【导学案】八年级数学(北师大版)下学期备课导学案：4.3公式法(2)

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北师大八年级下运用公式法二导学案

项城市第一初级中学项城市第一初级中学公式法因式分解班级学号姓名__________________________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆公式法因式分解18学习目标1、会用公式法进行因式分解。

2、了解因式分解的步骤。

学习重点会用公式法进行因式分解。

学习难点熟练应用公式法进行因式分解。

一、提出问题，创设情境探讨新知：()()a b a b +-=2()a b += 把这两个公式反过来，就得到：（1）（2）把它们当做公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。

例1、因式分解：2425x -222425(2)5(25)(25)x x x x -=-=+- 自主练习，小组交流：22169a b -==4481x y - 二、深入研究，合作创新例2、因式分解：2269x ax a ++2222269()23(3)(3)x ax a x x a a x a ++=+⨯⨯+=+ 自主练习，小组交流：222139m mn n ++==2244x y xy --+ 三、小组合作，应用新知因式分解：1、2220.25a b c -2、29()6()1a b b a -+-+项城市第一初级中学项城市第一初级中学公式法因式分解3、42222244a x a x y x y -+4、22()12()36x y x y z z +-++5、22(2)(2)x y x y +--课堂检测 1、判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）2 ( ) （2）x 2–y 2= (x –y )2 ( ) （3）x 2–2xy –y 2= (x –y )2 ( ) （4）–x 2–2xy –y 2=–（x+y ）2 ( )2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x 2–x +41（2）9a 2b 2–3ab +1（3）229341n mn m ++ （4）251056+-x x3、把下列各式因式分解：（1）m 2–12mn +36n 2 （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4（3）–2xy –x 2–y 2 （4）4–12（x –y ）+9（x –y )24．,2,212=-=-ab b a 已知求42332444b a b a b a -+-的值。

八年级数学下册 4.3 公式法导学案2(新版)北师大版

八年级数学下册 4.3 公式法导学案2（新版）北师大版（二）【学习目标】课标要求：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用完全平方公式进行因式分解；（3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式、目标达成：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对完全平方公式的运用能力、三、教学过程分析第一环节【课前展示】活动内容：填空：（1）（a+b）（a-b） = ；（2）（a+b）2= ；（3）（a–b）2= ；根据上面式子填空：（1）a2–b2= ；（2）a2–2ab+b2= ；（3）a2+2ab+b2= ；结论：形如a2+2ab+b2 与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式、注意事项：学生通过观察能找到第一组式子与第二组式子之间的对应关系、第二环节【创境激趣】活动内容：观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解、（1）x2–4y2 （2）x2+4xy–4y2 （3）4m2–6mn+9n2 （4）m2+6mn+9n2结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方式可以进行因式分解， a2–2ab+b2=（a–b）2 a2+2ab+b2=（a+b）2第三环节【自主探究，合作交流，展示汇报】。

活动内容：把下列各式因式分解：（1）x2–4x+4 （2）9a2+6ab+b2（3）m2–（4）第四环节【强化训练】活动内容：将下列各式因式分解：（1）3ax2+6axy+3ay2 （2）–x2–4y2+4xy1、判断正误：（1）x2+y2=（x+y）2 ( )（2）x2–y2= (x–y)2 ( )（3）x2–2xy–y2= (x–y)2 ( )（4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2 ( )2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x2–x+ （2）9a2b2–3ab+1 （3）（4）3、把下列各式因式分解：（1）m2–12mn+36n2 （2）16a4+24a2b2+9b4 （3）–2xy–x2–y2 （4）4–12（x–y）+9（x–y)2第五环节【总结归纳】活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法、注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式则先提取公因式；（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；（3）完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；课后练习：课本第60页习题2、5第 1、2、3题；思考题：习题2、5第4题（给学有余力的同学做）【板书设计】1、填空：2、观察下列哪些式子是完全平方式3、将下列各式因式分解4、把下列各式因式分解教学反思逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维、它是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个组成部分，也是进行思维训练的载体，培养学生逆向思维过程也是培养学生思维敏捷性的过程、数学概念、定义总是双向的，我们在平时的教学中，只秉承了从左到右的运用，于是形成了定性思维，对于逆用公式法则等很不习惯、因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展、整式乘法中的完全平方公式从左到右转换为从右到左就形成因式分解的完全平方公式，这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的能力的体现、。

