第二讲椭圆及其几何性质

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数学课件：2.2.2 椭圆的几何性质

题型三
利用椭圆的方程研究其几何性质
【例1】分别求出椭圆25x2+16y2=400的长轴和短轴的长、离心
率、焦点坐标和顶点坐标.
分析:把椭圆方程写成标准形式,求出基本元素a,b,c,即可求出答
案.
解:将椭圆方程变形为
��2 25
+
��2 16
=
1,
由方程知 a=5,b=4,所以 c=3,
所以长轴长为 10,短轴长为 8.
离心率
e=
��
=
3 5
,
焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),顶点坐标为
A1(0,-5),A2(0,5),B1(-4,0),B2(4,0).
反思已知椭圆的方程讨论其性质时,应先将方程化成标准形式,
找准a与b,求出c,才能正确地得出椭圆的有关性质.
①当 e 趋近于 1 时,c 趋近于 a,从而 b= ��2-��2越小,因此椭圆越
扁平; ②当 e 趋近于 0 时,c 趋近于 0,从而 b 趋近于 a,因此椭圆越接近
于圆. 椭圆与圆是两种不同的曲线,因此椭圆的离心率满足不等式
0<e<1. 当 e=0 时,曲线为圆.
题型一
题型二
解:设椭圆的长轴长为 2a,短轴长为 2b,焦距为 2c,
则有
��
=
2 2
,
即a=
2��.
∵b2=a2-c2,∴b=c.
∴|AB|= ��2 + ��2 = 3��, |��| = �� = 2��,
|AF|=a+c=( 2 + 1)��,

椭圆的特性和性质总结

椭圆的特性和性质总结
椭圆是平面解析几何中的一个重要图形，具有许多特性和性质。

本文将对椭圆的特性和性质进行总结。

1. 定义
椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和恒定的点的轨迹。

两个固定点之间的距离称为椭圆的主轴长度，焦点之间的距离为2a，主轴的中点称为椭圆的中心。

2. 方程
椭圆的标准方程为：$\frac{{x^2}}{{a^2}} + \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1$，其中a为椭圆的半长轴长度，b为椭圆的半短轴长度。

椭圆
的离心率e定义为$e = \frac{{\sqrt{{a^2 - b^2}}}}{a}$。

3. 特性
- 椭圆是一个闭合曲线，不相交于平面上的任何其他点。

- 椭圆关于x轴和y轴对称。

- 椭圆的离心率决定了其形状，当离心率接近0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近1时，椭圆趋近于长方形。

