电磁场与电磁波(第四版之第三章静态场及其边值问题的解)

E dl
( P) (Q) d
Q P P
Q
Q E dl E dl
P
P、Q 两点间的电位差
电场力做 的功
问题：选择不同的积分路径会改变 电压的计算结果吗？
电磁场理论
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
23
7. 电位参考点 静电位不惟一，可以相差一个常数，即无确定值 解决办法： 选参考点 令参考点电位为零 电位确定值

O
( P) (O)
O
P
r r r r P r r E0 dl E0 dr E0 r
o
z E0
若选择点O为电位参考点，即 (O) 0 ，则
r r ( P) E0 r
用拉普拉斯方程如何求解
电磁场理论
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
dq l dl
电磁场理论
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
21
5. 利用电位求存在不同媒质空间中的问题
静电位的边界条件(任意静电场情况)
D
D1n D2 n S E1t E2t 0
2 1 2 1 S n n
(1 2 ) 0 1 2 c v
电偶极子
qd cos p er pr 代入上式，得 (r ) 2 2 4 π 0 r 4 π 0 r 4 π 0 r 3
p qd 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
电磁场理论
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
25
求电场强度
等位线方程：
+q
r1 r 2 (d / 2) 2 rd cos r2 r 2 (d / 2) 2 rd cos
d o
－q

r2 r r1
P(r , , )
化简 r d ，得 r1 r d cos , r2 r d cos 用二项式展开，由于 2 2
静态磁场
电磁场理论
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
6
静态电场问题
出发点 Maxwell方程组 本构关系 条 件 边界条件
en ( E1 E2 ) 0 en (D1 D2 ) S
E 0 D


电磁场理论
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
2
分类分析求解电磁问题
按时间变化情况
0 t 0 t
静态电磁场
第3章
电磁波
第4、5、6、7、 8章
电磁场理论
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
电磁场理论
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
静态电磁场问题 t 0
4
出发点 Maxwell方程组 本构关系
2, 0
E2 0
电磁场理论
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
15
面对的问题！ 分析求解方法： 已有方法及其适用范围？ 利用静电场的特性，研 究新方法及其优越性？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？
电磁场理论
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
16
3.1.2 电位函数
1. 电位函数的定义
电磁场理论
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
8
本章内容安排
3.1 静电场分析
3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理
3.5 镜像法
3.6 分离变量法
电磁场理论
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
9
静态电场问题
按电荷静止或运动情况分类
静电场
静止
已知

求 E
E
如何求出电位函数？
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
18
3. 电位的微分方程 在均匀介质区域中，有
标量泊松方程
D E E
在无源区域，
E1 1
介质1 Leabharlann Baidu 1 介质2
2

(r )
q C 4π R
E
2 0
介质
z
r
r
q(r )
y
R r r
o

x
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4. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题
(续)
任意电荷源情况：(元电荷产生电位的迭加）
由 E 0
E
(r )
称为静电场的标量电位函数或简称电位。
优越性：求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
17
2. 电场强度与电位函数的关系
已知 E 求

E dl
d dl E dl
任意
J 0
匀速运动
有限
J 0
恒定电流场
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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面对的问题？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
3.1.2 电位函数
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 1.
D 微分形式： E 0 本构关系： D E
基本方程（一般性问题）
S 积分形式： C
D dS q E dl 0
2.
边界条件（一般性问题）
en ( D1 D2 ) S en ( E1 E 2 ) 0
H J E 0 B 0 D
J 0
en (J1 J 2 ) 0
特点：电场和磁场独立
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
5
分类分析求解静态电磁场问题
按场的类型
静态电场
1 2
实际问题中典型的静电场情况 • 两理想介质分界面 0 （无强加自由电荷） S • 导体表面边界面
2 1 2 1 n n S 常数， n
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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6. 由电位函数引出的经典物理量电压（电位差）
(与零电位点的电压)
选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。 同一个问题只能有一个参考点。
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
24
例 3.1.1 求电偶极子的电位和电场强度.
解 在球坐标系中 q 1 1 q r2 r1 (r ) ( ) 4π 0 r1 r2 4π 0 r1r2 z
27
例3.1.3 求长度为2L、电荷线密度为l 0 的均匀带电线的电位。
z 解 建立一个最好的坐标系，如图，则
( , , z)
L
(r ) l 0 4π 0

L
1
L
2 ( z z)2
dz C
L L
R
z ' dl dz
C
l 0 ln[ z z 2 ( z z)2 ] 4π 0
1 1 E (r ) (er e e ) r r r sin q (er 2 cos e sin ) 3 4π 0 r
p cos C 2 4 π 0 r
电力线的微分方程：
r 2 C ' cos
en (J1 J 2 ) S t
D H J t E B t B 0 D J t
D E H B J E
2
2
拉普拉斯方程
0
1 0
2
0
2
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电荷区
2 0 E 2 2
2
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4. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题
点电荷源情况：
q (r ) (r r )
出发点 Maxwell方程组 本构关系 条 件
边界条件
H J B 0
H B
e ( H 1 H 2 ) J s n en ( B1 B 2 ) 0
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1
分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件
出发点 Maxwell方程组 本构关系 条 件 边界条件
en ( H 1 H 2 ) J S en ( E1 E2 ) 0 en (B1 B2 ) 0 en (D1 D2 ) S
dr r d Er E
将 E 和 E 代入上式，解得E线方程为
r
电场线 等位线 电偶极子的场图
r C1 sin
2
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例3.1.2 求均匀电场的电位分布。
x
解 选定均匀电场空间中的一点O为坐标 原点，而任意点P 的位置矢量为r ，则
P r
J 0

D E J E
en (J1 J 2 ) 0
按电荷静止或运动情况分类 静止
任意
J 0
静电场
匀速运动
有限
J 0
恒定电流场
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
7
静态（恒定）磁场问题
或
D1n D2 n S E1t E2t 0
3.
按媒质分类的两类问题（特殊性问题） 理想介质：
0
存在导体：
0
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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理想介质情况
介质表面的自然边界条件
en
介质1 介质2
界面两侧场矢量的方向关系 E1t / E1n tan 1 1 / D1n 1 tan 2 E2t / E2n 2 / D2n 2
D E H B J E
条
件 边界条件
en ( H1 H 2 ) J S en ( E1 E2 ) 0 en (B1 B2 ) 0 e (D D ) S n 1 2
3.1.3 3.1.4 3.1.5 导体系统的电容与部分电容 静电场的能量 静电力
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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面对的问题: 存在什么源？ 在何媒质环境中？ 有何突变边界？ 分析方法？ 典型应用？ 关联的一般性物理问题？
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第3章 静态电磁场及其边值问题的解
13
D1n D2n 0 E1t E2t 0
1
E1
1
E2
2
2
导体情况
静电平衡 导体内部的电场为零 导体表面的边界条件
介质
en
E1 E
1 , 1 0
导体
en D S en E 0
或
Dn S Et 0
dq d
体分布电荷源
dq dv
面分布电荷源
dq d (r ) C 4π R (r )dv (r ) C 4π R
dq s dS
线分布电荷源
s ds (r ) C 4π R
l dl (r ) C 4π R