八年级数学下册 4.3.2 公式法教案1 (新版)北师大版

课题 4.3公式法（2）教学目标：1.能够正确识别符合用公式法分解的多项式，会运用完全平方公式分解因式．2.经历探索运用完全平方公式因式分解的过程，体会逆向思维在数学中的应用，同时了解换元的思想方法．3.探索多项式因式分解的步骤与方法，体会化归思想的应用. 教学重难点：重点：用完全平方公式进行分解因式.难点：根据多项式的特点，恰当地安排步骤，灵活地选用不同方法进行因式分解. 课前准备：多媒体课件. 教学过程：一、温故知新，引入新课问题1：我们学习了哪些因式分解的方法？问题2：把下列各式分解因式：（1）ax 4-9ay 2；（2）x 4-16．问题3：整式乘法中，我们除了学过平方差公式外，还学过了哪个乘法公式？处理方式：学生独立思考、交流，问题1学生回答，问题2学生黑板板演，其余学生独立完成，师生共同纠错，并强调注意事项.问题3教师引导学生回答，为新课引入铺垫.预设学生回答.1.提取公因式法和运用平方差公式法．2.解:（1）ax 4-9ay 2=a (x 4-9y 2)=a (x 2+3y )(x 2-3y )（2）x 4-16=(x 2+4)(x 2-4)=(x 2+4)(x 2+2)(x 2-2)3.完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+.过渡：我们能够利用平方差公式分解因式，那么能不能用完全平方公式分解因式呢？本节课我们就一起探究这个问题.设计意图：复习以习题的形式回忆两种提公因式和平方差公式分解因式的方法，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫.二、合作探究，获取新知活动内容1：类比利用平方差公式因式分解，把乘法公式（a +b ）2=a 2+2ab +b 2，（a -b ）2=a 2-2ab +b 2反过来，就得到a 2+2ab +b 2=（a +b ）2，a 2-2ab +b 2=（a -b ）2．请结合a 2+2ab +b 2=（a +b ）2，a 2-2ab +b 2=（a -b ）2，完成以下探究问题．（1）完全平方公式特点：左边：．右边：．（2）形如a 2+2ab +b 2，a 2-2ab +b 2的式子我们称为．处理方式：类比利用平方差公式分解因式，让学生以小组讨论、合作交流的方式探讨完全平方公式的特点，及什么是完全平方式，小组展示结论，教师依据学生回答中出现的问题点评并强调公式a 2+2ab +b 2=（a +b ）2与a 2-2ab +b 2=（a -b ）2，叫做因式分解的完全平方公式；a 2+2ab +b 2，a 2-2ab +b 2叫做完全平方式.预设学生回答.1.完全平方公式特点：左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的完全平方.这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可.右边是这两个数（或两个式子）的和（或者差）的平方. 2. 形如a 2+2ab +b 2，a 2-2ab +b 2的式子称为完全平方式．设计意图：通过小组合作学习，让学生在已有知识的基础上，加深对完全平方公式的理解，对完全平方式特征的认识，进一步感受因式分解与整式乘法的关系.巩固训练1：1.下列各式是不是完全平方式？若不是，请说明理由．()2144a a -+；()22244x x y ++；()2134x x -+；()224a ab b -+. 2.已知2249x kxy y ++是一个完全平方式，则k 是多少？处理方式：学生独立做题，然后小组交流，教师选代表回答并及时矫正.对于第二题可适当提醒学生考虑完全平方式的两种形式.预设学生回答.1．（1）是.（2）不是；因为4x 不是x 与2y 乘积的2倍；（3）是；（4）不是；因为ab 不是a 与b 乘积的2倍．2． k 是±12，因为kxy 是完全平方式中的乘积的2倍对应的项，而完全平方式有两种形式，符号可正可负.所以它对应的答案有两个.设计意图：通过题目练习一方面加深学生对完全平方式特征的理解，并能顺利的辨别哪些是完全平方式，为利用完全平方式分解因式打下基础.另一方面教师可以更好的了解学生的掌握情况，以便及时的调整教学.活动内容2：通过对a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2和a2-b2=(a+b)(a-b)的学习，结合整式乘法，你能说说什么是因式分解的公式法吗？处理方式：学生小组讨论后尝试归纳，教师总结点评，明确运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解.预设学生回答.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.设计意图：通过小组合作学习，让学生在理解的基础上，加深对公式法进行因式分解的认识，正确把握各公式的特征，并根据多项式的形式和特点灵活选择用公式进行因式分解.巩固训练2：下列各式：①-x2-16y2 ②-a+9b2 ③m2-4n2 ④-x4+y4 ⑤x2+y2+2xy ⑥- a2-2ab+b2 ⑦m2-4mn+4n2 ⑧4a2-2a+1其中，能用公式法因式分解的个数是（）．