2014四川高考压轴卷 数学文 Word版含解析
2014年四川省高考数学试题(卷)(文科)答案与解析
2014年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集．解答：解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集，故A∩B={﹣1，0，1，2}故选D．点评：本题考查求交，掌握理解交的运算的意义是解答的关键．2．（5分）（2014•四川）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（）A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本考点：用样本的频率分布估计总体分布．专题：概率与统计．分析：根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得结论．解答：解：根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得，5000名居民的阅读时间的全体是总体，故选：A．点评：本题主要考查总体、个体、样本、样本容量的定义，属于基础题．3．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．解答：解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．故选：A．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．4．（5分）（2014•四川）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）A．3B．2C．D．1考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三棱锥的俯视图与侧视图判定三棱锥的一个侧面与底面垂直，判断三棱锥的高与底面三角形的形状及边长，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答：解：由三棱锥的俯视图与侧视图知：三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为，底面为等边三角形，边长为2，∴三棱锥的体积V=××2××=1．故选：D．点评：本题考查了由三棱锥的侧视图与俯视图求体积，判断三棱锥的结构特征及相关几何量的数据是解题的关键．5．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，∴C、D不正确；=﹣3，=﹣∴A不正确，B正确．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：B．点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，带数计算正确即可．6．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．3考点：程序框图的三种基本逻辑结构的应用；简单线性规划．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故选：C．点评：本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．7．（5分）（2014•四川）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出．解答：解：由5d=10，可得，∴cd=lgb=log5b=a．故选：B．点评：本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题．8．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．240（﹣1）m B．180（﹣1）m C．120（﹣1）m D．30（+1）m考点：解三角形的实际应用；余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．解答：解：如图，由图可知，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（）（m）．∴河流的宽度BC等于120（）m．故选：C．点评：本题考查了解三角形的实际应用，考查了两角差的正切，训练了直角三角形的解法，是中档题．9．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A．[，2] B．[，2] C．[，4] D．[2，4]考点：两条直线的交点坐标；函数最值的应用．专题：直线与圆．分析：可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得．解答：解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ，由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]∴|PA|+|PB|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，∴2sin（θ+）∈[，2]，故选：B．点评：本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交1点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO==．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2014•四川）双曲线﹣y2=1的离心率等于．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的方程，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率．解答：解：由双曲线的方程可知a2=4，b2=1，则c2=a2+b2=4+1=5，则a=2，c=，即双曲线的离心率e==，故答案为：点评：本题主要考查双曲线的离心率的计算，求出a，c是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）（2014•四川）复数= ﹣2i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．解答：解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．13．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 ．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．解答：解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1．故答案为：1．点评：本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．14．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m= 2 ．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），∴=m（1，2）+（4，2）=（m+4，2m+2）．∴=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．，=2．∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴，化为5m+8=4m+10，解得m=2．故答案为：2．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；充要条件；全称命题；特称命题；函数的值域．专题：新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑．分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．解答：解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g （x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；（4）对于命题④，∵﹣≤≤，当a＞0或a＜0时，alnx∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题．故答案为①③④．点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）（2014•四川）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，而满足a+b=c的（a，b，c 有计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率．（Ⅱ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．解答：解：（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，而满足a+b=c的（a，b，c）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个，故“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为=．（Ⅱ）满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）有：（1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个，故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为=，∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为1﹣=．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题．17．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z．（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18．（12分）（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先证明AA⊥平面ABC，可得AA1⊥BC，利用AC⊥BC，可以证明直线BC⊥平面1ACC1A1；（Ⅱ）取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，证明四边形MDEO为平行四边形即可．解答：（Ⅰ）证明：∵四边形ABBA1和ACC1A1都为矩形，1∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，∵AB∩AC=A，∴AA1⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，∴直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）解：取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点，则O 为AC1的中点．连接MD，OE，则MD∥AC，MD=AC，OE∥AC，OE=AC，∴MD∥OE，MD=OE，连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，∴DE∥MO，∵DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，∴DE∥平面A1MC，∴线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC．点评：本题考查线面垂直的判定与性质的运用，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）（Ⅰ）证明：数列{b n}为等比数列；（Ⅱ）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n2}的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等比数列的定义证明即可；（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得a n，b n，再利用错位相减求数列{a n b n2}的前n项和S n．解答：（Ⅰ）证明：由已知得，b n=＞0，当n≥1时，===2d，∴数列{b n}为首项是，公比为2d的等比数列；（Ⅱ）解：f′（x）=2x ln2∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y﹣=ln2（x﹣a2），∵在x轴上的截距为2﹣，∴a2﹣=2﹣，∴a2=2，∴d=a2﹣a1=1，a n=n，b n=2n，a n b n2=n4n，∴T n=1•4+2•42+3•43+…+（n﹣1）•4n﹣1+n•4n，4T n=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，∴T n﹣4T n=4+42+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1=，∴T n=．点评：本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可得，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），可得直线TF的斜率k TF=﹣m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得，即可解得m．此时四边形OPTQ的面积S=．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，解得c=2，a=，b=．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），则直线TF的斜率，∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，△＞0，∴y1+y2=，y1y2=．∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=．∵四边形OPTQ是平行四边形，∴，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m﹣y2），∴，解得m=±1．此时四边形OPTQ的面积S=═=．点评：本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交可得根与系数的关系及弦长问题、向量相等问题、平行四边形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合和转化能力，属于难题．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．解答：解：∵f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣b，又g′（x）=e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e x ﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则=，∴．由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，==＜0，即g min（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．。
2014年高考四川文科数学试题及答案(word解析版)
2014年高考四川文科数学试题及答案(word解析版)D于（ ）（A ）240(31)m （B ）180(21)m （C ）120(31)m（D ）30(31)m 【答案】C【解析】如图，30ACD ∠=，75ABD ∠=，60AD =m ，在Rt ACD △中，60603tan tan30AD CD=ACD ==∠m ， 在Rt ABD △中，()606023tan tan 7523AD BD =ABD ===∠+m，所以()603602312031BC CD BD =-==m，故选C ． （9）【2014年四川卷，文9，5分】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+= 交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）（A ）[5,25] （B ）[10,25] （C ）[10,45] （D ）[25,45] 【答案】B【解析】直线0x my +=过定点()0,0A ，直线30mx y m --+=过定点()1,3B ．①当0m =时，过定点A 的直线方程为0x =，过定点B 的直线方程为3y =，两条直线互相垂直，此时()0,3P ，所以4PA PB +=．②当0m ≠时，直线0x my +=的斜率为1m -，直线30mx y m --+=的斜率为m ，因为11m m -⨯=-，所以两条直线互相垂直，即点P 可视为以AB 为直径的圆上的点．当点P 与点A 或点B 重合时，PA PB +有最小10P 不与点A ，点B 重合时，PAB △为直角CA 75°30°60 mmx-y-m+3=0x+my=0yx 213-1-2-1321PBA三角形，且22210PA PB AB +==．由不等式性质知222252PA PBPA PB++=，所以10,25PA PB ⎡⎤+∈⎣⎦．综合①②得10,25PA PB ⎡⎤+∈⎣⎦，故选B ．（10）【2014年四川卷，文10，5分】已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）1728（D ）10 【答案】B【解析】如图所示，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12122x x y y +=（*）．不妨设A 点在第一象限，则10y >，20y <．设直线AB ：x my n =+，代入2y x =中，得20y my n --=，则12y y n =-，代入（*）式，有220n n --=，解得2n =或1n =-（舍），故直线AB 过定点()2,0，所以ABO AFO S S +=△△1211112224y y y ⨯⨯-+⨯⨯1298y y =-()12923382ny y -==≥，故选B ．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2014年四川卷，文11，5分】双曲线2214x y-=的离心率等于 ． 【答案】5【解析】由双曲线方程2214x y -=知24a=，21b=，2225ca b =+=，所以5c e a ==．（12）【2014年四川卷，文12，5分】复数22i1i-=+ ． 【答案】2i -【解析】()()()()()2222i 1i 22i 1i 12i i 2i1i 1i 1i ---==-=-+=-++-．（13）【2014年四川卷，文13，5分】设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f =________．【答案】1【解析】()f x 是定义域在R 上的圆周期为2的函数，且()2421001x x f x x x ⎧-+-<=⎨<⎩， 所以231142121222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（14）【2014年四川卷，文14，5分】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =_______． 