2.6指数函数样表
指数函数、幂函数、对数函数增长比较
4 3 2 1 o 1 2 x y=log2 x
3.482 4.959 6.063 3.24 4.84 6.67
10.556 … 11.56 1.766 … …
0.848 1.138 1.379 1.585
3.结合函数的图像找出其交点坐标 结合函数的图像找出其交点坐标. 结合函数的图像找出其交点坐标 x 从图像看出 y=log2 6 的图像 8 … 0 1 2 3 4 5 x的图像 7 与另外两函数的图像没有交点， 与另外两函数的图像没有交点 256 … y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128， 且总在另外两函数图像的下方， 且总在另外两函数图像的下方， y=x2 2的图像与 y=2x 25 36 49 64 … y=x 0 1 4 9 16 的图像有两个 交点(2， 和 交点 ，4)和（4，16）. ， ） 4.根据图像 分别写出使不等式 根据图像,分别写出使不等式 根据图像 log2 x<2x<x2和 log2 x<x2<2x成立的自 变量x的取值范围 变量 的取值范围. 的取值范围 使不等式 log2 x<2x<x2 的x取值范围 取值范围 是(2，4); ， 使不等式 log2 x < x2< 2x的x取值范围 取值范围 是(0，2)∪(4,+∞); ， ∪ 5.由以上问题你能得出怎样的结论？ 由以上问题你能得出怎样的结论？ 由以上问题你能得出怎样的结论
250 200 150 100 50
o
50 100 150 200 250 300习了 （1）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异. ）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异 （2）幂函数、指数函数、对数函数的应用 ）幂函数、指数函数、对数函数的应用.
12553_高中数学《指数函数》ppt课件
拓展延伸：超越方程简介
超越方程的定义
包含超越函数的方程称为超越方 程，如三角函数、指数函数、对
数函数等。
2024/1/27
超越方程的解法
通常无法直接求解，需要借助数值 计算或图形方法近似求解。常见的 解法包括迭代法、牛顿法等。
超越方程的应用
在物理学、工程学、经济学等领域 有广泛应用，如求解振动问题、电 路问题等。
10
03 指数函数在生活 中的应用举例
2024/1/27
11
复利计算与投资策略分析
复利公式
A=P(1+r/n)^(nt)，其中A为终值， P为本金，r为年利率，n为每年计息 次数，t为时间（年）。通过该公式 可计算投资在固定时间内的复利收益 。
投资策略分析
利用指数函数模型，可以对不同投资 策略进行分析和比较。例如，定期定 额投资与一次性投资在相同时间内的 收益差异。
9
指数函数四则运算技巧
乘法运算技巧
当两个指数函数相乘时，如果它们的底数相同， 可以直接应用同底数幂的乘法法则；如果它们的 底数不同，可以先将其中一个函数转换为与另一 个函数相同的底数，再应用乘法法则。
幂的运算技巧
当指数函数进行幂的运算时，可以直接应用幂的 乘方法则。需要注意的是，如果函数的底数是负 数或分数，需要特别注意运算过程中的符号和取 值范围。
递减。
奇偶性
指数函数既不是奇函数 也不是偶函数。
5
周期性
指数函数没有周期性。
常见指数函数类型及其特点
自然指数函数
幂指数函数
对数指数函数
复合指数函数
底数为e（约等于2.71828） 的指数函数，记为y=e^x。 其图像上升速度最快，常用 于描述自然增长或衰减现象
【北师大版数学】步步高2012版大一轮复习课件：2.6_指数与指数函数
一个解． 一个解．
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探究提高
(1)指数函数图像经过定点的实质是利用了 指数函数图像 指数函数图
a0＝1 (a≠0)，故应令幂指数等于 0 求定点的坐标． 求定点的坐标． ≠ ， (2)将方程解的问题转化为两函数图像的交点问题， 将方程解的问题转化为两函数图像的交点问题， 体现 将方程解的问题转化为两函数图 了数形结合思想的应用． 了数形结合思想的应用．
a＝2 ＝ ，∴ b＝－ ＝－4 ＝－
，
∴ a＋b＝－ ＋ ＝－2. ＝－ 结合图形，构建方程组，用方程的思想求解． 点评 结合图形，构建方程组，用方程的思想求解．
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4．函数 f(x)＝3－x－1 的定义域、值域是 ． 的定义域、 ＝ A．定义域是 R，值域是 R ． ， B．定义域是 R，值域是 ，＋∞) ，＋∞ ． ，值域是(0，＋ ，＋∞ C．定义域是 R，值域是 －1，＋∞) ． ，值域是(－ ，＋ D．以上都不对 ．
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[难点正本 难点正本
疑点清源] 疑点清源
1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数 ．根式与分数指数幂的实质是相同的， 指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算， 指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而 可以简化计算过程． 可以简化计算过程．
老 师 都 说 好 !
