有限元绪论
合集下载
有限元发展历史
Zienkiewicz 认为，难以确定有限元法的起源及发明它的准确时间[13]。把 复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析和集合问题，许多经典的数学近似方 法以及工程中所用的各直接近似方法都属于这一范畴。有限单元这术语的出现， 意味着直接应用可用于离散系统的标准研究方法。在概念上，使我们对方法的理
1
已出现多种新单元（先后有等参元、高次元、不协调元、拟协调元、杂交元、 样条元、边界元、罚单元，还有半解析的有限条等不同单元）和求解方法（如半 带宽与变带宽消去法、超矩阵法、波前法、子结构法、子空间迭代法等）。能解 决各种复杂耦合问题的软件和软件系统不断涌现。对网格自动剖分和网格自适应 过程的研究，大大加强了有限元法的解题能力，使有限单元法逐渐趋于成熟。
等截面梁单元 ................................................ 4 三结点三角形单元 ............................................ 5 双线性矩形单元 .............................................. 6 平面等参数单元 .............................................. 7 §5.4 数值方法的收敛性 ............................................ 10 5.5 有限单元法实施及 ANSYS 算例 .................................... 11 §5.5.1 有限元法实施步骤 ...................................... 11 §5.5.2 ANSYS 软件应用实例 ..................................... 12 ● ANSYS 软件概述[16] ...................................... 12 ● ANSYS 使用环境 .......................................... 12 ● ANSYS 软件功能 .......................................... 13 ● ANSYS 图形用户界面 ...................................... 16 ● ANSYS 程序应用实例 ...................................... 21
1
已出现多种新单元（先后有等参元、高次元、不协调元、拟协调元、杂交元、 样条元、边界元、罚单元，还有半解析的有限条等不同单元）和求解方法（如半 带宽与变带宽消去法、超矩阵法、波前法、子结构法、子空间迭代法等）。能解 决各种复杂耦合问题的软件和软件系统不断涌现。对网格自动剖分和网格自适应 过程的研究，大大加强了有限元法的解题能力，使有限单元法逐渐趋于成熟。
等截面梁单元 ................................................ 4 三结点三角形单元 ............................................ 5 双线性矩形单元 .............................................. 6 平面等参数单元 .............................................. 7 §5.4 数值方法的收敛性 ............................................ 10 5.5 有限单元法实施及 ANSYS 算例 .................................... 11 §5.5.1 有限元法实施步骤 ...................................... 11 §5.5.2 ANSYS 软件应用实例 ..................................... 12 ● ANSYS 软件概述[16] ...................................... 12 ● ANSYS 使用环境 .......................................... 12 ● ANSYS 软件功能 .......................................... 13 ● ANSYS 图形用户界面 ...................................... 16 ● ANSYS 程序应用实例 ...................................... 21
专业ABAQUS有限元建模经验笔记
基于ABAQUS的有限元分析和应用第一章绪论1.有限元分析包括下列步骤：2.为了将试验数据转换为输入文件，分析者必须清楚在程序中所应用的和由实验人员提供的材料数据的应力和应变的度量。
3.ABAQUS建模需注意以下内容：4.对于许多包含过程仿真的大变形问题和破坏分析，选择合适的网格描述是非常重要的，需要认识网格畸变的影响，在选择网格时必须牢牢记住不同类型网格描述的优点。
第二章ABAQUS基础1.一个分析模型至少要包含如下的信息：离散化的几何形体、单元截面属性、材料数据、载荷和边界条件、分析类型和输出要求。
①离散化的几何形体：模型中所有的单元和节点的集合称为网格。
②载荷和边界条件：2.功能模块：（1）Assembly（装配）：一个ABAQUS模型只能包含一个装配件。
（2）Interaction（相互作用）：相互作用与分析步有关，这意味着用户必须规定相互作用是在哪些分析步中起作用。
（3）Load（载荷）：载荷和边界条件与分析步有关，这意味着用户指定载荷和边界条件是在哪些分析步中起作用。
（4）Job（作业）：多个模型和运算可以同时被提交并进行监控。
3.量纲系统ABAQUS没有固定的量纲系统，所有的输入数据必须指定一致性的量纲系统，常用的一致性量纲系统如下：4.建模要点（1）创建部件：设定新部件的大致尺寸的原则必须是与最终模型的最大尺寸同一量级。
（2）用户应当总是以一定的时间间隔保存模型数据（例如，在每次切换功能模块时）。
（3）定义装配：在模型视区左下角的三向坐标系标出了观察模型的方位。
在视区中的第2个三向坐标系标出了坐标原点和整体坐标系的方向（X，Y和Z轴）。
（4）设置分析过程：（5）在模型上施加边界条件和荷载：用户必须指定载荷和边界条件是在哪个或哪些分析步中起作用。
所有指定在初始步中的力学边界条件必须赋值为零，该条件是在ABAQUS/CAE中自动强加的。
在许多情况下，需要的约束方向并不一定与整体坐标方向对齐，此时用户可定义一个局部坐标系以施加边界条件。
有限元分析课程 第一章 绪论PPT
1 T I [ y ( x)] = ∫ [ y L( y ) + yT f ]d Ω + b.t.( y, g ) Ω 2
其中: b.t.( y, g ) 与边界条件有关。）
14
若假设试探函数只选取一项，即
ϕ ( x ) = α1 ( x − x 2 )
5 易得 α1 = 9 ，则问题的近似解为 5 ϕ ( x) = ( x − x 2 ) 9 变分法的试探函数定义于整个求解域，且必须满足
23
转向机构支架的强度分析
24
动力分析
模态分析—计算线性结构的自振频率及振形. 谱分析—是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起 的结构应力和应变 (也叫作响应谱).
