数据结构算法之 树的应用

100 比较
0.10
方法2：
循环一百次 a<70
0.15 0.40 0.30 读取一个学生成绩 →a yes no a<80 no yes 打印 “good " 30%的 学生
yes yes 打印 "bad" 5%的 学生 a<60
a<90
no
打印 no "general " 打印 40%的 "pass" 学生 15%的 学生
15
40 a
30 b
5 c
10 d
15 e
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程
③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
30
40 a
30 b
15
15 e
5 c
10d
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程
③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
译码时，两位一分进行译码，可唯一得到电文： ABACCDA 。
二、哈夫曼树及其应用
思考：如何解 3.哈夫曼编码 决这一问题？ ②压缩编码： 问题的关键在于编码 例如：对于刚才的4个字符的编码问题，可以按如 是否为无前缀编码。 下不等长编码方案进行编码：
A: 0 B: 00 C: 1 D: 01 则对于电文“ABACCDA”的二进制电码为： 000011010 总长为9位 问题：译码时可能出现多意性，即译码不唯一。 如000011010中的前4个0的译码会有如下几 种不同译码： 0000→AAAA；0000→ABA； 0000→BB
种不同形式的二叉树：
7
a
5
b c
2 4
4 d
c d 7 a 5 b
2
7 a 5 b 2 c
4d
二、哈夫曼树及其应用
⑤哈夫曼树的定义：
设有n个叶子结点的二叉树，其第i个 叶子结点的权值为wi(i=1,2,3,...n),且第i个 叶子结点的路径长度为li ,则使 n WPL=∑wi*li最小的二叉树称为“最优 i=1 二叉树”或称为“哈夫曼树”。
线索二叉树
当以二叉链表作为存储结构时，只能找到结 点的左，右孩子的信息，而不能直接得到结 点在任一序列中的前驱和后继信息。 如果增加前驱和后继指针，降低存储效率 因为在有n个结点的二杈链表中必定存在 n+1个空链域，故可以利用这些空链域来 存放结点的前驱和后继信息。
结构
left leftThread element rightThread right
二叉搜索树
二叉搜索树又称为二叉排序树，其定义 是一个递归过程：
它或者是一棵空树；或者是具有下列性质 定义的二叉树： ⑴ 若左子树不空，则左子树上所有结 点的值均小于根结点的值；若右子树不 空，则右子树上所有结点的值均大于或 等于根结点的值。
⑵ 左右子树都分别是一棵二叉搜索树 。
中序遍历二叉搜索树可以得到解决一个按关 键字有序的序列。 构造二叉搜索树的目的不是为了排序，而是 用来加速查找。
树的应用
二叉树遍历的应用
1.查找数据元素 2. 求二叉树的高度 3. 求叶子结点数
一、问题的提出(判断树)
设有100个学生某门课程的考试成绩的分布如下表 所示：
学生成绩数据分布情况表
分数 学生比例数 0~59 0.05 60~69 70~79 80~89 90~100 0.15 0.40 0.30 0.10
二、哈夫曼树及其应用
3.哈夫曼编码
①等长编码：
设这4个不同的字符为A，B，C，D，则可进 行等长编码如下：
二、哈夫曼树及其应用
3.哈夫曼编码
①等长编码： 设这4个不同的字符为A，B，C，D，则可进 行等长编码如下： A: 00 B: 01 C: 10 D: 11
则对于电文“ABACCDA”的二进制电码为： 00010010101100 总长为14位
D
则对于电文“ABACCDA”的 二进制电码为： 0100011111010 总长为13位
四、小结:
1.哈夫曼树的引入：程序优化问题。 2.哈夫曼树的定义： n n WPL=∑wi*li最小的二叉树称为“最优二叉树”或 i=1 称 为“哈夫曼树”。 3.哈夫曼树求解的算法思想：3个步骤。 4.哈夫曼树的应用：哈夫曼编码的设计问题。
*问题：现在要编写程序依次根据每个学生的成绩 打印出该学生的成绩等级。
学生成绩数据分布情况表 共做315次比
分数 0~59 60~69 70~79 80~89 90~100 较
学生比例数
读取一个学生成绩→a
0.05
0.15
0.40
0.30
0.10
方法1：
yes 循环一百次 打印 "bad"
