河南省豫南九校2017届高三下学期质量考评七数学理试题Word版含答案

豫南九校2016—2017学年下期质量考评七高三数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}21|60,|lg A x x x B x y x ⎧⎫=-++≥==⎨⎬⎩⎭，则A B = A.(]0,3 B.()()0,11,3 C. ()(]0,11,3 D.()0,32.已知复数4z a i =+，若复数13zi-为纯虚数，则在复平面内，复数z 所对应的点位于 A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知圆()221:82100x y ax y a Ω+--+=>与直线43100x y -+=相切，圆()()221:4216x y Ω-+-=，则圆1Ω与圆2Ω的公切线的条数为A. 1B. 2C. 3D. 4 4.已知函数()sin 2sin 23xxf x -=-+，则()()34lglog 4lglog 3f f +=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦A. 0B. 3C. 6D. 95.已知A,B 为双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>虚州的两个端点，F 为双曲线Γ的一个焦点，过A 点且与x 轴平行的直线与直线BF 交于C 点，若4BC a =，则双曲线Γ的渐近线方程为 A. 3y x = B. 10y x = C. 6y x = D. 14y x = 6.在《算法统宗》中，有一“以碗知僧”的问题，具体如下：“巍巍古寺在山中，不知寺中几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争三人共食一碗饭，四人共进一碗羹.请问先生能算者，都来寺内几多僧.”记该寺内的僧侣人数为0S ，运行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为 A.414 B. 504 C. 462 D.5407.如图，面积为的等边三角形中，D 是AB 边上的靠近B 的三等分点，连接CD,E 是线段CD 的中点，连接AE,F 为线段AE 的中点，连接BF,则AE BF ⋅= A. 239-B. 469-C. 463-D. 233-8.已知等边三角形ABC 中，D,E 分别为AB,AC 边上靠近B,C 的三等分点，连接DE,圆O 是ADE ∆的内切圆，,DG BC EF BC ⊥⊥.若往ABC ∆内任意投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 A.1433π+ B. 4439π+ C.1833π+ D. 4839π+9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，()264f x x x =++，则()()230y f x f x =+-⎡⎤⎣⎦的零点个数为A. 2B. 4C. 6D. 810.已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>在5,612ππ⎛⎫⎪⎝⎭上仅有1个最值，且为最大值，则实数ω的值不可能是 A.45 B. 76 C. 32 D.5411.如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.323 B. 643C.16D.16312.若关于x 的不等式()2ln xe ax x x n N ≥+∈在()0,+∞上恒成立，则a 的最大值为 A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.()532x -的展开式中含6x 的项的系数为 .14.已知实数,x y满足2402333300x yx yx y--≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则()2logz x y=+的最大值为 .15.现将“”和“O”按照如下规律从左到右进行排列：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,O O O O O O O O O O O O O O O O若每一个“”或“O”占一个位置，即上述图形中，第一位是“”，第4位为“O”，第7位是“”，则在第2017位之前（不含第2017位），“O”的个数是16.已知三棱锥P ABC-中，平面PAC⊥平面ABC，321,90,120BC PA PAC BAC==∠=∠=,则三棱锥P ABC-的外接球的表面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列21nan⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n项和为nS，且144.5nn nS++=（1）求数列{}n a的通项公式；（2）求数列{}n a的前n项和n T.18.（本题满分12分）在一次体能测试中，某学校对该校甲乙两个班级作抽样调查，所得10名学生的成绩如下表所示：（1）将甲、乙两个班考生的成绩整理在如图所示的茎叶图中，并分别计算甲、乙两个班考生成绩的平均数；（2）若在乙班被抽取的10名考生中任选3人参加体能测试，求被抽到的3人中，至少有2人成绩超过80分的概率；（3）若以甲班的体能测试情况估计该校所有学生的体能状况，则从该校随机抽取4人，记成绩在80分以上（含80分）的人数为X，求X的分布列及期望.19.（本题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面,,290,SAB BC SA SAB BSA =∠=∠=1//,2BC AD AB BC AD ==. （1）判断在线段SA 上是否存在点E ，使得//BE 平面SCD ，若存在求出点E 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； （2）求二面角B SD C --的余弦值.