- 椭圆的周长和面积可以通过特定的公式计算得出。

4. 性质
- 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于2a。

- 椭圆的半长轴和半短轴之间的关系可以表示为$a^2 = b^2 +
c^2$，其中c为焦点到中心的距离。

- 椭圆的焦点到切线的距离等于切线与其法线之间的夹角的余切值乘以焦点到中心的距离。

- 椭圆的切线与法线的交点位于椭圆的焦点上。

- 椭圆的离心率e小于1，则椭圆上的任何一点到焦点的距离与到该焦点所引的切线的距离之和等于椭圆的半长轴长度。

以上是对椭圆的特性和性质进行的简要总结，椭圆在数学和物理学中具有广泛的应用，对于进一步研究和探索椭圆的性质具有重要意义。

椭圆方程及几何性质

参数θ的意义
参数θ表示椭圆上的点与椭圆中心的角度，通过改变θ的值，可以描述椭圆上点的运动轨迹。
参数方程的应用和几何意义
应用
参数方程在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用，特别是在处理复杂的几何形状和运动轨迹时，参数方程能够提供更直观和简洁的表示方法。
VS
几何意义
参数方程的几何意义在于将曲线上点的坐标表示为参数的变化，从而将曲线的几何性质转化为参数的变化性质，有助于深入理解曲线的几何特性。
椭圆的顶点和焦点
定义
椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点，焦点是用于确定椭圆位置的两个点。
解释
顶点位于边界线上，而焦点位于椭圆内部。
应用
利用椭圆的顶点和焦点可以确定椭圆的位置和大小。
03
椭圆的几何性质
椭圆的直径和弦
直径
连接椭圆上任意两点的线段被称为直径，其长度等于椭圆的长轴或短轴。
弦
通过椭圆中心的线段与椭圆的交点形成的线段被称为弦。
04
椭圆的极坐标表示
极坐标与直角坐标的转换
极坐标与直角坐标的转换公式：$x = rhocostheta, y = rhosintheta$，其中$rho$为极径，$theta$为极角。
通过转换公式，可以将椭圆的直角坐标方程转化为极坐标方程，便于理解和分析。
椭圆的极坐标方程
椭圆的极坐标方程为 $frac{rho^2cos^2theta}{a^2} + frac{rho^2sin^2theta}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数，这个常数等于两个半轴长度之和，即 $a + b$。

椭圆的几何性质ppt课件

的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是，，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：

椭圆的几何性质(二)PPT教学课件

(1).若椭圆
k
x
2
8
+
y
2
=1的离心率为
0.5，则：k=___54 _或_4
9
(2).若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3
则其离心率e=_____5_____
2020/12/10
6
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
2020/12/10
7
e
c a
的代换，通过方程思想求e
3、在椭圆中涉及焦点三角形的问题的时候，要充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理和相似全等三角形等知识
例2、设M点是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上一
点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果
∠F1MF2=900，求此椭圆的离心率的
Y
范围
M
问题的关键是寻找a、c的不等关系
椭圆的几何性质（二） -------离心率
例题讲解
例1、如图所示椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点， P是椭圆上的一点，且PF1⊥x轴， PF2∥AB，求此椭圆的Y离心率；
PB
A
F1
F2
X
感悟：
1、在求离心率时，一般寻找a、c 的等量关系；
2、除了用b2=a2-c2外还可用
F1 O F2
X
1、从等式中找不等式：先找a、c的等量关系，再利用基本不等式（放缩）或椭圆的x、y的范围找到a、c的不等式。
2、直接找a、c的不等关系，包括与b的不等关系。
反馈练习Biblioteka 1、设椭圆x2y2 a2 b2
1ab0上有点P使

椭圆的几何性质第二定义课件

椭圆的几何性质证明
01
02
03
04
椭圆的性质证明
通过椭圆的定义和标准方程，可以推导出椭圆的性质，如范
围、对称性、顶点等。
椭圆的范围
由椭圆的标准方程可知，椭圆位于x轴和y轴之间，其边界
是x=±a和y=±b。
椭圆的对称性
椭圆关于坐标轴和原点对称。
椭圆பைடு நூலகம்顶点
椭圆的顶点是x轴与椭圆的交点，即A1(-a,0)和A2(a,0)。
以参数t为变量，将椭圆的一般方程化为参数方程的表达式。
参数t的几何意义
参数t表示椭圆上任意一点P(x,y)在椭圆上的运动时间。
椭圆的参数方程的特点
椭圆的参数方程将椭圆的几何性质转化为函数关系，便于研究椭圆的性质。
椭圆的参数方程推导
从椭圆的一般方程出发，通过三角代换，得到椭圆的参数方程。
三角代换的原理：利用三角函数的性质，将一般方程中的x和 y用参数t表示。
连。
位置
焦点到椭圆中心的距离等于半长轴的长度。
与椭圆的关系
椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数（即半长轴的长度）。
椭圆的离心率
01
02
03
定义
椭圆的离心率是椭圆中心与焦点的距离与半长轴的比值。
公式
离心率 = 焦点到椭圆中心的距离 / 半长轴的长度。
与椭圆形状的关系
离心率越大，椭圆的形状越扁平；离心率越小，椭圆的形状越接近于圆形。
椭圆的几何性质第二定义课件
目录
• 椭圆的基本性质 • 椭圆的焦点和离心率 • 椭圆的切线性质 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的几何性质总结
01
椭圆的基本性质