整机的模态分析
25
谐响应分析—确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载 荷的响应. 旋转设备（如压缩机、发动机、泵、涡轮机械等）的支 座、固定装置和部件； 受涡流（流体的漩涡运动）影响的结构，例如涡轮叶片、 飞机机翼、桥和塔等。 瞬态动力学分析—确定结构对随时间任意变化的载荷的响 应. 可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为. 显式动力分析—计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所 有的非线性行为.
L=∫
b a
{ y( x)}
dy 1 + dx dx
2
L依赖于函数y(x)的形式，L随着曲线的形状而变化。L就是函 数y(x)的泛函。 12
假设试探函数为多项式： ϕ ( x) = α1 ( x − x 2 )+α 2 ( x − x 3 )+L +α n ( x − x n +1 )
P
meshing
P
其中: b.t.( y, g ) 与边界条件有关。）
14
若假设试探函数只选取一项，即
ϕ ( x ) = α1 ( x − x 2 )
5 易得 α1 = 9 ，则问题的近似解为 5 ϕ ( x) = ( x − x 2 ) 9 变分法的试探函数定义于整个求解域，且必须满足
23
转向机构支架的强度分析
24
动力分析
模态分析—计算线性结构的自振频率及振形. 谱分析—是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起 的结构应力和应变 (也叫作响应谱).
整机的模态分析
25
谐响应分析—确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载 荷的响应. 旋转设备（如压缩机、发动机、泵、涡轮机械等）的支 座、固定装置和部件； 受涡流（流体的漩涡运动）影响的结构，例如涡轮叶片、 飞机机翼、桥和塔等。 瞬态动力学分析—确定结构对随时间任意变化的载荷的响 应. 可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为. 显式动力分析—计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所 有的非线性行为.
L=∫
b a
{ y( x)}
dy 1 + dx dx
2
L依赖于函数y(x)的形式，L随着曲线的形状而变化。L就是函 数y(x)的泛函。 12
假设试探函数为多项式： ϕ ( x) = α1 ( x − x 2 )+α 2 ( x − x 3 )+L +α n ( x − x n +1 )
P
meshing
P
第一讲有限元绪论
考虑微段dx，内力 N=q (L-x)
dx的伸长为
Δ(dx) N(x)dx q(L x)dx
EA
x截面上的位移：
x N(x)dx x q(L x)dx q
x2
u 0 EA 0
EA
(Lx )
EA
2
根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里
应变
du q ε x dX EA(L X)
实验方法的最大优点是结果真实可靠，通
常被当作产品最终定型的权威性依据。
实验方法也存在不足：
1）实验一定要在样品或样机试制之后才 能进行，成本高、周期长，并且只适合 批量生产的产品。
2）可以获得的数据量有限，无法对设计 提供更多的指导，更无法进行结构优化。
3）受实验手段的限制，有些参数无法测 准。
应力
σx
Eε x
q A
(L X)
有限单元法求解直杆拉伸：
1、离散化
2、外载荷集中到结点上，即把投 影部分的重量作用在结点i上
L1
1
L2
2
Li Li+1
i-1 i i+1
n-1 n
图 2-2
i-1
Li
i q (Li + Li+1)
Li+1
2
i+1
图 2-3
有限单元法求解直杆拉伸：
3、假设线单元上的位移为线性函数
五、数值分析与实验分析的比较
分析方法可分为理论计算和实验两大类。
1、基于实验的分析方法
指通过的实验测试获取需要的性能参数的 方法。这种方法获取不同的性能参数需要采用 不同的测试方法、仪器设备和辅助实验装置。 如：强度实验，可以采用电阻应变片及应变仪、 光弹涂膜或云纹栅、应变涂料等；扭转与弯曲 刚度实验则需要专门的实验台等等。
有限元教案_绪论(新)
t=60s
t=180s
半导体芯片温度场的数值仿真
1.3 内容安排
1.平面杆系有限元方法 1.平面杆系有限元方法 2.平面梁系有限元方法 2.平面梁系有限元方法 3.平面问题有限元方法 3.平面问题有限元方法 4.平板问题有限元方法 4.平板问题有限元方法 5.空间问题有限元方法 5.空间问题有限元方法 6.板壳问题有限元方法 6.板壳问题有限元方法
1.1 有限元法的发展
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速 随着数值分析方法的逐步完善， 度的飞速发展， 度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越 来越少， 来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却日益突 出。
