于第一象限，得到004ABCD S x y =矩形；根据双曲线的渐近线方程与圆的方程联立，求出22010e x =，再由四边形面积，得到20x =，进而可求出离心率.解：根据双曲线与圆的对称性可得，四边形ABCD 为矩形；不放设点00(,)A x y 位于第一象限，则0000224ABCD S x y x y =⨯=矩形；因为双曲线()222210x y a b a b-=>>的渐近线方程为：b y x a =±，由00220010b y x a x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得2220010b x x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2220210a b x a +=，所以2222010c e a x ==， 又20004412ABCD b S x y x a===矩形，所以203a x b===因此22010e x ==整理得：4291001000e e -+=，解得：2109e =或210e =，所以e =或e = 又0a b >>，所以双曲线的离心率e ===因此3e =. 故选：A. 点评：本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 9．在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，60BAD ∠=︒，8AB =，4CD =．若M 为线段BC 的中点，E 为线段CD 上一点，且27AM AE ⋅=，则DM DE ⋅=（） A ．15 B ．10 C ．203D ．5答案：D过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据平面向量的基本定理，根据题意，得到3142AM AB AD =+，设DE tDC =，得到2t AE A AB D =+，再由27AM AE ⋅=，求出14t =；再由向量数量积运算，即可求出结果. 解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，且8AB =，4CD =，所以2AF =， 又60BAD ∠=︒，所以4cos60AFAD ==︒；因为M 为线段BC 的中点， 所以()()111131222242AM AB AC AB AD DC AB AD AB AB AD ⎛⎫=+=++=++=+ ⎪⎝⎭， 又E 为线段CD 上一点，所以存在t R ∈，使得DE tDC =， 则2tAE AD AD DE AB =+=+， 由27AM AE ⋅=得3127422t AB AD A B D A ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22331274824tAB AD t AB AD AD AB ⋅+++⋅=， 即33184cos60641648cos60274824tt ⨯⨯⨯︒+⨯+⨯+⨯⨯⨯︒=， 解得：14t =； 所以()13118428DM DE AM AD AB A A A D AB B D ⎛⎫⋅=-⋅=+-⋅ ⎪⎝⎭ 231131311cos 606484615428321632162AB AD A AB AB AB D ⎛⎫=-⋅=-︒=⨯-⨯⨯⨯=-= ⎪⎝⎭故选：D.点评：本题主要考查由向量数量积求参数，以及求平面向量的数量积，熟记向量数量积运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型. 二、填空题10．已知集合{}2,2mA =，{}(),,B m n m n R =∈，且14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B =________．答案：12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭根据交集的结果，先求出2m =-，从而得到14n =，再求并集，即可得出结果.解： 因为{}2,2mA =，{}(),,B m n m n R =∈，14AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以124m=，解得2m =-；因此14n =. 所以12,,24AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.故答案为：12,,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 点评：本题主要考查由集合的交集求参数，以及集合的并集运算，属于基础题型.11．在522x⎫⎪⎭-的展开式中，5x 项的系数为________（用数字作答）． 答案：80-根据二项展开式的通项公式，写出通项，即可根据题意求解. 解：因为522x⎫⎪⎭-的展开式的通项为()()5521555222r r rr rrrT C C xx -+-==--，令5552r -=，则3r =， 所以5x 项的系数为()335280C -=-.故答案为：80-. 点评：本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.12．设0a >，0b >，若a 与2b 的等差中项是2，则22log 2log a b +的最大值是________． 答案：2根据题意，先得到24b a +=，再由对数运算，以及基本不等式，即可求出结果. 解：因为a 与2b 的等差中项是2， 所以24b a +=，又0a >，0b >，则()2222222log 2log log log 22a b a b ab ⎛⎫++== ⎪⎝⎭≤，当且仅当2a b =，即2,a b ==.故答案为：2. 点评：本题主要考查由基本不等式求最值问题，涉及等差数列，以及对数运算，属于常考题型. 13．已知圆()()22:1116C x y ++-=，过点()2,3P -的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB =l 的方程为________． 答案：280x y -+=根据几何法求弦长的公式，先求出圆心到直线l 的距离，根据点到直线距离公式，列出等式，即可求出直线斜率，进而可求出结果. 解：由题意，圆()()22:1116C x y ++-=的圆心为()1,1-，半径为4r =， 又由题意可知，AB 为弦长，所以圆心到直线l的距离为：d ===设直线l 的方程为：3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，所以d ==d ==24410k k -+=，解得：12k =. 故直线l 的方程为280x y -+=. 故答案为：280x y -+=. 点评：本题主要考查由弦长求直线方程，熟记直线与圆位置关系，以及弦长的求法即可，属于常考题型.14．天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励．已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p ．若教师甲恰好答对3个问题的概率是14，则p =________；在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为________． 答案：23；2312. 先根据独立事件的概率计算公式，由题意，求出23p =；结合题意确定X 可能取的值分别为0,1,2,3，求出对应的概率，即可计算期望. 解：因为教师甲恰好答对3个问题的概率是14，所以311424p ⨯⨯=，解得：23p =； 由题意，随机变量X 的可能取值分别为：0,1,2,3；所以3121(0)11142324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 31231231261(1)111111423423423244P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31231231211(2)11142342342324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31261(3)423244P X ==⨯⨯==，因此，()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：23；2312. 点评：本题主要考查独立事件的概率，以及求离散型随机变量的期望，属于常考题型.15．已知函数()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩．若存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是________． 答案：(][),31,-∞--+∞分0x =，0x <，0x >三种情况，结合分离参数的方法，分别求出a 的范围，即可得出结果. 解：由题意，当0x =时，不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立； 当0x <时，不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤，所以11a x x≤+-， 又当0x <时，11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，不等式()1f x ax ≤-可化为1ax ≤，即21111ax ⎫≥=+-≥-⎪⎭；因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立， 所以，只需213a ≤--=-或1a ≥-. 故答案为：(][),31,-∞--+∞.点评：本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，注意利用参变分离把问题转化为函数的最值问题，后者可利用基本不等式求最值，也可以利用二次函数的性质求最值，本题属于常考题型. 三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sinsin 2A Ba c A +=，c =23a b =．（1）求角C 的大小； （2）求()sin C B -的值．答案：（1）3π；（2. （1）根据正弦定理，诱导公式，以及二倍角公式，得出1sin22C =，进而可求出结果； （2）由（1）的结果，根据余弦定理，求出2b =，3a =，再求出cos B ，sin B ，即可根据两角差的正弦公式求出结果. 解：（1）因为sinsin 2A Ba c A +=，,,A B C 分别为三角形内角， 由正弦定理可得：sin sin sin sin 2CA C A π-=，因为()0,A π∈，故sin 0A ≠， 所以cossin 2sin cos 222C C C C ==， 又0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此2sin 12C =，所以1sin 22C =，因此26C π=即3C π=； （2）由（1）得1cos 2C =，因为7c =，23a b =， 由余弦定理可得：22222229713714cos 231232b b a bc C ab b b +-+-===-=，解得：2b =；所以3a =，因此2222cos 72767a c b B ac +-===，所以221sin 1cos B B =-=，故()3212121sin sin cos cos sin 7272714C B C B C B -=-=⨯-⨯=. 点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理解三角形，以及三角恒等变换求函数值的问题，属于常考题型.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ； （2）求二面角1B MN B --的正弦值；（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值答案：（1）证明过程见详解；（2）45；（3）13.