【答案】2【解析】()1,2=a ，()4,2=b ，则()4,22m m m +=++c =a b ，5a =，25b =58m ⋅=+a c ，820m ⋅=+b c ．因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以⋅⋅=⋅⋅a c b c a c b c 525，解得2m =． （15）【2014年四川卷，文15，5分】以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -．例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈．现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，x R ∃∈，()f a b =”；②若函数()f x B ∈，则()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉；④若函数2()ln(2)1x f x a x x =+++（2x >-，a R ∈）有最大值，则()f x B ∈． 其中的真命题有____________．（写出所有真命题的序号）． 【答案】①③④【解析】对于①，()f x A ∈⇔()f x 的值域为R ⇔b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =，故①正确；对于②，当()1f x x =，1x >时，()1f x <，即()()[]1,00,11,1-⊆-，但()f x 无最值，故②不正确；对于③，因为x D ∀∈，()g x M ≤，所以总存在0x D ∈，使得()()0f xg x +趋近于无穷大，即()()f x g x B +∉，故③正确；对于④，令2()1x g x x =+，则()()()2222222121'11x x x g x xx+--==++()()()22111x x x+-=+，令()'0g x >，解得11x -<<，故()g x 在()1,1-上单调递增，且()112g =，()112g -=-，又()g x 在()1,+∞上单调递减，1x >时，()0g x >， 又()g x 为奇函数，故()12g x ≤．而()ln(2)h x a x =+，当2x >-时，若0a ≠，则()h x A ∈由③知，()()h x g x B +∉，即()f x 无最大值，所以0a =时，()f x 有最大值，此时()2()1x f x g x B x ==∈+，故④正确．综上：真命题的有①③④．三、解答题：本大题共6题，共75分． （16）【2014年四川卷，文16，12分】一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c ． （1）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率． 解：（1）由题意知，(),,a b c 所有可能的结果为()1,1,1，()1,1,2，()1,1,3，()1,2,1，()1,2,2，()1,2,3，()1,3,1，()1,3,2，()1,3,3，()2,1,1，()2,1,2，()2,1,3，()2,2,1，()2,2,2，()2,2,3，()2,3,1，()2,3,2，()2,3,3，()3,1,1，()3,1,2，()3,1,3，()3,2,1，()3,2,2，()3,2,3，()3,3,1，()3,3,2，()3,3,3，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”为事件A ，则事件A 包括()1,1,2，()1,2,3，()2,1,3，共3种．所以()31279P A ==．因此，“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为19． （2）设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括()1,1,1，()2,2,2，()3,3,3，共3种．所以()()3811279P B P B =-=-=．因此“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89． （17）【2014年四川卷，文17，12分】已知函数()sin(3)4f x x π=+． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4()cos()cos2354f απαα=+，求cos sin αα-的值．解：（1）因为函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．由πππ2π32π242k x k -+++，k ∈Z ，得π2ππ2π43123k k x -++，k ∈Z ．所以函数()f x 的单调递增区间为π2ππ2π,43123k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）由已知，有()22π4πsin cos cos sin 454αααα⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()22ππ4ππsin cos cos sin cos cos sin sin cos sin 44544αααααα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 即()()2ππ4sin cos cos sin cos sin sin cos 445αααααα+=-+．当sin cos 0αα+=时，由α是第二象限角，知3π2π4k α=+，k ∈Z ．此时cos sin 2αα-=-当sin cos 0αα+≠时，有()25cos sin 4αα-=．由α是第二象限角，知cos sin 0αα-<，此时5cos sin αα-=．综上所述，cos sin 2αα-=-5． （18）【2014年四川卷，文18，12分】在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形．（1）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；（2）设D ，E 分别是线段BC ，1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//DE平面1A MC ？请证明你的结论．解：（1）因为四边形11ABB A 和11ACC A 都是矩形，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥．因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线，所以1AA ⊥平面ABC ．因为直线BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥．又AC BC ⊥，1AA ， AC 为平面11ACC A 内两条相交直线，所以BC ⊥平面11ACC A ．（2）取线段AB 的中点M ，连接1A M ，MC ，1A C ，1AC ，设O 为1A C ，1AC 的交点．由已知可知O 为1AC 的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为ABC ∆，1ACC ∆的中位线，所以=1//2MD AC ，=1//2OE AC ，因此=//MD OE ．连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则//DE MO ．因为直线DE ⊄平面1A MC ，所以直线//DE 平面1A MC ，即线段AB 上存在一点M （线段AB 的中点），使直线//DE DB11AB A M E OC 1A 1B 1DC BA平面1A MC ． （19）【2014年四川卷，文19，12分】设等差数列{}na 的公差为d ，点(,)n na b 在函数()2x f x =的图象上（n N *∈）． （1）证明：数列{}nb 为等差数列；（2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列2{}n na b 的前n 项和nS ．解：（1）证明：由已知可知，20na nb=>，当1n 时，1122n naa dn nb b+-+==，所以数列{}nb 是首项为12a ，公比为2d等比数列．（2）函数()2xf x =在()22,a b 处的切线方程为()()22222ln 2a a y x a -=-，它在x 轴上的截距为21ln 2a -．由题意知，2112ln 2ln 2a -=-，解得22a=．所以211d aa =-=，na n=，2nn b =，24nn na bn =⋅． 于是，()231142434144n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，()23141424144nn n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，因此()1121113444444444439n n n n n nnn T T n n ++++-+--=+++-⨯=-⨯=．所以()113449n n n T +-+=．（20）【2014年四川卷，文20，13分】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q ．当四边形OPTQ 是平 行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．解：（1）因为(2,0)F -，所以2c =，又6e =，所以6a =，2222b a c =-=，即椭圆C 的方程为22162x y +=．（2）如图所示，由题意可设直线PQ 的方程为2x my =-．当0m =时，2x =-，此时()3,0T -，P ，Q 关于点F 对称，但DF TF ≠，故四边形OPTQ 不是平行四边 形，与题意不符，故0m ≠．直线TF ：()2y m x =-+，令3x =-，得y m =，即()3,T m -，连接OT ，设OT PQ E =，则3,22m E ⎛⎫-⎪⎝⎭，联立方程222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()22236my y -+=，即()223420m y my +--=，显然()2216830m m ∆=++>，令()11,P x y ，()22,Q x y ．则12243m y y m +=+，12223y y m -=+，则1222232E y y m my m +===+，解得21m=．此时()()221212PQ x x y y =-+-()22121214m y y y y=++-2126=+=，112TF =+=．所以四边形OPTQ 的面积1262232S PQ TF =⨯⨯⨯=⨯=．（21）【2014年四川卷，文21，14分】已知函数2()1xf x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =⋅⋅⋅ 为自然对数的底数．（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；（2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，证明：21e a -<<． 解：（1）()2e 1xf x ax bx =---，()()e 2xg x f x ax b '==--． ()e 2xg x a '=-．当[]0,1x ∈时，()[]12,e 2g x a a '∈--．当12a 时，()0g x '，所以()g x 在[]0,1上单调递增．因此()g x 在[]0,1上的最小值是()01gb =-；当e2a 时，()0g x '，所以()g x 在[]0,1上单调递减．因此()g x 在[]0,1上的最小值是()1e 2g a b =--；当1e22a <<时，令()0g x '=，得()()ln 20,1x a =∈．所以函数()g x 在区间()0,ln 2a ⎡⎤⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 2,1a ⎤⎦上单调递增．于是，()g x 在[]0,1上的最小值是()()()ln 222ln 2g a a a a b =--．综上所述，当12a 时，()g x 在[]0,1上的最小值是()01gb =-；当1e22a <<时，()g x 在[]0,1上的最小 值是()()()ln 222ln 2g a a a ab =--；当e2a 时，()g x 在[]0,1上的最小值是()1e 2g a b =--．（2）设0x 为()f x 在区间()0,1内的一个零点，则由()()000f f x ==可知，()f x 在区间()00,x 上不可能单调递增，也不可能单调递减．则()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负．故()g x 在区间()00,x 内存在零点 1x ．同理()g x 在()0,1x 区间内存在零点2x ．所以()g x 在区间()0,1内至少有两个零点． 由（1）知，当12a 时，()g x 在[]0,1上单调递增，故()g x 在()0,1内至多有一个零点．当e 2a 时，()g x 在[]0,1上单调递减，故()g x 在()0,1内至多有一个零点．所以1e22a <<． 此时()g x 在区间()0,ln 2a ⎡⎤⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 2,1a ⎤⎦上单调递增．因此()(10,ln 2x a ∈⎤⎦，()()2ln 2,1x a ∈，必有()010g b =->，()1e 20g a b =-->． 由()10f =，有e 12a b +=-<，有()01e 20g b a =-=-+>，()1e 210g a b a =--=->，得e 21a -<<．所以函数()f x在区间()0,1内有零点时，e21-<<．a。
2014年四川高考理科数学试题逐题详细讲解(纯word解析版)
2014年高考理科数学试题逐题详解 （纯word 解析版）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
[2014年卷（理01）]已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}- [答案]A[解析]{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}-[2014年卷（理02）]在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10 [答案]C[解析]含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=[2014年卷（理03）]为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 [答案]A[解析]因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的 点向左平行移动12个单位长度得到[2014年卷（理04）]若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c< [答案]D[解析]由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>， 由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<[2014年卷（理05）]执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案]C[解析]当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2.[2014年卷（理06）]六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 [答案]B[解析]当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。
2014年高考四川卷数学(文)试卷及答案解析
2014年高考四川卷数学（文）试卷及答案解析本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则AB =（ ）A 、{1,0}-B 、{0,1}C 、{2,1,0,1}--D 、{1,0,1,2}- 【答案】D 【解析】.}.2,1,01-{∴Z ],21-[D B A B A 选，，=∩==2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。
在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ） A 、总体 B 、个体C 、样本的容量D 、从总体中抽取的一个样本 【答案】A 【解析】..,A C A C A 选是人数是时间容易混淆，与3、为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A 、向左平行移动个单位长度 B 、向右平行移动个单位长度 C 、向左平行移动π个单位长度 D 、向右平行移动π个单位长度 【答案】A 【解析】A x y x y 选得到左移动把).1sin(1sin +==4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高） 侧视图俯视图11222211A 、3B 、2 CD 、 【答案】D 【解析】D S V 选）（高低.13313131∴=•••=••=5、若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A 、a b d c >B 、a b d c <C 、a b c d >D 、a b c d<【答案】B 【解析】Bcbd a c b d a c d b a cd c d d c 选.0∴0--∴01-1-,001-1-∴011∴0<<>>>>>>>><<<<6、执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（ ） A 、0 B 、 C 、2 D 、3 【答案】C【解析】..2)0,1(2.2,1,0,0.C y x S y x S y x y x 选处取最大值在点，目标函数画出可行区域为三角形的最大值求限制条件为相性规划问题+=+=≤+≥≥7、已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（ ） A 、d ac = B 、a cd = C 、c ad = D 、d a c =+ 【答案】B 【解析】Bdc a dc b d c b ad b d a ba b a ad d d 选即，即,lg lg ,5lg lg ,5lg lg ∴,log .5lg 10lg 5lg 1055=∴=∴======∴=8、如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A、1)m - B、1)m - C、1)m D、1)m + 【答案】C 【解析】COB OC AO OB AO OC O A 选，点的射影为设1),-3(120BC ∴3-2232-4131-331131-103tan 45tan 103tan -45tan )03-45tan(15tan )15tan -3(6015tan 06-360-BC ∴15tan ,3603===+=+=°°+°°=°°=°°=°==°===9、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】Bb a b PB b PA a B y x m y mx A A my x ，选所以，则令则设在圆周上为直径，两条直线垂直，过定点直线，过定点直线]52,10[∈PB PA ]52,10[∈)4πθsin(52θcos 10θsin 10],2π,0[∈θθ,cos 10,θsin 10a 10b a ,,.1091AB ,P AB ∴)31(B ∴03-1)-(3m --)00(∴022++=+=+===+===+==+=+=+10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 CD【答案】B 【解析】B y y y y y y y S S y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y OB OA OB OA S y S y y y y y y y y y y OB OA y y y y B y y A F x y AOB AOF AOB AOF 选，即））（设.32892≥289282244444θtan ∴5111)1)(1(222||||θcos θtan θtan 21θsin 21,4121∴2-01-(2∴2,θ,0,0),,(),,(),0,41(∴1111111ΔΔ1112112141121412221222122212221222122422141Δ1Δ212121212221212221212=•+=++=++=+=++=++=++=++=+++=++=++==••=•••=••===+=+=>=<<>=第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所示的答题区域内作答。
