2019届湖南省邵阳市高三上学期10月大联考数学(文)试题(解析版)
2019年湖南省邵阳市高考数学三模试卷(文科)
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2019年湖南省邵阳市高考数学三模试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A={0, 1, 2, 3},集合B={x|ylog2(2−x)},则A∩B=()A.{1}B.{0}C.{0, 1}D.{x|x<2}【答案】C【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合B,然后进行交集的运算即可.【解答】∵A={0, 1, 2, 3},B={x|x<2},∴A∩B={0, 1}.2. 设命题p:∀x>0,log2x<2x+3,则¬p为()A.∀x>0,log2x≥2x+3B.∃x>0,log2x≥2x+3C.∃x>0,log2x<2x+3D.∀x<0,log2x≥2x+3【答案】B【考点】命题的否定【解析】根据全称命题的否定为特称命题,即可得到答案.【解答】根据全称命题的否定为特称命题,则命题p:∀x>0,log2x<2x+3,则¬p为∃x>0,log2x≥2x+3,3. 若x+y>0,a<0,ax>0,则y−x一定()A.等于0B.小于0C.大于0D.不确定【答案】C【考点】不等式的基本性质【解析】直接利用不等式的性质的应用求出结果.【解答】已知a<0,ax>0,所以x<0,则−x>0,由于x+y>0,所以y必然大于0,故y−x>0,A.−173B.−75C.2311D.−2311【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】模拟程序的运行,可得k=1,S=1满足条件k<9,执行循环体,k=3,S=−13满足条件k<9,执行循环体,k=5,S=−75满足条件k<9,执行循环体,k=7,S=−173满足条件k<9,执行循环体,k=9,S=2311此时,不满足条件k<9,退出循环,输出S的值为2311.5. 已知tanα=3,则sin2α+11+cos2α=()A.8B.7C.6D.5【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式,求得要求式子的值.【解答】已知tanα=3,则sin2α+11+cos2α=sin2α+cos2α+2sinαcosα2cos2α=12tan2α+12+tanα=8,6. 如图所示,在△ABC中,CE是边AB的中线,O是CE的中点,若AB→=a→,AC→=b→,→A.12a →+12b →B.14a →+12b →C.14a →+14b →D.12a →+14b →【答案】 B【考点】平面向量的基本定理向量的线性运算性质及几何意义 【解析】由平面向量基本定理及线性运算可得:AO →=12AE →+12AC →=12×12AB →+12AC →=14AB →+12AC →,得解.【解答】由题意可得:AE →=12AB →,由图可知:AO →=12AE →+12AC →=12×12AB →+12AC →=14AB →+12AC →,又因为AB →=a →,AC →=b →, 所以AO →=14a →+12b →,7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.8√10+16B.40C.8+√10+24D.48【答案】 A【考点】由三视图求体积判断几何体的形状,上下是正四棱锥中间是正方体,然后求解几何体的表面积.【解答】由题意可知几何体的中间是正方体,上下是两个相同的正四棱锥,正方体的棱长为2,棱锥的高为:3,所以该几何体的表面积为:4×2×2+8×12×2×√12+32=16+8√10.8. 已知圆C的圆心位于直线x+y=0上,且圆C与直线x−y=0和直线x−y−4=0均相切,则圆的方程为()A.(x+1)2+(y−1)2=2B.(x−1)2+(y+1)2=2C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x−1)2+(y−1)2=2【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据圆心位于直线x+y=0上,设出圆心(a, −a),利用圆心到直线x−y=0和直线x−y−4=0等于半径,即可求解.【解答】解圆C的圆心位于直线x+y=0上,设圆心(a, −a),圆心到直线x−y=0的距离为√2,圆心到直线x−y−4=0的距离为√2.∴√2=√2,解得a=1.∴r=√2=√2,∴圆的标准方程为(x−1)2+(y+1)2=2,9. 已知函数f(x)=2cosxsin(x+2φ)为偶函数,其中φ∈(0, π2),则下列关于函数g(x)=sin(2x+φ)的描述正确的是()A.g(x)在区间[−π12,π3]上的最小值为−1B.g(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移一个单位,再向右平移π8个单位长度得到C.g(x)的图象的一个对称中心为(−π8, 0)D.g(x)的一个单调递增区间为[0, π2]【答案】C命题的真假判断与应用 【解析】利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律,诱导公式,得出结论. 【解答】∵ 函数f(x)=2cosxsin(x +2φ)为偶函数,其中φ∈(0, π2), ∴ 2φ=π2,φ=π4,∴ f(x)=2cosxsin(x +π2)=2cos 2x =cos2x +1, g(x)=sin(2x +π4)g(x)在区间[−π12,π3]上的最小值为:sin(2π3+π4)>−1,sin(−π6+π4)>−1,所以A 不正确.g(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移一个单位,可得函数的解析式为:y =cos2x , 再向右平移π8个单位长度得到:y =cos(2x −π4),不是g(x)的表达式.所以B 不正确; x =−π8时,g(−π8)=sin0=0,所以g(x)的图象的一个对称中心为(−π8, 0),所以C 正确; ∴ 函数g(x)=sin(2x +π4),因为x =π8时函数取得最大值,所以g(x)的一个单调递增区间为[0, π2]不正确;所以D 不正确;10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点为F ,右顶点为E ,过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点,EA →⋅EB →=0,则该双曲线的离心率e 为( ) A.−1+√52B.1+√52C.2D.2或−1【答案】C【考点】双曲线的离心率 【解析】EA →⋅EB →=0,可得∠AEB 为直角,即|AF|=|EF|,将此式转化为关于a 、c 的不等式,化简整理即可得到该双曲线的离心率e 的取值范围. 【解答】EA →⋅EB →=0,可得∠AEB 为直角,由此可得Rt △AFE 中,∠AEF =45∘,得|AF|=|EF| |AF|=b 2a,|EF|=a +c , ∴c 2−a 2a=a +c ,即c −a =a即c =2a ,解之得e =2.11. 赵爽是我国汉代数学家、天文学家,他在注解《周髀算经》时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”,它被2002年国际数学家大会选定为会徽.“赵爽弦图”是以弦为边长得到的正方形,该正方形由4个全等的直角三角形加上中间一个小正方形组成类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图所示的图形它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形设DF=2AF=2,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自三个全等三角形(阴影部分)的概率是()A.4 13B.913C.2√1313D.926【答案】B【考点】几何概型计算(与长度、角度、面积、体积有关的几何概型)【解析】设AF=1,则DF=2,依题意,DE=DF=2,BD=AF=1,所以点E到DF的距离与点B到AF的距离比为2:1,设点B到AF的距离为ℎ,则点D到DF的距离为2ℎ,则可以用ℎ分别表示出两个等边三角形的面积和阴影的面积,即可求解.【解答】依题意,设AF=1,则DF=2,则AD=3,DE=DF=2,BD=AF=1,所以点E到DF的距离与点B到AF的距离比为2:1,设点B到AF的距离为ℎ,所以三角形DEF的面积为S△DEF=12×2×2ℎ=2ℎ,三角形ABD的面积为S△ABD=12×3×ℎ,所以阴影面积为S阴=3×S△ABD=92ℎ,三角形ABC的面积为S△ABC=S△DEF+S阴=132ℎ,所以在大等边三角形中随机取一点,则此点取自三个全等三角形(阴影部分)的概率是:P=SS△ABC =9ℎ213ℎ2=913.12. 定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1, 2),且对任意x∈R都有f′(x)>−2,则不等式f(1og2|2x−2|)<4−1og√2|2x−2|的解集为()A.(−∞, 0)∪(0, 1)B.(−∞, 2)C.(0, 2)D.(−∞, 1)∪(1, 2)【答案】D利用导数研究函数的单调性 【解析】令F(x)=f(x)+2x ,求出导函数F ′(x)=f ′(x)+2>0,判断F(x)在定义域内单调递增,由f(1)=2,转化f(1og 2|2x −2|)<4−1og √2|2x −2|为f(1og 2|2x −2|)+1og √2|2x −2|<4,然后求解不等式即可.【解答】令F(x)=f(x)+2x ,有F ′(x)=f ′(x)+2>0,∴ F(x)在定义域内单调递增,由f(1)=2,得F(1)=f(1)+2=4,f(1og 2|2x −2|)<4−1og √2|2x −2|⇔f(1og 2|2x −2|)+1og √2|2x −2|<4, 令t =1og 2|2x −2|,有f(t)+2t <4, 即F(t)<F(1),由F(x)在定义域内单调递增, 则有t <1,即1og 2|2x −2|<1,从而0<|2x −2|<2,解得x <2,且x ≠1.∴ 不等式f(1og 2|2x −2|)<4−1og √2|2x −2|的解集为(−∞, 1)∪(1, 2). 故选:D .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上 若1+ai i=2−i (i 为虚数单位),则实数a 的值为________.【答案】2【考点】 复数的运算 【解析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件求解. 【解答】 由1+ai i=2−i ,得1+ai =(2−i)i =1+2i ,∴ a =2.已知定义域为R 的奇函数f(x),若f(x)={2x ,x >2log 2x,0<x ≤2 ,则f(−14)的值________.【答案】 2【考点】 函数的求值 求函数的值 【解析】推导出f(−14)=−f(14)=−log 214,由此能求出结果. 【解答】∵ 定义域为R 的奇函数f(x),f(x)={2x ,x >2log 2x,0<x ≤2 ,∴ f(−14)=−f(14)=−log 214=2.已知x ,y 满足约束条件{x 2+y 2≤4x −y +2≥0y ≥0 ,则z =2x +y 的取值范围是________.【答案】 [−1, 2√5] 【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象,从而得出目标函数z =−2x +y 的取值范围. 【解答】作出不等式对应的区域,由z =2x +y 得,y =−2x +z . 平移直线y =−2x +z ,由图象可知,当直线y =−2x +z 经过B(−1, 0)时,y =−2x +z 的截距最小,最小值为−4,直线z =2x +y 与圆相切在第一象限时,目标函数取得最大值,√5=2,z 的最大值为2√5所以z ∈[−1, 2√5].在平面直角坐标系xOy 中,点M ,N 分别是x 轴,y 轴上的动点,若以线段MN 为直径的圆C 与直线x −y −4=0相切,则圆C 面积的最小值为________. 【答案】 2π【考点】 圆的切线方程 【解析】根据条件得到点O 在圆上,利用点到直线的距离公式,结合数形结合进行求解即可. 【解答】∵ MN 是直径,∠MON =90∘, ∴ 点O 在圆上,作O 作OD 垂直直线x −y −4=0,交点为D , ∵ 圆C 与直线x −y −4=0相切,∴ 要使圆C 的面积最小,此时OD 为圆的直径即可, O 到直线x −y −4=0的距离|OD =√12+(−1)2=√2=2√2,则圆的半径R =√2,即圆的最小面积S =π×(√2)2=2π,三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题,每道试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =a n+2−2,n ∈N ∗. (1)若数列{a n }为等比数列,求数列{a n }的公比q 的值.(2)若a 2=a 1=1,b n =a n +a n+1,求数列{b n }的通项公式.根据题意,数列{a n}满足2S n=a n+2−2,①,则有2S n−1=a n+1−2,②①-②可得:2a n=a n+2−a n+1,又由数列{a n}为等比数列,则有2=q2−q,解可得:q=2或−1,又由q>0,则q=2;数列{a n}满足2S n=a n+2−2,当n=1时,有a3=2S1+2=4,当n≥2时,由(1)的结论,2a n=a n+2−a n+1,变形可得:2(a n+1+a n)=a n+2+a n+1,即2b n=b n+1,又由b1=a1+a2=2,b2=a2+a3=1+4=5.∴数列{b n}从第二项起是以5为首项,2为公比的等比数列.∴b n={2,n=1.5×2n−2,n≥2【考点】数列递推式【解析】本题第一题主要抓住数列{a n}的前n项和S n与数列通项a n列的关系式,通过a1=S1,a n =S n−S n−1可得到等比数列{a n}等比数列的公比;第二题要根据第一题求出b n的算式,然后根据数列{b n}判断为等比数列即可求出b n的通项公式.【解答】根据题意,数列{a n}满足2S n=a n+2−2,①,则有2S n−1=a n+1−2,②①-②可得:2a n=a n+2−a n+1,又由数列{a n}为等比数列,则有2=q2−q,解可得:q=2或−1,又由q>0,则q=2;数列{a n}满足2S n=a n+2−2,当n=1时,有a3=2S1+2=4,当n≥2时,由(1)的结论,2a n=a n+2−a n+1,变形可得:2(a n+1+a n)=a n+2+a n+1,即2b n=b n+1,又由b1=a1+a2=2,b2=a2+a3=1+4=5.∴数列{b n}从第二项起是以5为首项,2为公比的等比数列.∴b n={2,n=1.5×2n−2,n≥2如图所示,四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,∠PDA=45∘(1)求证:平面PAD⊥平面PCD;(2)设F为PC的中点,问边AB上是否存在一点E,使EF // 平面PAD,并求此时点E到平面PCD的距离.【答案】证明:平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,且PA⊂平面PAD,∴PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD;又CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PCD,∴平面PCD⊥平面PAD;当E为AB的中点时,EF // 平面PAD;证明如下:设PD的中点为H,连接AH、FH,∵AE // CD,且AE=12CD,FH // CD,且FH=12CD,∴AE // FH,且AE=FH,∴四边形AEFH为平行四边形;∴EF // AH,又AH⊂平面PAD,∴EF // 平面PAD;又AD=2,∠PDA=45∘,∴PA=2,∴V三棱锥A−PCD=V三棱锥P−ACD =13S△ACD⋅PA=43;∵PD=2√2,CD=2,∴S△PCD=12PD⋅CD=2√2;设点A到平面PCD的距离为ℎ,则13S△PCD⋅ℎ=V三棱锥P−ACD=43,解得ℎ=√2,∵AE // 平面PCD,【考点】直线与平面平行平面与平面垂直【解析】(1)由平面PAD⊥平面ABCD得出PA⊥平面ABCD,PA⊥CD;从而证明CD⊥平面PAD,可得平面PCD⊥平面PAD;(2)当E为AB的中点时,EF // 平面PAD,根据题意直线与平面平行的判定定理即可证明;再利用等积法求出点A到平面PCD的距离,即可得出点E到平面PCD的距离.【解答】证明:平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,且PA⊂平面PAD,∴PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD;又CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PCD,∴平面PCD⊥平面PAD;当E为AB的中点时,EF // 平面PAD;证明如下:设PD的中点为H,连接AH、FH,∵AE // CD,且AE=12CD,FH // CD,且FH=12CD,∴AE // FH,且AE=FH,∴四边形AEFH为平行四边形;∴EF // AH,又AH⊂平面PAD,∴EF // 平面PAD;又AD=2,∠PDA=45∘,∴PA=2,∴V三棱锥A−PCD=V三棱锥P−ACD =13S△ACD⋅PA=43;∵PD=2√2,CD=2,∴S△PCD=12PD⋅CD=2√2;设点A到平面PCD的距离为ℎ,则13S△PCD⋅ℎ=V三棱锥P−ACD=43,解得ℎ=√2,∵AE // 平面PCD,∴点E到平面PCD的距离为√2.华为手机作为华为公司三大核心业务之一,2018年的销售量跃居全球第二名某机构随机选取了100名华为手机的顾客进行调查,并将这100人的手机价格按照[500, 1500),[1500, 2500),[6500, 7500)分成7组,制成如图(六)所示的频率分布直方图. (1)若a 是b 的2倍,求a ,b 的值;(2)求这100名顾客手机价格的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中间值作代表,精确到个位);(3)利用分层抽样的方式从手机价格在[1500, 2500)和[5500, 6500)的顾客中选取6人,并从这6人中随机抽取2人进行回访,求抽取的2人手机价格在不同区间的概率.【答案】由已知得{a =2ba +b =0.00024 , 解得a =0.00016,b =0.00008.平均数x =1000×0.06+2000×0.16+3000×0.12+4000×0.30+5000×0.26+6000×0.08+7000×0.02=3860元. 中位数3500+1630×1000=4033.由已知得从手机价格为[1500, 2500)中抽取4人,设为a ,b ,c ,d , 在手机价格为[5500, 6500)中抽2人,设为x ,y , 从这6人中任意取2人,共有15种抽法,分别为:xy ,xa ,xb ,xc ,xd ,ya ,yb ,yc ,yd ,ab ,ac ,ad ,bc ,bd ,cd , 其中抽取的2人的手机价格在不同区间的有8种, ∴ 抽取的2人手机价格在不同区间的概率:p =815.【考点】频率分布直方图 【解析】(1)由频率分布直方图列出方程组,能求出a ,b 的值.(2)由频率分布直方图能求出这100名顾客手机价格的平均数和中位数.(3)由已知得从手机价格为[1500, 2500)中抽取4人,设为a ,b ,c ,d ,在手机价格为[5500, 6500)中抽2人,设为x ,y ,从这6人中任意取2人,利用列举法能求出抽取的2人手机价格在不同区间的概率. 【解答】由已知得{a =2ba +b =0.00024 , 解得a =0.00016,b =0.00008.平均数x =1000×0.06+2000×0.16+3000×0.12+4000×0.30+5000×0.26+6000×0.08+7000×0.02=3860元.