A．5 B．4 C．3 D．2处理方式：学生独立完成后，小组展示答案，教师点评.三、学以致用，解决问题例3 把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49；（2）（m＋n）2－6(m＋n)＋9.处理方式：让学生观察例题两式的特点，引导学生对照完全平方公式，明确公式中的a、b在x2+14x+49与（m+n）2-6(m+n)+9中分别是什么（a、b可以是单相式，也可以是多项式），并尝试用语言表述加以理解，如x2+2×7×x+72是x与7两数的平方和，加上这两数积的2倍．小组讨论后由学生分别口述解题过程，教师借助多媒体展示解题过程，让学生进一步理解并规范如何使用完全平方公式进行因式分解．解：（1）x2+14x+49= x2+ 2×x×7+ 72= (x + 7)2．↓↓↓↓↓↓↓a2+2×a×b+ b2=(a + b)2（2）（m＋n）2－6(m＋n)＋9=(m＋n)2－2·(m＋n)×3＋32=[(m＋n)－3]2巩固训练3：把下列各式分解因式：（1）x2y2-2xy+1；（2）4-12(x-y)+9(x-y)2．处理方式：选2名学生板演，其他同学在练习本上完成，教师巡视指导.学生完成后，同位交换练习，教师点评矫正.预设学生回答.解：（1）x2y2-2xy+1=(xy)2-2xy+1=(xy-1)2；（2）4-12(x-y)+9(x-y)2=22-2×2×3(x-y)+[3(x-y)］2=[2-3(x-y)］2=(2-3x+3y)2.设计意图：培养学生对完全平方公式分解因式的应用能力，让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．例4 把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2；（2）-x2-4y2+4xy．处理方式：让学生观察题目特点，展开小组讨论，教师引导学生体会在因式分解中，多项式有公因式要先提公因式，再进一步因式分解；当首项是二次项且系数为负数时，一般应先提出“－”号或整个负数.学生口述解题过程，师及时点评并多媒体展示解题过程.解：（1）3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；（2）-x2-4y2+4xy=-(x2+4y2-4xy)=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2．巩固训练4：把下列各式分解因式：（1）-2xy-x2-y2；（2）2mx2-4mx+2m．处理方式：找两名学生板演，其他同学在练习本上完成，教师巡视学生并辅导，做完后教师展示出答案.预设学生.解：（1）-2xy-x2-y2=-(x2+2xy+y2)（2）2mx2-4mx+2m=2m(x2-2x+1)=2m(x-1)2．设计意图：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．思考：通过你所学的因式分解的知识，想一想对于一个多项式，你如何对它进行因式分解呢？处理方式：引导学生展开小组讨论，学生代表展示，教师多媒体总结．因式分解的一般步骤：（1）如果多项式各项含有公因式，应先提公因式；（2）如果多项式各项不含有公因式，可以尝试用公式法因式分解；（3）如果上述方法都不能因式分解，可以尝试整理多项式，然后分解；（4）因式分解必须分解到每一个因式都不能分解为止.四、回顾反思，盘点收获通过本节课的学习，你都掌握了哪些知识？你还有什么困惑？请你先想一想，再说一说.处理方式：学生畅所欲言.我的收获．．．．．．我的困惑．．．．．．……设计意图：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．五、达标测试，深化提高A组：1．下列多项式中，能用完全平方式分解的是（）A．a2+2ax+4x2； B．a2-4ax2+4x2；C．-2x+1+4x2； D．x4+4+4x2.2．正方形的面积为a2+2a+1，则它的周长是（）A．a+1 B．a+4 C．4a+1 D．4a+43．若16x2-mx y+9y2是一个完全平方式，那么m的值是 .4．把下列各式因式分解：（1）a2b-2ab+b；（2）(x+y)2-12z(x+y)+36z2.B组：5．已知x，y是一个等腰三角形的两边长，且满足x2+y2-4x-6y+13=0，求这个等腰三角形的周长.参考答案：1.D 2.D 3.±24 4．b(a-1)2；（x+y-6z）25．7或8．设计意图：通过学生的反馈测试，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对利用完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便能及时地进行查缺补漏,由于学生的学习基础与能力有较大的差异，对不同层次的学生提出不同的要求，可使每个学生都能在原来的基础上获得较大的发展.六、布置作业，课堂延伸必做题：课本第103页习题4.5 第1、2题.选做题：课本第103页习题4.5 第3题.板书设计:。

