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专题08 函数的基本性质(核心素养练习)(解析版)

专题08 函数的基本性质(核心素养练习)(解析版)

专题八 函数的基本性质核心素养练习一、核心素养聚焦考点一 逻辑推理-比较大小例题10.函数y =f (x )在[0,2]上单调递增,且函数f (x +2)是偶函数,则下列结论成立的是( )A .f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72 B .f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52 C .f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1) D .f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫72 【答案】B【解析】∵函数f (x +2)是偶函数,∴函数f (x )的图象关于直线x =2对称,∴f ⎝⎛⎭⎫52=f ⎝⎛⎭⎫32,f ⎝⎛⎭⎫72=f ⎝⎛⎭⎫12, 又f (x )在[0,2]上单调递增, ∴f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32,即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. 考点二 数学运算-二次函数求最值例题11、已知函数f (x )=x 2-ax +1,求f (x )在[0,1]上的最大值.【解析】 因为函数f (x )=x 2-ax +1的图象开口向上,其对称轴为x =a 2,当a 2≤12,即a ≤1时,f (x )的最大值为f (1)=2-a ; 当a 2>12,即a >1时,f (x )的最大值为f (0)=1. 考点三 数学建模—函数最值实际应用例题12.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x (x ∈N *)件.当x ≤20时,年销售总收入为(33x -x 2)万元;当x >20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入-年总投资)(1)求y (万元)与x (件)的函数关系式;(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?【解析】 (1)当0<x ≤20时,y =(33x -x 2)-x -100=-x 2+32x -100;当x >20时,y =260-100-x =160-x .故y =⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+32x -100,0<x ≤20,160-x ,x >20(x ∈N *).(2)当0<x ≤20时,y =-x 2+32x -100=-(x -16)2+156,x =16时,y max =156.而当x >20时,160-x <140,故x =16时取得最大年利润,最大年利润为156万元. 即当该工厂年产量为16件时,取得最大年利润为156万元. 考点四 直观想象-利用函数的图象求函数的最值(值域)例题13.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3-x 2,x ∈[-1,2],x -3,x ∈(2,5].(1)在直角坐标系内画出f (x )的图象;(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域. 【解析】 (1)图象如图所示:(2)由图可知f (x )的单调递增区间为(-1,0),(2,5),单调递减区间为(0,2),值域为[-1,3].二、学业质量测评一、选择题1.(2017·全国高一课时练习)定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等的实数a ,b ,总有()()0f a f b a b->-成立,则f(x)必定是( )A.先增后减的函数B.先减后增的函数C.在R 上的增函数D.在R 上的减函数【答案】C【解析】定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等的实数a ,b ,总有()()0f a f b a b->-成立则当()()0f a f b -> 时,0a b -> ,此时f(x)是在R 上的增函数 当()()0f a f b -< 时,0a b -< ,此时f(x)是在R 上的增函数 所以f(x)是在R 上的增函数 所以选C2.(2017·全国高一课时练习)函数y =11x -在[2,3]上的最小值为( ) A.2 B.12 C.13D.-12【答案】B 【解析】y =11x -在[2,3]上单调递减,所以x=3时取最小值为12,选B. 3.(2019·全国高一课时练习)已知()()310f x ax bx ab =++≠,若()2018f k =,则()2018f -等于( ) A .k B .k - C .1k - D .2k -【答案】D【解析】因为()31f x ax bx -=--+,所以()()2f x f x -+=,所以()()201820182f f -+=即()20182f k -=-,选D.4.(2018·全国高一课时练习)函数 f (x )在(-1,1)上是奇函数,且在(-1,1)上是减函数,若 f (1-m )+f (-m )<0,则 m 的取值范围是( )A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.(-1,1)C.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D.(-1,0)∪1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为函数f (x )在(-1,1)上是奇函数,所以(1)()()f m f m f m -<--=,又因为f (x )在(-1,1)上是减函数,所以111111m m mm -<-<⎧⎪->⎨⎪-<-<⎩解得102m <<,故选A. 5.(2018·全国高一课时练习)设函数()f x 是奇函数,在(0,)+∞内是增函数,又(3)0f -=,则()0x f x <的解集是( ). A.{}|303x x x -<<>或 B.{}|303x x x <-<<或 C.{}|33x x x <->或 D.{}|3003x x x -<<<<或【答案】D【解析】函数()f x 是奇函数,在()0,+∞内是增函数,又()30f -=,()30f ∴=,且在()0-∞,内是增函数, ()0x f x <,∴①当0x >时,()()03f x f <=03x ∴<<②当0x <时,()()03f x f >=-30x ∴-<<③当0x =时,不等式的解集为φ综上,()0x f x <的解集为{}|3003x x x -<<<<或 故选D6.(2018·全国高一课时练习)已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x >时,2()1f x x x =+-,那么0x <时,()f x 的解析式为()f x =( ).A.21x x -+ B.21x x -++C.21x x ---D.21x x --+【答案】D【解析】设0x <,则0x ->,()()2211f x x x x x ∴-=-+--=+- 函数()f x 是定义在R 上的奇函数()()f x f x ∴-=-即()21f x x x -=+-解得()21f x x x =--+。

【高三数学】二轮复习:知识点聚焦—二级结论 高效解题

【高三数学】二轮复习:知识点聚焦—二级结论 高效解题
(4)若函数y=f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)对称(a≠b),则函数y=f(x)的周期为
2|a-b|;
(5)若函数y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b对称(a≠b),则y=f(x)的周期为2|ab|.
14.函数f(x)=|logax|(a>0,且a≠1),若f(m)=f(n)(m≠n),则mn=1.


2
0
k=- 2 · .
0
2 2
(2)在双曲线 E: 2 − 2 =1(a>0,b>0)中,类比(1)的①②③三个结论分别有:


2
2
2



①k0·k= 2 ;②k1·k2= 2 ;③k0·k= 2 .




0
(3)在抛物线 C:y2=2px(p>0)中类比(1)③的结论有 k= (y0≠0).


(2)当公比q≠-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).
(3)若等比数列的项数为2n(n∈N*),奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,
则S偶=qS奇.
(4)Sm+n=Sm+qmSn(m,n∈N*).
4立体几何
1.若一个平面图形的面积为S,其斜二测画法直观图的面积为S',则有
(2)双曲线的焦点三角形:若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一
2
点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则
△1 2 =

tan
,其中θ=∠F1PF2.
2
4.抛物线中的常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则

一次函数

一次函数

一次函数知识点聚焦一、函数的概念定义:在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量,例如x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有惟一..的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 二、一次函数概念:1.一次函数的概念:一般地,如果y =kx +b(k 、b 是常数,k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数.特别地,当b =0时,一次函数y =kx +b 就成为y =kx(k 是常数,k ≠0),这时,y 叫做x 的正比例函数.由定义知:y 是x 的一次函数⇔它的解析式是y =kx +b ,其中k 、b 是常数,且k ≠0.2.一次函数解析式y =kx +b(k ≠0)的结构特征:(1)k ≠0;(2)x 的次数是1;(3)常数项b 可为任意实数.3.正比例函数解析式y =kx(k ≠0)的结构特征:(1)k ≠0;(2)x 的次数是1;(3)没有常数项或者说常数项为0.4. 正比例函数是一次函数,但一次函数y =kx +b(k ≠0)不一定是正比例函数,只有当b=0时才是正比例函数。

三、一次函数的图像1.一次函数y =kx +b(k≠0)的图象是经过点(0,b)和(-b k,0)的一条直线.2.正比例函数y =kx(k ≠0)的图象是经过点(0,0)和(1,k)的一条直线.注意:画一次函数的图像,只需要过图像上两点作直线即可,一般取(0,b )、(-b k,0)两点。

四、一次函数图像的性质1. 一次函数y =kx +b ,当k >0时,y 随x 的增大而增大,图象一定经过第一、三象限;当k <0时,y 随x 的增大而减小,图象一定经过第二、四象限.b>0时,直线交y 轴正半轴,b<0时,直线交y 轴负半轴。

2.一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象是经过点(0,b)且平行于直线y=kx (k ≠0)的一条直线3. 平移规律在原有函数的基础上“k 值正右移,负左移;b 值正上移,负下移”。

第3讲函数的表示方法

第3讲函数的表示方法

问题研究
求函数解析式通常有哪些方法?
典型例题1
例1 分别根据下列条件,求函数f(x)的解析式:
⑴已知 f ( x 1) x 2 x ;
⑵已知 f ( x)是一次函数,且f f x 9x 8; ⑶已知 3 f x 2 f x 2x 5; ⑷已知 f 0 0,且对任意x,y R,有
例2
已知函数
f
( x)满足:f

x

1 x


x2
1, x2
求函数 f ( x)的解析式.

配方,得f

x

1 x



x

1 x
2
-2,
f ( x) x2 -2.
错!
思考1 解题是否就此结束?
定义域!
思考2 函数定义域是{x∈R︱x≠0},对吗?
求解过程
x 0且x 1.
1
-1 O 1
x
回顾反思
(1)求解步骤:
①确定函数的定义域;
y
②化简函数的解析式;
③作出函数的图象. (2)思维误区:
1
-1 O 1
x
①不会化简,无从下手;
②范围有误,图象失真;
③忽视细节,作图粗糙.
思路分析
例3 画出下列函数的图象:(2) y x 1 x 2 .
①×3- ②×2,解得 f(x)=2x+1.
回顾反思
(1)基本策略:解方程组,实施消元. (2)数学思想:函数与方程思想. (3)思维障碍:无法找到另一个方程,思维受阻.
思路分析
例1 ⑷已知f(0) =1,且对任意x,y∈R,有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x). 赋值法!