（1）先取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ，根据面面平行的判定定理，得到平面//MON 平面ABC ，进而可得//MN 平面ABC ；（2）先由题意，得到11B C ，1B B ，11B A 两两垂直，以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，分别求出平面BMN和平面1B MN 的一个法向量，根据向量夹角公式，求解，即可得出结果；（3）先设[]1110,1B Pt B C =∈，得到()1,22,0PM t =-，根据空间向量的夹角公式，列出等式求解，即可得出结果. 解：（1）取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ， 因为M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点， 所以//ON AB ，//OM AC ， 又AB平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC AB A ⋂=，所以平面//MON 平面ABC ， 又MN ⊂平面MON ， 所以//MN 平面ABC ；（2）因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以11B C ，1B B ，11B A 两两垂直， 以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，则1(0,0,0)B ，(2,0,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,2,0)C ，1(0,0,2)A ，所以(1,0,1)N ，(1,2,0)M ，因此1(1,2,0)B M =，(0,2,1)MN =-，(1,2,0)BM -=， 设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =，则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =⎧⎨=⎩，因此()2,1,2m =；设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =，则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =-⎧⎨=⎩，因此()2,1,2n =-，设二面角1B MN B --的大小为θ， 则1cos cos ,94m nm n m nθ⋅=<>===+， 所以sin θ==； （3）因为P 是棱11B C 上一点，设[]1110,1B Pt B C =∈，则(0,2,0)P t ， 所以()1,22,0PM t =-，由（2）知，平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-， 又直线PM 与平面1MNB所成角的正弦值为215，记直线PM 与平面1MNB 所成角为α 则有2sin cos ,151PM n PM n PM nα⋅=<>====， 整理得221850t t +-=，解得13t =或57t =-（舍）所以11113B P t BC ==.点评：本题主要考查证明线面平行，求二面角，已知线面角求其它量的问题，熟记面面平行的判定定理与性质，以及二面角，线面角的向量求法即可，属于常考题型.18．已知抛物线2:42C y x =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点，C的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =． （1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．答案：（1）22142x y +=；（2）220x y ++=. （1）根据题意，先得到椭圆焦点坐标，再由2PQ =，得到222b a=，根据焦点坐标得到2222c a b =-=，两式联立，求出24a =，22b =，即可得出结果；（2）先由题意，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，联立直线与椭圆方程，求出点B 坐标，根据对称性，得到M 的坐标，再由直线斜率公式，即可求出结果. 解：（1）因为抛物线2:2C y x =的焦点为)2,0，由题意，可得：椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两焦点为())2,0,2,0-，又抛物线C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=，所以2b y a =±，则222b a =，即2b a =①， 又2222c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，因此椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）由（1）得22142x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+，因此0242m y m =+，所以20022422m x my m -=-=+，则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，则M 与B 关于原点对称，所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，因为直线AM 的斜率为1，所以2224212422mm m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=. 点评：本题主要考查求椭圆的方程，以及根据直线与椭圆位置关系求直线方程的问题，属于常考题型.19．设{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列．已知48a =，322a a =+，12b a =，265b b a +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩，其中*m N ∈，求数列{}n c 的前2n 项和．答案：（1）12n na ，2nb n =；（2）2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++⎪⎝⎭. （1）先设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，根据等差数列与等比数列的基本量运算，以及题中条件，求出q 和d ，即可得出通项公式；（2）分别求出奇数项与偶数项的和，再求和，即可得出结果. 解：（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ， 由48a =，322a a =+得4422q a a q =+，即2882q q =+，解得：2q ，所以4131a a q==，因此12n n a ，又12b a =，265b b a +=，所以142612262b b b b d =⎧⎨+=+=⎩，解得122b d =⎧⎨=⎩， 因此2n b n =；（2）因为21212,211,2m m n m a b n m c b n m--=-⎧=⎨+=⎩，其中*m N ∈，当n 为偶数时，121n n c b n =+=+， 所以2242(341) (222)n n n c c n c n +++++==+；当n 为奇数时，2nn n n c a b n ==⋅，记352113521...123252...(21)2n n M c c c c n --=++++=⋅+⋅+⋅++-⋅①则357214123252...(21)2n M n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②①-②得357212132222222 (22)(21)2n n M n -+-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅()4224682212122122222...2(21)22(21)212n n n n n n -++-=+++++--⋅=+--⋅-()422212122121052(21)2221233n n n n n -++-⎛⎫=+--⋅=-+-⋅ ⎪-⎝⎭，所以2110252939n n M +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭， 因此数列{}n c 的前2n 项和为2122510222399n n n n +⎛⎫-⋅+++ ⎪⎝⎭.点评：本题主要考查等差数列与等比数列基本量的运算，以及数列的求和，熟记等差与等比数列的通项公式，以及求和的方法即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 1f x x m x m R =--∈在1x =处取得极值A ，函数()()1x g x f x e x -=+-，其中 2.71828e =…是自然对数的底数．（1）求m 的值，并判断A 是()f x 的最大值还是最小值； （2）求()g x 的单调区间；（3）证明：对于任意正整数n ，不等式2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． 答案：（1）1m =；A 是最小值；（2）单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞；（3）证明过程见详解.（1）先对函数求导，根据题意，得到()10f '=，求出1m =，研究函数单调性，即可判断出结果； （2）对函数()1ln 1x g x ex -=--求导，得到()11x xe g x x--'=，令1()1x h x xe -=-，对其求导，研究其单调性，即可判断函数()1ln 1x g x ex -=--的单调性；（3）先由（1）得1x >时，ln 1x x <-恒成立，令112nx =+，则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，进而求和，即可得出结果. 解：（1）因为()ln 1f x x m x =--，0x >，所以()1m f x x'=-， 又()ln 1f x x m x =--在1x =处取得极值A ， 则()110f m '=-=，即1m =；所以()111x f x x x-'=-=，由()10x f x x -'=>得1x >；由()10x f x x-'=<得01x <<， 所以函数()ln 1f x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因此()ln 1f x x x =--在1x =处取得最小值，即A 是最小值； （2）由（1）得()11ln 1ln 1x x g x x x e x e x --=--+-=--，所以()1111x x xe g x e x x---'=-=， 令1()1x h x xe-=-，则111()(1)x x x h x e xe x e ---'=+=+，因为0x >，所以1()(1)0x h x x e -'=+>恒成立，因此1()1x h x xe-=-在()0,∞+上单调递增；又(1)0h =，所以，当(0,1)x ∈时，()0h x <，即()0g x '<； 当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>；所以函数()g x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞； （3）由（1）知，()ln 1(1)0f x x x f =--≥=， 所以ln 1x x ≤-，当1x >时，ln 1x x <-恒成立；令112n x =+，则11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 因此231111ln 1ln 1ln 1...ln 12222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭231111111122 (1112222212)n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++==-<-， 即2111ln 1111ln 222n e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因此2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 点评：本题主要考查根据函数极值点求参数，考查求函数单调性，以及导数的方法证明不等式，属于常考题型.。
