多项式的因式分解
多项式的因式分解
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多项式的因式分解多项式因式分解是数学中一个重要的概念,在很多领域都有广泛的应用。
它把复杂的多项式通过求根或乘积的方式,分解成更简单的多项式。
本文将就多项式因式分解的定义、性质以及应用等方面进行介绍,以期使读者更好地了解这一概念,并能够更加有效地使用多项式因式分解法。
一、定义多项式因式分解是指将多项式根据一定的规律拆解开来,拆成几个因式的过程,多项式位于实数范围内。
多项式因式分解可以用两种方法实现:一种是用求根的方法,另一种是用乘积的方法。
1.1根方法用求根的方法实现多项式因式分解,就是把一个多项式拆分成几个因式,而每个因式的根等于一个多项式的根。
例如:P(x)=x^3+2x^2+3x+4经过求根的方法实现多项式因式分解后,可以得到:P(x)=(x+1)(x+2)(x+3)也就是说,这个多项式的三个因式的根等于:-1,-2,-3。
1.2 乘积方法使用乘积方法实现多项式因式分解,就是把一个多项式写成几个因式的乘积,每个因式的因子等于一个多项式的因子。
例如:P(x)=x^3+2x^2+3x+4经过乘积的方法实现多项式因式分解后,可以得到:P(x)=(x+1)(x^2+2x+2)也就是说,这个多项式的两个因式分别为:(x+1)和(x^2+2x+2)而每个因式的因子等于:1,x,2。
二、性质多项式因式分解有许多性质,因为它是多项式分解的过程,所以任何多项式都可以被因式分解。
另外,使用求根法实现多项式因式分解后,多项式的根数是因式的个数;使用乘积方法实现多项式因式分解时,多项式中的因子数等于因式的个数。
还有,多项式因式分解也有可逆性,也就是说,从分解出来的因式可以重新组成原来的多项式。
例如:P(x)=(x+1)(x+2)(x+3)这个多项式就是以下三个因式的乘积:(x+1),(x+2),(x+3)三、应用多项式因式分解的应用非常广泛,几乎可以在各个领域中找到它的身影。
在数学中,它有助于解决多项式各种难题;在物理中,它用来研究物质的结构;在计算机科学中,它可以帮助程序员更好地处理复杂的数据;在工程中,它用以分析与解决工程问题;在金融学中,它可以用来分析投资风险等等。
多项式怎么因式分解
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多项式怎么因式分解
多项式的因式分解是求一个多项式的因式式子,可以变形到一个或
多个因式相乘的形式。
下面归纳了多项式因式分解的几种方法:
一、公因式提取法
公因式提取法是指将多项式中所有项的公共因子提取出来,写成因子
与其他部分相乘的形式。
例如,多项式4x^2+4x可以提取公因式4x,
得到4x(x+1)。
这里的x+1就是多项式4x^2+4x的因式。
二、配方法
配方法是将多项式拆分成两个含有相同因子的二次多项式的乘积形式,然后不断将分解后的两个二次多项式再次使用配方法进行因式分解。
例如,多项式x^2-6x+5可以写成(x-5)(x-1)的形式,因为(x-5)(x-1)=x^2-
6x+5。
三、特殊因式公式
特殊因式公式是一些常见的带有特定因式的多项式,例如二次差、平
方差等等。
这些特殊因式公式可以直接根据公式进行因式分解。
例如,多项式x^2-4可以根据平方差公式写成(x+2)(x-2)的形式。
四、分组分解法
分组分解法是将多项式中的项按照相同的显式因式分成不同组,然后分别求组内的公因式,再将这些公因式相乘,得到多项式的因式。
例如,多项式2x^3+8x^2+5x+20可以分成(2x^3+8x^2)+(5x+20)的形式,再分别提取公因式2x^2和5,得到2x^2(x+2)+5(x+4)的形式。
总的来说,多项式因式分解是解决复杂多项式问题的重要手段,需要对各种因式分解方法进行综合运用,找到合适的方法对多项式进行因式分解。
多项式的分解与因式分解
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多项式的分解与因式分解多项式是单项式的和,而单项式又是常数与变量的乘积。
多项式的分解和因式分解是数学中的重要概念和技巧,它们在代数运算和解方程中起到关键作用。
本文将以通用的数学论述方式来解释多项式的分解与因式分解的概念和应用。
一、多项式的分解多项式的分解是将一个多项式拆分为两个或多个较简单的多项式之和。
通过分解,我们可以更容易地对多项式进行运算和求解。