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且椭圆C 的离心率为2，过2F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于,A B 两点，且2AB =，动点,,P Q R 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）记椭圆C 的左、右顶点分别为12,A A ，且直线12,PA PA 的斜率分别是直线,OQ OR （O 为坐标原点）的斜率相同，动点,,P Q R 不与12,A A 重合，求ORQ ∆的面积.21.（本题满分12分） 已知函数()1ln .2f x x x x =-（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若12,x x 是方程()f x a =的两个不同的实数解，证明：()121220e x x x x +->.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 4.ρθρθ-=（1）若4πα=，求直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M,N 两点，且12MN =，求直线l 的斜率.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()223 3.f x x x =-++ （1）解不等式()15;f x >（2）若函数()f x 的最小值为m ，正实数,a b 满足425a b m +=，证明：1149.10a b +≥.豫南九校2016—2017学年下期质量考评七高三数学（理）参考答案1．C 【解析】依题意，2{|60}{|23}A x x x x x =--≤=-≤≤，{|01}B x x x =>≠且，所以(0,1)(1,3]AB =，故选C.2．A 【解析】由4i z a =+，得(4i)(13i)3i 4i 1213i (13i)(13i)10z a a a ++++-==--+，又13iz -为纯 虚数，所以120,340.a a -=⎧⎨+≠⎩解得12a =，故在复平面内，复数z 所对应的点为(12,4)，位于第一象限，故选A.3．B 【解析】因为圆221:8210(0)x y ax y a Ω+--+=>与直线43100x y -+=相切，所以222545a a --=，因为0a >，解得6a =，即圆1Ω：22(3)(4)4x y -+-=，故两圆的圆心距为5，因为42542-<<+，故圆1Ω与圆2Ω相交，有2条公切线，故选B.4．C 【解析】令()sin 2sin 2xxg x -=-，可知函数()g x 为奇函数，依题意，1433lg(log 3)lg[(log 4)]lg(log 4)-==-，令4lg(log 3)t =，故问题转化为求()()f t f t +-的值.即()()()()66f t f t g t g t +-=+-+=，故选C.5．C 【解析】由于||4BC a =，O 为AB 的中点(O 为坐标原点)，又AC x ∥轴，所以||2BF a =，在Rt BOF △中有222(2)b c a +=，又222+a b c =，可得2223b a =，故所求的渐近线方程为62y x =±，故选C. 6．C 【解析】设僧侣人数为x ，则0036434S S +=，则0624S =；运行该程序，第一次，2i =， 62412612S =-=，第二次，3i =，61218594S =-=，第三次，4i =，59424570S =-=，第四次，5i =，57030540S =-=，第五次，6i =，54036504S =-=，第六次，7i =，50442462S =-=，此时输出的S 的值为462，故选C.7．B 【解析】因为等边三角形的面积为43 4.取边BC 的中点O ，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ，423(,33D -，13(3E ，173()6F ，故1531373(,),()36AE BF =-=，故469AE BF ⋅=-，故选B.8．B 【解析】不妨设等边ABC △的边长为6，则ABC △的面积为23693⨯=.根据题 意知，ADE △为等边三角形且边长为4，所以ADE △的面积为43，故ADE △的内切圆O 的半径为3，所以圆O 的面积为24()33S π=π=.又12,60,,3DB AB B DG BC ==∠=⊥所以3DG =，所以矩形DEFG 的面积为43.故阴影部分的面积为4433π+，所以所求概率为434433981934π+π=+，故选B.9．A 【解析】令2[()]()300y f x f x =+-=，解得()6()5f x f x =-=或.作出函数()f x 的图象如下所示，观察可知，()6f x =-无解，()5f x =有两解，故2[()]()30y f x f x =+- 的零点个数为2，故选A.10．C 【解析】依题意，()2)4f x x ωπ=+，又()f x 在5(,)612ππ上仅有1个最值，且为最大值，根据三角函数的图象与性质知，52()642124k k ωωπππππ+<+π<+∈Z 且51262T ππ-≤（T 为其最小正周期），解得()324312552Z k k k ω+<<+∈，且4ω≤，即3352ω<<，观察A B C D 、、、四个选项可知，选C. 11． A 【解析】作出该几何体的直观图如下所示，观察可知，该几何体表示三棱锥A BCD -，故体积1132(44)4323V =⨯⨯⨯⨯=，故选A.12．C 【解析】依题意，得 2e ln x ax x x -≥对一切0x >恒成立，当1x =时，可得e a ≤，所以若存在，下面证明当2a =时，不等式恒成立，设2e 2()ln x f x x x x =-- ，则323(2)e 21(2)(e )()x x x x x f 'x x x x x ---=+-=，因为e 0(0)x x x ->> ，所以当02x <<时，()0f 'x < ；当2x >时，()0f 'x > ，即()f x 在(0,2)上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，所以22111()(2)(e 44ln 2)(2.744ln 2)(3ln16)0444f x f ≥=-->-->-> ,所以当2a =时，不等式恒成立，综上所述，a 的最大值为2，故选C.13．