2020年天津市高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年天津市高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学一模试卷理科1
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学一模试卷理科创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣2≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3≥0}，则M∩N等于( )A．[﹣1，1]B．[1，2）C．[﹣2，﹣1]D．[1，2）2．设、是两个非零向量，则“∥”是“•=||•||”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为( )A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2[来源:学。
科。
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X。
X。
K]4．已知数列ln3，ln7，ln11，ln15，…，则2ln5+ln3是该数列的( )A．第16项B．第17项C．第18项D．第19项5．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣x+1，则f（﹣）+f的值为( )A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为( )A．B．C．D．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=( )A．﹣B．C．﹣D．8．如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y=a x（a＞0，且a≠1），经过点E，B，则a=( )A．B．C．2 D．39．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A是其右支上一点，连接AF1交双曲线的左支于点B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则该双曲线的离心率为( ) A．B．C．2﹣1 D．10．由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M，N），下列选项中不可能恒成立的是( )A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素二、填空题：考生只需作答5小题，每小题5分，共25分．11．已知平面向量=（1，2），=（1，k2﹣1），若⊥，则k=__________．12．已知x+2y+3z=2，则x2+y2+z2的最小值是__________．13．如图，一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h=6m，宽为b=24m，则该抛物线拱的面积为__________m2．14．若以曲线y=f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点做切线L2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，现有下列命题：①偶函数的图象都具有“可平行性”；②函数y=sinx的图象具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2=；④要使得分段函数f（x）=的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．其中的真命题是__________（写出所有命题的序号）．一、选考题：只选一题作答．（选修4-1：几何证明选讲）15．如图，已知图中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF=2BF．若CE与圆相切，且CE=，则BE=__________．[来源:]一、选修4-4：坐标系参数方程16．在平面直角坐标系中，曲线C的方程为（θ为参数），在以此坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，则直线l与曲线C的公共点共有__________个．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=3，b=，f（A）=1，求角C．18．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=7，a2为整数，当且仅当n=4时，S n取得最大值．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（9﹣a n）•2n﹣1，求数列{b n}的前n项和为T n．19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？20．如图，三棱柱ABC﹣A1B2C3的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=2，M为A1B1的中点．（Ⅰ）求证：MC⊥AB；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．21．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1上的任意一点到点A（﹣1，0），B（1，0）的距离之和为2．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设椭圆C2：x2+=1，若斜率为k的直线OM交椭圆C2于点M，垂直于OM的直线ON交曲线C1于点N．（i）求证：|MN|的最小值为；（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx+．（1）求曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）若g（x）=f（x）﹣+ax2﹣2x有两个不同的极值点．其极小值为M，试比较2M与﹣3的大小，并说明理由；（3）设q＞p＞2，求证：当x∈（p，q）时，＞．宜昌市高考数学一模试卷理科一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣2≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3≥0}，则M∩N等于( )A．[﹣1，1]B．[1，2）C．[﹣2，﹣1]D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．解答：解：由N中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥3，即N=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵M=[﹣2，2），∴M∩N=[﹣2，﹣1]，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设、是两个非零向量，则“∥”是“•=||•||”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量数量积的意义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若•=||•||cos＜，＞=||•||，即cos＜，＞=1，故＜，＞=0，即∥且方向相同，即必要性成立，若＜，＞=π，满足∥但•=||•||cos＜，＞=﹣||•||，即充分性不成立，故“∥”是“•=||•||”成立的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积与向量夹角之间的关系是解决本题的关键．3．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为( )A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．故选A．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．4．已知数列ln3，ln7，ln11，ln15，…，则2ln5+ln3是该数列的( )A．第16项B．第17项C．第18项D．第19项考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列3，7，11，15，…，可知此数列的通项公式可得a n=3+4（n﹣1）=4n﹣1．令2ln5+ln3=ln（4n﹣1），解出即可．解答：解：由数列3，7，11，15，…，可知此数列的通项公式可得a n=3+4（n﹣1）=4n﹣1．令2ln5+ln3=ln（4n﹣1），∴75=4n﹣1，解得n=19．∴2ln5+ln3是该数列的第19选．故选：D．点评：本题考查了等差数列的通项公式、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．5．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣x+1，则f（﹣）+f的值为( )A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：对f，运用f（x+2）=f（x），即为f（1），对于f（﹣），先由偶函数的定义，再由f（x+2）=f（x），可得f（0），再由当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣x+1，计算即可得到．解答：解：若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），则f=f（2×1007+1）=f（1），由于函数f（x）是R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（﹣）=f=f（2×1007）=f（0），当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣x+1，则f（0）=1，f（1）=1，即有f（﹣）+f=2．故选D．点评：本题考查函数的奇偶性和周期性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．6．如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为( )A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：探究型；空间位置关系与距离．分析：由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，上方为棱锥，下方为正方体，棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，由此可得结论．解答：解：由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，上方为棱锥，下方为正方体由俯视图可得，棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，顶点到正方体上底面的距离为1由此可知B满足条件故选B．点评：本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=( )A．