(公开课)2.1.2椭圆的简单几何性质

应用
利用椭圆的对称性，可以方便地找到椭圆上的点或线段。
椭圆的顶点与端点
定义
椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点，而端点是椭圆上离原点最近的两个点。
性质
椭圆的顶点与端点是关于原点对称的，且它们的坐标分别为(±a,0)和(0,±b)。
应用
利用椭圆的顶点和端点，可以方便地计算椭圆上其他点的坐标。
当离心率接近1时，椭圆变得扁平；当离心率接近0时，椭圆接近于圆。
离心率是用于描述椭圆扁平程度的量，记作$e$，定义为$e = frac{c}{a}$。
03 椭圆的几何性质
椭圆的对称性
01
02
03
定义
椭圆关于坐标轴和原点对称。
性质
椭圆的长轴和短轴分别在 x轴和y轴上，且长轴和短轴的长度分别为a和b，其中a>b。
05 椭圆的实际应用
天文观测中的椭圆
太阳系行星轨道
哈勃太空望远镜的观测
行星绕太阳的轨道是椭圆形，椭圆的离心率描述了行星轨道的偏心率，决定了行星的轨道形状。
哈勃太空望远镜观测到的星系和星团中，很多天体的运动轨迹呈现椭圆形。
天体距离的测量
通过观察天体在椭圆轨道上的运动，可以测量出天体之间的距离和相对位置。
+ frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别是椭圆的长半轴和短半轴。
03
椭圆的几何性质
包括椭圆的对称性、范围、顶点、焦点等。
下节课预告与预习建议
下节课内容
椭圆的焦点性质和准线方程。
预习建议
提前了解椭圆的焦点和准线的概念，以及它们在几何性质中的作用。同时，可以尝试自己推导椭圆的焦点和准线方程，以便更好地理解其几何意义。

高三数学二轮复习-专题五第二讲-椭圆、双曲线、抛物线课件

答案 6
抛物线的方程及几何性质
(5分)(2011·山东)设M(x0，y0)为抛物线C: x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是
A．(0,2)
B．[0,2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
【标准解答】 ∵x2＝8y, ∴焦点F的坐标为 (0,2), 准线方程为y＝－2.
∴c2＝a2－b2＝8.∴e＝ac＝2 4 2＝
2 2.
答案 D
4．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该
抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为
3 A.4
B．1
5
7
C.4
D.4
解析 ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋12＝3，∴xA＋xB＝52.
解析由于直线AB的斜率为－ba，故OP的斜率为－ba，
直线OP的方程为y＝－bax.
与椭圆方程ax22＋by22＝1联立，解得x＝±
2 2 a.
因为PF1⊥x轴，所以x＝－ 22a，
从而－ 22a＝－c，即a＝ 2c. 又|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5，故 2c＋c＝ 10＋ 5，解得c＝ 5，从而a＝ 10.所以所求的椭圆方程为1x02 ＋y52＝1. 答案 1x02 ＋y52＝1
又双曲线的离心率e＝ a2a＋b2＝ a7，所以 a7＝247，所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为x42－y32＝1.
答案 x42－y32＝1
圆锥曲线是高考考查的重点，一般会涉及到圆锥曲线的定义、离心率、圆锥曲线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系等. 在命题中体现知识与能力的综合，一般地，选择题、填空题的难度属中档偏下，解答题综合性较强，能力要求较高，故在复习的过程中，注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线的综合问题的强化训练，尤其是对推理、运算能力的训练.

椭圆几何性质

椭圆几何性质椭圆是数学上的一个重要曲线，具有许多独特的几何性质。

通过了解椭圆的定义和特征，我们可以深入了解椭圆的性质和应用。

本文将介绍椭圆的几何性质，包括焦点、直径、离心率和切线等内容。

1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下的数学定义表示：对于给定的两个焦点F1和F2，椭圆是所有到这两个焦点的距离之和等于常数2a的点的轨迹。

椭圆的数学表示可以用标准方程来表示：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，半长轴为椭圆离中心最远的点到椭圆中心的距离。

