全等三角形压轴题精选(2)
全等三角形压轴题
..全等三角形压轴题 31. 在△ABC 中，BC=AC ，∠BCA=900，P 为直线AC 上一点，过A 作AD ⊥BP 于D ，交直线BC 于Q ．（1）如图1，当P 在线段AC 上时，求证：BP=AQ ．（2）当P 在线段AC 的延长线上时，请在图2中画出图形，并求∠CPQ ． （3）如图3，当P 在线段CA 的延长线上时，∠DBA = 时，AQ =2BD ．2.我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条直线平分三角形的这个顶点的对边．如图1，S △ABD=S △ ADC ，则BD=CD 成立．请你直接应用上述结论解决以下问题：（1）已知：如图2，AD 是△ABC 的中线，沿AD 翻折△ADC ，使点C 落在点E ，DE 交AB 于F ，若△ADE 与△ADB 重叠部分面积等于△ABC 面积的14，问线段AE 与线段BD 有什么关系？在图中按要求画出图形，并说明理由．（2）已知：如图3，在△ABC 中，∠ACB = 900 ，AC =2，AB =4，点D 是AB 边的中点，点P 是BC 边上的任意一点，连接PD ，沿PD 翻折△ADP ，使点A 落在E ，若△PDE 与△PDB 重叠部分的面积等于△ABP 面积的14，直接写出BP 的值．3. 在△ABC 中，已知D 为边BC 上一点，若,ABC x BAD y ∠=∠=.QCBPDA BAQB P DACB DAACB DAPDCBA备用图N M C AB N MC DA B 图 1B AQDC M PG图 2N F E （1）当D 为边BC 上一点，并且CD=CA ，40x =，30y =时，则AB _____ AC （填“=”或“≠”）；（2）如果把（1）中的条件“CD=CA ”变为“CD=AB ”，且x,y 的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；（3）若CD= CA =AB ，请写出y 与x 的关系式及x 的取值围. （不写解答过程，直接写出结果）4. 在Rt △ABC 中，AC=BC ，P 是BC 垂直平分线MN 上一动点，直线PA 交CB 于点E ，F 是点E 关于MN 的对称点，直线PF 交AB 于点D ，连接CD 交PA 于点G. （1）如图1，若P 点在△ABC 的边BC 上时，此时点P 、E 、F 重合，线段AP 上的点Q 关于的对称点D 恰好在边AB 上，连接CQ ，求证：CQ 平分∠ACB ； （2）如图2，若点P 移到BC 上方，且∠CAP=22.5°，求∠CDP 的度数；（3）若点P 移动到△ABC 的部时，线段AE 、CD 、DF 有什么确定的数量关系，请画出图形，并直接写出结论： .5. 如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）分别为两坐标轴上的点，且a 、b 满足221212720a b a b +--+=，OC ∶OA=1∶3. （1）求A 、B 、C 三点的坐标；DCBA..ADCBEEBCGFDA（2）若D （1，0），过点D 的直线分别交AB 、BC 于E 、F 两点，设E 、F 两点的横坐标分别为E F x x 、.当BD 平分△BEF 的面积时，求E F x x +的值；（3）如图2，若M （2，4），点P 是x 轴上A 点右侧一动点，AH ⊥PM 于点H ，在HM 上取点G ，使HG=HA ，连接CG ，当点P 在点A 右侧运动时，∠CGM 的度数是否改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由.6. 如图，点D 、E 分别在等边△ABC 的AB 、AC 上，且CD ＞BD ，AE ＞EC ，AD 和BE 相交于点F..（1）若∠BAD=∠CBE ，则AD BE ；（填“＞”、“=”、“＜”） （2）若AD=BE ，求证：∠BAD=∠CBE ；（3）在（2）的条件下，以AB 为边作如图所示的等边△ABG ，连接FG ，若FG=11，BF=3，请直接写出线段AF 的长度为 .7. 如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）.（1）当a 、b 满足2288320a a b b -+-+=时，求∠BAO 的度数；（2）如图1，在（1）的条件下，点C 为线段AB 上一点（BC ＞CA ），以点C 为直角顶点，OC 为腰作等腰Rt △OCD ，连接BD ，求证：∠BDO=∠BCO ；A BCO yOxyx图 1图 2QF EDB A（3）如图2，△ABO 的两条角平分线AE 、BF 交于点Q ，若△ABQ 的面积为24，求四边形AFEB 的面积.8. 已知：点A 、C 分别是∠B 的两条边上的点，点D 、E 分别是直线BA 、BC 上的点，直线AE 、CD 相交于点P(1) 点D 、E 分别在线段BA 、BC 上① 若∠B ＝60°（如图1），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，则∠APD 的度数为___________ ② 若∠B ＝90°（如图2），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，求∠APD 的度数(2) 如图3，点D 、E 分别在线段AB 、BC 的延长线上，若∠B ＝90°，AD ＝BC ，∠APD ＝45°，求证：BD ＝CE9. 已知A(a ，0)、B(0，b)，且满足2a2＋b2＋4a －4b ＝－6，以A 为直角顶点，且以AB 为腰作等腰直角△ABC (1) 求C 点的坐标(2) 如图，若点C 在第二象限，点M 在BC 的延长线上，且AM ＝AN ，AM ⊥AN ，则CM 与BN 存在怎样的关系？请予以证明.(3) 如图，若点C在第二象限，以AB为边在直线AB的另一侧做等边△ABD，连接CD，过A作AF⊥BC于F，AF与CD交于点E，试判断线段CE、AE、CD 之间存在何种数量关系，并证明你的结论10.如图（1），已知A(0,a),B(b,0),且a,b满足a2+2ab+b2+（b+3)2=0,D为x轴上B点左边一动点，连AD,过A作AE⊥AD交x轴于F,且AE=AD,连BE交y轴于点P.(1) 求∠ABO的度数；(2)若AO=3OP,求E点的坐标;(3)如图（2）若C为线段BF(靠近B)的一个三等分点，且∠ACO=600,试求∠AFB的度数。
(2021年整理)全等三角形压轴题及分类解析
全等三角形压轴题及分类解析编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（全等三角形压轴题及分类解析）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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BA O DCE图88年级三角形综合题归类一、 双等边三角形模型1. （1）如图7,点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD,连结AC 和BD ，相交于点E,连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小。
2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM，△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O.① 求证：AN=BM② 求 ∠AOB 的度数。
③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q,求证：PQ ∥AB.（湘潭·中考题）同类变式： 如图a,△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE 。
(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论；(2）将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，（1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3）若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形c （草图即可)，（1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.CBO D图7AEABCM N OPQ图c3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE =，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立?若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2)当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是,请给出证明，若不是，请说明理由．同类变式：已知,如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． (1）求证：①BE CD =；②AN AM =;（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1)中的两个结论是否仍然成立.图9 图10 图11CEN DABM图①CAE M BDN 图②4。
八年级全等三角形压轴题
全等三角形压轴题复习1、如图，已知A（－2，3），B（－5，0），C（－1，0），△ABC和△A1B1C1关于x轴对称，（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，直接写出点A1坐标；（2）在y轴上有一点P使AP＋A1P最小，直接写出点P的坐标；（3）请直接写出点A关于直线x=m（直线上各点的横坐标都为m）对称的点的坐标．知识点一、全等三角形的常见模型与辅助线【知识梳理】1、常见辅助线：（1）角平分线： .（2）垂直平分线： .（3）中线： .（4）等腰三角形： .（5）线段和（差）： .2、常见的模型：（1）三垂直：（2）手拉手：（3）夹半角：（4）对角互补：（5）脚拉脚：【例题精讲一】最短路径1、平面直角坐标系中，已知A(4，3)、B(2，1)，x轴上有一点P，要使PA－PB最大，则P点坐标为___________。
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，AD平分∠CAB交BC于D，点E、F分别是AD、AC 上的动点，点O为AB中点，点M在AB上，且AM＝AC，则CE＋EF的最小值等于（）A．点O到点C的距离B．点M到点C的距离C．点O到BC边上的距离 D．点C到AB的距离（第2题）（第3题）（第5题）3、如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6 cm，∠B＋∠C＝150°．CD与BA延长交于E点，点A刚好是BE的中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是 .4、已知A（3,1），B（5,2），点P（a，0）在x轴上，当PBPA 达到最大值时，a = 。
5、如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是 .【课堂练习】1、如图，已知∠MON＝40°，P为△MON内一点，A为OM上的点，B为ON上的点．当△PAB的周长取最小值时，则∠APB的度数为___________。
初二数学全等三角形压轴题
人教版数学八年级上册第十二章全等三角形压轴题训练1.已知，是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴左侧．如图，若的坐标是，点的坐标是，求点的坐标；如图，若点的坐标为，与轴交于点，求线段的长；如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，则、、间有怎样的数量关系？并说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，且，满足，且，是常数．直线平分，交轴于点．若的中点为，连接交于，求证：；如图，过点作，垂足为，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想；如图，在轴上有一个动点在点的右侧，连接，并作等腰，其中，连接并延长交轴于点，当点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．3.如图，点，分别在直线，上，，顶点在点右侧的两边分别交线段于，直线于，，，交直线于点．若平分，求证：；已知的平分线与的平分线交于点请把图形补完整，并证明：．4.解答下列问题：如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点求证：如图，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是、的外角已知，且求证：如图，在中，，点在边上，，点、在线段上，若的面积为，求与的面积之和．5.在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点与点，以为边作直角三角形，并且．如图，若点在第三象限，请构造全等，求出点的坐标；若点不在第三象限，请直接写出所有满足条件的点的坐标；在的条件下，过点作交轴于点，求证：．6.已知，点在上以的速度由点向点运动，同时点在上由点向点运动．它们运动的时间为．如图，，，若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；如图，将图中的“，”为改“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．7.如图，点，将一个的角尺的直角顶点放在点处，角尺的两边分别交轴、轴正半轴于，即，求证：平分；作的平分线交于点，过点作轴于，求的值；把角尺绕点旋转时，的值是否会发生变化？若发生变化请说明理由；若不变请求出这个值．8.画，并画的平分线．图图图将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与垂直，垂足为点，另一条直角边与交于点如图证明：；把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交、于点、如图，与相等吗？请直接写出结论：_____填，，；若点在的反向延长线上，其他条件不变如图，与相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由．9.如图，，点是的中点，直线于点，点在直线上，直线点以每秒个单位长度的速度，从点沿路径向终点运动，运动时间设为秒．如图，当时，作直线于点，此时与全等吗请说明理由．如图，当点在上时，作于点，于点．是否存在或与全等的时刻若存在，求出的值若不存在，请说明理由．连接，当时，求的长．10.如图，已知在四边形中，，点、分别是边、上的点，连接、、，．直接写出、、三者之间的数量关系____________________；若，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明；如图，若点、分别是、延长线上的点，且，其它条件不变时，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明．11.如图：在四边形中，，，，，分别是，上的点，且探究图中线段，，之间的数量关系。
全等三角形压轴题精选
全等三角形压轴题精选全等三角形压轴题精选全等三角形是初中数学中重要的一个概念，也是数学竞赛中常考的知识点。
全等三角形具有相等的所有对应边和对应角，它们可以完全重合，只是位置和方向可能不同。
全等三角形的性质和应用十分广泛。
本文将介绍几个全等三角形的精选题目，帮助读者加深对全等三角形的理解和应用。
题目一：相似还是全等？某个三角形ABC和三角形XYZ的三边分别相等，角度分别相等，那么这两个三角形是相似的还是全等的？解析：根据题目条件，三角形ABC和三角形XYZ既有边长相等又有角度相等，由全等三角形的性质可知，这两个三角形是全等的。
因为全等三角形除了对应边和对应角相等外，还要求对应顶点相同，位置和方向也要相同。
题目二：全等图形存在的必要条件是什么？请阐述全等图形存在的必要条件，并证明这一结论。
解析：全等图形存在的必要条件是：对于两个图形A和B，如果它们是全等的，那么它们的对应边和对应角必须相等。
证明如下：设图形A和B是全等的，记作A ≌B。
由全等三角形的定义可知，图形A的一个顶点经过平移、翻转、旋转等运动变换后能够与图形B完全重合。
因此，图形A和图形B对应的边必须相等。
同时，图形A和图形B对应的角也必须相等。
假设图形A的一个内角a对应于图形B的一个内角b，如果a ≠ b，那么通过平移、翻转、旋转等运动变换，图形A将无法与图形B完全重合。
因此，图形A和图形B对应的角必须相等。
综上所述，全等图形存在的必要条件是对应边和对应角相等。
题目三：利用全等三角形证明线段之间的比例关系已知在三角形ABC中，线段AD和线段BE是各边上的中线，且交于点O。
利用全等三角形的性质，证明线段DO与线段EO的比值为1:2。
解析：首先，我们在图形ABC上标出线段AD和线段BE的中点分别为M和N。
由线段AD是边AB的中线，可知线段AM = MD；同理，线段BN = NE。
接下来，我们观察三角形AMO和三角形BNO。
根据全等三角形的性质，如果能够证明这两个三角形全等，那么可以得出线段MO和线段NO的比值为1:1，进而推导出线段DO和线段EO的比值。
全等三角形压轴训练(多解、动点、新定义型压轴)(原卷版)—24-25学年八年级数学上册单元(人教版)
全等三角形压轴训练（多解、动点、新定义型压轴）目录题型一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题...........................................................................................1题型二 与全等三角形有关的多结论问题 (7)题型三 全等三角形中的动点综合问题 (13)题型四 全等三角形中的新定义型综合问题 (27)题型一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题巩固训练1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，ABC V 中，90ACB Ð=°，6cm AC =，8cm BC =，直线l 经过点C 且与边AB 相交．动点P 从点A 出发沿A C B ®®路径向终点B 运动；动点Q 从点B 出发沿B C A ®®路径向终点A 运动．点P 和点Q 的速度分别为1cm /s 和2cm /s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PE l ^于点E ，QF l ^于点F ，设运动时间为t 秒，则当t 为（ ）秒时，PEC V 与QFC V 全等．01 压轴总结02 压轴题型A ．12或43B ．2或45或10C ．1或43D ．2或143或122.（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，4,6AB AD ==，延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA →→向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为 秒时，ABP V 与DCE △全等．3．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，CA AB ^，垂足为点A ，12AB =米，6AC =米，射线BM AB ^，垂足为点B ，动点E 从A 点出发以2米/秒沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED CB =，当点E 经过 秒时（不包括0秒），由点D E B 、、组成的三角形与BCA V 全等．题型二 与全等三角形有关的多结论问题例题：（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在Rt AEB V 和Rt AFC △中，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，90E F ÐÐ==°，EAC FAB ÐÐ=，AE AF =．给出下列结论：①B C Ð=Ð；②CD DN =；③BE CF =；④ACN ABM @V V ．其中正确的结论是（ ）A ．①③④B ．①②③④C ．①②③D ．①②④巩固训练1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在Rt ABC △中，点M ，N 分别是边AB BC ，上的点，且M ，N 两点满足AM CN =，BP AN ^交AC 于点P ，过点P 作PQ MC ^交AN 延长线于点Q ，交BC 于点F ，AN 与CM 交于点E ，若AB BC =，则下列结论：①连接BE ，则BE 平分ABC Ð；②AME CNE △≌△；③CFQ AME Ð=Ð；④AQ CE PQ =+．成立的是（ ）．