函数的定义域和值域

函数的定义域和值域

)
基 础 知 识 梳 理 聚 焦 考 向 透 析 感 悟 经 典 考 题 课 时 规 范 训 练
1 D. y 0<y≤2

1 1 解析:∵x2+2≥2,∴0< 2 ≤ . x +2 2 答案:D
1 3 . (2011· 高考广东卷 ) 函数 f(x) = + lg(1 + x) 的定义域是 1-x ( ) A.(-∞,-1) C.(-1,1)∪(1,+∞) B.(1,+∞) D.(-∞,+∞) 解得 x>-1 且 x≠1.
基 础 知 识 梳 理 聚 焦 考 向 透 析 感 悟 经 典 考 题 课 时 规 范 训 练
2.函数的值域 (1)函数的值域的定义:在函数 y=f(x)中与自变量 x 的值对应的 y 的值叫作函数值,所有函数值的集合,叫作函数的值域. (2)确定函数值域的原则:a.当函数 y=f(x)用表格给出时,函数 的值域是指表格中所有 y 值组成的集合.b.当函数 y=f(x)用图像给 出时,函数的值域是指图像上每一个点的纵坐标组成的集合.c.当函 数 y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由定义域和解析式确定. (3)求函数值域的方法有:直接法、换元法、配方法、判别式法、 几何法、不等式法、单调性法等.
方法求解,(1)用分离常数法;(2)用配方法;(3)用换元法或单调性法.
【解】
x-3 x+1-4 4 (1)(分离常数法)f(x)= = =1- . x+1 x+1 x+1
4 4 因为 ≠0,所以 1- ≠1, x+1 x+1 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}. (2)(配方法)由于 2+x-x
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函数的概念及其表示-高考复习课件

函数的概念及其表示-高考复习课件
1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为 准则,列出不等式或不等式组求解;对于实际问题,定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f(g(x))的定义域可由不等式 a≤g(x)≤b 求出; (2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]上的值域. 3.定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连 接,而应该用并集符号“∪”连接.
(3)若函数 f(x)满足 f(x)-2f1x=x+2,则 f(2)= -3 .
解析:由 f(x)-2f1x=x+2,可得 f1x-2f(x)=1x+2,联立两式可得 f(x)=-13x+2x- 2,代入 x=2 可得 f(2)=-3.
规律总结
求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范 围; (3)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的解析式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的解析式; (4)构造法:已知关于 f(x)与 f1x或 f(-x)的解析式,可根据已知条件再构造出另外一 个等式,通过解方程组求出 f(x).
3.(教材改编题)已知函数 f(x)=2x+x-11,,xx≤>00,, 则 f(f(0))的值为 1 ;方程 f(-x)=1 的解是 0 或-1 .
解析:∵f(0)=1,∴f(f(0))=f(1)=1;当-x≤0 时,f(-x)=-x+1=1,解得 x=0; 当-x>0 时,f(-x)=2-x-1=1,解得 x=-1.

(完整版)函数的奇偶性练习题[(附答案)

(完整版)函数的奇偶性练习题[(附答案)

(完整版)函数的奇偶性练习题[(附答案)函数的奇偶性1.函数f (x )=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是()A .奇函数⾮偶函数B .偶函数⾮奇函数C .奇函数且偶函数D .⾮奇⾮偶函数2. 已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)是偶函数,那么g (x )=ax 3+bx 2+cx 是( )A .奇函数B .偶函数C .既奇⼜偶函数D .⾮奇⾮偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数,且f (2)=0,则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,-2)?(2,+∞)D. (-2,2) 4.已知函数f (x )是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(-∞,0)时,f (x )=x -x 4,则当x ∈(0.+∞)时,f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=lg (12+x -x ); (2)f (x )=2-x +x -2(3) f (x )=?>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x6.已知g (x )=-x 2-3,f (x )是⼆次函数,当x ∈[-1,2]时,f (x )的最⼩值是1,且f (x )+g (x )是奇函数,求f (x )的表达式。

7.定义在(-1,1)上的奇函数f (x )是减函数,且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值范围8.已知函数21()(,,)ax f x a b c N bx c+=∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数,(1)求a,b,c 的值;(2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.9.定义在R 上的单调函数f (x )满⾜f (3)=log 23且对任意x ,y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y ). (1)求证f (x )为奇函数;(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)<0对任意x ∈R 恒成⽴,求实数k 的取值范围.10下列四个命题:(1)f (x )=1是偶函数;(2)g (x )=x 3,x ∈(-1,1]是奇函数;(3)若f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则H (x )=f (x )·g (x )⼀定是奇函数;(4)函数y =f (|x |)的图象关于y 轴对称,其中正确的命题个数是() A .1B .2C .3D .411下列函数既是奇函数,⼜在区间[]1,1-上单调递减的是( )A.()sin f x x =B.()1f x x =-+C.()1()2x x f x a a -=+ D.2()2xf x lnx-=+ 12若y =f (x )(x ∈R )是奇函数,则下列各点中,⼀定在曲线y =f (x )上的是() A .(a ,f (-a )) B .(-sin a ,-f (-sin a ))C .(-lg a ,-f (lg a1)) D .(-a ,-f (a ))13. 已知f (x )=x 4+ax 3+bx -8,且f (-2)=10,则f (2)=_____________。

高中数学函数零点问题必考点梳理+真题精练(附答案)

高中数学函数零点问题必考点梳理+真题精练(附答案)

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由图可知:当
0
m
1 2
时,两图象有两个不同的交点,
在区间 1,1 上方程 f x mx m 0 有两个不同的实根,故选:B
例 5.(2020·江苏宝应中学高三三模)已知函数 f x 2ln x2 3x 3 ,其中x 表示不大于 x 的
最大整数(如1.6 1,2.1 3),则函数 f x 的零点个数是( )
对函数
y
ln x
1, x
0 求导得
y
1 x 1

设切点为
x0, ln x0 1
,则
ln x0 1
x0 1
2 3
1 x0 1
m ,解得
x0
1
1
e3
,m
1
e3

数形结合可知,当
m
2 3
1
,e 3
时,直线
y
mx
m
2 3
与函数
f
x
的图象有四个交点,即函数
g
x
有四个零点.故选:B.
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f |
(x) x|

2
个不同交点,不满足题意;
当 k 0 时,如图 2,此时 y | kx 2 |与 h(x)
f |
(x) x|
恒有
3
个不同交点,满足题意;
当 k 0 时,如图 3,当 y kx 2 与 y = x2 相切时,联立方程得 x2 kx 2 0 ,
令 0 得 k2 8 0 ,解得 k 2 2 (负值舍去),所以 k 2 2 . 综上, k 的取值范围为 (,0) (2 2, ) ,故选 D.
图形特征,是数形结合的体现.通过图象可清楚的数出交点的个数(即零点,根的个数)或者

函数的单调性与最值+课件——2025届高三数学一轮复习

函数的单调性与最值+课件——2025届高三数学一轮复习
探究点一 函数单调性的判断与证明
例1 已知函数,且,讨论 的单调性.
[思路点拨] 先分离常数,再根据定义判断函数的单调性,注意分 和 两种情况进行讨论.
解:函数,设,,且 ,则 ,当时,在上单调递增,由,得 ,所以,又, ,所以,即 ,此时在 上单调递增;当时,在 上单调递减,由,得,所以 ,又,,所以 ,即,此时在 上单调递减.综上,当时,函数在 上单调递增;当时,函数在 上单调递减.
单调性
单调区间
续表
3.函数的最值
前提
一般地,设函数的定义域为,如果存在实数 满足
条件
,都有____________; ,使得_____________
,都有____________; ,使得_____________
结论
为最大值
为最小值
几何意义
图象上最高点的_________
图象上最低点的_________
变式题 (多选题)下列函数在其定义域内是增函数的为( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A,画出函数 的图象如图所示,易知函数 在其定义域内不是增函数,故A错误;对于B,因为函数是增函数, 是减函数,所以是 上的增函数,故B正确;对于C,函数是减函数,而 为增函数,
在定义域 上为减函数,故C错误;对于D,的定义域为,在上恒成立,故 是上的增函数,故D正确.故选 .
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数 的单调递增区间是_______,单调递减区间是________.
[解析] 由函数的图象可得 的单调递增区间是,单调递减区间是 .
2.[教材改编] 函数 的最大值为___,最小值为___.