2014年高考真题(理科数学)四川卷 纯Word版解析可编辑
2014·四川卷(理科数学)1．[2014·四川卷] 已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，0，1，2} B ．{－2，－1，0，1} C ．{0，1} D ．{－1，0} 1．A [解析] 由题意可知，集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，其中的整数有－1，0，1，2，故A ∩B ＝{－1，0，1，2}，故选A.2．[2014·四川卷] 在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．102．C [解析] x (1＋x )6的展开式中x 3项的系数与(1＋x )6的展开式中x 2项的系数相同，故其系数为C 26＝15.3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度3．A [解析] 因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以为得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图像，只需要将y ＝sin 2x 的图像向左平行移动12个单位长度．4．[2014·四川卷] 若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c4．D [解析] 因为c ＜d ＜0，所以1d <1c ＜0，即－1d >－1c ＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得，－a d >－b c ＞0，所以a d <bc.故选D. 5．，[2014·四川卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )图1-1A ．0B ．1C ．2D ．35．C [解析] 题中程序输出的是在⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0的条件下S ＝2x ＋y 的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x ＝1，y ＝0时，S ＝2x ＋y 取得最大值2，2>1，故选C.6．[2014·四川卷] 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种6．B [解析] 当甲在最左端时，有A 55＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有A 11A 14A 44＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．故选B.7．[2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．27．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.图1-28．[2014·四川卷] 如图1-2，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤33，1B.⎣⎡⎦⎤63，1 C.⎣⎡⎦⎤63，223 D.⎣⎡⎦⎤223，1 8．B [解析] 连接A 1O ，OP 和P A 1，不难知∠POA 1就是直线OP 与平面A 1BD 所成的角(或其补角)设正方体棱长为2，则A 1O ＝ 6.(1)当P 点与C 点重合时，PO ＝2，A 1P ＝23，且cos α＝6＋2－122×6×2＝－33，此时α＝∠A 1OP 为钝角，sin α＝1－cos 2α＝63； (2)当P 点与C 1点重合时，PO ＝A 1O ＝6，A 1P ＝22，且cos α＝6＋6－82×6×6＝13，此时α＝∠A 1OP 为锐角，sin α＝1－cos 2 α＝223；(3)在α从钝角到锐角逐渐变化的过程中，CC 1上一定存在一点P ，使得α＝∠A 1OP ＝90°.又因为63＜223，故sin α的取值范围是⎣⎡⎦⎤63，1，故选B. 9．[2014·四川卷] 已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1，1)．现有下列命题： ①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝⎛⎭⎫2x1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |.其中的所有正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①② 9．A [解析] f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x ) ＝ln1－x 1＋x ＝－ln 1＋x1－x＝－[]ln （1＋x ）－ln （1－x ） ＝－f (x )，故①正确；当x ∈(－1，1)时，2x 1＋x 2∈(－1，1)，且f ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x 2＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 1＋x 2－ln ⎝⎛⎭⎫1－2x 1＋x 2＝ln 1＋2x1＋x 21－2x 1＋x 2＝ln 1＋x 2＋2x 1＋x 2－2x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x 2＝2ln 1＋x 1－x ＝2[ln(1＋x )－ln(1－x )]＝2f (x )，故②正确；由①知，f (x )为奇函数，所以|f (x )|为偶函数，则只需判断当x ∈[0，1)时，f (x )与2x 的大小关系即可．记g (x )＝f (x )－2x ，0≤x ＜1，即g (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )－2x ，0≤x <1，g ′(x )＝11＋x ＋11－x －2＝2x 21－x 2，0≤x ＜1.当0≤x ＜1时，g ′(x )≥0，即g (x )在[0，1)上为增函数，且g (0)＝0，所以g (x )≥0， 即f (x )－2x ≥0，x ∈[0，1)，于是|f (x )|≥2|x |正确． 综上可知，①②③都为真命题，故选A. 10．，[2014·四川卷] 已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.1010．B [解析] 由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝ 1y 1＋y 2(x －y 21)， 令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 22时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B. 11．[2014·四川卷] 复数2－2i1＋i ＝________．11．－2i [解析] 2－2i 1＋i ＝2（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－2i.12．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 12．1 [解析] 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 13．，[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图1-313．60 [解析] 过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ，∴AB ＝AD sin 67°＝460.92＝50(m)，在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ， 由正弦定理得，BC ＝AB sin 37°sin 30°＝60 (m)，故河流的宽度BC 约为60 m. 14．，[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．14．5 [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.∴|P A ||PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5，当且仅当|P A |＝|PB |时等号成立． 15．，[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (a 0)＝b －g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1 (x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确． 16．，，，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 17．，，，[2014·四川卷] 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．17．解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为：X 10 20 100 －200 P38381818(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． 18．，，，[2014·四川卷] 三棱锥A - BCD 及其侧视图、俯视图如图1-4所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP .(1)证明：P 是线段BC 的中点； (2)求二面角A - NP - M 的余弦值．图1-418．解：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接AO ，CO . 由侧视图及俯视图知，△ABD ，△BCD 为正三角形，所以AO ⊥BD ，OC ⊥BD .因为AO ，OC ⊂平面AOC ，且AO ∩OC ＝O ， 所以BD ⊥平面AOC .又因为AC ⊂平面AOC ，所以BD ⊥AC . 取BO 的中点H ，连接NH ，PH .又M ，N ，H 分别为线段AD ，AB ，BO 的中点，所以MN ∥BD ，NH ∥AO ， 因为AO ⊥BD ，所以NH ⊥BD . 因为MN ⊥NP ，所以NP ⊥BD .因为NH ，NP ⊂平面NHP ，且NH ∩NP ＝N ，所以BD ⊥平面NHP . 又因为HP ⊂平面NHP ，所以BD ⊥HP .又OC ⊥BD ，HP ⊂平面BCD ，OC ⊂平面BCD ，所以HP ∥OC . 因为H 为BO 的中点，所以P 为BC 的中点．(2)方法一：如图所示，作NQ ⊥AC 于Q ，连接MQ .由(1)知，NP ∥AC ，所以NQ ⊥NP .因为MN ⊥NP ，所以∠MNQ 为二面角A - NP - M 的一个平面角．由(1)知，△ABD ，△BCD 为边长为2的正三角形，所以AO ＝OC ＝ 3. 由俯视图可知，AO ⊥平面BCD .因为OC ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，因此在等腰直角△AOC 中，AC ＝ 6. 作BR ⊥AC 于R因为在△ABC 中，AB ＝BC ，所以R 为AC 的中点， 所以BR ＝AB 2－⎝⎛⎭⎫AC 22＝102.因为在平面ABC 内，NQ ⊥AC ，BR ⊥AC ， 所以NQ ∥BR .又因为N 为AB 的中点，所以Q 为AR 的中点， 所以NQ ＝BR 2＝104.同理，可得MQ ＝104. 故△MNQ 为等腰三角形， 所以在等腰△MNQ 中， cos ∠MNQ ＝MN 2NQ ＝BD 4NQ ＝105.故二面角A - NP - M 的余弦值是105. 方法二：由俯视图及(1)可知，AO ⊥平面BCD .因为OC ，OB ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，AO ⊥OB . 又OC ⊥OB ，所以直线OA ，OB ，OC 两两垂直．如图所示，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz .则A (0，0，3)，B (1，0，0)，C (0，3，0)，D (－1，0，0)． 因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点， 又由(1)知，P 为线段BC 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫－12，0，32，N ⎝⎛⎭⎫12，0，32，P ⎝⎛⎭⎫12，32，0，于是AB ＝(1，0，－3)，BC ＝(－1，3，0)，MN ＝(1，0，0)，NP ＝⎝⎛⎭⎫0，32，－32. 设平面ABC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥AB ，n 1⊥BC ，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB ＝0，n 1·BC ＝0，即⎩⎨⎧（x 1，y 1，z 1）·（1，0，－3）＝0，（x 1，y 1，z 1）·（－1，3，0）＝0， 从而⎩⎨⎧x 1－3z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0.取z 1＝1，则x 1＝3，y 1＝1，所以n 1＝(3，1，1)． 设平面MNP 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由，⎩⎪⎨⎪⎧n 2⊥MN ，n 2⊥NP ，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·MN ＝0，n 2·NP ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧（x 2，y 2，z 2）·（1，0，0）＝0，（x 2，y 2，z 2）·⎝⎛⎭⎫0，32，－32＝0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，32y 2－32z 2＝0. 取z 2＝1，则y 2＝1，x 2＝0，所以n 2＝(0，1，1)． 设二面角A - NP - M 的大小为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（3，1，1）·（0，1，1）5×2＝105. 故二面角A -NP -M 的余弦值是105. 19．，[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .19．解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.20．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．20．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )， 则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m .直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3.所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3，又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .②由①可得，|TF |＝m 2＋1，|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]＝（m 2＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3 ＝24（m 2＋1）m 2＋3. 所以|TF ||PQ |＝124·（m 2＋3）2m 2＋1＝ 124⎝⎛⎭⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124（4＋4）＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 故当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)． 21．，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值；(2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当12<a <e 2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e 2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . (2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点； 当a ≥e 2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意． 所以12<a <e 2. 此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，解得e －2<a <1.当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))．若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．。
2014年高考文科数学四川卷-答案
设 ABP ，则 PA
10 sin ， PB
10cos
，由 |
PA |
0且|
PB
|
0
，可得
0,
π 2
∴ | PA | | PB |
10(sin cos ) 2
5 sin
4
，∵
0,
π 2
，∴
π 4
m
0
，根据韦达定理有
y1 y2
m ，∵ OA OB 2 ，∴ x1
x2 y1
y2
2 ，结合
y12 x1 及 y22 x2 ，得 ( y1 y2 )2 y1 y2 2 0 ，∵点 A，B 位于 x 轴的两侧，∴ y1 y2 2 ，故 m 2 .
不妨令点
2 / 10
【解析】解：如图：
由图可知， DAB 15 ，∵ tan15 tan（45-30）= tan 45 tan 30
1
3 3
2
3.
1 tan 45 tan 30
11
3 3
在 Rt△ADB 中，又 AD 60 ，∴ DB AD tan15 60 (2 3) 120 60 3 .
π 4
x
2kπ 3
π 12
，故函数的增区间为
2kπ 3
π 4
，2kπ 3
π 12
，k
Z
.
