初二数学最短路径问题

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13.4课题学习最短路径问题课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册

∙B A∙
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置，可以使得 AC+BC 的值最小.

初二数学最短路径问题知识归纳+练习

初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：-①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．-②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．-③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】．“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．】【十二个基本问题】1作法图形【问题原理A A两点之间线段最短．P l．交点即为P连AB，与l l PA+PB 最小值为AB．BB，使上求一点P在直线l值最小．PA+PB【问题2】“将军饮马”作法图形原理A AB＇B关于作B l 的对称点两点之间线段最短．Bl l PA+PB 最小值为 A B P．＇．连A B ＇，与l 交点即为P，使P在直线l 上求一点B'PA+PB 值最小．3】作法图形原理【问题P'l 1l 1分别作点P 关于两直线的两点之间线段最短．M PPM +MN +PN 的最小值为对称点P＇和P＇，连P＇P＇，P ll l 、上2．M，P＇＇＇的长．N与两直线交点即为线段P分别求点在直线l212NM 、N，使△PMN的周长P''最小．4】作法【问题图形原理l 1l1Q'Q关于直线分别作点Q 、P Q两点之间线段最短．MPl 、l P＇Q＇和的对称点21P周长的最小四边形PQMN l2＇，与两直线交点即Q连＇P值为线段P＇P＇＇的长．l 2、l l 上分别求点在直线．，N为M21N，使四边形N 、M PQMN P'的周长最小．【问题5】“造桥选址”作法图形原理范文A A M m将点A 向下平移MN 的长度两点之间线段最短．n A'M n＇B，交单位得A＇，连A N m AM +MN +BN 的最小值为B于m N 作NM ⊥于点N，过n N，n ，在m 、n 直线m ∥A＇B+MN ．．M B MN、N，使上分别求点M 的，且AM+ MN+ BN ⊥m 值最小．【问题6】作法图形原理A A'A将点A 向右平移a 个长度单B B l两点之间线段最短．的对＇，作 A ＇关于位得A l a N l M，交直线称点A＇，连A＇B AM +MN +BN 的最小值为MN l MM（上求两点、N在直线l 点向左平，将于点NNA＇B+ MN．A''MN a 移 a 个单位得M．在左），使，并使的值最小．AM + MN+ NB 】【问题7作法图形原理l l1 1 P'P P l点到直线，垂线段最短．＇，的对称点作点P 关于P 1A ll 于B⊥，交作P＇B22PA+ AB 的最小值为线段P＇l 2于A．l B的长．2l l 上求A上求点在，在21B，使PA+ AB 值最小．点B图形原理】【问题8作法l 1B'NAl 1l的对称点关于 A 作点2l2两点之间线段最短．MB l 的对称A ＇，作点 B 关于N1A AM +MN +NB 的最小值为lll，于B＇交M 为上点B＇，连A＇A 为上一定点，B 212线段A＇B＇的长．l 2BM l l ，一定点，在上求点交M．N 于21A'l 在使，N 点上求1的值最小．AM + MN+ NB图形原理】【问题9作法A A垂直平分上的点到线段两B端点的距离相等．B的中垂线与AB ，作连AB l l．l 直线的交点即为P PA PB ＝0．P PA 上求一点l P，使在直线的值最小．PB【问题10】作法图形原理范文A三角形任意两边之差小于A B作直线AB，与直线l 的交第三边．PA PB ≤AB．l Bl ．点即为P P，使l 上求一点P在直线PA PB 的最大值＝AB．PA PB 的值最大．【问题11】作法图形原理A三角形任意两边之差小于A作B 关于l 的对称点B＇l B'第三边．PA PB ≤AB＇．l交点即l 作直线 A B＇，与B P为P．B PA PB 最大值＝AB＇．，使l 上求一点P在直线PA PB 的值最大．【问题12】“费马点”作法图形原理A所求点为“费马点”，即满D APB＝∠BPC＝∠足∠A两点之间线段最短．E AC°．以AB、APC＝120 C B、ABD 为边向外作等边△PA+ PB+ PC 最小值＝CD ．P△ABC 中每一内角都小于△ACE，连CD 、BE 相交CB于P ，点P 即为所求．，ABC 内求一点P120°，在△值最小．PA+PB+PC 使【精品练习】1 的面积为．如图所示，正方形ABCD12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）AD62 62 3B．．C．3D A．PEBC2．如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60 °，若将△ACD 绕点 A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD）交于点E、F ，则△CEF 的周长的最小值为（A．2B．2 3C．23D．4范文3．四边形ABCD 中，∠B＝∠D ＝90°，∠C＝70 °，在BC 、CD 上分别找一点M、N，使△AMN 的周长最小时，∠AMN + ∠ANM 的度数为（）AD°110°D．140CA．120°B．130°．N BM4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42 ，∠BAC＝45 °，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和ABC 的最小值是上的动点，则BM +MN ．D MAN B5．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90 °，∠B＝30 °，AB＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上重合），、C （不与点B．的取值范围是且ED ＝AE，则线段AEA ECD B6．如图，∠AOB＝30°，点M、N 分别在边OA、OB 上，且OM ＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA 上，则MP ＋PQ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，222BC AC AB°，则有＝90 C即Rt△ABC 中，∠）7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B 在x轴的正半轴，坐标为B( 63 ，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．范文y轴上，D 在在x 轴上，则四边形4）、B （4，2）．C 8．已知A（2，ABCD 的周长最小值为，两点的坐标分别为D 此时C、．yABOx．已知9）．，2 1，1）、B（4A（y点的坐标；轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P （1）P 为xBAOx点的坐标；P 的值最大时x 轴上一动点，求PA PB ）（2 P 为y BAOx（3）CD 为x 轴上一条动线段， D 在 C 点右边且CD ＝1，求当AC+ CD+ DB 的最小值和此时C 点的坐标；yBAOxC D10 ．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点 D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．ACB O范文11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于F，连AF，求证：AF +BF +CF ＝CD ；（2）在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB＝6，BC＝8，∠ A ，∠C 均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．DA A EC B F图②C B图①处，需经过两座桥处到达 B A ＇处直角转弯，河宽相等，从12 ．荆州护城河在CC＇，护城河及两桥EE ＇、DD点路径最短？到都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使B A范文。