720- 【解析】25(32)x -的展开式的通项是525255C 3(2)C 3(2)()r r r r r r rx x ---=-，根据题意，得26r =，解得3r =.因此6x 的系数为3325C (2)3720-⨯=-.14.4 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示，要想2log ()z x y =+取得最大值，只需z'x y =+取得最大值即可.观察可知，当直线z'x y =+过点()9,7B 时，z'有最大值16，故2log ()z x y =+的最大值为4.15．1971 【解析】记“□，○”为第1组，“□，○，○，○”为第2组，“□，○，○，○，○，○”为第3组，以此类推，第k 组共有2k 个图形，故前k 组共有(1)k k +个图形，因为44451980201645462070⨯=<<⨯=，所以在这2016个图形中有45个“□”，1971个“○”.16．56π 【解析】因为平面PAC ⊥平面ABC ，90PAC ∠=，所以PA ⊥平面ABC ，记ABC △的外接圆圆心为1O 、半径为r ，三棱锥P ABC -的外接球球心为O 、半径为R .易知1OO A △为直角三角形，即222()2PA R r =+，因为2122732r ==，7PA =故214R =，故三棱锥P ABC -外接球的表面积为56π. 17．【解析】（1）依题意，当1n =时，11645a +=，解得145a =.（2分） 当2n ≥时，1445n n n S ++=①，11445nn n S --+=②，-①②得4215n n n a n =-，即4(21)5nn n a n =-⋅.（4分） 经检验，1n =也符合4(21)5n n n a n =-⋅，所以4(21)5nn n a n =-⋅.（5分）（2）依题意，23444413()5()(21)()5555n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯③，45⨯③，得2341444441()3()5()(21)()55555n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⋅④，（7分） ③-④得23411444444422()2()2()2()(21)()55555555n n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯---⨯，（9分）化简可得，436(368)()5n n T n =-+.（12分） 18．【解析】（1）茎叶图如下所示：（2分） 故甲班考生成绩的平均数为1×(67+67+70+72+75+79+80+82+88+90)7710，乙班考生成绩的平均数为1×(69+69+71+73+75+80+81+82+89+91)=7810. （4分）（2）记至少2人成绩超过80分为事件A ，则213464331010C C C 1()C C 3P A =+=.（7分） （3）依题意，X 的可能取值为0,1,2,3,4，则2(4,)5XB4381(0)()5625P X ===，13432216(1)C ()()55625P X ===， 222432216(2)C ()()55625P X ===，3343296(3)C ()()55625P X ===， 4216(4)()5625P X ===. 故X 的分布列为X0 1 2 3 4P 81625216625 2166259662516625（10分）28()455E X =⨯=.（12分） 19．【解析】（1）取SA 的中点E ，SD 的中点F ，连接BE EF CF 、、.（2分）因为E F 、分别为,SA SD 的中点，所以EF AD ∥，且12EF AD =.又BC AD ∥，12BC AD =，所以四边形CBEF 为平行四边形，所以BE CF ∥.因为BE ⊄平面SCD ，CF ⊂平面SCD ，所以BE ∥平面SCD .（4分）故在线段SA 上是存在一点E ，使得BE ∥平面SCD .（5分）（2）因为BC AD ∥，,BC SA ⊥所以AD SA ⊥（6分）因为平面SAD ⊥平面SAB ，平面SAD 平面SAB SA =，故AD ⊥平面SAB ，故AD AB ⊥，又90SAB ∠=，故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.（8分） 不妨设1AB =，其中()0,0,0A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)S ，所以(1,1,0)CD =-，(1,1,1)SC =-，(1,0,1)SB =-，(0,2,1)SD =-，设111(,,)x y z =n 为平面SCD 的法向量，则0CD SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即1111100x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩，，令21y =，所以111,2x z ==，即(1,1,2)=n 为平面SCD 的一个法向量.（9分）设222(,,)x y z =m 为平面SBD 的法向量，则00SB SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ,即22220,20,x z y z -=⎧⎨-=⎩，令21z =，所以2211,2x y ==，即1(1,,1)2=m 为平面SBD 的一个法向量.（10分）所以||76cos,||||⋅<>==m nm nm n．又二面角B SD C--的平面角为锐角，所以二面角B SD C--的余弦值为7618.（12分）20．【解析】（1）联立方程得2222,1,x cx ya b=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2bya=±，故22||2bABa==，即21ba=，又22ca=，222a b c-=，所以2,2,2a b c===（3分）故椭圆C的标准方程为22142x y+=.