（2）由函数的解析式可得
f
a 3
sin
π 4
2014年高考(四川卷)文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2014四川，文1)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,0} B ．{0,1}C ．{－2，－1,0,1}D ．{－1,0,1,2} 答案：D解析：∵A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，A ∩B ＝A ∩Z ＝{x |－1≤x ≤2}∩Z ＝{－1,0,1,2}，故选D.2．(2014四川，文2)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本 答案：A解析：由题意知，5 000名居民的阅读时间是总体，200名居民的阅读时间为一个样本；每个居民的阅读时间为个体；200为样本容量；故选A.3．(2014四川，文3)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度 答案：A解析：根据图象的变换规律“左加右减”知，选A.4．(2014四川，文4)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）( )A ．3B ．2CD ．1 答案：D解析：由俯视图知该三棱锥的底面积1=22S ⨯底，由侧视图知该三棱锥的高h .所以11==33V S h ⨯三棱锥底，故选D.5．(2014四川，文5)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A ．a b d c >B ．a b d c <C ．a b c d >D ．a b c d<答案：B解析：∵a ＞b ＞0，c ＜d ＜0， ∴－c ＞－d ＞0，∴－ac ＞－bd ， 即ac ＜bd .又∵dc ＞0，∴ac bddc dc<， 即a bd c<，故选B. 6．(2014四川，文6)执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为()A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：记0,0,1,x M xy y x y ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪=()≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≤⎩⎩⎭.由程序框图知，当(x ，y )∈M 时，S ＝2x ＋y ； 当(x ，y )∉M 时，S ＝1.如图，画出集合M 表示的可行域(阴影部分)．移动直线l 0：y ＝－2x .由图可知，当直线l 0过点A (1,0)时，目标函数S ＝2x ＋y 取得最大值，此时S max ＝2×1＋0＝2.所以，当(x ，y )∈M 时，S 的最大值为2＞1，所以输出的S 的最大值为2.故选C. 7．(2014四川，文7)已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 答案：B解析：由log 5b ＝a ，得lg lg5ba =； 由5d ＝10，得d ＝log 510＝lg101lg5lg5=， 又lg b ＝c ，所以cd ＝a .故选B. 8．(2014四川，文8)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A．)2401m - B．)1801m C．)1201m D．)301m答案：C解析：如图，作AD ⊥BC ，垂足为D.由题意，得DC ＝60×tan 60°＝(m)， DB ＝60×tan 15°＝60×tan(45°－30°)13tan45tan3060601tan45tan30⎛⎫- ⎪︒-︒=⨯=+︒︒(120m =-.所以()()1201201201m BC DC DB =-=-==，故选C.9．(2014四川，文9)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )A ．B ．C ．D ． 答案：B解析：由题意，得A (0,0)，B (1,3)，因为1×m ＋m ×(－1)＝0，所以两直线垂直， 所以点P 在以AB 为直径的圆上，所以P A ⊥PB . 所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10， 设∠ABP ＝θ，则PA PB θθ+=π4θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为|P A |≥0，|PB |≥0，所以π02θ≤≤.PA PB ≤+≤ B.10．(2014四川，文10)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB ⋅=u u u r u u u r(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3C ．8D 答案：B解析：设AB 所在直线方程为x ＝my ＋t .由2,,x my t y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得y 2－my －t ＝0. 设211(,)A y y ，222(,)B y y (不妨令y 1＞0，y 2＜0)，故2212y y m +=，y 1y 2＝－t .而2212122OA OB y y y y ⋅=+=u u u r u u u r.解得y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1(舍去)． 所以－t ＝－2，即t ＝2. 所以直线AB 过定点M (2,0)． 而S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO12121||2OM y y y y =-=-， 11111112248AFO S OF y y y ∆=⨯=⨯=，故S △ABO ＋S △AFO ＝12112198y y y y y -+=-.由()12129988y y y y -=+-≥= 得S △ABO ＋S △AFO 的最小值为3，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2014四川，文11)双曲线2214x y -=的离心率等于__________．解析：∵2214x y -=，∴a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴a ＝2，c =∴2c e a ==. 12．(2014四川，文12)复数22i1i-+＝__________. 答案：－2i解析：222i 22i 1i 21i 2i 1i 1i 1i 2-(-)(-)(-)===-+(+)(-). 13．(2014四川，文13)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝242,10,,01,x x x x ⎧-+-≤<⎨≤<⎩则32f ⎛⎫⎪⎝⎭＝__________. 答案：1解析：∵f (x )的周期为2， ∴3312222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 又∵当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－4x 2＋2，∴21142122f ⎛⎫⎛⎫-=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.14．(2014四川，文14)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝__________.答案：2解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，∴c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)．又∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， ∴cos 〈c ，a 〉＝cos 〈c ，b 〉，∴||||||||⋅⋅=c a c b c a c b ，即||||⋅⋅=c a c ba b ，=，=， ∴10m ＋16＝8m ＋20，∴m ＝2.15．(2014四川，文15)以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋21xx +(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B . 其中的真命题有__________．(写出所有真命题的序号) 答案：①③④解析：对于①，若对任意的b ∈R ，都∃a ∈D 使得f (a )＝b ，则f (x )的值域必为R . 反之，f (x )的值域为R ，则对任意的b ∈R ，都∃a ∈D 使得f (a )＝b ，故正确． 对于②，比如对()ππsin ,22f x x x B ⎛⎫⎛⎫=∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，但它无最大值也无最小值． 对于③，∵f (x )∈A ，∴f (x )∈(－∞，＋∞)． ∵g (x )∈B ，∴存在正数M 使得－M ≤g (x )≤M ， 故f (x )＋g (x )∈(－∞，＋∞)， ∴()()f x g x B +∉，正确． 对于④，211212x x -≤≤+，当a ＞0或a ＜0时，a ln x ∈(－∞，＋∞)，f (x )均无最大值，若f (x )有最大值，则a ＝0，此时()21xf x x =+，f (x )∈B ，故正确．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)(2014四川，文16)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．分析：(1)利用列举法分别求出基本事件空间和所求事件包含的基本事件，然后代入古典概型公式求解；注意该题抽取方式为有放回地抽取，故a ，b ，c 可取相同的数字；(2)因为a ，b ，c 不完全相同包含的基本事件较多，故可转化为其对立事件“a ，b ，c 相同”的概率求解．解：(1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ， 则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种． 所以()31279P A ==. 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ， 则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以38()=1()=1279P B P B --=. 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89. 17．(本小题满分12分)(2014四川，文17)已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求f (x )的单调递增区间； (2)若α是第二象限角，4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α－sin α的值．分析：(1)利用换元法，将π34x +视为整体t ，即可将其转化为y ＝sin t 的单调增区间，然后解不等式即得；(2)首先代入3f α⎛⎫⎪⎝⎭，然后化简等式，根据sin α＋cos α是否为0进行分类讨论，即可求得cos α－sin α的值．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，由πππ2π3+2π242k x k -+≤≤+，k ∈Z ，得π2ππ2π43123k k x -+≤≤+，k ∈Z ， 所以，函数f (x )的单调递增区间为π2ππ2π,43123k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . (2)由已知，有22π4πsin cos (cos sin )454αααα⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，22ππ4ππsin cos cos sin cos cos sin sin (cos sin )44544αααααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭－即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知3π2π4k α=+，k ∈Z .此时，cos sin αα-=.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝2-综上所述，cos α－sin α＝或18．(本小题满分12分)(2014四川，文18)在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．分析：(1)首先利用两个矩形中的垂直关系证明AA 1⊥平面ABC ，进而得到AA 1⊥BC ，然后结合已知AC ⊥BC 即可证得结论；(2)当M 为线段AB 中点时，取平行四边形ACC 1A 1的对角线交点O ，即可利用中位线的性质构造平行关系证明DE ∥平面A 1MC .解：(1)因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线， 所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点． 由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线．所以，MD 12AC ，OE 12AC ， 因此MDOE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形， 则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .19．(本小题满分12分)(2014四川，文19)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为12ln2-，求数列{}2n na b 的前n 项和S n.分析：(1)利用点(a n ，b n )在函数图象上建立a n 与b n 的关系式，然后利用等差数列和等比数列的定义证明结论；(2)先利用导数几何意义求出函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线方程，根据已知截距求出a 2的值，从而求出数列{}2n n a b 的通项公式，然后根据通项的结构特征利用错位相减法求和．(1)证明：由已知，b n ＝2n a＞0. 当n ≥1时，1122n n a a d n nb b -+==＋. 所以，数列{b n }是首项为12a，公比为2d 的等比数列．(2)解：函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －22a＝(22aln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为21ln2a -. 由题意，2112ln2ln2a -=-. 解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，2n n a b ＝n ·4n . 于是，T n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n ， 4T n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n ·4n ＋1. 因此，T n －4T n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1111441344·433n n n n n ++-(-)-=-=＋.所以，131449n n n T +(-)+=.20．(本小题满分13分)(2014四川，文20)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2,0)，离心率为3(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．分析：(1)由焦点可求c ，然后利用离心率即可求a ，再求b ，即可求得方程；(2)由题意设T (－3，m )，然后利用TF ⊥PQ 求出PQ 的斜率，从而设出直线PQ 方程，与椭圆C 方程联立后，根据平行四边形OPTQ 的性质：对边平行且相等，即可求出m 的值，最后将四边形OPTQ 的面积转化为△OPQ 面积的两倍求解．解：(1)由已知可得，3c a =，c ＝2，所以a =又由a 2＝b 2＋c 2，解得b =，所以椭圆C 的标准方程是22162x y +=. (2)设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率032TF m k m -==---(-).当m ≠0时，直线PQ 的斜率1PQ k m=，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得222,1.62x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)＞0.所以12243m y y m +=+，12223y y m -=+， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝2123m -+.因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP uuu r ＝QT uuu r，即(x 1，y 1)＝(－3－x 2，m －y 2)．所以122122123,34.3x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩解得m ＝±1.