菱形教案

《特殊平行四边形---菱形》
【学习目标】
1、会背菱形的性质定理
2、会书写菱形的性质定理的证明.
【重点】掌握菱形的性质定理的证明方法.
【难点】证明菱形的性质定理.
【温故知新】
菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。

1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质1：菱形的四条边相等。

2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

3、菱形的判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2：四边相等的四边形是菱形。

3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

4：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

4. 菱形的对称性：
菱形既是轴对称图形（关于对角线所在的直线对称）又是中心对称图形（关于对角线交点中心对称）。

5. 菱形的面积：
平行四边形的面积法则适用于求菱形的面积。

菱形的面积=两条对角线的乘积的一半。

说明：要判定四边形是菱形的方法：
法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。

（这是定义证明）。

法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。

（这是判定定理3）
法三：只需证出四边都相等。

（这是判定定理2）
【探究新知】
一、猜想证明形成性质
问题1菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质．类似于矩形，菱形是否也具有一般平行四边形不具有的特殊性质？如果有，是什么？
猜想证明形成性质
问题2你能证明上述猜想吗？ 1、 求证：菱形的四条边都相等
2、 求证：菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角
菱形的性质定理：
1
、菱形的四条边相等；
2、菱形的对角线互相垂直，并且每一条角线平分一组对角
二、思考：除了运用菱形的定义，类比研究平行四边形和举行的性质和判定，你能找出判定菱形的其他方法吗：
猜想1：如果一个平行四边形的两条对角线相互垂直，那么这个平行四边形是菱形。

已知：平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相垂直。

求证：四边形ABCD 是菱形．
证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ OA ＝OC （平行四边形的对角线相互平分）． 又∵AC ⊥BD ，
∴ BD 所在直线是线段AC 的垂直平分线， ∴ AB ＝BC ，
∴ 四边形ABCD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
判定定理1对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
例题1：例 如图20．3．4，已知矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，求证四边形AFCE 是菱形． 证明∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ AE ∥FC （平行四边形的对边平行）， ∴ ∠1＝∠2． ∵ EF 平分AC ， ∴ AO ＝OC ．
又∵ ∠AOE ＝∠COF ＝90°， ∴ △AOE ≌△COF （A ．S ．A ．），
∴ EO ＝FO ，
∴ 四边形AFCE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 又∵EF ⊥AC ，
∴ 四边形AFCE 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
平行四边形的性质
矩形的性质
菱形的性质
对边相等 对角相等
对角线互相平分
D
A
B
C
猜想2四条边都相等的四边形是菱形．
已知：如图，四边形ABCD ，AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD 是菱形
证明：∵AB=CD ，BC=AD
∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的 四边形是平行四边形） 又∵AB=BC
∴四边形ABCD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形） 思考：这里的条件能否再减少一些呢？能否类似对矩形的讨论那样，有三条边相等的四边形就是菱形了呢？猜一猜，并试着画一画，你就会知道，这个结论是不成立的．
判定定理2四条边都相等的四边形是菱形。

猜想3：如果一个四边形的每条对角线平分一组对角，那么这个四边形是菱形。

已知：四边形ABCD ，AC 平分∠DAB 和∠DCB ，BD 平分∠ABC 和∠ADC 求证：四边形ABCD 是菱形 证明：
∵AC 平分∠DAB 和∠DCB ∴∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA 又∵AC=AC
∴△ADC ≌△ABC （A ．S ．A ．） ∴AD=AB ，CD=CB
同理，∵BD 平分∠ABC 和∠ADC ∴AD=CD ，AB=CB ∴AB=CD ，BC=AD
∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 又∵AB=BC
∴四边形ABCD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
判定定理3每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
例题2如图，AD 是△ABC 的一条角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F.求证四边形AEDF 是菱形.（证明略）
【学以致用】
1.菱形ABCD 中∠ABC ＝60度，则∠BAC ＝_______.
2、一个菱形的周长是20cm,它的一个内角是60°,则此菱形较短对角线的长是_____。

3、菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长11cm,菱形的周长为_____ 大显身手：
4、如图，菱形花坛ABCD 的边长为10m ，BO=8m,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD （忽略小路的宽），求两条小路的长和花坛的面积。

【堂堂清】
1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A 、对角相等； B 、对边相等； C 、对角线互相垂直；D 、对角线相等。

2、如图，菱形ABCD 中，不一定成立的是（） A 、四边形ABCD 是平行四边形； B 、AC ⊥BD
C 、△ABC 是等边三角形；
D 、 ∠ CAB= ∠ CAD 。

3.已知菱形的周长是12cm ，那么它的边长是______.
O
D
C
B
A
O
A
B
C
D
4、菱形ABCD 中,O 是两条对角线的交点，AB=5cm,AO=4cm ，两对角线AC 、BD 的长分别为______
5、已知菱形的两条对角线长分别是10和24,则菱形的周长为_____。

拓展与延伸
已知：边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB=60度，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足AE+CF=a 。

求证：不论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形。

小结： 作业：
提分技巧
1、在记忆菱形的性质和判定时应与矩形的性质和判定对比记忆，从边、角、对角线三方面找到它们的区别与联系。

2、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线所在的直线，所以两条对称轴互相垂直。

A
B
C
D E
F
O
D
C
B
A
3、菱形被对角线分成了四个全等的直角三角形，在计算或证明时常用到这个结论。

4、菱形的面积公式是
ab
S
2
1
（其中a、b是菱形的两条对角线的长）。

即：“菱形的面
积等于它的两条对角线的乘积的一半”。

还要指出：当不易求出对角线的长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积，即S=底×高。