函数的基本性质 知识点和典型例题

学生姓名： 年级： 班型：1对1 上课时间： （第 次课） 剩余课时： 上课内容：函数的基本性质

一、函数的单调性：

1、定义域为I 的函数f （x ）在区间D 上的增减性

（1）共同条件：12

,

,D I x x D ⊆⎧↓⎨∈⎩任意

（2）假设前提：12x x <。 （3）判断依据：

①若__________________，则f （x ）在区间D 上是增函数； ②若__________________，则f （x ）在区间D 上是增函数。 2、单调区间

如果函数y=f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，就说f （x ）在区间D 上具有（严格的）___________，区间D 叫做f （x ）的__________。 思考探究

1、把增（减）函数定义中的“任意两个自变量12,x x ”换成“存在两个自变量12,x x ”还能判断函数是增（减）函数吗？

2、把增（减）函数定义中的“某个区间D ”去掉，其余条件不变，能否判断函数的增减性？

3、所有的函数都具有单调性吗？ 自主测评

1、下列说法正确的是（ ）

A 、定义在(,)a b 上的函数f （x ），若存在12x x <时，有12()()f x f x <，那么f （x ）在(,)a b 上为增函数

B 、定义在(,)a b 上的函数f （x ），若有无穷多对12,(,)x x a b ∈使得12x x <时，有12()()f x f x <，那么f （x ）在(,)a b 上为增函数

C 、若f （x ）在区间I 1上为增函数，在区间I 2上也为增函数，那以f （x ）在I 1U I 2上也一定为增函数

在区间I 2上也为增函数，那以f （x ）在I 1U I 2上也一定为增函数

2、函数y=f （x ）的图象如较所示，其增区间是（ ） A 、[-4，4] B 、[-4，-3] U [1，4]

C 、[-3，1]

D 、[-3，4]

3、函数2

y x =-的单调区间是（ ） A 、[0，+∞） B 、（-∞，0]

C 、（-∞，0）

D 、（-∞，+∞）

4、函数y=|x|的增区间是_________，减区间是_________。 典例探究突破

类型一：依据函数图象给出单调区间

例1：求下列函数的单调区间并指出其在单调区间上是增函数还是减函数。

21

(1)32;(2);(3)23y x y y x x x

=-=-=-++

变式：把（3）变成“2

2||3y x x =-++”先画出图象，再指明其单调区间，并写出它的值域。

类型二：单调性的证明 例2：判断函数1

1

y x =-的单调性，并用定义加以证明。

变式训练：证明：函数1

()f x x x

=+在（0，1）上是减函数。

类型三：利用函数的单调性求参数的范围

例3：函数2

3y ax bx =++在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞）上是减函数，则（ ） A 、00b a ><且

B 、20b a =<

C 、20b a =>

D 、,a b 的符合不确定

变式训练：已知2

()26f x x mx =-+在（-∞，-1]上为减函数，则m 的范围为_________。

二、函数的最大值、最小值：

思考探究

1、在最大（小）值定义中若把条件“存在0x I ∈，使得f （x 0）=M ”去掉，M 还是函数y=f （x ）的最大（小）值吗？

2、函数的最值与值域、单调性之间有什么关系？

3、函数最大值或最小值的几何意义是什么？ 自主测评

1、在函数y=f （x ）的定义域中存在无数个实数满足f （x ）>M ，则（ ） A 、函数y=f （x ）的最小值为M B 、函数y=f （x ）的最大值为M C 、函数y=f （x ） 最小值

D 、不能确定M 是函数y=f （x ）的最小值

2、函数1(0)y ax a =+<在区间[0，2]上的最大值与最小值分别为（ ） A 、1，2a +1

B 、2a +1，1

C 、1+a ，1

D 、1，1+a

3、函数(),[1,2]y f x x =∈的图象如图所示，则该函数在[-1，2]上的最

大值为______，最小值为________。

4、函数2

21()y x x x R =++∈有最________值，为________，无最

________值。 典例探究突破

类型一：图象法求函数最值

例1：求函数|1||2|y x x =+--的最大值和最小值。

变式训练：求函数|1||1|y x x =+--的最值。

类型二：利用单调性求函数最值 例2：已在函数1().f x x x

=+

（1）证明：()f x 在(1,)+∞内是增函数； （2）求()f x 在[2，4]上的最值。

类型三：与最值有关的应用问题

例3：某厂准备投资100万生产A ，B 两种新产品，据测算，投资后的年收益，A 产品是总投入的1/5，B 产品则是总投入开平方后的2倍，问应该怎样分配投主数，使这两种产品的年总收益最大？

变式训练：某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每张减少10元，直至每张降为450为止，每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元，假设一个旅行团不能超过70人。 （1） 写出飞机票的价格关于人数的函数式；

（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？