(完整版)初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

初中数学［最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用.理论依据：“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图".教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”.考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短",“垂线段最短”,“点关于线对称"，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题"，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例:已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P,使得PA+PB最小。

解:连接AB，线段AB与直线L的交点P ,就是所求。

（根据：两点之间线段最短。

）二、两点在一条直线同侧例:图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解:只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道"的对称点A′,然后连接A′B，交“街道"于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON 上各取一点B，C，组成三角形,使三角形周长最小。

解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析:当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A。

B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E,2.连接AE交河对岸与点M，则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

初中最短路径问题7种类型

初中最短路径问题7种类型初中最短路径问题7种类型最短路径问题是离散数学中一个重要的研究领域，其应用广泛，包括交通路线规划、网络优化等。

对于初中学生来说，了解和掌握最短路径问题，有助于培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。

下面将介绍初中最短路径问题的七种类型。

1. 单源最短路径问题单源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，从一个确定的源点出发，求到其他所有顶点的最短路径。

这个问题可以通过使用迪杰斯特拉算法或贝尔曼-福特算法来求解。

通过学习和理解这些算法，学生可以逐步掌握寻找最短路径的基本方法。

2. 多源最短路径问题多源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，求任意两个顶点之间的最短路径。

这个问题可以通过使用佛洛依德算法来解决。

学生可以通过了解和实践佛洛依德算法，掌握多源最短路径问题的求解方法。

3. 无权图最短路径问题无权图最短路径问题是指在一个无向无权图中，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。

这个问题可以通过使用广度优先搜索算法来解决。

学生可以通过学习广度优先搜索算法，了解和掌握无权图最短路径问题的解决方法。

4. 具有负权边的最短路径问题具有负权边的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权边，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。

这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法来解决。

学生可以通过了解和实践贝尔曼-福特算法，理解和应用具有负权边的最短路径问题。

5. 具有负权环的最短路径问题具有负权环的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权环，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。

这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法的改进版来解决。

学生可以通过学习和理解贝尔曼-福特算法的改进版，解决具有负权环的最短路径问题。

6. 具有边权和顶点权的最短路径问题具有边权和顶点权的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，除了边权之外，还考虑了顶点的权重，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。