专题12 导数与函数的单调性--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】

专题12  导数与函数的单调性--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】

【热点聚焦】单调性是函数的一个重要性质,对函数作图起到决定性的作用,而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.在高考导数的综合题中,所给函数往往是一个含参数的函数,且导函数含有参数,在分析函数单调性时面临分类讨论.从高考命题看,对函数单调性的考查主要有:利用导数求函数的单调区间、判断单调性、已知单调性,求参数等.【重点知识回眸】(一)函数的单调性与导数的关系 条件 结论函数y =f (x )在区间(a ,b )上可导f ′(x )>0 f (x )在(a ,b )内单调递增 f ′(x )<0 f (x )在(a ,b )内单调递减 f ′(x )=0f (x )在(a ,b )内是常数函数优先”原则. (二)常用结论1.在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件. 2.可导函数f (x )在(a ,b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ,b ),都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ,b )上的任何子区间内都不恒为零. (三)常见问题解题方法1.导数求单调区间的步骤:利用导数求函数单调区间的方法,大致步骤可应用到解含参函数的单调区间.即确定定义域→求出导函数→令()'0f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集(减区间)→单调性列出表格.2.求含参函数单调区间的实质——解含参不等式,而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3.求单调区间首先确定定义域,并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉,以简化讨论的不等式4.含参数问题分类讨论的时机分类时机:并不是所有含参问题均需要分类讨论,当参数的不同取值对下一步的结果影响不相同时,就是分类讨论开始的时机.【典型考题解析】热点一 不含参数的函数的单调性【典例1】(2023·全国·高三专题练习)函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为( ) A .(1,1)- B .(0,1)C .(1,)+∞D .(0,2)【答案】B【分析】求导,解不等式()0f x '<可得. 【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞ 解不等式1(1)(1)()0x x f x x x x-+'=-=<,可得01x <<, 故函数21()ln 2f x x x =-的递减区间为(0,1). 故选:B .【典例2】(广东·高考真题(文))函数的单调递增区间是 ( )A .B .(0,3)C .(1,4)D .【答案】D 【解析】 【详解】试题分析:由题意得,()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '=-+-=-'',令()0f x '>,解得2x >,所以函数()f x 的单调递增区间为,故选D .【典例3】(2023·全国·高三专题练习)已知定义在区间(0,π)上的函数f (x )=x +2cos x ,则f (x )的单调递增区间为________. 【答案】(0,)6π,5(,)6ππ【分析】对()f x 求导,令f ′(x )=0,得x =6π或x =56π,求出()0f x '> 的解即可求出答案. 【详解】f ′(x )=1-2sin x ,x ∈(0,π).令f ′(x )=0,得x =6π或x =56π, 当0<x <6π时,f ′(x )>0, 当6π<x <56π时,f ′(x )<0,当56π<x <π时,f ′(x )>0, ∴f (x )在(0,)6π和5(,)6ππ上单调递增,在5(,)66ππ上单调递减.故答案为:(0,)6π,5(,)6ππ.【典例4】(2023·全国·高三专题练习)已知函数211,0()2,0x f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩,则函数12()log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为__. 【答案】20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,[1,)+∞ 【分析】先根据题意求出()g x 的解析式,然后在每一段上求出函数的增区间即可 【详解】由12log 0x ≤,得1≥x ,由12log 0x >,得01x <<,所以当1≥x 时,12log 1()112xg x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,则()g x 在[1,)+∞上递增,当01x <<时,21122()loglog g x x x =-+,则121212log 11()2log 111lnlnln222x g x x x x x -'=-⋅+=,由()0g x '>,得1212log 0x -<,解得202x <<, 所以()g x 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递增, 综上得函数()g x 的单调递增区间为20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,[1,)+∞. 故答案为:20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,[1,)+∞. (1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降,函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度,也可用来研究导函数图象的上升与下降. (2)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极易出错. 热点二 含参数的函数的单调性【典例5】(2021·全国·高考真题(文))设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+,其中0a >. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点,求a 的取值范围.【答案】(1)()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭;(2)1a e >.【解析】 【分析】(1)求出函数的导数,讨论其符号后可得函数的单调性.(2)根据()10f >及(1)的单调性性可得()min 0f x >,从而可求a 的取值范围. 【详解】(1)函数的定义域为()0,∞+, 又()23(1)()ax ax f x x+-'=,因为0,0a x >>,故230ax +>, 当10x a<<时,()0f x '<;当1x a >时,()0f x '>;所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.(2)因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点,所以()y f x =的图象在x 轴的上方,由(1)中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭,故33ln 0a +>即1a e>.【典例6】(2023·全国·高三专题练习)已知函数()ln R kf x x k k x=--∈,,讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性. 【答案】见解析 【分析】先求出2()x kf x x +'=-,然后分k -与(1,e)的关系进行分类讨论,从而得出答案. 【详解】由()ln kf x x k k R x=--∈,,(1,e)x ∈ 221()k x k f x x x x+'∴=--=- ①当1k -≤,即1k ≥-时,10x k x +≥->, ()0f x '∴< ,()f x ∴在(1,e)单调递减;②当e k -≥,即e k ≤-时,e 0x k x +≤-<, ()0f x '∴> ,()f x ∴在(1,e)单调递增;③当1e k <-<,即e 1k -<<-时,当1x k <<-时,()0f x '>,()f x 单调递增; 当e k x -<<时,()0f x '<,()f x 单调递减; 综上所述,当1k ≥-时,()f x 在(1,e)单调递减 当e k ≤-时,()f x 在(1,e)单调递增当e 1k -<<-时,()f x 在(1,)k -单调递增,在(,e)k -单调递减.【方法总结】解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.热点三 已知函数的单调性求参数的取值范围【典例7】(全国·高考真题(文))若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增,则实数k 的取值范围是( ) A .(],2-∞- B .(],1-∞- C .[)2,+∞ D .[)1,+∞【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析:,∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增,∴在区间()1,+∞上恒成立.∴,而在区间()1,+∞上单调递减,∴.∴的取值范围是[)1,+∞.故选D .【典例8】(全国·高考真题(理))若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数,则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2a ≤ 【解析】 【详解】试题分析:()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫=-+=-+=-+∈ ⎪⎝'⎭时,()f x 是减函数,又cos 0x >,∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立,()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【典例9】(2019·北京·高考真题(理))设函数f (x )=e x +a e −x (a 为常数).若f (x )为奇函数,则a =________;若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是___________. 【答案】 -1; (],0-∞. 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式,据此可得a 的值,然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围. 【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+,()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x xf x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞ 【规律方法】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D 上单调,实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立,从而构建不等式,求出参数的取值范围,要注意“=”是否可以取到.(2)可导函数在区间D 上存在单调区间,实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集,即f ′(x )max >0(或f ′(x )min <0)在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若已知f (x )在区间D 上的单调性,区间端点含有参数时,可先求出f (x )的单调区间,令D 是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围. 热点四 函数单调性与函数图像【典例10】(2018·全国·高考真题(文))函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A .B .C .D .【答案】B 【解析】 【详解】分析:通过研究函数奇偶性以及单调性,确定函数图像.详解:20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数,舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>,所以舍去C ;因此选B.【典例11】(2023·全国·高三专题练习)函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示,则函数y=f (x )的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】D【分析】根据导函数的图象判断原函数的单调性,即可判断选项.【详解】原函数先减再增,再减再增,且0x =位于增区间内.符合条件的只有D. 故选:D【典例12】(2021·浙江·高考真题)已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=,则图象为如图的函数可能是( )A .1()()4y f x g x =+-B .1()()4y f x g x =--C .()()y f x g x =D .()()g x y f x =【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ,结合导数判断函数的单调性可判断C ,即可得解. 【详解】对于A ,()()21sin 4y f x g x x x =+-=+,该函数为非奇非偶函数,与函数图象不符,排除A ; 对于B ,()()21sin 4y f x g x x x =--=-,该函数为非奇非偶函数,与函数图象不符,排除B ; 对于C ,()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭,当4x π=时,221202164y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭,与图象不符,排除C. 故选:D. 【规律方法】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;②由函数的单调性,判断图象的变化趋势;③由函数的奇偶性,判断图象的对称性;④由函数的周期性,判断图象的循环往复. 热点五 函数单调性与比较大小、解不等式 【典例13】(2022·全国·高考真题(理))已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===,则( ) A .c b a >> B .b a c >>C .a b c >>D .a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >;构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞,利用导数可得b a >,即可得解. 