第13讲--长方体和正方体小学三年级奥数讲义
正方体长方体奥数讲义
长方体和正方体长方体和正方体这部分知识，是学生首次比较系统全面地接触到的立体图形・它是学生空间观念的形成、建立和发展的基础。
首先要构建一个完整的知识体系，对长方体、正方体的特征.,表面积和体积的意义及公式的推导有一个全面细致的掌握。
长方体的特征：8个顶点，6个面，12条棱，相对的两个面完全相同，相对的四条棱的长度都相等，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长方体的长、宽、高，分别用字母a、b、h表示。
正方体的特征：8个顶点，6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，正方体是特殊的长方体，棱长用字母a表示。
长方体的表面积：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2正方体的表面积：S＝a×a×6＝6a²长方体的体积：V＝a×b×h＝Sh（S表示长方体的底面积）正方体的体积：V＝a×a×a＝a³其次在掌握长方体特征、表面积、体积意义及计算方法的基础上，重点是培养学生的空间想象能力，通过对长方体和正方体的切割、拼摆等动态变化，并且和生活实际相结合，化“整”为“零”，使问题简单化，以利于问题的解决，同时也可以站在整体的立场上，直接综观全局研究问题，以利于培养学生的整体思想。
例1一个长方体正好可以切割成3个完全一样的正方体，且没有剩余，三个正方体的表面积比原来增加了32平方厘米，求原来长方体的表面积。
分析：如下图所示：这个长方体切割成三个正方体，需切割两次，每切割一次增加2个切面，一共增加了4个切面，每个切面的面积就是32÷4＝8（平方厘米），组成原长方体的6个面实际上就是14个面积为8平方厘米的正方形。
解：32÷4×14＝8×14＝112（平方厘米）例2：把一个长方体的高减少2厘米后，就成了一个正方体，且表面积比原来减少了40平方厘米，求原长方体的体积是多少？分析：如上图所示，由于高减少2厘米后，就成了一个正方体，可得这个长方体的底面是一个正方形。
长方体和正方体知识点很全
长方体和正方体知识点汇总一、轴对称与旋转1、图形的变换包括平移、旋转和对称。
2、轴对称图形：一个图形沿某一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。
这条直线叫做它的对称轴。
3、轴对称图形都有对称轴。
有一条对称轴的图形有等腰三角形，等腰梯形、线段、角。
有两条对称轴的图形有长方形、菱形。
有三条对称轴的图形有正三角形。
正方形有4条对称轴。
4、轴对称图形的特征：（1）、对应点到对称轴的距离相等；（2）、对应点连线与对称轴互相垂直。
5、轴对称图形的画法：（1）、找出已知图形的关键点。
（2）、在对称轴的另一侧画出关键点的对应点。
（3）、按顺序连接各对应点。
6、旋转：图形或物体绕着一个点或一条轴运动的现象叫做旋转。
图形旋转后只改变位置，不改变形状和大小。
一、长方体和正方体的认识在3个、4个、5个面是正方形！练习：（1）判断并改正：1、长方体的六个面一定是长方形； ( )2、正方体的六个面面积一定相等； ( )3、一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等； ( )4、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。
( )7、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。
( )8、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。
( )9、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。
（ ）11、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。
（ ）12、长方体和正方体最多可以看到3个面。
（ ）14、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。
（ ）15、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。
（ ）16、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。
（ ）（2）填空：1、一个长方体最多有（ ）个面是正方形，最多有（ ）条棱长度相等。
2、一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（ ）形。
3、 正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（ ），它的六个面都是相等的（ ）形。
学而思奥数三年级讲义-《长方形与正方形》
排列. （2）你能分别求出五个长方形的面积吗？
【分析】（1）③<④<①<②<⑤ （2） 9cm2；12cm2；6cm2；8cm2；15cm2
例4
算一算： （1）一个长方形长 12 米，宽 8 米，如果它的长增加 2 米， 宽不变，这个长方形的面积增加多少平方米？ （2）一个长方形如果宽不变，长增加 8 米，面积增加 72
平方米；如果长不变，宽减少 4 米，面积减少 48 平方米，
这个长方形原来的面积是多少？
【分析】（1）增加部分的面积： 2 ×8 =16 （平方米）（2）
（2）5m²=（ ）dm²
3dm²=（ ）cm²
（3）7 平方米=（ ）平方分米=（ ）平方厘米
（4）（ ）m²=800dm²=（ ）cm²
（5）10 公顷=（ ）m²
（6） 6 平方千米=（ ）公顷=（ ）平方米
【分析】（1）200 厘米=20 分米=2 米
（2）5 m²=500 dm²
3dm²=300 cm²
（3）7 平方米=700 平方分米=70000 平方厘米 （4）8 m²=800 dm²=80000 cm ² （5）10 公顷=100000 m² （6）6 平方千米=600 公顷=6000000 平方米
练习
选用合适的度量单位填入空白处.