中位数3500+1630×1000=4033.由已知得从手机价格为[1500, 2500)中抽取4人,设为a ,b ,c ,d , 在手机价格为[5500, 6500)中抽2人,设为x ,y , 从这6人中任意取2人,共有15种抽法,分别为:xy ,xa ,xb ,xc ,xd ,ya ,yb ,yc ,yd ,ab ,ac ,ad ,bc ,bd ,cd , 其中抽取的2人的手机价格在不同区间的有8种, ∴ 抽取的2人手机价格在不同区间的概率:p =815.已知点M(x, y)到定点F(1, 0)的距离和它到直线x =4的距离比是12.(1)求点M 的轨迹Q 的方程;(2)过点S(4, 0)作直线l 与轨迹Q 相交于A ,B 两点,BC 垂直于x 轴且交轨迹Q 于点C ,问直线AC 是否过定点?若是,求出该定点的坐标,若不是,请说明理由. 【答案】点M(x, y)到定点F(1, 0)的距离和它到直线x =4的距离比是12.即√(x−1)2+y 2|x−4|=12,化简得x 24+y 23=1,所以点M 的轨迹Q 的方程为x 24+y 23=1.设过点S(4, 0)作直线l 为x =my +t(m ≠0),直线与曲线的交点坐标为A(x 1, y 1),B(x 2, y 2), 所以{x =my +t x 24+y 23=1整理得(3m 2+4)y 2+6mty +3t 2−12=0,所以y 1+y 2=−6mt3m 2+4①. y 1y 2=3t 2−123m 2+4②, 由于A 、B 、S 三点共线,所以y 1x 1−4=y 2x 2−4,把x 1=my 1+t 和x 2=my 2+t ,代入整理得2my 1y 2+(t −4)(y 1+y 2)=0,将①②代入得2m ⋅3t 2−123m 2+4+(t −4)⋅−6tm3m 2+4=0,解得t =1于是直线AC 的方程为x =my +1,所以直线经过定点(1, 0). 【考点】 轨迹方程 【解析】(1)直接利用椭圆的第二定义的应用求出结果.(2)利用直线和曲线的位置关系式的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果. 【解答】点M(x, y)到定点F(1, 0)的距离和它到直线x =4的距离比是12.即√(x−1)2+y 2|x−4|=12,化简得x 24+y 23=1,所以点M 的轨迹Q 的方程为x 24+y 23=1.设过点S(4, 0)作直线l为x=my+t(m≠0),直线与曲线的交点坐标为A(x1, y1),B(x2, y2),所以{x=my+tx24+y23=1整理得(3m2+4)y2+6mty+3t2−12=0,所以y1+y2=−6mt3m2+4①.y1y2=3t2−123m2+4②,由于A、B、S三点共线,所以y1x1−4=y2x2−4,把x1=my1+t和x2=my2+t,代入整理得2my1y2+(t−4)(y1+y2)=0,将①②代入得2m⋅3t2−123m2+4+(t−4)⋅−6tm3m2+4=0,解得t=1于是直线AC的方程为x=my+1,所以直线经过定点(1, 0).已知函数f(x)=x−1x−alnx.(1)求曲线y=f(x)在点(e, −1e)处的切线方程(其中e为自然对数的底数);(2)若e+1e <a<103,f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),设函数g(x)=x2f′(x)+2lnx−ax−1,其中f′(x)为f(x)的导数,求g(x1)−g(x2)的取值范围.【答案】函数f(x)=x−1x−alnx.依题意曲线y=f(x)在点(e, −1e)处的切线得,f(e)=e−1e =a−1e,所以a=e,所以f(x)=x−1x −elnx.f′(x)=1+1x−ex.k=f′(e)=1+1e2−1=1e2,所求切线方程为:y+1e =1e2(x−e),即x−e2y−2e=0;若e+1e <a<103,f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),令f′(x)=1+1x2−ax=x2−ax+1x2=0得x2−ax+1=0(x>0),因为e+1e <a<103,△=a2−4>0,0<x1=a−√a2−42<1,x2=a+√a2−42>1;x 1+x 2=a ,x 1⋅x 2=1, x 2=1x 1,x 1+1x 1=a ,因为e +1e <a <103,所以e +1e <x 1+1x 1<103,且0<x 1<1,所以13<x 1<1e ,因为函数g(x)=x 2f′(x)+2lnx −ax −1, 所以g(x)=x 2⋅x 2−ax+1x 2+2lnx −ax −1=x 2−2ax +2lnx ,g(x 1)−g(x 2)=x 12−2ax 1+2lnx 1−(x 22−2ax 2+2lnx 2)=x 12−x 22−2a(x 1−x 2)+2lnx 1−2lnx 2,=x 12−x 22−2(x 1+x 2)(x 1−x 2)+2lnx 1−2lnx 2=x 22−x 12+2lnx 1−2lnx 2=1x 12−x 12+4lnx 1,(13<x 1<1e),令ℎ(x)=1x 2−x 2+4lnx ,(13<x <1e ), ℎ′(x)=−2x3−2x +4x=−2(x 2−1)2x 3<0,(13<x <1e ),所以ℎ(x)在(13, 1e )上单调递减, ℎ(1e )<ℎ(x)<ℎ(13),即e 2−1e 2−4<ℎ(x)<809−4ln3,所以g(x 1)−g(x 2)的取值范围为(e 2−1e 2−4, 809−4ln3); 【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】(1)求曲线y =f(x)的导数,利用切线在点(e, −1e )处的斜率和导数的关系求出切线方程的斜率,利用直线的点斜式可得结果(其中e 为自然对数的底数); (2)若e +1e <a <103,利用函数f(x)有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2)得a 与两极值的关系x 1+x 2=a ,x 1⋅x 2=1,x 2=1x 1,x 1+1x 1=a ,表达函数g(x)=x 2f′(x)+2lnx −ax −1=x 2−2ax +2lnx ,可得g(x 1)−g(x 2)=1x 12−x 12+4lnx 1,(13<x 1<1e),令ℎ(x)=1x 2−x 2+4lnx ,(13<x <1e ),求新函数ℎ(x)在区间的最值可得其取值范围. 【解答】函数f(x)=x −1x −alnx .依题意曲线y =f(x)在点(e, −1e )处的切线得, f(e)=e −1e =a −1e , 所以a =e ,所以f(x)=x −1x −elnx .f′(x)=1+1x 2−ex . k =f′(e)=1+1e 2−1=1e 2,所求切线方程为:y +1e =1e 2(x −e), 即x −e 2y −2e =0; 若e +1e <a <103,f(x)有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2),令f′(x)=1+1x 2−ax =x 2−ax+1x =0得x 2−ax +1=0(x >0), 因为e +1e <a <103,△=a 2−4>0,0<x 1=a−√a2−42<1,x 2=a+√a 2−42>1;x 1+x 2=a ,x 1⋅x 2=1, x 2=1x 1,x 1+1x 1=a ,因为e +1e <a <103,所以e +1e <x 1+1x 1<103,且0<x 1<1,所以13<x 1<1e ,因为函数g(x)=x 2f′(x)+2lnx −ax −1, 所以g(x)=x 2⋅x 2−ax+1x 2+2lnx −ax −1=x 2−2ax +2lnx ,g(x 1)−g(x 2)=x 12−2ax 1+2lnx 1−(x 22−2ax 2+2lnx 2)=x 12−x 22−2a(x 1−x 2)+2lnx 1−2lnx 2,=x 12−x 22−2(x 1+x 2)(x 1−x 2)+2lnx 1−2lnx 2=x 22−x 12+2lnx 1−2lnx 2 =1x 12−x 12+4lnx 1,(13<x 1<1e),令ℎ(x)=1x 2−x 2+4lnx ,(13<x <1e ), ℎ′(x)=−2x 3−2x +4x =−2(x 2−1)2x 3<0,(13<x <1e ),所以ℎ(x)在(13, 1e )上单调递减, ℎ(1e )<ℎ(x)<ℎ(13),即e2−1e2−4<ℎ(x)<809−4ln3,所以g(x1)−g(x2)的取值范围为(e2−1e2−4, 809−4ln3);(二)选考题共10分请考生在2,23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分在平面直角坐标点xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=6.(1)A为曲线C1上的动点,点M在线段OA上,且满足|OM|⋅|OA|=36,求点M的轨迹C2的直角坐标方程;(2)点E的极坐标为(4, π4),点F在曲线C2上,求△OEF面积的最大值【答案】设点A(ρ1, θ),点M(ρ, θ),由于曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=6,A为曲线C1上的动点,故ρ1=6sinθ,点M在线段OA上,且满足|OM|⋅|OA|=36,所以ρ⋅ρ1sinθ=36,整理得点M的轨迹C2的直角坐标方程为x2+(y−3)2=9(y≠0).设F点为(ρ0, α),(α≠π4),则ρ0=6sinα,|OF|=ρ0,且∠EOF=π4(0<α<π4),或∠EOF=α−π4(π4<α<π),|OE|=4,所以S△OEF=12|OE||OF|⋅|sin∠EOF|=12|sinα⋅sin(π4−α)|=3√2|√2sin(2α+π4)−1|,由于α∈(0,π4)∪(π4,π),故当α=5π8时,S△OEF=6+3√2.【考点】轨迹方程【解析】(1)直接利用转换关系式,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用三角形的面积公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.【解答】设点A(ρ1, θ),点M(ρ, θ),由于曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=6,A为曲线C1上的动点,故ρ1=6sinθ,点M在线段OA上,且满足|OM|⋅|OA|=36,所以ρ⋅ρ1sinθ=36,整理得点M的轨迹C2的直角坐标方程为x2+(y−3)2=9(y≠0).设F点为(ρ0, α),(α≠π4),则ρ0=6sinα,|OF|=ρ0,且∠EOF=π4(0<α<π4),或∠EOF=α−π4(π4<α<π),|OE|=4,所以S△OEF=12|OE||OF|⋅|sin∠EOF|=12|sinα⋅sin(π4−α)|=3√2|√2sin(2α+π4)−1|,由于α∈(0,π4)∪(π4,π),故当α=5π8时,S△OEF=6+3√2.[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x+a|−|2x−1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>0的解集;(2)若a>0,不等式f(x)<1对x∈R都成立,求a的取值范围.【答案】函数f(x)=|x+1|−|2x−1|,f(x)>0即为|x+1|>|2x−1|,可得(x+1+2x−1)(x+1−2x+1)>0,即3x(x−2)<0,解得0<x<2,则原不等式的解集为(0, 2);若a>0,不等式f(x)<1对x∈R都成立,即有1>f(x)max,由f(x)=|x+a|−|2x−1|=|x+a|−|x−12|−|x−12|≤|x+a−x+12|−0=|a+12|,可得f(x)的最大值为|a+12|=a+12,(a>0),则a+12<1,解得0<a<12.【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】(1)运用两边平方和平方差公式,可得不等式的解集;(2)由题意可得1>f(x)max,由绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值,解不等式可得所求范围.【解答】函数f(x)=|x+1|−|2x−1|,f(x)>0即为|x+1|>|2x−1|,可得(x+1+2x−1)(x+1−2x+1)>0,即3x(x−2)<0,解得0<x<2,则原不等式的解集为(0, 2);若a>0,不等式f(x)<1对x∈R都成立,即有1>f(x)max,由f(x)=|x+a|−|2x−1|=|x+a|−|x−12|−|x−12|≤|x+a−x+12|−0=|a+12|,可得f(x)的最大值为|a+12|=a+12,(a>0),则a+12<1,解得0<a<12.。
【全国市级联考】湖南省邵阳市2019届高三10月大联考数学(理)试题
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2019届湖南省邵阳市高三上学期10月大联考高三数学试卷(理科)一、 选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{A x y ==,{}0B x x =<,则A C B =( ) A.{}0,4B.(]0,4C.[]0,4D.()0,42.过点()2,1且与直线320x y -=垂直的直线方程为( ) A.2310x y --=B.2370x y +-=C.3240x y --=D.3280x y +-=3.若函数()f x 的定义域为[]1,8,则函数()23x f x -的定义域为( )A.()0,3B.[)(]1,33,8C.[)1,3 D.[)0,34.已知数列{}n a 满足11a =,0n a >1=,那么使32n a <成立的n 的最大值为( ) A.4B.5C.6D.75.若命题“0x R ∃∈,200220x mx m +++<”为假命题,则m 的取值范围是( )A.(][),12,-∞-+∞B.()(),12,-∞-+∞C.[]1,2-D.()1,2-6.将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后,得到函数()f x 的图象,则“6πϕ=”是“()f x 是偶函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.函数()224xx f x =-的图象大致为( )ABCD8.已知三棱锥P ABC -底面的3个顶点,,A B C 在球O 的同一个大圆上,且ABC △为正三角形,P 为该球面上的点,若三棱锥P ABC -体积的最大值为,则球O 的表面积为( ) A.12πB.16πC.32πD.64π9.已知过抛物线()220y px p =>的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点,8AF BF ⋅=,则p =( )A.1B.2C.4D.810.一副扑克牌去掉大小王,从剩余的52张牌中任意取出3张,花色相同的概率、数相连的概率分别是p ,q ,则p ,q 的大小关系是( )A.p q >B.p q <C.p q =D.无法确定11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足121a a ==,21n n S a +=-,则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-…12.已知函数()f x 的导函数为()'f x ,若()()2'2f x f x +>,()05f =,则不等式()241x f x e -->的解集为( ) A.()0,+∞B.(),0-∞C.()(),01,-∞+∞D.()1,+∞二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.在OAB △中,C 满足4AC CB =- ,OC xOA yOB =+,则y x -=_____________.14.已知2tan 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则2cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________.15.若对任意的[],2x a a ∈+,均有()3338x a x +≤,则a 的取值范围是_______________.16.已知关于x 的方程()1cos 0kx x k -=>恰好有两个不同解,其中α为方程中较大的解,则tan2αα=________________.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.ABC △的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c,已知2sin sin a C B . (1)若b =120C =°,求ABC △的面积S ; (2)若:2:3b c =.18.已知:p x R ∀∈,230ax x -+>,[]:1,2q x ∃∈,21x a ⋅≥. (1)若p 为真命题,求a 的取值范围;(2)若p q ∨为真命题,且p q ∧为假命题,求a 的取值范围. 19.设单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知313S =,123111139a a a ++=. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若34log 2n n b a =+,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T .20.如图,菱形ABCD 的边长为4,60DAB =∠°,矩形BD FE 的面积为8,且平面BDFE ⊥平面ABCD.(1)证明:AC BE ⊥;(2)求二面角E AF D --的正弦值. 21.已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数,()2g x t x a =--.(1)若函数()f x 与()g x 有相同的零点,求t 的值; (2)若13,,24e x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦,()()12f x g x ≤,求t 的取值范围.22.已知函数()ln a f x x x =-,其中0a ≠. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)已知()()x g x f e =,()()11,A x g x ,()()()2212,B x g x x x <是函数()g x 图象上的两点,证明:存在()012,x x x ∈,使得()()()21021'g x g x g x x x -=-.2019届湖南省邵阳市高三上学期10月大联考高三数学试卷(理科)参考答案一、选择题1-5:CBDBC 6-10:ADBBA 11、12:CA 二、填空题 13.53 14.91315.(],1-∞- 16.1- 三、解答题17. 解:(1)由2sin sin a C B,得2ac =,∴2a =.∵b =6a =,∴11sin 6sin1201822S ab C ==⨯⨯=°.(2)∵2a =,:2:3b c =,∴::2:3a b c =,故可设a =,2b k =,()30c k k =>,则2225cos 26b c a A bc +-==,6cos 213A -====.18.解:(1)当0a =时,30x -+>不恒成立,不符合题意; 当0a ≠时,01120a a >⎧⎨∆=-<⎩,解得112a >.综上所述:112a >. (2)[]1,2x ∃∈,21x a ⋅≥,则14a ≥.因为p q ∨为真命题,且q q ∧为假命题,所以p 真q 假或p 假q 真,当p 真q 假,有11214a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩,即11124a <<;当p 假q 真,有11214a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,则a 无解.综上所述,11124a <<. 19.