2．指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的，因此解 ．指数函数的单调性是由 的大小决定的， 题时通常对底数 a 按：0<a<1 和 a>1 进行分类讨论． 进行分类讨论．
4 3
1 3
b 3 ÷ (1 − 2 ) × a . a
3
老 师 都 说 好 !
人教版高中数学课件：2.6指数函数
当a﹤0时 不一定有意义。 当a=1时 y=1x =1是常量。
因此为了避免上述的情况，并保证定义域 是全体实数，我 们规定a﹥ 0,且a≠1。
三、指数函数的图象和性质
1、画出指数函数Y=2x和Y=（1/2）x图象
x
y=
-3
0.13 8
-2
0.25 4
-1
0
1
2
2
4
3
8 0.13
2x
0.5 1 2 1
（2） 1.70.3 ， 0.93.1 。 解：由指数函数 的性质知
1.70.3 ﹥1.70 =1，
0.93.1 ﹤ 0.90 =1， 即1.70.3 ﹥1， 0.93.1 ﹤ 1， ∴ 1.70.3 ﹥0.93.1
五、作业 P78 1,2
y= （1/2）x
0.5 0.25
y= （1/2）x
y= 2x
问题2：两函数图象有什么共同点，又有什么不同特征？ 问题3：影响函数图象特征的主要因素是什么？
2、
定义 图象 (a>1)
指数函数的图象和性质
定义域 值域 奇偶性 单调性
y=ax (a>0,a ≠1)叫 做指 数函 数
y∈R+ 非奇非偶 a>增 x∈R 0<a<1,减
1.8
秦皇岛市职业技术学校 李天乐
一、观察实例------细胞的分裂过程
第一次 第二次 第三次
…
第x次
． ． ．
． ． ．
细胞个 数和分 裂次数 的函数 关系： Y=2x
2个
4个
8个
2x 个
二、指数函数定义
函数y= ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中x是 自变量。函数的定义域是R.
2.6指数学函数
§2.6指数与指数函数要点梳理1．根式(1)根式的概念：如果一个数的n次方等于a(n＞1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做其中n＞1且n∈N*.式子na叫做，这里n叫做，a叫做.(2)根式的性质：①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示．正负两个n次方根可以合写为(a＞0)．③( na)n＝. ④当n为奇数时，na n＝；当n为偶数时，na n＝|a|＝.⑤负数没有偶次方根．2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：(n∈N*)．②零指数幂：a0＝(a≠0)．③负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)．④正分数指数幂：＝(a>0，m、n∈N*，且n>1)．⑤负分数指数幂：＝＝(a>0，m、n∈N*，且n>1)．⑥0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝(a>0，r、s∈Q)；②(a r)s＝(a>0，r、s∈Q)；③(ab)r＝(a>0，b>0，r∈Q)．难点正本 疑点清源]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而 可以简化计算过程．2．指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0<a <1和a >1进行分类讨论2．(2009·江苏)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数 m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为______解析 ∵0<a ＝5－12<1，∴函数f (x )＝a x 在R 上是减函数．又∵f (m )>f (n )，∴m <n .3．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图象如图所示， 则a ＋b 的值是________．解析 ∵⎩⎨⎧ a 2＋b ＝0 a 0＋b ＝－3，∴⎩⎨⎧a ＝2b ＝－4，∴a ＋b ＝－2.4．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ， (3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则a ，b ， c ，d 与1的大小关系是 ( ) A ．a <b <1<c <d B ．b <a <1<d <c C ．1<a <b <c <d D ．a <b <1<d <c解析 方法一 当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近y 轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，且在第一象限内，底数越小，图象越靠近x 轴．故可知b <a <1<d <c ，选B.方法二 令x ＝1，由图象知c 1>d 1>a 1>b 1， ∴b <a <1<d <c ，故选B.5．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11解析 ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3，∴2a ＋2－a ＝3， f (2a )＝22a ＋2－2a ＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7.点评 本题体现了方程的思想，整体代换的思想，又体现了幂的有关运算法则的运用．题型分类 深度剖析题型一 指数式与根式的计算例1 (1)15＋2－(3－1)0－9－45； 思维启迪解 (1)原式＝5－2－1－(5－2)2＝(5－2)－1－(5－2)＝－1.(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]＝4ab 0＝4a .探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 变式训练1 计算下列各式：.)21(428)2()32()32(225.800)67(5.1)1(333233231343263431a ab bab a b a a ⨯-÷++--⨯+⨯+-⨯-解 (1)原式1102742)32()3(22)2(1)32(31621314141331=⨯+=-⨯+⨯+⨯=(2)令,,3131n b m a ==则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷⎝⎛⎭⎪⎫1－2n m ·m ＝m (m 3－8n 3)m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n ＝m 3(m －2n )(m 2＋2mn ＋4n 2)(m 2＋2mn ＋4n 2)(m －2n )＝m 3＝a .题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝a 2 010－x ＋2 010(a >0且a ≠1)恒过点 __________．(2)方程2x ＝2－x 的解的个数为________． 解析(1)∵a 0＝1，∴该函数的图象过点(2 010,2 011)．(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函 数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有 一个解．探究提高 (1)指数函数图象经过定点的实质是利用了a 0＝1 (a ≠0)，故应令幂指数等于0求定点的坐标． (2)将方程解的问题转化为两函数图象的交点问题，体现了数形结合思想的应用 题型三 指数函数的性质 例3 设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上 的最大值是14，求a 的值． 思维启迪解 令t ＝a x (a >0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2 (t >0)．