在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方 在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方 10 程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计 程的有限元模型只需要用几十分钟。 算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备 算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备 80% 和结果分析上。 和结果分析上。
1.1 有限元法的发展
数值模拟技术： 数值模拟技术：
以物理学（力学）和计算数学理论为基础， 以物理学（力学）和计算数学理论为基础， 借助计算机技术来获得满足工程要求的数值解 数值解， 借助计算机技术来获得满足工程要求的数值解， 是现代工程中解决问题的有力手段。 是现代工程中解决问题的有力手段。
工程领域常用的数值模拟方法： 工程领域常用的数值模拟方法：
CAE/CAD交互 交互 一体化框图
1.1 有限元法的发展
CAE软件的价值 软件的价值
增加设计功能，减少设计成本； 增加设计功能，减少设计成本； 缩短设计和分析的循环周期； 缩短设计和分析的循环周期； 增加产品和工程的可靠性； 增加产品和工程的可靠性； 采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 进行机械事故分析，查找事故原因。 进行机械事故分析，查找事故原因。
有限元基础教程绪论ppt课件
不单设考试，以大作业的报告、平时作业和考勤综合评定成绩。
绪论
1.1概况 1.2有限元方法的历史 1.3有限元分析的内容和作用 1.4有限元分析的一般过程 1.5有限元法的基本概念 1.6有限元法的发展趋势
1概况
有限元方法(finite element method)或有限元分析(finite element analysis)，是求取复杂微分方程近似解的一种非常 有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。 有限元分析必须包含三个方面：
2有限元方法的历史
有限元软件应用及学术论文： 随着计算机技术的飞速发展，基于有限元方法原理的软件
大量出现，并在实际工程中发挥了愈来愈重要的作用；目前， 专业的著名有限元分析软件公司有几十家，国际上著名的通用 有限元分析软件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN， MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA， IDEAS，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA， DEFORM，PAM-STAMP, AUTOFORM，SUPER-FORGE等； 国际上著名的主要有限元分析软件状况见表1-1。有关有限元 分析的学术论文，每年也不计其数，学术活动非常活跃，表12 列出的是刊登有限元分析论文的常见学术期刊。
位移函数的构造方法（广义坐标法）
广义坐标法
一维单元位移函数： u(x) 0 1x 1x2 ...n xn
i为待定系数，也称为广义 简记为 u(x)
坐标
{1 x x2 ... xn}
{0 1 2 ... n}T
位移函数的构造方法（插值函数法）
插值函数法 即将位移函数表示为各个节点位移与 已知插值基函数积的和。
板壳单元
四面体单元
绪论
1.1概况 1.2有限元方法的历史 1.3有限元分析的内容和作用 1.4有限元分析的一般过程 1.5有限元法的基本概念 1.6有限元法的发展趋势
1概况
有限元方法(finite element method)或有限元分析(finite element analysis)，是求取复杂微分方程近似解的一种非常 有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。 有限元分析必须包含三个方面：
2有限元方法的历史
有限元软件应用及学术论文： 随着计算机技术的飞速发展，基于有限元方法原理的软件
大量出现，并在实际工程中发挥了愈来愈重要的作用；目前， 专业的著名有限元分析软件公司有几十家，国际上著名的通用 有限元分析软件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN， MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA， IDEAS，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA， DEFORM，PAM-STAMP, AUTOFORM，SUPER-FORGE等； 国际上著名的主要有限元分析软件状况见表1-1。有关有限元 分析的学术论文，每年也不计其数，学术活动非常活跃，表12 列出的是刊登有限元分析论文的常见学术期刊。
位移函数的构造方法（广义坐标法）
广义坐标法
一维单元位移函数： u(x) 0 1x 1x2 ...n xn
i为待定系数，也称为广义 简记为 u(x)
坐标
{1 x x2 ... xn}
{0 1 2 ... n}T
位移函数的构造方法（插值函数法）
插值函数法 即将位移函数表示为各个节点位移与 已知插值基函数积的和。
板壳单元
四面体单元
有限元基础及应用
（2）对于静不定问题，则需要变形协调方程， 才能求解出应力变量，在构建问题的变形协调 方程时，则需要一定的技巧；
