大学物理chpt3-1 2

2
（2）平行轴定理
若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体 对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是
J z J c md
Jc 1 2
2
2
mR
2
Jz
3 2
Jc
R
m
Jz
1 2
mR mR
2
mR
2
例3-4 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，
半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）
（1） o 0

M J0 mgl 6 ml
2

3g 2l
9
（2）
M J
1 9
d dt
A
1 9 ml
2
c
o

B
mg
l 6
cos
ml
2
d dt
d d
d
3g 2l
cos d
3g l
3g 2l


0
d
2

2
3g 2l
cos d
T1
m1(m 4m 2 ) g m 2(m1 m 2 )
m 2 (m 4m1) g m 2(m1 m 2 )
T2
例3-8 一半径为R，质量为m均质圆盘，平放在粗糙
的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦因数为 ，令圆盘 最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问 它经过多少时间才停止转动？
一、对转轴的力矩
对转轴力矩的定义：
M F

对于定轴转动，M的方向与转轴平行
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
ri × Fi + ri × f i = Δ mi ri × a i
(ri F ) (ri f i ) Δmi ri ai
其中：
ri ain 0
2 | ri aiτ | ri aiτ ri 方向总是沿转轴
2 M z Δmi ri
ri
2
转动惯量：
转动定律：
J mi ri
Mz J
mi
at
刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与 它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯 量成反比。
角速度的大小：
d dt
角速度 的方向： 由右手螺旋法则确定。右手弯曲的四指沿转 动方向，伸直的大拇指即为角速度的方向。 线速度与角速度之间的关系：



Z
v r
角加速度矢量：
d dt
r
v


d dt

增大

其方向与 d 方向一致

i
z
fi
Fi + f i = Δ mi a i
ri
mi
Fi
合外力矩： 合内力矩： 加速度：
ri f i 0
M z ri Fi
ai ait ain
M z (Δmi ri ait ) (Δmi ri ain )
体的形状、大小、质量分布以及转轴的位置 有关。
计算转动惯量：
（1）由定义计算转动惯量
例3-1 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心并
与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：选质元dm如图所示
dm 2 rdr
J r dm 2 r dr
2
3
r
dr
J 2 r dr
3 0
R
R
2
4

1 2
mR
2
例3-2 计算质量为m，长为l的细棒绕质心转动惯量。
解：选质元dm如图所示
J
z o
dx
r
2
2
dm
m l
dm x dx x
dm dx
r x
l
2
l
J

2 l 2
x
2
m l
dx
m 3l
x
3 2 l 2
J
1 12
ml
2
例3-3 计算质量为m，长为l的细棒绕一端的转动惯量。
解：选质元dm如图所示 z
J r dm
2
dm dx
m l
o
dx
dm
x
dx
x
r x
2
2
J

l
x
2
2
m l
dx
2
1m 3 l
x
l
3
l 0
J
1
2
1 3
ml
2
0
l J ml ml m ml m 3 12 4 12 2 1 1
2

0

1 2

3g 2l
sin
2
0
α =0
例3-7 一细绳跨过定滑轮，在绳的两端各悬质量为m1和m2的
物体，其中m1>m2,求它们 的加速度及绳两端的张力T1和T2(滑轮 质量为m半径为R)
解:分别隔离m1、m2和滑轮分析受力
T1
a
m
m1
T1
T2
T2
m2
a
R
m
m m2
解： 对滑轮，据刚体的定轴转动定律
1 1 2 a R T J MR k T Ma 2 R 2
mg - T = ma
a mg mM 2
1 2 at =
2
T'
R
M

8 10 88
2
5 m/s
2
T
m m
h=
1 2
× 5 × 1 = 2.5 m
m1g
m2g
m1
以向上和垂直直面向外的方向为正向：
对于m1： T1 m 1 g
m 1a
对于m2： T 2 - m 2 g = m 2 a
对于滑轮：T 1 R
T2 R J ( J
1 2
mR
2
)
又绳和滑轮间无相对滑动 则： a R
解得： a
2(m1 - m 2 ) g m 2(m1 m 2 )
注意： （1）M和J均对于同一转轴而言
(2)M 与 的 方 向 始 终 保 持 一 致
三、转动惯量


M J
转动惯量的物理意义：反映刚体转动惯性的量度
转动惯量的定义式：
连续体的转动惯量：
J mi ri
2
J r dm
2
注： 转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚
mg
T=
1 2
× 16 × 5 = 40 N
例3-6
一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在o点，距A端 l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动，求：（1）水 平位置的角速度和角加速度。（2）垂直位置时的角速度和角 加速度。
解：
1
J o J c md
2 2
2
A o
c
B
1 l 2 J0 ml m ml 12 9 6
第三章
刚体力学基础
刚体：形状和大小都不变的物体。 实质上可以把刚体看作是质量连续分布的 且任意两质量元之间距离保持不变的质点系。
§3-1
刚体运动概述
一、刚体的基本运动
平动： 刚体在运动过程中，其上任意两点的连
线始终保持平行。
注：可以用质点动力学
的方法来处理刚体 的平动问题。
转动： 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运
解： 把圆盘分成许多环形 质元，每个质元的质量 dm=2πrdre ， e 是 盘 的 厚 度，质元所受到的阻力矩 为 rdmg 。 圆盘所受阻力矩为
M
r

d
r dr R e

r d mg
g e 2
r
2
dr

2 3
geπR
3
m=eR2
M
r

2 3
μ mgR
由定轴转动定律：
动。这种运动称为刚体的转动。这条直 线称为转轴。
定轴转动：
转轴固定不动的转动。
二、自由度
所谓自由度就是决定系统在空间的位置所需要 的独立坐标的数目。 质点： (x, y, z) i=3
C(x,y,z)
做直线运动的质点： 1个自由度 做平面运动的质点： 2个自由度 做空间运动的质点： 3个自由度 物体有几个自由度，它的运动定律就归结为几个独 立的方程。
运动刚体： 随质心的平动 + 绕过质心轴的转动 自由刚体有 6个自由度： 确定质心位置 3个平动自由度 (x, y, z) 确定过质心轴位置 2个转动自 由度 (， ) 确定定轴转动角位置 1个转动 自由度 ( ) 刚性细棒： i = 3个平动自由度 + 2个转动自由度= 5个自由度
三、角速度的矢量性 角加速度
r


v
也就是与 增加方向一致


讨论：当 随时间 增大时
与方向一致 当 随时间 减小时 与方向相反
减小

r
v


角量和线量的关系：
对于刚体上的某一质点：
v r aτ r
a n = rω
2


r
v
§3-2 定轴转动定律

2 3
mgR J