①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a >0，所以a ＝13.探究提高 指数函数问题一般要与其它函数复合．本题利用换元法将原函数化为一元二次函数．结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解．由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解．变式训练3 要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1] 上y >0恒成立，求a 的取值范围．解 在x ∈(－∞，1]上，1＋2x ＋4x a >0恒成立等价于a >－1＋2x4x 恒成立．又－1＋2x 4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋122＋14. ∵x ∈(－∞，1]，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，∴当⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 取12时，－1＋2x 4x 的最大值为－34.∴a >－34. 思想与方法1．方程思想及转化思想在求参数中的应用试题：(14分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0 恒成立，求k 的取值范围．审题视角 (1)f (x )是定义在R 上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f (0)＝0，f (1)＝－f (－1)．(2)可考虑将t 2－2t,2t 2－k 直接代入解析式化简，转化成关于t 的一元二次不等式．也可考虑先判断f (x )的单调性，由单调性直接转化为关于t 的一元二次不等式．规范解答解 (1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.[4分]又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.[7分](2)方法一 由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得,0222221212121222222<+-+++-+-+-+--k t k t t t tt即.0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-kt t t tt k t[9分]整理得12232>--kt t ，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0.[12分] 上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.[14分]方法二 由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于 f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )． 因为f (x )是R 上的减函数， 由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . [12分] 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. [14分]批阅笔记 (1)根据f (x )的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意的是：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x 都成立．所以还要注意检验．(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价转化为：t 2－2t >－2t 2＋k 恒成立．这个转化考生易出错．其次，不等式t 2－2t >－2t 2＋k 恒成立，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，也可以这样做：k <3t 2－2t ，t ∈R ，只要k 比3t 2－2t 的最小值小即可，而3t 2－2t 的最小值为－13，所以k <－13.思想方法 感悟提高方法与技巧1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x 轴是函数图象的渐近线.当0<a <1时，x →+∞，y →0；当a >1时，x →-∞,y →0;当a >1时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增的速度越快；当0<a <1时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快.2．画指数函数y ＝a x 的图象，应抓住三个关键点：(1，a )、 (0,1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .3．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解．失误与防范1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究． 2．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．。
指数函数图象及性质
mn
⑶比较下列各数的大小：
10 , 0.42.5 ,
2 0.2
1 0.42.5 0
2 0.2
例3在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出
它们与指数函数y= 2x 的图象的关系，
⑴ y 2x1 与 y 2x2
⑵ y 2x1 与 y 2x2
解：⑴列出函数数据表,作出图像
x -3 -2 -1 0 1 2 3
( 1 0,且 1 1)
a
a
探究2:判断下列函数,那些是指数函数？
(1) y=4x
(2) y=x4
(3) y=-4x
(4) y=(-3)x
(5) y=xx
(6) y=3×4x
(7) y=3x+1
点评:函数解析式三大特征为①指数是自变量 x ;②底数是非1正常数;③系数为1.
随堂练习：
函数y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,求a的 值.
-0.5 0 0.6 1 1.7 1
0.5 1 2 3 … 1.4 2 4 8 …
0.71 0.5 0.25 0.13 …
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
x
… -3 -2 -1
y 2x … 0.13 0.25 0.5
y 1 x … 8
由3x≥30.5，可得x≥0.5，即x的取值范围为 [0.5，+∞）。
；
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
例2：解下列不等式
(1)(1)x2 8 32x 3
(2) ax22x ( 1 )x2 (a 0且a 1) a
例2:指出下列函数的单调区间，并判断增减性；
2.6 指数函数
2017年1月23日
陈耀辉
茂名市第五中学
3
函数 定义域 值域 单调性 性 质
y＝ax(a＞0，且a≠1) R (0，＋∞) _________ 递减 ______
递增 _____
y＝1 当x＝0时，______ 当 x ＜ 0 时， 函数 当x＜0时， _________ 0＜y＜1 ； y ＞ 1 值变 _______； 当 x ＞ 0 时， 化规律 当x＞0时， y＞1 ______ 0＜y＜1 ________
2017年1月23日 陈耀辉 茂名市第五中学 21
f(x)在(1，＋∞)上是减函数． 1 ∵x －2x＝(x－1) －1≥－1,0＜ ＜1， 3 1 1 2 －1 0＜3x －2x≤ ＝3. 3 ∴函数 f(x)的值域为(0,3]．
2 2
2017年1月23日
2017年1月23日 陈耀辉
B．3x 1 x D.3
茂名市第五中学 7
解析： ＝2x.