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在ABC V 中，90BAC Ð=°，AD BC ^于D ，BE 平分ABC Ð交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF AB =，则下列四个结论：①EF AC ∥，②EFB BAD Ð=Ð，③AE EF =，④ABE FBE △≌△，其中正确的结论有（ ）A ．①③B ．②④C ．②③④D ．①②③④3．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在ABC V 中，90BAC Ð=°，高AD 与角平分线BE 相交于点F ，DAC Ð的平分线AG 分别交BC ，BE 于点G ，O ，连接FG ，下列结论：①C EBG Ð=Ð；②AEF AFE Ð=Ð；③AG EF ^；④ACD ABG S S =△△，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②④B ．②③C ．③④D ．②③④题型三 全等三角形中的动点综合问题例题：（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在 ABC V 中， (060)AB BC ABC a a =Ð=<<°，，，射线AM AB ^，点P 为射线AM 上的动点(点P 不与点A 重合)，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转角度α后， 得到线段BQ ， 连接PQ 、QC ．(1)试说明 PAB QCB V V ≌的理由；(2)延长QC 交射线AM 于点D ，在点P 的移动过程中， QDM Ð的大小是否发生变化?若改变请说明理由，若不改变，请求出 QDM Ð的大小(用含α的代数式表示)；(3)当BQ AC ∥时， AB m AP n ==，， 过点Q 作QE 垂直射线AB ， 垂足为E ，那么 AEQ S =V (用m 、 n 的代数式表示) ．巩固训练1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰Rt ACB △中，90ACB Ð=°，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF AE ^且AF AE =．(1)如图1，过F 点作FG AC ^交AC 于G 点，求证：V V ≌AGF ECA ；(2)如图2，连接BF 交AC 于D 点，若3AD CD=，求证：E 点为BC 中点；(3)如图3，当E 点在CB 的延长线上时，连接BF 与AC 的延长线交于D 点，若43BC BE =，则AD CD = ．2．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图（1），在Rt ABC △中，90C Ð=°，8cm AC =，6cm BC =，10cm AB =，现有一动点P ，从点A 出发，沿着三角形的边AC CB BA ®®运动，回到点A 停止，速度为2cm /s ，设运动时间为s t ．(1)如图（1），当t =________时，APC △的面积等于ABC V 面积的一半：(2)如图（2），在DEF V 中，90E Ð=°，4cm DE =，5cm DF =，D A Ð=Ð．在ABC V 的边上，若另外有一个动点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB BC CA ®®运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好APQ △全等于DEF V ，求点Q 的运动速度．3．如图，在等腰ABC V 中，BA BC =，100ABC Ð=°，AB 平分WAC Ð．在线段AC 上有一动点D ，连接BD ，E 为直线AW 上异于A 的一点，连接BE 、DE ．(1)如图1，当点E 在射线AW 上时，若DE AE DC +=，直接写出：EBD Ð=______；(2)如图2，当点E 在射线AW 的反向延长线上时，①若（1）中的结论仍成立，则DE 、AE 、DC 应满足怎样的数量关系，请证明；②若6BCD ABDE S S -=V 四边形，且25DE AE =，94AD AE =，求ABC S V 的值．4．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在直角坐标系xOy 中，点()0,4A ，点B 为x 轴正半轴上一个动点，以AB 为边作ABC V ，使BC AB =，90ABC Ð=°，且点C 在第一象限内．(1)如图1，若()2,0B ，求点C 的坐标．(2)如图2，过点B 向x 轴上方作BD OB ^，且BD BO =，在点B 的运动过程中，探究点C ，D 之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．(3)如图3，过点B 向x 轴下方作BD OB ^，且BD BO =，连结CD 交x 轴于点E ，当ABD △的面积是BEC V 的面积的2倍时，求OE 的长．题型四 全等三角形中的新定义型综合问题例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．【初步尝试】（1）如图1，在ABC V 中，4AB AC BC >=，，P 为边BC 上一点，若ABP V 与ACP V 是积等三角形，求BP 的长；【理解运用】（2）如图2，ABD V 与ACD V 为积等三角形，若24AB AC ==，，且线段AD 的长度为正整数，求AD 的长．【综合应用】（3）如图3，在Rt ABC △中90,BAC AB AC Ð=°=，过点C 作MN AC ^，点D 是射线CM 上一点，以AD 为边作Rt ,90,ADE DAE AD AE Ð=°=V ，连接BE ．请判断BAE V 与ACD V 是否为积等三角形，并说明理由．巩固训练1．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，AC BC =，CD CE =，ACB Ð与DCE Ð为“同源角”．(1)如图1，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”ABC V 和CDE V 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE Ð=°，则Ð=EMD ______°．(3)如图3，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】定义：在同一平面内，点A ，B 分别在射线PM ，PN 上，过点A 垂直PM 的直线与过点B 垂直PN 的直线交于点Q ，则我们把AQB Ð称为APB Ð的“边垂角”．【迁移运用】(1)如图1，CD ，BE 分别是ABC V 的两条高，两条高交于点F ，根据定义，我们知道DBE Ð是DCE Ð的“边垂角”或DCE Ð是DBE Ð的“边垂角”，DAE Ð的“边垂角”是______；(2)若AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，则AQB Ð与APB Ð的数量关系是______；(3)若ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，且AB AC =．如图2，BD 交AC 于点E ，点C 关于直线BD 对称点为点F ，连接AF ，EF ，且45CAF Ð=°，求证：BE CF CE =+．3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】定义：在同一平面内，点A ，B 分别在射线PM ，PN 上，过点A 垂直PM 的直线与过点B 垂直PN 的直线交于点Q ，则我们把AQB Ð称为APB Ð的“边垂角”．【迁移运用】(1)如图1，CD ，BE 分别是ABC V 的两条高，两条高交于点 F ，根据定义，我们知道DBE Ð是DCE Ð的“边垂角”或DCE Ð是DBE Ð的“边垂角”，DAE Ð的“边垂角”是 ；(2)若AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，则AQB Ð与APB Ð的数量关系是 ；(3)若ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，且AB AC =．①如图2，已知B C Ð=Ð，BD 交AC 于点E ，点C 关于直线BD 对称点为点F ，连接AF ，EF ，且 45CAF Ð=°，90BAC Ð=°，求证：BE CF CE =+；对于上述问题，小明有这样的想法：在BD 上截取BH CF =，连接AH ，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证BE CF CE =+．②如图4，若92CD BD +=，直接写出四边形ABDC 的面积．4．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在ABC V 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α(0180a °<<°)得到AB ¢，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ¢，连接B C ¢¢．当180a b +=°时，我们称AB C ¢¢△是ABC V 的“旋补三角形”，AB C ¢¢△边B C ¢¢上的中线AD 叫做ABC V 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．(1)【探索一】如图1，AB C ¢¢△是ABC V 的“旋补三角形”，AD 是ABC V 的“旋补中线”，探索AD 与BC 的数量关系．在探索这个问题之前，请先阅读材料：【材料】如图2在ABC V 中，若10AB =，8BC =．求AC 边上的中线BD 的取值范围．是这样思考的：延长BD 至E ，使DE BD =，连结CE ．利用全等将边AB 转化到CE ，在BCE V 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．中线BD 的取值范围是 ．请仿照上面材料中的方法，猜想图1中AD 与BC 的数量关系，并给予证明．(2)【探索二】如图3，当90a b ==°时，AB C ¢¢△是ABC V 的“旋补三角形”，AE BC ^，垂足为点E ，AE 的反向延长线交B C ¢¢于点D ，探索AD 是否是ABC V 的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．。
全等图形与全等三角形压轴题五种模型全攻略(解析版)--初中数学专题训练 (2)
全等图形与全等三角形压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一全等图形识别】【考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和】【考点三将已知图形分割成几个全等图形】【考点四全等三角形的概念】【考点五全等三角形的性质】【过关检测】【典型例题】【考点一全等图形识别】1例题：(2023·浙江·八年级假期作业)下列各组图形中，属于全等图形的是( )A. B.C. D.【变式训练】1(2023·浙江·八年级假期作业)对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个2(2022春·七年级单元测试)如图，四边形ABCD与四边形A B C D 全等，则∠A =，∠A=，B C =，AD=．【考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和】1例题：(2023春·七年级课时练习)如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=____ _______度．【变式训练】1(2022秋·湖北武汉·八年级统考期中)在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3=度．2(2023·江苏·八年级假期作业)如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为.【考点三将已知图形分割成几个全等图形】1(2023春·全国·七年级专题练习)沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形．【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)试在下列两个图中，沿正方形的网格线(虚线)把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影．2(2022秋·全国·八年级专题练习)沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用两种不同的方法试一试．【考点四全等三角形的概念】1(2023春·江苏盐城·七年级校考期中)下列说法中，正确的有( )①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，AB=EFA.1个B.2个C.3个D.4个【变式训练】1(2023·全国·八年级假期作业)已知△ABC≌△DEF，且∠A与∠D是对应角，∠B和∠E是对应角，则下列说法中正确的是()A.AC与DF是对应边B.AC与DE是对应边C.AC与EF是对应边D.不能确定AC的对应边2(2023·全国·八年级假期作业)下列说法正确的是()A.形状相同的两个三角形一定是全等三角形B.周长相等的两个三角形一定是全等三角形C.面积相等的两个三角形一定是全等三角形D.边长为5cm的等边三角形都是全等三角形【考点五全等三角形的性质】1(2023春·广东深圳·七年级校考期中)如图，若△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°，则∠B等于___ ___．【变式训练】1(2022秋·八年级单元测试)如图，Rt△ABC≌Rt△EFC，并且CF=5cm，∠EFC=52°，则BC=，∠A=．2(2023秋·八年级课时练习)如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠ADB=25°，则∠BAC的度数为．3(2023·江苏·八年级假期作业)如图，ΔABC≅ΔADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB= 120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【过关检测】一、选择题1(2023秋·七年级单元测试)下列各组中的两个图形属于全等图形的是()A. B.C. D.2(2023·江苏·八年级假期作业)下列说法正确的是()A.两个形状相同的图形称为全等图形B.两个圆是全等图形C.全等图形的形状、大小都相同D.面积相等的两个三角形是全等图形3(2023·浙江·八年级假期作业)如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=90°，则∠EAC=()A.10°B.20°C.30°D.40°4(2023·全国·八年级假期作业)如图，△ABC≅△BAD，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若AB=8，AC=3，BC=7，则AD的长为()A.3B.7C.8D.以上都不对5(2023秋·四川广安·八年级统考期末)如图，已知Rt△ABC≌Rt△BDE，若AC=5，DE=2，则CE 的长为()A.2B.3C.4D.56(2023·江苏·八年级假期作业)如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1-∠2-∠3的度数为( )．A.30°B.45°C.55°D.60°二、填空题7(2023春·七年级课时练习)请观察图中的5组图案，其中是全等形的是(填序号)；8(2023秋·八年级课时练习)已知△ABC中，D是BC边上的一点，△ABD≌△ACD，则∠ADB的度数为．9(2023春·全国·七年级专题练习)如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ，若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A =°．10(2023·浙江·八年级假期作业)如图，△OAD≌△OBC，且∠O=73°，∠C=20°，则∠AEB=度．11(2023·浙江·八年级假期作业)如图，在4×4的正方形网格中，求α+β=度．12(2023·浙江·八年级假期作业)如图，△ADE≌△ABC，点D在边AC上，延长ED交边BC于点F，若∠EAC=35°，则∠BFD=．三、解答题13(2023·浙江·八年级假期作业)把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形．14(2023·浙江·八年级假期作业)如图，△ABC≌△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上．(1)求证：BF=EC；(2)若AB=3，EF=7，求AC边的取值范围．15(2023·江苏·八年级假期作业)如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．(1)当DE=8，BC=5时，求线段AE的长；(2)已知∠D=35°，∠C=60°，求∠DBC与∠AFD的度数．16(2023·江苏·八年级假期作业)如图，已知△ABF≌△CDE．(1)若∠B=45°，∠DCF=25°，求∠EFC的度数；(2)若BD=10，EF=5，求BF的长．17(2023春·七年级课时练习)如图，已知△ABC≅△FED，∠A和∠F是对应角，CB和DE是对应边，AF=8，BE=2．(1)写出其他对应边及对应角；(2)判断AC与DF的位置关系，并说明理由．(3)求AB的长．。
初二全等三角形压轴题 附答案
全等三角形压轴题1.如图，已知BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分别是D、E，AB=AC，∠BAC=90°，试探索DE、BD、CE长度之间的关系，并说明你的结论的正确性．2.已知四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；3.如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．4.已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ＝AC，点F在CE 的延长线上，CF＝AB，求证：AF⊥AQ．5.阅读下题及证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，求证：∠BAE＝∠CAE．证明：在△AEB和△AEC中，∵EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，AE＝AE，∴△AEB≌△AEC…第一步∴∠BAE＝∠CAE…第二步问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．6.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为____，线段CF、BD的数量关系为____；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；7.一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP＝CD．（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）8.探究问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为_____．拓展问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M 在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．9．已知：直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，如图（1）若S△CBD=6cm2，则S△ADCcm2（2）若S△AOB=S△COD，那么△ACD≌△DBA吗？说明你的理由．10.（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE ＝90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE 在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC＝AD：AE＝1，∠BAC＝∠DAE≠90°；乙：AB：AC＝AD：AE≠1，∠BAC＝∠DAE＝90°；丙：AB：AC＝AD：AE≠1，∠BAC＝∠DAE≠90°．11．（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边1∠BAD．BC、CD上的点，且∠EAF=2求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？CD上的点，且∠EAF=2（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？BC、CD延长线上的点，且∠EAF=2若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．12.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据 _____，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，若________，则△ABC≌△DEF．13.问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是BC，1∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；CD上的点，且∠EAF＝2实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．14.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．15.已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB 之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．16.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．。
