基本不等式(二)

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2.基本不等式

则x y 的最大值是
。
解决最大（小）值问题
结论：利用
求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。积定，和最小两个正数和为定值，积有最大值。和定，积最大
（3）三相等Βιβλιοθήκη 求最值时一定要考虑不等式是否能取 “＝”。
题型三：构造积为定值，利用基本不等式求最值
ab叫做a,b的几何平均数
这样，基本不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
注意：
重要不等式与基本不等式有什么区别与联系？
题型一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a 1 )(b 1) 4
1．利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积其中之一为定值； (3)等号能否成立，
即“一正二定三相等”，这三个条件缺一不可．
注意：要特别注意不等式成立的条件及等号成立的条件．
创设应用基本不等式的条件合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正必要时需出现积为定值或和为定值．
第一讲不等式和绝对值不等式 2、基本不等式及其应用
一、重要不等式(定理一）：
一般地，对于任意实数a,b，我们有
a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
文字语言：两个数的平方和不小于它们积的2倍
二、基本不等式（定理二）
如果a, b>0, 那么
当且仅当a=b时，等号成立。
如果a,b都是正数，我们就称 a b为a,b的算术平均数 2

2.基本不等式 (2)

法二：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)1a＋1b＋1c ＝1＋ba＋ac＋ab＋1＋bc＋ac＋bc＋1 ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． ∴1a＋1b＋1c≥9.
5．若正数a，b满足a＋b＝1，求3a1＋2＋3b4＋2的最小值．解：因为a＋b＝1，所以(3a＋2)＋(3b＋2)＝7.
所以3a1＋2＋3b4＋2＝17·3a1＋2＋3b4＋2[(3a＋2)＋(3b＋2)] ＝17·1＋33ba＋＋22＋433ba＋＋22＋4
≥17·5＋2
a＝b .
2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a2＋b2≥a＋2 b2； (2)ab≤a2＋2 b2； (3)ab≤a＋2 b2； (4)a＋2 b2≤a2＋2 b2； (5)(a＋b)2≥4ab.
利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. [思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明．
[解] (1)∵x>0，∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x.
∵x＋1x≥2，∴0<x＋1 1x≤12.
∴0<f(x)≤1，当且仅当x＝1时，等号成立．即f(x)＝
2x x2＋1
的值域为(0,1]．
(2)∵0<x<32，∴3－2x>0.
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋23－2x2＝92.
2．基本不等式
1．基本不等式的理解
重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式a＋2 b≥ ab，成立的条
件是不同的．前者成立的条件是 a与b都为实数，并且a与b都为

【课件】基本不等式(第二课时)2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第一册)

出发使用基本不等式，求得最值.
练一练
2+1
已知a>1,b>0,则
+2a的最小值为
(−1)
提示：
目标式局部：b2+1≥2b,
所以
2+1
2
+2a≥
(−1)
−1
+2(a-1)+2≥…
.
用基本不等式求最值
( )
例3. 已知 x>0, y>0 ，x+y+2=xy,则xy的
条
件
最
值
之
最小值为
.
2
+2
+
2 (−2)2 (−1)2
=
+
+1

4 1
=(m+n)+( + )-6(以下逆代）

用基本不等式求最值
( )
七
条
件
最
值
之
等
价
变
形
1
例6.已知x>0,y>0,且
+2
+
1 1
= ，求xy的最小值.
+2 3
1
解：由等式
+2
1
3
变形得xy=x+y+8
+
1
+2
=
所以xy≥2 +8 解得xy最小值为16
( )
一
直
接
求
最
值
例1. 已知 x>0,

则y= 2
的最大值
+2+4

1

基本不等式(二)

基本不等式：ab ≤a ＋b2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值 1．理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．基本不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正． (2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)－2 (2)3 (3)3解析 (1)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(2)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.(3)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝x －22＋12x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立．跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋22解析 (1)a 2＋1ab ＋1aa －b＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1aa －b＝a (a －b )＋1aa －b＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2y x ·2xy＝3＋22，当且仅当y x ＝2xy，即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x 、14、ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e 答案 C解析由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0，又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e，即xy 有最小值为e.(2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________．答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)，代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2.跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．答案 8解析设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋16v400≥2400v ×16v400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e－xD ．y ＝log 3x ＋log x 812．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．43．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ． m B ． m C ．7 m D ． m 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________．5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．一、选择题1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．102．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在3．下列命题正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2B ．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则b a ＋a b≥2C ．函数x 2＋2＋1x 2＋2的最小值为2 D ．函数y ＝2－3x －4x的最小值为2－434．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－22C ．6－4 2D ．6＋426．已知a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( ) B ．－12C ．1D ．－17．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )C ．2D ．4 二、填空题8．设x >－1，则函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值是______．9．设a ＞b ＞c ，则a －c a －b ＋a －cb －c的最小值是________． 10．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．三、解答题11．已知x ，y ＞0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的范围．12．已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．13．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层每平方米的平均综合费用最小值是多少(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)当堂检测1．答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C. 2．答案 B解析 y ＝x x －1＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．答案 C解析设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．答案 2解析 ①当x ∈(0,2)时， x,4－2x ＞0，f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋4－2x 22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立．②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0， ∴y ＝4x －5＋14x －5＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－25－4x ·15－4x ＋3＝1 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．课时精练答案一、选择题1．答案 A解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝x y，即x ＝4y 时，等号成立． 2．答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立． 3．答案 B解析 A 错误，当x ＜0时或x ≠1时不成立；B 正确，因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b ＞0，且b a＋a b≥2；C 错误，若运用基本不等式，需()x 2＋22＝1，x 2＝－1无实数解；D 错误，y ＝2－(3x ＋4x )≤2－43，故最大值为2－4 3. 4．答案 C解析由于x ，y 为正数，故(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9.当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时取“＝”．5．答案 D解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c ) ＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2b c≥4＋2 2b a ·a b ＋2 c a ·a c ＋2 c b ·2b c＝6＋42，当且仅当2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b c时，等号成立，即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立．6．答案 A解析 ∵a ⊥b 则a ·b ＝0，∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12，当且仅当2x ＝y 时，等号成立．7．答案 D解析圆方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a －2b ＋2＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时，等号成立．二、填空题8．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝t ＋4t ＋1t＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5 ≥2 t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1取得最小值9. 9．答案 4解析a －c a －b ＋a －c b －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [(a －b )＋(b －c )] ＝1＋1＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2 b －c a －b ·a －b b －c＝4，当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c，即|a －b |＝|b －c |，又a ＞b ＞c ，∴b ＝a ＋c2时，等号成立．10．答案 5解析二次函数顶点为(6,11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4,7)得a ＝－1， ∴y ＝－x 2＋12x －25，年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立．三、解答题11．解因为x ，y 是正实数，故30＝x ＋2y ＋xy ≥22xy ＋xy ，当且仅当x ＝2y ，即x ＝6，y ＝3时，等号成立．所以xy ＋22xy －30≤0.令xy ＝t ，则t ＞0，得t 2＋22t －30≤0，解得－52≤t ≤3 2.又t ＞0，知0＜xy ≤32，即xy 的范围是(0,18]． 12．解因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当ay x ＝bx y ，即y x ＝b a时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18，又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.13．解设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得，f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x ＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N *)， f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000 ≥2 50x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)．当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时上式取“＝”．因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．。