（4分）（2）由（1）知，12(2,0),(2,0)A A-，设00(,)P x y，则1220002000224PA PAy y yk kx x x⋅=⋅=+--，又2200142x y+=，即220042x y-=-，所以1212PA PAk k⋅=-，所以1212OQ OR PA PAk k k k⋅=⋅=-.当直线QR的斜率不存在时，直线,OQ OR的斜率分别为22,22-22,22-，不妨设直线OQ的方程是22y x=，由22242x yy x⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x=±1y=±．取2,1)Q，则2,1)R-，所以OQR△2.（6分）当直线QR 的斜率存在时，设方程为(0)y kx m m =+≠．由22240y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩得222(21)4240k x kmx m +++-=．因为,Q R 在椭圆C 上，所以2222164(21)(24)0k m k m ∆=-+->，解得22420k m -+>．设11(,)Q x y ,22(,)R x y ,则122421kmx x k +=-+，21222421m x x k -=+.（8分）所以22222121222424||(1)[()4](1)[()4]2121km m QR k x x x x k k k -=++-=+--⨯++222222(1)(42)2(21)k k m k +-+=+．设点O 到直线QR 的距离为d ，则2||1m d k =+．所以OQR △的面积为2222212(42)2(21)OQRm k m S d QR k -+=⨯⨯=+△，⋅⋅⋅⋅⋅⋅①．（10分） 因为121212OQ OR y y k k x x ⋅==-， 所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2224=.24m k m -- 由22241242m k m -=--，得2221k m +=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅②． 由①②，得222222(2)2()OQRm m m S m -==△．综上所述，OQR △的面积为2．（12分） 21．【解析】（1）依题意，11()1(ln 1)(1ln )22f 'x x x =-+=-，（1分） 令()0f 'x >，则1ln 0x ->，解得0e x <<， 故函数()f x 的单调增区间为(0,e)；（4分）（2）不妨设12x x <，由()f x a =得，1ln 02x x x a --=，令1()ln 12a g x x x =+-， （5分）令1t x =，则1()ln 12g t at t =--， 由题意，知方程1ln 102at t --=有两个根12,t t ， 即方程ln 22t a t+=有两个根12,t t ，不妨设111t x =， 221t x =．令t t t h 22ln )(+=，则221ln )(tt t h +-='， 由0)(>'t h 可得10e t <<，由0)(<'t h 可得1et >， 当1(0)et ∈，时，()h t 是增函数，当1()et ∈+∞，时，)(t h 是减函数． 故结合已知有 1201et t >>>．（8分） 要证1212e()20x x x x +->，即证12122ex x x x +>，即证12112e x x +>，即证122e t t +>，即1221e e t t >->．即证122()()e h t h t <-． 又12()()h t h t =，即证222()()eh t h t <- 令2()=()()ex h x h x ϕ--，下面证()0x ϕ<对任意的1(0)ex ∈，恒成立．（10分）222ln()12ln 1e ()()()2e 22()ex x 'x h x h x x x ϕ-----''=+-=+-． 1(0,)e x ∈，∴222ln 10()ex x x --><-，， ∴22222ln()1ln ()2ln 1e e ()2222()2()2()e e ex x x x 'x x x x ϕ-----+--->+=---． ∵222()21e ()[]e 2ex x x x +--<=，∴()0'x ϕ>， ∴()x ϕ在1(0)e ，上是增函数，∴1()()0e x ϕϕ<=，∴1212e()20x x x x +->得证.（12分）22．【解析】（1）依题意，直线l ：2,22,2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可知直线l 是过原点的直线，故其极坐标方 程为()4θρπ=∈R .又22cos 4sin 4ρθρθ-=，所以244x y =+.（5分） （2）依题意，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ；设M 、N 对应的极径分别为12,ρρ，将()θαρ=∈R 代入曲线C 的极坐标可得22cos 4sin 40ραρα--=，所以1224sin cos αρρα+=，1224cos ρρα=-， 所以()2121212244cos MN ρρρρρρα=-=+-=，故2412cos α=，则21cos 3α=，故直线l 的斜率为2±.（10分）23．【解析】（1）依题意，2|2|3|3|15x x -++>；当3x <-时，原式化为2(2)3(3)15x x --+>，解得4x <-；（2分）当32x -≤≤时，原式化为2(2)3(3)15x x -++>，解得2x >，故不等式无解；（3分） 当2x >时，原式化为2(2)3(3)15x x -++>，解得2x >；（4分） 综上所述，不等式的解集为(,4)(2,)-∞-+∞.（5分）（2）由题意，可得55(3)()13(32)55(2)x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当3x =-时，函数()f x 有最小值10，即42510a b +=.（7分）故11111125449()(425)(29)101010b a a b a b a b a b +=++=++≥， 当且仅当254b a a b =时等号成立，此时52,77a b ==.（10分）。