（3）若采用位移作为首先求解的基本变量，则 可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基 于 A、B、C 三个点的位移 来进行以上问题的 求解。
方法二：节点位移求解及平衡关系
要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建 相应的平衡关系，然后再进行求解。
课程介绍
一、课程内容： 1、有限元法理论基础； 2、应用ANSYS有限元软件对汽车/机械结构进
行分析。 二、学习方法：
理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实 际问题来掌握有限元理论。 三、学时数：54学时（36学时理论+18学时实 验） 四、考核方式：平时成绩+上机考试+笔试成绩
第一章 绪论
1.1 有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶（1943
PA
C
A
Rc
a
b
A'
A
C
A
图（a）所示一平衡的杠杆，对C点写力矩
PB
平衡方程：
(a)
B
PB b PA a
图（b）表示杠杆绕支点C转动时的刚体位
移图：
B b A a
综合可得：
(b)
B
即：
B
PA b B PB a A PAA PBB 0
上式是以功的形式表述的。表明：图a的
B'
平衡力系在图b的位移上作功时，功的总
目前应用较多的通用有限元软件如下表：
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
简介 著名结构分析程序，最初由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
（3）若采用位移作为首先求解的基本变量，则 可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基 于 A、B、C 三个点的位移 来进行以上问题的 求解。
方法二：节点位移求解及平衡关系
要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建 相应的平衡关系，然后再进行求解。
课程介绍
一、课程内容： 1、有限元法理论基础； 2、应用ANSYS有限元软件对汽车/机械结构进
行分析。 二、学习方法：
理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实 际问题来掌握有限元理论。 三、学时数：54学时（36学时理论+18学时实 验） 四、考核方式：平时成绩+上机考试+笔试成绩
第一章 绪论
1.1 有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶（1943
PA
C
A
Rc
a
b
A'
A
C
A
图（a）所示一平衡的杠杆，对C点写力矩
PB
平衡方程：
(a)
B
PB b PA a
图（b）表示杠杆绕支点C转动时的刚体位
移图：
B b A a
综合可得：
(b)
B
即：
B
PA b B PB a A PAA PBB 0
上式是以功的形式表述的。表明：图a的
B'
平衡力系在图b的位移上作功时，功的总
目前应用较多的通用有限元软件如下表：
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
简介 著名结构分析程序，最初由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
有限元课件1第一章-1
一.广义协调元
Q4薄板元[2]
该单元采用形函数谱方法，利用Q4膜元形函数导 出，采用四边形面积坐标QAC，单元对 网格畸变 不敏感[2]。
参考文献：[2]王丽，龙驭球，龙志飞.采用面积坐标方法和形函 数谱方法构造四边形薄板元[J].工程力学，2010,27（8）：1-4. 12
二. 基于理性有限元哲理的复合单元法 钟万勰院士于 1996 年提出了理性有限元概念，理性有限 元以弹性力学方程的解为引导，直接在物理面内列式，再 令以数学方法的逼近，求解结果可以取得很大的改善 曾攀教授在理性有限元基础上，研究了如何在单元内把 一个经典解析位移场有效地嵌入到常规有限元位移场中去， 发展了一种新的单元技术—复合单元。 基于理性有限元哲理的复合单元既具有常规有限元的灵 活性又不丢失经典力学具有的高精度，从而大大地提高了 数值分析精度，如今理性有限元已渐渐得到了广泛的应用。
13
二. 基于理性有限元哲理的复合单元法 高精度复合单元法( composite element method, CEM) 的思 想是把经典解析方法和常规有限元结合起来[3] 。
复合单元法的三节点三角形单元[3] a ～c 是1 阶复合自由度 d～f 是2 阶复合自由度
自由悬挂支撑条件下薄板 结构振动分析的计算精度[3]
四. 数值流形法 数值流形法主要优势在于处理如岩体力学等大位移与大变 形问题。
多块体破坏模式的流形元结果[5]
离心机模型试验边坡破坏结果[5]
流形元得出的模拟结果与实验结果相吻合，二阶流形元 法可以正确地模拟带强度的岩石边坡的倾倒破坏[5] 。
19
五. 无网格法
无网格法（ Meshless ）采用一系列无网格节点信息及其 局部支撑域上的权函数来实现局部化精确逼近。无网格方 法一般可分为两大类，一类是以拉格朗日方法为基础的粒 子 法 （ Particle method ） ， 如 光 滑 粒 子 流 体 动 力 学 （Smoothed Particle Hydrodynamics）法、运动粒子半隐 式（ Moving Particle Semiimplicit ）法等；另一类是以 欧拉方法为基础的无格子法（Gridless Methods）。