2.2基本不等式(二)

例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3, 深为3m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为 120元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
解：设水池底面一边的长度为x m，的总造价为y元，根据题意，得
则水池的宽为1600
x
m
,水池
y 150 4800 120(23x 23 1600)
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少?
例3 (1)用篱笆围成一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆长是多少？
解： (1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m.
小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。
在用基本不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：
(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
解：设矩形菜园的长为x m，宽为ym，则2 (x+y)=36，
其中x+y=18，矩形的面积为xy m. 2
由 xy x y 18 9, 22
可得xy 81,
当且仅当x y 9时，等号成立.
题后反思：通过这道例题的学习，你有什么收获？
即菜园长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积为81 m2.

3.4基本不等式(二)

二定
三相等
反思:由例1例2我们可以得到什么启示呢？
已知x，y∈R＋，则有： (1)若和x＋y＝S为定值，则当且仅当x＝y时，积xy有最大值则有
S 4
2
(2)若积xy＝P为定值，则当且仅当x＝y时，和 x+y有最小值2 P
极值定理：
（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：一正
二定
三相等
练习(1)求函数 y
1
(3)已知 2 x 3 y 2( x 0, y 0) 求x y 的最大值. (4)已知直角三角形的面积等于50,两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小,最小值是多少? (5)做一个体积为32m3,高为2m的长方体纸盒,底面的长与宽取什么值时用纸最少?
小结
2
1.常用结论: 1
a

1 b

ab
a b 2

a
2
b 2
2
2.极值定理:积定和最小，和定积最大。已知x，y∈R＋，则有： (1)若和x＋y＝S为定值，则当且仅当x＝y时，积xy有最大值则有
S 4
2
(2)若积xy＝P为定值，则当且仅当x＝y时，和 x+y有最小值2 P
应用要点：一正
2
b 2
2

a b 2
应用二：解决最大（小）值问题
例1、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
例题讲解

高中数学《基本不等式》(2课时)教学设计

基本不等式（2课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容：基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.2. 内容解析：相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础.基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容.基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关. 从数与运算的角度，是两个正数a，b的“算术平均数”，是两个正数a,b，的“几何平均数”.因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算. 从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“等圆中，弦长不大于直径”，等等，都是基本不等式的直观理解.其次，基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源.利用分析法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式；等等. 这些方法也是代数证明和推导的典型方法.此外，基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n个正数的几何平均值不大于算术平均值. 基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值. 同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法. 因此，基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养.基于以上分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题.本单元教学建议课时数：2课时.二、目标和目标解析1.目标：（1）理解基本不等式，发展逻辑推理素养.（2）结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养.2.目标解析：达成上述目标的标志是：（1）知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义.（2）能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值；在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养.三、教学问题诊断分析由于学生缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点.基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点.此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题，这也是学生思维不够严谨的表现，因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点.四、教学支持条件分析在进行基本不等式的几何解释的教学时，为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化为代数表示，可以利用信息技术制作一个动态图形，以帮助学生直观理解.五、教学过程设计第一课时（一）课时教学内容本节课的主要教学内容有：基本不等式的定义；基本不等式的证明；基本不等式的几何解释；运用基本不等式求最值；基本不等式求最值的两种模型.（二）课时教学目标1.理解基本不等式，发展逻辑推理素养；2.了解基本不等式的几何解释；3.结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养.（三）教学重点与难点教学重点：基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题.教学难点为：基本不等式的证明和运用基本不等式求最值.（四）教学过程设计1.基本不等式的定义导入语：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢？下面就来研究这个问题.问题1：提到两个数的乘法，在上一节我们利用完全平方差公式得出了一类重要不等式中含有ab乘法，是什么不等式？2.基本不等式的证明问题2：上节课我们看到，证明不等关系，还可以运用不等式性质，你能否利用不等式的性质推导出基本不等式呢？预设方案一：学生根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较证明.教师给予肯定，是否还有其它证法？预设方案二：由于没有已知条件，学生不知从何入手.追问2：上述证明中，每一步推理的依据是什么？师生活动：学生分别回答由⑤→④，由④→③，由③→②，由②→①的依据.追问3：上述证明叫做“分析法”.你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？师生活动：学生讨论后回答.教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.追问4：你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？师生活动：学生思考后回答.教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然×××成立”.追问5：基本不等式成立的条件是什么？如果a<0或b<0基本不等式是否成立？师生活动：学生通过证明发现，a,b均为非负数，如果a,b存在负数时，该不等式不成立.教师指出基本不等式的定义要求a,b均为正数.设计意图：根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略.追问4：通过本例的解答，你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？师生活动：学生讨论后回答.教师总结：代数式能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是一个定值，不等式中的等号能取到，通俗的说，就是“一正、二定、三相等”.设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范.同时，在本题之后，引导学生总结能应用基本不等式求最值的代数式满足的条件.例2 已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 .师生活动：师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善.追问：通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗？师生活动：学生思考后回答，教师总结：满足“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值”，或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值”的问题，能够用基本不等式解决.设计意图：在例1的基础上，再利用一道例题示范如何直接利用基本不等式解决问题，同时借此题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问题，为用基本不等式解决实际问题创造了条件.（五）目标检测设计设计意图：考查学生对基本不等式的理解，及运用“分析法”证明问题的能力.第二课时（一）课时教学内容利用基本不等式解决实际问题中最值问题.（二）课时教学目标1.运用基本不等式解决生活中的最值问题，发展数学建模素养；2.理解基本不等式的数学模型，提高学生模型思想解决问题的能力.（三）教学重点与难点教学重点：运用基本不等式的模型思想解决生活中的最值问题.教学难点：应用基本不等式解决实际问题.（四）教学过程设计1.复习引入问题1：基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？师生活动：学生根据教师提出的问题梳理上节课的知识，教师对学生遇到的困难给予帮助.特别是强调利用基本不等式求最值的方法，即两个变量均为正数是前提，发现“定值”是关键，验证等号成立是求最值的必要条件，即运用“一正、二定、三相等”的方法可以解决最值问题.2.利用基本不等式解决生活问题导入语：运用数学知识解决生活中的最值问题，也就是最优化的问题，特别能体现数学应用价值.基本不等式是求最值的工具，特别是对求代数式的最值问题有重要的意义.问题2：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？追问1：前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题，本例的两个问题分别属于哪类问题吗？师生活动：学生思考后回答：属于。