2017年春季新版北师大版八年级数学下学期4.3、公式法导学案18

4.3公式法
章节
第四章因式分解3、公式法第二课时
环节
学生学习内容及要求
学情预设
学习
目标
学法
指导
\结合教材和预习学案，先独立思考，遇到困难小对子之间进行帮扶，完成学习任务。
定
向
自
学
一温故：1、把下列各式分解因式：
① ②
③ ④
2．请你写出完全平方公式．
这个公式倒过来可以写成:
= =
二知新．预习课本101至102页
（1）（2）
（3）（4）
检查Байду номын сангаас
讨论
交流研讨（小组合作、展示）
展示
反馈
完成自主探究的展示任务，分工要明确到每个组员，让所有组员都要有描述的机会。
注意版面设计与组内分工
中考链接
1.两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？
2. 求的值。
反思
总结
用完全平方公式分解因式与平方差公式不同之处
预习
第四章
复习题
观察与的不同点是什么？
发现：①第一个等式的左边表示相乘关系；
第二个等式的左边表示一个多项式。
②第一个等式表示把整式乘积形式转化成多项式形式；
第二个等式是把多项式形式转化成整式乘积的形式。
因此，前者是多项式的乘法运算，而后者是分解因式。
小组讨论：什么样的多项式可以运用完全平方公式分解？
学点训练：把下列各式分解因式：

2020年八年级数学下册 4.3 公式法导学案2(新版)北师大版(2).doc

知识回顾：
填空：（5）16x y z -9; （1）（x+5）（x–5） = 导学过程（2）（3x+y）（3x–y） = （3）（3m+2n）（3m–2n）= ；；． 2.试用简便方法计算：
2 2 2
（6）81 (a+ b) -4(a-b)
2
2
自主探究，发现问题：
教学反思：
导学过程
小组合作，解决问题：
完成 P99 例 1，例 2
导学用检测，组内互评：
完成教材 P102 的对应习题 1.分解多项式:
2020 年八年级数学下册 4.3 公式法导学案 2（新版）北师大版(2)
导学目标: （1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法重点会用平方差公式进行因式分解；难点理解平方差公式的本质.