2. 椭圆的焦点椭圆有两个焦点F1和F2。

根据定义，任意点到这两个焦点的距离之和是一个常数。

对于椭圆，焦距的长度等于2a。

焦点在椭圆的长轴上，且与椭圆中心相距c 的位置，满足关系式c^2 = a^2 - b^2。

因此，我们可以通过椭圆的半长轴和半短轴的长度来计算焦点的位置。

3. 椭圆的直径椭圆的直径是通过椭圆中心的两个相对焦点的连线。

直径的长度等于椭圆的半长轴的两倍，即直径的长度为2a。

4. 椭圆的离心率椭圆的离心率是表示椭圆形状的一个重要参数。

离心率定义为焦距与半长轴之间的比值。

离心率的取值范围为0到1之间，且离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示扁平的线段。

椭圆的离心率可以通过以下公式计算得到：e = c / a其中，e是离心率，c是焦距的长度，a是半长轴的长度。

5. 椭圆的切线切线是椭圆的另一个重要性质。

在椭圆上的任意一点P，通过该点的切线与半长轴和半短轴的连线构成的夹角相等。

这个夹角可以用以下公式计算：tan θ = |(b/a) * x|其中，θ为切线与半长轴的夹角，x为点P到椭圆中心的水平距离。

6. 椭圆的对称性椭圆具有两种类型的对称性：轴对称和中心对称。

轴对称是指椭圆关于长轴和短轴分别对称。

这意味着椭圆上的任意一点关于长轴或短轴的投影对称。

中心对称是指椭圆关于椭圆中心对称。

这意味着椭圆上的任意一点关于椭圆中心的对称点也在椭圆上。

椭圆几何性质课件

天体运动规律
椭圆在研究天体运动规律中起到关键作用，如哈雷彗星的轨道就是一个典型的椭圆。
卫星轨道
人造卫星的轨道通常也是椭圆形，通过椭圆轨道可以更精确地控制卫星的位置和运行轨迹。
椭圆在物理学中的应用
机械能守恒
在不受外力作用的理想情况下，质点在椭圆轨迹上运动时，其机械能守恒，如摆锤的运动轨迹。
弹性碰撞
切线的性质
切线与曲线的切点处垂直，且切线的斜率等于曲线在该点的导数。
切线与椭圆的关系
切点
椭圆上的任意一点P都可以作两条切线，与椭圆相切于点P。
切线方程
通过点P和椭圆的方程可以求出切线的方程。
切线的应用
几何问题
物理应用
利用切线性质解决与椭圆相关的几何问题，如求切线长度、判断两直线是否为椭圆的切线等。
椭圆的几何表示
椭圆的几何表示是在平面上的一个封闭曲线，由长轴和短轴确定。
可以通过绘制图形或使用几何软件来直观地表示椭圆的形状和大小。
02
CATALOGUE
椭圆的性质
椭圆的对称性
总结词
椭圆具有对称性，其对称中心是椭圆的中点。
详细描述
椭圆的对称性意味着椭圆上任意一点关于其对称中心都有对称点在椭圆上，且这两点与对称中心等距。
性质
焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
计算
椭圆的焦点距离可以通过长轴长度和半短轴长度计算得出。
椭圆的焦距
定义
椭圆的焦距是指两个焦点之间的距离，等于长轴的一半。
性质
焦距是固定值，不随椭圆上点的位置变化而变化。
计算
椭圆的焦距可以通过长轴长度和半短轴长度计算得出。
焦点与焦距的关系

椭圆的标准方程及几何性质

椭圆的标准方程及几何性质椭圆是平面上的一种几何图形，它具有许多独特的性质和特点。

在本文中，我们将探讨椭圆的标准方程及其几何性质。

首先，我们来看椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，a和b分别代表椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