黑板面的面积约 3（
） 一间教室长约 8（
）
一幢楼高约 50（
6
根 据 公 式 可 知 ， 空 白 处 面 积 黄 绿 红
奥数长方体和正方体(体积)
奥数长方体和正方体(体积)
长方体的体积公式
长方体是一种具有六个面，并且所有面都是矩形的立体。
它有
三个不同的边长：长度、宽度和高度。
我们可以使用以下公式来计
算长方体的体积：
体积 = 长度 ×宽度 ×高度
其中，长度、宽度和高度分别代表长方体的三个边长。
正方体的体积公式
正方体是一种特殊类型的长方体，其中所有的边长相等。
因此，我们只需要知道任意一条边的长度就能计算出正方体的体积。
体积 = 边长 ×边长 ×边长
其中，边长代表正方体的边长。
示例
让我们通过一个示例来说明如何使用这些公式计算长方体和正方体的体积。
示例1：计算长方体的体积
假设我们有一个长方体，其长度为4米，宽度为3米，高度为2米。
我们可以使用上述公式计算它的体积：
体积 = 4米 × 3米 × 2米 = 24立方米
因此，该长方体的体积为24立方米。
示例2：计算正方体的体积
假设我们有一个正方体，其边长为5米。
我们可以使用上述公式计算它的体积：
体积 = 5米 × 5米 × 5米 = 125立方米
因此，该正方体的体积为125立方米。
以上就是关于奥数长方体和正方体(体积)的简要介绍。
希望这份文档能帮助你理解如何计算长方体和正方体的体积。
五年级奥数讲义第13讲--长方体和正方体(一)
五年级奥数讲义第13讲--长方体和正方体(一)work Information Technology Company.2020YEAR第13讲长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。
解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米表面积是多少平方厘米（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。
因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。
3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
小学奥数知识点——长方体和正方体
小学奥数知识点——长方体和正方体（一）长方体和正方体的特征（二）长方体和正方体的棱长总和（三）长方体和正方体的表面积1.概念：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它们的表面积。
2.计算公式：重点提示：不足6个面的实际问题根据具体情况计算，例如鱼缸、无盖纸盒等。
（四）长方体和正方体的体积、容积奥数练习题【题目1】：一个长方体和一个正方体的棱长之和相等。
已知长方体的长是6分米，宽是4分米，高是2分米，求正方体的表面积和体积？【解析】：要求出正方体的表面积和体积，必须先求出正方体的棱长。
长方体有12条棱分为3组：4条长、4条宽、4条高；正方体有12条棱，每条棱的长度都相等。
设这个正方体的棱长为x分米，根据题意，可以列出方程：12x=（6＋4＋2）×4解得：x﹦4正方体的棱长为4分米。
所以正方体的表面积为：42×6﹦96（平方分米）。
正方体的体积为：43﹦64（立方分米）。
【题目2】：一块长方形铁片（厚度不计），四个角剪去边长为2.8分米的正方形，焊成一个长方体铁皮盒，可以盛水546升。
已知这块长方形铁皮的长是21.2分米，求长方形铁皮的面积。
【解析】：546升﹦546立方分米，即焊成的铁皮盒的容积为546立方分米。
厚度不计，铁皮盒的容积也就相当于它的体积。
如上图，铁皮盒的体积为546立方分米，铁片盒的高为2.8分米，铁皮盒底面的长为：21.2－2.8×2﹦15.6（分米）。
所以，铁皮盒底面的宽为：546÷2.8÷15.6﹦12.5（分米）。
则铁皮原来的宽为：12.5＋2.8×2﹦18.1（分米）。
由长方形铁皮原来的长、宽，可以求出它的面积为：21.2×18.1﹦383.72（平方分米）。
【题目3】：一个长方体，如果从它的高度方向锯掉3厘米的一段，正好得到一个正方体，但表面积减少了72平方厘米，原来长方体的体积是多少？【解析】：如下图：从长方体高度方向锯掉3厘米的一段，表面积减少部分就是高3厘米的长方体的四个侧面和一个上面，同时表面积又增加了一个切面，切面面积正好与原长方体上面的面积相等，互相抵消。
小学奥数模块教程长方体和正方体表面积
1、 长方体和正方体的认识和掌握长方体与正方体的特征。
2、 掌握表面积的算法和组合图形的表面积的计算。
长方体正方体的认识：长方体正方体的表面积和体积： 形体 相同点 不同点联系 面 棱 顶点 面的形状 面的面积 棱长长方体 6 个面 12条棱 8个顶点 6个面都是长方形，有时有两个相对的面是正方形相对的两个面面积相等 相对的棱长度相等 正方体是一种特殊的长方体 正方体 6 个面 12条棱 8个顶点 6个面都是完全相同的正方形 6个面的面积都相等 12条棱的长度都相等形体 表面积体积（容积） 定义 计算公式 常用单位 定义 计算公式 常用单位 长方体 长方体或正方体6个面的面积之和，叫做它们的表面积 S=(ab+ah+bh) ×2 平方厘米 平方分米 平方米 物体所占空间的大小叫做物体的体积。