北师大版八年级下册数学4.3《公式法(2)》教学设计

4.3.2 公式法（二）●教学目标（一）教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.（二）能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.（三）情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.●教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.●教学难点让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.●教学方法观察—发现—运用法●教具准备投影片两张第一张（记作§4.3.2 A）第二张（记作§4.3.2 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2而且还学习了完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.Ⅱ.新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？［生］可以.将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=（a+b）2;a2－2ab+b2=（a－b）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.投影（§4.3.2 A）项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.［生］（1）是.（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；（3）是；（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍.（5）不是，x2与－9的符号不统一.（6）是.2.例题讲解［例1］把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49;（2）（m+n）2－6（m +n）+9.［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2.［例2］把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）－x2－4y2+4xy.。

2019-2020学年八年级数学下册4.3公式法第2课时学案新版北师大版.doc

三、【尝试练习】
下列各式是完全平方式的有( )．
结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；
完全平方式可以进行因式分解，
a2–2ab+b2=（a–b）2a2+2ab+b2=（a+b）2
四、通过刚才的学习，你能尝试解决以下问题吗？
因式分解：
（1）x2+14x+ 49（2）(m+n)2–6(m+n)+ 9
能用完全平方公式进行因式分解。
难点
利用完全平方公式进行因式分解,学会数学的“互逆”、换元、整体的思想。
教学流程
学校年级组二备
教师课前备课
自主学习，尝试解决一、预习交流：1源自自学阅读：课本101—102页内容。
2、填空：
（1）（x-5）2=；
（2）（3x+y）2=；
（3）（3m+2n）2=。
问题1:它们的结果有什么共同特征？
2、（选做题）
用简便方法计算：
2019-2020学年八年级数学下册4.3公式法第2课时学案新版北师大版
课题：第四章分解因式第3节运用公式法（第2课时）
学习目标
1、理解完全平方公式的特点；
2、能较熟悉地运用完全平方公式分解因式；
3、经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，发展逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想。
重点
9a2b2-3ab+12,
2、因式分解x2-10x+25=( )( )
3、把下列各式因式分解：
学习小结,整理归纳
七、归纳提升：
从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？

2019-2020学年八年级数学下册 4.3 公式法导学案1(新版)北师大版.doc

2019-2020学年八年级数学下册 4.3 公式法导学案1（新版）北师大版【学习目标】课标要求：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．目标达成：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对平方差公式的运用能力．情感与态度：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．三、教学过程分析第一环节【课前展示】活动内容：填空：（1）（x+3）（x–3） = ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= ．平方差的公式的内容是什么？第二环节【创境激趣】活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）注意事项：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成．第三环节【自主探究，合作交流，展示汇报】。

活动内容：把下列各式因式分解：（1）25–16x 2 （2）9a 2–241b 注意事项:学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．第四环节【强化训练】活动内容：将下列各式因式分解：（1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x活动内容：1、判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）(x –y ) ( )（2）–x 2+y 2=–（x +y ）(x –y ) ( )（3）x 2–y 2=（x+y ）(x –y ) ( )（4）–x 2–y 2=–（x+y ）(x –y ) ( )2、把下列各式因式分解：（1）4–m 2 （2）9m 2–4n 2（3）a 2b 2－m 2 （4）(m －a )2－(n ＋b )2（5）–16x 4＋81y 4 （6）3x 3y –12xy3、如图，在一块边长为a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．第五环节【总结归纳】活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；课后练习：课本第56页习题2．4第1、2、3题【板书设计】创境激趣把下列各式因式分解：【教学反思】逆向思维是一种启发智力的方式，它有悖于人们通常的习惯，而正是这一特点，使得许多靠正向思维不能或是难于解决的问题迎刃而解．一些正向思维虽能解决的问题，在它的参与下，过程可以大大简化，效率可以成倍提高．正思与反思就象分析的一对翅膀，不可或缺．传统的课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神．因此，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．。