此时，四边形OPTQ 的面积S OPTQ ＝2S OPQ＝1212||2OF y y ⨯⋅⋅-==21．(本小题满分14分)(2014四川，文21)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.分析：(1)先利用求导求出g (x )的解析式，再求出其导函数g ′(x )，根据a 的不同取值分类讨论g ′(x )的符号变化，判断其单调性，从而求其最值；(2)先根据已知分析f (x )在(0,1)上的单调性与零点个数，将其转化为g (x )的零点个数，进而利用(1)中的结论判断a 的范围及其零点所在区间，结合函数g (x )在区间端点处的函数值及f (1)＝0即可证得结论．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当12a ≤时，g ′(x )≥0， 所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当e 2a ≥时，g ′(x )≤0， 所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当1e 22a ≤≤时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0,1)． 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b . 综上所述，当12a ≤时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当1e 22a ≤≤时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当e 2a ≥时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . (2)设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1，同理g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2.所以g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当12a ≤时，g (x )在[0,1]上单调递增， 故g (x )在(0,1)内至多有一个零点． 当e 2a ≥时，g (x )在[0,1]上单调递减， 故g (x )在(0,1)内至多有一个零点． 所以1e 22a <<. 此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1＜2，有g (0)＝a －e ＋2＞0，g (1)＝1－a ＞0.解得e －2＜a ＜1.所以，函数f (x )在区间(0,1)内有零点时，e －2＜a ＜1.。
2014四川高考文科数学试题及答案(word)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则AB =（ ）A 、{1,0}-B 、{0,1}C 、{2,1,0,1}--D 、{1,0,1,2}-2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。
在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ）A 、总体B 、个体C 、样本的容量D 、从总体中抽取的一个样本3、为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A 、向左平行移动1个单位长度 B 、向右平行移动1个单位长度 C 、向左平行移动π个单位长度 D 、向右平行移动π个单位长度4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）A 、3B 、2 CD 、15、若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A 、a b d c > B 、a b d c < C 、a b c d > D 、a b c d<6、执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、37、已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是（ ）侧视图俯视图112222118、如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（ ）A、1)m B、1)m C、1)m D、1)m9、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C、8D第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2014年高考理科数学四川卷答案及解析(word版)
2014四川理科卷一、选择题1. 答案：A解析：{|12},{1,0,1,2}A x x AB =-≤≤∴=-，选A.【考点定位】集合的基本运算.2. 答案：C 解析：623456(1)(161520156)x x x x x x x x x +=++++++，所以含3x 项的系数为15.选C【考点定位】二项式定理.3. 答案：A 解析：1sin(21)sin 2()2y x x =+=+，所以只需把sin 2y x =的图象上所有的点向左平移12个单位.选A. 【考点定位】三角函数图象的变换.4. 答案：D 解析：110,0,0c d c d d c <<∴->->->->，又0,0,a b a b a b d c d c>>∴->->∴<.选D 【考点定位】不等式的基本性质.5. 答案：C解析：该程序执行以下运算：已知001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求2S x y =+的最大值.作出001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的区域如图所示，由图可知，当10x y =⎧⎨=⎩时，2S x y =+最大，最大值为202S =+=.选C.【考点定位】线性规划6. 答案：B解析：最左端排甲，有5!120=种排法；最左端排乙，有44!96⨯=种排法，共有12096216+=种排法.选B.【考点定位】排列组合.7. 答案： D.解析：由题意得：25c ac bc ac bm c a c b a b ⋅⋅⋅⋅=⇒=⇒=⇒=⋅⋅，选D.【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.8. 答案：B解析：设正方体的棱长为1，则11111,,A C A C A O OC ==，所以1111332122cos ,sin 3322AOC AOC +-∠==∠=⨯，11313cos AOC AOC +-∠==∠=.所以sin α的范围为3，选B. 【考点定位】空间直线与平面所成的角.9. 答案：C解析：对①，()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，成立；对②，左边的x 可以取任意值，而右边的(1,1)x ∈-，故不成立；对③，作出图易知③成立【考点定位】1、函数的奇偶性；2、对数运算；3、函数与不等式.10. 答案：B 解析：据题意得1(,0)4F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于x 轴两侧所以.所以122y y =-两面积之和为12211111224S x y x y y =-+⨯⨯111218y y y =++⨯112938y y =+≥. 【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.二、填空题11. 答案：2i -. 解析：2222(1)21(1)(1)i i i i i i --==-++-. 【考点定位】复数的基本运算.12. 答案：1 解析：311()()421224f f =-=-⨯+=. 【考点定位】周期函数及分段函数.13. 答案：60解析：92AC =，46cos 67AB =，sin 37,60sin 30sin 37sin 30AB BC AB BC =∴=≈. 【考点定位】解三角形.14. 答案：解析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以2||||||52AB PA PB ⨯≤=. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.15. 答案：①③④解析：对①，若对任意的b R ∈，都a D ∃∈，使得()f a b =，则()f x 的值域必为R ；反之，()f x 的值域为R ，则对任意的b R ∈，都a D ∃∈，使得()f a b =.故正确.对②，比如函数()(11)f x x x =-<<属于B ，但是它既无最大值也无最小值.故错误. 对③正确，对④正确.【考点定位】命题判断。
2014年高考真题——理科数学(四川卷)精校解析版 纯Word版含解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案（四川卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c<【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a bd c->->，所以a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2，否则，S 的值为1.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。
2014年四川高考数学文史类试卷及答案
2014年四川高考数学文史类试卷及答案D10.已知F 为抛物线x =2y的焦点，点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2=⋅（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（A ）2 （B ）3（C ）8217 （D ）10第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答案区域内作答。
作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。
答在试题卷，草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.双曲线1422=-y x 的离心率等于_____________.12.复数ii +-122=____________. 13.设)(x f 是定义在R 上的周期为2的函数，当）1,1[-∈x 时，,,24{)(2x x x f +-=,10,01<≤<≤-x x 则)23(f =____________.14. 平面向量）（2,1=a ，）（2,4=b ，)(R m m ∈+=b a c ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则=m _____________.15.以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数)(x ϕ组成的集合：对于函数)(x ϕ，存在一个正数M ，使得函数)(x ϕ的值域包含于区间],[M M -.例如，当31)(x x =ϕ，x x sin )(2=ϕ时，A x ∈)(1ϕ,B x ∈)(2ϕ. 现在如下命题：①设函数)(x f 的定义域为D ,则“A x f ∈)(”的充要条件是“b a f D a R b =∈∃∈∀)(,,”；②若函数B x f ∈)(,则)(x f 有最大值和最小值；③若函数)(x f ，)(x g 的定义域相同，且B x g A x f ∈∈)(,)(,则B x g x f ∉+)()(； ④若函数),2(1)2ln()(2R a x x x x a x f ∈->+++=有最大值，则B x f ∈)(.其中的真命题有________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分。
2014年四川高考数学文史类试卷及答案
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)本试题卷分第I 卷(选择题)和n 卷(非选择题) 。
第I 卷1至2页，第n 卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试题 卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题共50分)注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第I 卷共10小题。
一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题 目要求的。
1•已知集合A {x |(x 1)(x 2) 0}，集合B 为整数集，则 A B(A ) { 1,0} (B ) {0,1} (C ) { 2, 1,0,1}( D ) { 1,0,2}2•在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了 200名居民的阅读时间进行统计分析•在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是 (A )总体 (B )个体(D )从总体中抽取的一个样本sin(x 1)的图象，只需把函数 y sinx 的图象上所有的点(A )向左平行移动1个单位长度 (B) 向右平行移动1个单位长度 (C) 向左平行移动 个单位长度(D)向右平行移动 个单位长度 4•某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是1(椎体体积公式： V -Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)3(A ) 3( B ) 2(C ) 3 ( D ) 1(C )样本的容量3•为了得到函数y5•若a b 0 , c d 0 ,则一定有(C) c ad (D) d a c8•如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸 B , C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（A）240（ 3 1）m （B）180（.2 1）m（C）120（ . 3 1）m （D）30（ . 3 1）my m 3 0交于点P(x, y)，则9.设m R，过定点A的动直线x my 0和过定点B的动直线mx| PA | |PB |的取值范围是（A）[ .5,2.5] （B）[ •一10,2.、5]（C）[ 10,4 5] （D）[2,5,4.5]10.已知F为抛物线y2 x的焦点，点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA OB 2 （其中0为坐标原点），贝U ABO与AFO面积之和的最小值是（A）2 （B）3（C）17 2（D）. 108第n卷(非选择题共100分) 注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答案区域内作答。
2014年四川省高考数学压轴试卷(文科)
2014年四川省高考数学压轴试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合M={x|y=ln（1-x）}，集合N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）A.{x|x＜1}B.{x|x＞1}C.{x|0＜x＜1}D.∅【答案】C【解析】解：∵集合M={x|y=ln（1-x）}={x|1-x＞0}={x|x＜1}，N={y|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}={y|y＞0}，∴M∩N={x|0＜x＜1}，故选C．分别求出M、N的范围，在求交集．本题考查集合的交集的求法，解题时要注意对数函数的定义域的应用．2.已知i为虚数单位，复数z=i（2-i）的模|z|=（）A.1B.C.D.3【答案】C【解析】解：∵z=i（2-i）=2i+1，∴|z|=，故选：C．根据复数的有关概念直接进行计算即可得到结论．本题主要考查复数的有关概念的计算，比较基础．3.函数的单调减区间为（）A.（-∞，-3）B.（-∞，-1）C.（-1，+∞）D.（-3，-1）【答案】A【解析】解：令t=x2+2x-3=（x+3）（x-1）＞0，解得x＜-3，或x＞1，故函数的定义域为（-∞，-3）∪（1，+∞）．根据f（x）=log2t，复合函数的单调性可得，本题即求函数t=（x+1）2-4在定义域（-∞，-3）∪（1，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t=（x+1）2-4在定义域上的减区间为（-∞，-3），故选：A．令t=x2+2x-3＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=log2t、复合函数的单调性，可得本题即求函数t=（x+1）2-4在定义域上的减区间，再利用二次函数的性质可得答案．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．4.在等差数列{a n}中，a1+3a3+a15=10，则a5的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】解：在等差数列{a n}中，∵a1+3a3+a15=5a1+20d=5（a1+4d）=5a5=10，解得a5=2，故选：A．把条件化为5（a1+4d）=5a5=10，从而求得a5的值．本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．5.函数y=xsinx在[-π，π]上的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵y=x和y=sinx均为奇函数根据“奇×奇=偶”可得函数y=f（x）=xsinx为偶函数，∴图象关于y轴对称，所以排除D．