解:(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,()23110S a q q =++>,故0n a >, 则13123322123132221111139a a a a a S a a a a a a a a +++++=+===,解得23a =. 312333313S a a a q q=++=++=,解得3q =. 所以13n n a -=.(2)由(1)及题设可得42n b n =-.()()111111424244242n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭. 所以11111114266104242n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ (111424284)nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 20.(1)证明:因为四边形BDFE 是矩形,所以BE BD ⊥. 因为平面BDFE ⊥平面ABCD ,且平面BDFE 平面ABCD BD =, 所以BE ⊥平面ABCD .又AC ⊂平面ABCD ,所以AC BE ⊥.(2)解:设AC 与BD 的交点为O ,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 因为菱形ABCD 的边长为4,且60DAB =∠°,所以4BD =. 因为矩形BDFE 的面积为8,所以2BE =.则()A -,()0,2,0D ,()0,2,2E -,()0,2,2F ,所以()0,4,0EF =,()AF =,()AD = .设平面AEF 的法向量为()1111,,n x y z =, 则{11111140220EF n y AF n y z ⋅==⋅=++=, 令11x =,则10y =,1z =,所以(11,0,n =.设平面ADF 的法向量为()2222,,n x y z =,则222222222020AF n y z AD n y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ , 令21x =,则2y =20z =,所以()21,n =.所以12121211cos ,224n n n n n n ⋅<>===⨯,所以12sin ,n n <>=. 所以二面角E AF D --. 21.解:(1)因为())2log f x x =是R 上的奇函数,所以()00f =,即log 0=,解得1a =.因为0x =是函数()f x 的零点,所以()010g t =-=,则1t =. (2)由(1)可得())2log f x x =,()121,221121,2x t x g x t x x t x ⎧-++≥⎪⎪=--=⎨⎪+-<⎪⎩,因为奇函数())22log log f x x ==()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数,则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为()2max 33log 144f x f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.因为()121,2121,2x t x g x x t x ⎧-++≥⎪⎪=⎨⎪+-<⎪⎩,所以()g x 在31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.则()g x 的最小值为34g ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个.因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()22213g t t =-⨯++=-.所以()()min 23g x g t ==-.因为123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦,()()12f x f x ≤,所以13t ≤-.解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.22.(1)解:因为()()ln 0a f x x x x =->,所以()111'a a a x a f x ax x x-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=.当0a <时,()'0f x <恒成立,所以()f x 在()0,+∞上单调递减. 当0a >时,令()'0f x =,得1ax a -=.当10,ax a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0f x <,()f x 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当1,ax a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()'0f x >,()f x 在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.(2)证明:()()x ax g x f e e x ==-,()'1ax g x ae =-. 令()()()()21212121'ax ax axg x g x e e x g x ae x x x x ϕ--=-=---,则()()()121121211ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦-, ()()()212212211ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦-, 令()1x F t e t =--,则()'1x F t e =-,当0t <时,()'0F t <,()F t 单调递减;当0t >时,()'0F t >,()F t 单调递增. 故当0t ≠时,()()00F t F ==,即10x e t -->. 从而()()212110a x x e a x x ---->,()()121210a x x e a x x ---->,又1210ax e x x >-,2210ax e x x >-, 所以()10x ϕ<,()20x ϕ>.因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在()012,x x x ∈, 使得()00x ϕ=,即存在()012,x x x ∈使得()()()21021'g x g x g x x x -=-.。
湖南省邵阳市2019届高三上学期第三次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
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湖南省邵阳市2019届高三上学期第三次模拟考试数学(文)试题一.选择题(每题5分,计60分)1、已知集合{}N n n x x A ∈+==,23,{}14,12,10,8,6=B ,则集合B A 中的元素个数为( ) A .2 B .3 C .4 D .52、设i 是虚数单位,复数iia -+2是纯虚数,则实数=a ( ) A .2 B .21 C .21- D .2-3、若向量),3(m =,)1,2(-=且b a ⊥,则实数m 的值为( ) A .32-B .32C . 2D .6 4.函数()e 2x f x x =+-的零点所在的区间是A .()2,1--B .()1,0-C .()0,1D .()1,2 5.等比数列{}n a 的第5项恰好等于前5项之和,那么该数列的公比q =( ) A .1- B .1 C .1或1- D .26.对于函数,cos sin ,cos cos sin ,sin )(⎩⎨⎧<≥=x x x xx x x f 则下列正确的是( ) A .该函数的值域是[]1,1- B .当且仅当)(22Z k k x ∈+=ππ时,该函数取得最大值1C .当且仅当322()2k x k k Z ππππ+<<+∈时()0f x < D .该函数是以π为最小正周期的周期函数7.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( )A .f(x)=ln x xB .f(x)=x e xC .f(x)=21x -1D .f(x)=x -1x8.设数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,已知14725899,93a a a a a a ++=++=,若对任意*,n N ∈都有n k S S ≤成立,则k 的值为( ) A .22B .21C .20D .199.我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题:远望巍巍塔七层,红灯向下成培增,共灯三百八十一,请问塔顶几盏灯?( )A .5B .4C .3D .210.已知函数()sin f x x x =,则π()11f ,(1)f -,π3f -()的大小关系为( ) A .ππ()(1)()311f f f ->-> B .ππ(1)()()311f f f ->->C .ππ()(1)()113f f f >->-D .ππ()()(1)311f f f ->>-11.已知实数[0,1]m ∈,[0,2]n ∈,则关于x 的一元二次方程224420x mx n n +-+=有实数根的概率是( ) A .14π-B .4πC .32π-D .12π-12.已知函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导数21)('<x f ,则不等式212)(22+<x x f 的解集为( )A. ),(),(∞+⋃∞11--B. (1,+ ∞)C. (-∞,-1)D. (-1.1)二.填空题(每题5分,计20分)13.已知曲线34313+=x y ,则曲线在点)4,2(P 处的切线方程为 .14.设0≤θ<2π,已知两个向量错误!未找到引用源。
2019届湖南省邵阳市高三上学期第一次月考数学(文)试题Word版含答案
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2019届湖南省邵阳市高三上学期第一次月考数学(文)试题考试时间:120分钟;命题: 审题:第I 卷(选择题)一、选择题(本题共12小题,每小题只有一个正确答案!每小题5分,共60分) 1.已知i 为虚数单位,复数z 满足()1i 1i z -=+,则z 的共轭复数是( ) A. 1 B. 1- C. i D. i -2.设集合{|22}A x x =-≤≤,集合}032|{2>--=x x x B ,则A B ⋃=( ) A. ()(),13,-∞-⋃+∞ B. (]1,2- C. [)2,1-- D. (](),23,-∞⋃+∞ 3.已知x 与y 之间的几组数据如下表:则y 与x 的线性回归方程 y bx a =+必过( )A .()1,3B .()2,5C .()1.5,4D .()3,74.已知实数x , y 满足30,{260,320,x y x y x y ++>-+>--<则z x y =-的最小值为( )A. 0B. 1-C. 3-D. 5-5.甲在微信群中发布总金额6分钱的“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人抢完.则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( ) A.34 B. 13 C.310 D. 256.已知直线y=b/2与椭圆C : 22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点,若椭圆C 的两个焦点与,A B 两点可以构成一个矩形,则椭圆C 的离心率为( ) A.137.如图,为正方体,下面结论:①//BD 平面;②;③平面;④直线与所成的角为45°.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 8.函数的部分图象可能是( )A. B. C. D.9.下列函数中,既是单调函数又是奇函数的是( )A. B. C. D.10.执行如图所示的程序框图,如果输出的m 值为3,则输入a 的值可以是 ( )A. 23B. 22C. 21D. 2011.已知点)A, ()0,3B , ()0,1C ,则BAC ∠=( )A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 120︒12.定义平面上两条相交直线的夹角为:两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E :22221(0,0)x y a b a b-=>>,当其离心率e ⎤∈⎦时,对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为( ) A. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷(非选择题)二、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分)13.已知向量满足,,且,则实数__________.14.曲线()ln 23y x x =+-在点()1,3-处的切线方程为__________.15.如果21)4tan(,43)tan(=-=+παβα,那么4tan(πβ+= .16. 体积为的球面上有,,A B C 三点,1AB =,BC =,,A C 两点的球面距离为,则球心到平面ABC 的距离为_______________.三、解答题(共70分,其中第17--21题为必考题,第22、23题为选考题) (一)必考题17.(本题12分)如图所示,已知AB 为圆O 的直径,点D 为线段AB 上一点,且13AD DB =,点C 为圆O 上一点,且BC =.点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D,PD DB =.(1)求证:PA CD ⊥;(2)求二面角C PB A --的余弦值.18.(本题12分)已知数列{}n a 的前n 项和为.n S ,且241n n S a =-.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设12n n n b a a +=⋅-,求数列{}n b 的前n 项和n T .19.(本题12分)近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大,科学技术得到迅猛发展,国内企业的国际竞争力得到大幅提升.伴随着国内市场增速放缓,国内有实力企业纷纷进行海外布局,第二轮企业出海潮到来.如在智能手机行业,国产品牌已在赶超国外巨头,某品牌手机公司一直默默拓展海外市场,在海外共设30多个分支机构,需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度,按分层抽样的方式从70后和80后的员工中随机调查了100位,得到数据如下表:(Ⅰ)根据调查的数据,是否有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”,并说明理由;(Ⅱ)该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动,拟安排4名参与调查的70后员工参加.70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加,现采用随机抽样方法从报名的员工中选4人,求选到愿意被外派人数不少于不愿意被外派人数的概率.参考数据:(参考公式:()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++)20.(本题12分)在ΔABC 中,顶点A,B, C 所对三边分别是a,b,c 已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c 成等差数列.(I )求顶点A 的轨迹方程;(II) 设顶点A 的轨迹与直线y=kx+m 相交于不同的两点M 、N ,如果存在过点P(0,-)的直线l,使得点M 、N 关于l 对称,求实数m 的取值范围21.(本题12分)已知函数()()()ln 1f x x a x a R =-+∈. (1)若2a =,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 的方程;(2)若不等式 ()20f x a +< 对任意()1,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围.(二)选考题(考生在以下两题中选一题作答) 22.(本题10分)选修4-4:坐标系与参数方程直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 325{45x t y t=-+= (t 为参数),以原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=. (1)若2a =,求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程; (2)设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值.23.选修4-5:不等式选讲(本题10分)已知函数()()21,f x x g x x a =+=+. (1)当0a =时, 解不等式()()f x g x ≥;(2)若存在x R ∈,使得()()f x g x ≤成立, 求实数a 的取值范围.2019届湖南省邵阳市高三上学期第一次月考数学(文)试题参考答案1.D【解析】由题意得, ()1111iz i i z i i+-=+⇒==-,则z 的共轭复数是i -,故选D. 2.D【解析】由2230x x -->,解得1x <- 或3x > . {|1B x x =<- 或3}x > , ()(),13,=-∞-⋃+∞,又集合[]{|22}=2,2A x x =-≤≤- , (](),23,A B ∴⋃=-∞⋃+∞ ,故选D. 3.C【解析】解:由已知得到3x ,y 42--==,又因为y 与x 的线性回归方程 y bx a =+必过x,y)--(因此答案选择C 4.D【解析】作出可行域:所以当取B 时目标函数取得最小值-4-1=-5 5.D【解析】6分钱分成3份,可能性有()()()1,1,4,1,2,3,2,2,2,第一个分法有3种,第二个分法有6种,第三个分法有1种,其中符合“最佳手气”的有4种,故概率为42105=. 6.C【解析】因为椭圆C 的两个焦点与,A B 两点可以构成一个矩形,所以AB 等于焦距,则椭圆C 经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,b c ,所以222221b c c e a b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=⇒==. 7.D 【解析】由正方体的性质得, ,所以,平面,故①正确.由正方体的性质得 ,而是在底面 内的射影,由三垂线定理知,,故②正确.由正方体的性质得 ,由②知, ,所以,,同理可证,故 垂直于平面内的两条相交直线,所以,⊥平面,故③正确.异面直线与所成的角就是直线与所成的角,故为异面直线与所成的角,在等腰直角三角形中, ,故④正确.点睛:求异面直线所成角的常见方法——平移法.将两条直线或其中一条平移(找出平行线)至它们相交,把异面转化为共面,用余弦定理或正弦定理来求(一般是余弦定理).常利用平行四边形或三角形中位线来构造平行线.8.A 【解析】为奇函数,排除B;,函数单调递增,排除C,D;故选A. 9.D 【解析】非奇非偶函数,不正确;偶函数,不正确;非奇非偶函数,不正确; 是奇函数,且为增函数,满足, 故选D. 10.D【解析】由程序框图知,第1次循环后, S 3,1m ==, 第2次循环后, S 9,2m ==, 第3次循环后, S 21,3m ==,由题意知,此时不满足S a ≤,退出循环,输出3m =,所以21a <,故选D. 11.C【解析】由题知()(),1AB AC ==-,则((()111cos 222AB AC BAC AB AC⨯+⨯-⋅∠===⨯,则3BAC π∠=.故本题答案选C . 点睛:本题主要考查向量的线性运算与坐标运算.向量的坐标运算主要是利用向量加,减,数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标,向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算的完全代数化,将数与形紧密结合起来,就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟悉的数量运算. 12.D【解析】由题意可得: [][]222222212,4,1,3c b b e a a a==+∈∴∈ ,设双曲线的渐近线与x 轴的夹角为θ , 双曲线的渐近线为b y x a =±,则,46ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择D 选项. 13.【解析】很明显,则:,据此有:,解得:.14.210x y +-= 【解析】11332212y k x =-∴=-=-+-+' ,切线方程为()321,y x -=-+ 即210x y +-= 点睛:求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异,过点P 的切线中,点P 不一定是切点,点P 也不一定在已知曲线上,而在点P 处的切线,必以点P 为切点. 15.211【解析】tan()tan[()()]44ππβαβα+=+--tan()tan()41tan()tan()4παβαπαβα+--=++- 3124211142-==+⋅。