﹣B．C．﹣D．考点：余弦定理；正弦定理．分析：由b2+c2+bc﹣a2=0，利用余弦定理可得cosA==﹣，A=120°．再利用正弦定理可得==，化简即可得出．解答：解：∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cosA==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得====．故选：B．点评：本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y=a x（a＞0，且a≠1），经过点E，B，则a=( )A．B．C．2 D．3考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：首先设点E（t，a t），则点B坐标为（2t，2a t），又因为2a t=a2t，所以a t=2；然后根据平行四边形的面积是8，求出t的值，代入a t=2，求出a的值即可．解答：解：设点E（t，a t），则点B坐标为（2t，2a t），又因为2a t=a2t，所以a t=2；因为平行四边形OABC的面积=OC×AC=a t×2t=4t，又平行四边形OABC的面积为8所以4t=8，t=2，所以．故选：A．点评：本题主要考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．9．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A是其右支上一点，连接AF1交双曲线的左支于点B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则该双曲线的离心率为( ) A．B．C．2﹣1 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．解答：解：若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，由双曲线的定义可得，AF1﹣AF2=2a，BF2﹣BF1=2a，AF1=AB+BF1，即有t+2a=2t﹣2a，解得，t=4a，AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，由余弦定理可得，F1F22=AF12+AF22﹣2AF1•AF2cos60°，即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，即为4c2=28a2，则有e==．故选D．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，考查双曲线的定义的运用，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．10．由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M，N），下列选项中不可能恒成立的是( )A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素考点：子集与真子集．专题：计算题；集合．分析：由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．解答：解：若M={x∈Q|x＜0}，N={x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若M={x∈Q|x＜}，N={x∈Q|x≥}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确；若M={x∈Q|x≤0}，N={x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确；故选C．点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于基础题．二、填空题：考生只需作答5小题，每小题5分，共25分．11．已知平面向量=（1，2），=（1，k2﹣1），若⊥，则k=．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量垂直的条件：数量积为0，由数量积的坐标表示，解方程即可得到k．解答：解：平面向量=（1，2），=（1，k2﹣1），若⊥，则=0，即1+2（k2﹣1）=0，解得，k=．故答案为：．点评：本题考查平面向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．12．已知x+2y+3z=2，则x2+y2+z2的最小值是．[来源:学,科,网Z,X,X,K]考点：二维形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，求得x2+y2+z2的最小值．解答：解：12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2=4，∴x2+y2+z2≥=，即x2+y2+z2的最小值是，故答案为：．点评：本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，进行解决．13．如图，一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h=6m，宽为b=24m，则该抛物线拱的面积为96m2．考点：抛物线的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：建立坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），则将（12，﹣6）代入可得p=12，y=﹣，该抛物线拱的面积为2（12×6﹣），即可得出结论．解答：解：由题意，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），则将（12，﹣6）代入可得p=12，∴y=﹣，∴该抛物线拱的面积为2（12×6﹣）=2（72﹣24）=96m2，故答案为：96．点评：解决该试题的关键是利用定积分表示出抛物线拱的面积，然后借助于定积分得到结论．14．若以曲线y=f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点做切线L2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，现有下列命题：①偶函数的图象都具有“可平行性”；②函数y=sinx的图象具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2=；④要使得分段函数f（x）=的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．其中的真命题是②④（写出所有命题的序号）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：分别求出函数导数，根据导数的几何意义求出对应的切线斜率，结合曲线y=f（x）具有“可平行性”，即可得到结论．解答：解：①函数y=1满足是偶函数，函数的导数y′=0恒成立，此时，任意两点的切线都是重合的，故①不符号题意．②由y′=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a（﹣1≤a≤1）的解有无穷多个，符合题意．③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b，则f′（x）=3x2﹣2x+a，方程3x2﹣2x+a﹣m=0在判别式△=（﹣2）2﹣12（a﹣m）≤0时不满足方程y′=a（a是导数值）至少有两个根．命题③错误；④函数y=e x﹣1（x＜0），y′=e x∈（0，1），函数y=x+，y′=1﹣，则由1﹣∈（0，1），得∈（0，1），∴x＞1，则m=1．故要使得分段函数f（x）的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1，④正确．∴正确的命题是②④．故答案为：②④点评：本题考查了导数的几何意义，关键是将定义正确转化为：曲线上至少存在两个不同的点，对应的导数值相等，综合性较强，考查了转化思想．一、选考题：只选一题作答．（选修4-1：几何证明选讲）15．如图，已知图中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF=2BF．若CE与圆相切，且CE=，则BE=．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：由相交弦定理得DF•FC=AF•BF，由此解得AF=2，BF=1，AB=3，由切割线定理得CE2=BE•AE，由此能求出BE的长．解答：解：∵两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，∴DF•FC=AF•BF，∵DF=CF=，AF=2BF，∴2BF2=2，解得AF=2，BF=1，AB=3，∵CE与圆相切，且CE=，∴CE2=BE•AE，∴（）2=BE（3+BE），解得BE=，或BE=﹣（舍）．故答案为：．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要注意相交弦定理和切割线定理的合理运用．一、选修4-4：坐标系参数方程16．在平面直角坐标系中，曲线C的方程为（θ为参数），在以此坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，则直线l与曲线C的公共点共有1个．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：由曲线C的方程（θ为参数），消去参数化为x2+y2=1，可得圆心C，半径r．由直线l的极坐标方程ρsin（θ+）=1，展开为=1，化为y+x﹣=0．再利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d，再与半径r比较大小即可．解答：解：由曲线C的方程（θ为参数），消去参数化为x2+y2=1，可得圆心C（0，0），半径r=1．由直线l的极坐标方程ρsin（θ+）=1，展开为=1，化为y+x ﹣=0．∴圆心C到直线l的距离d==1=r．因此直线l与⊙C相切，有且只有一个公共点．故答案为：1．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与曲线的交点判断、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=3，b=，f（A）=1，求角C．考点：正弦定理；正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到所求区间；（2）由特殊角的三角函数值，求出A，再由正弦定理，求得B，再由三角形的内角和定理，可得C．解答：解：（1）f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，则函数的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）f（A）=1，即为2sin（2A+）=1，即sin（2A+）=，由于A为三角形的内角，则2A+=，即A=，由正弦定理得sinB===，由于a＞b，则A＞B，则B=，则C=π﹣﹣=．点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的单调区间，考查正弦定理及运用，考查运算能力，属于中档题．18．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=7，a2为整数，当且仅当n=4时，S n取得最大值．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（9﹣a n）•2n﹣1，求数列{b n}的前n项和为T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．[来源:学#科#网Z#X#X#K]分析：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由于当且仅当n=4时，S n取得最大值．