又∵＞，排除B．又∵f（π）=πsinπ=0，排除C，故选A．本题可采用排除法解答，先分析出函数的奇偶性，再求出和f（π）的值，排除不满足条件的答案，可得结论．本题考查的知识点是函数的图象，根据函数的解析式，分析出函数的性质及特殊点的函数值，是解答的关键．6.运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log23和log32，则输出M的值是（）A.0B.1C.2D.-1【答案】C【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数M=，，＞的值．∵a=log23，b=log32，∴a＞b∴M=log23×log32+1=2故选C分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数M=，，＞的值．本题考查的知识眯是程序框图，其中根据程序框图分析出程序框图的功能是解答本题的关键．7.已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β④若m∥l，则α⊥β其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】解：（1）中，若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确．（2）中，若α⊥β，且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．（3）中，若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．（4）中，若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确．故选B．根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．8.三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）A. B. C.3π D.12π【答案】C【解析】解：三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，∴球的半径R==．球的表面积为：4πR2=4=3π．故选：C．根据题意，三棱锥S-ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S-ABC的外接球的表面积．本题考查三棱锥S-ABC的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥S-ABC的外接球的球心与半径．9.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A.12B.18C.24D.48【答案】C【解析】解：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有种方法，由分步计算原理可得总的方法种数为：=24故选C分两大步：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有种方法，由分步计算原理可得答案．本题考查简单的排列组合问题，捆绑法和插空法结合是解决问题的关键，属中档题．10.定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，，，，则当x∈[-4，-2）时，函数f（x）≥-t+恒成立，则实数t的取值范围为（）A.2≤t≤3B.1≤t≤3C.1≤t≤4D.2≤t≤4【答案】B【解析】解答：解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2-x∈[-，0]当x∈[1，2）时，f（x）=-（0.5）|x-1.5|∈[-1，]，∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为-1，又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值为-，当x∈[-4，-2）时，f（x）的最小值为-，若x∈[-4，-2]时，f（x）≥-t+恒成立，∴≥-t+恒成立．即t2-4t+3≤0，即（t-3）（t-1）≤0，即1≤t≤3，即t∈[1，3]，故选：B．根据条件，只要求出函数f（x）在x∈[-4，-2）上的最小值即可得到结论．点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，一元二次不等式的解法，难度较大．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为______ ．【答案】【解析】解：由三视图知：几何体是圆柱与球体的组合体，圆柱的高为1，圆柱底面圆的半径与球的半径都为1，∴几何体的体积V=π×12×1+×π×13=．故答案为：．几何体是圆柱与球体的组合体，根据三视图判断圆柱的高及圆柱的底面圆半径，判断球的半径，把数据代入圆柱与球的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．12.已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是______ ．【答案】【解析】解：，故答案为：先求，＞，故代入x＞0时的解析式；求出=-2，，再求值即可．本题考查分段函数的求值问题，属基本题．求f（f（a））形式的值，要由内而外．13.设（2x-3）6=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a6（x-1）6，则a4= ______ ．【答案】240【解析】解：∵（2x-3）6=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a6（x-1）6，∴（2x-1）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，∴通项为T r+1=，令6-r=4，则r=2，∴a4==240．故答案为：240．以x+1代替x，可得（2x-1）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，求出x4的系数，即可得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.如图为函数f（x）=tan（x-）的部分图象，点A为函数f（x）在y轴右侧的第一个零点，点B在函数f（x）图象上，它的纵坐标为1，直线AB的倾斜角等于______ ．【答案】45°【解析】解：由x-=kπ，得x=2+4k，k∈Z，∵点A为函数f（x）在y轴右侧的第一个零点，∴当k=0时，x=2，即A（2，0）．由f（x）=tan（x-）=1，得x-=，即x=3，∴B（3，1），直线AB的斜率k=，即直线AB的倾斜角等于45°，故答案为：45°．根据正切函数的性质求出A，B的坐标，利用直线斜率和倾斜角之间的关系即可得到结论．本题主要考查直线斜率和倾斜角的计算，根据正切函数求出A，B的坐标是解决本题的关键．15.已知函数y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=-f（1-x）．当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x-1），给出以下4个结论：①函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；②函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；③当x∈（-1，0）时，f（x）=-log2（1-x）；④函数y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上单调递增．其中所有正确结论的序号为______ ．【答案】①②③【解析】解：令x取x+1代入f（1+x）=-f（1-x）得，f（x+2）=-f（-x）∵函数y=f（x）为奇函数，∴f（x+2）=f（x），则函数是周期为2的周期函数，设0＜x＜1，则2＜x+2＜3，∵当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x-1），∴f（x）=f（x+2）=log2（x+1），设-1＜x＜-0，则0＜-x＜1，由f（x）=-f（-x）得，f（x）=-log2（-x+1），根据奇函数的性质和周期函数的性质画出函数的图象：由上图得，函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；且函数y=|f（x）|的图象是将y=f（x）的图象在x轴下方的部分沿x轴对称过去，其他不变，则函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；故①②③正确，而函数y=f（|x|）=，则图象如下图：由图得，图象关于y轴对称，故y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上不是单调递增的，故④不正确，故答案为：①②③．根据奇函数的性质和f（1+x）=-f（1-x），求出函数的周期，再由所给的解析式和周期性，求出函数在一个周期性的解析式，再画出函数在R上的图象，由图象进行逐一判断．本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性的综合应用，以及对数函数的图象，考查了数形结合思想和转化能力，难度较大．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，=．（1）求角A的大小；（2）求函数y=sin B+sin（C-）的值域．【答案】解：（I）△ABC中，∵，由正弦定理，得：，…（2分）即2sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A，故2sin B cos A=sin（A+C）=sin B，…（4分）∴cos A=，A=．…（6分）（II）∵A=，∴B+C=．…（8分）故函数y==sin B+sin（-B）=sin B+cos B=2sin（B+）．…（11分）∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴sin（B+）∈（，1]，…（13分）故函数的值域为（1，2]．…（14分）【解析】（I）由条件利用正弦定理求得cos A=，从而求得A=．（II）由A=，可得B+C=．化简函数y等于2sin（B+），再根据＜B+的范围求得函数的定义域．本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17.某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为（1）求表中的，值；（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；（3）求η的分布列及数学期望Eη．【答案】解：（1）由得a=20∵40+20+a+10+b=100∴b=10（2）记分期付款的期数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，4，5，依题意得：，，P（ξ=3）=0.2，，则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率P（A）=0.83+C310.2×（1-0.2）2=0.896（3）∵η的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）P（η=1）=P（ξ=1）=0.4P（η=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4P（η=2）=P （ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.1=0.2∴η的分布列为：∴η的数学期望Eη=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4（万元）【解析】（1）根据分3期付款的频率为0.2，得到a除以100值为0.2，求出a的值，根据总体数是100，求出b的值．（2）记分期付款的期数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，4，5，结合变量对应的事件写出变量的概率，根据独立重复试验的概率公式得到购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款的概率．（3）η表示经销一辆汽车的利润，η的可能取值为：1，1.5，2，结合变量对应的事件，根据η和ξ之间的关系，写出变量的概率，得到分布列．本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验，考查两个变量之间的概率关系，是一个综合题目，这种题目近几年考得比较多．18.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；（2）若PA=，PC与侧面APB所成角的余弦值为，PB与底面ABC成60°角，求二面角B-PC-A的大小．【答案】（1）证明：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，∵AB⊥BC，且PA∩AB=A，∴BC⊥面PAB而BC⊂面PBC中，∴面PAB⊥面PBC．…（5分）（2）解法一：过A作AE⊥PB于E，过E作EF⊥PC于F，连接AF，如图所示则∠EFA为B-PC-A的二面角的平面角…（8分）由PA=，在R t△PBC中，cos∠COB=．R t△PAB中，∠PBA=60°．∴AB=，PB=2，PC=3∴AE==同理：AF=…（10分）∴sin∠EFA=，…（11分）∴∠EFA=60．…（12分）解法二：向量法：由题可知：AB=，BC=1，建立如图所示的空间直角坐标系…（7分）B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，，0），P（0，，），假设平面BPC的法向量为=（x1，y1，z1），∴取z1=可得平面BPC的法向量为=（0，-3，）…（9分）同理PCA的法向量为=（2，-，0）…（11分）∴cos＜，＞==，∴所求的角为60°．…（12分）【解析】（1）由PA⊥面ABC，知PA⊥BC，由AB⊥BC，且PA∩AB=A，知BC⊥面PAB，由此能够证明面PAB⊥面PBC．（2）法一：过A作AE⊥PB于E，过E作EF⊥PC于F，连接AF，得到∠EFA为B-PC-A 的二面角的平面角．由此能求出二面角B-PC-A的大小．法二：由AB=，BC=1，以BA为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-A的大小．本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.已知函数f（x）=2n-x在（0，+∞）上的最小值是a n（n∈N+））．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）证明：＜．（3）在点列A n（2n，a n）…．中是否存在两点A i，A j其中i，j∈N+，使直线A i A j的斜率为1，若存在，求出所有数对i，j，若不存在，说明理由．【答案】（1）解：由f（x）=2n-x，得f'（x）=．令f'（x）=0，得x=．当x∈（0，）时，f'（x）＜0．当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0．∴f（x）在（0，+∞）上有极小值f（）=．∴数列{a n}的通项公式a n=；（2）证明：∵=．∴==＜．（3）解：依题意，设A i（2i，a i），A j（2j，a j）．其中i，j∈N+是点列中的任意两点，则经过这两点的直线的斜率是：k====1．∴不存在这样的点列，使直线A i A j的斜率为1．【解析】（1）求出原函数的导函数，得到原函数的极小值点，求得极小值，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由裂项相消法证明不等式＜；（3）设出点列中的两点A i（2i，a i），A j（2j，a j）．代入两点求斜率公式可得答案．本题是数列与函数综合题，考查了数列递推式，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是较难题．20.已知椭圆C：＞＞的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求的最大值．【答案】解：（I）由题意得2c=2，2a+2c=6．解得a=2，c=1，又b2=a2-c2=3，所以椭圆C的方程为．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合，显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件．故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．①则△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，∴，．所以点M的坐标为，．∵M，O，P三点共线，∴k OM=k OP，∴，∵m≠0，∴．此时方程①为3x2-3mx+m2-3=0，则△=3（12-m2）＞0，得，．x1+x2=m，．∴|AB|2==，又=，∴==，故当，时，的最大值为．【解析】（I）利用椭圆的定义和焦距的定义可得2c=2，2a+2c=6．解得a，c，再利用b2=a2-c2解出即可；（II）设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．与椭圆的方程联立，得到判别式△＞0及根与系数的关系，由中点坐标公式得到中点M的坐标，利用M，O，P三点共线，得到k OM=k OP，解得k，再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到|AB|2及d2，利用二次函数的单调性即可得出最值熟练掌握椭圆的定义和焦距的定义及b2=a2-c2、直线与椭圆相交问题转化为把直线l的方程与椭圆的方程联立得到判别式△＞0及根与系数的关系、中点坐标公式、三点共线得到k OM=k OP、弦长公式和点到直线的距离公式、二次函数的单调性是解题的关键．本题需要较强的计算能力．21.设函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；（Ⅲ）若k，n∈N*，且1≤k≤n，证明：＞．【答案】解：（1）（x＞0）当a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＞0时，f'（x）＞0⇒，；f'（x）＜0⇒，∞，∴f（x）在，上是增函数，f（x）在，∞上是减函数．（2）lnx＜ax对于（0，+∞）上恒成立⇔f（x）max＜0由（1）知：a≤0时，舍．当a＞0时，＜∴＞，故a的取值范围是，∞．（3）由（2）知：a=1时，，有lnx-x＜-1，有：lnx＜x-1令，代入上式⇒＜⇒＜ ⇒＜ ⇒＜．所以＞=．问题得以证明．【解析】（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间；（Ⅱ）根据函数的导数与最值的关系确定实数a的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a=1时，f（x）=lnx-x的最大值为-1，从而可证．本题主要考查了导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．。