第11章《全等三角形》易错题集(02)：11.2+三角形全等的判定
第11章《全等三角形》易错题集（02）：11.2三角形全等的判定第11章《全等三角形》易错题集（02）：11.2 三角形全等的判定选择题1．（2002•鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上2．如图所示，∠1=∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，交点为C，则图中全等三角形共有（）3．下列说法中，正确的有（）①三角对应相等的2个三角形全等；②三边对应相等的2个三角形全等；③两角、一边相等的2个三角形全等；④两边、4．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，则在下列条件：①AB=AC；②AD=AE；③BE=CD．其中能判定△ABE≌△ACD 的有（）5．△ABC中，AB=AC，三条高AD，BE，CF相交于O，那么图中全等的三角形有（）6．有以下四个说法：①两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；②两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等；④刘徽计算过π的值，认为其为．其中正确的有（）7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAD=∠CAE，BC=DE，且点C在DE上，若添加一个条件，能判定△ABC≌△ADE，这个条件是（）8．给出下列各命题：①有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形一定全等；②有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等；③有两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等；④有两条边分别相等的两个直角三角形一定全等；10．如图，已知AB=AC，D是BC的中点，E是AD上的一点，图中全等三角形有几对（）11．如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=OFE．其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）12．下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；13．对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对14．（2008•鄂州）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）．D15．（2007•玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）16．如图，AB=AC，AD=AE，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（）17．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是18．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=DC，则下列结论中一定错误的是（）19．如图，AB．CD相交于O，O是AB的中点，∠A=∠B=80°，若∠D=40°，则∠C=（）20．如图，AB∥FC，DE=EF，AB=15，CF=8，则BD等于（）21．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）22．长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的两根，要使两人所拿的三根木填空题23．（2009•遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_________个．24．（2007•南宁）如图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有_________对．25．在△ABC和△DEF中，①AB=DE，②BC=EF，③AC=DF，④∠A=∠D，从这四个条件中选取三个条件能判定△ABC≌△DEF 的方法共有_________种．26．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=_________度．27．如图所示，在四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为_________度．28．（2009•道里区一模）△ABC中，∠C=90°，AC=BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE=5，BF=3，则EF=_________．第11章《全等三角形》易错题集（02）：11.2 三角形全等的判定参考答案与试题解析选择题1．（2002•鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上2．如图所示，∠1=∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，交点为C，则图中全等三角形共有（）3．下列说法中，正确的有（）①三角对应相等的2个三角形全等；②三边对应相等的2个三角形全等；③两角、一边相等的2个三角形全等；④两边、4．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，则在下列条件：①AB=AC；②AD=AE；③BE=CD．其中能判定△ABE≌△ACD 的有（）5．△ABC中，AB=AC，三条高AD，BE，CF相交于O，那么图中全等的三角形有（）6．有以下四个说法：①两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；②两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等；④刘徽计算过π的值，认为其为．其中正确的有（）的值，认为其为7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAD=∠CAE，BC=DE，且点C在DE上，若添加一个条件，能判定△ABC≌△ADE，这个条件是（）8．给出下列各命题：①有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形一定全等；②有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等；③有两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等；④有两条边分别相等的两个直角三角形一定全等；10．如图，已知AB=AC，D是BC的中点，E是AD上的一点，图中全等三角形有几对（）11．如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=OFE．其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）12．下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；13．对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对14．（2008•鄂州）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）．D15．（2007•玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）（16．如图，AB=AC，AD=AE，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（）17．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是18．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=DC，则下列结论中一定错误的是（）19．如图，AB．CD相交于O，O是AB的中点，∠A=∠B=80°，若∠D=40°，则∠C=（）20．如图，AB∥FC，DE=EF，AB=15，CF=8，则BD等于（）21．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（），22．长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的两根，要使两人所拿的三根木填空题23．（2009•遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个．24．（2007•南宁）如图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有2对．25．在△ABC和△DEF中，①AB=DE，②BC=EF，③AC=DF，④∠A=∠D，从这四个条件中选取三个条件能判定△ABC≌△DEF 的方法共有2种．26．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=50度．27．如图所示，在四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为110度．28．（2009•道里区一模）△ABC中，∠C=90°，AC=BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE=5，BF=3，则EF=8或2．参与本试卷答题和审题的老师有：zhangmin；郭静慧；ln_86；zxw；zhangCF；117173；蓝月梦；星期八；zhjh；Liuzhx；csiya；py168；MMCH；zhqd；wenming；CJX；wdxwwzy；trista；110397；yingzi；lanchong；Linaliu；王岑（排名不分先后）菁优网2014年8月7日。
八年级数学上册专题02 全等三角形(原卷版)
2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题02 全等三角形考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG＝2FC，连接EG交AB于点H，EP平分∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，则下列结论：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△P AB＝S△PGE．其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①③④2．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（）A．①②③B．③④C．①④D．①③④3．（2分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB．其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE5．（2分）如图，已知AB∥CD，AB+CD＝BC，点G为AD的中点，GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，连接AG、BG．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①∠BGC＝90°；②GM＝GN；③BG平分∠ABC；④CG平分∠BCD．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM 的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．187．（2分）习题课上，张老师和同学们一起探究一个问题：“如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，OB＝OC，添加下列哪个条件能判定△ABC是等腰三角形？”请你判断正确的条件应为（）A．AE＝BE B．BE＝CD C．∠BEO＝∠CDO D．∠BEO＝∠BOE8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是OABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，则∠BDC的度数为（）A．56°B．60°C．62°D．64°9．（2分）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（）A．②③B．②④C．①②③④D．①③④评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AE＝CD，BF＝，则AD的长为．12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE上取点D，使BD＝CA，在射线CF上取点G，使CG＝BA，连接AD、AG，若∠DAE＝38°，∠EBC＝20°，则∠GAB＝°．13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为．14．（2分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，E是AB上一点，且AE＝AD，连接DE，过E作EF⊥BD，垂足为F，延长EF交BC于点G．现给出以下结论：①EF＝FG；②CD＝DE；③∠BEG ＝∠BDC；④∠DEF＝45°．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）17．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，请你添加一个条件，使△BEC≌△CDA（填一个即可）．18．（2分）如图，E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，过点E作直线DF交AB于D，交CF 于F，若AB＝9，CF＝6.5，则BD的长为．19．（2分）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中△ABC是格点三角形，请你找出方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有个（△ABC除外）．20．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，AB＝17cm，∠CAB与∠CBA的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，则线段OD的长为cm．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（8分）综合与探究如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．22．（8分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．23．（6分）如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．（1）求证：△AEF≌△BGH；（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．24．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC ＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．25．（9分）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．26．（6分）如图，线段AB上两点C，D，AC＝BD，∠A＝∠B，AE＝BF，连结DE并延长至点M，连结CF并延长至点N，DE、CF交于点P，MN∥AB．求证：△PMN是等腰三角形．27．（6分）如图，△AOB≌△COD，OD与AB交于点G，OB与CD交于点E．（1）∠AOD与∠COB的数量关系是：∠AOD∠COB；（2）求证：△AOG≌△COE；（3）若OA＝OB，当A，O，C三点共线时，恰好OB⊥CD，则此时∠AOB＝°．28．（9分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．11/ 1212/ 12。
专题03 全等三角形压轴题真题(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题03高分必刷题-全等三角形压轴题真题（解析版）题型一：全等三角形小压轴题考向1：多项选择题1．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④【解答】解：∵∠EAF＝∠BAC，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△F AB≌△EAC（SAS），故①正确，∴BF＝EC，故②正确，∴∠ABF＝∠ACE，∵∠BDF＝∠ADC，∴∠BFC＝∠DAC，∵∠DAC＝∠EAF，∴∠BFC＝∠EAF，故③正确，无法判断AB＝BC，故④错误，故选：A．2．如图，△ABC中，∠C＝90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE＝DB，下列结论：①∠DEA+∠B＝180°；②∠CDE＝∠CAB；③AC＝（AB+AE）；④S△ADC＝S四，其中正确的结论个数为（）边形ABDEA．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：如图，过D作DF⊥AB于F，∵∠C＝90°，AD是角平分线，∴DC＝DF，∠C＝∠DFB，又∵DE＝DB，∴Rt△CDE≌Rt△FDB，∴∠B＝∠CED，∠CDE＝∠FDB，CE＝BF，又∵∠DEA+∠DEC＝180°，∴∠DEA+∠B＝180°，故①正确；∵∠C＝∠DFB，∠B＝∠B，∴∠BDF＝∠BAC，∴∠CDE＝∠CAB，故②正确；∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠F AD，又∵∠C＝∠AFD，AD＝AD，∴△ACD≌△AFD，∴AC＝AF，∴AB+AE＝（AF+FB）+（AC ﹣CE）＝AF+AC＝2AC，∴AC＝（AB+AE），故③正确；∵Rt△CDE≌Rt△FDB，∴S△CDE＝S△FDB，∴S四边形ABDE＝S四边形ACDF，又∵△ACD≌△AFD，∴S△ACD＝S△ADF，∴S△ADC＝S四边形ACDF＝S四边形ABDE，故④正确；故选：A．3．如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE，CD 与GF，下列结论正确的有（）①AE＝DC；②∠AHC＝120°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠AHC；⑤GF∥AC．A．①②④B．①③⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤【解答】解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE ＝60°，∵∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°，∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE＝DC，所以①正确；∠BAE＝∠BDC，∵∠BDC+∠BCD ＝∠ABD＝60°，∴∠BAE+∠BCD＝60°，∴∠AHC＝180°﹣（∠BAH+∠BCH）＝180°﹣60°＝120°，所以②正确；∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°，∴△AGB≌△DFB（ASA）；所以③正确；∵△ABE≌△DBC，∴AE和DC边上的高相等，即B点到AE和DC的距离相等，∴BH平分∠AHC，所以④正确；∵△AGB≌△DFB，∴BG＝BF，∵∠GBF＝60°，∴△BGF为等边三角形，∴∠BGF＝60°，∴∠ABG＝∠BGF，∴GF∥AC，所以⑤正确．