设 f(x)＝ax，则 g(x)＝ax 1，由 g(x)
－
图象过(2,2)点可知，a
答案： A
2－ 1
＝2，∴a＝2.∴f(x)
2017年1月23日
陈耀辉
茂名市第五中学
8
3． 设函数 f(x)＝a (a＞0， 且 a≠1)， f(2)＝4， 则( ) A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2) C．f(1)＞f(2) D．f(－2)＞f(2) 1 －2 解析： 由 a ＝4，a＞0，得 a＝ ， 2 1 －|x| |x| ∴f(x)＝ ＝ 2 . 2 － － 又∵|－2|＞|－1|，∴2| 2|＞2| 1|， 即 f(－2)＞f(－1)．
2017年1月23日 陈耀辉 茂名市第五中学 19
指数函数与对数函数(公式、定理、结论图表)高考数学必背知识手册
第四章指数函数与对数函数（公式、定理、结论图表）一．根式及相关概念(1)a 的n 次方根定义如果x n＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)a 的n 次方根的表示n 的奇偶性a 的n 次方根的表示符号a 的取值范围n 为奇数n aR n 为偶数±n a[0，＋∞)(3)根式式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．二．根式的性质(n >1，且n ∈N *)(1)n 为奇数时，n a n＝a .(2)n 为偶数时，n a n ＝|a |＝a ，a ≥0，－a ，a <0.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．思考：(na )n中实数a 的取值范围是任意实数吗？提示：不一定，当n 为大于1的奇数时，a ∈R ；当n 为大于1的偶数时，a ≥0.三．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)负分数指数幂规定：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义思考：在分数指数幂与根式的互化公式a m n ＝n a m中，为什么必须规定a >0?提示：①若a ＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即na m＝a mn ＝0，无研究价值．②若a <0，a m n ＝n a m 不一定成立，如(－2)32＝2(－2)3无意义，故为了避免上述情况规定了a >0.四．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )．(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )．(3)(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )．五．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．六．指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .七．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域R 值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y ＝ax与y ＝a －x的图象关于y轴对称思考1：指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？提示：指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a .当a >1时，图象具有上升趋势；当0<a <1时，图象具有下降趋势．思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？提示：指数函数值随自变量的变化规律．八．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a 的范围是a >0，且a ≠1.九．常用对数与自然对数十．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1)．(3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1)．思考：为什么零和负数没有对数？提示：由对数的定义：a x＝N (a >0且a ≠1)，则总有N >0，所以转化为对数式x ＝log a N 时，不存在N ≤0的情况．十一．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n＝n log a M (n ∈R )．思考：当M >0，N >0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？提示：不一定．十二．对数的换底公式若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c blog c a .十三．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．思考1：函数y ＝2log 3x ，y ＝log 3(2x )是对数函数吗？提示：不是，其不符合对数函数的形式．十四．对数函数的图象及性质a 的范围0<a <1a >1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？提示：底数a 与1的关系决定了对数函数的升降．当a >1时，对数函数的图象“上升”；当0<a <1时，对数函数的图象“下降”．十五．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．十六、三种函数模型的性质y＝a x(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度①y＝a x(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y ＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；②存在一个x，当x>x时，有a x>kx>logax十七．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．十八．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．十九．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．思考2：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.二十．二分法的定义对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．二十一．二分法求函数零点近似值的步骤(1)确定零点x的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f (c )，并进一步确定零点所在的区间：①若f (c )＝0(此时x 0＝c )，则c 就是函数的零点；②若f (a )f (c )＜0(此时x 0∈(a ，c ))，则令b ＝c ；③若f (c )f (b )＜0(此时x 0∈(c ，b ))，则令a ＝c .(4)判断是否达到精确度ε：若|a －b |＜ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复步骤(2)～(4)．二十二．常用函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)(2)二次函数模型y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)(3)指数函数模型y ＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)(4)对数函数模型y ＝m log a x ＋n (m ，a ，n 为常数，m ≠0，a >0且a ≠1)(5)幂函数模型y ＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)(6)分段函数模型y ＝ax ＋b (x <m )，cx ＋d (x ≥m )思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：<解题方法与技巧>1.带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.典例1：(1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________.(2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．[思路点拨](1)由x <0，先计算|x |及x 2，再化简．(2)结合－3<x <3，开方、化简，再求值．