17学年高中数学每日一题(5月15日_5月21日)新人教A版必修4

5月15日 向量数量积的概念辨析高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆下列判断：①若220+=a b ，则==0a b ；②已知,,a b c 是三个非零向量，若+=0a b ，则||=||⋅⋅a c b c ；③,a b 共线⇔||||⋅=a b a b ；④||||⋅<a b a b ；⑤3||⋅⋅=a a a a ；⑥非零向量,a b 满足：0⋅>a b ，则a 与b 的夹角为锐角；⑦若,a b 的夹角为θ，则||cos θb 表示向量b 在向量a 方向上的投影长.其中正确的是___________________. 【参考答案】①②【试题解析】由于220,0≥≥a b ，所以，若220+=a b ，则==0a b ，故①正确；若+=0a b ，则=-a b ，又,,a b c 是三个非零向量，所以⋅=-⋅a c b c ，所以|⋅=⋅|a c |b c |，故②正确；,a b 共线⇔||||⋅=±a b a b ，所以③错；对于④，应有||||≥⋅a b a b ，所以④错; 对于⑤,应该是2||⋅⋅=a a a a a ,所以⑤错； 当a 与b 的夹角为0°时，也有0⋅>a b ,因此⑥错;||cos θb 表示向量b 在向量a 方向上的投影的数量，而非投影长，故⑦错.综上可知①②正确.【解题必备】对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解.特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等.1．以下四种说法中正确的是________．①如果a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；②如果向量a 与b 满足a·b<0，则a 与b 所成的角为钝角； ③△ABC 中，如果AB →·BC →＝0，那么△ABC 为直角三角形；④如果向量a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.2．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b ＝－12，则a 在b 方向上的投影为________，b 在a 方向上的投影为________．1．③④ 【解析】由数量积的定义知a·b ＝|a||b|cos θ(θ为向量a ，b 的夹角)．①若a·b ＝0，则θ＝90°或a ＝0或b ＝0，故①错； ②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；③由AB →·BC →＝0知B ＝90°，故△ABC 为直角三角形，故③正确； ④由a 2＝|a|2＝1，b 2＝|b|2＝1，故④正确．2．－125,－4【解析】设a 与b 的夹角为θ，则有a·b ＝|a|·|b|cos θ＝－12，所以向量a 在向量b 方向上的投影为|a|·cos θ＝a ·b |b|＝－125＝－125； 向量b 在向量a 方向上的投影为|b|·cos θ＝a ·b |a|＝－123＝－4.5月16日 求数量积、向量的模或夹角 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆（1）已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：①a ·b ；②(a ＋b )·(a －2b )； （2）若||1,||2,===+a b c a b 且⊥c a ，则向量a 与b 的夹角为 A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【参考答案】（1）见试题解析；（2）C【试题解析】（1）①由已知得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12.（2）由⊥c a ，得=0⋅a c ，又=+c a b ，所以=()=0⋅⋅+a c a a b ，设向量a 与b 的夹角为θ，则21cos ||||||||2θ⋅-===-a b a a b a b ，所以120θ=︒，即向量a 与b 的夹角为120°.故选C.【解题必备】1.已知向量,a b 的模及它们的夹角可求1234()()x x x x +⋅+a b a b 的数量积，反之知道1234()()x x x x +⋅+a b a b 的数量积及,a b 的模则可求a 与b 的夹角.2.求较复杂的数量积运算时,可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简.1．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，且(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则a 的模为A ．2B ．4C ．6D ．122．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为A ．－32B.32 C ．±32D ．13．已知|a |＝|b |＝|c |＝1，且满足3a ＋m b ＋7c ＝0，其中a 与b 的夹角为60°，则实数m ＝________．1．C 【解析】∵(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2 ＝|a |2－2|a |－96＝－72， ∴|a |2－2|a |－24＝0， ∴|a |＝6.2．B 【解析】∵3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，∴(3a ＋2b )·(k a －b )＝0，∴3k a 2＋(2k －3)a ·b －2b 2＝0，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴12k －18＝0，解得k ＝32，故选B.3．