故选：D．考向2：动点问题4．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，BC＝8cm，BD＝6cm，如果点P在线段BC上以1cm/s 的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设点Q的速度为xcm/s，则当△BPD与△CQP全等时，x＝1或．【解答】解：设运动的时间为ts，则BP＝t，PC＝8﹣t，CQ＝tx，∵∠B＝∠C，∴当BD＝CQ，BP＝CP时，△BPD≌△CPQ（SAS），即tx＝6，t＝8﹣t，解得t＝4，x＝；当BD＝CP，BP＝CQ时，△BPD≌△CQP（SAS），即8﹣t＝6，t＝tx，解得t＝2，x＝1；综上所述，x的值为1或．故答案为1或．5．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等．x的值为1或1.5．【解答】解：要使△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP＝BQ，∵点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，∴x＝1；②AC＝BQ＝3cm，AP＝BP＝AB＝＝2cm，∴时间为＝2秒，即x＝＝1.5，所以x的值是1或1.5.题型二：全等三角形的大压轴题6．根据全等多边形的定义，我们把四个角，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形，记作：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．（1）若四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，已知AB＝3，BC＝4，AD＝CD＝5，∠B＝90°，∠D＝60°，则A1D1＝5，∠B1＝90°，∠A1+∠C1＝210°．（直接写出答案）；（2）如图1，四边形ABEF≌四边形CBED，连接AD交BE于点O，连接OF，求证：∠AOB＝∠FOE；（3）如图2，若AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．【解答】解：（1）∵四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，∴A1D1＝AD＝5，∠B1＝∠B＝90°，∠D＝∠D1＝60°，∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，∵∠A+∠C＝160°﹣90°﹣60°＝210°，∴∠A1+∠C1＝210°，故答案为5，90°，210°．（2）如图1中，∵四边形ABEF≌四边形CBED，∴EF＝ED，∠FEO＝∠DEO，∵EO＝EO，∴△FEO≌△DEO（SAS），∴∠EOF＝∠DOE，∵∠AOB＝∠DOE，∴∠AOB＝∠EOF．（3）如图2中，连接AC，A1C1．∵AB＝A1B1，∠B＝∠B1，BC＝B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1，∴AC＝A1C1，∠BAC＝∠B1A1C1，∠BCA＝∠B1C1A1，∵AD＝A1D1，CD＝C1D1，∴△ADC≌△A1D1C1（SSS），∴∠D＝∠D1，∠DAC＝∠D1A1C1，∠ACD＝∠A1C1D1，∴∠BAD＝∠B A A1D1，∠BCD ＝∠B1C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．7．（1）如图1，已知∠EOF＝120°，OM平分∠EOF，A是OM上一点，∠BAC＝60°，且与OF、OE分别相交于点B、C，求证：AB＝AC；（2）如图2，在如上的（1）中，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，已知∠AOC＝∠BOC＝∠BAC＝60°，求证：①△ABC是等边三角形；②OC＝OA+OB．【解答】（1）证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，则∠AHO＝∠AGO＝90°，∵∠EOF＝120°，∴∠HAG＝60°＝∠BAC，∴∠HAG﹣∠BAH＝∠BAC﹣∠BAH，∴∠BAG ＝∠CAH，∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE，∴AG＝AH，在△BAG和△CAH中，∵，∴△BAG≌△CAH（ASA），∴AB＝AC；（2）结论还成立，证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，与（1）证法类似根据ASA 证△BAG≌△CAH（ASA），则AB＝AC；（3）证明：①如图，∠FOA＝180°﹣120°＝60°，∠FOC＝60°+60°＝120°，即OM 平分∠COF，由（2）知：AC＝AB，∵∠CAB＝60°，∴△ABC是等边三角形；②在OC上截取BO＝ON，连接BN，∵∠COB＝60°，∴△BON是等边三角形，∴ON＝OB，∠OBN＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°＝∠NBO，∴都减去∠ABN 得：∠ABO＝∠CBN，在△AOB和△CNB中∵，∴△AOB≌△CNB（SAS），∴NC＝OA，∴OC＝ON+CN＝OB+OA，即OC＝OA+OB．8．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求证m+n为定值，并求出其值．【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，则∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS）∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，∵DQ⊥OP，DE⊥OE，∠POE＝90°∴四边形OEDQ是矩形，∴OE＝QD，DE＝OQ，∴OP＝PQ+OQ＝DE+PQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴QP＝AO＝2，∴OP﹣DE＝2；（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，理由如下：如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT ⊥y轴于T点，∴FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS）∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），∴OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，∴﹣2﹣m＝n+2，∴m+n＝﹣4．9．在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC 上，且点F与点C不重合）时，若AG：AB＝5：13，BC＝4，求DE+DF的值．【解答】解：（1）猜想：BF＝CG．理由：如图1．∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴S△ABC＝AC•BF＝AB•CG．∵AB＝AC，∴BF＝CG；（2）猜想：DE+DF＝CG．理由：连接AD，如图2．∵DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，∴S△ACD＝AC•DF，S△ABD＝AB•DE，S△ABC＝AB•CG．∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC，∴AC•DF+AB•DE＝AB•CG．∵AB＝AC，∴DF+DE＝CG；（3）连接AD，如图3．同（2）可得：DF+DE＝CG．设AG＝5x，∵AG：AB＝5：13，AB ＝AC，∴AC＝AB＝13x．∴∠G＝90°，∴GC＝＝12x．在Rt△BGC中，∵BG＝AB+AG＝13x+5x＝18x，GC＝12x，BC＝4，∴（18x）2+（12x）2＝（4）2，解得：x＝，∴DE+DF＝CG＝12x＝8．10．如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0）、B（0，5），AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD．（1）求证：∠ABO＝∠CAD；（2）求点D坐标；（3）如图2，若OC＝OB＝5，E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点，且∠BEO＝45°，OE交BC于点F，求BF的长．【解答】解：（1）如图1，在四边形ABCD中，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BAD+∠BCD ＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠BAD＝90°．∴∠BAC+∠CAD＝90°，又∵∠BAC+∠ABO＝90°．∴∠ABO＝∠CAD．（2）如图1，过点D作DG⊥AC，∴∠AGD＝∠BOA＝90°，又∵∠ABO＝∠CAD，AB＝AD，∴△ABO≌△DAG（AAS），∴DG＝AO＝2，AG＝BO＝5，∴OG＝AG﹣AO＝3，则点D的坐标为（3，﹣2）；（3）如图2，过点E作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，∵E点在∠BCO的邻补角的平分线上，∴EH＝EG．又∵∠BCO＝∠BEO＝45°，∴∠EBC＝∠EOC．∴△EBH≌△EOG（AAS），∴EB＝EO．又∵∠BEO＝45°，∴∠EBO＝∠EOB＝67.5°，∵∠OBC＝45°，∴∠BOE＝∠BFO＝67.5°．∴BF＝BO＝5．11．在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、C在y轴上，且点B与点C关于x轴对称，点D在线段AB上，点E为该坐标平面内一点．（1）已知BD＝CE．①如图1，若点E在线段AC上，求证：CD＝BE；②如图2，若点E在线段BC上，且∠DEA＝∠ABC，求证：∠ACO＝2∠OAE．（2）如图3，已知BD＝AE，点E在线段CA的延长线上，F为CD中点，且∠OAB＝30°，求证：BF⊥EF．【解答】证明：（1）①∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，∴∠CBD＝∠BCE，在△CBD和△BCE中，，∴△CBD≌△BCE（SAS），∴CD＝BE；②∵∠DEA+∠DEB＝∠ACB+∠CAE，∠DEA＝∠ABC＝∠ACB，∴∠DEB＝∠CAE，在△BED和△CAE中，，∴△BED≌△CAE（AAS），∴BE＝AC＝AB，∴∠BEA＝∠BAE，∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，OB＝OC，∴∠BAO＝∠CAO，∴∠BAE＝2∠CAO﹣∠EAC＝2∠OAE+∠EAC，∵∠DEB＝∠CAE，∴∠DEA＝2∠OAE，∵∠DEA＝∠ABC＝∠ACO，∴∠ACO＝2∠OAE；（2）延长BF到点G，使BF＝FG，连接CG、EG、BE，如图3所示：∵点B和点C关于x轴对称，∴AB＝AC，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OAC＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴CB＝AB，∠BCA＝60°，∵F为DC中点，∴DF＝CF，在△BDF和△GCF中，，∴△BDF≌△GCF（SAS），∴CG＝BD＝AE，∠CGF＝∠DBF，∴BD∥CG，∴∠GCA＝∠BAC＝60°，∴∠BCG＝∠BCA+∠GCA＝60°+60°＝120°，∵∠BAE＝180°﹣∠OAB﹣∠EAx＝180°﹣∠OAB﹣∠OAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠BCG＝∠BAE，在△BCG和△BAE中，，∴△BCG≌△BAE（SAS），∴∠CBG＝∠ABE，BG＝BE，∵∠CBG+∠GBA＝60°，∴∠ABE+∠GBA＝60°，即∠GBE ＝60°，∴△GBE是等边三角形，∵F是BG的中点，∴EF⊥BG，∴BF⊥EF．12．如图，平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，a+b），B（a，0），且+（a﹣2b）2＝0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰△ACD，使AD＝AC，∠CAD＝∠OAB，直线DB交y轴于点P．（1）求证：AO＝AB；（2）求证：OC＝BD；（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？【解答】证明：（1）∵+（a﹣2b）2＝0，≥0，（a﹣2b）2≥0，∴＝0，（a﹣2b）2＝0，解得：a＝2，b＝1，∴A（1，3），B（2，0），∴OA＝＝，AB＝＝，∴OA＝AB；（2）∵∠CAD＝∠OAB，∴∠CAD+∠BAC＝∠OAB+∠BAC，即∠OAC＝∠BAD，在△OAC 和△BAD中，，∴△OAC≌△BAD（SAS），∴OC＝BD；（3）点P在y轴上的位置不发生改变．理由：设∠AOB＝∠ABO＝α，∵由（2）知△AOC≌△ABD，∴∠ABD＝∠AOB＝α，∵OB ＝2，∠OBP＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣2α为定值，∵∠POB＝90°，∴OP长度不变，∴点P在y轴上的位置不发生改变．13．在△ABC中，∠A＜60°，以AB，AC为边分别向外作等边△ABD，△ACE，连接DC，BE交于点H．（如图1）（1）求证：△DAC≌△BAE；（2）求DC与BE相交的∠DHB的度数；（3）又以BC边向内作等边三角形△BCF，连接DF（如图2），试判断AE与DF的位置与数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABD、△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE．（2）如图1中，∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC＝∠ABE，∵∠AOD＝∠BOH，∠AOD+∠ADC+∠DAO＝180°，∠BOH+∠OHB+∠ABE＝180°，∴∠OHB＝∠DAO＝60°，∴∠DHB＝60°．（3）结论AE＝DF，AE∥FD．如图2中，连接EF，∵△ABD，△BCF，△ACE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BF＝BC，CA＝CE＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠BCF＝∠ACE＝60°，∴∠DBF＝∠CBA，∠BCA＝∠ECF，在△ABC和△DBF中，，∴△ABC≌△DBF，同理△ABC≌△EFC，∴DF＝AC＝AE，EF＝AB＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形，∴DF＝AE，DF∥AE．14．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）作CH⊥y轴于H，如图1，∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），∴OA＝3，OB＝1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，在△ABO和△BCH中，∴△ABO≌△BCH，∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，∴C（﹣1，4）；（2）OA＝CD+OD．理由如下：如图2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC ＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，在△ABO和△BCD中，∴△ABO≌△BCD，∴OB＝CD，OA＝BD，而BD＝OB+OD＝CD+OD，∴OA＝CD+OD；（3）CF＝AE．理由如下：如图3，CF和AB的延长线相交于点D，∴∠CBD＝90°，∵CF⊥x，∴∠BCD+∠D＝90°，而∠DAF+∠D＝90°，∴∠BCD＝∠DAF，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（ASA），∴AE＝CD，∵x轴平分∠BAC，CF⊥x轴，∴CF＝DF，∴CF＝CD＝AE．15．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD 的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，写出△ABD≌△ACE的理由；（2）如图2，当点D在线段BC上，∠BAC＝90°，直接写出∠BCE的度数；（3）如图3，若∠BCE＝α，∠BAC＝β，点D在线段CB的延长线上时，则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°；（3）解：α＝β．理由如下：同（1）的方法可得，△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠BCE＝α，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACB+α，∵∠ABD是△ABC的一个外角，∴∠ABD＝∠ACB+∠BAC＝∠ACB+β，∴α＝β．。
专题02 全等三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略(解析版)