(1)－1[∵x <0，∴|x |＝－x ，x 2＝|x |＝－x ，∴x ＋|x |＋x 2x＝x －x －1＝－1.](2)[解]x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3<x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2.当1<x <3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.2.根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．典例2：将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a >0)；(2)13x (5x 2)2；(3)4b －23－23(b >0)．[解](1)原式＝a ·a 12＝a 32＝a 3212＝a 34.(2)原式＝13x ·(x 25)2＝13x ·x 45＝13x 95＝1x 9513＝1x 35＝x －35.(3)原式＝b －2314－23＝b －23×14×－23＝b 19.3.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.典例3：化简求值：4.解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.典例4：已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.[思路点拨]a 12＋a －12＝4――――→两边平方得a ＋a －1的值――――→两边平方得a 2＋a －2的值[解](1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14.(2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194.5．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)a x的系数必须为1.典例5：(1)下列函数中，是指数函数的个数是()①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x；④y ＝2·3x.A．1B．2C．3D．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且－32＝39，则f (－2)＝________.(1)D(2)19[(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a－2，所以f (－2)＝3－2＝19.]6.指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.典例6：(1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0(2)函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．(1)D(2)(3,4)[(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故选D.(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]7.比较幂的大小的方法(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.(4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.典例7：比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．[解](1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y ＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a>1时，y＝a x在R上是增函数，故a1.1>a0.3；当0<a<1时，y＝a x在R上是减函数，故a1.1<a0.3.8.利用指数函数的单调性解不等式（1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．（2）解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af (x )>ag (x )⇔f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.典例8：(1)解不等式123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围．[解](1)∵2＝12，∴原不等式可以转化为12x －112.∵y ＝12在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0，故原不等式的解集是{x |x ≥0}．(2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是减函数，∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在R 上是增函数，∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，根据相应二次函数的图象可得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.9.函数y ＝a f (x )(a >0，a ≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u，u ＝f (x )复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性.典例9：判断f (x 132－2x的单调性，并求其值域．[思路点拨]令u ＝x 2－2x ―→函数u (x )的单调性―→函数y ＝13u的单调性――→函数f (x )的单调性[解]令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝132－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝13，u ∈[－1，＋∞)，∴0<13u ≤13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．10.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.典例10：将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：(1)2－7＝1128；(2)log 1232＝－5；(3)lg 1000＝3；(4)ln x ＝2.[解](1)由2－7＝1128，可得log 21128＝－7.(2)由log 1232＝－5，可得12＝32.(3)由lg 1000＝3，可得103＝1000.(4)由ln x ＝2，可得e 2＝x .11.求对数式log a N (a >0，且a ≠1，N >0)的值的步骤(1)设log a N ＝m ；(2)将log a N ＝m 写成指数式a m ＝N ；(3)将N 写成以a 为底的指数幂N ＝a b，则m ＝b ，即log a N ＝b .典例11：求下列各式中的x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x;(4)－ln e 2＝x .[解](1)x ＝(64)－23＝(43)－23＝4－2＝116.(2)x 6＝8，所以x ＝(x 6)16＝816＝(23)16＝212＝ 2.(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2，所以x ＝－2.12.应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.典例12：已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b＝2，求c 的值．[思路点拨]3a＝5b＝c ――――→指对互化求1a ，1b――――→1a ＋1b＝2求c 的值[解]∵3a＝5b＝c ，∴a ＝log 3c ，b ＝log 5c ，∴1a ＝log c 3，1b ＝logc 5，∴1a ＋1b＝log c 15.由log c 15＝2得c 2＝15，即c ＝15.13.求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负.(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.典例13：求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)；(3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)．