初中北师大版数学八年级下册4.3【教学设计】《公式法》

《公式法》教学设计公式法是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第四章第三节内容，本章主要是研究代数式的因式分解的方法和应用；本节要求使学生会用完全平方公式分解因式.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.。

所以本节的重点是能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。

【知识与能力目标】1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.【过程与方法目标】在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.【情感态度价值观目标】通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.【教学重点】让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.【教学难点】让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.教师准备课件、多媒体；学生准备；练习本；Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2而且还学习了完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.Ⅱ.新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？［生］可以.将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=（a+b）2;a2－2ab+b2=（a－b）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.。

北师大版八年级下学期数学教案：4.3运用公式法

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“完全平方公式和平方差公式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-难点解析：通过具体的图形变换或代数运算，帮助学生直观理解公式，并提供多种形式的练习题，以加深理Байду номын сангаас。
-平方差公式的应用范围识别：学生可能难以判断何时使用平方差公式，特别是在复合问题中。
-难点解析：通过对比不同类型的问题，明确平方差公式的适用场景，并通过例题展示如何识别和运用。
-公式法在解决实际问题中的运用：学生可能会在将实际问题抽象成数学模型时遇到困难。
3.培养学生的数学建模素养：通过运用公式法解决实际问题，培养学生建立数学模型、分析问题、解决问题的能力，增强数学在实际生活中的应用意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-完全平方公式的推导与应用：这是本节课的核心内容，要求学生掌握公式推导过程，并能够熟练运用公式进行因式分解。
-重点示例：推导出a² + 2ab + b² = (a + b)²，并通过练习题巩固应用。
-难点解析：设计贴近生活的实际问题，指导学生如何提取关键信息，建立数学模型，并运用公式法解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《运用公式法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将一个复杂的数学表达式简化的问题？”（如：计算一个长方形面积时，将长宽差值平方简化为平方差形式）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索公式法的奥秘。

北师大版八年级下册数学 4.3 公式法第2课时完全平方公式导学案

4.3 公式法第2课时完全平方公式学习目标：1.了解运用公式法分解因式的意义；2.会用完全平方公式进行因式分解；3.清楚优先提取公因式，然后考虑用公式本节重难点：1、用完全平方公式进行因式分解2、综合应用提公因式法和公式法分解因式中考考点：正向、逆向运用公式，特别是配方法是必考点。

预习作业：请同学们预习作业教材P57~P58的内容：1. 完全平方公式字母表示: .2、形如222a ab b ++或222a ab b -+的式子称为3. 结构特征：项数、次数、系数、符号填空：（1）（a+b ）（a-b ） = ；（2）（a +b ）2= ；（3）（a –b ）2= ；根据上面式子填空：（1）a 2–b 2= ；（2）a 2–2ab +b 2= ；（3）a 2+2ab +b 2= ；结论：形如a 2+2ab +b 2 与a 2–2ab +b 2的式子称为完全平方式．a 2–2ab+b 2=（a –b ）2 a 2+2ab+b 2=（a+b ）2完全平方公式特点：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方。

例1：把下列各式因式分解：（1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b2（3）m 2–9132+m （4）()()1682++++n m n m例2、将下列各式因式分解：（1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy注：优先提取公因式，然后考虑用公式例3：分解因式（1）（2）（3）（4）点拨：把分解因式时：1、如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数P 的符号相同2、如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数P 的符号相同3、对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数P变式练习：（1）（2）（3）借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法口诀：首尾拆，交叉乘，凑中间。

八年级数学下册 4.3.2 公式法导学案(新版)北师大版

八年级数学下册 4.3.2 公式法导学案(新版)北
师大版
4、3 公式法（2）
【学习目标】
1、会用公式法进行因式分解。

2、了解因式分解的步骤。

【学习重点】
会用公式法进行因式分解。

【学习难点】
熟练应用公式法进行因式分解。

【学习过程】
一、提出问题，创设情境探讨新知：
把这两个公式反过来，就得到：（1）（2）把它们当做公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。