专题02全等三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略考点一全等三角形的概念考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和考点三全等三角形的性质考点四用SSS证明三角形全等考点五用SAS证明三角形全等考点六用ASA证明三角形全等考点七用AAS证明三角形全等考点八用HL证明三角形全等考点一全等三角形的概念例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有() A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.【详解】①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；故四个命题都正确，故D为答案.【点睛】本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长均相等.【变式训练】1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．说理过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于＝，所以可以使点B与点B′重合．又因为＝，所以射线能落在射线上，这时因为＝，所以点与重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'【解析】【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案．【详解】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和例题：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【解析】【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【详解】∵在△ABC 和△DBE 中AB BD A D AC ED ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC ≌△DBE （SAS ），∴∠3=∠ACB ，∵∠ACB +∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故选B ．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．【变式训练】1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在44⨯的正方形网格中，求αβ+=______度．【答案】45【解析】【分析】连接AB ，根据正方形网格的特征即可求解．【详解】解：如图所示，连接AB∵图中是44⨯的正方形网格∴AD CE =，ADB AEC ∠=∠，DB AE =∴()ADB CEA SAS △≌△∴EAC ABD α∠=∠=，AB AC =∵90ABD BAD ∠+∠=︒∴90EAC BAD ∠+∠=︒，即90CAB ∠=︒∴45ACB ABC ∠=∠=︒∵BD CE ∥∴BCE DBC β==∠∠∵ABC ABD DBC αβ=+=+∠∠∠∴45αβ+=︒故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．2．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【答案】135【解析】【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出13∠+∠的值，即可得出答案；【详解】 如图所示，在△ACB 和△DCE 中，AB DE A D AC DC ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△ACB DCE SAS ≅，∴3ABE ∠=∠，∴()12313459045135∠+∠+∠=∠+∠+︒=︒+︒=︒；故答案是：135︒．【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．考点三 全等三角形的性质例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图，ABC 和DEF 全等，且A D ∠=∠，AC 对应DE ．若6AC =，5BC =，4AB =，则DF 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．无法确定【答案】A【解析】【分析】 全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．【详解】∵ABC 和DEF 全等，A D ∠=∠，AC 对应DE∴ABC DFE ≅∴AB =DF =4故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．【变式训练】1．（2022·云南昆明·三模）如图，ABC DEF △≌△，若80,30A F ∠=︒∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．80°B ．70°C ．65°D ．60°【答案】B【解析】【分析】 由ABC DEF △≌△根据全等三角形的性质可得30C F ∠=∠=︒，再利用三角形内角和进行求解即可．【详解】ABC DEF ≌，C F ∠=∠∴，30F ∠=︒，30C ∴∠=︒，80,180A A B C ∠=︒∠+∠+∠=︒，18070B A C ∴∠=︒-∠-∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D ，A ，E 在同一条直线上，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ，且△ABD ≌△CAE ，AD ＝2cm ，BD ＝4cm ，求(1)DE 的长；(2)∠BAC 的度数．【答案】(1)6cm DE =；(2)90BAC ︒∠=【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠D ＝90°，求得∠DBA +∠BAD ＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA ＝∠CAE 等量代换即可得到结论．(1)解：∵△ABD ≌△CAE ，AD ＝2cm ，BD ＝4cm ，∴AE ＝BD ＝4cm ，∴DE ＝AD +AE ＝6cm ．(2)∵BD ⊥DE ，∴∠D ＝90°，∴∠DBA +∠BAD ＝90°，∵△ABD ≌△CAE ，∴∠DBA ＝∠CAE∴∠BAD +∠CAE ＝90°，∴∠BAC ＝90°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．考点四 用SSS 证明三角形全等例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =，DE AB =．(1)求证：ABC EDB ≌；(2)判断AC 和BD 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC BD ，理由见解析【解析】【分析】（1）运用SSS 证明即可；（2）由（1）得DBE BCA ∠=∠，根据内错角相等，两直线平行可得结论．(1)在ABC ∆和EDB ∆中，BD BC BE AC DE AB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABC EDB ∆≅∆(SSS )；(2)AC 和BD 的位置关系是AC BD ，理由如下：∵ABC EDB ∆≅∆∴DBE BCA ∠=∠，∴AC BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．【变式训练】1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC 上有两点E ，F ，在线段CB 的异侧有两点A ，D ，且满足AB CD =，AE DF =，CE BF =，连接AF；(1)B 与C ∠相等吗？请说明理由．(2)若40B ∠=︒，20∠=DFC °，AF 平分BAE ∠时，求BAF ∠的度数．【答案】(1)B C ∠=∠，理由见解析(2)60︒【解析】【分析】（1）由“SSS ”可证△AEB ≌△DFC ，可得结论；（2）由全等三角形的性质可得∠AEB ＝∠DFC ＝20°，可求∠EAB ＝120°，由角平分线的性质可求解．(1)解：B C ∠=∠，理由如下：∵CE BF =∴BE CF =在AEB △和DFC △中AB CD AE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()SSS AEB DFC ≌△△∴B C ∠=∠(2)解：∵AEB DFC ≌∴20AEB DFC ∠=∠=︒∴180120EAB B AEB ∠=︒-∠-∠=︒∵AF 平分BAE ∠ ∴1602BAF BAE ∠=∠=︒ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC ，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC ，证明△ACE ≌△ACF ，则S △ACE ＝S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE 求解即可；（2）由△ACE ≌△ACF 可得∠FCA ＝∠ECA ，∠F AC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠F AC ＋∠ECA ＋∠EAC ＝∠DAB ＋∠ECF ．可得∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC(1)解：连接AC ，如图，在△ACE 和△ACF 中AE AF CE CF AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△ACF （SSS ）．∴S △ACE ＝S △ACF ，∠F AC ＝∠EAC ．∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴CD ＝CB ＝6．∴S △ACF ＝S △ACE ＝12AE ·CB ＝12×8×6＝24．∴S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE ＝24＋24＝48．(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC证明：∵△ACE ≌△ACF ，∴∠FCA ＝∠ECA ，∠F AC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ．∵∠DFC 与∠AFC 互补，∠BEC 与∠AEC 互补，∴∠DFC ＝∠BEC ．∵∠DFC ＝∠FCA ＋∠F AC ，∠BEC ＝∠ECA ＋∠EAC ，∴∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠F AC ＋∠ECA ＋∠EAC＝∠DAB ＋∠ECF ．∴∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．考点五 用SAS 证明三角形全等例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O 是线段AB 的中点，∥OD BC 且OD BC =．求证：AOD OBC ≌．【答案】见解析【解析】【分析】根据线段中点的定义得到AO BO =，根据平行线的性质得到AOD OBC ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论.【详解】证明：∵点O 是线段AB 的中点，∴AO BO =，∵∥OD BC ，∴AOD OBC ∠=∠，在△AOD 与△OBC 中，AO BO AOD OBC OD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOD OBC SAS ≌．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1．（2022·云南普洱·二模）如图，ABC 和EFD 分别在线段AE 的两侧，点C ，D 在线段AE 上，AC DE =，//AB EF ，.AB EF =求证：BC FD =．【答案】见解析【解析】【分析】利用//AB EF ，得到A E ∠=∠，再用AC DE =，AB EF =，得到ABC ≌EFD △（SAS ），然后用三角形全等的性质得到结论即可．【详解】证明：//AB EF ，A E ∴∠=∠，在ABC 和EFD △中AC DE A E AB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC ∴≌EFD △（SAS ），BC FD ∴=．【点睛】本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，找到三角形全等的条件是解答本题的关键．2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B 、C 、E 、F 共线，AB =DC ，∠B =∠C ，BF =CE ． 求证：△ABE ≌△DCF．【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；即可证明；【详解】证明：∵点B、C、E、F共线，BF=CE，∴BF+EF=CE+EF，∴BE=CF，△ABE和△DCF中：BA=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）；【点睛】本题考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定条件是解题关键．考点六用ASA证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB ＝CD，求证：BC＝DE．【答案】见解析【解析】【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．【详解】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）∠ACE＝90°（已证）∴∠BCA +∠DCE ＝90°（等式性质）∵∠BCA +∠A +∠B ＝180°（三角形内角和等于180°）∠B ＝90°（已证）∴∠BCA +∠A ＝90°（等式性质）∴∠DCE ＝∠A （同角的余角相等）在△ABC 和△CDE 中，A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ，AC 和DB 相交于点O ，OA ＝OD ．(1)AB ＝DC ；(2)△ABC ≌△DCB ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）证明△ABO ≌△DCO （ASA ），即可得到结论；（2）由△ABO ≌△DCO ，得到OB ＝OC ，又OA ＝OD ，得到BD ＝AC ，又由∠A ＝∠D ，即可证得结论．(1)证明：在△ABO 与△DCO 中，A D OA ODAOB DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABO ≌△DCO （ASA ）∴AB ＝DC ；(2)证明：∵△ABO ≌△DCO ，∴OB ＝OC ，∵OA ＝OD ，∴OB ＋OD ＝OC ＋OA ，∴BD ＝AC ，在△ABC 与△DCB 中，AC BD A D AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCB （SAS ）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知AB DE ∥，ACB D ∠=∠，AC DE =．(1)求证：ABC EAD ≅．(2)若60BCE ∠=︒，求BAD ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)60︒【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得CAB E ∠=∠，利用“角边角”即可证明ABC EAD ≅；（2）由邻补角的定义求出180120ACB BCE ∠=︒-∠=︒，进而得到120D ∠=︒，再利用两直线平行同旁内角互补求出BAD ∠．由两直线平行得(1)证明：AB DE ，CAB E ∴∠=∠，在ABC 和EAD中，CAB E AC DEACB D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ABC EAD ∴≅．(2)解：60BCE ∠=︒，180ACB BCE ∠+∠=︒，180120ACB BCE ∴∠=︒-∠=︒，120D ACB ∴∠=∠=︒，AB DE ，180∴∠+∠=︒D BAD ，180********BAD D ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．考点七 用AAS 证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE 与CD 相交于点O ，且BO ＝CO ，∠ADC ＝∠AEB ，那么△BDO 与△CEO 全等吗？为什么？【答案】△BDO ≌△CEO （AAS ）；原因见解析【解析】【分析】根据AAS 证明△BDO 与△CEO 全等即可．【详解】解：△BDO 与△CEO 全等；∵∠BDO ＝180°﹣∠ADC ，∠CEO ＝180°﹣∠AEB ，又∵∠ADC ＝∠AEB ，∴∠BDO ＝∠CEO，∵在△BDO 与△CEO 中，BDO CEO BOD COE BO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDO ≌△CEO （AAS ）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE =∠CDF ，AF =CE ．求证：AB =CD ．【答案】见详解【解析】【分析】根据全等三角形证明△ABE ≌△CDF ，再根据全等三角形的性质解答即可．【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴∠ACD =∠CAB ，∵AF=CE ，∴AF+EF=CE+EF ，即AE =FC ，在△ABE 和△CDF 中，ACD CAB ABE CDF AE CF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABE ≌△CDF （AAS ）．∴AB =CD ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CF //AB ，DF 交AC 于E 点，DE＝EF ．(1)求证：△ADE ≌△CFE ；(2)若AB ＝5，CF ＝4，求BD 的长．【答案】(1)证明见解析(2)BD ＝1【解析】【分析】（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得AD 的长，用AB ﹣AD 即可得出结论．(1)证明：∵CF ∥AB ，∴∠ADF ＝∠F ，∠A ＝∠ECF ．在△ADE 和△CFE 中，A ECF ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CFE （AAS ）．(2)∵△ADE ≌△CFE ，∴AD ＝CF ＝4．∴BD ＝AB ﹣AD ＝5﹣4＝1．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．考点八 用HL 证明三角形全等例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB =CD ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，且BF =CE．(1)求证AE=DF；(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析∥，理由见解析(2)AB CD【解析】【分析】（1）只需要利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF即可证明结论；∥．（2）根据Rt△ABE≌Rt△DCF即可得到∠B=∠C，即可证明AB CD(1)解：∵BF=CE，∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°，又∵AB=DC，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴AE=DF；(2)∥，理由如下：解：AB CD∵Rt△ABE≌Rt△DCF，∴∠B=∠C，∥．∴AB CD【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【变式训练】1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：△ACB ≌△BDA ；(2)若∠CAB =54°，求∠CAO 的度数．【答案】(1)见解析(2)18°【解析】【分析】（1）根据HL 证明Rt △ABC ≌Rt △BAD ；（2）先求出∠ABC 的度数，即可利用全等三角形的性质求出∠BAD 的度数，由此即可得到答案．(1)证明：∵∠D =∠C =90°，∴△ABC 和△BAD 都是直角三角形，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，BC AD AB BA ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）；(2)解：在Rt △ABC 中，∠CAB =54°，∠ACB =90°，∴∠ABC =36°，∵Rt △ABC ≌Rt △BAD ，∴∠ABC =∠BAD =36°，∴∠CAO =∠CAB -∠BAD =54°-36°=18°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC 中，BC =AB ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ．(1)求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ；(2)若∠CAB =30°，求∠ACF 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60︒【解析】【分析】（1）由“HL ”可证Rt △ABE ≌Rt △CBF ；（2）由AB =CB ，∠ABC =90°，即可求得∠CAB 与∠ACB 的度数，即可得∠BAE 的度数，又由Rt △ABE ≌Rt △CBF ，即可求得∠BCF 的度数，则由∠ACF =∠BCF +∠ACB 即可求得答案．(1)∵∠ABC =90°，∴∠CBF =∠ABE =90°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AE CF AB BC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）；(2)∵AB =BC ，∠ABC =90°，∴∠CAB =∠ACB =45°，∴∠BAE =∠CAB -∠CAE =45°-30°=15°。
全等三角形压轴题及其详解