如果椭圆的长轴与x轴平行，那么a代表长轴的长度，b代表短轴的长度；如果椭圆的长轴与y轴平行，则相反。

通过这个标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的形状和大小。

接下来，让我们来探讨一下椭圆的几何性质。

椭圆具有许多有趣的性质，其中一些包括焦点、直径、离心率等。

首先是椭圆的焦点。

椭圆有两个焦点，它们分别位于椭圆的长轴两端。

焦点的位置与椭圆的半轴长度有关，可以通过椭圆的标准方程轻松计算得出。

其次是椭圆的直径。

椭圆有两条相互垂直的直径，分别为长直径和短直径。

长直径的长度为2a，短直径的长度为2b。

这些直径是椭圆上许多重要几何元素的基础，如焦点、顶点等。

最后是椭圆的离心率。

椭圆的离心率代表了椭圆的独特形状。

它的计算公式为：\[e = \sqrt{1 \frac{b^2}{a^2}}\]离心率越接近于0，椭圆的形状就越接近于圆；离心率越接近于1，椭圆的形状就越狭长。

离心率是描述椭圆形状的重要参数之一。

除了上述几何性质外，椭圆还具有许多其他有趣的特点，如切线、法线、曲率等。

这些性质使得椭圆成为数学和几何中的重要研究对象，也在实际生活中有许多应用，如天文学中行星轨道的描述、工程学中的椭圆形零件设计等。

总之，椭圆的标准方程及其几何性质是数学和几何中的重要内容，通过本文的介绍，希望读者能对椭圆有更深入的了解，并能在学习和工作中灵活运用。

椭圆几何性质知识点总结

椭圆几何性质知识点总结1. 椭圆的定义椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

即PF1+PF2=2a。

其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。

椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。

椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。

2. 椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。

椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。

离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个圆，当e=1时，椭圆退化为一条直线。

3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标。

一般来说，椭圆的参数方程可以写成x=acos(t)，y=bsin(t)。

其中(a,b)是椭圆的长短轴长度，t是参数。

4. 椭圆的直角坐标方程椭圆的直角坐标方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。

5. 椭圆的几何性质椭圆具有许多重要的几何性质，例如：a. 椭圆的焦点性质：任意点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

b. 椭圆的直径定理：椭圆的任意直径的长度都等于椭圆的长轴长度。

c. 椭圆的对称性：椭圆具有关于两个坐标轴的对称性。

d. 椭圆的切线性质：椭圆上的任意一点处的切线与两个焦点到该点的连线的夹角相等。

6. 椭圆的面积和周长椭圆的面积可以表示为S=πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

椭圆的周长可以表示为C=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分。

7. 椭圆的方程类型椭圆的方程可以分为标准方程和一般方程两种类型。

标准方程是指椭圆的中心点在坐标原点的方程形式，一般方程是指椭圆的中心点不在坐标原点的方程形式。

8. 椭圆的相关问题在实际问题中，椭圆经常出现在各种应用中，例如天体运动、工程设计等。

因此，研究椭圆的相关问题对于理论研究和应用都具有重要意义。

051椭圆的定义及其几何性质二

§9.8 椭圆的定义及其几何性质（二）角形问题等）。

会处理一些椭圆与圆结合的问题。

二、知识要点： 1．椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的，定直线l 是，常数e 是 2．椭圆的几何性质(对12222=+b y a x ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤(2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3) 顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：．(4) 离心率：=e ( 与的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越；e 越接近0，椭圆越接近于．(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=1PF ，122PF a PF -== ．三、课前热身：1．过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为2．点P 为椭圆221259x y +=上一点，它到左准线的距离为52，则它到右焦点的距离为___________3．M 是椭圆2216448x y +=上的一点，21,F F 分别是椭圆的左、右两焦点，若21MF MF =，则点M 的坐标是_______4．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点为F,右准线为l ,离心率e 过顶点A (0,b )作AM ⊥l ,垂足为M ，则直线FM 的斜率等于四、典型例题：例1：若P 是椭圆13422=+y x 上的点，F 1和F 2是焦点，则21PF PF k ⋅=的最大值与最小值的差为___________问：（1）1PF 的最大值与最小值分别为（2）21PF PF k ⋅=有最值吗？若有，求出来。

例2：已知椭圆22186x y +=内有一点P （1，—1），F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP+2MF 的最小值。