以下是几种常见的多项式分解方法:1. 提取公因式法:提取公因式法是多项式分解的最基本方法之一。
它适用于多项式中有公因式的情况。
具体步骤如下:(1)观察多项式中的各项,找出它们的公因式;(2)将公因式提取出来,并写在括号外;(3)将剩余的部分写在括号内,用加号连接。
例如,对于多项式6x^2 + 9x,我们可以观察到6和9都可以被3整除,所以可以提取出3作为公因式,分解为3(2x^2 + 3x)。
2. 公式法:公式法是根据一些特定的公式进行分解的方法。
例如,平方差公式和差平方公式是常见的用于分解二次多项式的方法。
通过应用这些公式,我们可以将二次多项式分解为一对平方差或差平方的形式。
3. 平方差公式:平方差公式是分解二次多项式最常用的方法之一。
它适用于形如a^2 - b^2的多项式,其中a和b可以是变量或数字。
平方差公式的表达式为:a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
例如,对于多项式x^2 - 4,我们可以使用平方差公式将其分解为(x + 2)(x - 2)。
4. 差平方公式:差平方公式是平方差公式的逆运算,用于将一对平方差形式的多项式分解为二次多项式。
差平方公式的表达式为:(a + b)(a - b) = a^2 -b^2。
例如,对于多项式9x^2 - 4y^2,我们可以使用差平方公式将其分解为(3x + 2y)(3x - 2y)。
二、多项式的因式分解多项式的因式分解是将一个多项式拆分为较为简单的乘积形式,其中每个乘积因子被称为该多项式的因子。
多项式的因式分解
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多项式的因式分解多项式的因式分解是高等代数,初等数学中非常重要的一个概念,它是对于一元或多元多项式,即一组有限个集合中的有序项它们乘积相加得到的函数的分解式。
该概念常常应用在初等数学、高等数学和应用数学中,但它也是一个强大的工具,可以用来解决许多科学,工程和技术问题。
因式分解可以定义为把一个多项式拆分成几个单项式的乘积,从而帮助我们理解多项式的特征。
如果一个多项式有n项,那么它可以被分解成n个因子乘积,每个因子也被称为一个项。
因式分解可以使多项式变得更容易理解,例如,如果一个多项式被分解成几个单项式的乘积,就可以把它用简单的方法表示出来。
因式分解的技术是由倍数原理引出的。
倍数原理的观点是,一个多项式可以把各个项的系数都看作一个因子,它们的乘积就得到了这个多项式的值。
这意味着,可以把一个多项式的每一项都分解成一个常数和一个变量的乘积,然后把所有的项相乘获得这个多项式。
因式分解也可以用来解决多元多项式的方程。
多元多项式的方程包括一组有关某些变量的多项式方程,它们之间可能有不同种类的关系,比如等式、不等式和线性等式等。
如果一个多元多项式的方程是可解的,那么可以通过因式分解法来解决它。
在解决这类方程时,首先要把多元多项式的各个项都分解为几个单项式的乘积,然后把它们两两化成简单式,从而解出变量的值。
多项式的因式分解也可以用来解决求根问题,即把一个多项式分解为一个常数和一组变量的乘积,从而找出多项式的根。
为了找出多项式的根,首先要把多项式的各个项都分解成几个单项式的乘积,然后把它们两两化简,从而找出多项式的根。
多项式的因式分解是一种非常重要的知识,它可以帮助我们解决许多复杂的数学问题,例如求根、多元多项式的方程求解等。
同时,它也可以帮助我们理解一个多项式的特征,从而更加有效地掌握它。
因此,多项式的因式分解是一种非常有用的知识,它可以在解决复杂数学问题和掌握多项式之间发挥重要作用。
关于多项式的因式分解
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关于多项式的因式分解多项式因式分解是一项重要的基本技能训练,是代数运算中一种重要的恒等变形,在分式运算、解方程及各种恒等变换中,都要用到因式分解。
本文通过对因式分解的基本方法的介绍,通过一些数学例题的分析,感受因式分解与整式的乘法恰好相反,体会数学的应用价值,激发学习兴趣,逐步形成良好的数学情操,从而培养探索问题和解决问题的能力。
1.多项式因式分解的定义及特点把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,叫做多项式的因式分解。