[解](1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．x ＋1>0，2－x >0，x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域x|12<x <2，且x ≠114.函数图象的变换规律(1)一般地，函数y ＝f (x ±a )＋b (a ，b 为实数)的图象是由函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左或向右平移|a |个单位长度，再沿y 轴向上或向下平移|b |个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y ＝f (|x －a |)的图象是关于直线x ＝a 对称的轴对称图形；函数y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象在f (x )≥0的部分相同，在f (x )<0的部分关于x 轴对称.典例14：(1)当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图象为()A B C D(2)已知f (x )＝log a |x |，满足f (－5)＝1，试画出函数f (x )的图象．[思路点拨](1)结合a >1时y ＝a －x ＝1a x及y ＝log a x 的图象求解．(2)由f (－5)＝1求得a ，然后借助函数的奇偶性作图．(1)C[∵a >1，∴0<1a <1，∴y ＝a －x是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选C.](2)[解]∵f (x )＝log a |x |，∴f (－5)＝log a 5＝1，即a ＝5，∴f (x )＝log5|x |，∴f (x )是偶函数，其图象如图所示．15.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同，找中间量.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.典例15:比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.[解](1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y ＝log 15x 的图象，由图易知：log 132<log 152.(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54.16.常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解；(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解.典例16：已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (6－2x )(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域；(2)试确定不等式f (x )≤g (x )中x 的取值范围．[思路点拨](1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x 的取值集合．(2)分a ＞1和0＜a ＜1求解不等式得答案．[解]x －1>0，6－2x >0，解得1＜x ＜3，∴函数φ(x )的定义域为{x |1＜x ＜3}．(2)不等式f (x )≤g (x )，即为log a (x －1)≤log a (6－2x )，①当a ＞11<x <3，x －1≤6－2x ，解得1<x ≤73；②当0＜a ＜11<x <3，x －1≥6－2x ，解得73≤x <3.综上可得，当a ＞1时，不等式的解集为1，73；当0＜a ＜1时，不等式的解集为73，317.常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b (k >0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型y ＝a x(a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.典例17：(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y ＝2019x B．y ＝2019C．y ＝log 2019xD．y ＝2019x(2)下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x 12与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是()A．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越慢B．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越快C．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度不变D．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越快(1)A(2)C[(1)指数函数y ＝a x，在a >1时呈爆炸式增长，并且随a 值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f (x )＝log 12x ，g (x 12与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象递减速度不变．]18.由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.典例18：函数f (x )＝2x和g (x )＝2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f 3232f (2019)与g (2019)的大小．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，∴f 32＜g32当x＞2时，f(x)＞g(x)，∴f(2019)＞g(2019)．19.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.典例19：(1)求函数f(x x2＋2x－3，x≤0，－2＋ln x，x>0的零点；(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．[解](1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.所以函数f(x x2＋2x－3，x≤0－2＋ln x，x>0的零点为－3和e2.(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－1 3 .所以函数g(x)的零点为0和－1 3 .20.判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.典例20：(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的大致区间是()A．(3,4)B．(2，e)C．(1,2)D．(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程e x－x－3＝0的一个根所在区间是()x－10123e x0.371 2.727.3920.08 x＋323456 A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)(1)C(2)C[(1)因为f(1)＝ln2－21<0，f(2)＝ln3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.(2)构造函数f(x)＝e x－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，f(0)＝1－3＝－2<0，f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，f(2)＝7.39－5＝2.39>0，f(3)＝20.08－6＝14.08>0，f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]21.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.典例21：已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3D[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]22.函数拟合与预测的一般步骤：(1)根据原始数据、表格，绘出散点图.(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.典例22:某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x 1234f (x )4.005.587.008.44(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2019年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？[思路点拨]描点――→依散点图选模――→待定系数法求模――→误差验模→用模[解](1)画出散点图，如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，a ＝1.5，b ＝2.5，∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．。