2019年高三上学期10月月考数学试卷(文科)含解析
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2019年高三上学期10月月考数学试卷(文科)含解析一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.已知全集U=R,集合A={x|x≤﹣2或x≥3},B={x|x<﹣1或x>4},那么集合(∁UA)∩B等于()A.{x|﹣2≤x<4} B.{x|﹣2<x<3}C.{x|﹣2<x<﹣1} D.{x|﹣2<x<﹣1或3<x<4}2.已知命题p:∃x∈R,x﹣2>lgx,命题q:∀x∈R,x2>0,则()A.命题p∨q是假命题 B.命题p∧q是真命题C.命题p∧(¬q)是真命题D.命题p∨(¬q)是假命题3.在等差数列{an }中,首项a1=0,公差d≠0,若am=a1+a2+…+a9,则m的值为()A.37 B.36 C.20 D.194.若点P在曲线y=x3﹣3x2+(3﹣)x+上移动,经过点P的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是()A.[0,)B.[0,)∪[,π)C.[,π)D.[0,)∪(,]5.i是虚数单位,若复数z满足zi=﹣1+i,则复数z的实部与虚部的和是()A.0 B.1 C.2 D.36.已知m、n为两条不同的直线α、β为两个不同的平面,给出下列四个命题①若m⊂α,n∥α,则m∥n;②若m⊥α,n∥α,则m⊥n;③若m⊥α,m⊥β,则α∥β;④若m∥α,n∥α,则m∥n.其中真命题的序号是()A.①②B.③④C.①④D.②③7.已知函数f(x)满足:4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x﹣y)(x,y∈R)且,则fA. B. C. D.8.在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、.若m、M分别为(++)•(++)的最小值、最大值,其中{i,j,k}⊆{1,2,3,4,5},{r,s,t}⊆{1,2,3,4,5},则m、M 满足()A.m=0,M>0 B.m<0,M>0 C.m<0,M=0 D.m<0,M<0二、填空题:(本大题共6小题;每小题5分,共30分.)9.设m∈R,m2+m﹣2+(m2﹣1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=4,S3=3,则公差d=.11.若cosxcosy+sinxsiny=,则cos(2x﹣2y)=.12.已知函数若直线y=m与函数f(x)的图象只有一个交点,则实数m的取值范围是.13.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,20,则输出的a=.14.已知A、B为函数y=f(x),x∈[a,b]图象的两个端点,M(x,y)是f(x)图象上任意一点,其中x=λa+(1﹣λ)b,λ∈[0,1],又已知向量=λ+(1﹣λ),若不等式||≤k恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”.若函数f(x)=x﹣在[1,2]上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围为.三、解答题:(本大题6小题,共80分.解答写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.已知数列{a n}的前n项和S n=n﹣5a n﹣85,(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)令b n=log+log+…+log,求数列{}的前n项和T n.16.已知函数.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,,求△ABC的面积.17.已知{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)等比数列{b n}满足:b1=a1,b2=a2﹣1,若数列c n=a n•b n,求数列{c n}的前n项和S n.18.在△ABC中,2cos2cosB﹣sin(A﹣B)sinB+cos(A+C)=﹣.(1)求cosA的值;(2)若a=4,b=5,求在方向上的投影.19.已知函数f(x)=x3﹣bx+c(b,c∈R)(Ⅰ)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1,求b,c的值;(Ⅱ)若b=1,函数f(x)在区间(0,2)内有唯一零点,求c的取值范围;(Ⅲ)若对任意的x1,x2∈[﹣1,1],均有|f(x1)﹣f(x2)|≤,求b的取值范围.20.对于一组向量,,,…,(n∈N*),令=+++…+,如果存在(p∈{1,2,3,…,n},使得||≥|﹣|,那么称是该向量组的“h向量”.(1)设=(n,x+n)(n∈N*),若是向量组,,的“h向量”,求实数x的取值范围;(2)若=(()n﹣1•(﹣1)n(n∈N*),向量组,,,…,是否存在“h向量”?给出你的结论并说明理由;(3)已知,,均是向量组,,的“h向量”,其中=(sinx,cosx),=(2cosx,2sinx).设在平面直角坐标系中有一点列Q1.Q2,Q3,…,Q n满足:Q1为坐标原点,Q2为的位置向量的终点,且Q2k+1与Q2k关于点Q1对称,Q2k+2与Q2k+1(k∈N*)关于点Q2对称,求||的最小值.参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.已知全集U=R,集合A={x|x≤﹣2或x≥3},B={x|x<﹣1或x>4},那么集合(∁U A)∩B等于()A.{x|﹣2≤x<4}B.{x|﹣2<x<3}C.{x|﹣2<x<﹣1}D.{x|﹣2<x<﹣1或3<x<4}【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】求出集合A的补集,从而求出其和B的交集即可.【解答】解:集合A={x|x≤﹣2或x≥3},∴∁U A={x|﹣2<x<3},B={x|x<﹣1或x>4},∴(∁U A)∩B={x|﹣2<x<﹣1},故选:C.2.已知命题p:∃x∈R,x﹣2>lgx,命题q:∀x∈R,x2>0,则()A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∧(¬q)是真命题D.命题p∨(¬q)是假命题【考点】全称命题;复合命题的真假.【分析】先判断出命题p与q的真假,再由复合命题真假性的判断法则,即可得到正确结论.【解答】解:由于x=10时,x﹣2=8,lgx=lg10=1,故命题p为真命题,令x=0,则x2=0,故命题q为假命题,依据复合命题真假性的判断法则,得到命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题,¬q是真命题,进而得到命题p∧(¬q)是真命题,命题p∨(¬q)是真命题.故答案为C.3.在等差数列{a n}中,首项a1=0,公差d≠0,若a m=a1+a2+…+a9,则m的值为()A.37 B.36 C.20 D.19【考点】数列的求和;等差数列.【分析】利用等差数列的通项公式可得a m=0+(m﹣1)d,利用等差数列前9项和的性质可得a1+a2+…+a9=9a5=36d,二式相等即可求得m的值.【解答】解:∵{a n}为等差数列,首项a1=0,a m=a1+a2+…+a9,∴0+(m﹣1)d=9a5=36d,又公差d≠0,∴m=37,故选A.4.若点P在曲线y=x3﹣3x2+(3﹣)x+上移动,经过点P的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是()A.[0,)B.[0,)∪[,π)C.[,π)D.[0,)∪(,]【考点】导数的几何意义;直线的倾斜角.【分析】先求出函数的导数y′的解析式,通过导数的解析式确定导数的取值范围,再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率,来求出倾斜角的取值范围.【解答】解:∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3(x﹣1)2﹣≥﹣,∴tanα≥﹣,又0≤α<π,∴0≤α<或≤α<π,故选B.5.i是虚数单位,若复数z满足zi=﹣1+i,则复数z的实部与虚部的和是()A.0 B.1 C.2 D.3【考点】复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的乘法求出复数z,然后求解结果即可.【解答】解:复数z满足zi=﹣1+i,可得z===1+i.复数z的实部与虚部的和是:1+1=2.故选:C.6.已知m、n为两条不同的直线α、β为两个不同的平面,给出下列四个命题①若m⊂α,n∥α,则m∥n;②若m⊥α,n∥α,则m⊥n;③若m⊥α,m⊥β,则α∥β;④若m∥α,n∥α,则m∥n.其中真命题的序号是()A.①②B.③④C.①④D.②③【考点】平面的基本性质及推论.【分析】m⊂α,n∥α,则m∥n或m与n是异面直线;若m⊥α,则m垂直于α中所有的直线,n∥α,则n平行于α中的一条直线l,故m⊥l,m⊥n;若m⊥α,m⊥β,则α∥β;m∥α,n∥α,则m∥n,或m,n相交,或m,n异面.【解答】解:m⊂α,n∥α,则m∥n或m与n是异面直线,故①不正确;若m⊥α,则m垂直于α中所有的直线,n∥α,则n平行于α中的一条直线l,∴m⊥l,故m⊥n.故②正确;若m⊥α,m⊥β,则α∥β.这是直线和平面垂直的一个性质定理,故③成立;m∥α,n∥α,则m∥n,或m,n相交,或m,n异面.故④不正确,综上可知②③正确,故答案为:②③.7.已知函数f(x)满足:4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x﹣y)(x,y∈R)且,则fA. B. C. D.【考点】抽象函数及其应用.【分析】由,令y=1代入题中等式得f(x)=f(x+1)+f(x﹣1),由此证出f(x+6)=f(x),可得函数f(x)是周期T=6的周期函数.令y=0代入题中等式解出f(0)=,再令x=y=1代入解出f(2)=﹣,同理得到f(4)=﹣.从而算出f=f(4)=﹣.【解答】解:∵,∴令y=1,得4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x﹣1),即f(x)=f(x+1)+f(x﹣1),即f(x+1)=f(x)﹣f(x﹣1)…①用x+1替换x,得f(x+2)=f(x+1)﹣f(x),…②①+②得:f(x+2)=﹣f(x﹣1),再用x+1替换x,得f(x+3)=﹣f(x).∴f(x+6)=f[(x+3)+3]=﹣f(x+3)=﹣[﹣f(x)]=f(x),函数f(x)是周期T=6的周期函数.因此,f=f(4).∵4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x﹣y)∴令y=0,得4f(x)f(0)=2f(x),可得f(0)=.在4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x﹣y)中令x=y=1,得4f2(1)=f(2)+f(0),∴4×=f(2)+,解之得f(2)=﹣同理在4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x﹣y)中令x=y=2,解得f(4)=﹣.∴f=﹣.故选:A8.在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、.若m、M分别为(++)•(++)的最小值、最大值,其中{i,j,k}⊆{1,2,3,4,5},{r,s,t}⊆{1,2,3,4,5},则m、M 满足()A.m=0,M>0 B.m<0,M>0 C.m<0,M=0 D.m<0,M<0【考点】平面向量数量积的运算;进行简单的合情推理.【分析】利用向量的数量积公式,可知只有,其余数量积均小于等于0,从而可结论.【解答】解:由题意,以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、,∴利用向量的数量积公式,可知只有,其余数量积均小于等于0,∵m、M分别为(++)•(++)的最小值、最大值,∴m<0,M<0故选D.二、填空题:(本大题共6小题;每小题5分,共30分.)9.设m∈R,m2+m﹣2+(m2﹣1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=﹣2.【考点】复数的基本概念.【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0,m2﹣1≠0,由此解得实数m的值.【解答】解:∵复数z=(m2+m﹣2)+(m﹣1)i为纯虚数,∴m2+m﹣2=0,m2﹣1≠0,解得m=﹣2,故答案为:﹣2.10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=4,S3=3,则公差d=3.【考点】等差数列的前n项和.【分析】由等差数列的性质可得S3=3a2=3,解得a2的值,由公差的定义可得.【解答】解:由等差数列的性质可得S3===3,解得a2=1,故公差d=a3﹣a2=4﹣1=3故答案为:311.若cosxcosy+sinxsiny=,则cos(2x﹣2y)=﹣.【考点】两角和与差的余弦函数;二倍角的余弦.【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简,求出cos(x﹣y)的值,所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后,将cos(x﹣y)的值代入计算即可求出值.【解答】解:∵cosxcosy+sinxsiny=cos(x﹣y)=,∴cos(2x﹣2y)=cos2(x﹣y)=2cos2(x﹣y)﹣1=﹣.故答案为:﹣.12.已知函数若直线y=m与函数f(x)的图象只有一个交点,则实数m的取值范围是m≥2或m=0.【考点】分段函数的应用.【分析】作出函数f(x)的图象,判断函数的单调性和取值范围,利用数形结合进行判断即可.【解答】解:作出函数f(x)的图象如图,则当x<1时,f(x)∈(0,2),当x≥1时,f(x)≥0,则若直线y=m与函数f(x)的图象只有一个交点,则m≥2或m=0,故答案为:m≥2或m=013.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,20,则输出的a=2.【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:当a=14,b=20时,满足a≠b,但不满足a>b,执行b=b﹣a后,a=14,b=6,当a=14,b=6时,满足a≠b,且满足a>b,执行a=a﹣b后,a=8,b=6,当a=8,b=6时,满足a≠b,且满足a>b,执行a=a﹣b后,a=2,b=6,当a=2,b=6时,满足a≠b,但不满足a>b,执行b=b﹣a后,a=2,b=4,当a=2,b=4时,满足a≠b,但不满足a>b,执行b=b﹣a后,a=2,b=2,当a=2,b=2时,不满足a≠b,故输出的a值为2,故答案为:214.已知A、B为函数y=f(x),x∈[a,b]图象的两个端点,M(x,y)是f(x)图象上任意一点,其中x=λa+(1﹣λ)b,λ∈[0,1],又已知向量=λ+(1﹣λ),若不等式||≤k恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”.若函数f(x)=x﹣在[1,2]上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围为.【考点】平面向量的综合题.【分析】先得出M、N横坐标相等,再将恒成立问题转化为求函数的最值问题.【解答】解:由题意,M、N横坐标相等,恒成立,即,由N在AB线段上,得A(1,0),B(2,),∴直线AB方程为y=(x﹣1)∴=y1﹣y2=﹣(x﹣1)=﹣(+)≤(当且仅当x=时,取等号)∵x∈[1,2],∴x=时,∴故答案为:三、解答题:(本大题6小题,共80分.解答写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.已知数列{a n}的前n项和S n=n﹣5a n﹣85,(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)令b n=log+log+…+log,求数列{}的前n项和T n.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(I)利用S n=n﹣5a n﹣85,S n+1=(n+1)﹣5a n+1﹣85,两式相减得a n+1=1﹣5a n+1+5a n,化为,再利用等比数列的通项公式即可得出.(2)利用对数的运算可得=n,利用等差数列的前n项和公式即可得出b n,再利用“裂项求和”即可得出T n.【解答】解:(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=1﹣5a1﹣85,解得a1=﹣14.∵S n=n﹣5a n﹣85,S n+1=(n+1)﹣5a n+1﹣85,∴两式相减得a n+1=1﹣5a n+1+5a n,即,从而{a n﹣1}为等比数列,首项a1﹣1=﹣15,公比为.∴,即.∴{a n}的通项公式为.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∴=n,∴b n=1+2+3+…+n=.∴,∴T n==.16.已知函数.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,,求△ABC的面积.【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性;正弦定理.【分析】(Ⅰ)利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为sin(2x+),令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈z,求得x的范围,即可求得f(x)的单调递增区间.(Ⅱ)由已知,可得sin(2A+)=,求得A=,再利用正弦定理求得b的值,由三角形内角和公式求得C的值,再由S=ab•sinC,运算求得结果.【解答】解:(Ⅰ)=sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=(sin2x+cos2x)=sin(2x+).