多项式的因式分解,是一种与多项式乘法相反的恒等变形过程,和多项式乘法有固定的运算程序截然不同,因式分解往往使人感到难度较大,但也正因为没有刻板程序可以依循。
因式分解的解题训练成为培养联想能力和发散思维能力的有效途径。
多项式的因式分解具有以下几个特点:1.1结果的相对性由于一个多项式的可约与不可约都是相对于某个数域而言的,因此一道因式分解题究竟分解到何时才算结束,应视给定数域而异,例如初中阶段的因式分解一般在有理数集范围内讨论,而到了高中阶段,就可以在实数集和复数集内讨论。
1.2解法的多样性对于给定数域上的多项式的因式分解,在高等代数里已经证明了这种分解的结果除常数因式外是唯一的。
但是,很多因式分解题的解法是不唯一的,特别是在用分组分解法时,由于拆项组合的方式不同,就产生了多种不同的解法。
1.3高度的技巧性面对某些陌生的因式分解题,往往使人感到束手无策,但一经点拨,会顿觉豁然开朗。
2.多项式因式分解的方法及应用因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法,本文就对这几种基本的方法进行介绍。
2.1提公因式法一般的,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
它是因式分解中最普遍,也是最基本的方法。
具体做法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。
多项式的因式分解
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§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-(不能再分)(不能再分) 在不同的系数域上,具有不同形式的分解式 什么叫不能再分 平凡因式:零次多项式(不等于零的常数)、多项式自身、前两个的乘积Definition8:(不可约多项式)令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式,如果][)(x P x f 在中只有平凡因式,就称f(x )为数域P 上(或在P[x]中)的不可约多项式。
(p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积) 若)(x f 除平凡因式外,在P[x]中还有其它因式,f(x )就说是在数域P 上(或在P[x]中)是可约的。
`如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =,的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数。
反之,若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积,那么)(x f 有非平凡因式;如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约。
由不可约多项式的定义可知: 任何一次多项式都是不可约多项式的。
不可约多项式的重要性质:一个多项式是否不可约是依赖于系数域;1.如果多项式)(x f 不可约,那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约。
2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式,那么或者)(x f 与P(x)互素,或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除,那么至少有一个因式被P(x)整除。
多项式的因式分解公式
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多项式的因式分解公式
多项式因式分解公式是高中数学中的一个重要知识点,它是解决多项式问题的基础和关键。
多项式因式分解公式能够将一个多项式拆分成若干个一次或高次的因式相乘的形式,从而简化计算和求解。
多项式因式分解公式的形式非常简单,即将多项式表示成若干个一次或高次的因式相乘的形式。
具体而言,我们可以通过下面的公式来表示多项式因式分解:
P(x)=a(x-x1)(x-x2)…(x-xn)
其中,P(x)表示一个多项式,a表示常数项,x1、x2、…、xn表示多项式的根或零点。
这个公式的含义是,一个多项式可以表示成常数项和其根或零点的乘积,即将多项式表示成若干个一次或高次的因式相乘的形式。