这个问题可以通过使用约翰逊算法来解决。

(完整版)八年级最短路径问题归纳小结.doc

八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址” ，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短” ，“三角形三边关系”，“轴对称” ，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理A Al连 AB，与 l 交点即为 P．Pl两点之间线段最短．B PA+PB 最小值为 AB．B在直线 l 上求一点P，使PA+PB 值最小．【问题 2】“将军饮马”作法图形原理A AB 作 B 关于 l 的对称点 B＇ B 两点之间线段最短．l连 A B ＇，与 l 交点即为 P．l PA+PB 最小值为 A B＇．P在直线 l 上求一点P，使B'PA+PB 值最小．【问题3】作法图形原理l 1 P' l1P分别作点 P 关于两直线的M两点之间线段最短．对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，PM +MN +PN 的最小值为l2 P在直线 l1、 l 2上分别求点与两直线交点即为 M， N．N l2线段 P＇P＇＇的长．M 、 N，使△ PMN 的周长P''最小．【问题4】作法图形原理l 1lQ' 1Q分别作点 Q 、P 关于直线P MQ 两点之间线段最短．l 1、 l 2的对称点Q＇和P＇l2 P 四边形 PQMN 周长的最小连 Q＇P＇，与两直线交点即l 2 值为线段 P＇P＇＇的长．在直线 l1、 l 2上分别求点为 M ， N．NM 、 N ，使四边形PQMN P'的周长最小．【问题 5】“造桥选址”作法图形原理- 1 -AM Nmn将点 A 向下平移MN 的长度单位得A＇，连 A＇B，交 nAA' M 两点之间线段最短．mB直线 m ∥ n ，在 m 、 n ，上分别求点 M 、N，使 MN ⊥m ，且 AM+ MN+ BN 的值最小．【问题 6】ABlM a N在直线 l 上求两点M、N（M 在左），使 MN a ，并使AM + MN+ NB 的值最小．【问题 7】l1Pl 2在l 1上求点A，在 l 2上求点 B，使 PA+ AB 值最小．于点 N，过 N 作 NM ⊥ m 于M．作法将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A＇，作 A＇关于l的对称点 A＇，连 A＇B，交直线l 于点N，将N点向左平移a 个单位得 M．作法作点 P 关于l1的对称点P ＇，作 P＇B⊥l2于 B，交l2于A．AM +MN +BN 的最小值为NnA＇B+MN ．B图形原理A A'B两点之间线段最短．lM N AM +MN +BN 的最小值为A＇B+ MN．A''图形原理l1P'P 点到直线，垂线段最短．APA+ AB 的最小值为线段P＇l 2 B的长．B【问题 8】作法l 1NAMl2 作点 A 关于l2的对称点BA ＇，作点B 关于l1的对称A 为l1上一定点，B 为l2上点 B＇，连 A＇B＇交l2于 M，一定点，在 l 2上求点M，交 l 1 于 N．在 l 1 上求点N ，使AM + MN+ NB 的值最小．【问题 9】作法图形原理B'l 1N两点之间线段最短．AAM +MN +NB 的最小值为M B l 2线段 A＇B＇的长．A'图形原理ABl在直线l 上求一点 P，使 PA PB 的值最小．连AB ，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P．A垂直平分上的点到线段两B端点的距离相等．lP PA PB ＝ 0．【问题 10】作法图形原理- 2 -A三角形任意两边之差小于A Bl作直线 AB ，与直线 l 的交第三边． PA PB ≤AB ．B点即为 P ．l在直线 l 上求一点 P ，使PPA PB 的最大值＝ AB ．PA PB 的值最大．【问题 11】作法图形原理AAl 作 B 关于 l 的对称点 B ＇ B'B作直线 A B ＇，与 l 交点即lP为 P ．B在直线 l 上求一点 P ，使PA PB 的值最大．三角形任意两边之差小于第三边． PA PB ≤ AB ＇．PA PB 最大值＝ AB ＇．【问题 12】“费马点”作法图形原理ABC所求点为“费马点” ，即满足∠ APB ＝∠ BPC ＝∠APC ＝ 120 °．以 AB 、 ACDAE两点之间线段最短．为边向外作等边△ ABD 、PPA+ PB+ PC 最小值＝ CD ．△ ABC 中每一内角都小于120°，在△ ABC 内求一点P ，使 PA+PB+PC 值最小．△ ACE ，连 CD 、 BE 相交于 P ，点 P 即为所求．BC【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为 12，△ ABE 是等边三角形，点一点 P ，使 PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A ． 23 B ． 2 6C ． 3D ． 62．如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝ 60 °，若将 △ ACD交于点 E 、 F ，则 △ CEF 的周长的最小值为（）E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有ADPEB C绕点 A 旋转，当 AC ′、 AD ′分别与 BC 、 CDA ． 2B ． 2 3C ． 2 3D ． 4- 3 -3．四边形 ABCD 中，∠ B＝∠ D ＝ 90 °，∠ C＝ 70 °，在 BC 、 CD 上分别找一点M、 N，使△ AMN 的周长最小时，∠ AMN + ∠ ANM 的度数为（）A DA ． 120°B． 130°C．110 °D． 140 °NBMC 4．如图，在锐角△ ABC 中， AB ＝ 4 2 ，∠ BAC ＝ 45 °，∠ BAC 的平分线交 BC 于点D ， M、 N 分别是 AD 和 AB上的动点，则 BM +MN 的最小值是C．DMAN B5．如图， Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90 °，∠ B＝ 30 °，AB＝ 6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点B、C 重合），且 ED ＝ AE，则线段AE 的取值范围是．AEC D B 6．如图，∠AOB ＝ 30 °，点 M、 N 分别在边OA、 OB 上，且OM ＝ 1， ON＝ 3，点 P 、 Q 分别在边OB、 OA 上，则 MP ＋ PQ＋ QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°，则有AC 2BC 2AB2）7．如图，三角形△ ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B( 6 3 ， 0)．OC 平分∠ AOB ，点 M 在 OC 的延长线上，点N 为边 OA 上的点，则MA ＋ MN 的最小值是 ______．- 4 -8．已知 A（ 2， 4）、 B （4， 2）． C 在y轴上， D 在 x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C、 D 两点的坐标分别为．yABO x 9．已知A（ 1， 1）、 B （4， 2）．y（ 1） P 为 x 轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P 点的坐标；BAO x（ 2） P 为 x 轴上一动点，求PA PB 的值最大时P 点的坐标；yBAO x（ 3） CD 为 x 轴上一条动线段， D 在 C 点右边且CD ＝ 1，求当AC+ CD+ DB 的最小值和此时 C 点的坐标；yBAO C D x10 ．点 C 为∠ AOB 内一点．（ 1）在 OA 求作点 D ， OB 上求作点 E ，使△ CDE 的周长最小，请画出图形；（ 2）在（ 1）的条件下，若∠AOB ＝ 30°， OC＝ 10，求△ CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．ACO B- 5 -11．（ 1）如图①，△ ABD 和△ ACE 均为等边三角形，BE、 CE 交于 F，连 AF，求证： AF +BF +CF ＝ CD ；（ 2）在△ ABC 中，∠ ABC ＝ 30°， AB＝ 6， BC＝ 8，∠ A ，∠ C 均小于 120°，求作一点 P，使 PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．DAAEFB C图①B C图②12 ．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥DD ＇、 EE ＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？- 6 -。