2014四川高考压轴卷数学文Word版含解析
GKXX2014四川省高考压轴卷数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
满分150分。
考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={|ln(1)x y x =-}，集合N={|,xy y e x R =∈}，(e 为自然对数的底数) 则M N =（ ）A ．{|1x x <}B ．{|1x x >}C ．{|01x x <<}D ．∅ 2.已知i 为虚数单位，复数z ＝i （2一i ）的模｜z ｜＝（ ）A. 1B.C D.33. 函数 y=log 2(x 2＋2x －3)的单调递减区间为 （ ） A ．（－∞，－3） B ．（－∞，－1） C ．(1，+∞)D ．(－3，－1)4.在等差数列{}n a 中，1315310a a a ++=，则5a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55.函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是（ ）6. 运行右图所示框图的相应程序,若输入,a b 的值分别为 2log 3和3log 2,则输出M 的值是（ ）A.0B.1C. 2D. －17.已知不重合的直线m 、l 和平面αβ、，且m α⊥，l β⊂．给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥；②若αβ⊥，则//m l ；③若m l ⊥，则//αβ；④若//m l ，则αβ⊥， 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB= BC=1，则球O 的表面积为( )(B) 32π (C) 3π (D) 12π9.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼一15飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法种数为（ ） A. 12 B ．18 C ．24 D.4810.定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，23||2,[0,1),()1(),[1,2),2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩若当[4,2)x ∈--时，函数21()42t f x t ≥-+恒成立，则实数t 的取值范围为( )(A)23t ≤≤ (B)13t ≤≤ (C)14t ≤≤ (D)24t ≤≤第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(四川卷)文
2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文科)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2014四川,文1)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},集合B为整数集,则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-2,-1,0,1}D.{-1,0,1,2}答案:D解析:∵A={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x≤2},A∩B=A∩Z={x|-1≤x≤2}∩Z={-1,0,1,2},故选D.2.(2014四川,文2)在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是()A.总体B.个体C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本答案:A解析:由题意知,5000名居民的阅读时间是总体,200名居民的阅读时间为一个样本;每个居民的阅读时间为个体;200为样本容量;故选A.3.(2014四川,文3)为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点()A.向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动π个单位长度D.向右平行移动π个单位长度答案:A解析:根据图象的变换规律“左加右减”知,选A.Sh,其中S为4.(2014四川,文4)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是(锥体体积公式:V=13底面面积,h为高)()A.3B.2C.√3D.1答案:D解析:由俯视图知该三棱锥的底面积S底=12×2×√3=√3,由侧视图知该三棱锥的高h=√3.所以V三棱锥=13S底×h=13×√3×√3=1,故选D.5.(2014四川,文5)若a>b>0,c<d<0,则一定有()A.ad >bcB.ad<bcC.ac >bdD.ac<bd答案:B解析:∵a>b>0,c<d<0,∴-c>-d>0,∴-ac>-bd,即ac<bd.又∵dc>0,∴acdc <bddc,即ad <bc,故选B.6.(2014四川,文6)执行如图的程序框图,如果输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为()A.0B.1C.2D.3答案:C解析:记M={(x,y)|{x≥0,y≥0,x+y≤1}.由程序框图知,当(x,y)∈M时,S=2x+y; 当(x,y)∉M时,S=1.如图,画出集合M表示的可行域(阴影部分).移动直线l0:y=-2x.由图可知,当直线l0过点A(1,0)时,目标函数S=2x+y取得最大值,此时S max=2×1+0=2.所以,当(x,y)∈M时,S的最大值为2>1,所以输出的S的最大值为2.故选C.7.(2014四川,文7)已知b>0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c答案:B解析:由log5b=a,得lgblg5=a;由5d=10,得d=log510=lg10lg5=1lg5,又lg b=c,所以cd=a.故选B.8.(2014四川,文8)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()A.240(√3-1)mB.180(√2-1)mC.120(√3-1)mD.30(√3+1)m答案:C解析:如图,作AD⊥BC,垂足为D.由题意,得DC=60×tan60°=60√3(m),DB=60×tan 15°=60×tan(45°-30°)=60×tan45°-tan30°1+tan45°tan30°=60×-√331+√33=(120-60√3)m .所以BC=DC-DB=60√3-(120-60√3)=120√3-120=120(√3-1)(m),故选C .9.(2014四川,文9)设m ∈R ,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P (x ,y ),则|PA|+|PB|的取值范围是( ) A.[√5,2√5] B.[√10,2√5] C.[√10,4√5] D.[2√5,4√5]答案:B解析:由题意,得A (0,0),B (1,3),因为1×m+m×(-1)=0,所以两直线垂直, 所以点P 在以AB 为直径的圆上,所以PA ⊥PB. 所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10, 设∠ABP=θ,则|PA|+|PB|=√10sin θ+√10cos θ =2√5sin (θ+π4). 因为|PA|≥0,|PB|≥0, 所以0≤θ≤π2.所以√10≤|PA|+|PB|≤2√5,故选B .10.(2014四川,文10)已知F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.17√28D.√10答案:B解析:设AB 所在直线方程为x=my+t.由{x =my +t ,y 2=x ,消去x ,得y 2-my-t=0.设A (y 12,y 1),B (y 22,y 2)(不妨令y 1>0,y 2<0), 故y 12+y 22=m ,y 1y 2=-t. 而OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 12y 22+y 1y 2=2.解得y 1y 2=-2或y 1y 2=1(舍去). 所以-t=-2,即t=2.所以直线AB 过定点M (2,0). 而S △ABO =S △AMO +S △BMO =12|OM||y 1-y 2|=y 1-y 2, S △AFO =12|OF|×y 1=12×14y 1=18y 1, 故S △ABO +S △AFO =y 1-y 2+18y 1=98y 1-y 2.由98y 1-y 2=98y 1+(-y 2)≥2√98y 1×(-y 2)=2√98×2=3, 得S △ABO +S △AFO 的最小值为3,故选B .第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014四川,文11)双曲线x 24-y 2=1的离心率等于 . 答案:√52解析:∵x 24-y 2=1,∴a 2=4,b 2=1,∴c 2=a 2+b 2=5,∴a=2,c=√5, ∴e=c a=√52.12.(2014四川,文12)复数2-2i1+i= .答案:-2i 解析:2-2i 1+i=(2-2i )(1-i )(1+i )(1-i )=2(1-i )22=-2i.13.(2014四川,文13)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )={-4x 2+2,-1≤x <0,x ,0≤x <1,则f (32)= .答案:1解析:∵f (x )的周期为2,∴f (32)=f (32-2)=f (-12).又∵当x ∈[-1,0)时,f (x )=-4x 2+2,∴f (-12)=-4×(-12)2+2=1.14.(2014四川,文14)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=m a+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=.答案:2解析:∵a=(1,2),b=(4,2),∴c=m a+b=(m+4,2m+2).又∵c与a的夹角等于c与b的夹角,∴cos<c,a>=cos<c,b>,∴c·a|c||a|=c·b|c||b|,即c·a|a|=c·b|b|,∴√5|c|=√20|c|,∴√5=√20,∴10m+16=8m+20,∴m=2.15.(2014四川,文15)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;②若函数f(x)∈B,则f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=a ln(x+2)+xx2+1(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)答案:①③④解析:对于①,若对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,则f(x)的值域必为R.反之,f(x)的值域为R,则对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,故正确.对于②,比如对f(x)=sin x(x∈(-π2,π2))∈B,但它无最大值也无最小值.对于③,∵f(x)∈A,∴f(x)∈(-∞,+∞).∵g(x)∈B,∴存在正数M使得-M≤g(x)≤M, 故f(x)+g(x)∈(-∞,+∞),∴f(x)+g(x)∉B,正确.对于④,-12≤xx2+1≤12,当a>0或a<0时,a ln x∈(-∞,+∞),f(x)均无最大值,若f(x)有最大值,则a=0,此时f(x)=xx2+1,f(x)∈B,故正确.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014四川,文16)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.分析:(1)利用列举法分别求出基本事件空间和所求事件包含的基本事件,然后代入古典概型公式求解;注意该题抽取方式为有放回地抽取,故a,b,c可取相同的数字;(2)因为a,b,c不完全相同包含的基本事件较多,故可转化为其对立事件“a,b,c相同”的概率求解.解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2 ,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.所以P(A)=327=19.因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B, 则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为89.17.(本小题满分12分)(2014四川,文17)已知函数f(x)=sin(3x+π4).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f(α3)=45cos(α+π4)cos2α,求cosα-sinα的值.分析:(1)利用换元法,将3x+π4视为整体t,即可将其转化为y=sin t的单调增区间,然后解不等式即得;(2)首先代入f(α3),然后化简等式,根据sinα+cosα是否为0进行分类讨论,即可求得cosα-sinα的值.解:(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z,由-π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,得-π4+2kπ3≤x≤π12+2kπ3,k∈Z,所以,函数f(x)的单调递增区间为[-π4+2kπ3,π12+2kπ3],k∈Z.(2)由已知,有sin(α+π4)=45cos(α+π4)(cos2α-sin2α),所以,sinαcosπ4+cosαsinπ4=45(cosαcosπ4−sinαsinπ4)(cos2α-sin2α),即sinα+cosα=4(cosα-sinα)2(sinα+cosα).5当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=3π+2kπ,k∈Z.4此时,cosα-sinα=-√2..当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=54由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,.此时cosα-sinα=-√52.综上所述,cosα-sinα=-√2或-√5218.(本小题满分12分)(2014四川,文18)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1;(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.分析:(1)首先利用两个矩形中的垂直关系证明AA1⊥平面ABC,进而得到AA1⊥BC,然后结合已知AC⊥BC即可证得结论;(2)当M为线段AB中点时,取平行四边形ACC1A1的对角线交点O,即可利用中位线的性质构造平行关系证明DE∥平面A1MC.解:(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线,所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.又由已知,AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,所以BC⊥平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知,O为AC1的中点.连接MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线.所以,MD 12AC ,OE 12AC , 因此MD OE.连接OM ,从而四边形MDEO 为平行四边形, 则DE ∥MO.因为直线DE ⊄平面A 1MC ,MO ⊂平面A 1MC , 所以直线DE ∥平面A 1MC.即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点),使直线DE ∥平面A 1MC.19.