【详解】 因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭ 所以11tan44>,即1cb >,所以c b >;设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞, ()sin 0f x x x '=-+>,所以()f x 在(0,)+∞单调递增,则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->, 所以b a >,所以c b a >>, 故选:A【典例14】(2022·全国·高考真题)设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-,,则( )A .a b c <<B .c b a <<C .c a b <<D .a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-, 导数判断其单调性,由此确定,,a b c 的大小. 【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-,因为1()111x f x x x'=-=-++, 当(1,0)x ∈-时,()0f x '>,当,()0x ∈+∞时()0f x '<,所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减,在(1,0)-上单调递增, 所以1()(0)09f f <=,所以101ln 099-<,故110ln ln 0.999>=-,即b c >,所以1()(0)010f f -<=,所以91ln +01010<,故1109e 10-<,所以11011e 109<,故a b <,设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<,则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-,2()e (21)x h x x x '=+-,当021x <<时,()0h x '<,函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减,211x <<时,()0h x '>,函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增, 又(0)0h =,所以当021x <<时,()0h x <,所以当021x <<时,()0g x '>,函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增, 所以(0.1)(0)0g g >=,即0.10.1e ln 0.9>-,所以a c > 故选:C.【典例15】(2022·重庆南开中学高三阶段练习)已知函数()()3log 912xf x x =+-+,则不等式()()21f x f x -<的解集为( ) A .()1,3 B .(),1-∞ C .[)1,+∞D .1,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据导数判断出函数的单调性,根据解析式可判断函数为偶函数,从而可求不等式的解.【详解】函数的定义域为R ,()()()9ln 92991119191ln 391x x x x x x f x ⋅-'=-=-=+++,当0x <时,0f x ;当0x >时,0f x ,故()f x 在(),0-∞上为减函数,在()0,+∞上为增函数. 又()()3391log 912log 29x xx f x x x -+-=+++=++()()3log 9122x x x f x =+-++=,故()f x 为R 上的偶函数,故()()21f x f x -<等价于()()21f x f x -<, 即21x x -<,两边平方得23410x x -+<,故1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选:D.'()f x 当0x >时,'()()0xf x f x -<,则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A .(,1)(0,1)-∞- B .(1,0)(1,)C .(,1)(1,0)-∞--D .(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】 【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -=',当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减,又()10f =,即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >, 又()f x 为奇函数,所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为:()(),10,1-∞-⋃. 故选A.【典例17】(2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试)已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数,其导函数为()f x ',当0x >时,有()()20f x x xf '+>,则不等式()()()220212021420x f x f +++-<的解集为( )A .()2019,+∞B .()2021,2019--C .(),2019-∞-D .()2019,0-【答案】C【分析】根据已知条件构造函数2()()g x x f x =,可得()g x 在(0,)+∞上为增函数,且()g x 为奇函数,然后将()()()220212021420x f x f +++-<可转化为(2021)(2)g x g +<,从而可求出不等式的解集.【详解】令2()()g x x f x =,则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+, 因为当0x >时,有()()20f x x xf '+>, 所以当0x >时,()0g x '>, 所以()g x 在(0,)+∞上为增函数,因为()f x 为奇函数,所以()()f x f x -=-, 所以22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-, 所以()g x 为R 上的奇函数, 所以()g x 在R 上为增函数,由()()()220212021420x f x f +++-<,得()()()22021202142x f x f ++<--, ()()()2220212021(2)2x f x f ++<---,所以(2021)(2)g x g +<--,因为()g x 为奇函数,所以(2021)(2)g x g +<, 所以20212x +<,得2019x <-,所以不等式的解集为(),2019-∞-, 故选:C【典例18】(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)设11166,2ln sin cos ,ln 5101055a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是___________. 【答案】.b a c <<【分析】利用导数研究函数()sin f x x x =-,()ln(1)g x x x =-+,6()ln(1)5h x x x =-+在(0,1)上的单调性,利用函数的单调性可比较,,a b c 的大小.【详解】由已知可得2111112ln sin cos ln sin cos ln(1sin )101010105b ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设()sin f x x x =-,(0,1)x ∈,则()1cos 0f x x '=->, 所以()sin f x x x =-在(0,1)上单调递增,所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭,即11sin 55>,所以11ln 1sin ln 155b ⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设()ln(1)g x x x =-+,(0,1)x ∈,则1()1011x g x x x '=-=>++, 所以()ln(1)g x x x =-+在(0,1)上单调递增,所以1(0)05g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭,即111ln 1ln 1sin 555⎛⎫⎛⎫>+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以a b >,设6()ln(1)5h x x x =-+,(0,1)x ∈,则651()1551x h x x x -'=-=++,当105x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,时,()0h x '<,当1,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h x '>,所以6()ln(1)5h x x x =-+在105⎛⎫⎪⎝⎭,上单调递减,在1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,所以1(0)05h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,即16166ln 1ln 55555⎛⎫<+= ⎪⎝⎭,所以a c <,所以.b a c << 故答案为:.b a c <<. 构造函数解不等式或比较大小一般地,在不等式中若同时含有f (x )与f ′(x ),常需要通过构造含f (x )与另一函数的和、差、积、商的新函数,再借助导数探索新函数的性质,进而求出结果. 常见构造的辅助函数形式有: (1)f (x )>g (x )→F (x )=f (x )-g (x );(2)xf ′(x )+f (x )→[xf (x )]′; (3)xf ′(x )-f (x )→()[]'f x x; (4)f ′(x )+f (x )→[e x f (x )]′;(5)f ′(x )-f (x )→()[]'x f x e′.(6)()()f x f x '<→()()x f x g x e = (7)()()xf x f x '<→()()f x g x x=(8)()()0xf x f x '+<→()()g x xf x =.【精选精练】一、单选题1.(2022·全国·高三专题练习)函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导,图像如图所示,记()y f x =的导函数为()y f x '=,则不等式()0f x '≥的解集为( )A .[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C .[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦D .3148,,2333⎛⎤⎡⎤--⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】C【分析】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间,结合图像理解判断. 【详解】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间 结合图像可得()y f x =单调递增区间为[]31,,1,223⎛⎤-- ⎥⎝⎦则()0f x '≥的解集为[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦故选:C .2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示,则下列判断正确的是( )A .在区间()1,1-上,()f x 是增函数B .在区间()3,2--上,()f x 是减函数C .2-为()f x 的极小值点D .2为()f x 的极大值点【答案】D【分析】利用函数与导函数的关系及其极值的定义即可求解. 【详解】由导函数()f x '的图像可知,在区间()1,0-上为单调递减,在区间()0,1上为单调递增,则选项A 不正确; 在区间()3,2--上,()0f x '>,则()f x 是增函数,则选项B 不正确;由图像可知()20f '-=,且()3,2--为单调递增区间,()2,0-为单调递减区间,则2-为()f x 的极大值点,则选项C 不正确;由图像可知()20f '=,且()1,2为单调递增区间,()2,3为单调递减区间,则2为()f x 的极大值点,则选项D 正确; 故选:D.3.(2023·全国·高三专题练习)函数()3221343f x x ax a x =---在()3,+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是( ) A .0a ≥ B .1a ≥ C .3a ≤-或1a ≥ D .31a -≤≤【答案】D【分析】结合函数单调性得到()22230f x x ax a -'=-≥在()3,+∞上恒成立,分0a =,0a >和0a <三种情况,数形结合列出不等式,求出实数a 的取值范围. 【详解】∵函数()3221343f x x ax a x =---在()3,+∞上是增函数,∴()22230f x x ax a -'=-≥在()3,+∞上恒成立, ∵()()()22233f x x ax a x a x a =--=-+',∴当0a =时,()20f x x '=≥恒成立,满足题意;当0a >时,()0f x '>在()(),3,a a ∞∞--⋃+上恒成立,()0f x '<在(),3a a -上恒成立,故只需33a ≤,解得:1a ≤,故可得:(]0,1a ∈ 当0a <时,()0f x '>在()(),3,a a ∞∞-⋃-+上恒成立,()0f x '<在()3,a a -上恒成立,故只需3a -≤,解得:3a ≥-,故可得:[)3,0a ∈- 综上可得:实数a 的取值范围是[]3,1-, 故选:D .4.(2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试(理))已知函数()12ln f x x x x=+-,则不等式()()211f x f x -<-的解集为( ) A .20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B .2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D .12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】利用导数说明函数的单调性,再根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式,解得即可.【详解】解:由题意可知,函数()12ln f x x x x=+-的定义域为()0,∞+. 因为()22211110f x x x x ⎛⎫'=--=--≤ ⎪⎝⎭恒成立,所以()f x 在()0,∞+上单调递减.则由()()211f x f x -<-可得21010211x x x x->⎧⎪->⎨⎪->-⎩,解得213x <<,即原不等式的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选:B.a A .ln ln ab a b -<-e e B .ln ln b a a b < C .e a b ba-> D .sin sin 1a ba b-<-【答案】D【分析】由题设有0a b >>,分别构造e ln x y x =-、ln xy x=、e x y x =、sin y x x =-,利用导数研究在,()0x ∈+∞上的单调性,进而判断各项的正误. 