导学设计17 基本不等式(2)

山西大学附中高中数学（必修5）导学设计编号17基本不等式 (第二课时)【学习目标】进一步掌握222a b ab +≥，2b a ab +≤,并灵活应用其求函数的最值. 【学习重点】应用基本不等式求函数的最值，并熟练掌握“一正二定三等”的解题思路.【学习难点】利用基本不等式求最值时的变形转化.【学习过程】一、导学：1、利用基本不等式2b a ab +≤求最值时，必须注意前提条件：①_0a ，_0b ②积（或和）为____值；③当且仅当____时，等号成立，简记为“__________________________”.若项为负数,则添_____变______.2、利用基本不等式33cb a abc ++≤求最值时，必须注意前提条件：二、导练：题型一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１求函数)10(12<<-=x x x y 的最大值.例2已知01x <<，求函数2(1)(1)y x x =+-的最大值.例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值.题型二、拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 求9()4(0)f x x x x =+>的最小值.例5设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.2 例6 若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-2a b c ++的最小值为（）A1 B1 C．2 D．2题型三、约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。

例7已知28,,0,1x y x y >+=，求xy 的最小值.例8 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值.题型四、最值应用题例9 用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？例10一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。

《基本不等式》第二课时精品教案

3、情感与态度目标：通过问题的设置，培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重点难点应用理解基本不等式，学会用基本不等式求函数最值及求最值应注意的条件。
教学过程
设计意图
活动一:知识回顾
（1）重要不等式_________________
（2）基本不等式__________________
活动二：问题探索
《基本不等式》应用教学设计
课型：新授课授课人：张露授课班级：高二（3）班
教学目标
1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照提出问题→剖析归纳证明→应用（最值的求法）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
小结：一般地，型如
活动三：课堂合作学习
活动四：能力训练
活动五：课后练习
总结：（1）从特殊到一般，总结方法，举一反三，提高能力。
（2）掌握配凑法
（3）基本不等式求最值条件：一正，二定，三等
活动六：作业书P100A组B组
活动一的设计意图让同学们快速进入课堂，复习均值不等式，特别注意等号
探究1设计意图:
通过类比，引导学生对均值不等式求最值应该注意哪些条件。
探究2设计意图
给出函数形式求最值，
掌握用不等式求函数最值中的拼凑技巧,意在介绍求最值中的“定掌握一定的技巧，让学生学会用均值不等式求解。同时意在介绍求最值中的“等”。

基本不等式

2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，理解四个“平均数”的大小关系；， ∈ 理解四个
则
a +b a +b 2ab ≤ ≤ ab ≤ 2 2 a +b
2
2
其中当且仅当a 时取等号. 其中当且仅当＝b时取等号时取等号
3.已知两个正数，y，求x+y与积的最值已知两个正数x，，与积xy的最值已知两个正数与积的最值. (1)xy为定值，那么当＝y时，为定值p，那么当x 为定值时 x+y有最小值 2 p ；有最小值积定和小 (2)x+y为定值，那么当＝y时，为定值s，那么当x 为定值时积xy有最大值 1 s2 . 有最大值 4 和定积大
正：两项必须都是正数；两项必须都是正数；求两项和的最小值，它们的积应为定值；定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。求两项积的最大值，它们的和应为定值。等号成立的条件必须存在. 等哪里？错在哪里
1 １．已知函数 f (x) = x + ，求函数的最小值和此时x的取值的取值．最小值和此时的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件．条件．
3 ( x > 2) ，２．已知函数 f ( x) = x + x−2 求函数的最小值．求函数的最小值．
2
10 是＿＿＿．
x − 2x +1 练习:求函数的最大值；练习求函数 y = x − 2 ( x < 2 ) 的最大值；
2
例 2 、已知 a 、 b ∈ R +，且 a + 2 b = 1 ， 1 1 求 + 的最小值. a b