初中八年级数学最短路径问题

八年级数学最短路径问题一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

练习、如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．练习：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。

三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC，使三角形周长最小.练习1：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC周长最小值为OA.求∠MON的度数。

练习2：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？提高训练一、题中出现一个动点。

1.当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值.例：如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。

二、题中出现两个动点。

当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。

例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求C、D的坐标。

练习1如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．三、题中出现三个动点时。

人教版数学八年级上册最短路径问题

原理
牧马人饮马问题
线段公理和垂线段最短轴对称知识+线段公理
人教版数学八年级上册最短路径问题
人教版数学八年级上册最短路径问题
新知应用
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)
和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同
一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ A ）
A. (0，3)
B. (0，2)
C. (0，1)
D. (0，0)
C′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接
最小值为（ B ）
A
A．7.5 C．4
B．5 D．不能确定
E
F
B
D
C
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点
C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小
值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长
即为BF+EF的最小值.
人教版数学八年级上册最短路径问题
人教版数学八年级上册最短路径问题
人教版数学八年级上册最短路径问题
新知演练
【变式3】如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝ 10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值
是( A )
A．10 B．15 C．20 D．30
提示：过点P作关于OA，OB对称点P1，P2，连接 P1P2，交OA于点Q，OB于点R，此时△PQR周长的最小，连接OP1 和OP2，可证△OP1 P2为等边三角形，边长为10．
l
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.