全等三角形压轴题1.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°﹣α=15°，求出即可．【解答】（1）解：∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；（3）解：∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣α=15°，∴α=30°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向三角形外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．【解答】证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3.在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．【分析】本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想．【解答】解：（1）DF=EF．（2）猜想：DF=FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB=90度．∵DA=DB，∠ADB=60度．∴AG=BG，△DBA是等边三角形．∴DB=BA．∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=BG．在Rt△DBG和Rt△BAC中∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．∴DG=BC．∵BE=EC，∠BEC=60°，∴△EBC是等边三角形．∴BC=BE，∠CBE=60度．∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，在△DFG和△EFB中∴△DFG≌△EFB（AAS）．∴DF=EF．（3）猜想：DF=FE．证法一：过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB=90度．∵DA=DB，∴AH=BH，∠1=∠HDB．∵∠ACB=90°，∴HC=HB．在△HBE和△HCE中∴△HBE≌△HCE（SSS）．∴∠2=∠3，∠4=∠BEH．∴HK⊥BC．∴∠BKE=90°．∴∠3+∠ABC=90°∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC，∴∠HDB=∠BEH=∠ABC．∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°，∴∠3=∠DBH∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°=∠DHB又∵HB是公共边，所以△DBH≌△EHB∴DH=BE同理可以证明△DHF≌△EBF∴DF=EF．4.已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是QE=QF；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．【解答】解：（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，理由是：∵Q为AB的中点，∴AQ=BQ，∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，在△AEQ和△BFQ中∴△AEQ≌△BFQ，∴QE=QF，故答案为：AE∥BF，QE=QF；（2）QE=QF，证明：延长EQ交BF于D，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF；，（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，证明：延长EQ交FB于D，如图3，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF．5.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA=DE．当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB=AE；当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【分析】图②中，论：BD+AE=AB，作EM∥AB交BC于M，先证明△EMC是等边三角形得CE=CM，AE=BM，再证明△ABD≌△DEM，得DB=EM=MC由此可以对称结论．图③中，结论：BD﹣AE=AB，证明方法类似．【解答】解；如图②中，结论：BD+AE=AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，∴△CME是等边三角形，∴CE=CM=EM，∠EMC=60°，∴AE=BM，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM，∴∠DAB=∠EDM，∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，∴∠ABD=∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DEM，∴DB=EM=CM，∴DB+AE=CM+BM=BC=AB．如图③中，结论：BD﹣AE=AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，∴△CME是等边三角形，∴CE=CM=EM，∠EMC=∠MEC=60°，∴AE=BM，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠EDDEM，∴∠ADB=∠DEM，∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，∴∠ABD=∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DME，∴DB=EM=CM，∴DB﹣AE=CM﹣BM=BC=AB．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变，属于中考常考题型．6.如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠AEB．（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA，根据四边形ABCD是互补等对边四边形，可得AD=BC，根据SAS可证△ABD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明；（2）仍然成立；理由如下：如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，证明△AGD≌△BFC，得到AG=BF，又AB=BA，所以△ABC≌△BAF，得到∠ABD=∠BAC，根据∠ADB+∠BCA=180°，得到∠EDB+∠ECA=180°，进而得到∠AEB+∠DHC=180°，由∠DHC+∠BHC=180°，所以∠AEB=∠BHC．因为∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，所以∠ABD=∠BAC=∠AEB．【解答】解：（1）∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SAS），∴∠ADB=∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠ADB=∠BCA=90°，在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA==90°﹣∠AEB，∴∠ABD=90°﹣∠EAB=90°﹣（90°﹣∠AEB）=∠AEB，同理：∠BAC=∠AEB，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB；（2）仍然成立；理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，又∠ADB+ADG=180°，∴∠BCA=∠ADC，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD=∠BFC=90°，在△AGD和△BFC中，∴△AGD≌△BFC，∴AG=BF，在△ABG和△BAF中，∴△ABG≌△BAF，∴∠ABD=∠BAC，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°，∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC．∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据SAS证明△ABD≌△BAC．7.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．【分析】（1）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，从而得出结论；（2）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CE﹣CD；（3）先根据条件画出图形，根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CD﹣CE．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE．∵BC=BD+CD，AC=BC，∴AC=CE+CD；（2）AC=CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CE﹣CD．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE∴CE﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，∴AC=CE﹣CD；（3）补全图形（如图）AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CD﹣CE．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE．∵BC=CD﹣BD，∴BC=CD﹣CE，∴AC=CD﹣CE．【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．8.如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．G、F分别是DC与BE的中点．（1）求证：DC=BE；（2）当∠DAB=80°，求∠AFG的度数；（3）若∠DAB=α，则∠AFG与α的数量关系是．【分析】（1）根据等式的性质就可以得出∠DAC=∠BAE．就可以得出△ADC≌△ABE就可以得出DC=BE；（2）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以求出∠AFG的值，（3）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以表示∠AFG与a的关系．【解答】解：（1）∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE．在△ADC和△ABE中，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC=BE；（2）连接AG．∵△ADC≌△ABE，∴∠ADC=∠ABE．AD=AB．∵G、F分别是DC与BE的中点，∴DG=DC，BF=BE，∴DG=BF．在△ADG和△ABF中，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠AGF=∠AFG，∠DAG﹣∠BAG=∠BAF﹣∠BAG，∴∠DAB=∠GAF．∵∠DAB=80°，∴∠GAF=80°．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴∠AFG=50°．答：∠AFG=50°；（3）∵∠DAB=α，∴∠GAF=α．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴α+2∠AFG=180°，∴∠AFG=90°﹣α．故答案为：∠AFG=50°，90°﹣α．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．9.△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60°．（1）如图1，求证：BD=CE；（2）如图2，FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC，求证：∠AHC=60°；（3）在（2）的条件下，若AD=2BD，FH=9，求AF长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根据SAS推出△ABE≌△BCD，即可证得结论；（2）根据角平分线的性质定理证得CM=CN，利用∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，得出∠CEM=∠CGN，然后根据AAS证得△ECM≌△GCN，得出CG=CE，EM=GN，∠ECM=∠GCN，进而证得△AMC≌△HNC，得出∠ACM=∠HCN，AC=HC，从而证得△ACH是等边三角形，证得∠AHC=60°；（3）在FH上截取FK=FC，得出△FCK是等边三角形，进一步得出FC=KC=FK，∠ACF=∠HCK，证得△AFC≌△HKC得出AF=HK，从而得到HF=AF+FC=9，由AD=2BD 可知AG=2CG，再由=，根据等高三角形面积比等于底的比得出===2，再由AF+FC=9求得．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACE=60°BC=AC，∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∴∠BCD=∠CAE，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD（ASA），∴BD=CE；（2）如图2，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，∵∠EFC=∠AFD=60°∴∠AFC=120°，∵FG为△AFC的角平分线，∴∠CFH=∠AFH=60°，∴∠CFH=∠CFE=60°，∵CM⊥AE，CN⊥HF，∴CM=CN，∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，∴∠CEM=∠CGN，在△ECM和△GCN中∴△ECM≌△GCN（AAS），∴CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，∴∠MCN=∠ECG=60°，∵△ABE≌△BCD，∵AE=CD，∵HG=CD，∴AE=HG，∴AE+EM=HG+GN，即AM=HN，在△AMC和△HNC中∴△AMC≌△HNC（SAS），∴∠ACM=∠HCN，AC=HC，∴∠ACM﹣∠ECM=∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60°，∴△ACH是等边三角形，∴∠AHC=60°；（3）如图3，在FH上截取FK=FC，∵∠HFC=60°，∴△FCK是等边三角形，∴∠FKC=60°，FC=KC=FK，∵∠ACH=60°，∴∠ACF=∠HCK，在△AFC和△HKC中∴△AFC≌△HKC（SAS），∴AF=HK，∴HF=AF+FC=9，∵AD=2BD，BD=CE=CG，AB=AC，∴AG=2CG，∴==，作GW⊥AE于W，GQ⊥DC于Q，∵FG为△AFC的角平分线，∴GW=GQ，∵===，∴AF=2CF，∴AF=6．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，找出辅助线根据全等三角形和等边三角形是解题的关键．10.如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，∠BAE=45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD=CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD=BE；（2）试说明AD平分∠BAE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE．（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE；（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠ACF，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°，∴∠CBA=∠CAB，∴BC=CA，在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD，∴AD=BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，∵∠BDP=∠ADC，∴∠BPD=∠DCA=90°，∵AB=AE，∴AD平分∠BAE．（3）AD⊥BE不发生变化．如图2，∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，∵∠BFP=∠ACF，∴∠BPF=∠ACF=90°，∴AD⊥BE．【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD．11.情境观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．①写出图1中所有的全等三角形△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②线段AF与线段CE问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．求证：AE=2CD．拓展延伸：如图3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，点D在AC上，∠EDC=∠BAC，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．求证：DF=2CE．要求：请你写出辅助线的作法，并在图3中画出辅助线，不需要证明．【分析】情境观察：①由全等三角形的判定方法容易得出结果；②由全等三角形的性质即可得出结论；问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD=GD，即CG=2CD，证出∠BAE=∠BCG，由ASA证明△ADC≌△CBG，得出AE=CG=2CD即可．拓展延伸：作DG⊥BC交CE的延长线于G，同上证明三角形全等，得出DF=CG即可．【解答】情境观察：解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB②线段AF与线段CE的数量关系是：AF=2CE；故答案为：AF=2CE．问题探究：证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADG=90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD=GD，即CG=2CD，∵∠BAC=45°，AB=BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBG=90°，∴∠G+∠BCG=90°，∵∠G+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠BCG，在△ABE和△CBG中，，∴△ADC≌△CBG中（ASA），∴AE=CG=2CD．拓展延伸：解：作DG⊥BC交CE的延长线于G，如图3所示．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．12.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC=120度．（直接填写度数）【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；（3）解：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．13.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．（1）试说明AH=BH（2）求证：BD=CG．（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系．【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一证明；（2）证明△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质证明；（3）证明△ACE≌△CBF即可．【解答】证明：（1）∵AC=BC，CH⊥AB，∴AH=BH；（2）∵ABC为等腰直角三角形，CH⊥AB，∴∠ACG=45°，∵∠CAG+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°，∴∠CAG=∠BCF，在△ACG和△CBD中，，∴△ACG≌△CBD（ASA），∴BD=CG；（3）AE=EF+BF，理由如下：在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴AE=CF，CE=BF，∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数；（2）设∠BAD=θ，①当θ为何值时，△DFG为等腰三角形；②△DFG有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应的θ值；若没有，请说明理由．