一轮复习配套讲义：第6篇第4讲基本不等式(2)

第4讲根本不等式[最|新考纲]1．了解根本不等式的证明过程．2．会用根本不等式解决简单的最|大(小)值问题.知识梳理1．根本不等式：ab ≤a ＋b2 (1)根本不等式成立的条件：a >0 ,b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ,b 的算术平均数 ,ab 称为正数a ,b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R )．当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ) ,当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ) ,当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号) ,当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用根本不等式求最|值 x ＞0 ,y ＞0 ,那么(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时 ,x ＋y 有最|小值是2p (简记：积定和最|小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ,那么当且仅当x ＝y 时 ,xy 有最|大值是s 24(简记：和定积最|大)．辨析感悟1．对根本不等式的认识(1)当a ≥0 ,b ≥0时 ,a ＋b2≥ab .(√)(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．(×) 2．对几个重要不等式的认识(3)(a ＋b )2≥4ab (a ,b ∈R )．(√) (4)2ab a ＋b＝21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22.(×)(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ,b ,c ∈R )．(√) 3．利用根本不等式确定最|值(6)函数y ＝sin x ＋4sin x ,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2的最|小值为4.(×) (7)(2021·福州模拟改编)假设x ＞－3 ,那么x ＋4x ＋3的最|小值为1.(√) (8)(2021·四川卷改编)函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0 ,a ＞0)在x ＝3时取得最|小值 ,那么a ＝36.(√) [感悟·提升]两个防范一是在应用根本不等式求最|值时 ,要把握不等式成立的三个条件 ,就是 "一正 - -各项均为正；二定 - -积或和为定值；三相等 - -等号能否取得〞 ,假设忽略了某个条件 ,就会出现错误．对于公式a ＋b ≥2ab ,ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,要弄清它们的作用、使用条件及内在联系 ,两个公式也表达了ab 和a ＋b 的转化关系．如(2)、(4)、(6)．二是在利用不等式求最|值时 ,一定要尽量防止屡次使用根本不等式．假设必须屡次使用 ,那么一定要保证它们等号成立的条件一致.学生用书第103页【例1】x ＞0 ,y ＞0 ,z ＞0. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8.证明 ∵x ＞0 ,y ＞0 ,z ＞0 ,∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0 ,x y ＋z y ≥2 xzy ＞0 , x z ＋y z ≥2 xyz ＞0 ,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．规律方法利用根本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况 ,证明思路是从已证不等式和问题的条件出发 ,借助不等式的性质和有关定理 ,经过逐步的逻辑推理最|后转化为需证问题．【训练1】a ＞0 ,b ＞0 ,c ＞0 ,且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＞0 ,b ＞0 ,c ＞0 ,且a ＋b ＋c ＝1 , ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9 ,当且仅当a ＝b ＝c ＝13时 ,取等号．考点二利用根本不等式求最|值【例2】 (1)(2021·山东卷)设正实数x ,y ,z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0 ,那么当xyz 取得最|大值时 ,2x ＋1y －2z 的最|大值为( )． A ．0 B ．1 C.94D ．3(2)(2021·广州一模)2x ＋2y ＝1 ,(x ＞0 ,y ＞0) ,那么x ＋y 的最|小值为( )． A ．1 B ．2 C ．4 D ．8审题路线 (1)x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0⇒变形得z ＝x 2－3xy ＋4y 2⇒代入zxy ⇒变形后利用根本不等式⇒取等号的条件把2x ＋1y －2z 转化关于1y 的一元二次函数⇒利用配方法求最|大值．解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0 ,得z ＝x 2－3xy ＋4y 2 , ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3.又x ,y ,z 为正实数 ,∴x y ＋4yx ≥4 , 当且仅当x ＝2y 时取等号 ,此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1 ,当1y ＝1 ,即y ＝1时 ,上式有最|大值1.(2)∵x ＞0 ,y ＞0 ,∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ,即x ＝y ＝4时取等号．答案 (1)B (2)D规律方法条件最|值的求解通常有两种方法：一是消元法 ,即根据条件建立两个量之间的函数关系 ,然后代入代数式转化为函数的最|值求解；二是将条件灵活变形 ,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子 ,然后利用根本不等式求解最|值．【训练2】 (1)假设正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,那么3x ＋4y 的最|小值是( )． A.245B.285 C ．5 D ．6(2)(2021·浙江十校联考)假设正数x ,y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30 ,那么xy 的最|大值是( )． A.43B.53 C ．2 D.54解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1 ,∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ,即x ＝1 ,y ＝12时 ,等号成立) , ∴3x ＋4y 的最|小值是5.(2)由x ＞0 ,y ＞0 ,得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立) ,∴12xy ＋3xy ≤30 ,即xy ≤2 ,∴xy 的最|大值为2. 答案 (1)C (2)C考点三根本不等式的实际应用【例3】(2021·济宁期末)小|王大学毕业后 ,决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查 ,生产某小型电子产品需投入年固定本钱为3万元 ,每生产x 万件 ,需另投入流动本钱为W (x )万元 ,在年产量缺乏8万件时 ,W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时 ,W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析 ,小|王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定本钱－流动本钱)(2)年产量为多少万件时 ,小|王在这一商品的生产中所获利润最|大 ?最|大利润是多少 ?解 (1)因为每件商品售价为5元 ,那么x 万件商品销售收入为5x 万元 ,依题意得 ,当0＜x ＜8时 ,L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时 ,L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －30＜x ＜835－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x x ≥8.(2)当0＜x ＜8时 ,L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时 ,当x ＝6时 ,L (x )取得最|大值L (6)＝9万元 , 当x ≥8时 ,L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15 ,此时 ,当且仅当x ＝100x 时 ,即x ＝10时 ,L (x )取得最|大值15万元．∵9＜15 ,所以当年产量为10万件时 ,小|王在这一商品的生产中所获利润最|大．最|大利润为15万元．规律方法 (1)利用根本不等式解决实际问题时 ,应先仔细阅读题目信息 ,理解题意 ,明确其中的数量关系 ,并引入变量 ,依题意列出相应的函数关系式 ,然后用根本不等式求解．