结构有限元法(绪论)
有限单元法的应用 有限单元法在应用上已远远超过了原来的范围。
它已由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题， 能对原子能反应堆、拱坝、飞机、船体、涡轮叶片等 复杂结构进行应力分析；它已出平衡问题扩展到稳定 问题与动力问题，由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性 问题，由结构的应力分析扩展到结构的优化设计。除 此，它在流体力学、热传导、磁场、建筑声学、 生物力学等等方面部有不同程度的应用。
近几十年来，随着电子计算机的高速化和普遍化， 有限元继续不断地向更加广阔、更加深入的方面发展。
有限单元法的发展借助于两个重要工具，在理论 推导方面，采用了矩阵方法，在实际计算中，采用了 电子计算机。有限元、矩阵、计算机是三位一体的。 由于有了现代化的、先进的计算工具，使得有限单元 法近年来以惊人的速度骤然崛起。
又有效的数值方法。
有限单元法的发展历史 有限单元法最初是在五十年代作为处理固体力学
问题的方法出现的。 追溯历史，早在一九四三年，库兰特(courant)已
应用了“单元”概念。在一九五六年，特纳(Turner) 等人把刚架位移法的解题思路，推广应用于弹性力学 平面问题。他们把连续体划分成一个个三角形的和矩 形的单元，单元中位移函数首先采用了近似表达式， 推导了单元刚度矩阵，建立了单元结点位移与结点力 之间的单元刚度方程。
即物体在引起形变的外力被除去以后，能够完 全恢复其原来的形状，这种性质称为“弹性”。如 果材料又服从虎克定律，即外力与变形之间的关系 成正比，这种弹性就叫做“线性弹性”。在这一假 定下的物体只能发生线性弹性变形。
（2）假设物体是连续的 这假设认为整个物体的体积都被组成这个物体
的物质所填满，而不留下任何空隙。这样物体中应 力、应变和位移等等物理量就可看成是连续的，因 而我们就可用坐标的连续函数来表示它们的变化规 律。
有限元ppt课件
h h
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
Lesson1 有限元第一章绪论
金属成形过程的分析（用Deform软件完成） 分析金属成形过程中的各种缺陷。
型材挤压成形的分析。型材在挤压 成形的初期，容易产生形状扭曲。
螺旋齿轮成形过程的分析
有限元应用实例
T形锻件的成形分析有限元应实例焊接残余应力分析（用Sysweld完成）
结构与焊缝布置
焊接过程的温度分布与轴向残余应力
有限元应用实例
1946年电子计算机诞生，杆系结构的结构矩阵法在计算机 上首先得到应用������
1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽 约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵 位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个 三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得 单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。
思考：学习一种数学解题方法的关键？
1.3有限元法的一般描述
1.3.1 有限元法的基本思想
离散法：将不规则区域近似地分成有限个理 想的规则区域，对理想的规则区域一一求解， 从而得到全域的近似解。
依据：如果无限细分，则结果与真实结果无限 接近。•有限单元法是离散法的典型代表。
1.3.1 有限元法的基本思想（P3）
把结构或连续体分割成许多单元。
有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原 有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化， 再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元 之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连 线构成的集合称为网格。
通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格， 平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。
单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量 （vector）：
型材挤压成形的分析。型材在挤压 成形的初期，容易产生形状扭曲。
螺旋齿轮成形过程的分析
有限元应用实例
T形锻件的成形分析有限元应实例焊接残余应力分析（用Sysweld完成）
结构与焊缝布置
焊接过程的温度分布与轴向残余应力
有限元应用实例
1946年电子计算机诞生，杆系结构的结构矩阵法在计算机 上首先得到应用������
1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽 约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵 位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个 三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得 单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。