多项式因式分解公式不仅能够简化计算和求解问题,而且应用范围非常广泛。
具体而言,它可以用于求解多项式的根或零点、寻找多项式的因式、解决多项式求导和积分等计算问题。
在实际应用中,多项式因式分解公式常常被运用于物理、化学、经济学、工程学等领域中,起到了非常重要的作用。
在实际应用中,多项式因式分解公式的应用过程中,我们还需要进一步了解多项式方程的基本知识和方法。
具体而言,我们需要掌握多项式方程的求根方法,即通过因式分解和根之间的关系,来求解多
项式方程的根或零点。
此外,我们还需要了解多项式方程的基本特征
和性质,从而能够更好地理解和解决多项式方程的问题。
总之,多项式因式分解公式是高中数学中一个非常重要的知识点,它能够帮助我们更好地理解和解决多项式问题。
要想应用好多项式因
式分解公式,我们还需要深入了解多项式方程的基本知识和方法,从
而能够更好地应用于实际应用中。
【数学知识点】多项式的因式分解方法
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【数学知识点】多项式的因式分解方法多项式的因式分解方法有提公因式法,公式法,十字相乘法,轮换对称法,分组分解法,拆添项法,配方法。
一、提公因式法如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
公因式可以是单项式,也可以是多项式。
具体方法:在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。
当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的。
当各项的系数有分数时,公因式系数为各分数的最大公约数。
如果多项式的第一项为负,要提出负号,使括号内的第一项的系数成为正数。
提出负号时,多项式的各项都要变号。
基本步骤:(1)找出公因式;(2)提公因式并确定另一个因式;①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母;②提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀:找准公因式,一次要提尽,全家都搬走,留1把家守,提负要变号,变形看奇偶。
二、公式法如果把乘法公式的等号两边互换位置,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法。
三、十字相乘法十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项。
口诀:分二次项,分常数项,交叉相乘求和得一次项。
(拆两头,凑中间)(1)用十字相乘法分解二次项,得到一个十字相乘图(有两列);(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.(3)先以一个字母的一次系数分数常数项;(4)再按另一个字母的一次系数进行检验;(5)横向相加,纵向相乘。
多项式的因式分解知识点
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多项式的因式分解知识点
(1)因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
(2)公因式:一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式.
(3)确定公因式的方法:公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母,而且各字母的指数取次数最低的.
(4)提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
(5)提出多项式的公因式以后,另一个因式的确定方法是:用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式.
(6)如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的,在提出“-”号时,多项式的各项都要变号.
(7)因式分解和整式乘法的关系:因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程,整式乘法的结果是整式,因式分解的结果是乘积式.