【详解】由221a b >>,即0a b >>,A :若e ln x y x =-且,()0x ∈+∞,则1e x y x'=-,故12|e 20x y ='=-<,1|e 10x y ='=->,即y '在1(,1)2上存在零点且y '在(0,)+∞上递增,所以y 在(0,)+∞上不单调,则e ln e ln a b a b -<-不一定成立,排除; B :若ln x y x =且,()0x ∈+∞,则21ln xy x -'=, 所以(0,e)上0y '>,y 递增;(e,)+∞上0y '<,y 递减; 故y 在(0,)+∞上不单调,则ln ln a ba b<不一定成立,排除; C :若e x y x =且,()0x ∈+∞,则e (1)0x y x '=+>,即y 在(0,)+∞上递增, 所以e e a b a b >,即e a b ba-<,排除; D :若sin y x x =-且,()0x ∈+∞,则1cos 0y x '=-≥,即y 在(0,)+∞上递增, 所以sin sin a a b b ->-,即sin sin 1a ba b-<-,正确.故选:D6.(2022·四川成都·高三期末(理))若函数()在区间()上单调递增,则实数k 的取值范围是( ) A .[)1,+∞ B .[)2,+∞ C .(]0,1 D .(]0,2【答案】B【分析】根据已知条件等价为()20f x k x =-≥'在()1,+∞上恒成立,即2k x≥在()1,+∞上恒成立,求解()()21g x x x=>的取值情况即可得出结果. 【详解】()2ln f x kx x =-由题意,已知条件等价为()20f x k x=-≥'在()1,+∞上恒成立, 即2k x≥在()1,+∞上恒成立, 令()()21g x x x=>, ()g x 在()1,+∞上单调递减,()2g x ∴<,2k ∴≥,k ∴的取值范围是[)2,+∞.故选:B.7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()3ln 3f x x x ax =--在()2,+∞上单调递增,则实数a 的取值范围为( )A .72a >-B .72a ≥-C .72a <D .72a ≤【答案】D【分析】由已知可得()210f x x a x '=--≥在()2,+∞恒成立,从而进行参变分离求最值即可.【详解】解:()210f x x a x'=--≥,因为函数()31ln 3f x x x ax =--在()2,+∞上单调递增,所以()210f x x a x '=--≥在()2,+∞恒成立,即21a x x≤-在()2,+∞恒成立,令()()212g x x x x =->,则()2120g x x x '=+>在()2,+∞恒成立, 故()g x 在()2,+∞单调递增,所以()()722g x g >=, 故a 的取值范围是72⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,,故选:D .8.(2023·全国·高三专题练习)已知R α∈,则函数()ex x f x =的图象不可能是( )A .B .C .D .【答案】C【分析】令12α=、2α=、1α=-,结合导数研究()f x 的单调性及值域判断可能的图象,即可得答案.【详解】当12α=时,()e x xf x =且0x ≥,则12()e x x f x x-'=,所以1(0,)2上 ()0f x '>,()f x 递增;1(,)2+∞上 ()0f x '<,()f x 递减,且(0)0f =,所以A 图象可能;当2α=时,2()0ex x f x =≥且R x ∈,则(2)()e x x x f x '-=,所以(,0)-∞上()0f x '<,()f x 递减,(0,2)上 ()0f x '>,()f x 递增,(2,)+∞上 ()0f x '<,()f x 递减,所以B 图象可能; 当1α=-时,1()e x f x x =且0x ≠,则21()e xxf x x +'=-,所以(,1)-∞-上()0f x '>,()f x 递增,(1,0)-上 ()0f x '<,()f x 递减,(0,)+∞上 ()0f x '>,()f x 递增,又0x <时()0f x <,而0x >时()0f x >, 所以D 图象可能; 综上,排除A 、B 、D. 故选:C3232b b =,03c <<且33c c =,则( )A .a b c <<B .c b a <<C .b a c <<D .a c b <<【答案】A【分析】构造函数()ln xf x x=,求导,根据函数的单调性比大小即可. 【详解】由88a a =,两边同时以e 为底取对数得ln ln 88a a =, 同理可得ln ln 3232b b =,ln ln33c c =, 设()ln xf x x=,0x >,则()()8f a f =,()()32f b f =,()()3f c f =, ()21ln xf x x -'=,令()0f x '=,解得e x =,当()0,e x ∈时,()0f x '>,函数()f x 单调递增, 当()e,x ∈+∞时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 则(),,0,e a b c ∈,且()()()3832f f f >>, 所以()()()f c f a f b >>, 故c a b >>, 故选:A.10.(2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试)已知()f x '是函数()f x 的导数,且()()f x f x -=,当0x ≥时,()3f x x '>,则不等式3()(1)32f x f x x --<-的解集是( ) A .1(,0)2-B .1(,)2-∞-C .1(,)2+∞D .1(,)2-∞【答案】D【分析】构造函数23()()2g x f x x =-,根据导数判断单调性,再利用奇偶性求出解集.【详解】设23()()2g x f x x =-,则()()3g x f x x '='-,因为当0x ≥时,()3f x x '>,所以当0x ≥时,()0g x '>, 即()g x 在[0,)+∞上单调递增,因为()()f x f x -=,所以()f x 为偶函数,则()g x 也是偶函数,所以()g x 在(,0]-∞上单调递减. 因为3()(1)32f x f x x --<-,所以2233()(1)(1)22f x x f x x -<---, 即()(1)g x g x <-, 则1x x <-,解得12x <, 故选:D.b a b =下列正确的是( ) A .1ab >B .1(1)b a a b +<+C .11a b a b a a b b ++->-D .52+>a b 【答案】B【分析】利用指对数互化及对数的运算性质可得1b a =,进而可得1121a b b<=<<+,然后构造函数,利用函数的单调性即得. 【详解】由log b a a b =,可得1log log log b a b a b a==,所以log 1b a =,或log 1b a =-, ∴b a =(舍去),或1b a=,即1ab =,故A 错误; 又02b a b <<<,故120a a a<<<, ∴12a <<,对于函数()112y x x x=+<<, 则2221110x y x x-'=-=>,函数()112y x x x =+<<单调递增,∴1322,2a b a a ⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭,故D 错误; ∵02b a b <<<,112a b<=<, ∴1212a b b <<<+<, 令()()ln 12x g x x x=<<,则()21ln 0xg x x -'=>,∴函数()()ln 12xg x x x=<<单调递增, ∴()ln 1ln 1b a a b +<+,即()()1ln ln 1b a a b +<+, ∴()1ln ln 1ab a b +<+,即1(1)b a a b +<+,故B 正确; ∵011b a b <<<<+,∴函数,x x y a y b ==-单调递增,故函数x x y a b =-单调递增, ∴11a a b b a b a b ++-<-,即11a b a b a a b b ++-<-,故C 错误. 故选:B. 12.(2023·全国·高三专题练习)已知0a <,函数322()2f x x ax a x =+-+的单调递减区间是________ . 【答案】,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出函数导数,由()0f x '<即可求出单调递减区间. 【详解】22()32(3)()f x x ax a x a x a '=+-=-+,令()0f x '<,解得3ax a <<- , 所以()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为:,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.13.(2021·河南宋基信阳实验中学高三开学考试(文))若函数4y x x=+在()0,a 上为单调减函数,则实数a 的取值范围是_________. 【答案】(]0,2【分析】由题可得函数4y x x=+在区间(0,2]上是减函数,结合条件即得. 【详解】对于函数4y x x=+,0x >, ∴()()222222441x x x y x x x+--'=-==,0x >, 由0y '<,可得02x <<, 因为函数4y x x=+在()0,a 上为单调减函数, 所以02a <≤,即实数a 的取值范围是(]0,2. 故答案为:(]0,2.14.(2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试)函数()2x x f x =的单调递增区间为__________. 【答案】2(0,)ln 2【分析】先求得导函数,并令'0f x ,再判断导函数的符号,由此可得函数的单调递增区间.【详解】函数2()2x xf x =,则()()()2'22ln 2ln 222222x x xxx fx x x x -⋅-⋅⋅⋅==,令()0f x '=解得20,ln 2x x ==, 当(),0x ∈-∞时,()0f x '<,函数()f x 单调递减,当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,函数()f x 单调递增,当2,ln 2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 故答案为:2(0,)ln 2. 15.(2023·全国·高三专题练习)()3211232f x x x ax =-++,若()f x 在,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间,则a 的取值范围是_______【答案】1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】分析可知,2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭,使得()212a x x >-,求出函数()212y x x =-在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的值域,可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()3211232f x x x ax =-++,则()22f x x x a '=-++,有已知条件可得:2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭,使得()0f x '>,即()212a x x >-,当()221122122339y x x ⎡⎤⎛⎫=->-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,所以19a >-.故答案为:1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16.(2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知奇函数()的定义域为R ,当0x >讨,()()20f x f x '+>,且()20f =,则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时, ()g x 单调递增,得到当x >2时()0g x >,从而()0f x >;当02x <<时,()0g x <,从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ,则当0x >时,[]2()e 2()()0xg x f x f x ''=+>,所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0,所以()()42e 20g f ==,所以当x >2时()0g x >,从而()0f x >.当02x <<时,()0g x <,从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称,所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞. 故答案为: ()(2,02,)-⋃+∞. 三、解答题17.(2022·四川成都·高三期末(理))设函数()()321113f x x x a x =-++--,其中a ∈R .若函数()f x 的图象在0x =处的切线与x 轴平行. (1)求a 的值;(2)求函数()f x 的单调区间. 【答案】(1)1a =(2)单调递增区间为()0,2;单调递减区间为(),0∞-,()2,+∞【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可;(2)由(1)得()32113f x x x =-+-,再求导分析函数的单调区间即可(1)()221f x x x a '=-++-.∵函数()f x 的图象在0x =处的切线与x 轴平行,∴()010f a =-=',解得1a =.此时()010f =-≠,满足题意.∴1a =. (2)由(1)得()32113f x x x =-+-,故()()222f x x x x x '=-+=--.令()0f x '=,解得0x =或2x =.当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:x(),0∞-0 ()0,22 ()2,+∞()f x ' - 0 +0 -()f x单调递减1- 单调递增13单调递减∴函数()的单调递增区间为();单调递减区间为(),().18.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()22ln x f x x a =-(a ∈R 且0a ≠).(1)2a =,求函数()f x 在()()22f ,处的切线方程. (2)讨论函数()f x 的单调性; 【答案】(1)2ln 2y x =- (2)答案见解析【分析】(1)求得函数的导数,根据导数的几何意义即可求得切线方程;(2)求出函数的导数,分类讨论a 的取值,判断导数的正负,从而确定函数的单调性. (1)当2a =时,()22ln 2x f x x =-,所以()22n2l 2f =-,()2f x x x'=-,所以()22212f '=-=,所以函数()f x 在()()22f ,处的切线方程为()22ln 22y x --=-,即2ln 2y x =-. (2)()f x 的定义域为(0)+∞,, 22()x f x a x'=-,当0a <时, ()0f x '<恒成立,所以()f x 在(0)+∞,上单调递减; 当0a > 时, ()()222()x f x x a x a a x ax'=-=+-,在()0,a 上,()0f x '<,所以()f x 单调递减;在(),a +∞上,()0f x '>,所以()f x 单调递增.。