【分析】（1）由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；（2）①当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论；②有条件可以得出∠DFG=80°，当∠GDF=90°时，就有40°+90°+40°+2θ=180°就可以求出结论，当∠DGF=90°时，就有∠GDF=10°，得出40°+10°+40°+2θ=180°求出结论．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．答：∠DFG的度数为80°；（2）①当GD=GF时，∴∠GDF=∠GFD=80°．∵∠ADG=40°+θ，∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，∴θ=10°．当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=80°，∴∠FDG=∠FGD=50°．∴40°+50°+40°+2θ=180°，∴θ=25°．当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=80°，∴∠GDF=20°，∴40°+20°+40°+2θ=180°，∴θ=40°．∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形；②当∠GDF=90°时，∵∠DFG=80°，∴40°+90°+40°+2θ=180°，∴θ=5°．当∠DGF=90°时，∵∠DFG=80°，∴∠GDF=10°，∴40°+10°+40°+2θ=180°，∴θ=45°∴当θ=5°或45°时，△DFG为直角三角形．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B 作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：CD=2BE+DE．【分析】（1）通过证△AEB≌△AFC（SAS），得到AE=AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G，通过证△BED≌△AGD（AAS），得到ED=GD，BE=AG，易证CF=BE=AG=GF．因为CD=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故CD=2BE+DE．【解答】证明：（1）如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，∴∠EAB=∠FAC，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠EBA=∠ACF，∴在△AEB与△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE=AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．∵AG⊥EC，BE⊥CE，∴∠BED=∠AGD=90°，∵点D是AB的中点，∴BD=AD．∴在△BED与△AGD中，，∴△BED≌△AGD（AAS），∴ED=GD，BE=AG，∵AE=AF∴∠AEF=∠AFE=45°∴∠FAG=45°∴∠GAF=∠GFA，∴GA=GF，∴CF=BE=AG=GF，∵CD=DG+GF+FC，∴CD=DE+BE+BE，∴CD=2BE+DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．16.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②CM平分∠ACE．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM，∴CM平分∠ACE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角．17.如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM ⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明．（2）结论：NE﹣ME=CM．作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN，由△DEF≌△CEM，推出ME=EF，CM=DF，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠ABC=∠DCB=45°，∴BD=DC，∵∠BDC=∠MDN=90°，∴∠BDN=∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM=90°﹣∠A=∠ACD，在△DBN和△DCM中，，∴△DBN≌△DCM．（2）结论：NE﹣ME=CM．证明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN．作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD，∴DF=FN，在△DEF和△CEM中，，∴△DEF≌△CEM，∴ME=EF，CM=DF，∴CM=DF=FN=NE﹣FE=NE﹣ME．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．18.问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC 的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．【分析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE．归纳证明：△ABD与△CAE全等．利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质以及三角形外角定理推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=120°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE；拓展应用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的对应角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度数．【解答】特例探究：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）；解：归纳证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）；拓展应用：∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBC．在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．在证明两个三角形全等时，一定要找准对应角和对应边．19.情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC≌△DEF，且∠C=∠F=90°，现如图放置，则∠ABE=90°．问题探究：如图2，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC形外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线HA的垂线，垂足分别为M、N，试探究线段EM和FN之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸：如图3，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为一边，向△ABC形外作正方形ABME和正方形ACNF，连接E、F交射线HA于G点，试探究线段EG和FG之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）求出∠A=∠EDF，∠A+∠ABC=90°，推出∠EDF+∠ADC=90°，求出∠ADE的度数即可；（2）根据全等三角形的判定得出△EAM≌△ABH，进而求出EM=AH．同理AH=FN，因而EM=FN．（3）与（2）证法类似求出EG=FG，求出△EPG≌△FQG即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠EDF，∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠EDF+∠ADC=90°，∴∠ADE=180°﹣90°=90°，故答案为：90；（2）解：EM=FN，如图2，理由如下：∵Rt△ABE是等腰三角形，∴EA=BA，∠BAE=90°，∴∠BAH+∠MAE=90°，∵AH⊥BC，EM⊥AH，∴∠AME=∠AHB=90°，∴∠ABH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠MAE，在△EAM与△ABH中∴△EAM≌△ABH（AAS），∴EM=AH．同理AH=FN．∴EM=FN；（3）解：EG=FG，如图3，作EP⊥HG，FQ⊥HG，垂足分别为P、Q，由（2）可得EP=FQ，∵EP⊥HG，FQ⊥HG，∴∠EPG=∠FQG=90°，在△EPG和△FQG中∵，∴△EPG≌△FQG，∴EG=FG．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：①全等三角形的对应角相等，对应边相等，②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．。
第12章《全等三角形》人教版八年级上册解答题压轴题能力提升专练2份(解析版)
人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
2．判断两个三角形全等常用的方法如下表：已知条件可选择判定方法寻找条件两边对应相等(SS) SSS．或SA．S第三边或两边的夹角对应相等一边及其邻角对应相等(SA) SAS．、ASA．已知角的另一边对应相等或已知边的另一邻角对应相等一边及其对角对应相等(SA)AA．S另一个角对应相等两角对应相等(AA) AS．A、AAS．两角的夹边或其中一角的对边对应相等经典题型专练1.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．3．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．4.课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C 点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）5．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．6．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CF A=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE CF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．7.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．8. 如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值．9. 如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．11. 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD 延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．12. 图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练（答案版）全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
全等三角形压轴题
全等三角形压轴题1、如图1所示，以△ABC 的边AB 、AC 为斜边向外分别作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △ACE ，∠ADB=∠AEC=90°，F 为BC 边的中点，连接DF 、EF ． （1）若AB=AC ，试说明DF=EF ；（2）若∠BAC=90°，如图2所示，试说明DF ⊥EF ；（3）若∠BAC 为钝角，如图3所示，则DF 与EF 存在什么数量关系与位置关系？试说明理由．2、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过点E 作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG 、CG;（1）求证：EG=CG ；（2）将图①中的△BEF 绕点B 逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG 、CG ，问（1）的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中的△BEF 绕点B 逆时针旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）图①图②图③E BDGE BDGE BDACCAC AFFF3、已知，点P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ，点O 为AC 的中点． （1）当点P 与点O 重合时，如图1，说明：OE=OF（2）若直线BP 绕点B 逆时针方向旋转，如图2，（1）中的结论是否成立？说明理由．（3）直线BP 绕点B 逆时针方向旋转图3的位置（点P 在对角线AC 的延长线上），若∠OFE=30°，猜想线段CF 、AE 、OE 之间有怎样的数量关系？4、如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．5、（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．6、已知两个全等的等腰直角△ABC 、△DEF ，其中∠ACB=∠DFE=90°，E 为AB 中点，△DEF 可绕顶点E 旋转，线段DE ，EF 分别交线段CA ，CB （或它们所在直线）于M 、N ．（1）如图l ，当线段EF 经过△ABC 的顶点C 时，点N 与点C 重合，线段DE 交AC 于M ，求证：AM=MC ； （2）如图2，当线段EF 与线段BC 边交于N 点，线段DE 与线段AC 交于M 点，连MN ，EC ，请探究AM ，MN ，CN 之间的等量关系，并说明理由；（3）如图3，当线段EF 与BC 延长线交于N 点，线段DE 与线段AC 交于M 点，连MN ，EC ，请猜想AM ，MN ，CN 之间的等量关系，不必说明理由．7、如图，等边ABC ∆中，AB CD //，P 为边BC 上一点，Q 为直线CD 上一点，连接AP 、PQ ，使得BAC APQ ∠=∠.(1)①如图1，探索PAC ∠与PQC ∠的数量关系并证明；（3分） ②如图1，求证：AP =PQ （3分）(2)如图2，若将“等边△ABC ”改为“等腰直角△ABC （AB=AC ）”， 其他条件不变，求证：AP =PQ （3分）(3)如图3，若继续将“等腰直角△ABC ”改为“等腰△ABC （AB=AC ）”，其他条件不变，（2）中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由. （3分）Q C A B PD图图C B Q 图8、在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东交流.原问题：如图1，已知△ABC , ∠ACB =90︒, ∠ABC =45︒，分别以AB 、BC 为边向外作△ABD 与△BCE , 且DA =DB , EB =EC ，∠ADB =∠BEC =90︒，连接DE 交AB 于点F . 探究线段DF 与EF 的数量关系. 小慧同学的思路是：过点D 作DG ⊥AB 于G ,构造全等三角形，通过推理使问题得解. 小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC =30︒,∠ADB =∠BEC =60︒. 请你参考小慧同学的思路，探究并解决如下问题： （1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系；并加以证明。
九年级数学中考压轴题研究全等三角形构造技巧方法技巧(二)作垂直构全等专题训练含答案解析
微专题2 方法技巧（二）作垂直构全等典例精讲【例】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 边上，BE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，且BC ＝2AE . 求证：∠DAB ＝∠AB D .典例精练核心方法1 遇角平分线→作垂线构直角三角形1.（2020原创题）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，F ，D 分别在边AC ，AB 上，∠BFC ＝∠BFD ，DE ⊥BC ，垂足为E ，若DE ＝BC ，求证：DF ＝BE ＋CF .E DC B AF C A D EB核心方法2 45°→作垂线→构等腰直角三角形2.（2020襄阳）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在边BC 上，DE ⊥DA 且DE ＝DA ，连接CE .请探究∠ACE 的度数是否为定值，并说明理由.核心方法3 遇等腰→作底边上的高3.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，点D 是AB 边上一点，∠ACD ＝20°，探究BC 与AD 之间的数量关系。
AB CD E AB DC微专题2 方法技巧（二）作垂直构全等典例精讲【例】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 边上，BE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，且BC ＝2AE . 求证：∠DAB ＝∠AB D .【思路分析】过点A 作AF ⊥BC 于点F ，将BC ＝2AE 转化为BF ＝AE 即可.【解答】过点A 作AF ⊥BC 于点F ，易证Rt △ABE ≌Rt △BAF （HL ）.∴∠DAB ＝∠AB D .【方法总结】1.遇等腰，作底边上的高，构全等；2.遇45°，作垂线，造等腰直角三角形，构全等；3.遇角平分线，作垂线，构全等.典例精练核心方法1 遇角平分线→作垂线构直角三角形1.（2020原创题）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，F ，D 分别在边AC ，AB 上，∠BFC ＝∠BFD ，DE ⊥BC ，垂足为E ，若DE ＝BC ，求证：DF ＝BE ＋CF .解：过点B 作BM ⊥DF ，垂足为M ，∵∠C ＝90°，∠BFC ＝∠BFD ，∴BM ＝B C .∵BC ＝DE ，∴DE ＝BC ＝BM .∵BF ＝BF ，BD ＝BD ，∴Rt △BFC ≌Rt △BFM ，Rt △BED ≌Rt △DM B .∴BE ＝DM ，CF ＝MF .∴DF ＝DM ＋MF ＝BE ＋CF .核心方法2 45°→作垂线→构等腰直角三角形2.（2020襄阳）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在边BC 上，DE ⊥DA 且DE ＝DA ，连接CE .请探究∠ACE 的度数是否为定值，并说明理由. E DC B AF ABC D E F C A D E BM BED A C F解：∠ACE ＝90°.理由如下：过点D 作DN ⊥BC ，交CA 的延长线于点N .易证∠NDA ＝∠CDE ，∠N ＝∠ACB ＝45°，ND ＝CD ，又DE ＝0A ，∴△DNA ≌△DCE .∴∠DCE ＝∠N ＝45°.∴∠ACE ＝∠ACB ＋∠DCE ＝90°.核心方法3 遇等腰→作底边上的高3.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，点D 是AB 边上一点，∠ACD ＝20°，探究BC 与AD 之间的数量关系。
全等三角形压轴题珍藏版
(2)说明：BD=FC．
3．某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查(每人只选一项)．根据收集到的数据，绘制成如下统计图(不完整)：
请根据图中提供的信息，完成下列问题：
(1)在这次问卷调查中，一共抽查了名学生；
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.
