线性代数方程组的直接法

A
(2)

LA
1
(1)
,
b
(2)

Lb
1
(1)
l a
i1
(1) i1
i 2 ,3,
a
(1) 11
,n
记：
A
(3)
L2 A 1 l 32
(2)
,
b
(3)
L 2b
(2)
L2
1 0 0 0
1 0
l
n2
1
l a
i2
(2) i2
D1 a11 0,
D2
a11 a21
a12 a22
a11 a1k
则按顺序Gauss消去法所形成的各主元素
akk (k 1, 2
(k )
0, Dk 0 a k1 a kk
, n) 均不为零，从而Gauss
消去法可顺利执行。 注：当线性方程组的系数矩阵为对称正定或严格对角 占优阵时，按Gauss消去法计算是稳定的。
将主元行换至第一行，将第一个方程中x1的系数变为1，并从 其余n – 1个方程中消去x1。 第二步：在第二列后n – 1个元素中选主元，将第二个方程中x2的 系数变为1，并从其它n – 1个方程中消去x2。 ………… 第k步：在第k列后n – k个元素中选主元，换行，将第k个方程xk的系数 变为1，从其它n - 1个方程中消去变量xk，
i 3, 4 ,
a
(2) 22
,n
A
(3)
L 2 L1 A
(1)
,
b
(3)
L 2 L1b
(1)
1 0 1 Li = 0 0
(n)
1
l
i 1,i
1
l
i列
ni
1
L
-1 i


线性方程组数值解法的分类
直接法（适用于中等规模的n阶线性方程组） ◆ Gauss消去法及其变形 ◆矩阵的三角分解法
迭代法（适用于高阶线性方程组）
◆Jacobi迭代法
Gauss-Seidel迭代法 ◆逐次超松弛法 ◆共轭斜量法
◆
§1 高斯消去法
1．三角形方程组的解法---回代法
b1 a11 x1 a x a x b2 21 1 22 2 a n1 x1 an 2 x2 ann xn bn
第七章
线性方程组 的直接解法
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
AX = b
k 2, 3, , n
xn y n xk yk rk xk 1
k n 1, n 2, ,1
§3 矩阵的三角分解法
高斯消元法的矩阵形式
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
记： 其中 1 l 21 l 31 L1 l n1 1 0 0 1 0 1
注： （1） L 为单位下三角阵而 U 为一般上三角
阵的分解称为Doolittle 分解
（2）L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角
阵的分解称为Crout 分解。
Doolittle分解法 ：
思 路 通过比较法直接导出L 和 U 的计算公式。
a11 ... a1n 1 . . . . . l 21 1 . . . . . ... . . . . . an1 ... ann l n1 ...
u11 ... ... 1
u1n . . . . . . unn

ai j
min( i , j )

k 1
l i k uk j
LU 分解求解线性方程组
AX b
LY 1
LY b , UX Y
（3.2）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a 22 x2 a 2 n xn b2 a nn xn bn
（3.3）
2．顺序高斯消去法
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn a1, n 1 a 21 x1 a 22 x2 a 23 x3 a 2 n xn a 2, n 1 a n1 x1 a n 2 x2 a n 3 x3 a nn xn a n , n 1
相当于（1）中m = n, B = I 的情形。
（3）求行列式的值
用高斯消去法将 A化成
(1) a11
A
( 2) a22
a
(n) nn
(1) (n) a11 ann
§2 解三对角方程组的追赶法
b1 x1 c1 x2 a x b x c x 2 1 2 2 2 3 ak xk 1 bk xk ck xk 1 an 1 xn 2 bn 1 xn 1 cn 1 xn an xn 1 bn xn d1 d2 dk d n 1 dn
对于r = 2, 3, …, n计算 （2）计算U的第r行元素
u ri ari l rk u ki
k 1 r 1
(i r , r 1,, n)
1 2 n
a11 a 21 a n1
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn


(1) (m) an a ,n 1 n ,n 1
（2）求逆矩阵
设A = (aij)nn是非奇矩阵，A 0，且令
X A1 ( xij )nn
由于 AA-1 = AX = I 因此，求A-1的问题相当于解下列线性方程组
b1 a2 A
c1 b2 c2 an 1 bn 1 an
cn 1 bn
c1 d1 y1 r1 b b1 1 ck rk bk rk 1a k d k y k 1a k yk bk rk 1a k
对k = 1, 2, …, 按上述步骤进行到第n步后，方程组变为：
) x1 a1(,n n 1 (n) x a 2 2 ,n 1 x a (n) n ,n 1 n
即为所求的解
注：无回代的Gauss消元法实际上就是将 方程组的系数矩阵化为行最简形矩阵。
回代公式
(n) xn a n , n 1 (k ) x a k , n 1 k
j k 1
(k ) a kj x j k n 1,,1
n
顺序Gauss消去法可执行的前提
定理 1 给定线性方程组 Ax b，如果n阶方阵 A 的所有顺序主子式都不为零，即
L
1 2
L A
L A LU
(n)
定理2：（矩阵的三角分解）设A为n n实矩阵，如果
解AX = b用高斯消去法能够完成（限制不进行行的交
(k ) 换，即 akk 0,
k 1, 2, , n ），则矩阵A可分解
为单位下三角矩阵L与上三角知阵U的乘积。 A = LU 且这种分解是唯一的。
ห้องสมุดไป่ตู้
l l
21 31
l
32
1
UX
l l u u u
n1 n2 11
l
12 22
n ( n 1)
u u
2n u nn
1n
直接三角分解法解AX = b的计算公式 (1)
u1i a1i
li1 ai1 u11
i 1,2,, n
i 1,2,, n
1
0 1 1 0 l i1,i 1 Al 的 LU 分解 0 1 ni ( LU factorization ) i列
A L L b L L
n 1 (n) n 1
n2
n2
LA Lb
1 1
1 (n) n1
(1)
(1)
A
(1)
L1
1
上述方程组系可以写为
AX = B = (b1, …, bm)
因此 X = A-1B 即为线性方程组系的解。
在计算机上只需要增加几组右端常数项的存贮单元， 其结构和解一个方程组时一样。 行 系数 右端
) a1(,1n)1 a1(,m n 1 (1) a2 ,n 1 (m) a2 ,n 1
aik mik akk
i k 1,, n
i, k 1,, n
n
aij aij mik akj
3、回代计算
j k 1,, n 1
xi ai ,n1
j i 1
a
ij
xj
i n, n 1,,1
4．无回代过程的主元消去法
算法：
第一步：选主元，在第一列中选绝对值最大的元素，设第k行为主元行，
5．无回代消去法的应用
（1）解线性方程组系
设要解的线性方程组系为： AX = b1, AX = b2, … AX = bm
a11 a1n A a a nn n1
x1 X x n
a1(,in)1 (i ) a2 ,n 1 bi a (i ) n ,n 1 i 1, 2, , n
1 1 y1 b1 y2 b2 b y b n n x1 y1 x2 y2 Y x y n n
消元公式为：
( k 1) ( k ) akj j k , k 1, , n 1 akj ( k 1) akk (k ) ( k 1) ( k 1) ( k ) aij aij aik akj j k , k 1, , n 1 i 1,, k 1, k 1,, n
a11 a12 a 21 a 22 A a n1 a n 2 a1n a2n a nn x1 x2 X x n
（3.1）
b1 b2 b b n
3、列主元Gauss消去法计算步骤：
1、输入矩阵阶数n，增广矩阵 A(n,n+1); 2、对于 k 1,2,, n (1) 按列选主元：选取 l 使
alk max aik 0
k i n
(2) 如果 l k ，交换 A(n,n+1) 的第k行与第l 行元素 (3) 消元计算 ：
基本思想：通过消元将上述方程组 化为三角形方程组进行求解。
消元公式
( k 1) ( k ) akj j k , k 1, , n 1 akj ( k 1) akk (k ) ( k 1) ( k 1) (k ) a a a a ij ij ik kj j k 1, , n 1 i k 1, n
x11 1 x 21 0 A , , 0 x n1
0 x1n 1 x2 n A x 0 nn 1