令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈z,求得kπ﹣≤x≤kπ+,函数f(x)的单调递增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈z.(Ⅱ)由已知,可得sin(2A+)=,因为A为△ABC内角,由题意知0<A<π,所以<2A+<,因此,2A+=,解得A=.由正弦定理,得b=,…由A=,由B=,可得sinC=,…∴S=ab•sinC==.17.已知{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)等比数列{b n}满足:b1=a1,b2=a2﹣1,若数列c n=a n•b n,求数列{c n}的前n项和S n.【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.【分析】(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,d>0,利用等差数列的通项表示已知,求解出d,a1,结合等差数列的通项即可求解(Ⅱ)由b1=1,b2=2可求,,结合数列的特点,考虑利用错位相减求解数列的和【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,则依题设d>0由a2+a7=16.得2a1+7d=16 ①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由a3a6=55得(a1+2d)(a1+5d)=55 ②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由①得2a1=16﹣7d将其代入②得(16﹣3d)(16+3d)=220.即256﹣9d2=220∴d2=4,又d>0∴d=2,代入①得a1=1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴a n=1+(n﹣1)•2=2n﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(Ⅱ)b1=1,b2=2∴∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣两式相减可得:=1+2×﹣(2n﹣1)•2n∴=2n+1﹣3﹣(2n ﹣1)•2n﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18.在△ABC中,2cos2cosB﹣sin(A﹣B)sinB+cos(A+C)=﹣.(1)求cosA的值;(2)若a=4,b=5,求在方向上的投影.【考点】两角和与差的余弦函数;向量数乘的运算及其几何意义;二倍角的正弦;二倍角的余弦;余弦定理.【分析】(Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出A的余弦值,然后求sinA的值;(Ⅱ)利用,b=5,结合正弦定理,求出B的正弦函数,求出B的值,利用余弦定理求出c 的大小.【解答】解:(Ⅰ)由可得,可得,即,即,(Ⅱ)由正弦定理,,所以=,由题意可知a>b,即A>B,所以B=,由余弦定理可知.解得c=1,c=﹣7(舍去).向量在方向上的投影:=ccosB=.19.已知函数f(x)=x3﹣bx+c(b,c∈R)(Ⅰ)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1,求b,c的值;(Ⅱ)若b=1,函数f(x)在区间(0,2)内有唯一零点,求c的取值范围;(Ⅲ)若对任意的x1,x2∈[﹣1,1],均有|f(x1)﹣f(x2)|≤,求b的取值范围.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数零点的判定定理;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(Ⅰ)先求导函数f′(x),根据f′(1)=2可求出b的值,再根据切点既在切线上又在函数图象上可求出c的值;(Ⅱ)先利用导数研究函数的单调性,从而得到f(x)在区间(0,2)内有唯一零点等价于f(1)=0或,解之即可求出c的取值范围;(Ⅲ)若对任意的x1,x2∈[﹣1,1],均有|f(x1)﹣f(x2)|等价于f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值之差M≤,讨论b的取值范围,求出f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值之差M,建立关系式,解之即可.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=x3﹣bx+c,∴f′(x)=x2﹣b,∴f′(1)=1﹣b=2,解得b=﹣1,又f(1)=2+1=3,∴﹣b+c=3,解得c=;(Ⅱ)∵b=1,∴f(x)=x3﹣x+c,则f′(x)=x2﹣1,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,2)时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,又f(0)=c<f(2)=+c,可知f(x)在区间(0,2)内有唯一零点等价于f(1)=0或,解得c=或﹣<c≤0;(Ⅲ)若对任意的x1,x2∈[﹣1,1],均有|f(x1)﹣f(x2)|等价于f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值之差M≤,(ⅰ)当b≤0时,在[﹣1,1]上f′(x)≥0,f(x)在[﹣1,1]上单调递增,由M=f(1)﹣f(﹣1)=﹣2b≤,得b≥﹣,所以﹣≤b≤0,(ⅱ)当b>0时,由f′(x)=0得x=±,由f(x)=f(﹣)得x=2或x=﹣,∴f(2)=f(﹣),同理f(﹣2)=f(),①当>1,即b>1时,M=f(﹣1)﹣f(1)=2b﹣>,与题设矛盾,②当≤1≤2,即≤b≤1时,M=f(﹣2)﹣f()=﹣+2b=≤恒成立,③当2<1,即0<b<时,M=f(1)﹣f(﹣1)=﹣2b≤恒成立,综上所述,b的取值范围为[﹣,1].20.对于一组向量,,,…,(n∈N*),令=+++…+,如果存在(p∈{1,2,3,…,n},使得||≥|﹣|,那么称是该向量组的“h向量”.(1)设=(n,x+n)(n∈N*),若是向量组,,的“h向量”,求实数x的取值范围;(2)若=(()n﹣1•(﹣1)n(n∈N*),向量组,,,…,是否存在“h向量”?给出你的结论并说明理由;(3)已知,,均是向量组,,的“h 向量”,其中=(sinx ,cosx ),=(2cosx ,2sinx ).设在平面直角坐标系中有一点列Q 1.Q 2,Q 3,…,Q n 满足:Q 1为坐标原点,Q 2为的位置向量的终点,且Q 2k +1与Q 2k 关于点Q 1对称,Q 2k +2与Q 2k +1(k ∈N *)关于点Q 2对称,求||的最小值.【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】(1)由“h 向量”的定义可知:丨丨>丨+丨,可得≥,即可求得实数x 的取值范围;(2)由=(1,﹣1),丨丨=,当n 为奇数时, ++…+=(,0)=(﹣()n ﹣1,0),丨++…+丨=<<,同理当n 为偶数时, ++…+=(﹣•()n ﹣1,1),即可求得丨丨>丨++…+丨,因此是向量组,,,…,的“h 向量”;(3)由题意可得:丨丨2>丨丨2+丨丨2+2丨丨•丨丨,丨丨2>丨丨2+丨丨2+2丨丨•丨丨,丨丨2>丨丨2+丨丨2+2丨丨•丨丨,以上各式相加,整理可得:丨丨+丨丨+丨丨=0,设=(u ,v ),由丨丨+丨丨+丨丨=0,得:,根据向量相等可知:(x 2k +2,y 2k +2)=2k [(x 2,y 2)﹣(x 1,y 1)]+(x 2,y 2),(x 2k +1,y 2k +1)=﹣2k [(x 2,y 2)﹣(x 1,y 1)]+(x 2,y 2),可知:Q 2k +1•Q 2k +2=(x 2k +2﹣x 2k +1,y 2k +2﹣y 2k +1)=4k [(x 2,y 2)﹣(x 1,y 1)]=4kQ 1•Q 2,由向量的模长公式即可求得丨Q 1•Q 2丨最小值,即可求得||的最小值. 【解答】解:(1)由题意,得:丨丨>丨+丨,则≥…..2’解得:﹣2≤x ≤0; …..4’(2)是向量组,,,…,的“h 向量”,证明如下:=(1,﹣1),丨丨=,当n 为奇数时, ++…+=(,0)=(﹣()n ﹣1,0),…..6’ ∵0≤﹣()n ﹣1<,故丨++…+丨=<<,…8’即丨丨>丨++…+丨当n 为偶数时, ++…+=(﹣•()n ﹣1,1),故丨++…+丨=<<, 即丨丨>丨++…+丨综合得:是向量组,,,…,的“h 向量”,证明如下:”…..10’(3)由题意,得丨丨>丨+丨,丨丨2>丨+丨2,即(丨丨)2≥(丨+丨)2,即丨丨2>丨丨2+丨丨2+2丨丨•丨丨,同理丨丨2>丨丨2+丨丨2+2丨丨•丨丨,丨丨2>丨丨2+丨丨2+2丨丨•丨丨,三式相加并化简,得:0≥丨丨2+丨丨2+丨丨2+2丨丨•丨丨+2丨丨•丨丨+2丨丨•丨丨, 即(丨丨+丨丨+丨丨)2≤0,丨丨丨+丨丨+丨丨丨≤0,∴丨丨+丨丨+丨丨=0,…..13’设=(u ,v ),由丨丨+丨丨+丨丨=0,得:,设Q n (x n ,y n ),则依题意得:, 得(x 2k +2,y 2k +2)=2k [(x 2,y 2)﹣(x 1,y 1)]+(x 2k ,y 2k ), 故(x 2k +2,y 2k +2)=2k [(x 2,y 2)﹣(x 1,y 1)]+(x 2,y 2), (x 2k +1,y 2k +1)=﹣2k [(x 2,y 2)﹣(x 1,y 1)]+(x 2,y 2), ∴Q 2k +1•Q 2k +2=(x 2k +2﹣x 2k +1,y 2k +2﹣y 2k +1)=4k [(x 2,y 2)﹣(x 1,y 1)]=4kQ 1•Q 2,…16’ 丨Q 1•Q 2丨2=丨丨2=(﹣sinx ﹣2cosx )2+(﹣cosx ﹣2sinx )2=5+8sinxcosx=5+4sin2x ≥1, 当且仅当x=k π﹣,(k ∈Z )时等号成立, 故||的最小值4024.xx1月2日25425 6351 捑31591 7B67 筧P~+ 39544 9A78 驸#36141 8D2D 购Pq38373 95E5 闥33824 8420 萠•。
湖南省邵阳市2019-2020学年高三第一次联考数学(文)试题(解析版)
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2020届邵阳市高三第一次联考试题卷数学(理)本试题卷共4页,全卷满分150分, 考试时间120分钟注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸及答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =--=,{}2|1B x x ==则A B = ( )A. {}1-B. {}1,1-C. {}1,2-D. {}2【答案】A 【解析】 【分析】分别求出A 与B 中方程的解集确定出A 与B ,找出两集合的交集即可. 【详解】解:由A 中方程解得:1x =-或2x =, 即{}1,2A =-,由B 中方程解得:1x =-或1x =, 即{}1,1B =-, 则{}1A B ⋂=-. 故选A .【点睛】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.若复数z 满足2512z i =+,则z =( ) A. 32i +或32i -- B. 32i -或32i -+C. 12i +或12i -D. 13±【答案】A 【解析】 【分析】设z =a +bi (a ,b ∈R ),利用复数代数形式乘除运算化简,再由复数相等的条件列式求得a ,b ,则答案可求.【详解】设z =a +bi (a ,b ∈R ), 由z 2=5+12i ,得a 2﹣b 2+2abi =5+12i ,∴225212a b ab ⎧-=⎨=⎩,解得32a b =⎧⎨=⎩或32a b =-⎧⎨=-⎩.∴z =3+2i 或z =﹣3﹣2i . 故选A .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,是基础题. 3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. 34π+B. 3πC. 2πD. π【答案】D 【解析】的【分析】根据三视图画出其立体图形,即可求得该几何体体积.【详解】根据三视图画出其立体图形:由三视图可知,其底面面积为:2π,其柱体的高为:2 ∴ 根据柱体的体积公式求得其体积为:π故选:D.【点睛】本题考查了根据三视图求几何体体积,解题关键是根据三视图画出其立体图形,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.4.“数摺聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句,折扇出入怀袖,扇面书画,扇骨雕琢,是文人雅士的宠物,所以又有“怀袖雅物”的别号.如图(二)是折扇的示意图,A 为OB 的中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分的概率是( )A.14B.12 C.34D.58【答案】C 【解析】 【分析】利用几何概型的方法,求出扇面面积与总扇形面积的比值即可.【详解】设扇形的半径为r ,圆心角为α,则整个扇形区域面积2112S r α=,扇骨部分面积为22122r S α⎛⎫= ⎪⎝⎭.的故在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分的概率是2221132211=142r S S r αα⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-. 故选:C【点睛】本题主要考查了几何概型的一般方法,需要根据题意求出扇环面积占总面积的比值即可.属于基础题型.5.设,a b ∈R ,则“||||a a b b >”是“33a b >”成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当||||a a b b > ①若0a >,0b >,则有22a b >,于是33a b >;②若0a >,0b <,则有||0,||0a a b b ><,可知||||a a b b >显然成立,于是33a b >; ③若0a <,0b >,则||||a a b b >不成立,不满足条件;④若0a <,0b <,由||||a a b b >,可得22a b ->-,即22a b <,所以有330a b >>.∴ “||||a a b b >”是“33a b >”的充分条件.必要性证明:当33a b >①若0a b >>,则有||||a b >,于是||||a a b b >;②若0a b >>,则有||0,||0,a a b b ><于是||||a a b b >;③若0a b >>,则有22a b <,于是22a b ->-,因为2||a a a =-,2||b b b =-,所以有||||a a b b >成立.∴ “||||a a b b >”是“33a b >”的必要条件.综上所述,“||||a a b b >”是“33a b >”的充要条件. 故选:C.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.6.若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩,则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞)D. [4, +∞)【答案】D 【解析】解:x 、y 满足约束条件,表示的可行域如图:目标函数z=x +2y 经过C 点时,函数取得最小值, 由解得C (2,1),目标函数的最小值为:4 目标函数的范围是[4,+∞). 故选D .7.已知函数12()sin(),12xxf x x x R α-=+∈+,则当[0,]απ∈时函数()f x 的图象不可能是( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】观察到四个选项均有奇偶性,且1212xxy -=+为奇函数,故分析sin()y x α=+有奇偶性的情况即可. 【详解】由选项知函数图像关于y 轴或关于原点对称,故0α=,2πα=或απ=.①若0α=,则函数12()sin 12x x f x x -=+,因为()1212()sin sin 1212x xx xf x x x -----=-=++为偶函数,故图像关于y 轴对称,当0x +→时,函数()0f x <,此时对应的图像为A.②若2πα=,则函数12()cos 12xxf x x -=+为奇函数,图像关于原点对称,当0x +→时,函数()0f x <,此时对应的图像为D.③若απ=,则函数12()sin 12x xf x x -=-+为偶函数,图像关于y 轴对称. 当0x +→时,函数()0f x >,此时对应的图像为B.故不可能是C. 故选:C【点睛】本题主要考查了函数图像的判定方法与技巧,主要分析函数的奇偶性与函数在0x +→时的正负等.属于中等题型.8.在数列{}n a 中,若12211,3,(1)n n n a a a a a n ++===-≥,则该数列的前50项之和是( ) A. 18 B. 8C. 9D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据递推公式逐个计算,从而发现数列为周期数列,再分组求解前50项之和即可. 【详解】由题意得123214325431,3,2,1,3,a a a a a a a a a a a ===-==-=-=-=-6542,a a a =-=-7651,a a a =-=8763,a a a =-=故数列{}n a 为周期为6的周期函数.且1234561321320a a a a a a ++=++--+-+=+.故该数列的前50项之和()1234564950152084S a a a a a a a a a a =⨯++++++++==.故选:D【点睛】本题主要考查了周期数列的运用,根据递推公式逐个项求解发现周期后再求和即可.属于中等题型.9.已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+,当(0,1)x ∈时,()2xf x =,则()2log 12f =( )A. 43-B.2332 C. 34D. 38-【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性和奇函数的性质可得,()()()222log 12log 1244log 12f f f =-=--,再根据指数运算和对数运算即可求得结果.【详解】由题意()(4)f x f x =+,故函数()f x 是周期为4的函数, 由23log 124<<,则21log 1240-<-<,即204log 121<-<, 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数,则()()()2244log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-,故选A.【点睛】本题主要考查对数函数,奇函数,周期函数,以及抽象函数的性质,综合性较强,属中档题. 10.在长方体1111ABCD A B C D -中,12,3AB AD AA ===,点E 为棱1BB 上的点,且12BE EB =,则异面直线DE 与11A B 所成角的正弦值为( )A.B.3C.4D.3【答案】B 【解析】 【分析】在1AA 上取点F ,使得12AF FA =,连接,EF FD ,可得11//EF A B ,得到异面直线DE 与11A B 所成角就是相交直线EF 与DE 所成的角,在DEF ∆中,利用余弦定理和三角函数的基本关系式,即可求解. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中,12,3AB AD AA ===,点E 为棱1BB 上的点,且12BE EB =,如图所示,在1AA 上取点F ,使得12AF FA =,连接,EF FD ,可得11//EF A B , 所以异面直线DE 与11A B 所成角就是相交直线EF 与DE 所成的角, 设DEF θ∠=,又由在直角ADF ∆中,2,2AD AF ==,所以DF ==,在直角BDE ∆中,2BD BE ==,所以DE =,在DEF ∆中,2,DF EF DE ===由余弦定理可得222cos 2DE EF DF DE EF θ+-===⋅, 所以所以异面直线DE 与11A B所成角的正弦值sin θ=,故选B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解,其中解答中根据几何体的结构特征,把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键,着重考查了空间向量能力,以及推理与计算能力,属于基础题.11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F P 是抛物线C 的准线上一点,且P 的纵坐标为正数,Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点,若2PQ QF =,则直线PF 的方程为( )A.0y --=B. 10x y +-=C. 10x y --=D.0y +-=【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求得直线PF 的倾斜角与斜率即可.【详解】作QM y ⊥轴于M ,则根据抛物线的定义有QM QF =.又2PQ QF =,故2PQ QM =,故1cos 2MQ PQM PQ ∠==.故3PQM π∠=,故直线PF 的倾斜角为23π.故直线PF 的斜率为直线PF 的方程为)1y x =-,0y +-=.故选:D【点睛】本题主要考查了抛物线的定义应用,需要作出辅助线求得直线的倾斜角与斜率,进而求得方程.属于基础题型.12.已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x ',对任意(0,)x π∈,有()sin ()cos f x x f x x '<,且()()0f x f x +-=.设2,,642a f b c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则( )A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据()sin ()cos f x x f x x '<可构造函数()()sin f x g x x=,再利用单调性判断函数值的大小即可. 【详解】构造函数()()sin f x g x x =,则2'()sin ()cos '()sin f x x f x x g x x-=,又()sin ()cos f x x f x x '<, 故2'()sin ()cos '()0sin f x x f x x g x x-=<.()()sin f x g x x =在(0,)x π∈上单调递减. 又()()0f x f x +-=,故()f x 为奇函数,故()()sin f x g x x=为偶函数.又2(),,664422a f g b g c f g ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又偶函数()()sin f x g x x =在(0,)x π∈上单调递减.故()()6642g g g g ππππ⎛⎫⎛⎫-=>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故c b a <<. 故选:D【点睛】本题主要考查了构造函数判断函数值的大小问题,需要根据题意构造合适的函数,并分析单调性与奇偶性,从而求得函数值大小的关系等.属于中等题型.二、填空题:本大题有4个小题,每小题5分,满分20分.13.在ABC ∆中,(1,2),(4,2)AC AB ==-,则ABC ∆的面积为__________.的【答案】5 【解析】 【分析】设(0,0)A ,则求,B C 的坐标进而求得面积即可.【详解】设(0,0)A ,则(1,2),(4,2)C B -,故ABC ∆可以(0,0)A 为顶点,底边5BC =,高为2的三角形.求面积为15252S =⨯⨯=.故答案为:5【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标方法,需要根据题意求得对应的顶点坐标再求解.属于基础题型. 14.为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件: (i )老年人的人数多于中年人的人数; (ii )中年人的人数多于青年人的人数; (iii )青年人的人数的两倍多于老年人的人数.①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为___________. ②抽取的总人数的最小值为__________. 【答案】 (1). 6 (2). 12 【解析】 【分析】设老年人、中年人、青年人的人数分别为,,x y z ,①4z =,则8xx y>⎧⎨>⎩ ,即可求得中年人的人数的最大值. 由题意可得2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩,得2z x y z >>>,,,x y z +∈N ,即可求得抽取的总人数的最小值.【详解】设老年人、中年人、青年人的人数分别为,,x y z①4z =,则8xx y>⎧⎨>⎩ ,则y 的最大值为6②由题意可得2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩,得2z x y z >>>,,,x y z +∈N22z z ∴>+ 解得2z >∴ 当3,4,5z y x ===时x y z ++取最小值12.故答案为:①6.②12.【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件确定可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,从而确定目标函数在何处取得最优解.15.已知函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩,若存在四个不同的实数1234|,,,x x x x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===,且1234x x x x <<<,则1234x x x x +++=__________.【答案】8 【解析】 【分析】因为函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩,画出其函数图像,当存在四个不同的实数1234,,,x x x x 满足()()()()1234f x f x f x f x===,且1234x x x x <<<结合图像求解1234x x x x +++的值. 【详解】 函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 画出函数图像:12,,x x 在二次函数22y x x =-,其对称轴为:1x =∴ 12212x x +=⨯= ,34,x x 在sin,2y x π=在24x <<,其对称轴为:3x =∴34236x x +=⨯= , ∴1234268x x x x +++=+=故答案为:8.【点睛】本题考查了根据分段函数图像应用,解题关键是画出函数图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16.已知 O 为坐标原点,圆M :()2211x y ++=, 圆N :()2224x y -+=.,A B 分别为圆M 和圆N 上的动点,则OAB S 的最大值为_______.【答案】2【解析】 【分析】如图所示,以ON 为直径作圆,延长AO 交新圆于E 点,BO 交新圆于F 点,首先证得2O A BO E BO E FSSS==,将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值,将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果.【详解】如图所示,以ON 为直径作圆,延长AO 交新圆于E 点,BO 交新圆于F 点,连接FE ,NF ,则NF 与OB 垂直, 又=NB NO ,所以F 为OB 中点, 由对称性可知OA OE =, ∵1=sin 2OABSOA OB AOB ⋅⋅∠, ()11=sin sin 22OEB S OB OE AOB OB OE AOB π⋅⋅-∠=⋅⋅∠所以2OABOEBOEFS SS==, 因此当OEFS最大值时,OABS最大,故题意转化为在半径为1的圆内求其内接三角形A B C '''V 的面积最大值, 圆内接三角形的面积1sin 2S a b C '''=,由正弦定理得2sin a A ''=,2sin b B ''=, ∴3sin sin sin 2sin sin sin 23A B C S A B C '''++⎛⎫'''=≤ ⎪⎝⎭由于()sin f x x =,[]0,x π∈时为上凸函数,可得33sin sin sin sin 338A B C A B C ''''''++++⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即4A B C S'''≤,当且仅当3A B C π'''===时等号成立,进而可得OABS的最大值为2=【点睛】本题主要考查了圆内接三角形面积最大值的求法,考查了解析几何中的对称思想以及等价转化思想,用不等式求最值是难点,属于难题.三、解答题:本大题有6个小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-,且满足1a ,212a +,3a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设数列1{}n a 的前n 项和为n T ,求使1|2|500n T -<成立n 的最小值. 【答案】(1)12n n a -=; (2)10.【解析】 【分析】(1)根据数列{}n a 的通项公式与前n 项和公式的关系求解即可.(2)由(1)有1112n n a -=,再根据等比数列求和可得n T ,再分析1|2|500nT -<的情况即可. 详解】(1)由已知12n n S a a =- 有1122,(2)n n n n n a S S a a n --=-=-…即12(2)n n a a n -=…,从而213212,24a a a a a ===,又1231,,2a a a +成等差数列.即13221a a a +=+,111441a a a ∴+=+,解得:11a =, {}n a ∴的通项公式12n n a -=.(2)由(1)得:1112n n a -=, 所以1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-, 由12500n T -<,即1112500n -⎛⎫<⎪⎝⎭. 【12500n -∴>,即21000n >, n ∴的最小值为10.【点睛】本题主要考查了数列{}n a 的通项公式与前n 项和公式的关系与等比数列的求和,同时也考查了数列的不等式,属于中等题型.18.已知函数()cos (sin )f x x x x =+(1)求()f x 的单调递减区间; (2)若()f x 在区间[,]6m π上的最小值为1-,求m 的最大值.【答案】(1)7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦; (2)512π-. 【解析】 【分析】(1)根据题意利用降幂公式与和差角公式将函数化简为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再求解单调区间即可.(2)根据三角函数图像求解分析即可.【详解】(1)由题意知:2()cos sin f x x x x =⋅+化简得:1()sin 22sin 223f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 当()f x 单调递减时,322,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦解得:7,,1212x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦ 即函数()f x 的单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (2)当()f x 在区间[,]6m π上的最小值为1-时,存在1,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得1sin 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 即122,32x k k Z πππ+=-∈,解得:15,12x k k Z ππ=-∈, 则0k =时,存在()1max 512x π=-. ()max 1max 512m x π∴==-【点睛】本题主要考查了三角函数的公式运用以及图像的性质,属于中等题型.19.如图,在平面图形PABCD 中,ABCD 为菱形,60,DAB PA PD ︒∠===M 为CD 的中点,将PAD ∆沿直线AD 向上折起,使BD PM ⊥.(1)求证:平面PAD ⊥平面ABCD ;(2)若直线PM 与平面ABCD 所成的角为30°,求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】(1)见解析; (2)3. 【解析】 【分析】(1) 取AD 中点E ,证明PE ⊥面ABCD 即可.(2)由(1)知30PME ∠=°,计算出AB 的长度,再求解体积即可. 【详解】(1)取AD 中点E ,连接PE ,EM ,AC ,PA PD PE AD =⇒⊥……①由底面ABCD ,所以BD AC ⊥,又由,E M 为,AD CD 的中点,所以//EM AC , 可得BD EM ⊥,又由BD PM ⊥,所以BD ⊥平面PEM ,BD PE ∴⊥……②由①②可得:PE ⊥面ABCD ,又PE ⊂面PAD ⇒平面PAD ⊥平面ABCD . (2)由(1)知PE ⊥面ABCD , 连接EM ,易知30PME ∠=°.设AB a =,则22AC PE EM a===.故tan 30PE PME EM︒∠==,=,解得2a =, 故1PE =,ABCD S =四边形故113P ABCD ABCD V S -=⋅⋅=【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及线面角的求解与体积的计算等.属于中等题型.20.半圆22:1(0)O x y y +=≥的直径的两端点为(1,0),(1,0)A B -,点P 在半圆O 及直径AB 上运动,若将点P 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点Q ,记点Q 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程;(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线C 的“直径”. 【答案】(1)答案见解析 (2. 【解析】 【分析】(1)设(,)Q x y ,则,2P x ⎪⎝⎭,由题意可知当P 在直径AB 上时,显然0(11)y x =-<<;当P 在半圆O 上时,221(0)2y x y ⎛⎫+=≥ ⎪⎝⎭,即可求得答案;(2)设曲线C 上两动点()00(,),,G x y H x y ,显然G ,H 至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大,不妨设00y y ≥≥,()()22200||GH x x y y =-+-,根据不等式性质,即可求得曲线C 的“直径”.【详解】(1)设(,)Q x y ,则,2y P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 由题意可知当P 在直径AB 上时,显然0(11)y x =-<<;当P 在半圆O 上时,221(0)2y x y ⎛⎫+=≥ ⎪⎝⎭, ∴ 曲线C 的方程为0(11)y x =-<<或221(0)4y x y +=≥.(2)设曲线C 上两动点()00(,),,G x y H x y ,显然G ,H 至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大, 不妨设00y y ≥≥,则()()()()()22222220000||41GH x x y y x x y x x x=-+-≤-+=-+-,()()222200041324x x x x x x x -+-=--++22200044416344433333x x x x ⎛⎫=-+++≤+≤+= ⎪⎝⎭216||3GH ∴≤等号成立时:1,33G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,(1,0)H -或133G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,(1,0)H ,由两点距离公式可得:max ||GH =故曲线C 的“直径”. 【点睛】本题考查了求解曲线轨迹方程和曲线C 的“直径”.在求曲线上两点间距离最大时,将两点设出,用两点间距离列出表达式,通过不等式放缩求其最值,考查了分析能力和计算能力. 21.已知()ln f x ax x =-. (1)求函数()f x 的单调区间;(2)若对任意[)1,x ∈+∞,都有()x f x a ⋅≥,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】(1)求出函数()y f x =的定义域和导数,对a 分0a ≤和0a >两种情况,分析()f x '在()0,∞+上的符号,可得出函数()y f x =的单调区间;(2)由()x f x a ⋅≥,转化为1ln 0a x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭,构造函数()1ln a x x xg x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=,且有()10g =,问题转化为()()1g x g ≥,对函数()y g x =求导,分析函数()y g x =的单调性,结合不等式()()1g x g ≥求出实数a 的取值范围.【详解】(1)函数()ln f x ax x =-的定义域为()0,∞+,()11ax f x a x x-'=-=. ①当0a ≤时,对任意的0x >,()0f x '<,此时,函数()y f x =的单调递减区间为()0,∞+; ②当0a >时,令()0f x '<,得10x a <<;令()0f x '>,得1x a>. 此时,函数()y f x =的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;(2)()x f x a ⋅≥Q ,即2ln ax x x a -≥,得2ln 0ax a x x --≥, 又1x ≥,不等式两边同时除以x ,得ln 0a ax x x --≥,即1ln 0a x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭.易知()10g =,由题意可知()()1g x g ≥对任意的1x ≥恒成立,()22ax x ag x x -+'=.①若0a ≤,则当1x >时,10x x->,ln 0x >,此时()0g x '<, 此时,函数()y g x =在[)1,+∞上单调递减,则()()1g x g ≤,不合乎题意; ②若0a >,对于方程20ax x a -+=. (i )当2140a ∆=-≤时,即12a ≥,()0g x '≥恒成立, 此时,函数()y g x =在[)1,+∞上单调递增,则有()()1g x g ≥,合乎题意; (ii )当2140a ∆=->时,即102a <<时, 设方程20ax x a -+=的两个不等实根分别为1x 、2x ,且12x x <, 则121=x x ,1210x x a+=>,所以,210x x >>,21221x x x ∴=<,21x ∴>. 当21x x <<时,()0g x '<;当2x x >时,()0g x '>,()()21g x g ∴<,不合乎题意.