数学八年级_轴对称_最短路径问题

三角形第3节多边形及其内角和【知识梳理】路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。

所以最短路径问题，需要考虑轴对称。

典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．这个问题提炼出数学问题为：设C 为直线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)作法：(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l 交于点C.则点C 即为所求．证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC ＝B′C，BC ′＝B′C′.∴ AC ＋BC ＝ AC ＋B′C ＝ AB′，AC ′＋BC′＝ AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB ′＜AC′＋B′C′，∴ AC ＋BC ＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短.预备知识：在直角三角形中，三边具有的关系如下：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+【诊断自测】1、如图，直线l 是一条河，A 、B 两地相距5km ，A 、B 两地到l 的距离分别为3km 、6km ，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向A 、B 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）A ．B ．C ．D ．2、如图所示，四边形OABC 为正方形，边长为3，点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D 在OA 上，且D 的坐标为（1，0），P 是OB 上的一动点，则“求PD+PA 和的最小值”要用到的数理依据是（）A ．“两点之间，线段最短”B．“轴对称的性质”C．“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”D．以上答案都不正确3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．【考点突破】例1、如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在CD上，要使△AEF的周长最小时，确定点F的位置的方法为．答案：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．解析：根据题意可知AE的长度不变，△AEF的周长最小也就是AF+EF有最小值．作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．故答案为：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．例2、如图所示，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F.（1）若MN=20 cm，求△PEF的周长；（2）若∠AOB=35°，求∠EPF的度数.答案：见解析解析：（1）∵M与P关于OA对称∴OA垂直平分MP.∴EM=EP.又∵N与P关于OB对称∴OB垂直平分PN.∴FP=FN.∴△PEF的周长=PE+PF+EF=ME+EF+FN=MN=20(cm).（2）连接OM，ON，OP，∵OA垂直平分MP，∴OM=OP.又∵OB垂直平分PN，∴ON=OP.∴△MOE≌△POE(SSS)，△POF≌△NOF(SSS).∴∠MOE=∠POE，∠OME=∠OPE，∠POF=∠NOF，∠OPF=∠ONF.∴∠MON=2∠AOB=70°∴∠EPF=∠OPE+∠OPF=∠OME+∠ONF=180°-∠MON=110°.例3、如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）A．2B． C．20 D．2答案：A解析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′==2．故选：A．例4、如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°答案：D解析：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=50°，∴∠EAF=130°﹣50°=80°，故选：D．例5、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．4答案：B解析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．故选B．例6、如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？答案：见解析。

(完整版)初二数学最短路径问题知识归纳+练习

初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．3B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（） A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAADEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． DEABCD MABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。

八年级数学最短路径问题知识点

八年级数学最短路径问题知识点教学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最瀛路径.算法具体的形式包括：E确定起点的最短路径问题■即已知起始结点，求最短路径的问题.②确定终点的最短路径问题•与确定包点的问题相反，该问题是已知终结结点,求最短路径的问题，③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.④全局最短路径问题-求图中所有的最理路径.【问题原型】“将军饮马北"造桥选址）〃费马点【涉及知识「俩点之间线段最短”「,垂线段最短1 “三角形三边关系,"轴对称，“平移二【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等，【解题思路】我对称点实现“折”转"直北近两年出现三折线”转“直”等变式问题考查.【例题及解析】例1 如图1,在直角梯形ABCD 中,ZABC=90°, AD〃BC, AD=4, AB=5, BC=6, 点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时，PB的长为（）(A)l (B)2 (C)2.5 (D)3分析此题首先要确定P点的位看可以延长CB （或DA）的一倍，即CB=BM,再连接MD交AB于点P（大家可以思考一下P点的正确性与合理性一可运用两点之间，线段最短这一性质）.我们可以通过AMPBS/WPA,从而求出PB的长，故选D.例2如图2, AABC礼AB=AC=13, BC=10, AD是BC边上的中线，F为AD上的动点，E 为AC边上的动点，则CE+EF的最小值为分析显然，本题需要确定两个动点E和F,那么，怎样确定这两个点呢？我们可以过点B 作BE1AC交AD于点F,从而确定了E和F点（大家可以用从直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短来加以说明）.此时,CF + EF = BE.用与囱=；殖・比^；班”。