高中数学课件-第8讲 对数函数

高中数学课件-第8讲 对数函数

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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
B 因为函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,a≠1)在R上是奇函数, 所以f(0)=0,所以k=2,经检验,k=2满足题意, 因为f(x)为减函数,所以0<a<1,则g(x)=loga|x+2|(0<a<1). 由g(-4-x)=loga|-4-x+2|=loga|x+2|=g(x),可知g(x)的图象关于 直线x=-2轴对称,排除选项C,D;又g(0)=loga|0+2|=loga2<0,可知 选项A错误, 所以g(x)的大致图象为B.故选B.
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
D 当 0<a<1 时,函数 y=ax 的图象过定点(0,1),在 R 上单调递减, 于是函数 y=a1x的图象过定点(0,1),在 R 上单调递增, 函数 y=loga(x+12)的图象过定点(12,0),在(-12,+∞)上单调递减, 因此,D 中的两个图象符合. 当 a>1 时,函数 y=ax 的图象过定点(0,1),在 R 上单调递增,
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
常用结论 1.对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),(1a,-
1). 2.如图给出 4 个对数函数的图象,
则 b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数 逐渐增大.
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
第8讲 对数函数
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考试要求
1.通过实例,了解对数函数的概念,能用描点法或借助计

成人高考数学知识点

成人高考数学知识点

成人高考数学知识点作为一项重要的国家教育考试,成人高考对考生来说是一个很有挑战性的考试。

而在成人高考数学科目中,掌握一些关键的知识点是非常重要的。

本文将聚焦于成人高考数学的一些关键知识点。

第一部分:代数与函数在成人高考数学中,代数与函数是一个非常重要的知识点。

其中包括多项式、指数与对数、三角函数等内容。

多项式是数学中的基本代数式,常见的有一元多项式和二元多项式。

指数与对数则是描述指数函数和对数函数的内容,它们在数学和实际生活中都扮演着重要的角色。

三角函数是描述角的函数,如正弦函数、余弦函数和正切函数等。

第二部分:几何与向量在成人高考数学的几何与向量部分,考生需要熟悉平面几何和空间几何的基本概念和性质。

平面几何包括平面的方程、直线与圆的性质等。

空间几何则是描述空间中图形和问题的几何学,包括空间几何中的向量、平面与直线的夹角等。

第三部分:数学分析数学分析是成人高考数学中的另一个重要部分。

它包括微积分和数列等内容。

微积分是数学中的重要分支,描述了变化的量和其它相关量之间的关系。

在成人高考数学中,常见的微积分概念有导数和定积分等。

数列是由一系列按照一定规律排列的数构成的,它在数学中有广泛的应用。

第四部分:概率与统计概率与统计是成人高考数学中的一项重要内容。

概率是描述随机事件发生的可能性的数学工具,而统计则是描述和分析数据的一种方法。

在成人高考数学中,考生需要了解概率的基本概念和性质,包括事件、样本空间和概率等。

统计则包括数据的收集、整理和分析等内容。

总结:通过对成人高考数学知识点的简要介绍,我们可以看到,成人高考数学是一个综合性较强的科目,考生需要全面掌握各个知识点。

为了取得好成绩,考生需要系统地学习各个知识点,并通过大量的练习来提高解题能力。

同时,要注重对数学知识的灵活应用,培养自己的数学思维能力和解决实际问题的能力。

只有这样,才能在成人高考数学中取得好成绩,实现自己的考试目标。

注意:本文为AI生成的文章,仅供参考,切勿直接使用。

专题06 函数的定义域、值域--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】

专题06  函数的定义域、值域--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】

【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一,是研究函数的基础,函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域(最值)也是高考中的一个重要考点,并且值域(最值)问题通常会渗透在各类题目之中,成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.提醒:两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=|x|,x ∈[0,2]与函数f(x)=|x|,x∈[-2,0].2.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.提醒:分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a>0且a≠1)f(x)>0a f(x)(a>0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2+k π,k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ,则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域;②若()()y f g x =的定义域为(),a b ,则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域.5.常见函数的值域:在处理常见函数的值域时,通常可以通过数形结合,利用函数图像将值域解出,熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.(1)一次函数(y kx b =+):一次函数为单调函数,图像为一条直线,所以可利用边界点来确定值域.(2)二次函数(2y ax bx c =++),给定区间.二次函数的图像为抛物线,通常可进行配方确定函数的对称轴,然后利用图像进行求解.(关键点:①抛物线开口方向,②顶点是否在区间内).(3)反比例函数:1y x=(1)图像关于原点中心对称(2)当,0x y →+∞→ ,当,0x y →-∞→. (4)对勾函数:()0ay x a x=+> ① 解析式特点:x 的系数为1;0a >注:因为此类函数的值域与a 相关,求a 的值时要先保证x 的系数为1,再去确定a 的值 例:42y x x =+,并不能直接确定4a =,而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再求得2a =② 极值点:,x a x a ==③ 极值点坐标:(,2,,2a a a a --④ 定义域:()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域:(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣(5)函数:()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点:x 的系数为1;0a > ② 函数的零点:x a =③ 值域:R(5)指数函数(xy a =):其函数图像分为1a >与01a <<两种情况,可根据图像求得值域,在自然定义域下的值域为()0,+∞(6)对数函数(log a y x =)其函数图像分为1a >与01a <<两种情况,可根据图像求得值域,在自然定义域下的值域为()0,+∞(7)三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 (1)换元法:① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦:此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围,再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===:此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式,然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++(2)均值不等式法:特别注意“一正、二定、三相等”.(3)判别式法:若原函数的定义域不是实数集时,应结合函数的定义域,将扩大的部分剔除.(4)分离常数法:一般地, ① ax by cx d+=+:换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+:换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++:同时除以分子:21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++:分离常数→③的模型(5)单调性性质法:利用函数的单调性(6)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 (7)数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】(广东·高考真题(文))函数f (x )=11x-+lg(1+x )的定义域是( ) A .(-∞,-1)B .(1,+∞)C .(-1,1)∪(1,+∞)D .(-∞,+∞) 【典例2】(山东·高考真题(文))函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A .[-2,0)∪(0,2]B .(-1,0)∪(0,2]C .[-2,2]D .(-1,2]【典例3】(2019·江苏·高考真题)函数276y x x =+-_____. 【典例4】(2022·北京·高考真题)函数1()1f x x x=-_________. 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域:若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的,则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.(2)复合函数的定义域:先由外层函数的定义域确定内层函数的值域,从而确定对应的内层函数自变量的取值范围,还需要确定内层函数的定义域,两者取交集即可. 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】(全国·高考真题(理))已知()f x 的定义域为(1,0)-,则函数(21)f x +的定义域为 ( ) A .(1,1)-B .1(1,)2--C .(1,0)-D .1(,1)2【典例6】(2023·全国·高三专题练习)已知函数()31f x +的定义域为[]1,7,求函数()f x 的定义域.【典例7】(2022·全国·高三专题练习)已知函数(1)y f x +=的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,,则函数2(log )y f x =的定义域为( )A .(0,)+∞B .(0,1)C .222⎤⎢⎥⎣⎦D .2⎡⎤⎣⎦,【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出. (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域. 热点三 求函数的值域(最值)【典例8】(江西·高考真题(理))若函数()y f x =的值域是1[,3]2,则函数1()()()F x f x f x =+的值域是( )A .1[,3]2B .10[2,]3 C .510[,]23D .10[3,]3【典例9】(2023·全国·高三专题练习)已知函数()y f x =的定义域是R ,值域为[]1,2,则下列四个函数①()21y f x =-;①()21y f x =-;①()12f x y -=;①()2log 11y f x =++,其中值域也为[]1,2的函数个数是( ) A .4B .3C .2D .1【典例10】(2023·全国·高三专题练习)已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ,最小值为N ,则M N +=( )A .1B .2C .3D .4【典例11】(2022·河南·郑州四中高三阶段练习(文))高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”:设x ∈R ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,也称取整函数,例如:[]1.32-=-,[]3.43=,已知()11313xf x =-+,则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______. 【典例12】(2023·全国·高三专题练习)函数()21f x x x =+-________;函数24y x x =-________.【典例13】(2023·河南·洛宁县第一高级中学一模(文))已知函数()211122f x x x =++. (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程; (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.热点四 求参数的值或取值范围【典例14】(2023·全国·高三专题练习)设a R ∈,函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩,若()f x 的最小值为()1f ,则实数a 的取值范围为( ) A .[]1,2B .[]1,3C .[]0,2D .[]2,3【典例15】(2022·全国·高三专题练习)已知函数()221f x ax x =++R ,则实数a 的取值范围是__.【典例16】(2016·北京·高考真题(理))设函数33,(){2,x x x a f x x x a -≤=->. ①若0a =,则()f x 的最大值为____________________; ②若()f x 无最大值,则实数a 的取值范围是_________________.【精选精练】1.(2023·全国·高三专题练习)若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩,{}2|N y y x -==,则( )A .M N ⋂=∅B .M N ⊆C .N M ⊆D .M =N2.(2022·全国·高三专题练习)下列函数中,其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是( ) A .y =xB .y =lg xC .y =2xD .y x3.(2022·全国·高三专题练习)若函数()21f x ax ax =-+R ,则a 的范围是( ) A .()0,4 B .[)0,4 C .(]0,4D .[]0,44.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()f x 的定义域为[]0,1,值域为[]1,2,那么函数()2f x +的定义域和值域分别是( )A .[]0,1,[]1,2B .[]2,3,[]3,4C .[]2,1--,[]1,2D .[]1,2-,[]3,45.(2022·江西·高三阶段练习(文))函数()s 2π2inx f x x =+在[0,1]上的值域为( ) A .[1,2] B .[1,3] C .[2,3] D .[2,4]6.(2022·全国·高三专题练习)已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ,那么a 的取值范围是( ) A .(﹣∞,﹣1]B .(﹣1,12)C .[﹣1,12)D .(0,1)7.(2023·全国·高三专题练习)函数f (x 2sin 12x π- )A .54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B .154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C .54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D .154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )8.(2023·山西大同·高三阶段练习)函数6()e 1||1x mx f x x =+++的最大值为M ,最小值为N ,则M N +=( ) A .3B .4C .6D .与m 值有关9.(2022·江苏南京·高三开学考试)已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()g x 的最大值为( )A 2B 3C .32D .210.(2022·广东·石门高级中学高二阶段练习)函数()12cos f x x x x =+-的最小值为( ) A .1ππ B .22ππC .-1D .0二、多选题11.(2023·全国·高三专题练习)已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+,则下列结论中正确的是( )A .函数()f x 的定义域是[4,2]-B .函数(1)=-y f x 是偶函数C .函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D .函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 三、双空题12.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-,则b =_____,函数()f x 的值域为____.13.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()121xf x a =+-为奇函数,则实数a =__,函数f (x )在[1,3]上的值域为__. 四、填空题14.(2022·全国·高三专题练习)函数()02112y x x x =++-的定义域是________.15.(2022·上海闵行·二模)已知函数()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ,且对任意实数a ,都满足()()f a f a ≥-,则实数m =___________;16.(2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测)已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数,且当0x <时,()1af x x x=++.若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3,则实数a 的值为________.17.(2022·北京·清华附中模拟预测)已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,下列说法正确的是___________.①当0a ≥时,()f x 的值域为[0,)+∞; ②a ∀∈R ,()f x 有最小值;③R a ∃∈,()f x 在(0,)+∞上单调递增: ④若方程1f x有唯一解,则a 的取值范围是(,2)-∞-.18.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )()221mx m x m =--+-的值域是[0,+∞),则实数m 的取值范围是__.。

函数之一次函数问题

函数之一次函数问题

备考2020中考数学高频考点剖析专题1 函数之一次函数问题考点扫描☆聚焦中考一次函数,是每年中考的必考内容之一,考查的知识点包括函数图像和一次函数的图形、性质及其应用等几个方面,总体来看,难度系数低,以选择填空为主。