思考：学习一种数学解题方法的关键？
1.3有限元法的一般描述
1.3.1 有限元法的基本思想
离散法：将不规则区域近似地分成有限个理 想的规则区域，对理想的规则区域一一求解， 从而得到全域的近似解。
依据：如果无限细分，则结果与真实结果无限 接近。•有限单元法是离散法的典型代表。
1.3.1 有限元法的基本思想（P3）
把结构或连续体分割成许多单元。
有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原 有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化， 再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元 之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连 线构成的集合称为网格。
通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格， 平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。
单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量 （vector）：
有限元法概论
k1 −k 1 0 −k1 k1 + k2 − k2 0 0 F1 − k2 u2 = P k2 u3 P
u2 2P k1 = u3 2P k1 +P k2
弹簧系统（ 弹簧系统（二）
弹簧（Spring）单元小结 弹簧（Spring）
每个节点1 每个节点1个节点自由度 u 2个节点 i, j 1个输入参数 k 每个节点1 每个节点1个节点力 f 单元刚度矩阵 K e = k −k −k k
例1
单元刚阵 总刚的组装
−k1 k k K = 1 , K 2 = 2 −k −k 1 k1 2
有限单元的类型
一维单元
弹簧、桁架杆、 弹簧、桁架杆、梁、管道等 单元
二维单元
平面问题、薄膜、 平面问题、薄膜、板壳等单 元
三维单元
实体单元
著名有限元法商业软件
ANSYS、MSC－NASTRAN、 ANSYS、MSC－NASTRAN、COSMOS
通用（结构、 通用（结构、热、电磁；线性、非线性） 电磁；线性、非线性）
弹簧2 弹簧2 的受力
f 2 = − f 2i = f 2 j = 200 (N)
杆件系统的有限元法（ 杆件系统的有限元法（一）
y
杆（Bar）单元——二维 Bar）单元——二维
f ′ 1 −1 ui′ i =k f j′ −1 1 u ′j
总体节点力列阵
总体节点自由度列阵
0
− k2
0 u1 F1 −k2 u2 = F2 k2 u3 F3
u2 2P k1 = u3 2P k1 +P k2
弹簧系统（ 弹簧系统（二）
弹簧（Spring）单元小结 弹簧（Spring）
每个节点1 每个节点1个节点自由度 u 2个节点 i, j 1个输入参数 k 每个节点1 每个节点1个节点力 f 单元刚度矩阵 K e = k −k −k k
例1
单元刚阵 总刚的组装
−k1 k k K = 1 , K 2 = 2 −k −k 1 k1 2
有限单元的类型
一维单元
弹簧、桁架杆、 弹簧、桁架杆、梁、管道等 单元
二维单元
平面问题、薄膜、 平面问题、薄膜、板壳等单 元
三维单元
实体单元
著名有限元法商业软件
ANSYS、MSC－NASTRAN、 ANSYS、MSC－NASTRAN、COSMOS
通用（结构、 通用（结构、热、电磁；线性、非线性） 电磁；线性、非线性）
弹簧2 弹簧2 的受力
f 2 = − f 2i = f 2 j = 200 (N)
杆件系统的有限元法（ 杆件系统的有限元法（一）
y
杆（Bar）单元——二维 Bar）单元——二维
f ′ 1 −1 ui′ i =k f j′ −1 1 u ′j
总体节点力列阵
总体节点自由度列阵
0
− k2
0 u1 F1 −k2 u2 = F2 k2 u3 F3
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
现代列车车厢整体结构的有限元分析模型
空客A350后机身第19框的设计与有限元分析过程
人体肩部区域的骨胳有限元分析模型以及计算结果
有限元的发生与发展
• 从1943年Courant 对扭转的研究开始，50年代是理论的萌
芽阶段； 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组 能量原理和结构分析论文。
热分析 程序可处理热传递的3种基本类型：传导、对流和辐射。热传递 的3种类型均可进行稳态和瞬态、线性和非线性分析。热分析还具有可以模 拟材料固化和熔解过程的相变分析能力以及模拟热与结构应力之间的热-结 构耦合分析能力。
电磁场分析 进行电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线分 布、力、运动效应、电路和能量损失等。
有限元法分析过程