,构造■方程，求出BE =号，即CE + EF的最小值为号.例3如图3,已知平面直角坐标系中，A (2, -3), B(4, -1).(1)若点P(x, 0)是x 轴上的一个动点，当APAB 的周长最短时，求x 的值； (2)若C D 是x 轴上的两个动点，且D(a, 0), CD=3,当四边形ABCD 的周长最短时,求a 的值；(3)设M, N 分别为x 轴、y 轴上的动点，问：是否存在这样的点M(m, 0)和N(0, n),使得四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出叫n 的值.若不存在，请说明理由.⑴如图3,找出A (或B)关于x 轴的对称点A1，连结AiB 交x 轴于点P.设直线AB 的解析式为y=kix+bi.将AQ 3)、B (4, -1)代入，得产 +" =3,1% + 4 = . I,解之叶…16, = 7.故 y =-2彳+7,⑵如图4,过A 点作x 轴的平行线，并截取A%=3.画点A1关于x 轴的对称点生,连结A?B 交x 轴于点C,再在x 轴上截取CD=3,可得周长最短的四边形ABCD (大家也可以利用两点之间，线段最短，来证明最短周长的正确性).由题意，可知4(5,3).设4B 的直线悬析式为)=&七+ b 2. 将代人，得产 + % = 3, i 倏 +% =-1,故y = 4*-17, 当,=0时/ = y -3 = 44 4如图5,我们可以先分别找出A 、B 关于y 轴和x 轴的对称点Ai 和&,再连结ABi,分别交x 轴和y 轴干点M 与N,此时，四边形ABMN 的周长是最短的(同样, 可以用两点之间，线段最短来加以证明).设AB 的直线解析式为y=k3x+b.将4（-2, 一）”©「）代入，得产 + 4 : 1,分析与解解之得h =4,6) = -17(3)I - 24, + 65 ; . 3, u .1 解之得A 56「.亨故厂参-{■.当x =0 时,=-Y，■ 当）• =0时，Z =京.所以…的值分别为右等例4如图6,四边形ABCD是正方形，M是对角线BD上的任意一点.⑴当点M在何处时，AM+CM的值最小？⑵当点M在何处时，AM+BM+CM的值最小？并说明理由.图6 困7分析（1）（如图6,显然，连结AC与BD的交点即为M点（可利用两点之间，线段最短来证明）.（2）如图7,以AB为边在正方形外画等边三角形ABE,连结EC交BD于点M.此时，MA+MB+MC=EC（其中,ABMN 为等边三焦形，且YEBNgACBM,所以MA+MB=EM）. 若在BD上（除M点之外）任取一点M,,过点Mi作MiNi〃MN交BN 或延长线于点Ni, 连结ENi.可利用两点之间线段最短，证明MiA+M】B+MiOEC,从而得出MA+.MB+ MC最短.。

八年级上册数学最短路径问题

八年级上册数学最短路径问题
1、在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下的矩形面积是 _______．
2、已知：∠MAN = 60°，B为AM上的一个定点，C为AN上的一个动点（不与A重合），若△ABC的周长为16，则BC的最大值为 _______．
3、在直角坐标系中，点A的坐标为 (3,0)，点B的坐标为 (0,2)，则AB的长度为 _______．
4、在直角坐标系中，点A的坐标为 (3,0)，点B的坐标为 (0,2)，则AB的长度为 _______．
5、在直角坐标系中，点A的坐标为 (3,0)，点B的坐标为 (0,2)，则AB的长度为 _______．
6、在直角坐标系中，点A的坐标为 (3,0)，点B的坐标为 (0,2)，则AB的长度为 _______．
7、在直角坐标系中，点A的坐标为 (3,0)，点B的坐标为 (0,2)，则AB的长度为 _______．
8、在直角坐标系中，点A的坐标为 (3,0)，点B的坐标为 (0,2)，则AB的长度为 _______．
9、在直角坐标系中，点A的坐标为 (3,0)，点B的坐标为 (0,2)，则AB的长度为 _______．。