a<60
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程
①问题：
已知n个叶子的权值为{w1,w2,...wn}，构 造一棵最优二叉树。
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程
②方法：
步骤1:构造一个具有n棵二叉树的森林 F={T1,T2,......,Tn}，其中Ti是只有一个根结点且根结 点的权值为wi的二叉树。 步骤2:在F中选取两棵其根结点的权值最小的二叉树，从 F中删除这两棵树，并以这两棵二叉树为左右子树构造一 棵新的二叉树添加到F中，该新的二叉树的根结点的权值 为其左右孩子二叉树的根结点的权值之和。 步骤3:判断F中是否只有唯一的一棵二叉树。若是，则求 解过程结束；否则，转步骤2。
打印 "excellent " 10%的 学生
思考：如何找到一棵最优的判断树使得编写 出来的程序的运行时间是最高效的？
二、哈夫曼树及其应用
1.哈夫曼树的有关概念
①结点的路径长度： 从根结点沿某条路径到某结点途中所经历的边的条数 称为该结点的路径长度。
② 树的路径长度： 从根结点到每一个叶子结点的路径长度之和。
60
40 a
30 b 15
30
15 e
5 c
10d
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程
100
40 a
60
30 b 15
30
15 e
5 c
10 d
二、哈夫曼树及其应用
3.哈夫曼编码
①等长编码： 以英文字符编码为例，一般英文字符编码是采 用7位二进制数编码（ASCII码）。7位二进制数 可以为27个不同的英文字符编码。 下面为讨论问题简单起见，假设被编码的字符 集中只有4个（即22个）不同字符，故只要两位二 进制数即可完成编码。 设这4个不同的字符为A，B，C，D，则可进 行等长编码如下：
n 1 2
二叉搜索树的建立：
由空集为初始状态，将结点按关键字依次插入 到二叉树中去。先将第一个结点作为二叉树的 根结点，插入其它结点时，若结点的值小于根 结点的值，则插入左子树，否则插入右子树， 该过程依次进行，直到整个过程结束。 动态生成二叉排树时，树的形状、高度不仅依 赖于记录关键字的大小，还与记录输入的先后 顺序有关
三、实例
已知某通信用电文仅由A、B、C、D这4个字符构成， 其出现的频率分别为：8、4、6、2，请给出它们的哈夫 曼编码，要求写出相应的哈夫曼树。
解：根据哈夫曼算法，求得哈夫曼树如下：
0 A
8 6 20
1 0
12
从根开始到叶子得各字 符的哈夫曼编码如下：
1
6
0 B
4
1
2
C
A :0 B:100
C:11 D:101
{70，35，85，20，70，90}
70
{20 ，35， 70 ， 70 ， 85 ，90}
35 20 70
85
90
20
35
70
70 85 90
查找结点
根据前面的定义可知，二叉搜索树的查 找是一个递归的过程，具体如下： ① 若二叉排序树为空，则查找失败， 输出相关信息。 ② 若二叉查找树不为空，将给定值x 与查找树的根结点关键字进行比较。 ③ 若比较结果为相等，则查找成功， 整个查找结束。

leftThread=0 时 left指向左儿子； leftThread=1 时 left指向前驱； rightThread=0 时 right指向左子女； rightThread=1 时 right指向后继；
注意：
一是何种“序”的线索化，是先序、中序还是 后序； 二是要“前驱”线索化、“后继”线索化还是“ 全”线索化（前驱后继都要）； 三是只有空指针处才能加线索。
③结点的带权路径长度： 某结点的路径长度与该结点上的权值的乘积称为该结 点的带权路径长度。 ④ 树的带权路径长度(WPL)： 树中所有叶子结点的带权路径长度之和称为树的带权 路径长度。
二、哈夫曼树及其应用 树的带权路径长度为：
树的带权路径长度为： 1.哈夫曼树的有关概念 树的带权路径长度为： WPL=2*4+3*7+3*5+ WPL=1*7+2*5+3*2+ 实例：已知某二叉树的四个叶子结点 a,b,c,d WPL=2*7+2*5+2*2+ 1*2=46 3*4=357，5，2， 分别带权 4，则可构造出有如下几 2*4=36
否则，完成下面的判断：
(i) 若给定的值x小于根结点关键 字的值，查找将按照递归的方式在 左子树上进行。 (ii)若给定的值x大于根结点关键 字的值，查找将按照递归的方式在 右子树上进行。 (iii)重复以上过程，直到查找结束 （成功或者失败）。