(2)在求所列函数的最|值时 ,假设用根本不等式时 ,等号取不到 ,可利用函数单调性求解．【训练3】为响应国|家扩大内需的政策 ,某厂家拟在2021年举行促销活动 ,经调查测算 ,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动 ,那么该产品的年销量只能是1万件．2021年生产该产品的固定投入为6万元 ,每生产1万件该产品需要再投入12万元 ,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均本钱的1.5倍(产品本钱包括固定投入和再投入两局部)．(1)将该厂家2021年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时 ,厂家利润最|大 ? 解 (1)由题意有1＝4－k 1 ,得k ＝3 ,故x ＝4－32t ＋1.∴y ＝1.5×6＋12xx×x －(6＋12x )－t ＝3＋6x －t ＝3＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)．(2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12.由根本不等式9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≥29t ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＝6 , 当且仅当9t ＋12＝t ＋12 ,即t ＝2.5时等号成立 ,故y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12 ≤27.5－6＝21.5.当且仅当9t ＋12＝t ＋12时 ,等号成立 ,即t ＝2.5时 ,y 有最|大值21.5.所以2021年的年促销费用投入2.5万元时 ,该厂家利润最|大 ,最|大利润为21.5万元． 1．根本不等式具有将 "和式〞转化为 "积式〞和将 "积式〞转化为 "和式〞的放缩功能 ,常常用于比拟数(式)的大小或证明不等式 ,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点 ,选择好利用根本不等式的切入点．2．连续使用公式时取等号的条件很严格 ,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．教你审题7 - -如何挖掘根本不等式中的 "相等〞【典例】(2021·天津卷)设a ＋b ＝2 ,b >0 ,那么12|a |＋|a |b 取得最|小值为________． [审题] 一审条件：a ＋b ＝2 ,b ＞0 ,转化为条件求最|值问题；二审问题：12|a |＋|a |b 转化为 "1〞的代换；三审过程：利用根本不等式时取等号的条件．解析因为a ＋b ＝2 ,所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34 ,当且仅当b 4|a |＝|a |b ,a <0 ,即a ＝－2 ,b ＝4时取等号 ,故12|a |＋|a |b 的最|小值为34. 答案 34[反思感悟]在求解含有两个变量的代数式的最|值问题时 ,通常的解决方法是变量替换或常值 "1”的替换 ,即由条件得到某个式子的值为常数 ,然后将欲求最|值的代数式乘上常数 ,再对代数式进行变形整理 ,从而可利用根本不等式求最|值．【自主体验】(2021·台州一模)设x ,y 均为正实数 ,且32＋x ＋32＋y＝1 ,那么xy 的最|小值为( )． A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16 解析由32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ,∵x ,y 均为正实数 ,∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立) ,即xy －2xy －8≥0 ,解得xy ≥4 ,即xy ≥16 ,故xy 的最|小值为16. 答案 D对应学生用书P303根底稳固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2021·泰安一模)假设a ,b ∈R ,且ab ＞0 ,那么以下不等式中 ,恒成立的是( )．A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b ＞2abC.b a ＋ab ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析因为ab ＞0 ,即b a ＞0 ,a b ＞0 ,所以b a ＋ab ≥2b a ×ab ＝2.答案 C2．(2021·杭州一模)设a ＞0 ,b ＞0.假设a ＋b ＝1 ,那么1a ＋1b 的最|小值是( )． A ．2 B.14 C ．4 D ．8解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4 ,当且仅当ba＝ab,即a＝b＝12时,取等号,所以最|小值为4.答案 C3．(2021·金华十校模拟)a＞0 ,b＞0 ,a ,b的等比中项是1 ,且m＝b＋1a,n＝a＋1b,那么m＋n的最|小值是()．A．3 B．4 C．5 D．6解析由题意知：ab＝1 ,∴m＝b＋1a＝2b ,n＝a＋1b＝2a ,∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4.答案 B4．(2021·陕西卷)小|王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b) ,其全程的平均时速为v ,那么()．A．a<v<ab B．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b2解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b ,∴v＝2ssa＋sb＝2sab(a＋b)s＝2aba＋b<2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0 ,∴v>a.答案 A5．(2021·兰州模拟)函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1) ,当x＝a时,y取得最|小值b ,那么a＋b＝()．A．－3 B．2 C．3 D．8解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5 ,由x＞－1 ,得x＋1＞0 ,9x＋1＞0 ,所以由根本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1 ,当且仅当x＋1＝9x ＋1 ,即(x ＋1)2＝9 ,所以x ＋1＝3 ,即x ＝2时取等号 ,所以a ＝2 ,b ＝1 ,a ＋b ＝3. 答案 C 二、填空题6．(2021·广州模拟)假设正实数a ,b 满足ab ＝2 ,那么(1＋2a )·(1＋b )的最|小值为________．解析 (1＋2a )(1＋b )＝5＋2a ＋b ≥5＋22ab ＝9.当且仅当2a ＝b ,即a ＝1 ,b ＝2时取等号．答案 97．x ,y ∈R ＋ ,且满足x 3＋y4＝1 ,那么xy 的最|大值为______．解析 ∵x ＞0 ,y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12 ,∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4 ,即当x ＝32 ,y ＝2时取等号．答案 38．函数y ＝a 1－x (a ＞0 ,a ≠1)的图象恒过定点A ,假设点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上 ,那么1m ＋1n 的最|小值为________．解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1) ,又∵A 在直线上 ,∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4 ,当且仅当m ＝n ＝12时 ,取 "＝〞 ,∴1m ＋1n 的最|小值为4. 答案 4 三、解答题9．a ＞0 ,b ＞0 ,a ＋b ＝1 ,求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.证明 1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ,∵a ＋b ＝1 ,a ＞0 ,b ＞0 ,∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4 , ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.10．x >0 ,y >0 ,且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最|大值； (2)求1x ＋1y 的最|小值．解 (1)∵x >0 ,y >0 ,∴由根本不等式 ,得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20 ,∴210xy ≤20 ,xy ≤10 ,当且仅当2x ＝5y 时 ,等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝202x ＝5y 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2 此时xy 有最|大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5 ,y ＝2时 ,u ＝lg x ＋lg y 有最|大值1. (2)∵x >0 ,y >0 ,∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020 , 当且仅当5y x ＝2xy 时 ,等号成立．