可得a4＞0，a5＜0．解得，由于a2为整数，可得d为整数，即可得出．（2）b n=（9﹣a n）•2n﹣1=n•2n．利用“错位相减法”、等比数列的前n选和公式即可得出．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵当且仅当n=4时，S n取得最大值．[来源:学|科|网Z|X|X|K]∴a4＞0，a5＜0．∴，解得，∵a2为整数，∴d为整数，∴d=﹣2．∴a n=7+（n﹣1）×（﹣2）=9﹣2n．（2）b n=（9﹣a n）•2n﹣1=2n•2n﹣1=n•2n．∴T n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n=22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，∴﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）×2n+1+2．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其性质、“错位相减法”、等比数列的前n选和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）根据题意可列出10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，进而解不等式求得x 的范围，确定问题的答案．（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的范围．解答：解：（1）由题意得：10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则（1+0.2x%）所以，所以ax≤，即a≤恒成立，因为，当且仅当，即x=500时等号成立．所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5，即a的取值范围为（0，5]．点评：本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．[来源:学+科+网Z+X+X+K]20．如图，三棱柱ABC﹣A1B2C3的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=2，M为A1B1的中点．（Ⅰ）求证：MC⊥AB；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取AB中点O，连接OM，OC，证明AB⊥平面OMC，可得MC⊥AB；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设P（0，2，t）（0≤t≤2），要使直线MC⊥平面ABP，只要•=0，•=0，即可得出结论；（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求出平面PAC的一个法向量、平面PAB的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．解答：（I）证明：取AB中点O，连接OM，OC．∵M为A1B1中点，∴MO∥A1A，又A1A⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC，∴MO⊥AB∵△ABC为正三角形，∴AB⊥CO又MO∩CO=O，∴AB⊥平面OMC又∵MC⊂平面OMC∴AB⊥MC（II）解：以O为原点，建立空间直角坐标系．如图．依题意O（0，0，0），A（﹣2，0，0）B（2，0，0），C（0，2，0），M（0，0，2）．设P（0，2，t）（0≤t≤2），则=（0，2，﹣2），=（4，0，0），=（0，2，t）．要使直线MC⊥平面ABP，只要•=0，•=0，即12﹣2t=0，解得t=．∴P的坐标为（0，2，）．∴当P为线段CC1的中点时，MC⊥平面ABP（Ⅲ）解：取线段AC的中点D，则D（﹣1，，0），易知DB⊥平面A1ACC1，故=（3，﹣，0）为平面PAC的一个法向量．…．又由（II）知=（0，2，﹣2）为平面PAB的一个法向量．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为α，则cosα=||=．∴二面角B﹣AP﹣C 的余弦值为．点评：本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．21．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1上的任意一点到点A（﹣1，0），B（1，0）的距离之和为2．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设椭圆C2：x2+=1，若斜率为k的直线OM交椭圆C2于点M，垂直于OM的直线ON交曲线C1于点N．（i）求证：|MN|的最小值为；（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由椭圆定义可知曲线C1的轨迹是椭圆，设C1的方程为，由已知条件知2a=2，c=1，由此能求出曲线的方程．（Ⅱ）（ⅰ）当k=0，M为C2长轴端点，N为C1短轴的端点，|MN|=设直线OM：y=kx，代入x2+=1，得（2+3k）x2=2，由此能求出|MN|的最小值．（ⅱ）存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆．设Rt△MON斜边上的高为h，当k=0时，h=，当k≠0时，|OM|•|ON|=，由此能推导出存在以原点为圆心，半径为且与直线MN相切的圆，并能求出圆的方程．解答：满分．（Ⅰ）解：由椭圆定义可知曲线C1的轨迹是椭圆，[来源:学。
2020年天津市十二校高三毕业班联考答案
5
1 n1
4
3n 2
1
n
4
3 4
An
1
3 14
1 4
2
...
1 4
n1
3n
2
1 4
n
ห้องสมุดไป่ตู้
1
3
1 4
-
1
n
1
4
1 1
3n
2
1 4
n
4
2 - 3n
2
1 4
n1
An
8 3
3n 3
2
1 4
n1
R2n
3T2n1
An
3
1
2n1 a2nb2n
8 3
3n
4
1
n1
………14 分（公式和结果各 1 分）
（Ⅱ）过点 A 做 AH CD ,垂足为 H 以 A 为坐标原点，分别以 AH , AB, AE 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系
A(0,0,0),C(1,2,0), F(0,1,2), D(1,1,0)
设平面 FAC 的一个方向量为 n (x, y, z)
联立椭圆与PQ得： yx423y3x2m1 即 3x2 3mx m2 3 0 2
………10 分
9m2 12 m2 3 3 12 m2 00 m2 12
m2 3 x1 x2 m, x1x2 3
………11 分
PQ
1 k2
x1 x2 2 4x1x2
39 6
1 2
3
...
(n
1)(
1)n 2
（ -
n)(
1 )n1 2
3 2
Tn
1 2
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一次模拟试题高三数学理科
创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次模拟试题高三数学理科创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校第I 卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。
1.已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x MN a ==-<∈≠∅Z 如果则等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）12或（D ）25 2.如果(1,)a k =，(,4),b k =那么“∥b ”是“2k =-”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==，则ABC ∠=( ) （A ）70︒（B ）60︒ （C ）45︒ （D ）30︒4.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3).若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 （ ） （A ）(2,)3π-（B ）4(2,)3π （C ）(1,)3π-（D ）4(2,)3π-5.执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 （ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7是（D ）8 否6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<--=0,120,12)(22x x x x x x x f ，则对任意R ∈21,x x ，若120x x <<，下列不等式成立的是( )（A ）12()()0f x f x +< （B ）12()()0f x f x +>创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01（C ）12()()0f x f x ->（D ）12()()0f x f x -<7.直线3y kx =+与圆()()42122=++-y x 相交于N M ,两点，若23MN ≥k 的取值范围是( ) （A ）12(,)5-∞-（B ）12(,]5-∞-（C ）12(,)5-∞ （D ）12(,]5-∞ 8.如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则OC OB ⋅的最大 值是（ ） （A ）2 （B ）12+（C ）π （D ）4第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。
2020届天津市南开区高考一模数学试题(解析版)
（Ⅰ）若 ，求 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）若 ，求 与平面 所成角的大小；
（Ⅲ）若二面角 的大小为 ，求 的值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）30°；（Ⅲ）1．
【解析】（Ⅰ）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求 ．
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） ．
【解析】（Ⅰ）直接根据前n项和与通项的关系求出数列 的通项公式，再根据递推关系式求出数列 的通项公式；
（Ⅱ）先根据 ，然后利用错位相减求和，整理即可求得出结果．
【详解】
解：（Ⅰ）当 时， ，
当 时， ，适合上式，
所以： ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴数列 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，
则 ，为增函数，
∴ 在R上为减函数，
， ，
∵ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】
本题考查指对数比较大小，利用函数的单调性和奇偶性，涉及了指数函数和对数函数的性质和图象．
7．已知函数 .的部分图象如图所示，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先据图象的最高点与最低点求出 ，然后根据零点间的横向距离是四分之一周期的倍数求出 ，进而求出 的值，最后利用对应的观点结合范围求出 的值．
解得： ；
②当 时，只需 有两个正根即可，
方程可化为 ，故两根为： 或 ，
由题意只需 且 ，
综合①②可知，当 时，方程 有4个不同的实数根．
所以实数 的取值范围是（0，1）.