也有少量的解析题。

解析题主要以综合应用为主,往往和方程及反比例函数综合体现。

结合2018年全国各地中考的实例,我们从四方面进行一次函数问题的探讨:(1)函数图像问题;(2)一次函数图形与性质问题;(3)一次函数的应用.例3(2018年四川省南充市)直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是()A.y=2(x+2)B.y=2(x﹣2)C.y=2x﹣2 D.y=2x+2【考点】F9:一次函数图象与几何变换.【分析】据一次函数图象与几何变换得到直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2.【解答】解:直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2.故选:C.本题考查了一次函数图象与几何变换:一次函数y=kx(k≠0)的图象为直线,当直线平移时k不变,当向上平移m个单位,则平移后直线的解析式为y=kx+m.例4(2018•达州)如图,在物理课上,老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中,然后缓慢匀速向上提起,直至铁块完全露出水面一定高度,则下图能反映弹簧测力计的读数y(单位:N)与铁块被提起的高度x(单位:cm)之间的函数关系的大致图象是()A.B.C.D.【分析】根据题意,利用分类讨论的数学思想可以解答本题.【解答】解:由题意可知,铁块露出水面以前,F拉+F浮=G,浮力不变,故此过程中弹簧的度数不变,当铁块慢慢露出水面开始,浮力减小,则拉力增加,当铁块完全露出水面后,拉力等于重力,故选:D.例6 (2018年江苏省南京市)小明从家出发,沿一条直道跑步,经过一段时间原路返回,刚好在第16min回到家中.设小明出发第t min时的速度为vm/min,离家的距离为s m,v与t之间的函数关系如图所示(图中的空心圈表示不包含这一点).(1)小明出发第2min时离家的距离为m;(2)当2<t≤5时,求s与t之间的函数表达式;(3)画出s与t之间的函数图象.【分析】(1)根据路程=速度×时间求出小明出发第2min时离家的距离即可;(2)当2<t≤5时,离家的距离s=前面2min走的路程加上后面(t﹣2)min走过的路程列式即可;(3)分类讨论:0≤t≤2、2<t≤5、5<t≤6.25和6.25<t≤16四种情况,画出各自的图形即可求解.【解答】解:(1)100×2=200(m).故小明出发第2min时离家的距离为200m;(2)当2<t≤5时,s=100×2+160(t﹣2)=160t﹣120.故s与t之间的函数表达式为160t﹣120;(3)s与t之间的函数关系式为,如图所示:故答案为:200.【点评】本题考查了一次函数的应用,主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系,读懂题目信息,从图中准确获取信息是解题的关键.考点过关☆专项突破类型一 函数图像1. (2018•湖北黄冈•3分)函数y=11-+x x 中自变量x 的取值范围是( ) A .x ≥-1且x ≠1 B.x ≥-1 C. x ≠1 D. -1≤x <12. (2018·四川自贡·4分)已知圆锥的侧面积是8πcm 2,若圆锥底面半径为R (cm ),母线长为l (cm ),则R 关于l 的函数图象大致是( )A .B .C .D .3. (2018•通辽)小刚从家去学校,先匀速步行到车站,等了几分钟后坐上了公交车,公交车匀速行驶一段时后到达学校,小刚从家到学校行驶路程s (单位:m )与时间r (单位:min )之间函数关系的大致图象是( )A .B .C .D .4. (2018年四川省内江市)如图,在物理课上,小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中,然后匀速向上提起,直至铁块完全露出水面一定高度,则如图能反映弹簧秤的读数y (单位:N )与铁块被提起的高度x (单位:cm )之间的函数关系的大致图是( )A .B .C .D .5. (2018•随州)“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先,但它因为骄傲在途中睡觉,而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛,下列函数图象可以体现这一故事过程的是( )A .B .C.D.6. (2018•金华)某通讯公司就上宽带网推出A,B,C三种月收费方式.这三种收费方式每月所需的费用y(元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示,则下列判断错误的是()A.每月上网时间不足25h时,选择A方式最省钱B.每月上网费用为60元时,B方式可上网的时间比A方式多C.每月上网时间为35h时,选择B方式最省钱D.每月上网时间超过70h时,选择C方式最省钱类型二一次函数图像与性质1. (2018·台湾·分)已知坐标平面上,一次函数y=3x+a的图形通过点(0,﹣4),其中a为一数,求a的值为何?()A.﹣12 B.﹣4 C.4 D.122.(2018·广东深圳·3分)把函数y=x向上平移3个单位,下列在该平移后的直线上的点是( )A. B. C. D.4. (2018·湖南省常德·3分)若一次函数y=(k﹣2)x+1的函数值y随x的增大而增大,则()A.k<2 B.k>2 C.k>0 D.k<05. (2018·四川宜宾·3分)已知点A是直线y=x+1上一点,其横坐标为﹣,若点B与点A关于y轴对称,则点B的坐标为.6. (2018·湖北江汉·3分)如图,在平面直角坐标系中,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…都是等腰直角三角形,其直角顶点P1(3,3),P2,P3,…均在直线y=﹣x+4上.设△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…的面积分别为S1,S2,S3,…,依据图形所反映的规律,S2018=.7. (2018•甘肃白银,定西,武威•3分)如图,一次函数与的图象相交于点,则关于的不等式组的解集为__________.8 (2018•江苏扬州•3分)如图,在等腰Rt△ABO,∠A=90°,点B的坐标为(0,2),若直线l:y=mx+m(m≠0)把△ABO分成面积相等的两部分,则m的值为.类型三一次函数的综合应用1.(2018·江苏镇江·3分)甲、乙两地相距80km,一辆汽车上午9:00从甲地出发驶往乙地,匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h,并继续匀速行驶至乙地,汽车行驶的路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示,该车到达乙地的时间是当天上午()A.10:35 B.10:40 C.10:45 D.10:502.(2018·辽宁省阜新市)甲、乙两人分别从A,B两地相向而行,他们距B地的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示,那么乙的速度是km/h.3.(2018·重庆市B卷)(4.00分)一天早晨,小玲从家出发匀速步行到学校,小玲出发一段时间后,她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品,于是立即下楼骑自行车,沿小玲行进的路线,匀速去追小玲,妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后,立即沿原路线匀速返回家里,但由于路上行人渐多,妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半,小玲继续以原速度步行前往学校,妈妈与小玲之间的距离y(米)与小玲从家出发后步行的时间x(分)之间的关系如图所示(小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计).当妈妈刚回到家时,小玲离学校的距离为米.4. (2018·重庆(A)·4分),A B两地相距的路程为240千米,甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地,分别以一定的速度匀速行驶,甲车先出发40分钟后,乙车才出发。

专题12 函数的应用(核心素养练习)(解析版)

专题12 函数的应用(核心素养练习)(解析版)

专题十二 函数的应用 核心素养练习一、核心素养聚焦考点一 逻辑推理、数学运算-求函数的零点例题8.已知函数f (x )=ax -b (a ≠0)的零点为3,求函数g (x )=bx 2+ax 的零点.【解析】由已知得f (3)=0即3a -b =0,即b =3a .故g (x )=3ax 2+ax =ax (3x +1).令g (x )=0,即ax (3x +1)=0,解得x =0或x =-13. 所以函数g (x )的零点为0和-13. 考点二 直观想象-根据零点求参数范围例题9.若把本例条件换成“函数f (x )=|2x -2|-b 有两个零点”,求实数b 的取值范围。

【解析】由f (x )=|2x -2|-b =0,得|2x -2|=b在同一平面直角坐标系中分别画出y =|2x -2|与y =b 的图象,如图所示则当0<b <2时,两函数图象有两个交点,从而函数f (x )=|2x -2|-b 有两个零点。