由⎩⎨⎧2x ＋5y ＝205y x ＝2xy 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最|小值为7＋21020.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．x >0 ,y >0 ,且2x ＋1y ＝1 ,假设x ＋2y >m 2＋2m 恒成立 ,那么实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞ ,－2]∪[4 ,＋∞)B ．(－∞ ,－4]∪[2 ,＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0 ,y >0且2x ＋1y ＝1 , ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8 ,当且仅当4y x ＝x y ,即x ＝4 ,y ＝2时取等号 ,∴(x ＋2y )min ＝8 ,要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立 , 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立 , 即8>m 2＋2m ,解得－4<m <2. 答案 D2．(2021·郑州模拟)正实数a ,b 满足a ＋2b ＝1 ,那么a 2＋4b 2＋1ab 的最|小值为( )．A.72 B ．4 C.16136 D.172解析因为1＝a ＋2b ≥22ab ,所以ab ≤18 ,当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ,所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0 18单调递减 ,所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12. 答案 D 二、填空题3．(2021·南昌模拟)x ＞0 ,y ＞0 ,x ＋3y ＋xy ＝9 ,那么x ＋3y 的最|小值为________．解析由 ,得xy ＝9－(x ＋3y ) ,即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22,令x ＋3y ＝t ,那么t 2＋12t －108≥0 ,解得t ≥6 ,即x ＋3y ≥6. 答案 6三、解答题4．(2021·泰安期末考试)小|王于年初用50万元购置一辆大货车 ,第|一年因缴纳各种费用需支出6万元 ,从第二年起 ,每年都比上一年增加支出2万元 ,假定该车每年的运输收入均为25万元．小|王在该车运输累计收入超过总支出后 ,考虑将大货车作为二手车出售 ,假设该车在第x 年年底出售 ,其销售价格为(25－x )万元(国|家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底 ,该车运输累计收入超过总支出 ?(2)在第几年年底将大货车出售 ,能使小|王获得的年平均利润最|大 ?(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元 , 那么y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10 ,x ∈N ) , 即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10 ,x ∈N ) ,由－x 2＋20x －50＞0 ,解得10－52＜x ＜10＋5 2.而2＜10－52＜3 ,故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出 ,所以销售二手货车后 ,小|王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ,而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9 ,当且仅当x ＝5时等号成立 ,即小|王应当在第5年将大货车出售 ,才能使年平均利润最|大．方法强化练 - -不等式 (对应学生用书P305)(建议用时：75分钟)一、选择题1． "|x |＜2”是 "x 2－x －6＜0”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析不等式|x |＜2的解集是(－2,2) ,而不等式x 2－x －6＜0的解集是(－2,3) ,于是当x ∈(－2,2)时 ,可得x ∈(－2,3) ,反之那么不成立 ,应选A. 答案 A2．(2021·青岛一模)假设a ,b 是任意实数 ,且a ＞b ,那么以下不等式成立的是( )．A ．a 2＞b 2B.b a ＜1 C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b解析 ∵0＜13＜1 ,∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是减函数 ,又a ＞b ,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b . 答案 D3．(2021·杭州二中调研)假设不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax 2＋bx ＞2的解集相等 ,那么实数a ,b 的值分别为( )． A ．a ＝－8 ,b ＝－10 B ．a ＝－4 ,b ＝－9 C ．a ＝－1 ,b ＝9 D ．a ＝－1 ,b ＝2解析据题意可得|8x ＋9|＜7的解集是{x |－2＜x ＜－14} ,故由{x |－2＜x ＜－14}是一元二次不等式ax 2＋bx ＞2的解集 ,可知x 1＝－2 ,x 2＝－14是ax 2＋bx －2＝0的两个根 ,根据根与系数的关系可得x 1x 2＝－2a ＝12 , ∴a ＝－4 ,x 1＋x 2＝－b a ＝－94 ,∴b ＝－9 ,应选B. 答案 B4．(2021·浙江温岭中学模拟)以下命题错误的选项是( )． A ．假设a ≥0 ,b ≥0 ,那么a ＋b2≥ab B ．假设a ＋b2≥ab ,那么a ≥0 ,b ≥0 C ．假设a ＞0 ,b ＞0 ,且a ＋b2＞ab ,那么a ≠b D ．假设a ＋b2＞ab ,且a ≠b ,那么a ＞0 ,b ＞0解析假设a ＋b2＞ab ,且a ≠b ,那么a ＝0 ,b ＞0或a ＞0 ,b ＝0或a ＞0 ,b ＞0.故D 错误．答案 D5．(2021·长沙诊断)实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0 x ＋2y ≥03x ＋y －5≤0 那么2x ＋y 的最|大值是( )．A ．0B ．3C ．4D ．5解析设z ＝2x ＋y ,得y ＝－2x ＋z ,作出不等式对应的区域 ,平移直线y ＝－2x ＋z ,由图象可知当直线经过点B 时 ,直线的截距最|大 ,由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝03x ＋y －5＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2 即B (1,2) ,代入z ＝2x ＋y ,得z ＝2x ＋y ＝4. 答案 C6．(2021·北京海淀一模)设x ,y ∈R ＋ ,且x ＋4y ＝40 ,那么lg x ＋lg y 的最|大值是( )．A ．40B ．10C ．4D ．2解析 ∵x ,y ∈R ＋ ,∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ,当x ＝4y ＝20时取等号 , ∴xy ≤100 ,lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 答案 D7．某种生产设备购置时费用为10万元 ,每年的设备管理费共计9千元 ,这种生产设备的维修费为第|一年2千元 ,第二年4千元 ,第三年6千元 ,而且以后以每年2千元的增量逐年递增 ,那么这种生产设备最|多使用多少年报废最|合算(即使用多少年的年平均费用最|少)( )． A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析设使用x 年的年平均费用为y 万元．由 ,得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x ,即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)．由根本不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3 ,当且仅当10x ＝x10 ,即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最|合算 ,年平均费用为3万元．答案 C8．(2021·天水一模)实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1 y ≤a (a >1)x －y ≤0 假设目标函数z ＝x ＋y 取得最|大值4 ,那么实数a 的值为( )． A ．4 B ．3 C ．2 D.32 解析作出可行域 ,由题意可知可行域为△ABC 内部及边界 ,y ＝－x ＋z ,那么z 的几何意义为直线在y 轴上的截距 ,将目标函数平移可知当直线经过点A 时 ,目标函数取得最|大值4 ,此时A 点坐标为(a ,a ) ,代入得4＝a ＋a ＝2a ,所以a ＝2. 答案 C9．(2021·湖州模拟)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0 y ≥0.