• 有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特 别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应 用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移 法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是 有限元位移法。 • 有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工 处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把 有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员 直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状 态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员 迅速的评价和校核设计方案。
流体动力学分析
可以是稳态和瞬态，得到压力、流量和温度分布。
声场分析 研究声波的传播、固体结构的动态特性、声场强度分布、水 对振动船体的阻尼等
压电分析 可以进行静态分析、模态分析、谐波响应分析、瞬态响应分析， 研究二维或三维结构对直流、交流电流的响应。
有限元软件的后处理功能 有限元分析软件的后处理过程包括：位移、 温度、应力、应变、速度及热流等，输出形 式可以有图形显示和数据列表2种。
有限元分析软件的发展（ 1980～1990年）
1983年CSAR成立。其CSA/nastran主要针对大结构、流 固耦合、热及噪声分析。
1983年AAC成立，其程序COMET主要用于噪声及结构噪 声优化等领域。 Computer Aided Design Software，Inc的PolyFEM软件 包提供线性静态、动态及热分析。
1986年ADINA公司致力于发展结构、流体及流固耦合的有 限元分析软件。
1987年Livermore Software Technology Corporation成 立，其产品LS-DYNA及LS-NIKE30用隐式算法求解低高速 动态特征问题。
有限元分析软件的发展（ 1980～1990年）
有限元分析
Finite Element Analysis
有限元方法(finite element method)或有 限元分析(finite element analysis)，是求 取复杂微分方程近似解的一种非常有效 的工具，是现代数字化科技的一种重要 基础性原理。 有限元分析必须包含三个方面： (1)有限元分析的基本数学力学原理； (2)基于原理所形成的实用软件； (3)使用时的计算机硬件。
我国学者的贡献
– 陈伯屏（结构矩阵方法） – 钱令希（余能原理） – 钱伟长（广义变分原理） – 胡海昌（广义变分原理） – 冯康（有限单元法理论）
20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计算的基 础上，独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论 基础。--《数学辞海》第四卷
有限元法的一般步骤
有限元法分析过程
• 有限元分析过程主要包括：单元分析、整体分析、 载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这一 过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体 现在这一过程中。 • 有限元法包括三类：有限元位移法、有限元力法、 有限元混合法。 • 在有限元位移法中，选节点位移作为基本未知量； • 在有限元力法中，选节点力作为未知量； • 在有限元混合法中，选一部分基本未知量为节点位 移，另一部分基本未知量为节点力。
时至今日，MSC和ANSYS比较专注于非线性分析市场， SDRC则是更偏向于线性分析市场，同时SDRC发展起来了 自己的CAD/CAE/PDM技术。
有限元分析软件的发展（ 1970～1980年）
1970～1980年代是CAE技术蓬勃发展的时期，一方面 SDRC，MSC，ANSYS等在技术和应用继续创新外，新的 CAE软件迅速成立。 1971年MARC公司成立，致力于发展用于高级工程分析的 通用有限元程序，而Marc程序重点处理非线性结构和热应 力问题。
• • • •
怎么划分（离散法）； 单元变量间的关系——单元分析； 有限元方程的建立 关于解、再处理及收敛性；
有限元软件的分析功能
结构静力分析 用来求解外载荷引起的位移、应力和力。静力分析很适合 求解惯性和阻尼对结构的影响并不显著的问题。
结构动力学分析 结构动力学分析用来求解随时间变化的载荷对结构或部 件的影响。与静力分析不同，动力分析要考虑随时间变化的力载荷以及它对 阻尼和惯性的影响。分析类型包括：瞬态动力学分析、模态分析、谐波响应 分析及随机振动响应分析。
Nodes Triangular elements
• 有限元法：由于单元（子域）可以被分割成各种 形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复 杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条 件。 • 再加上它有成熟的大型软件系统支持，使其已成 为一种非常受欢迎的、应用极广的数值计算方法。
氧化反应器在自重作用下的 整体应力强度云图
有限元法基本思想—用一个比较简单的 物理模型，即将连续的求解区域离散为 一组有限个，且按一定方式相互联结在 一起的单元的组合体，去代替原有的复 杂问题，从而进行求解.