(8)运用公式法:如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.。
多项式的因式分解
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多项式的因式分解多项式的因式分解是数学中的一个基本运算,又称为代数因式分解。
它是一种求解多项式的方法,可以分解一个多项式,将它分解为两个多项式之积。
多项式因式分解既可以作为解题的策略,也可以作为特征分析的工具,为多种问题提供了解决方案。
多项式因式分解的基本概念是,任何一个多项式都可以写成两个多项式的乘积:ax^2 + bx + c = (ax + p)(ax + q)多项式的因式分解,不仅仅是一个看似陌生的概念,而是我们有关多项式的理解的内容,因此,我们必须对它有一定的理解。
首先,我们要明白多项式的因式分解的定义:也就是将一个多项式拆分成两个多项式乘积的过程。
拆分出来的每一项都具有独立的作用,因此,每一项有可能是一个负数,也有可能是一个正数。
每一项的系数可以是任何实数,比如2、-2等,或者是未知数。
其次,要明白因式分解的步骤,及其本质作用。
在做多项式分解时,我们要明确被分解的多项式,即ax^2+bx+c,其中a、b、c为多项式的系数。
接下来,根据多项式的特殊性,将这个多项式拆分成两个多项式,其系数要根据前面多项式系数来确定,以及每一项本身的特性,以便于解决因式分解中出现的问题。
拆分完后,我们可以得到:ax^2 + bx + c = (ax + p)(bx + q)这里的p、q就是新的多项式的系数,它们都是未知数。
同时,考虑到多项式系数可以是任何实数,我们还需要计算出新的多项式的根,也就是p和q的值。
最后,我们要明白在做多项式因式分解的时候,最后的结论是多项式分解后的形式,如何保证其正确性。
这里,我们需要用到特征方程,即特征方程可以将多项式分解成两个多项式,从而实现多项式因式分解的功能。
特征方程是求解多项式因式分解的关键。
总之,多项式因式分解是数学当中一种重要的概念和运算,它能够帮助我们准确求解出被分解的多项式。
掌握此方法可以帮助我们更好地理解多项式的特殊性,从而更容易解决一些复杂的问题,为数学的学习和研究提供一种有效的方法。
多项式的因式分解定义
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(3) -9y2+4x2 (5) (2a+b)2-(a-2b)2 (7) 4a2-(b+c)2 (9) (a+b-c)2-(a-b+c)2
平方差公式的应用题: 平方差公式的应用题
1、利用分解因式简便计算 (1) 652-642
解:652-642 =(65+64)(65-64) =129×1 =129
(2) 5.42-4.62
解:5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6) =10×0.8 =8
100 (3) 2 2 252 − 248
答案:5
2
3) 2 −(2 1) 2 (4) (、已知a = 22 , b = 44 ,求(a+b)2-(a-b)2的值。 75
3 9 2 (6)16c =( 4
c )2
(7) 64x2y2=( 8xy)2
10p (8) 100p4q2=( 2q)2
课堂练习: 课堂练习
1、(口答)把下列各式分解因式
(1) x2-4
=(x+2)(x-2)
(2) 9-y2
=(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
=(1+a)(1-a)
(4) 4x2-y2
=(2x+y)(2x-y)
2、(口答)下列多项式能不能用平方差公式 来分解因式?如果不能,说明为什么? (1)x2+y2 (2)x2-y2 (3)-x2+y2 (4)-x2-y2
3、把下列各式分解因式 (1) a2 − 1 x2
9
(2) 36-m2 (4) 0.81a2-16b2 (6) x3-x (8) -x4+16 (10) 16(a-b)2-9(a+b)2
多项式的因式分解
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多項式的因式分解
多式的因式分解一直是高中数学课程中最重要的一环。
它可以用解更加的算,助生理解的公式,增加的兴趣和能力。
本文探多式的因式分解,介它的基本原理,并深入它在用中的重要性。
首先,什么是多式的因式分解?多式的因式分解是指把一多式拆分一或多的多式的算程。
具而言,它是表示字母及其次方的多式分解多式的乘。
例如:
多式f(x)= x^2+6x+9可以拆分成(x+3)(x+3)= x^2+6x+9。
多式的因式分解可以助我在理多式更加清晰,它也解提供了很大的助。
例如,多式的因式分解可以用解决方程和不等式的,而精地求解方程的零和不等式的。