二、深入研究，合作创新例1 因式分解：
例2
三、小组合作，应用新知
1、辨析运用（1）下列多项式能否平方差公式进行因式分解的是(1)4x2+9y2 (2)81x4-y4 (3)-16x2+y2 (4)-x2-y2
(5)a2+2ab+b2 归纳：可运用平方差公式进行因式分解的多项式特点是：①恰好两项②一项正，一项负③可化为的形式。

2、下列各多项式能否运用完全平方公式分解因式？(1)-
2xy+x2+y2 (2)-x2+4xy-4y2 (3)
a2+2ab+4b2 (4)a2+a+归纳：完全平方式的特征是：①三项②两平方项同号③另一项可化为的形式。

四、当堂检测(1)
(2)
(3)
(4)
(4)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
五、课堂小结：
这节课你的收获是？六、课后作业：
《练习册》A本P32-33七、教学反思：。

北师大版八年级数学下册(教案)4.3公式法

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了公式法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对公式法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“公式法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解公式法的基本概念。公式法是利用已知的数学公式进行因式分解的一种方法。它是解决多项式因式分解问题的重要工具，可以帮助我们简化计算过程。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，比如利用完全平方公式分解因式x²-4。这个案例展示了公式法在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-完全平方公式的重点在于理解(a±b)²展开后的结构，并能将其应用于简化计算和因式分解；
-平方差公式的重点在于识别a²-b²的形式，并能够运用(a+b)(a-b)的形式进行因式分解；
-立方和与立方差公式的重点在于掌握其展开后的多项式结构，以及在实际问题中的应用。
2.教学难点
-难点在于理解公式中的符号变化，如完全平方公式中的±号，立方和与立方差中的加号与减号；
-在进行因式分解时，学生可能会在面对多项式时难以确定先使用哪个公式，或是在应用公式后无法进一步简化表达式。

新北师大版八年级下册数学《公式法(2)》教案

4.3公式法（二）本节是因式分解的第3小节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生经历通过逆向运用整式乘法的完全平方公式得出因式分解的完全平方公式的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．一、学生知识状况分析学生的技能基础：学生对因式分解的概念、方法等有了必要的认识和理解，并在整式乘法的公式中，学生已经学习了完全平方公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础．学生活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识，本节课采用的活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．二、教学任务分析学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。

因此，本课时的教学目标是：知识与技能：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用完全平方公式进行因式分解；（3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．数学能力：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对完全平方公式的运用能力．情感与态度：通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系．三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：做一做——辨一辨——试一试——想一想——反馈练习——学生反思．第一环节做一做活动内容：填空：（1）（a+b ）（a-b ） = ；（2）（a +b ）2= ；（3）（a –b ）2= ；根据上面式子填空：（1）a 2–b 2= ；（2）a 2–2ab +b 2= ；（3）a 2+2ab +b 2= ；结论：形如a 2+2ab +b 2 与a 2–2ab +b 2的式子称为完全平方式．活动目的：学生通过观察，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力，第（1）组a 2–b 2是起提示作用．注意事项：学生通过观察能找到第一组式子与第二组式子之间的对应关系．第二环节辨一辨活动内容：观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．（1）x 2–4y 2 （2）x 2+4xy –4y 2 （3）4m 2–6mn +9n 2 （4）m 2+6mn +9n 2 结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方式可以进行因式分解，a 2–2ab +b 2=（a –b ）2 a 2+2ab +b 2=（a+b ）2活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，并由此得出因式分解的完全平方公式．注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．第三环节试一试活动内容：把下列各式因式分解：（1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b 2（3）m 2–9132+m （4）()()1682++++n m n m 活动目的：（1）培养学生对平方差公式的应用能力；（2）让学生理解在完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．第四环节想一想活动内容：将下列各式因式分解：（1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.第五环节反馈练习活动内容：1、判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）2 ( )（2）x 2–y 2= (x –y )2 ( )（3）x 2–2xy –y 2= (x –y )2 ( )（4）–x 2–2xy –y 2=–（x+y ）2 ( )2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x 2–x +41 （2）9a 2b 2–3ab +1 （3）229341n mn m ++ （4）251056+-x x 3、把下列各式因式分解：（1）m 2–12mn +36n 2 （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4（3）–2xy –x 2–y 2 （4）4–12（x –y ）+9（x –y )2活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．注意事项：当完全平方公式中的a与b表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．第六环节学生反思活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式则先提取公因式；（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；（3）完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；课后练习：课本第103页习题4.5第1、2、3题；思考题：习题4.5第4题（给学有余力的同学做）四、教学反思逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维．它是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个组成部分，也是进行思维训练的载体，培养学生逆向思维过程也是培养学生思维敏捷性的过程．数学概念、定义总是双向的，我们在平时的教学中，只秉承了从左到右的运用，于是形成了定性思维，对于逆用公式法则等很不习惯．因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展．整式乘法中的完全平方公式从左到右转换为从右到左就形成因式分解的完全平方公式，这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的能力的体现．。