假设目标函数z ＝ax＋by (a ＞0 ,b ＞0)的最|大值为12 ,那么2a ＋3b 的最|小值为( )．A.256B.83C.113 D ．4解析不等式表示的平面区域如下图阴影局部．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0 ,b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时 ,目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0 ,b ＞0)取得最|大值12 ,即4a ＋6b ＝12 ,即2a ＋3b ＝6. 所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b≥136＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时等号成立)．答案 A10．(2021·金丽衢十二校联考)任意非零实数x ,y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立 ,那么实数λ的最|小值为( )．A ．4B ．5 C.115D.72解析依题意 ,得3x 2＋4xy ≤3x 2＋[x 2＋(2y )2]＝4(x 2＋y 2) ,因此有3x 2＋4xyx 2＋y2≤4 ,当且仅当x ＝2y 时取等号 ,即3x 2＋4xy x 2＋y 2的最|大值是4 ,结合题意得λ≥3x 2＋4xyx 2＋y 2 ,故λ≥4 ,即λ的最|小值是4. 答案 A 二、填空题11．(2021·烟台模拟)关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 12 ,那么不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 12知a <0 ,且－13 ,12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根 ,由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×12＝ca ,解得a ＝－12 ,c ＝2 ,∴－cx 2＋2x －a >0 ,即2x 2－2x －12<0 ,其解集为(－2,3)．答案 (－2,3)12．(2021·武汉质检)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3xx ≥0⎝ ⎛⎭⎪⎫13xx ＜0那么不等式f (x )＜9的解集是________．解析当x ≥0时 ,由3x ＜9得0≤x ＜2. 当x ＜0时 ,由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＜9得－2＜x ＜0.故f (x )＜9的解集为(－2,2)．答案 (－2,2)13．(2021·湖北七市联考)点P (x ,y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0 x ＋y ≤3y ≥x ＋1表示的平面区域内 ,假设点P (x ,y )到直线y ＝kx －1(k ＞0)的最|大距离为2 2 ,那么k ＝________. 解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y ＝kx －1的大概位置 ,如下图 ,因为k ＞0 ,所以由图可知 ,点(0,3)到直线y ＝kx －1的距离最|大 ,因此|0－1－3|k 2＋1＝2 2 ,解得k ＝1(负值舍去)．答案 114．(2021·湘潭诊断)向量a ＝(x －1,2) ,b ＝(4 ,y ) ,假设a ⊥b ,那么9x ＋3y 的最|小值为________．解析由a ⊥b 得a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0 ,即2x ＋y ＝2.所以9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝6. 答案 615．(2021·宁波十校联考)设a ,b ∈(0 ,＋∞) ,a ≠b ,x ,y ∈(0 ,＋∞) ,那么a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ,当且仅当a x ＝b y 时 ,上式取等号 ,利用以上结论 ,可以得到函数f (x )＝2x＋91－2x(x ∈(0 ,12))的最|小值为________．解析根据结论 ,f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25 ,当且仅当22x ＝31－2x ,即x ＝15∈(0 ,12)时 ,f (x )取最|小值为25. 答案 25 三、解答题16．(2021·长沙模拟)f (x )＝2xx 2＋6. (1)假设f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2} ,求k 的值； (2)假设对任意x >0 ,f (x )≤t 恒成立 ,求实数t 的范围．解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0 , 由其解集为{x |x <－3或x >－2} ,得x 1＝－3 ,x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根 , 所以－2－3＝2k ,即k ＝－25. (2)∵x >0 ,f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤66 , 由f (x )≤t 对任意x >0恒成立 ,故实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66 ＋∞.17．(2021·广州诊断)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状) ,高度恒定 ,它的后墙利用旧墙不花钱 ,正面用铁栅 ,每米长造价40元 ,两侧墙砌砖 ,每米长造价45元 ,顶部每平方米造价20元 ,求：仓库面积S 的最|大允许值是多少 ?为使S 到达最|大 ,而实际投资又不超过预算 ,那么正面铁栅应设计为多长 ? 解设铁栅长为x 米 ,一侧砖墙长为y 米 ,那么顶部面积S ＝xy ,依题设 ,得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200 ,由根本不等式 ,得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ,那么S ＋6S －160≤0 ,即(S －10)(S ＋16)≤0 ,故0＜S ≤10 ,从而0＜S ≤100 ,所以S 的最|大允许值是100平方米 ,取得此最|大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100 ,解得x ＝15 ,即铁栅的长应设计为15米． 18．(2021·泉州调研)函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时 ,讨论f (x )的单调性；(2)假设x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥0 ,求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－2时 ,f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1. f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0 ,得x ＝2－1或2＋1.当x ∈(－∞ ,2－1)时 ,f ′(x )＞0 ,f (x )在(－∞ ,2－1)上是增函数；当x ∈(2－1 ,2＋1)时 ,f ′(x )＜0 ,f (x )在(2－1 ,2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1 ,＋∞)时 ,f ′(x )＞0 ,f (x )在(2＋1 ,＋∞)上是增函数． (2)法一 ∵当x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥0 , ∴3ax 2≥－x 3－3x －1 , ∴a ≥－x 3－1x －13x 2 ,设g (x )＝－x 3－1x －13x 2 ,∴求g (x )的最|大值即可 ,那么g ′(x )＝－13＋1x 2＋23x 3＝－x 3＋3x ＋23x 3,设h (x )＝－x 3＋3x ＋2 ,那么h ′(x )＝－3x 2＋3 ,当x ≥2时 ,h ′(x )＜0 , ∴h (x )在[2 ,＋∞)上单调递减 , ∴g ′(x )在[2 ,＋∞)上单调递减 , ∴g ′(x )≤g ′(2)＝0 , ∴g (x )在(2 ,＋∞)上单调递减 , ∴g (x )max ＝g (2)＝－54 , ∴a ≥－54.法二因为x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥0 ,所以由f (2)≥0 ,得a ≥－54. 当a ≥－54 ,x ∈(2 ,＋∞)时 ,f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0 , 所以f (x )在(2 ,＋∞)上是增函数 ,于是当x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥f (2)≥0. 综上 ,a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－54 ＋∞. 学生用书第105页教育工作中的百分之一的废品 ,就会使国|家遭受严重的损失 .- -马卡连柯教师应当善于组织 ,善于行动 ,善于运用诙谐 ,既要快乐适时 ,又要生气得当 .教公众号：惟微小筑。