椭圆封头几何模型
椭圆封头有限元模型
•
有限元：通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个单元 来描述。 将连续域划分为有限个离散的小部分——―单元”，单元 与单元之间在共同“结点”处联接起来；在每个单元内 函数用已知的简单函数近似，所有量转化为用结点变量 来表示，再找到所有这些结点变量应满足的有限维的代 数方程组（一般是结点的某种平衡方程），设法求解这 个代数方程组，得有限个结点变量，——就得到了数值 解或近似解。
求解工程技术领域的实际问题 建立基本方程和边界条件 求其解析解答（由于其 几何形状、材料特性和 外部荷载的复杂性和不 规则性）
容易
十分 困难
寻求近似解法就成了必由之路
有限元的作用是什么？
• 1）减少模型试验的数量； – 计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速 而有效的试验。 • 2）模拟不适合在原型上试验的设计；例如：器官 移植，比如人造膝盖。 • 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； • 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； • 5）创造出更可靠、高品质的设计。
有限元分析软件的发展（ 1960～1970年）
1960～1970年，有限元的理论处于发展阶段，分析的对 象主要是航空航天设备结构的强度、刚度以及模态分析问题， CAE软件处于探索时期。 1963年由Dr. Richard MacNeal和Mr. Robert Schwendle 成立了MSC，开发了第一个结构分析软件。并于1965年参 与美国国家航空及宇航局(NASA)发起的计算机结构分析方 法研究，其程序更名为MSC/Nastran。 1967年在NASA的支持下SDRC公司成立，并于1968年发 布了世界上第一个动力学测试及模态分析软件包，1971年 推出商业用有限元分析软件Supertab(后并入I-DEAS)。
1988年Flomerics公司成立，提供用于子系统内部空气流 及热传递的分析程序。 1989年Engineering Software Kessemochand Development公司成立，致力于发展Ｐ法有限元程序。同 时期还有多家专业性软件公司投入专业CAE程序的开发。
这一时期的CAE发展的特点：有限元分析技术在结构分析 和场分析领域获得了很大的成功，从力学模型开始拓展到各 类物理场(如温度场、磁场、声波场)的分析；从线性分析向 非线性分析(如材料为非线性、几何大变形导致的非线性、 接触行为引起的边界条件非线性等)发展，从单一场的分析 向几个场的耦合分析发展。
1977年Mechanical Dynamics Inc.(MDI)公司成立，致力 于发展机械系统仿真软件。其软件ADAMS应用于机械系统 运动学、动力学仿真分析。 1978年Hibbitt Karlsson & Sorensen, Inc.公司成立，其 ABAQUS软件主要应用于结构非线性分析。
1. 建立离散的有限元模型。
2. 建立有限元方程组 3. 解方程，求出所有结点变量。
4. 处理分析结果，给出所需要的解答。
有限元法分析过程
• 有限元法分析过程大体可分为：前处理（建 模）、分析、后处理三大步骤。
有限元法分析过程
• 对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元 分析模型，这一过程是有限元的前处理过程。 在这一阶段，要构造计算对象的几何模型，要 划分有限元网格，要生成有限元分析的输入数 据，这一步是有限元分析的关键。
有限元法—— 求解偏微分方程初边值问题的有效的数值方法， 广泛应用于结构工程分析、传热分析、电磁场、渗流 及流体力学、流变学等可以用偏微分方程描述的领域， 是工程领域中应用最广泛的一种数值方法。 预修课程—— 高等数学；材料力学；线性代数；弹性力学 薄板弯曲的弹性曲面方程:
Eh w w w ( 4 2 2 2 4 ) q 2 12(1 ) x x y y
有限元分析软件的发展（ 1960～1970年）
1970年Dr. John A. Swanson成立Swanson Analysis System，Inc.(SASI)后来重组后改称ANSYS公司，开发 ANSYS软研究与开发。
有限元分析软件的发展（ 1980～1990年）
著名的分析软件：Nastran，I-DEAS，ANSYS，ADINA， SAP系列，DYNAS3D，ABAQUS，NIKE3D与WECAN等。 使用者多数为专家且集中在航空、航天、军事等几个领域。 这些使用者往往在使用软件的同时进行软件的二次开发。 CAE与CAD的融合：CAD软件CATIA，CADDS，UG都增 加了基本的CAE前后处理及一般的线性、模态分析功能， CAE软件发展商向CAD发展 SDRC先后形成了耐用性、噪声与震动、优化与灵敏度、电 子系统冷却、热分析等专项应用技术，并将有限元技术与实 验技术有机地结合起来，开发了实验信号处理、实验与分析 相关等分析能力。