(本小题满分12分)(2014四川,文19)设等差数列{a n }的公差为d ,点(a n ,b n )在函数f (x )=2x 的图象上(n ∈N *). (1)证明:数列{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,函数f (x )的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln2,求数列{a n b n 2}的前n 项和S n .分析:(1)利用点(a n ,b n )在函数图象上建立a n 与b n 的关系式,然后利用等差数列和等比数列的定义证明结论;(2)先利用导数几何意义求出函数f (x )的图象在点(a 2,b 2)处的切线方程,根据已知截距求出a 2的值,从而求出数列{a n b n 2}的通项公式,然后根据通项的结构特征利用错位相减法求和.(1)证明:由已知,b n =2a n >0.当n ≥1时,b n+1b n=2a n+1-a n =2d .所以,数列{b n }是首项为2a 1,公比为2d 的等比数列.(2)解:函数f (x )=2x 在(a 2,b 2)处的切线方程为y-2a 2=(2a 2ln 2)(x-a 2),它在x 轴上的截距为a 2-1ln2. 由题意,a 2-1ln2=2-1ln2. 解得a 2=2.所以,d=a 2-a 1=1,a n =n ,b n =2n ,a n b n 2=n ·4n .于是,T n =1×4+2×42+3×43+…+(n-1)·4n-1+n ·4n , 4T n =1×42+2×43+…+(n-1)×4n +n ·4n+1. 因此,T n -4T n =4+42+…+4n -n ·4n+1=4n+1-43-n ·4n+1=(1-3n )4n+1-43.所以,T n =(3n -1)4n+1+49. 20.(本小题满分13分)(2014四川,文20)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F (-2,0),离心率为√63.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设O 为坐标原点,T 为直线x=-3上一点,过F 作TF 的垂线交椭圆于P ,Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.分析:(1)由焦点可求c ,然后利用离心率即可求a ,再求b ,即可求得方程;(2)由题意设T (-3,m ),然后利用TF ⊥PQ 求出PQ 的斜率,从而设出直线PQ 方程,与椭圆C 方程联立后,根据平行四边形OPTQ 的性质:对边平行且相等,即可求出m 的值,最后将四边形OPTQ 的面积转化为△OPQ 面积的两倍求解.解:(1)由已知可得,c a=√63,c=2,所以a=√6.又由a 2=b 2+c 2,解得b=√2, 所以椭圆C 的标准方程是x 26+y 22=1. (2)设T 点的坐标为(-3,m ), 则直线TF 的斜率k TF =m -0-3-(-2)=-m. 当m ≠0时,直线PQ 的斜率k PQ =1m,直线PQ 的方程是x=my-2. 当m=0时,直线PQ 的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得{x =my -2,x 26+y 22=1.消去x ,得(m 2+3)y 2-4my-2=0, 其判别式Δ=16m 2+8(m 2+3)>0. 所以y 1+y 2=4m m 2+3,y 1y 2=-2m 2+3, x 1+x 2=m (y 1+y 2)-4=-12m 2+3. 因为四边形OPTQ 是平行四边形, 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =QT ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x 1,y 1)=(-3-x 2,m-y 2). 所以{x 1+x 2=-12m 2+3=-3,y 1+y 2=4mm 2+3=m .解得m=±1.此时,四边形OPTQ 的面积S OPTQ =2S OPQ =2×12·|OF|·|y 1-y 2|=2√(4m m 2+3)2-4·-2m 2+3=2√3.21.(本小题满分14分)(2014四川,文21)已知函数f (x )=e x -ax 2-bx-1,其中a ,b ∈R ,e =2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2<a<1.分析:(1)先利用求导求出g(x)的解析式,再求出其导函数g'(x),根据a的不同取值分类讨论g'(x)的符号变化,判断其单调性,从而求其最值;(2)先根据已知分析f(x)在(0,1)上的单调性与零点个数,将其转化为g(x)的零点个数,进而利用(1)中的结论判断a的范围及其零点所在区间,结合函数g(x)在区间端点处的函数值及f(1)=0即可证得结论.解:(1)由f(x)=e x-ax2-bx-1,有g(x)=f'(x)=e x-2ax-b.所以g'(x)=e x-2a.当x∈[0,1]时,g'(x)∈[1-2a,e-2a].当a≤12时,g'(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上单调递增,因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当a≥e2时,g'(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减,因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b;当12<a<e2时,令g'(x)=0,得x=ln(2a)∈(0,1).所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2a ln(2a)-b.综上所述,当a≤12时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当12<a<e2时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2a ln(2a)-b;当a≥e2时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由f(0)=f(x0)=0可知f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a≤12时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.当a≥e2时,g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.所以12<a<e2.此时g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.因此x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0.由f(1)=0有a+b=e-1<2,有g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0.解得e-2<a<1.所以,函数f(x)在区间(0,1)内有零点时,e-2<a<1.。
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2014四川省高考压轴卷数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
满分150分。
考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={|ln(1)x y x =-}，集合N={|,x y y e x R =∈}，(e 为自然对数的底数) 则M N =（ ）A ．{|1x x <}B ．{|1x x >}C ．{|01x x <<}D ．∅ 2.已知i 为虚数单位，复数z ＝i （2一i ）的模｜z ｜＝（ ）A. 1B.C D.33. 函数 y=log 2(x 2＋2x －3)的单调递减区间为 （ ） A ．（－∞，－3） B ．（－∞，－1） C ．(1，+∞)D ．(－3，－1)4.在等差数列{}n a 中，1315310a a a ++=，则5a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55.函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是（ ）6. 运行右图所示框图的相应程序,若输入,a b 的值分别为 2log 3和3log 2,则输出M 的值是（ ）A.0B.1C. 2D. －17.已知不重合的直线m 、l 和平面αβ、，且m α⊥，l β⊂．给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥；②若αβ⊥，则//m l ；③若m l ⊥，则//αβ；④若//m l ，则αβ⊥， 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB= BC=1，则球O 的表面积为( )(A)2(B) 32π (C) 3π (D) 12π9.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼一15飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法种数为（ ）A. 12 B ．18 C ．24 D.4810.定义域为R 的函数()f x 满足(2)2(f x f x +=，当[0,2x ∈时，23||2,[0,1),()1(),[1,2),2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩若当[4,2)x ∈--时，函数21()42t f x t ≥-+恒成立，则实数t 的取值范围为( )(A)23t ≤≤ (B)13t ≤≤ (C)14t ≤≤ (D)24t ≤≤第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。
作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。
答在试题卷上无效。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .12．函数＝＿＿＿13．设(2x -3)6=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+ a 6(x -1)6，则a 4= . 14．.如图为函数f(x) ＝tan （42x ππ-）的部分图象，点A 为函数f （x ）在y 轴右侧的第一个零点，点B 在函数f(x)图象上，它的纵坐标为1，直线AB 的倾斜角等于＿＿＿＿．15．已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--．当(2,3)x ∈时，2()log (1)f x x =-给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点(k ，0)(k ∈Z)成中心对称； ②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数； ③当(1,0)x ∈-时，2()log (1)f x x =--； ④函数(||)y f x =在(k ，k+1)( k ∈Z)上单调递增． 其一中所有正确结论的序号为三、解答题：共6大题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C的对边，（1）求角A 的大小；17．（本小题满分12分）某品牌汽车4S 店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表示所示： 付款方式 分1期 分2期 分3期分4期 分5期频数4020a10b已知分3期付款的频率为0.2，4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，用Y 表示经销一辆汽车的利润。
（1）求上表中,a b 的值；（2）若以频率作为概率，求事件A ：“购买该品牌的3位顾客中，至多有一位采用分3期付款”的概率()P A ；（3）求Y 的分布列及数学期望EY 。
18．（本小题满分12分）三棱锥P−ABC 中,PA ⊥平面ABC,AB ⊥BC. （Ⅰ）证明:平面PAB ⊥平面PBC； （Ⅱ）若PA =PC 与侧面APB 所成角的余弦值为3，PB 与底面ABC 成60°角，求二面角B―PC―A 的大小.19．（本题满分12分）已知函数()2f x x =在（0，+∞）上的最小值是n a （n ∈N +））． （1）．求数列｛n a ｝的通项公式． （2）．证明：22322211111na a a a ++++<21． （3）．在点列(2,)n n A n a …….中是否存在两点A i ,A j 其中i, j ∈N + ．，使直线A i A j 的斜率为1，若存在，求出所有数对i, j ．，若不存在，说明理由．20．（本题满分1312||2F F =，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的周长为6。
（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(2,1)，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设线段AB 的21、（本小题满分14）设函数()ln ,()f x x ax a R =-∈. （I ）判断函数()f x 的单调性；（II ）当ln x ax <对于(0,)x ∈+∞上恒成立时，求a 的取值范围； （III ）若,k n N *∈，且1k n ≤≤， 证明：111111(1)121(1)(1)(1)(1)n n n n n k n e e n n n n++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+>--++++数学参考答案及评分意见（文史类）第Ⅰ卷（选择题，共50分）1、【答案】C【解析】试题分析： 由已知，{|10}{|1}M x x x x =->=<，{|0}N y y =>， 所以，{|01}MN x x =<<，选C .考点：集合的运算,函数的定义域、值域. 2、【答案】C【解析】因为z ＝i （2一i ）12,i z =+=所以3、【答案】A【解析】由2230x x +->得x<-3或x>1，又函数223t x x =+-在区间()∞-,-3内单调递减，所以函数y=log 2(x 2＋2x －3)的单调递减区间为（－∞，－3）。
4、【答案】A【解析】在等差数列{}n a 中，因为1315310a a a ++=，所以152010a d +=，所以5a =2.5、【答案】A【解析】试题分析：函数x x y sin =是偶函数，所以，其图象关于y 轴对称，排除D ； 由x π=时，0y =，排除C ； 由 2x π=时，2y π=，排除B ；选A .考点：函数的奇偶性，函数的图象.6、【答案】C【解析】因为23log 31log 2>>，所以321log 2log 312M ab =+=⋅+=7、【答案】B【解析】试题分析：因为m α⊥，//αβ，所以，m β⊥，又l β⊂，所以， m l ⊥.①正确；因为m α⊥，αβ⊥，所以m //β或m β⊂，又l β⊂，所以//m l 或,m l 相交或,m l 互为异面直线. ②不正确；因为m α⊥，m l ⊥，所以l α⊥，又l β⊂，所以αβ⊥，故③不正确，④正确. 选B .考点：平行关系，垂直关系. 8、【答案】C【解析】试题分析：因为AB BC ⊥，所以AC 是ABC ∆所在截面圆的直径， 又因为SA ⊥平面ABC ，所以SAC ∆所在的截面圆是球的大圆 所以SC 是球的一条直径由题设1SA AB BC ===，由勾股定理可求得：AC SC ==所以球的半径2R =所以球的表面积为243ππ⨯=⎝⎭所以应选C.考点：1、圆内接几何体的特征；2、球的表面积公式. 9、【答案】C【解析】把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有22224A A =种方法； 再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有236A =种方法，由分步计算原理可得总的方法种数为：22222324A A A =10、【答案】B【解析】试题分析：因为当[4,2)x ∈--时，函数21()42t f x t ≥-+恒成立，所以2min1()42t f x t ≥-+.又当[4,3)x ∈--时，21111()(2)(4)[(4)(4)][,0]24416f x f x f x x x =+=+=+-+∈-；当[3,2)x ∈--时，3|4|211111()(2)(4)[()][,244248x f x f x f x +-=+=+=-∈--；所以min 1()4f x =-，即211442t t -≥-+，解得13t ≤≤考点：不等式恒成立，分段函数解析式第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）11、【答案】43π 【解析】试题分析：所求几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱与半径为1的四分之一的球的组合体，所以体积为23144111.433πππ⨯⨯+⨯⨯=考点：三视图12、【答案】【解析】21111()log 2,()(2)4449f f f f ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭所以 13、【答案】240【解析】在己知等式中以x+1代x 得：(2x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+ a6x6， ∴a4是(2x-1)6的展开式含x4项系数，()224621240C ⋅-=14、【答案】4π【解析】由tan 0=,244242x x k x k πππππ⎛⎫-=-=+⎪⎝⎭得即，所以A 点的坐标为（2,0）；由tan 1=,3442424x x k x k ππππππ⎛⎫-=-+=+⎪⎝⎭得即，所以B 点的坐标为（3,1），所以10132AB k -==-，所以直线AB 的倾斜角等于4π。