此外,多式的因式分解可以用解量微分中的,因微分中多方程可以通多式的因式分解而得出精的解答。
另外,多式的因式分解有助于其他基本概念的理解。
例如,可以多式的值和局部值化暴力求解,以及求出多式的值和局部值的方便和直的解方案。
另一方面,多式的因式分解也有助于生物的理解,因它可以使生更容易理解和算物的值和斜率。
并且,多式的因式分解在建立定稿,特是多式的分和微分的解方案上也有重要的作用。
因此,多式的因式分解高中教和用都有重要的作用,是一非常有用和有趣的技能。
生理基上多式的因式分解,以便在今后的和用中更有效地解。
只有通努力,把握其中的步,才能更好地掌握多式的因式分解。
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多项式的因式分解的方法
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多项式的因式分解的方法
多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个因式的乘积的过程。
下面介绍几种常用的因式分解方法。
1.提取公因式法:
当多项式中的每一项都有一个公因式时,可以利用提取公因式的方法进行因式分解。
具体步骤如下:
找出多项式中每一项的最大公因子;
将每一项除以公因子,得到新的多项式;
将公因子和新的多项式相乘,得到因式分解的结果。
2.公式法:
常见的公式有平方差公式、完全平方公式、立方差公式等。
通过应用这些公式,可以将多项式转化为容易分解的形式。
3.分组分解法:
当多项式中存在某些项之间具有相同的因式时,可以利用分组分解的方法。
具体步骤如下:
将多项式中的项进行分组,使得每组的项存在公因式;
对每组的项进行提取公因式;
将提取出的公因式和每组的项相乘,得到因式分解的结果。
4.二次三角形式分解法:
对形如$a^2b^2$的二次差进行因式分解时,可以利用二次三角形式分解法。
具体步骤如下:
将二次差形式转化为$(a+b)(ab)$的形式,其中$a$和
$b$是变量;
将$(a+b)$和$(ab)$作为因子,得到因式分解的结果。
以上是常用的几种多项式因式分解的方法,实际运用时可以根据多项式的具体形式选择合适的方法进行因式分解。
多项式如何因式分解
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多项式如何因式分解多项式是数学中常见的一种函数形式,其由若干项的代数式组成,每一项包含一个系数和一个或多个变量的幂次,例如 x^2 + 3x + 2 就是一个二次多项式。
因式分解是指将一个多项式表达式分解成若干个更简单的多项式,这些简单的多项式的乘积等于原来的多项式。
因式分解对于解决多项式的根、求导、积分等问题都具有重要的作用。
对于一元多项式,也就是只包含一个变量的多项式,我们可以使用以下方法进行因式分解:1.公因式提取法:将多项式中所有项的公因式提取出来,得到一个因式和一个多项式,再对这个多项式进行因式分解。
例如,对于多项式 2x^2 + 6x,我们可以先提取公因式 2x,得到 2x(x+3),然后对 (x+3) 进行因式分解。
2.配方法:当多项式中某两项的乘积等于另外一项时,我们可以使用配方法进行因式分解。
例如,对于多项式 x^2 + 6x + 9,我们可以将其看作 (x+3)^2,然后再使用平方差公式进行化简。
3.分组分解法:当多项式中含有四项及以上时,我们可以将其分成两组,每组分别提取一个公因式,然后将这两个公因式再进行因式分解。
例如,对于多项式 x^3 + 3x^2 + 2x + 6,我们可以将其分为 x^3 + 3x^2 和 2x + 6 两组,然后分别提取公因式得到x^2(x+3) 和 2(x+3),最后将这两个因式乘起来得到完整的因式分解式 x^2(x+3)(2)。
除了以上方法,还有一些特殊的多项式可以使用更加具体的因式分解方法,例如完全平方多项式、差平方多项式、多项式系数为整数而根为有理数的多项式等等。
总之,因式分解是解决多项式问题的关键步骤之一,熟练掌握多种因式分解方法可以帮助我们更加轻松地解决数学问题。
多项式的因式分解
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多项式的因式分解在分式运算,解方程会和各种恒等变换中,都要经常用到因式分解,因而,因式分解是一项重要的基本技能训练。
定义:1、不可约多项式(既约多项式)因式分解2、高代已证明的几个结论:高等代数虽然以从理论上讨论了有关因式分解的相关结论,但并未提供一个确定的普遍适用的方法。