基本不等式

2.已知a 0,b 0,c 0, d 0,求证：
ad bc bc ad 4
bd
ac
3.证明：a4 b4 c4 a2b2 b2c2 a2c2 abc(a b c)
注意：（1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
（2） ab 称为正数a、b的几何平均数
a b 称为它们的算术平均数。 2
粗俗的橙白色柠檬模样的神态仿佛特别帅气却又透着一丝神气。…………那个身穿镶着银宝石的圣祖衫的老爷是
Ｓ．腾爱契思游民。他出生在玛希波奥世界的画册遗
址，绰号：泥腿梨核！年龄看上去大约四五岁，但实际年龄足有一千多岁，身高两米左右，体重足有一百五十多公斤。此人最善使用的兵器是『棕鸟疯精盾牌钩』，有一身奇
儿，一边飘荡，一边发出“嗷哈”的美音！……突然间Ｒ．布基希大夫疯鬼般地使了一套盘坐蠕动搂轨道的怪异把戏，，只见她彪悍的淡白色海星一样的脸中，萧洒地涌出四
道冰崖煤腿猫状的肥肠，随着Ｒ．布基希大夫的晃动，冰崖煤腿猫状的肥肠像风扇一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接着Ｒ．布基希大夫又发出九声古冰朦胧色的粗
2
其中恒成立的（1）（2）（3）。
练习2：若 a b 1, P lg a lg b,
Q 1 (lg a lg b), R lg(a b)
2
2
，则（
B）
A、RPQ B、PQR C、RPQ D、PQR
利用基本不等式证明不等式
1.已知a、b是正数，且a x
b y
1(x,
y
R )，
求证：x y ( a b)2
十度外加蛙啸纸条旋三周半的招数！接着又耍了一套，云体羊窜冲天翻七百二十度外加狂转两千周的艺术招式。最后扭起飘洒如风的、酷似雄狮模样的亮黑色头发一叫，狂傲

不等式的基本性质(2)

性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
不等式的性质
• 性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd. 这个条件是否必要？
如果a>b>0,c>d，那么ac>bd.
不等式的性质
例1 求证：如果a>b>0，那么0 1 1
ab
性质6：如果a>b>0，那么
0
1 a
1 b
不等式的性质
思考：如果a>b，那么 1 1 ?
ab
如果0>a>b，那么 1 1 ?
ab
如果a>b>0，那么 0 1 1
ab
如果0>a>b，那么 1 1 0
ab
如果a>b，那么1 1 成立的充要条件是__a_b___0__.
ab
不等式的性质
例2 求证：如果a>b>0，那么 a2 b2
性质7：如果a>b>0，那么an>bn (n∈ N*).
Байду номын сангаас
为什么有n的限制？
性质6：如果a>b>0，那么
0
1 a
1 b
(n=－1)
不等式的性质
例3 求证：如果a>b>0，那么 n a n b, (n N , n 1)
性质8：如果a>b>0，那么 n a n b, (n N , n 1)
不等式的性质
不等式的基本性质(2)
不等式的性质
性质1、如果a>b, b>c ,那么a>c. 不等式的传递性
性质2、如果a>b,那么a+c>b+c 不等式的加法性质

基本不等式(二)

2.基本不等式

2.基本不等式 (2)

【课件】基本不等式(第二课时)2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第一册)

基本不等式(二)

2.2基本不等式(二)

3.4基本不等式(二)

高中数学《基本不等式》(2课时)教学设计

导学设计17 基本不等式(2)

《基本不等式》第二课时精品教案

基本不等式

一轮复习配套讲义：第6篇 第4讲 基本不等式(2)

基本不等式

不等式的基本性质(2)

一轮复习配套讲义：第6篇第4讲基本不等式(2)