《2.6指数与指数函数》 学案
1
6 / 19
【答案】 (1)110
4 (2)a a
1 1
(3)a
1 1
【解析】 (1)原式＝
a 3b 2 · a 2b3 a b
1 6 5 6
＝＝ a
1 1 1 3 2 6
· b2
1 1 5 3 6
1 ＝ . a
5 1 － 2 － 1 2 (2)原式＝－ a 6 b 3÷ b 3 4 a 3 · 2
16 / 19
【拔高】 6．已知定义域为 R 的函数 f(x)＝ (1)求 a，b 的值； (2)若对任意的 t∈ R，不等式 f(t2－2t) ＋f(2t2－k)<0 恒成立，求 k 的取值范围． －2x＋b 是奇函数． ＋ 2x 1＋a
17 / 19
7．若函数 y＝ lg(3－4x＋x2) 的定义域为 M.当 x∈ M 时，求 f(x)＝2x 2－ 3× 4x 的最值及相应的 x 的值．
＋
18 / 19
课程小结
19 / 19
3 5 1 － 1 ＝－ a 6 · b 3÷ a 3 b 2 4
5 1 3 ＝－ a 2 · b 2. 4 5 1 5 ab ＝－ · 3 ＝－ . 4 ab 4ab2
7 / 19
【例题 2】 【题干】
函数 y＝ax－a(a>0，且 a≠1)的图象可能是(
)
8 / 19
【答案】 【解析】
第六节
适用学科 适用区域 数学 新课标
指数与指数函数
适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
知 识 点
学习目标
1. 根式与指数幂 2. 指数幂的运算法则 3. 指数函数的概念 4. 指数函数的图象与性质 5. 与指数函数有关的复合函数问题的处理方法 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型 . 指数函数概念、指数函数的图像与性质 指数函数概念、指数函数的图像与性质
指数函数
指数函数及其性质一、学习目标：⒈能够理解指数函数的概念，并能正确作出其图象；⒉能够掌握指数函数的图象和性质，并能解决一些简单问题. 二、重点与难点：重点：指数函数的图象和性质；难点：底数a 对于函数值变化的影响. 三、知识链接：分数实数幂的运算性质有哪些？ 四、预习新课：1、看书54页的内容，你能说出什么叫做指数函数吗？2、指出下列函数哪个是指数函数：xxxy y y xy 4)43)33)2)123-====3、你能用列表、描点、连线的方法做出函数xxy y )21(,2==的图像吗？试试看。
x xy y )31(,3==呢？4、你能猜想出下列函数的图像的大概形状吗？xxxxy y y y )71()41.2)33.0)25)1====5、你会填下面的表格吗？a>10<a<1图 象性 质 ⑴ 定义域为： 值域为： ⑵ 过定点 ⑶ 若x>0，则 若x<0，则⑶ 若x>0，则若x<0，则 ⑷ 在R 上是⑷ 在R 上是6、你会自己做出书上的例6吗？7、你会做下面这个比较大小的题吗？.20-.10-3.52.80.802.71.711与）与）8、自己尝试比较1.33.09.07.1与的大小？再看书上57页例题。
9、看书例8并自己解决问题。
新课：一、大家看书之后有问题问老师吗？ 二、预习自测：1、下列函数中是指数函数的是：xxxxy a y y y π=+=⋅=-=)4)2()323)2)4()12）；过定点（、函数xa y =2 7.08.0.62.81-3332233与）与（）、比较大小：（三、质疑问难：1、指数函数有哪些特点：1）定义：一般的，函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数⎪⎩⎪⎨⎧1a 310)2;1前系数为）且不等于大于底数）指数为自变量特点x a x。
且方便，我们规定也为了研究指数函数的为避免以上各种情况，值不存在。
等，在实数范围内函数，即无意义；，那么时，比如：）当无意义。
2.6指数函数样表
指数函数的图像与性质
导学难点
指数函数的综合运用
学
习
过
程
内容
一、掌握基础知识
1、根式是如何定义的?有哪些性质?
2、其运算法则是什么?
①aras=(a>0,r,s∈Q),
②(ar)s=(a>0,r,s∈Q),
③(ab)r=(a>0,b>0,r∈Q).
4、什么是指数函数?其图象与性质分别是什么?
二、合作探究问题
问题1(2011年·广东东莞模拟)若函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,
则有()
(A)a=1或2.(B)a=1.
(C)a=2.(D)a>0且a≠1.
问题2(2011年·河南焦作模拟)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中
a,b为常数,则下列结论正确的是()
(A)a>1,b<0.(B)a>1,b>0.
(C)0<a<1,b>0.(D)0<a<1,b<0.
学
习
过
程
问题3 (2011年·深圳模拟)计算4 ÷(- )=.
(其中a>0,b>0)
问题4求y=( )x-( )x-2-5(x≥0)的值域.
四、展示成果、总结规律
五、迁移拓展提升
拓展问题不等式( ) <( )2x+a-2恒成立,求a的取值范围.
学情
反馈
%的学生会根式与分数指数幂的互化
%的学生能够利用指数函数的图像解决单调性等问题
…………
学后
反思
1.这堂课有什么收获？预习中的疑难问题解决了吗？
2高考的主要考点及解决办法是什么?
指数函数ppt13 人教课标版
(0,1) 0 (4)
0.75-0.25,0.75-0.33,1.5-0.25
∵1<0.75-0.25<0.75-0.33, 又1.5-0.25<1 ∴0.75-0.25<0.75-0.33<1.5-0.25
y=0.75x
y
y=1.5x
(0,1)
0 x
指数 函数
不同底数幂的大小比较
利用指数函数的单调性 和中间值“1”比较大小 (因为a0=1(a≠0))
(0,1)
指数 函数
(0,1) x 0-1 x
0
例2、比较下列各题中的a，b的大小
(2) 40.9,160.44 (1) 0.8-0.1,0.8-0.2 y 解 (1)考查函数ｙ＝0.8x， ∵0<0.8<1, ∴函数ｙ＝0.8x在Ｒ上是减函数 (0,1) 又－0.１>－0.２ x -0.1 -0.2 ∴ 0.8 ＜0.8 0 (2)∵160.44 =40.88 y 考查函数ｙ＝4x， ∵4>1, ∴函数ｙ＝4x 在Ｒ上是增函数 (0,1) 又0.９>0.88 x ∴ 40.9>40.88 0 即40.9>160.44 指数
(1) 2.1-0.5，1 (2) 1，0.5-2.1 y (0,1) (3) 2.1-0.5，1，0.5-2.1 (4) 0.75-0.25，0.75-0.33，1.5-0.25 解 (1)∵1=2.10 考查函数ｙ＝2.1x， ∵2.1>1, ∴函数ｙ＝2.1x在Ｒ上是增函数 又-0.5<0 ∴ 2.1-0.5<1 y
x
x
指数 函数
.3x-1)/(m.3x+1) 要使函数 y=(m 解析： 的定义域为R ， 则对于任意实数x, y 都有m .3x+1≠0 0 即m≠-(1/3)x-1 (0,-3) 而-(1/3)x-1<0 ∴m≥0
指数函数_2
( 2)m ( 2)n
33
mn
1.1m 1.1n
mn
(2)比较下列各数的大小：
10 , 0.42.5 ,
2 0.2
1 0.42.5 0
2 0.2
小结：1.指数函数的定义：函数 y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。 2.指数函数的的图象和性质：
例1、已知指数函数 f (x) a x (a 0且a 1) 的图 象经过点 (3, ) ，求 f (0), f (1), f (3) 的值
解：因为 f (x) ax 的图象经过 (3, )，所以 f (3)
1
即 a3 , 解得 a ，3
于是
x
f (x) 3
y=ax
8
1x 7 gx = 2 6
5 4 3 2 1
fx = 2x
-6
-4
-2
-1
-2
2
4
6
8
探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？
a ①若a=0，则当x>0时， x =0；
当x 0时， a x 无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使 a x 无意义.