八年级数学下册 4.3 公式法学案(新版)北师大版

八年级数学下册 4.3 公式法学案（新版）北师大版4、3公式法学习目标：（1）掌握能用完全平方公式来分解因式的多项式的特点;（2）熟练利用完全平方公式法进行因式分解、一知识链接：有一块长为51、2m的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图小路宽1、2m，问剩余绿地的面积是多少？51、22−251、21、2+1、22你能直接说出结果吗？二、目标落实目标一：探究完全平方公式的特点导读：1、计算下列各式:(1)(a+4)2=_______________(2)(a-4)2=____________(2x+1)2=__________⑷ (2x-1)2=____________下面请你根据上面的等式填空:⑴a2+8a +16=_________ ⑵a2-8a +16=__________ ⑶4x2+4x+1=__________⑷4x2-4x+1=_____归纳：＝(a＋b)2；＝(a－b)2小结：完全平方公式的特点：①项数必须是______项式；②其中有__项能写成平方式，且这两项符号____；③另一项是这两项乘积的___倍，其符号可以为___,也可以是____、口诀：___________________________________、、由此得出完全平方式定义：我们把形如a22ab+b2＝___________的式子叫做完全平方式。

练习：下列多项式中哪些是完全平方式：哪些不是？若是写成(a＋b)2的形式，并指出相应的a，b。

(1) a2+9b2 (2)x2-6x+9 (3)(x+y)2+4(x+y)+4 (4)9a2+6a+1(5)x2-x+1 (6)m2+3mn+9n2小结：公式中的a、b即可代表单个字母，数字、单项式还可表示多项式。

记录：2、目标二：会用完全平方公式分解因式导读：a2＋6a＋9＝a2＋2 ＋( )2＝( )2 a2－6a＋9＝a2－2 ＋( )2＝( )2把下列完全平方式分解因式：(1)x2+14x2+49；（2）9m2－6mn＋n2 (3)-1 （4）3ax2+6axy+3ay2 （5）16a4－8a2＋1 （6）（x2+ y2）2-4x2y2 记录：三、拓展提升:1、已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值;2、若x2+（m-2）x+4是完全平方式，则实数m的值是________、3、已知x2+4x+y2-2y+5=0,求x-y的值四、课堂小结1、知识归纳：2、感悟生成：五、当堂测试考考你，是不是最棒！（共40分）1、判断正误（每小题5分，共15分）（1）x2 + y2 =(x+y)2 ( )（2）x2–y2=(x–y)2 ( )（3）x2–2xyy2 = (x–y)2 ( )2、选择题（每小题5分，共5分）下列的多项式中，哪一项是完全平方式（）A、x3–10x+25B、9a2 b2 –3ab+1C、m2 +3mn+9n2D、x2–4x+43、把下列各式因式分解（每小题10分，共20分）（1）4a2+4ab+b2 （2）4x2–8xy+4y2。