事实上,因式分解必须根据所给多项式的结构特点采用相应的具体方法在初中代数里介绍了①提公因式法②公式法③分组分解法④十字相乘法一、因式分解的一般方法例1、322-+44a c a bc ab c222(44)(2)ac a ab b ac a b =-+=-例2222944a b bc c-+-229(2)(32)(32)a b c a b c a b c =--=+--+常用的六个乘法公式2223323333223()()333x y x y x y x y z x y z xyz x x y xy y -=±=-=++=++-=±+±=二、待定系数法分解因式例32232576x xy y x y +++++222232()(2)()(2)32()(2)522736x xy y x y x y x y m x y n x xy y m n x m n y m n m n m m n n m n ++=++∴=++++=++++++++=⎧=⎧⎪+=∴⎨⎨=⎩⎪=⎩∴= 令原式比较系数得:原式(x+y+2)(x+2y+3)例4、已知:2223614x xy y x y p--+-+能分解成两个一项式之积,求常数P并分解因式。
解22222223()(3)23()(3)65314152361455)(31) x xy y x y x yx xy y m n x n m y m nm n mn m nm n p px xy y x y x y x y --=+-=--+++-++==⎧⎧⎪⎪-=-=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩∴--+-+=++-+令原式=(x+y+m)(x-3y+n)比较系数得解得(三、用因式定理和综合除法分解因式(1)因式定理:对于多项式()f x。
多项式的因式分解(教育知识)
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∴ 也是为 f ( x)复根.
教书育人
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定理5.14(实系数多项式因式分解定理)
f ( x) R[x],若 ( f ( x)) 1, 则 f ( x)可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.
教书育人
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推论1
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)k1
教书育人
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2. 整系数多项式的因式分解
定理5.16 若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式,则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积.
教书育人
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推论 设 f ( x), g( x) 是整系数多项式,且 g( x)是本原
的,若 f ( x) g( x)h( x), h( x) Q[ x], 则 h( x) 必为整系数多项式.
但是,如何作出它的分解式却很复杂,没有一个 一般的方法.
教书育人
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② 我们知道,在C 上只有一次多项式才是不可约 多项式;
在 R 上,不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式;
但在 Q 上有任意次数的不可约多项式.如 xn 2, n Z .
如何判断 Q上多项式的不可约性呢?
教书育人
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③ 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题. 这是因为任一有理数可表成两个整数的商.
( x2 pr x qr )kr
其中 c1,c2, ,cs , p1, , pr ,q1, ,qr R, k1, ,ks ,l1, ,ls Z ,
且 p2 4q 0, i 1,2 r ,即 x2 pi x qi 为
含括号的多项式的因式分解
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含括号的多项式的因式分解
1、多项式的因式分解
把一个多项式表示成几个整式之积的形式,叫做多项式的因式分解。
在指定数集内进行多项式因式分解时,一般
情况下,建议最后结果中的每一个因式均无法在该数集内稳步水解。
【注】(1)因式分解的实质是一种恒等变形,是一种化和为积的变形。
(2)因式分解与整式乘法是互逆的。
(3)在因式分解的结果中,每个因式都必须是整式。
(4)因式分解要分解到不能再分解为止。
2、多项式因式分解常用方法(共六种)