考点三 数学建模、数据分析-函数应用例题10、某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为:P =⎩⎪⎨⎪⎧t +20(0<t <25),-t +100(25≤t ≤30).(t ∈N *) 设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q =40-t (0<t ≤30,t ∈N *),求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大是第几天?【解析】 设日销售金额为y (元),则y =PQ ,所以y =⎩⎪⎨⎪⎧-t 2+20t +800(0<t <25),t 2-140t +4 000(25≤t ≤30).(t ∈N *) ①当0<t <25且t ∈N *时,y =-(t -10)2+900,所以当t =10时,y max =900(元).②当25≤t ≤30且t ∈N *时,y =(t -70)2-900,所以当t =25时,y max =1 125(元).结合①②得y max =1 125(元).因此,这种商品日销售额的最大值为1 125元,且在第25天时日销售金额达到最大.二、学业质量测评一、选择题1.(2019·全国高一课时练习)函数f (x )=2x –1的零点为( )A .2B .12C .12-D .–2【答案】B【解析】根据题意,函数f (x )=2x –1,令f (x )=0,即2x –1=0,解可得x 12=,即函数f (x )=2x –1的零点为12,故选B . 2.(2019·全国高一课时练习)若方程()()21210x k x k +--+=的一个根在区间()2,3内,则实数k 的取值范围是A .()3,4B .()2,3C .()1,3D .()1,2【解析】设()()()2121f x x k x k =+--+,对于方程()()21210x k x k +--+=,判别式为()()()221412130k k k ∆=--⨯⨯-+=+≥⎡⎤⎣⎦,当3k =-时,函数()f x 的唯一零点为()22,3x =-∉,故要使方程()()21210x k x k +--+=的一个根在区间()2,3内,只需()()230f f ⋅<,即()()441050k k -⋅-<,解得12k <<,故选D ..3.(2019·全国高一课时练习)某同学用二分法求方程3380x x +-=在x ∈(1,2)内近似解的过程中,设()338x f x x =+-,且计算f (1)<0,f (2)>0,f (1.5)>0,则该同学在第二次应计算的函数值为A .f (0.5)B .f (1.125)C .f (1.25)D .f (1.75) 【答案】C【解析】∵f (1)<0,f (2)>0,f (1.5)>0,∴在区间(1,1.5)内函数f (x )=3x +3x –8存在一个零点,该同学在第二次应计算的函数值1 1.52+=1.25,故选C . 4.(2019·全国高一课时练习)某种图书,如果以每本2.5元的价格出售,可以售出8万本,若单价每提高0.1元,销售量将减少2000本,如果提价后的单价为x 元,下列各式中表示销售总收入不低于20万元的是( )A .() 80.2 2.520x x ⎡⎤--≥⎣⎦B .()800002000 2.520x x ⎡⎤--≥⎣⎦C .() 82 2.520x x ⎡⎤--≥⎣⎦D .() 8000020000 2.520x x ⎡⎤--≥⎣⎦【答案】C 【解析】提价后的价格为x 元,则提高了()2.5x -元,则销售减少了 2.520000.1x -⨯本,即减少了()2 2.5x -万本,实际售出()82 2.5x --万本,则总收入为()82 2.5x x ⎡⎤--⎣⎦,5.(2019·全国高一课时练习)已知二次函数()f x 的二次项系数为a ,且不等式()2f x x >-的解集为()1,3,若方程()60f x a +=,有两个相等的根,则实数a =( )A .-15B .1C .1或-15D .1-或-15【答案】A【解析】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3,即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3,则0a <. 由题意可知,1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根, 由韦达定理得2134b a +-=+=,133c a=⨯=,42b a ∴=--,3c a =, ()()2423f x ax a x a ∴=-++,由题意知,关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根,即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根, 则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=,0a <,解得15a =-,故选:A. 6.(2019·全国高一课时练习)已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,,,,()()g x f x x a =++.若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是A .[–1,0)B .[0,+∞)C .[–1,+∞)D .[1,+∞)【答案】C【解析】画出函数()f x 的图像,x y e =在y 轴右侧的去掉, 再画出直线y x =-,之后上下移动,可以发现当直线过点A 时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程()f x x a =--有两个解,也就是函数()g x 有两个零点,此时满足1a -≤,即1a ≥-,故选C.二、填空题7.(2018·全国高二课时练习(文))已知1x 是方程24x x +=的根,2x 是方程24x log x +=的根,则12x x +的值是______________.【答案】4【解析】∵24x x +=,∴24x x =-,∴1x 是2xy =与4y x =-交点的横坐标. 又∵24x log x +=,∴24log x x =-,∴2x 是2y log x =与4y x =-交点的横坐标.又2xy =与2y log x =互为反函数,其图象关于y x =对称, 由4y x y x=-⎧⎨=⎩得2x =,∴1222x x +=,∴124x x +=. 8.(2019·全国高一课时练习)已知二次函数数221y x ax =-+的图象与x 轴有两个交点,且只有一个交点在区间()2,2-上,则实数a 的取值范围是 __________. 【答案】55,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】由函数图象与x 轴只有一个交点在区间()2,2-上,所以当2x =-时和当2x =时函数值异号,得()()4414410a a ++-+<,即()()54540a a +-<,解得54a <-或54a >,所以答案为55,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 9.(2017·全国高一课时练习)用二分法求函数f(x)=3x -x -4的一个零点,其参考数据如下:据此数据,可得方程3x -x -4=0的一个近似解为________(精确到0.01)【答案】1.56【解析】因为函数f(x)=3x -x -4,令f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在(a ,b)内有实根,从而x≈1.56.故填1.56.10.(2019·全国高一课时练习)某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___. 【答案】200【解析】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000,当x≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.三、解答题11.(2019·全国高一课时练习)关于x 的方程22(1)220x x m --+=在x ∈[0,2]时有唯一解,求m取值范围.【答案】(4,112]∪} 【解析】令2x t =,则t ∈[1,4],∴方程2(1)20t m t --+=在[1,4]上有唯一解.(1)若2(1)80m ∆=--=,即1m =±若1m =+t =若1m =-t =(2)若2(1)80m ∆=-->,即1m <-1m >+若t =1是方程的解,由根与系数的关系可知t =2也是方程的解,与方程在[1,4]上有唯一解矛盾;若t =4是方程的解,由根与系数的关系可知t 12=也是方程的解,符合题意; 此时m –1=412+,∴m 112=. 若方程的解在(1,4)上,根据零点的存在性定理可知(4)(224)0m m --<,解得4<m 112<.综上,m 的取值范围是(4,112]∪}. 12.(2017·全国高一课时练习)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。

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else s=n-fun(n-1);
return s;
}
main()
{ printf("%ld\n", fun(3)); }
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
A) 地址传递 B) 单向值传递
C) 由实参传给形参,再由形参传回实参 D) 传递方式由用户指定
(16) 以下函数值的类型是
fun ( float x )
{ float y;
y= 3*x-4;
C)456,567,678 D)678,567,456
(3)有以下程序
#include "stdio.h"
main ()
{ int a=24,b=16,c;
c=abc(a,b);
printf('%d\n",c);
(1)以下叙述中不正确的是
A) 在不同的函数中可以使用相同名字的变量
B) 函数中的形式参数是局部变量
C) 在一个函数内定义的变量只在本函数范围内有效
D) 在一个函数内的复合语句中定义的变量在本函数范围内有效
(2)有以下程序
viod fun (int a,int b,int c)
}
int abc(int u,int v)
{ int w;
while(v)
{ w=u%v; u=v; v=w }
return u;
}
输出结果是
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9
{ int i;
for (i=1;i<x;i++) incre();
{ static int i=0;
int s=1;
s+=i; i++;
return s;
}
main()
{ int i,a=0;
for(i=0;i<5;i++) a+=f();
{ int i;
for(i=1;i<=5;i++, printf("%d\n",ff(i)));
}
(20)以下函数的功能是:求x的y次方,请填空。
double fun( double x, int y)
fun(int p)
{ int d=5;
d+=p++;
printf("%d",d);
}
main()
{int a=3;
fun(a);
d+=a++;
printf("%d\n",d);}
A)84 B)99 C)95 D)44
(6)下面函数用来求出两个整数之和,并通过形参传回两数相加之和值,请填空。
(4)以下程序的输出结果是___.
#include
int fun(int x,int y)
{ static int m=0,i=2;
i+=m+1;
m=i+x+y;
return m;
}
(19)以下程序输出的最后一个值是__________ 。
int ff(int n)
{ static int f=1;
f=f*n;
return f;
}
main()
printf("%d\n",a);
}
A) 20 B) 24 C) 25 D) 15
(22)若有以下程序
include <stdio.h>
void f(int n);
{ double s=0.0; long i;
for(i=1;i<=n;i++)s=s+ ___________;
return(sqrt(6*s));
}
(15)在调用函数时,如果实参是简单变量,它与对应形参之间的数据传递方式是
else return(2);
}
main()
{ printf("%d\n",fib(3));
该程序的输出结果是
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8
int add(int x, int y, ---- z)
------
{ ---- =x+y; }
(7)有如下函数调用语句
func(rec1,rec2+rec3,(rec4,rec5));
该函数调用语句中,含有的实参个数是
A) 3 B) 4 C) 5 D) 有语法错
main()
{ int j=4,m=1,k;
k=fun(j,m); printf("%d,",k);
k=fun(j,m); printf("%d\n",k);
}
(5)以下程序运行后,输出结果是
int d=1;
(10)以下程序的输出结果是 。
void fun()
{ static int a=0;
a+=2; printf("%d",a);
}
main()
{ int cc;
for(cc=1;cc<4;cc++) fun();
B) 若在主函数前对函数f进行说明,则在主函数和其后的其它函数中都可以正确调用函数f
C) 对于以上程序,编译时系统会提示出错信息:提示对f函数重复说明
D) 函数f无返回值,所以可用void将其类型定义为无值型
(23)以下程序的输出的结果是
int x=3;
main()
}
A) 7 B) 7 C) 7 D) 7
8 9 10 7
9 11 13 7
main()
{ void f(int n);
f(5);
}
void f(int n)
{ printf("%d\n",n); }
则以下叙述中不正确的是
A) 若只在主函数中对函数f进行说明,则只能在主函数中正确调用函数f
printf("%d",a);
}
A) 0 B) 29 C) 31 D) 无定值
(13)以下程序的输出结果是
long fun( int n)
{ long s;
if(n= =1 || n= =2) s=2;
D) Sub play(a as integer,b as integer)
(12)以下程序的输出结果是
fun(int x, int y, int z)
{ z=x*x+y*y; }
main()
{ int a=31;
fun(5,2,a);
(8)有如下程序
int func(int a,int b)
{ return(a+b);}
main()
{ int x=2,y=5,z=8,r;
r=func(func(x,y),z);
printf("%\d\n",r);
{ int i;
double z;
for(i=1, z=x; i<y;i++) z=z* ___________;
return z;
}
(21)以下程序的输出结果是
int f()
printf("\n");
}
(11)以下所列的各函数首部中,正确的是
A) void play(var a:Integer,var b:Integer)
B) void play(int a,b)
C) void play(int a,int b)
}
该程序的输出的结果是
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15
(9)有如下程序
long fib(int n)
{ if(n>2) return(fib(n-1)+fib(n-2));
(18)以下程序的输出结果是
int a, b;
void fun()
{ a=100; b=200; }
main()
{ int a=5, b=7;
fun();
printf("%d%d \n", a,b);
}
A) 100200 B) 57 C) 200100 D) 75
return y;
}
A) int B) 不确定 C) void D) float
(17) 设有以下函数:
f ( int a)
{ int b=0;
static int c = 3;
b++; c++;
return(a+b+c);}
如果在下面的程序中调用该函数,则输出结果是
main()
{ int a = 2, i;
for(i=0;i<3;i++) printf("%d\n",f(a));
(14)函数pi的功能是根据以下近似公式求π值:
(π*π)/6=1+1/(2*2)+1/(3*3)+..+1/(n*n)
现在请你在下面的函数中填空,完成求π的功能。
#include "math.h"
double pi(long n)
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