故选：B．
【点睛】
本题考查已知函数零点个数求参数取值范围，涉及一元二次方程的性质的应用，注意方程与不等式的相互应用，同时考查学生运用转化与化归思想、函数与方程思想以及解题的能力．
2020年天津市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年天津市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学一模试卷理科2
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学一模试卷理科创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（•云南一模）已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i2．（5分）（•云南一模）已知平面向量，如果，那么=（）A． B．C．3 D．3．（5分）（•云南一模）函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．﹣24．（5分）（•云南一模）（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（）A．45 B．20 C．﹣30 D．﹣905．（5分）（•云南一模）若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．566．（5分）（•云南一模）如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B．C．﹣2 D．27．（5分）（•云南一模）为得到y=cos（2x﹣）的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．（5分）（•云南一模）在数列{a n}中，a1=，a2=，a n a n+2=1，则a+a=（）A．B．C．D．59．（5分）（•云南一模）“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）（•云南一模）已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣2 B．3 C．7 D．1211．（5分）（•云南一模）在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）（•云南一模）已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么=（）A．21 B．14 C．7 D．0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（•云南一模）已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x﹣90）=则f（10）﹣f（﹣100）的值为．14．（5分）（•云南一模）已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．15．（5分）（•云南一模）△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．16．（5分）（•云南一模）已知实数a、b常数，若函数y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，y=+be2x﹣1与y=k（x﹣1）3的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（•云南一模）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，3a n﹣2S n=2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：S n+2S n＜．18．（12分）（•云南一模）某市教育与环保部门联合组织该市参加市生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某选拔出8名同学组成参赛队，其中初部选出的3名同学有2名女生；高部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）（•云南一模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC 的中点．（I）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．20．（12分）（•云南一模）已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=λ．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）（•云南一模）已知f（x）=2x+3﹣．（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（•云南一模）如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是的中点，BD的延长线与CE交于E．（Ⅰ）求证：BC•CD=BD•CE；（Ⅱ）若，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（•云南一模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=．（I）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；（II）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．（•云南一模）已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（Ⅰ）求证：f（x）≥5；（Ⅱ）若对任意实数都成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（•云南一模）已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i【解答】解：由z1=1+i，z2=1﹣i，得=，故选：D．2．（5分）（•云南一模）已知平面向量，如果，那么=（）A． B．C．3 D．【解答】解：∵；∴3•（﹣1）﹣6x=0；∴；∴；∴．故选B．3．（5分）（•云南一模）函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．﹣2【解答】解：y=2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin2x+cos2x﹣1==，∴函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为．故选：C．4．（5分）（•云南一模）（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（）A．45 B．20 C．﹣30 D．﹣90【解答】解：（﹣+）10的展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣1）10﹣r•，令=2，求得r=2，可得展开式中x2的系数为=45，故选：A．5．（5分）（•云南一模）若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．56【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1i=2，S=4不满足条件i＞5，i=3，S=10，不满足条件i＞5，i=4，S=22，不满足条件i＞5，i=5，S=46，不满足条件i＞5，i=6，S=94，满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为94．故选：A．6．（5分）（•云南一模）如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B．C．﹣2 D．2【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面半径为1，高为2的半圆锥体，与底面为等腰三角形高为2的三棱锥的组合体，其体积为•πr2h+Sh=π×12×2+××2×1×2=；又圆柱的体积为πr2h=π×12×2=2π，所以被削掉的那部分的体积为2π﹣=．故选：B．7．（5分）（•云南一模）为得到y=cos（2x﹣）的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=sin（2x﹣+）=sin（2x+）=sin2（x+），∴将y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=cos（2x﹣）的图象，故选：D．8．（5分）（•云南一模）在数列{a n}中，a1=，a2=，a n a n+2=1，则a+a=（）A．B．C．D．5【解答】解：∵a1=，a2=，a n a n+2=1，∴a3=2，a5=，…，可得：a4n﹣3=，a4n﹣1=2．同理可得：a4n﹣2=，a4n=3．∴a+a=3+=．故选：C．9．（5分）（•云南一模）“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线x+y=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切则圆心（a，b）到直线x+y=0的距离等于半径即=，即|a+b|=2即a+b=±2故“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的充分不必要条件故选A10．（5分）（•云南一模）已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣2 B．3 C．7 D．12【解答】解：如图即为满足不等式组的可行域，将交点分别求得为（1，1），（5，2），（1，）当x=1，y=1时，2x+y=3当x=1，y=时，2x+y=当x=5，y=2时，2x+y=12∴当x=1，y=1时，2x+y有最小值3．故选：B11．（5分）（•云南一模）在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设“长为3m的线段AB”对应区间[0，3]“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件 A，则满足A的区间为[1，2]根据几何概率的计算公式可得，故选：B12．（5分）（•云南一模）已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么=（）A．21 B．14 C．7 D．0【解答】解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4，由题意可得双曲线M的一个焦点为（﹣4，0），设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得c=4，即a2+b2=16，直线是双曲线M的一条渐近线，可得=，解得a=3，b=，可设P为右支上一点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=6，①由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=64，②②﹣①2，可得|PF1|•|PF2|=14．