1
如 (2)4
1
(2)2 在实数范围内不存在.
在R上是增函数，而2.5<3， 所； 以，
1.72.5 < 1.73
5
4.5
4
3.5
3
fx
=
1.7x 2.5
2
1.5
1
0.5
-2-1Βιβλιοθήκη -0.512
3
4
5
2.6.1指数函数名师课件
解：原函数可变为： y 3 ax2 若设 x 2 x'，y 3 y' ，则 y' ax' ，这是一 个指数函数，它的图象恒过定点（0，1），即 x' 0 时， y' 1 ，也就是 x 2 0 时， y 3 1 解得： x 2，y 4
主讲：罗军
2.6.1指数函数
练习：已知 a 0 ，且 a 1，x R，x 1 当 a x2 1 a2x 时，求 a 的取值反范围。
解： x R，x 1 x2 1 2x (x 1)2 0 x2 1 2x
又 a 0 且 a 1 所以当 a x2 1 a2x 时，就有 0 a 1
2
主讲：罗军
2.6.1指数函数
12
10
8
1 x
y= 2
6
4
2
y=2x
-10
-5
-2
5
10
我们观察 y 2x y (1)x 的图象特征，就可以得到 2
y ax (a 0且a 1) 的图象和性质。
主讲：罗军
2.6.1指数函数
y ax (a 0且a 1) 的图象和性质。
2.6.1指数函数
如果
a
0，x x
0，a 0，a
x 0 x无意义
如果 a 0 ，当 x 取 1，1，...... 时，ax 不存在。
24
如果 a 1，a x 是一个常数1，对它没有研究的必要，
为了避免出现 a x 是一个常数或无意义等上述各种情况， 所以规定 (a 0，且a 1)
2、指数函数的图象和性质：
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主备人陈萍审核人2012年10月29日星期一
课题
2.6指数与指数函数
课时
1课时
导
学
构
想
导
学
目
标
知识能力
高考要求：
1.理解分数指数幂的概念
2.掌握有理指数幂的运算性质.
3.掌握指数函数的概念、图象和性质.
4.能够运用指数函数的性质解决某些简单的实际问题.
过程方法
①aras=(a>0,r,s∈Q),
②(ar)s=(a>0,r,s∈Q),
③(ab)r=(a>0,b>0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr∈Q).
4、什么是指数函数?其图象与性质分别是什么?
二、合作探究问题
问题1(2011年·广东东莞模拟)若函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,
则有()
(A)a=1或2.(B)a=1.
(C)a=2.(D)a>0且a≠1.
问题2(2011年·河南焦作模拟)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中
a,b为常数,则下列结论正确的是()
(A)a>1,b<0.(B)a>1,b>0.
(C)0<a<1,b>0.(D)0<a<1,b<0.
学
习
过
程
问题3 (2011年·深圳模拟)计算4 ÷(- )=.
(其中a>0,b>0)
问题4求y=( )x-( )x-2-5(x≥0)的值域.
四、展示成果、总结规律
五、迁移拓展提升
拓展问题不等式( ) <( )2x+a-2恒成立,求a的取值范围.
学情
反馈
%的学生会根式与分数指数幂的互化
%的学生能够利用指数函数的图像解决单调性等问题
…………
学后
反思
1.这堂课有什么收获？预习中的疑难问题解决了吗？
2高考的主要考点及解决办法是什么?
3我的易错点在哪？…………
培养学生观察问题分析问题的能力及严谨的逻辑思维和科学的计算能力
情感、态度、价值观
通过小组合作互帮互助，感受数学中的简洁美和统一美
导学重点
指数函数的图像与性质
导学难点
指数函数的综合运用
学
习
过
程
内容
一、掌握基础知识
1、根式是如何定义的?有哪些性质?
2、分数指数幂与根式有什么联系?
3、若指数幂为有理数,其运算法则是什么?