5或－8 【解析】∵3a ＋m b ＋7c ＝0，∴3a ＋m b ＝－7c ，∴(3a ＋m b )2＝(－7c )2，化简得9＋m 2＋6m a ·b ＝49. 又a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，∴m 2＋3m －40＝0，解得m ＝5或m ＝－8.5月17日几何图形中的数量积问题高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★★☆☆在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=3,则·= .【参考答案】-【试题解析】根据已知=(+),=-,所以·=(+)·(-)=(-1-·)=-.【解题必备】解决几何图形中的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.1．已知点P在ABC△的△所在平面内,且满足··=-·,则点P是ABC A．外心B．内心C．重心D．垂心2．若M为ABC△所在平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,则ABC△为A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形1．D 【解析】因为··,所以(-)·=0,所以·=0,⊥.同理可得⊥,⊥,所以点P为△ABC的垂心.故选D.2．B 【解析】由(-)·(+-2)=0可知·(+)=0,设BC的中点为D,则+=2,△为等腰三角形，故选B.故·=0,所以⊥.又D为BC的中点,故ABC5月18日 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆（1）已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，且a·b ＝－1，则x 的值等于A ．12B ．－12C ．32D ．－32（2）设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|2a －b|等于A ．4B ．5C ．3 5D ．4 5（3）已知a ＝(2，1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋k b ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．【参考答案】（1）D ；（2）D ；（3）32. 【试题解析】（1）因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1，2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32.（2）由a ∥b ，得y ＋4＝0知y ＝－4，所以b ＝(－2，－4)， ∴2a －b ＝(4，8)，∴|2a －b |＝4 5.故选D ． （3）c ＝a ＋k b ＝(2－k ，1－k )，d ＝a ＋b ＝(1，0)， 由cos π4＝22得（2－k ）×1＋（1－k ）×0（2－k ）2＋（1－k ）2·12＋02＝22， ∴(2－k )2＝(k －1)2，∴k ＝32.【解题必备】1．进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.2．对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.1．已知向量(1,1),(2,2)λλ=+=+m n ，若()()+⊥-m n m n ，则λ=A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-2．已知向量(1,0),(1,1)==a b ，则（1）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为_______________； （2）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为_____________.1． B 【解析】2222()()()()00+⊥-⇒+⋅-=⇒-=⇒=m n m n m n m n m n m n ，即222(1)1(2)2λλ++=++，解得3λ=-.2．（1）；（2） 【解析】（1）由(1,0),(1,1)==a b ，得2(3,1)+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(,)x y =c ，则22130x y y x ⎧+=⎨-=⎩，且,0x y >，解得10x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故=c .即与2+a b同向的单位向量的坐标为. （2）由(1,0),(1,1)==a b ，得3(2,1)-=-b a .设向量3-b a 与向量a 夹角为θ，则(3)cos |3|||5θ-⋅===--b a a b a a .5月19日 平面向量应用举例高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★★☆☆如图所示，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，连接DP ，EF ，求证：DP ⊥EF .【参考答案】见试题解析【试题解析】法一：设正方形ABCD 的边长为1，AE ＝a (0＜a ＜1)， 则EP ＝AE ＝a ，PF ＝EB ＝1－a ，AP ＝2a ， ∴DP →·EF →＝(DA →＋AP →)·(EP →＋PF →) ＝DA →·EP →＋DA →·PF →＋AP →·EP →＋AP →·PF →＝1×a ×cos 180°＋1×(1－a )×cos 90°＋2a ×a ×cos 45°＋2a ×(1－a )×cos 45°＝－a ＋a 2＋a (1－a )＝0. ∴DP →⊥EF →，即DP ⊥EF .