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（•云南一模）已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x﹣90）=则f（10）﹣f（﹣100）的值为﹣8．【解答】解：f（10）=f（100﹣90）=lg100=2，f（﹣100）=f（﹣10﹣90）=﹣（﹣10）=10．∴f（10）﹣f（﹣100）=2﹣10=﹣8．故答案为：﹣8．14．（5分）（•云南一模）已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．【解答】解：△ABC是边长为的等边三角形，外接圆的半径为1，球O的表面积为36π，球的半径为3，∴球心O到平面ABC的距离为=2，∴P到平面ABC距离的最大值为．故答案为：．15．（5分）（•云南一模）△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．【解答】解：△ABC中，∵tanB=﹣，∴sinB=，cosB=﹣．又S==2c=8，∴c=4，∴b==．∴==．故答案为：．16．（5分）（•云南一模）已知实数a、b常数，若函数y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，y=+be2x﹣1与y=k（x﹣1）3的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．【解答】解：当x＜1时，函数y=+be2x+1=+be2x+1，则函数的导数f′（x）=+2be2x+1，∵若函数y=y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，∴f（0）=，且f′（0）=﹣，即a+be=，﹣a+2be=﹣，得a=1，b=0，即y=+be2x+1=，由=k（x﹣1）3得当x=1时，方程成立，当x≠1时，若x＞1得=k（x﹣1）3得=k（x﹣1）2，若x＜1得﹣=k（x﹣1）3得﹣=k（x﹣1）2，若k=0，则两个方程无解，若k＞0时，作出对应函数的图象如右图：此时满足当x＞1时，有一个交点，当x＜1时，有一个交点，此时满足两个函数共有3个交点．若k＜0时，作出对应函数的图象如图：此时满足当x＞1时，没有交点，当x＜1时，则需要有2个交点，由﹣=k（x﹣1）2，得k（x+2）（x﹣1）2+1=0，x＜1，设g（x）=k（x+2）（x﹣1）2+1，则g′（x）=3k（x﹣1）（x+1），x＜1，k＜0，由g′（x）=0，x=﹣1，当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当﹣1＜x＜1时，g′（x）＞0，即当x=﹣1函数取得极小值g（﹣1）=4k+1，要使当x＜1时，则g（x）要有2个交点，则极小值g（﹣1）=4k+1＜0，得k＜﹣，此时满足两个函数共有3个交点．综上k的取值范围是k＞0或k＜0，故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（•云南一模）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，3a n﹣2S n=2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：S n+2S n＜．【解答】（I）解：∵对任意正整数n，3a n﹣2S n=2，∴3a1﹣2a1=2，解得a1=2．当n≥2时，3a n﹣1﹣2S n﹣1=2，可得3a n﹣3a n﹣1﹣2a n=0，化为a n=3a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为3，首项为2．∴a n=2×3n﹣1．（2）证明：由（I）可得：S n==3n﹣1．∴S n+2S n﹣=（3n+2﹣1）（3n﹣1）﹣（3n+1﹣1）2=﹣4×3n＜0，∴S n+2S n＜．18．（12分）（•云南一模）某市教育与环保部门联合组织该市参加市生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某选拔出8名同学组成参赛队，其中初部选出的3名同学有2名女生；高部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵选拔出8名同学组成参赛队，其中初部选出的3名同学有2名女生；高部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛，设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，由已知，得，所以事件A的概率为．…（5分）（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．由已知得．…（8分）P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以随机变量X的分布列为：X 1 2 3 4P…（10分）随机变量X的数学期望．…（12分）19．（12分）（•云南一模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（I）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【解答】证明：（I）∵AB=AD，E为BC的中点，∴取BD的中点0，连接AO，OE，则OA⊥BD，OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，∵CD⊥BD，∴OE⊥BD，∵BD∩OA=O，∴AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，∵OA⊥BD，∴OA⊥面BCD，建立以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AD=CD=2，BC=4，∴OA=OB=OD=，OE=1，则B（0，﹣，0），D（0，，0），E（1，0，0），A（0，0，），C（2，，0），则=（0，，），=（2，，﹣），=（﹣2，0，0），设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=﹣1，x=﹣，即=（﹣，1，﹣1），设平面ACD的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=1，x=0，则=（0，1，1），cos＜，＞==0，即＜，＞=90°则二面角B﹣AC﹣D的正弦值sin90°=1．20．（12分）（•云南一模）已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=λ．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得e==，4=4，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+x2=1；（Ⅱ）=λ，可得﹣=λ（﹣），+λ=（1+λ），由+λ=4，可得λ=3，由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由=3，可得﹣x1=3x2，①由直线y=kx+m代入椭圆方程y2+4x2=4，可得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0，即有x1+x2=﹣，x1x2=，②由①②可得m2==1+，由1+k2≥1，可得0＜≤3，即有1＜m2≤4，由于m∈（﹣2，2），当m=0时，O，P重合，λ=1显然成立．可得m的取值范围是（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}．21．（12分）（•云南一模）已知f（x）=2x+3﹣．（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）由2x+1＞0得x＞﹣，函数的导数f′（x）=2﹣=2﹣==，设g（x）=8x2+8x+2ln（2x+1），则g′（x）=16x+8+=8（2x+1）+，∵2x+1＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在x＞﹣上为增函数，∵g（0）=0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，此时f′（x）＞0，函数f（x）递增，当x＜0时，g（x）＜g（0）=0，此时f′（x）＜0，函数f（x）递减，故当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x＞0时，函数f（x）递增，若存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则满足，即m，n是方程f（x）=x的两个不同的根，即2x+3﹣=x，则x+3=．即（x+3）（2x+1）=ln（2x+1），设y=（x+3）（2x+1），y=ln（2x+1），作出两个函数的图象，由图象知当x＞﹣时，两个函数没有交点，即方程f（x）=x不存在两个不同的根，即不存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（•云南一模）如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是的中点，BD的延长线与CE交于E．（Ⅰ）求证：BC•CD=BD•CE；（Ⅱ）若，求AB．【解答】证明：（Ⅰ）∵BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，D是AC弧的中点，∴∠CBD=∠ECD，∠BDC=∠CDE=∠BCE=90°，∴△BCD∽△CED．…（3分）∴，∴BC•CD=BD•CE．…（5分）解：（Ⅱ）设BA的延长线与CD的延长线交于F，∵D是AC弧的中点，∴∠ABD=∠CBD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BDF=90°，∴△BDC≌△BDF．∴CD=FD，BC=BF，在Rt△CDE中，．∴．∵∠BDC=∠BCE=90°，∴CD2=BD•DE，∴，∴，∴BF=4．…（8分）由割线定理得（FB﹣AB）•FB=FD•FC，即，解得．∴．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（•云南一模）已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（Ⅰ）求证：f（x）≥5；（Ⅱ）若对任意实数都成立，求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴f（x）的最小值为5，∴f（x）≥5．…（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的最大值等于5．…（7分）∵，“=”成立，即，∴当时，取得最小值5．当时，，又∵对任意实数x，都成立，∴．∴a的取值范围为．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（•云南一模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=．（I）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；（II）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．【解答】解：（I）∵（t为参数），∴x﹣y=﹣3，即x﹣y+3=0．∴直线l的直角坐标方程是x﹣y+3=0．∵ρ=，∴ρ2=，即ρ2+2ρ2cos2θ=3．∴曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=3，即．（II）曲线C的参数方程为（α为参数），则曲线C上的点到直线l的距离d==．∴当cos（）=1时，d取得最大值，当cos（）=﹣1时，d取得最小值．∴d的取值是[，]．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校。