综上所述,实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,以及利用导数研究不等式恒成立问题,解题方法就是利用分类讨论法进行求解,解题时要找出参数分类讨论的依据,考查分类讨论数学思想的应用,属于难题. 22.某公司为提高市场销售业绩,设计了一套产品促销方案,并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后,对“采取促销”和“没有采取促销”的营销网点各选了50个,对比上一年度的销售情况,分别统计了它们的年销售总额,并按年销售总额增长的百分点分成5组:[5,0)-,[0,5),[5,10),[10,15),[15,20],分别统计后制成如图所示的频率分布直方图,并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.“采用促销”的销售网点“不采用促销”的销售网点(1)请根据题中信息填充下面的列联表,并判断是否有99%的把握认为“精英店与采促销活动有关”;(2)某“精英店”为了创造更大的利润,通过分析上一年度的售价i x (单位:元)和日销量i y (单位:件)(1,2,,10i =)的一组数据后决定选择2y a bx =+作为回归模型进行拟合.具体数据如下表,表中的2i i w x =①根据上表数据计算a ,b 的值;②已知该公司产品的成本为10元/件,促销费用平均5元/件,根据所求出的回归模型,分析售价x 定为多少时日利润z 可以达到最大.附①:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++附②:对应一组数据()()()()112233,,,,,,,,n n u v u v u v u v ⋯,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()1011021ˆiii i i v v uu u u β==--=-∑∑,ˆˆv u αβ=-. 【答案】(1)有99%的把握认为“精英店与促销活动有关”; (2)①21ˆ12003yx =-+. ②当售价40x =元时,日利润达到最大为500003元. 【解析】 【分析】(1)根据图表补全列联表,再计算2K 判断即可.(2)根据线性回归方程的方法求解函数表达式,再求导分析单调性与最值即可. 【详解】(1)因为22100(1050300)9.09 6.63550505545K -=≈>⨯⨯⨯,∴有99%的把握认为“精英店与促销活动有关”.(2)①由公式可得:7.2121.63b -==-,1395.52413.512003a y bw =-=+⨯=, 所以回归方程为21ˆ12003yx =-+. ②若售价为x ,单件利润为15x -,日销售为21ˆ12003yx =-+, 故日利润211200(15)3z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,(30)(40)z x x '=-+-, 当(0,40)x ∈时,211200(15)3z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递增; 当(40,)x ∈+∞时,211200(15)3z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递减. 故当售价40x =元时,日利润达到最大为500003元. 【点睛】本题主要考查了独立性检验以及线性回归方程的方法以及利用导数求最值的方法等.属于中等题型.。
2019年湖南省邵阳市左江中学高三数学文联考试卷含解析
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2019年湖南省邵阳市左江中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:如图,将1,2,…,9填入3×3的方格内,使三行,三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地,将连续的正整数填入n×n个方格中,使得每行,每列和两条对角线上的数字之和都相等,这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数字之和为,如图三阶幻方的,那么的值为()A. 369B. 321C. 45D. 41参考答案:A【分析】根据题意可知,幻方对角线上的数成等差数列,根据等差数列的性质可知对角线上的两个数相加正好等于,进而根据等差数列的求和公式得出答案。
【详解】解:根据题意可知,幻方对角线上的数成等差数列根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于根据等差数列的求和公式:故选:A2. ,所得出的正确结果只可能是( )A.4和6 B.3和-3 C.2和4 D.1和1参考答案:D3. 在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点位于()A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案:A略4. 函数的零点一定位于区间()A.(1,2)B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)参考答案:B5. 设集合A={x|2x≤4},集合B={x|y=lg(x﹣1)},则A∩B等于()A.(1,2)B.[1,2] C.[1,2)D.(1,2]参考答案:D【考点】对数函数的定义域;交集及其运算.【分析】解指数不等式求出集合A,求出对数函数的定义域即求出集合B,然后求解它们的交集.【解答】解:A={x|2x≤4}={x|x≤2},由x﹣1>0得x>1∴B={x|y=lg(x﹣1)}={x|x>1}∴A∩B={x|1<x≤2}故选D.6. (5分)(2011?湘西州一模)如图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几可体的表面积为()(不考虑接触点)A. B. C. D. 32+π参考答案:C【考点】:由三视图求面积、体积.【专题】:计算题.【分析】:由三视图可以看出,此几何体由一个半径为1的球体与一底面连长为2的直三棱柱所组成,故其表面积为球体的表面积加上直三棱柱的表面积.【解答】:解:由三视图知,此组合体上部是一个半径为的球体,故其表面积为π下部为一直三棱柱,其高为3,底面为一边长为2的正三角形,且题中已给出此三角形的高为故三棱柱的侧面积为3×(2+2+2)=18,由于不考虑接触点,故只求上底面的面积即可,上底面的面积为×2×=故组合体的表面积为【点评】:本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查对三视图与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式求表面积与体积,本题求的是表面积.三视图的投影规则是主视、俯视长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视宽相等.7. 已知函数满足,对于任意的实数都满足,若,则函数的解析式为()A.;B.;C.;D.;参考答案:D8. 已知α为第四象限的角,且=A. B.C.一 D.参考答案:A9. 已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是()A. 2B.C.D.参考答案:B先设两点的坐标,由抛物线的定义表示出弦长,再由题意,即可求出中点的横坐标.【详解】设,C的横坐标为,则,因为是抛物线的一条焦点弦,所以,所以,故.故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质,只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解,属于基础题型.10. 已知,,,则A. B. C. D.参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某厂对一批产品进行抽样检测,图2是抽检产品净重(单位:克)数据的频率分布直方图,样本数据分组为[76,78)、[78,80)、…、[84,86]。
2019年湖南省邵阳市高崇山中学高三数学文月考试卷含解析
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2019年湖南省邵阳市高崇山中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 用若干个体积为1的小正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视图都是如图所示的图形,用这个几何体的最小体积值作为正方体ABCD-A1B1C1D1的体积,则这个正方体的外接球的体积为()A.B.C. D.参考答案:D2. 设函数若是奇函数,则的()A. B. C.D. 4参考答案:A略3. 定义在上的函数满足:,,是的导函数,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为( )A.B.C.D.参考答案:【知识点】导数的应用B12【答案解析】A由题意可知不等式为,设所以函数在定义域上单调递增,又因为,所以的解集为【思路点拨】根据导数的单调性解不等式。
4. 已知点(a,b)在函数的图象上,则的最小值是()A.6B.7C.8D. 9参考答案:D故选D.5. 对两个变量y和x进行线性回归分析,得到一组样本数据:则下列说法中不正确的是()A.由样本数据得到线性回归方程为必过样本点的中心B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好C.用相关指数R2来刻画回归效果,R2的值越小,说明模型的拟合效果越好 D.残差点分布的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高。
参考答案:C6. 给出下列五个结论:①从编号为001,002,…,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本编号从小到大依次为007,032,…,则样本中最大的编号是482;②命题“?x∈R,均有x2﹣3x﹣2>0”的否定是:“?x0∈R,使得x02﹣3x0﹣2≤0”;③将函数的图象向右平移后,所得到的图象关于y轴对称;④?m∈R,使是幂函数,且在(0,+∞)上递增;⑤如果{a n}为等比数列,b n=a2n﹣1+a2n+1,则数列{b n}也是等比数列.其中正确的结论为()A.①②④B.②③⑤C.①③④D.①②⑤参考答案:D【考点】命题的真假判断与应用.【分析】由系统抽样方法判断①;写出命题的否定判断②;利用辅助角公式化积,再由三角函数的图象平移判断③;由幂函数的概念及性质判断④;由等比数列的概念判断⑤.【解答】解:①从编号为001,002,…,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本编号从小到大依次为007,032,…,可知分段间隔为25,抽取20个样本,则样本中最大的编号是7+25×19=482,故①正确;②命题“?x∈R,均有x2﹣3x﹣2>0”的否定是:“?x0∈R,使得x02﹣3x0﹣2≤0”,故②正确;③将函数=的图象向右平移后,所得到的图象对应的函数解析式为y=2sinx,关于原点中心对称,故③错误;④若是幂函数,则m﹣1=1,即m=2,则m2﹣4m+3=﹣1,则在(0,+∞)上递减,故④错误;⑤如果{a n}为等比数列,设其公比为q,且b n=a2n﹣1+a2n+1,则,∴数列{b n}也是等比数列,故⑤正确.∴正确的命题是①②⑤.故选:D.7. 角的终边经过点A,且点A在抛物线的准线上,则()A.B.C.D.参考答案:B略8. (5分)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则()A. a=3 B. a=4 C. a=5 D. a=6参考答案:A【考点】:程序框图.【专题】:图表型;算法和程序框图.【分析】:模拟执行程序,依次写出每次循环得到的S,k的值,当S=,k=4时,由题意此时满足条件4>a,退出循环,输出S的值为,结合选项即可得解.解:模拟执行程序,可得S=1,k=1不满足条件k>a,S=,k=2不满足条件k>a,S=,k=3不满足条件k>a,S=,k=4由题意,此时满足条件4>a,退出循环,输出S的值为,故选:A.【点评】:本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的S,k的值是解题的关键,属于基本知识的考查.9. 函数的定义域是,则其值域为()A. B.C. D.参考答案:A略10. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“互为生成函数”.给出下列函数①;②;③;④其中“互为生成函数”的是()A.①② B.①③ C.③④D.②④参考答案:B,向左平移个单位得到函数的图象,向上平移2个单位得到的图象,与中的振幅不同,所以选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设(为虚数单位),则______________.参考答案:12. 已知关于的方程有2个不相等的实数根,则的取值范围是_______.参考答案:试题分析:关于的方程有个不相等的实数根,即有两个不等的实数根,转化为和的图象有两个交点,由于两函数的图象均过点,故已有一个交点,又因为为偶函数,当时,,临界位置为直线与曲线相切,设切点坐标为,,得,解的,故要使得有两个不相等的实数根,可得,得,又因为为偶函数,可得当,,则的范围为,故答案为.考点:函数零点的个数.【方法点睛】本题考查了函数零点的个数转化为函数图象交点个数的问题,结合数形结合思想,难度较大;当遇到关于的方程零点个数问题时,凡涉及到指数函数,对数函数,三角函数,幂函数等相结合时,主要把转化为函数和图象交点的个数,找到临界位置是关键,在本题中临界位置为两者相切时,利用导数的几何意义,结合偶函数的对称性得结果.13. 设i为虚数单位,在复平面上,复数对应的点到原点的距离为.参考答案:【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出.【解答】解:复数===对应的点到原点的距离==.故答案为:.14. 已知,且,则的最小值是 .参考答案:15. 若的展开式的各项系数绝对值之和为1024,则展开式中项的系数为_________.参考答案:-1516. 在极坐标系下,圆的圆心到直线的距离是参考答案:略17. 已知函数f(x)=x3+x2+(2a﹣1)x+a2﹣a+1若函数f(x)在(1,3]上存在唯一的极值点.则实数a的取值范围为.参考答案:[﹣7,﹣1)考点:利用导数研究函数的极值.专题:计算题;导数的综合应用.分析:求出函数的导数,由已知条件结合零点存在定理,可得f′(1)?f′(3)<0或f′(3)=0,解出不等式求并集即可.解答:解:∵f(x)=x3+x2+(2a﹣1)x+a2﹣a+1,∴f′(x)=x2+2x+2a﹣1,∵函数f(x)在(1,3]上存在唯一的极值点,∴f′(1)?f′(3)<0或f′(3)=0,∴(1+2+2a﹣1)(9+6+2a﹣1)<0或9+6+2a﹣1=0,即有(a+1)(a+7)<0或a=﹣7解得﹣7≤a<﹣1.故答案为:[﹣7,﹣1).点评:本题考查导数的运用:求函数的极值,考查函数的零点存在定理,注意导数为0与函数的极值的关系,属于易错题,也是中档题.三、解答题:本大题共5小题,共72分。
湖南省邵阳市洞口县第九中学2019年高三数学文联考试题含解析
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湖南省邵阳市洞口县第九中学2019年高三数学文联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中,既是偶函数又在单调递增的函数是 ( )A. B.C. D.参考答案:B2. 已知为虚数单位,在复平面内复数对应点的坐标为A. B. C. D.参考答案:A略3. 则 ( )A.<< B.<< C. D.<<参考答案:C4. 复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限参考答案:D5. 抛物线y2=4x上有两点A,B到焦点的距离之和为7,则A,B到y轴的距离之和为()A.8 B.7 C.6 D.5参考答案:D【考点】抛物线的简单性质.【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A、B到y轴的距离之和.【解答】解:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程x=﹣1设A(x1,y1),B(x2,y2)∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7∴x1+x2=5,∴A、B到y轴的距离之和为5,故选:D.6. .则=( )A. B. C.D.参考答案:B7.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是()A. B. C. D.参考答案:答案:A8. 在复平面内,复数+i所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案:A【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义.【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【解答】解:复数+i=+i=+i=所对应的点位于第一象限,故选:A.9. 在边长为1的正六边形中,的值为………………().. . .参考答案:B10. 已知集合M= ,集合 (e为自然对数的底数),则=()A. B. C. D.参考答案:C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量a=(2,m),b=(-1,2),若a⊥b,则b在向量上的投影为________.参考答案:12. 曲线在点处的切线方程为.参考答案:由已知得:求导,当时,k=0,所以切线方程:13. 过点A(2,-3),且法向量是的直线的点方向式方程是。
2019届高三10月“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”联考文科数学 答案
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荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019届高三10月联考文科数学参考答案一、选择题二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.914.2 15.2- 16. 12[,]33三.解答题:共70分。