2.1.2椭圆的几何性质2

复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
一．本节课复习内容：椭圆的定义，标准方程以及几何性质。二．题型： 1.求椭圆的标准方程。方法：（1）定义法；（2）待定系数法。用待定系数法求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可分类讨论。 2.求椭圆的离心率。方法：(1)直接求出 a，c，代入 e＝ac； (2)构造 a，c 的齐次方程，解出 e； (3)特殊值法。
课前预习
高频考点
课时小结
A．4
B．5
C．8
D．10
解：由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
答案：D
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
3．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心
率等于21，则 C 的方程是( )
A.x32＋y42＝1
B.x42＋ y23＝1
C.x42＋y22＝1
D.x42＋y32＝1
y b2
2
1(a
b
0)
的
左、右顶点分别为 A1, A2 ，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线
bx ay 2ab 0相切，则椭圆 C 的离心率为( A )
6
A、 3
3
2
B、 3 C、 3
1 D、 3
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
（1）解析： ∵以椭圆焦点 F1、F2 为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，
1．设平面上两个定点 F1(－5,0)，F2(5,0)，动点 P 满足
|PF1|＋|PF2|＝10，则动点 P 的轨迹为( C )
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．无图形 2．设 P 是椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 上的点．若 F1、F2 是椭圆的两个焦

椭圆的几何性质2(第二定义)-PPT

2
2
x
y
＋＝1上的点,P
100 36
2.已知P是椭圆
到右准线的距离为8.5,则P到左焦点
的距离为_________.
x 2 y2
3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
椭圆左、右焦点的距离之比为1:4，求P到
两准线的距离.
4、求中心在原点、焦点在x轴上、其长轴
端点与最近的焦点相距为1、与相近的一
x
∵ |MF2| =e
|MB|
∴ |MF2|=e|MB| =e(a2/c-x0 )= a-ex0
a2
x
c
注:所用焦点要与准线同侧,
焦点在y轴的同理可得.
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
椭圆中的特殊三角形及通径
y
D (0, b)
A
(a, 0)
b a
Oc F
在Rt⊿OFD中，
常数e是椭圆的离心率.
y
x2 y2
对于椭圆 2 2 1(a b 0)
M
a b
(, 0)
相应与焦点 2
的准线方程是
x
2
2 =
a
c
0

(0
2
< a

<x1)
=
c
“三定”：
定点是焦点；
定直线是准线；
定值是离心率。
2
2
x 由椭圆的对称性,相应与焦点
2
=
′ (−, 0)
椭圆的几何性质2(第二定义)
标准方程
x2 y 2
2 1(a b 0)
2
a
b

椭圆及其几何性质

椭圆及其几何性质主干梳理：（一）椭圆定义：a MF MF 2||||21=+（)c a >。

注：①||221F F a >轨迹为椭圆；②||221F F a =轨迹为线段21F F ；③||221F F a <轨迹不存在。

（二）椭圆标准方程：（其中222b c a +=） 12222=+by a x （0>>b a ）表示椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程；12222=+bx a y （0>>b a ）表示椭圆的焦点在y 轴上，焦点是),0(),0(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程。

（三）以椭圆12222=+by a x (0>>b a ) 研究椭圆的几何性质 1、范围：a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，落在b y a x ±=±=,组成的矩形中；2、对称性：原点叫椭圆的对称中心，简称中心，x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴；3、顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -。

长轴，短轴长分别为b a 2,2，b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

4、离心率：椭圆焦距与长轴长之比。

定义式：a c e =⇒2)(1ab e -=；范围： 10<<e ；（四）焦点三角形应注意以下关系：其中),(00y x P 为椭圆上一点，θ=∠==212211,||,||PF F r PF r PF 1、a r r 221=+；2、余弦定理：2212221)2(cos 2c r r r r =-+θ；3、配方法：212222122212)(r r r r r r -+=+4、面积：2tan ||sin 21202121θθb y c r r S F PF ===∆典型例题考点题型1 椭圆的定义问题例1.下列说法正确的是（）A.已知)0,4(),0,4(21F F -。