11.如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
研究(2)：若折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A关系，并说明理由．
研究(3)：若折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
(第(1)问1分、第(2)问2分、第(3)问3分))
7.如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,点F在线段AB上运动，
求证：BM=CN．
5．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠ ．
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠ =90°
求证：BE=CF； ；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件____________，使①中的两个结论仍然成立；
(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠ =∠BCA，请写出EF、BE、AF、三条线段数量关系(不要求证明)．
人教八年级上全等三角形提高压轴题
全等三角形提高压轴题1. 如图所示，△ AB8△ ADE , BC 的延长线过点 E, / ACB= / AED=10 5° , /CAD=1 0° , Z B=50° ,求/ DEF 的度数。
如图，△ AOB 中，/ B=3 0°,将^ AOB 绕点。
顺时针旋转 52° ,得到△ A OB ,边 A B'与边OB 交于点C （A'不在OB 上），则/ A CO 的度数为多少?4.如图所示，把^ ABC 绕点C 顺时针旋转35° ,得到△ A B' C, A B'交AC 于点D, 若 / A' DC=90° ,则/A=3.如图所示, EDC 贝U/在^ ABC 中，/ A=90°, D E 分别是 AC BC 上的点，若^ AD 军△ EDtB^A C 的度数是多少? 2. 5.已知，如图所示, 是多少？AB=AC , AD± BC 于 D,且 AB+AC+BC=50crm, AB+BD+AD=40cm 贝U ADOB6. 如图，Rt^ABC中，/ BAC=90 , AB=AC分别过点B C作过点A的垂线BG CE垂足分另I」为Dk E,若BD=3 , CE=2,贝U DE=如图，AD是△ABC的角平分线，DHAB, DF,AC,垂足分别是E、F,连接EF,交AD 于G, AD与EF垂直吗？证明你的结论。
8. 如图所示，在^ ABC中，AD为/ BAC的角平分线, 的面积是28cm2,AB=20cm, AC=8cm 求DE的长。
9. 已知，如图:10.11.DE± AB于E, DF± AC于F, AABCAB=AE , / B=Z E, / BACh EAD / CAF=Z DAF 求证：AF± CD如图，AD=BD ,为什么？如图所示，已知,FD=CD ,求证：AD± BC于D, BEX AC于E, AD与BE相交于点H,贝U BH与AC相等吗?AD为乙ABC的高，E为AC上一点,BEX ACBE交AD于F,且有BF=AC ,AF ED7.12. △ DAC △ EBC匀是等边三角形，AF、BD分另1J与CD CE交于点M N,求证：(1) AE=BD(2) CM=CN (3) △ CMN^等边三角形(4) MN// BC13. 已知：如图1,点C为线段AB上一点，△ACM △CBNfB是等边三角形，AN交M什点E, BM交CN于点F(1)求证：AN=BM(2)求证：△CEF为等边三角形14. 如图所示，已知△ABC和4BDE都是等边三角形，下列结论：① AE=CD②BF=BG③BH 平分/AHD④/ AHC=60 ;⑤4 BFG是等边三角形；⑥ FG// AD其中正确的有(A. 3个B. 4 个C. 5 个D. 6 个D 15.已知：BD、CE是^ ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB ,求证：AG± AF16.如图：在^ ABC中，BE、CF分别是AG AB两边上的高，在BE上截取BD=AC在CF的延长线上截取CG=AB连结AD AG 求证：(1) AD=AG(2) AD与AG的位置关系如何H17 .如图，已知 E 是正方形 ABCM 边CD 的中点，点 F 在BC 上，且/ DAE 之FAE求证：AF=AD+CF18 .如图所示，已知△ ABC 中，AB=AC D 是CB 延长线上一点， / ADB=60 , E 是AD 上一点,且 DE=DB 求证：AE=BE+BC19 .如图所示，已知在△ AEC 中，/ E=90° , AD 平分/ EAC求证：BE=CFDF±AC 垂足为 F, DB=DC20 .已知如图: CF=CDAB=DE 直线 AE 、BD 相交于 C, / B+/ D=180° , 21 .如图，OC 是/ AOB 勺平分线，P 是OC±一点, 点，连接 DF 和EF,求证：DF=EFAF// DE,交BD 于F 求证:PD± OA 于 D, PE± OW E, F 是 OC±-ADC22.已知：如图，BFL AC于点F, CH AB于点E,且BD=CD 求证：(1) △ BD9△ CDF (2) 点D在/A的平分线上23.如图，已知AB// CD。
(word完整版)全等三角形压轴题精选(2)
全等三角形压轴题精选（2）9．（2015•枣庄校级模拟）如图,在等腰三角形ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，点D、E是直线BC上两点且CD=BE，过点C作CM⊥AE交AE于点M,交AB于点F，连接DF并延长交AE于点N．（1）若AC=2，CD=1，求CM的值；（2）求证：∠D=∠E．10．(2015•合肥校级模拟）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时,经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是______（填序号即可）．AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中,分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME,则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；(3)类比探究：在任意△ABC中,仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示,M 是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：______．11．(2015•上虞区一模）（1）问题背景如图①，Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E，CE交直线BA于M．探究线段BD与CE的数量关系得到的结论是______．（2）类比探索在（1)中，如果把BD改为△ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图②），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3)拓展延伸在（2）中,如果AB=AC，其他条件均不变（如图③）,请直接写出BD与CE的数量关系为______．12．（2015•沙坪坝区模拟）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE．（1）若AF是△ABE的中线，且AF=5,AE=6，连结DF,求DF的长;（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G．①如图2，若点E是AC边的中点,连结EG，求证：AG+EG=BE；②如图3，若点E是AC边的动点，连结DF，当点E在AC边上（不含端点）运动时,∠DFG的大小是否改变？如果不变,请求出∠DFG的度数;如果改变,请说明理由．13．（2015•南关区一模）【发现问题】如图①,在△ABC中,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点．求证：△DFM≌△MGE．【拓展探究】如图②，在△ABC中，分别以AB、AC为底边，向△ABC的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为D、E，且∠BAD+∠CAE=90°．点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点,若AD=5，AB=6,△DFM的面积为32，直接写出△MGE的面积．14．（2015•周村区一模）（1)如图1,两个等腰直角三角形ABC，BDE的顶点E，B，C在一条直线上，连接AD，点F是AD中点，连接EF，CF．则线段EF与CF有怎样的关系？请说明理由．(2)如图2，已知BD是等腰三角形ABC底角平分线，且AB=BC+CD，求∠C的度数．15．（2015春•张家港市期末）如图，在长方形ABCD中,AB=CD=6cm,BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动,设点P的运动时间为t秒:（1）PC=______cm．(用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP?（3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发,以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v 的值,使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．。
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全等三角形压轴题精选（2）
9．（2015•枣庄校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，点D、E
是直线BC上两点且CD=BE，过点C作CM⊥AE交AE于点M，交AB于点F，连接DF 并延长交AE于点N．
（1）若AC=2，CD=1，求CM的值；
（2）求证：∠D=∠E．
10．（2015•合肥校级模拟）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是______（填序号即可）．
AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．
（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；
（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．
答：______．
11．（2015•上虞区一模）（1）问题背景
如图①，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C 作CE⊥BD，交直线BD于E，CE交直线BA于M．探究线段BD与CE的数量关系得到的结论是______．
（2）类比探索
在（1）中，如果把BD改为△ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图②），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）中，如果AB=AC，其他条件均不变（如图③），请直接写出BD与CE的数量关系为______．
12．（2015•沙坪坝区模拟）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE．
（1）若AF是△ABE的中线，且AF=5，AE=6，连结DF，求DF的长；
（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G．
①如图2，若点E是AC边的中点，连结EG，求证：AG+EG=BE；
②如图3，若点E是AC边的动点，连结DF，当点E在AC边上（不含端点）运动时，∠DFG的大小是否改变？如果不变，请求出∠DFG的度数；如果改变，请说明理由．
13．（2015•南关区一模）【发现问题】如图①，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点．求证：△DFM≌△MGE．
【拓展探究】如图②，在△ABC中，分别以AB、AC为底边，向△ABC的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为D、E，且∠BAD+∠CAE=90°．点F、M、G分别为AB、BC、AC 边的中点，若AD=5，AB=6，△DFM的面积为32，直接写出△MGE的面积．
14．（2015•周村区一模）（1）如图1，两个等腰直角三角形ABC，BDE的顶点E，B，C在一条直线上，连接AD，点F是AD中点，连接EF，CF．则线段EF与CF有怎样的关系？请说明理由．
（2）如图2，已知BD是等腰三角形ABC底角平分线，且AB=BC+CD，求∠C的度数．
15．（2015春•张家港市期末）如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P 从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC=______cm．（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．。