17.解:(Ⅰ)由正弦定理得: 2sin cos sin cos sin cos B A A C C A ⋅=⋅+⋅…………………2分2sin cos sin()sin B A A C B ∴⋅=+=1sin 0cos 2B A ≠∴= …………………………………………………………4分 又A 为ABC ∆的内角60A ︒∴=…………………………………………………………………………………6分(Ⅱ)因为ABC ∆所以2sin 32a R A ===,所以5bc +=, ………………………………8分 由余弦定理得 22222cos ()22cos60a b c bc A b c bc bc =+-=+--o所以223()25916bc b c a =+-=-=,得163bc =,………………………………10分 所以ABC ∆的面积1116sin 22323S bc A ==⋅⋅=.……………………………12分18.解: (Ⅰ) 在ABD ∆中,由余弦定理得2222cos 3BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅=∵222,AD BD AB AD BD +=∴⊥,∵AD BC ∥,∴BC BD ⊥.又∵PD ABCD ⊥平面,BC ABCD ⊂平面 ∴PD BC ⊥.∵PD BD D =, ∴BC PBD ⊥平面.BC PBC ⊂平面 ∴平面PBC ⊥平面PBD ……………………………………………6分(Ⅱ)因为Q 为PC 的中点,所以三棱锥D PBQ ‐的体积12D PBQ D PBC V V --=,1111111222324D PBQ D PBC P BCD V V V ---===⋅⋅⋅=. 所以三棱锥D PBQ ‐的体积14D PBQ V -=.……………………………………………………12分19.解:(Ⅰ)由图可知,当函数()f x 取得最大值时,02x <<,………………………………1分 此时()40sin()133f x x π=+,…………………………………………………………………………2分 当32x ππ=,即32x =时,函数()f x 取得最大值为max 401353y =+=. 故喝一瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升.……………………………5分 (Ⅱ)由题意知,当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车,此时2x >.由0.5901420x e -⋅+<,得0.5115x e -<, ……………………………………………………………7分 两边取自然对数,得0.51ln ln 15x e -< …………………………………………………………………9分 即0.5ln15x -<-, 所以ln15 2.71 5.420.50.5x ->==-, ……………………………………………………………………11分 故喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车.…………………………………………………………12分注:如果根据图象猜6个小时,可给结果分2分.20.解:(Ⅰ)由已知得2,1a c ==,∴b = 则的方程为22143x y +=; ................ ........……………........................................................4分 (Ⅱ)假设存在点0(,0)M x ,使得MA MB ⋅为定值, 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 得22(34)690m y my ++-=..............................................................................6分 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12122269,3434m y y y y m m +=-⋅=-++,..... …...................................7分 101202(,),(,)MA x x y MB x x y =-=-22102012120120()()(1)(1)()(1)MA MB x x x x y y m y y x m y y x ∴⋅=-⋅-+⋅=+⋅+-++- =22002296(1)()(1)()(1)3434m m x m x m m +-+--+-++ 22002(615)9(1)34x m x m --=+-+.....................…….... ............... ..........................................9分 要使上式为定值, 即与m 无关, 应有0615934x -=- 解得0118x =,此时13564MA MB ⋅=- .................................................……........................................11分 所以,存在点11(,0)8M 使得13564MA MB ⋅=-为定值 ……………………………………………12分21.解:(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞,()()()2212x a x a f x a x a x x-+'=⋅--=-.…………………………………………………2分 由()0f x '=得x a =或2x a =-.当0a =时,()0f x '<在()0,+∞上恒成立,所以()f x 的单调递减区间是()0,+∞,没有单调递增区间. ……………………………3分 当0a >时由()0f x '>得0x a <<,)f x (为增函数由)0f x '<(得x a >,)f x (为减函数所以()f x 的单调递增区间是()0,a ,单调递减区间是(),a +∞.……………………………4分 当0a <时,由()0f x '>得02x a <<-,)f x (为增函数由)0f x '<(得2x a >-,)f x (为减函数所以()f x 的单调递增区间是()0,2a -,单调递减区间是()2,a -+∞.…………………………5分 故当0a =时,()f x 的单调递减区间是()0,+∞,没有单调递增区间.当0a >时,()f x 的单调递增区间是()0,a ,单调递减区间是(),a +∞当0a <时, ()f x 的单调递增区间是()0,2a -,单调递减区间是()2,a -+∞ … …………6分 (Ⅱ)当0a >时,()f x 的单调递增区间是()0,a ,单调递减区间是(),a +∞. ()1102f a =--<,1a ∴>……………………………………………………………………7分 当1e a <≤时,()f x 在(1,)e 为增函数,()f x 在()1,e 上有零点,则()0f e >221142044a ea e a e a e -+∴-->∴<>或 a e ∴≥……………………………………………………………………………………………9分 当1a e <<时,()f x 在(1,)a 递增,在(),e a 递减,(1)0()0f f a <∴≥ 即222132ln 0ln 24a a a a a --≥∴≥34e a e ∴≤< …………………………………………………………………………………11分 综合得:实数a 的取值范围为34[,)e +∞…………………………………………………………12分22.解:(Ⅰ).24cos ,4cos ρθρθ=∴=, 由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=,所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=, 由1x t y t=-⎧⎨=⎩,消去t 解得:10x y +-=.所以直线l 的普通方程为10x y +-=. …………5分(Ⅱ)把122x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入224x y x +=,整理得230t +-=, 设其两根分别为 12,t t,则12123t t t t +=⋅=-12PQ t t ∴=-==.……………………………………………10分 亦可求圆心()2,0到直线10x y +-=的距离为d =,从而PQ =23.解:(Ⅰ)()0f x x ->可化为1x x ->, 所以22(1)x x ->,所以12x <, 所以所求不等式的解集为12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.………………………………………………………5分 (Ⅱ)因为函数()1f x x =-在[1)+∞,上单调递增,431a -+>,2(4)11a -+≥,2(43)((4)1)f a f a -+>-+. 所以243(4)1a a -+>-+ 所以(41)(42)0a a -+--<,所以42a -<,所以26a <<. 即实数a 的取值范围是(26),……………………………………………………………10分。
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2019届湖南省邵阳市高三上学期10月大联考数学(文)试题一、单选题1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】根据集合的补集的概念得到结果即可.【详解】=,,根据集合的补集的概念得到故答案为:C.【点睛】本题考查了集合的补集的概念,属于基础题. 与集合元素有关问题的思路:(1)确定集合的元素是什么,即确定这个集合是数集还是点集.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.2.已知,,,若,则( )A.B.C.5 D.8【答案】A【解析】根据可建立方程,可解得,代入可得,,直接计算即可。
【详解】因为,所以解得所以,,所以===,答案选A。
【点睛】本题考查向量共线及数量积,属于基础题。
3.若函数的定义域为,则函数的定义域为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由函数f(x)的定义域为求出函数f(2x)的定义域,再由分式的分母不等于0,则函数的定义域可求.【详解】:∵函数f(x)的定义域为,由0≤2x≤6,解得0≤x≤3.又x-3≠0,∴函数的定义域为.故选D.【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法,给出函数f(x)的定义域为[a,b],求解函数f[g (x)]的定义域,直接求解不等式a≤g(x)≤b即可,是基础题.4.已知数列满足,,,那么成立的的最大值为()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】由于数列{a n}满足a1=1,,利用“累加求和”可得,即可得出.【详解】∵数列{a n}满足a1=1,,∴∴a n=n2.则使a n<32成立的n的最大值是5.故故选B..【点睛】本题考查了“累加求和”方法,属于基础题.5.若命题“,”为假命题,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】根据题干的到命题等价于恒成立,故只需要判别式小于等于0即可.【详解】若命题“,”为假命题,则命题等价于恒成立,故只需要故答案为:C.【点睛】这个题目考查了由命题的真假求参数的范围问题,是基础题.6.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后,得到函数的图象,则“”是“是偶函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据图像的平移得到函数的表达式,当是偶函数时,,根据范围的大小得到两者的关系.【详解】函数的图象沿轴向左平移个单位长度后,得到函数,当是偶函数时,,则“”是“是偶函数”的充分不必要条件.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了三角函数的图像的平移,满足左加右减,需要保证将x的系数提出来,还考查到了充分必要条件的判断,判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p 为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p 是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.7.函数的图象大致为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题中表达式得到当时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除BC,当时,分母趋向于0,但是小于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除A.进而得到选项.【详解】根据题干中的表达式得到x不能等于2,故图中必有渐近线,x=2或-2,当时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除BC,当时,分母趋向于0,但是小于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除A.故答案为:D.【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像,这类题目通常是从表达式入手,通过表达式得到函数的定义域,值域,奇偶性,等来排除部分选项,或者寻找函数的极限值,也可以排除选项.8.已知数列满足,,则( )A.B.C.D.【答案】C【解析】先根据递推关系式,运用累加法求出通项公式,将代入即可。
【详解】由递推关系式,可得当时,当时,;当时,……以上各式,两端分别相加得,===所以,将代入得,==,答案选C。
【点睛】本题考查运用递推关系求通项公式,属于中档题。
9.已知,,,则()A.B.2 C.D.4【答案】D【解析】由,结合可得答案.【详解】由题,,,又由故选D.【点睛】本题考查对数、指数的运算性质,属基础题.10.已知是等比数列的前项和,若存在,满足,,则数列的公比为( )A.2 B.3 C.D.【答案】B【解析】运用等比数列的通项公式及前n项和公式,把问题中的两个相等关系转化为关于公比q 与m的关系式,构成方程组求解即可。
【详解】设等比数列的公比为,首项为,前n项和,由等比数列的前n项和公式及通项公式得,===28,即,==所以,解得,所以,所以答案选B。
【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式,属于基础题。
11.在斜中,设角的对边分别为,已知,若是角的角平分线,且,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】由已知,可得结合余弦定理可得又是角的角平分线,且,结合三角形角平分线定理可得,再结合余弦定理可得的值,则可求.【详解】由已知,根据正弦定理可得又由余弦定理可得故即结合三角形角平分线定理可得,再结合余弦定理可得,,由,可得故故选B.【点睛】本题考查正弦定理,余弦定理及三角形角平分线定理,属中档题.12.已知函数的导函数为,若,,则不等式的解集为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】构造函数,通过题干得到函数的单调性,进而得到不等式等价于g(x)> g(0),进而得到最值.【详解】构造函数因为,故,故函数g(x)单调递增,不等式变形,因为,故g(0)=4,故原不等式等价于g(x)> g(0),根据函数的单调性得到解集为.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了导数在处理函数单调性和解不等式中的应用,也考查了构造函数的应用,对于解不等式的问题,如果直接通过解析式解不等式比较麻烦,则考虑构造函数,研究函数的单调性,进而得到不等式的解集.二、填空题13.在中,点满足,,则__________.【答案】【解析】直接利用三角形法则和向量的线性运算求出结果.【详解】△OAB中,点C满足,设,则:,所以:所以:,故答案为【点睛】本题考查的知识要点:向量的线性运算的应用,三角形法则的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.14.已知,则_______________.【答案】【解析】注意到的关系,运用角度变换,将改写为,运用诱导公式,转化为求,结合同角三角函数关系,即可。
【详解】=====【点睛】本题考查诱导公式及同角三角函数关系,属于基础题。
本题关键是通过角度变换,将改写为,及巧妙运用同角三角函数关系式。
15.若对任意的,均有,则的取值范围是_______________. 【答案】【解析】构造函数根据幂函数的性质得到该函数为增函数,原不等式等价于x-a对任意的恒成立.【详解】构造函数根据幂函数的性质得到该函数为增函数,故等价于对任意的恒成立,即x-a,代入得到的取值范围是.故答案为:.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为,若恒成立;(3)若恒成立,可转化为(需在同一处取得最值)16.已知关于的方程恰好有两个不同解,其中为方程中较大的解,则_______.【答案】【解析】由题意可知直线与相切,求导另一些率相等可求,进而得到【详解】如图所示,直线与有两个交点,则则即答案为-1.【点睛】本题考查由导数求直线的斜率,同角三角函数基本关系式,二倍角公式,属中档题.三、解答题17.已知函数的图象相邻两个对称轴之间的距离为,且与的图象有一个横坐标为的交点.(1)求的解析式;(2)当时,求的最小值,并求使取得最小值的的值.【答案】(1);(2)【解析】(1)首先根据图象相邻两个对称轴之间的距离为,可知函数周期为,进而可得;函数图像与的图象有一个横坐标为的交点,可得,可求,写出解析式即可;(2)根据,求出,结合余弦函数图像,可求函数最小值; 【详解】(1)由题可知,,.又,,得.所以.(2)因为,所以,当,即时,取得最小值..【点睛】 本题考查解析式的确定,此类问题常用方法如下:(1)振幅;(2)相邻两个最高点与最低点的横坐标之差,或者一个单调区间的长度为半个周期,由此推出值;(3)把已知特殊点的坐标代入解析式可求18.在中,角的对边分别为,已知.(1)若,,求的面积;(2)若,求.【答案】(1); (2) .【解析】(1)由,得,∴,由三角形面积公式可求的面积; (2)∵,,∴,故可设,,,,则,化简即可得到答案.【详解】 (1)由,得,∴,∵,∴,∴.(2)∵,,∴,故可设,,,,则,∴.【点睛】本题考查正弦定理,余弦定理以及三角形面积公式的应用,考查了二倍角公式以及同角三角函数济南郭先生,属中档题. 19.已知,,,.(1)若为真命题,求的取值范围; (2)若为真命题,且为假命题,求的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)分a=0和两种情况讨论即可;(2)因为为真命题,且为假命题,所以真假或假真,当真假,有解出即可,当假真,有解出即可.【详解】(1)当时,不恒成立,不符合题意;当时,,解得.综上所述:.(2),,则.因为为真命题,且为假命题,所以真假或假真,当真假,有,即;当假真,有,则无解.综上所述,.【点睛】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断,反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假.假若p且q真,则p 真,q也真;若p或q真,则p,q至少有一个真;若p且q假,则p,q至少有一个假.(2)可把“p或q”为真命题转化为并集的运算;把“p且q”为真命题转化为交集的运算.20.设单调递增的等比数列的前项和,已知,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】(1)设等比数列的公比为,则,解得:.,解得,可求数列的通项公式;(2)由(1)及题设可得:,,由裂项相消法可求数列的前项和.【详解】(1)设等比数列的公比为,则,解得:.,解得,所以.(2)由(1)及题设可得:,,所以.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算,考查裂项相消法求和,属中档题.21.已知函数是上的奇函数,.(1)若函数与有相同的零点,求的值;(2)若,,求的取值范围. 【答案】(1);(2)【解析】(1)根据题干得到,,解得,是函数的零点,所以,进而求得t 值;(2),等价于,根据函数的单调性得到函数的最值,即可求出结果. 【详解】 (1)因为是上的奇函数,所以,即,解得. 因为是函数的零点,所以,则.(2)由(1)可得,,因为奇函数,所以在上是减函数,则在上的最大值为.因为,所以在上是增函数,在上是减函数.则的最小值为和中的较小的一个.因为,.所以.因为,,所以.解得.故的取值范围为.【点睛】恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为,若恒成立;(3)若恒成立,可转化为(需在同一处取得最值) .22.已知函数.(1)若函数f(x)在[1,+∞)上是单调递减函数,求a的取值范围;(2)当-2<a<0时,证明:对任意x∈(0,+∞),.【答案】(1);(2)见解析【解析】(1)对函数求导并令导函数小于等于0,即在上恒成立,求解即可;(2)结合(1)并讨论函数的单调性,可得在上单调递减,由条件,可得,进而得,整理不等式即可得结论。