96. 初中数学中如何解答最短路径问题？

96. 初中数学中如何解答最短路径问题？一、关键信息1、最短路径问题的定义与分类2、常见的解题方法与技巧3、运用数学原理与定理4、实例分析与练习5、培养学生解题思维与能力的方法二、协议内容11 最短路径问题的定义最短路径问题是指在给定的条件下，寻找两点之间的最短距离或者在多个点之间找到经过所有点的最短路线。

111 其在初中数学中的重要性最短路径问题不仅是数学知识的应用，更是培养学生逻辑思维和解决实际问题能力的重要载体。

112 分类包括两点之间线段最短、将军饮马问题、立体图形表面的最短路径等。

12 常见的解题方法与技巧121 利用轴对称性质通过作对称点，将折线转化为直线，利用两点之间线段最短来求解。

122 构建直角三角形运用勾股定理计算线段长度，从而找到最短路径。

123 化曲为直对于在曲线或弧上的路径问题，通过展开图形将其转化为直线距离问题。

13 运用数学原理与定理131 两点之间线段最短定理这是解决最短路径问题的基础原理，任何复杂的问题都可以归结到这一基本原理。

132 勾股定理在构建直角三角形求解路径长度时，勾股定理是必不可少的工具。

14 实例分析与练习141 经典例题讲解例如，将军饮马问题中，给出河岸两侧的两点，求将军在何处饮马能使所走路径最短，并详细讲解解题思路和步骤。

142 立体图形实例对于长方体、圆柱体等立体图形表面的最短路径问题，通过展开图形进行分析和计算。

143 练习题目设置提供丰富的练习题，包括不同类型和难度层次的最短路径问题，让学生通过练习巩固所学知识和方法。

15 培养学生解题思维与能力的方法151 引导学生分析问题培养学生从复杂的情境中提取关键信息，明确问题的本质和要求。

152 鼓励学生尝试多种方法让学生在解题过程中，尝试不同的解题思路和方法，拓宽思维。

153 培养学生的空间想象力通过图形的展示和想象，帮助学生更好地理解和解决立体图形中的最短路径问题。

154 及时反馈与评价对学生的解题过程和结果进行及时的反馈和评价，指出优点和不足，鼓励学生不断改进。

人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：最短路径问题

专题13.4最短路径问题1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求. 如图所示，点川，万分别是直线2异侧的两个点，在2上找一个点G使CA^CB最短，这时点Q是直线』与初的交点.⑵求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条宜线的对称点, 连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点月，万分别是直线2同侧的两个点，在』上找一个点G使CA+CB最短，这时先作点〃关为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接EG、BC「、证明M -\-CB<AC f +C* 3 如下：证明：由作图可知，点万和万‘关于直线/对称，所以直线/是线段宓’的垂直平分线.因为点Q与C'在直线上，所以BC=B' G BC =B f r C f・在G 中,AB' <AC r +B f C ,所以AC+B' C<AC r +B f C ,所以AC+BC<AC f+C‘ B.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点「到直线上某点的距离和最小越个核心，所有作法都相同.利用轴对称解决最值问题应注意题目要球根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，「审题不淸导致答非所问.3.利用平移确左最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸「的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.4.生活中的距离最短问题由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜而反射的方式转化成一条线段，如图，AO+BO=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.Cy __-7 B5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.对点例题解析【例题1】在图中直线/上找到一点M使它到儿万两点的距离和最小.A【例题2】如图，小河边有两个村庄出B.要在河边建一自来水厂向川村与万村供水.(1)若要使厂部到心万村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到川，万两村的水管最短，应建在什么地方？【例题3】如图，从川地到万地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到万地的路程最短？【例题4】如图所示，A, 3两点在直线2的两侧，在/上找一点G使点C到点月、万的距离之差最大.如JII练题1 •直线』左侧有两点只Q，试在直线上确左一点Q使得防％最短.2•如图，△月氏与△处关于某条直线对称，请画岀对称轴.A DC F3•如图，A.万为重庆市内两个较大的商圈，现需要在主要交通干道』上修建一个轻轨站只问如何修建,4•如图，四边形ABCD 中，ZBAD=120° , ZB=ZD=90°,在BC、CD ±分别找一点M、N,使Z\AMN 周长最小时，则ZAMN+ZANM的度数为（）C. 110°D. 100°5•如图，两条公路0A. 0B相交，在两条公路的中间有一个汕库，设为点P,如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运汕车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加汕站，最后回到汕库所走的路程最短.专题13.4最短路径问题1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求. 如图所示，点川，万分别是直线2异侧的两个点，在2上找一个点G使CA^CB最短，这时点Q是直线』与初的交点.⑵求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条宜线的对称点, 连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点月，万分别是直线2同侧的两个点，在』上找一个点G使CA+CB最短，这时先作点〃关为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接EG、BC「、证明M -\-CB<AC f +C* 3 如下：证明：由作图可知，点万和万‘关于直线/对称，所以直线/是线段宓’的垂直平分线.因为点Q与C'在直线上，所以BC=B' G BC =B f r C f・在G 中,AB' <AC r +B f C ,所以AC+B' C<AC r +B f C ,所以AC+BC<AC f+C‘ B.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点「到直线上某点的距离和最小越个核心，所有作法都相同.利用轴对称解决最值问题应注意题目要球根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，「审题不淸导致答非所问.3.利用平移确左最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸「的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.4.生活中的距离最短问题由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜而反射的方式转化成一条线段，如图，AO+BO=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.Cy __-7 B5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.对点例题解析【例题1】在图中直线/上找到一点M使它到儿万两点的距离和最小.A【答案】见解析。