法二：设正方形ABCD 的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，x )，则D (0，1)，E (x ，0)，F (1，x )，所以DP →＝(x ，x －1)，EF →＝(1－x ，x )，由于DP →·EF →＝x (1－x )＋x (x －1)＝0，所以DP →⊥EF →，即DP ⊥EF .【解题必备】利用向量解决垂直问题对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式 .1．已知点A (2，3)，B (－2，6)，C (6，6)，D (10，3)，则以ABCD 为顶点的四边形是 A ．梯形 B ．邻边不相等的平行四边形 C ．菱形D ．两组对边均不平行的四边形2．某物体做斜抛运动，初速度0||v =10 m/s,与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是_________m/s.1．B 【解析】因为AD →＝(8，0)，BC →＝(8，0)，所以AD →＝BC →，因为BA →＝(4，－3)，所以|BA →|＝5，而|BC →|＝8，故四边形ABCD 为邻边不相等的平行四边形．2．5 【解析】设该物体在竖直方向上的速度为1v ，水平方向上的速度为2v ，如图，由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，201||||cos 60105(m/s),2=︒=⨯=v v ，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s5月20日周六培优特训高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆1．已知e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中,不能作为一组基底的是A．e1,e1+e2B．e1-2e2,e2-2e1C．e1-2e2,4e2-2e1 D．e1+e2,e1-e22．如图，在△ABC中，BD=2DC，若，，则=A. B.C. D.3．已知平行四边形ABCD，设，而是一非零向量，则下列结论正确的有①;②;③;④.A．①③B．②③C．②④D．①②4．如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则·= .5．如图,设点P,Q是线段AB的三等分点,若则= = .(用a,b表示).6．过△ABC 的重心G 任作一条直线分别交AB ,AC 于点D ,E ,若=x ,=y ,且xy ≠0,试求+的值.1．C 【解析】因为4e 2-2e 1=-2(e 1-2e 2),从而e 1-2e 2与4e 2-2e 1共线. 2．C 【解析】由题意，可得AD AB BD =+()2233AB BC AB AC AB =+=+-12123333AB AC a b =+=+.故选C.3．A 【解析】在平行四边形中，，，所以为零向量，零向量和任何向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确．故选A. 4．18 【解析】设AC 与BD 的交点为O ,则·=·2=·2(+)=2+2·=2×32+0=18.5．，【解析】=，=. 6．【解析】连接AG 并延长,交BC 于点M ,则点M 为BC 的中点,如图,设=a ,=b ,则[(a +b )]=(a +b ).方法一:易知-=(x-)a -b ,-=x a -y b .∵与共线,∴存在实数λ,使=λ,即(x-)a -b =λx a -λy b ,∴,消去λ,得,即+=3.方法二:∵D 、G 、E 三点共线,∴存在实数λ,使=λ+(1-λ),即=λx a +(1-λ)y b ,∴,∴+=3λ+3(1-λ)=3.5月21日周日培优特训高考频度：★★★☆☆难易程度：★★☆☆☆1．在平行四边形中,为的中点,设,则A. B.C. D.2．设向量，若向量与向量共线，则的值为A. B.C. D.3．下列说法正确的是A．若a与b平行,b与c平行,则a与c一定平行B．终点相同的两个向量共线C．若|a|>|b|,则a>bD．单位向量的长度为14．是边长为2的等边三角形,已知向量满足,则下列结论错误的是A．B．C．D．5．设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.6．如图,已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B,若⊥,则向量的坐标为.7．已知平面向量a=(1,1),b=(-2,2),c=k a+b(k∈R),且c与a的夹角为,则k=.8．如图,函数y=2sin(πx+φ)(x∈R,0≤φ≤)的图象与y轴交于点(0,1).（1）求φ的值;（2）设P是图象上的最高点,M,N是图象与x轴的交点,求与夹角的余弦值.1．C 【解析】由题意得,,所以,.故选C. 2．A 【解析】因为a所以,因为向量与向量共线,所以,所以.故选A.3．D 【解析】A中,因为零向量与任意向量平行,若b=0,则a与c不一定平行.B中,两向量的起点的位置不确定,所以两向量不一定共线.如△ABC中,与的终点相同,但两向量不共线.C中,向量是既有大小,又有方向的量,不可以比较大小.4．C 【解析】∵是边长为2的等边三角形,且,∴,则,A正确;∵,∴,故B正确;∵,故C错误;∵,故D正确.故选C.5．【解析】=+=+=+(+)=-+,所以λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=. 6．(-,) 【解析】依题意设B(cos θ,sin θ),0≤θ≤π,则=(cos θ,sinθ),=(1,1).因为⊥,所以·=0,即cosθ+sin θ=0,解得θ=,所以=(-,).7．2 【解析】由题意,得c=(k-2,k+2),因为cos<c,a>=,所以,解得k=2.8．【解析】（1）因为函数图象过点(0,1),所以2sin φ=1,即sin φ=.因为0≤φ≤,所以φ=.（2）由函数y=2sin(πx+)=2sin[π(x+)]的图象及其周期T=2,得M(−,0),P(,2),N(,0).所以=(−,−2),=(,−2),PM PN=.从而cos,。