方法一:提取公因式法。
方法二:公式法(乘法公式从右到左,即为为因式分解公式)。
方法三:求根法。
方法四:二次三项式的十字二者乘法
方法五:分组分解法。
方法六:未定系数法。
多项式的因式分解
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多項式的因式分解
因式分解是一種簡單明了的表達高次多項式的方法。
可以將一個多項式分解為若干個因數之乘積,由此,把一個難以處理的高次多項式變成較單純也更容易理解的形式,從而提高計算的效率。
因式分解的一般步驟如下:
1.選擇一個共同因子將多項式分解成兩個分母為1的本根式。
2.對兩個分母為1的本根式進行因式分解,直到每個項的本根為一根。
3.對因式分解的結果,將所有結果合成一個高次多項式。
4.根據共同因子將最後合成的多項式拆分成開始時的形式。
因式分解可以解決許多難題,例如求导、求積分等,並且極大簡化計算的過程,也變得更加容易理解。
從而提高了如何處理高次多項式的效率。
另外,在因式分解的過程中不僅僅可以用於數學和物理學的求解過程,在很多其他領域也能看到因式分解的應用,例如社會科學,醫學等。
雖然因式分解看起來非常簡單,但也有一些技巧需要考慮。
例如:- 在選擇因子時,要注意因數中是否包括特殊項;
-在把多項式分解成本根式時,要注意不對稱分解的情況;
-當高次多項式分解有多種拆分方法時,要注意做出合理的選擇。
總的來說,因式分解是一種十分實用的計算方法,能夠有效提高求解高次多項式的效率,具有普遍的應用。
然而,需要花時間對因式分解的原理進行深入的理解,才能有效應用這種計算方法。
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分类号:B I26
安徽青年报/2001年/02月/12日/第003版/
中学生博览
多项式的因式分解
合肥市55中 姜家凤
初学 因式分解主要有在两个方面的问题:一是不能深刻地理解 因式分解的定义;二是不能灵活地运用 因式分解的方法。
因此,下面就这个问题谈一点看法。
一、深刻地理解 因式分解的定义
我们知道: 因式分解的定义是: 把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解。
这个定义包括了如下四点:
1. 因式分解的对象必须是整式
例如:!,!都不是因式分解的对象,前者是分式,而后者属于根式。
2. 因式分解的结果必须是整式
例如:!和x+1=x(1+1/x),都不能叫做因式分解。
因式前者的结果中含有根式,而后者的结果中则含有分式。
3. 因式分解的结果必须是积的形式
例如:x~2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x就不能叫做因式分解。
只有x ~2-4+3x=x~2+3x-4=(x+4)(x-1)才叫做因式分解。
4. 因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止
例如:将x~3-4x分解因式,不能只分解到x(x~2-4)就终止,而要分解到x(x+2)(x-2)才能终止。
二、灵活运用 因式分解的方法
虽然课本上对于多项式因式分解的步骤作了归纳,揭示了一定的规律性,但是由于多项式的形式是多种多样的,所以对于不同的多项式,我们一定要做到具体问题具体分析,灵活地运用不同的方法去解决,决不能生搬硬套。
1.综合运用 因式分解的各种方法
例1把x~3+x~2-x-1分解因式
分析;仔细观察本题,可以发现,本题的前面两项与后面两项都含有x+1这一个公因式,故可以考虑用分组的方法,进行分组以后,再提取公因式和套公式:
解:x~3+x~2-x-1=(x~3+x~2)-(x+1)=x~2(x+1) -(x+1)=(x+1)(x~2-1)=(x+1)(x+1)(x-1)
2.先展开后分解
例2把(x+1)(x+2)-6分解因式
分析:本题若按照 因式分解的一般步骤去进行将无法达到目的。
因此,我们必须按
照乘法的法则将前面两个因式的积展开,然后再进行 因式分解。
解:(x+1)(x+2)-6=x~2+3x-4=(x+4)(x-1)
3.先套公式后分解
例3把(x+2)(x+3)+x~2-4分解因式
分析:本题若按照例2的方法,将会带来很多的麻烦,但我们考虑到后面的两项x~2 -4,中,含有x+2这一因式,故采取先套公式,然后再提取公因式的方法去进行。
解:(x+2)(x+3)+x~2-4=(x+2)(x+3)+(x+2)(x-2)=[(x+3)+(x-2)](x+2)=(2x+1)(x+2)
4.整体思维
例4把(m+n)~2-(m+n)-30分解因式
分析:本题的特征是前面项和中间一项的底数都是(m+n),故把(m+n)看成一个整体后,再用十字相乘的方法会进行分解。
解:(m+n)~2-(m+n)-30=[(m+n)-6][(m+n)+5]= (m+n-6)(m+n+5)。