八年级数学上册人教版课件：1最短路径问题

将点B“移”到l 的另一侧B′
处，满足直线l 上的任意一点
A
·
C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
B
·
l
探究活动 1
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
B
追问2 你能利用轴对称的 A
·
有关知识，找到上问中符合条
·
件的点B′吗？
l
探究活动 1
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
A
·
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
C
于点C．
则点C 即为所求．
B
·
l B′
探究活动 1
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
即 AC +BC 最短．
B′
探究活动 1
证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
N
A/
P
Q
B/
A
M
B
l
探究活动 3
（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）

勾股定理最短路径问题等面积法

勾股定理最短路径问题等面积法勾股定理最短路径问题等面积法，听起来是不是有点绕？别急，听我慢慢给你捋一捋。

先从勾股定理说起，大家应该都知道吧？就是直角三角形的两条直角边平方和等于斜边的平方，嗯，就是这么简单一个公式，a² + b² = c²。

这玩意儿不管是在中学课本里，还是在咱们日常生活中都能见到。

比如你想知道从A点到B点，经过一段直角的路程有多远，直接套这个公式就行了。

可是，今天我们聊的可不是这件事。

我们要说的，是用勾股定理来解决“最短路径”的问题，而且还要通过“等面积法”来解释，怎么让这个看起来复杂的问题变得简单又有趣。

先说说最短路径。

假设你站在一个地方，想跑到另一个地方，不管是横着走还是竖着走，总想选一条最省劲儿的路对吧？要是你从家里到超市，直接横穿过公园，那不就太浪费力气了？其实这就是在做最短路径的选择。

如果是直角三角形的两条直角边，你可以直接想象一下从A点出发，先往右走，然后再往上走，最后走到B点。

而最短的路径呢？就应该是斜着穿过去的那条线。

有没有发现，绕来绕去其实是没有意义的，直接走最短的直线就行了。

这个直线，就是通过勾股定理算出来的斜边。

咱们来聊聊“等面积法”。

乍一听，这是什么东东啊？等面积法就是一种巧妙的方式，它让我们可以通过“面积”的方式来理解最短路径的问题。

想象一下，咱们有一个矩形，宽是a，高是b。

你可能会说，这不就是一个普通的矩形嘛，啥了不起的。

可是，这个矩形能代表什么呢？它代表了你从A点到B点的两条直角边——就像你走直角路线，先水平再垂直那样。

好，那现在把这个矩形的面积给算出来，面积就是a乘b，对吧？你把这个矩形变成一个等面积的正方形，什么意思呢？就是让正方形的面积和矩形一样大。

这样，正方形的边长就变成了√(a² + b²)。

哦，这不就又回到勾股定理了嘛。

通过这种“等面积”的转换，咱们用一种全新的方式重新审视最短路径问题，发现它和勾股定理之间有着密不可分的关系。

初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题

初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题一、知识重点1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．2、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3、利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．二、经典例子解析【例一】有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．【例二】如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点解：如图，【例三】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。

解：先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B【例四】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小解：如图，作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′交直线l于点M.则点M即为所求的点．【例五】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水。