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2020年天津市十二区县重点学校高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集U={a,b，c，d}，集合A={a,b}，B={b,c，d}，则(∁U A)∪(∁U B)=()A. {c,d}B. {a,b，c，d}C. {a,d}D. {a,c，d}2.已知x∈R，则“x<1”是“x2<1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件−1)sinx图象的大致形状是()3.函数f(x)=(21+e xA. B.C. D.4.三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 48πB. 32πC. 12πD. 8π5.某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重(kg)数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图(如图所示).已知第三组[60,65)的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦．观察图形的信息，用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则[65,70)组应抽取()人A. 4B. 3C. 2D. 1 6. 若双曲线的一条渐近线被圆(x −2)2+y 2=4所截得的弦长为2，则的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√337. 已知函数y =f(x −2)的图像关于直线x =2对称，在x ∈(0,+∞)时，f(x)单调递增.若a =f(4ln3),b =f(2−e ),c =f(ln 1π)，(其中e 为自然对数的底数，π为圆周率)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. a >c >bB. a >b >cC. c >a >bD. c >b >a 8. 已知ω>0，|φ|<π2，若x =π6和x =7π6是函数f(x)=cos(ωx +φ)的两个相邻的极值点，将y =f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y =g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. y =g(x)是奇函数B. y =g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y =g(x)的图象关于直线x =π2对称D. y =g(x)的周期为π9. 在等腰梯形ABCD 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，点M 是线段DC 上的动点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 若z −i =4−2i1+2i ，则复数z 的虚部为__________．11. 二项式(x 2+1x )5展开式中x 的系数为______．12.已知抛物线y2=3x，过其焦点F，且倾斜角为120°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|=______ ．13.某工厂在试验阶段生产一种零件，这种零件有A，B两项技术指标需要进行检测.设各项技术指，至少有一项技术指标达标的概标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为12.规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.现任意抽取4个该种零件进行检测，设ξ表示率为34抽取的零件中合格品的个数，则Eξ=．14.在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为__________．15.已知函数f(x)=x|x2−a|−a，若f(x)有三个零点，则实数a的取值范围是三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，且，(1)求tan A的值；(2)若△ABC的面积S=24，b=10，求a的值．17.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，D，E分别为AC，BD的中点，连接AE并延长BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2，所示，(1)求证：AE⊥平面BCD；(2)求平面AEF与平面ADC所成的锐角二面角的余弦值；(3)在线段AF上是否存在点M使得EM//平面ADC？若存在，请指出点M的位置；若存在，请指出点M的位置；若不存在，说明理由．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆经过点P(√6,−1)，且△PF1F2的面积为2(Ⅰ)求椭圆C的标准方程(Ⅱ)设斜率为1的直线l与以原点为圆心，半径为√2的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D 两点，且|CD|=λ|AB|(λ∈R)，当λ取得最小值时，求直线l的方程19.设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且数列{S n}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a1+a3+⋯+a2n+1．x2−5x．20.已知函数f(x)=4lnx+12(1)求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(3m,m+1)上单调递减，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵U={a,b，c，d}，集合A={a,b}，B={b,c，d}，∴(∁U A)∪(∁U B)={c,d}∪{a}={a,c，d}，故选：D根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2.答案：B解析：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．x2<1，解得−1<x<1.即可判断出关系．解：x2<1，解得−1<x<1．∴“x<1”是“x2<1”的必要不充分条件．故选：B．3.答案：C解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键．根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用f(1)的值的符号是否对应进行排除即可．解：f(x)=(21+e x −1)sinx=1−e x1+e x⋅sinx，则f(−x)=1−e −x1+e−x ⋅sin(−x)=e x−1e x+1⋅(−sinx)=1−e x1+e x⋅sinx=f(x)，则f(x)是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，当x=1时，f(1)=1−e1+e⋅sin1<0，排除A，故选C．解析：本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、三棱柱的性质及构造法的合理应用．以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．解：∵三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，∴以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，该球的半径R=√22+22+22=√3，2∴该球的表面积为S=4πR2=4π×3=12π．故选：C．5.答案：B解析：本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，属于基础题．=0.2，可得利用频率分布直方图的性质能求出体重在[60,65)内的频率，设男生总人数为n，由200nn=1000，从而体重超过65kg的总人数300，求出[65,70)的人数，利用分层抽样的性质能求出[65,70)组应抽取的人数．解：体重在[60,65)内的频率=1−(0.03+0.07+0.03+0.02+0.01)×5=0.2，设男生总人数为n，=0.2，可得n=1000，由200n体重超过65kg的总人数为(0.03+0.02+0.01)×5×1000=300，在[65,70)的人数为0.03×5×1000=150，=3．应抽取的人数为6×150300故选B．解析：【试题解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆(x−2)2+y2=4的圆心(2,0)，半径为：2，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：2−12=√3=√a2+b2，解得：4c2−4a2c2=3，可得e2=4，即e=2．故选：A．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．7.答案：A解析：解：根据题意，函数y=f(x−2)的图象关于直线x=2对称，则函数f(x)的图象关于y轴对称，即函数f(x)为偶函数，满足f(−x)=f(x)，则c=f(ln1π)=f(lnπ)4ln3>41=4>lnπ>lne=1>2−e>0又由x∈(0,+∞)时，f(x)单调递增，则有a>c>b；故选：A．根据题意，分析可得函数f(x)的图象关于y轴对称，由偶函数的性质可得c=f(ln1π)=f(lnπ)，由对数的性质可得4ln3>41=4>lnπ>lne=1>2−e>0，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的对称轴，属于基础题．8.答案：B。