容器所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积V=abh V=sh 立方厘米（升毫） 立方分米（升） 立方米 正方体 S=6a²V =a³ V=sh 重难点知识框架长方体与正方体（一）：表面积例题精讲【例1】观察长方体与正方体，并回答下列问题：（1）长方体有（）个面；正方体有（）个面。
（2）长方体每个面是（）形；正方体每个面是（）形。
（3）长方体有（）条棱，哪些棱一样长？（）正方体有条（）棱，哪些棱一样长？（）（4）长方体有（）个顶点；正方体有（）个顶点。
【巩固】【例2】工人叔叔要把下图中的盒子四周镶上银边(即每条棱上贴上银丝)，那么需要多少厘米的银丝？(尺寸如图所示，单位：厘米)【巩固】一个长方体的长是1.5分米，宽是1.2分米，高是1分米，它的棱长和是（）分米。
【巩固】一个长方体的棱长总和是 80厘米，其中长是 10厘米，宽是 7厘米，高是（）厘米。
【例2】下面中有四个立方体，只有一个三用右边的片折成的，请指出是哪一个（）。
【巩固】【巩固】在下面形状的硬纸片中，沿线对折能围成一个正方体的是（）A ．B ．C ．知识框架你知道正方体和长方体的表面积怎么计算吗？你还记得面积单位间的进率及单位换算吗？1.下面的面积单位中，最大的面积单位是（），最小的是（）A．平方千米B．平方米C．公顷D．平方分米表面积计算常用公式：立体图形示例表面积公式相关要素长方体S= 2(ab+bc+ac) 三要素：a、b、c 正方体S = 6a2 一要素：a易错点：1.长方体被截后表面积增加的面警示：长方体被截一次，要新增加两个相等的面。
长方体与正方体讲义-学生版
知识点：长方体的特征：有6个面，都是长方形，〔有时相对的两个面是正方形〕，相对的面形状相同，面积〔大小〕相等；有12条棱，相对的棱长度相等；8个顶点。
长方体的棱长总和=〔长+宽+高〕×4 长方体的高=长方体的棱长总和÷4－长－宽12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等长方体最多有 个面是正方形，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面 【基础检测】1．求做一个长方体油箱需要多少平方米铁皮，是求长方体的〔 〕 A ． 外表积 B ． 体积 C ． 容积 D ． 不能确定2．一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米，棱长总和是〔 〕厘米． A ． 24 B ． 48 C ． 72 D ． 96 3．我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体〔 〕 A ． 只有三个面 B ． 只能看到三个面 C ． 最多只能看到三个面 4.小明有9根a 厘米长的小棒和6根b 厘米长的小棒，〔a 与b 不相等，均不为0〕他用其中的12根搭成了一个长方体框架．长方体框架的棱长和是 厘米．〔接头处的长度忽略不计〕 5.观察图，在下面的括号内填上合适的字母，使等式成立．=．判断题：长方体的6个面中至少有4个面是长方形． ．【例题1】一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱．用三根铁丝捆起来〔如图〕，打结处要用1分米铁丝．这根铁丝总长至少为 分米．【同步训练】一个长方体礼品盒如图，长30厘米，宽20厘米，高是25厘米，接头处是30厘米，选择〔 〕分米绳子更合适．【拓展提升1】仓库里有如下几种规格的长方形、正方形的铁皮：①长0.64米，宽0.35米；②长0.64米，宽0.5米；③长0.5米，宽0.35米；④边长0.35米．张师傅要从中选择5张铁皮正好焊接成一个无盖长方体水箱，应取哪几张？请你把所有的取法都找出来，并把每种规格铁皮取的张数填入下表． 教师 学科 数学 上课时间 讲义序号(同一学生)学生年级五年级组长签字日期课题名称 长方体与正方体专题复习A ． 230分米B ． 33分米C ． 330分米D ．23分米取法二取法三取法四取法五取法六【拓展提升2】用120cm长的铁丝焊接成一个长方体框架，它的长、宽、高的比是5：3：2，这个长方体的体积是 cm．【考点二】正方体的特征正方体的特征：有6个面，都是正方形，6个面的面积相等；12条棱的长度相等；8个顶点。
小学奥数讲义：长方体与正方体
小学奥数讲义：长方体与正方体长方体与正方体【知识要点】1、正方体棱长和=棱长×12 长方体棱长和=（长+宽+高）×42、长方体和正方体的表面积，就是长方体和正方体6个面的总面积。
长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6表面积在计算时的特殊情况：（1）一般情况需要计算6个面的面积；（2）有时只要计算5个面的面积：如计算游泳池粉刷，游泳池贴瓷砖，浴缸，教室、房间的粉刷面积，无盖的盒子……（3）有时只要计算4个面的面积：如计算饮料的包装纸，通风管……（4）有时只要计算1个面的面积：如游泳池的占地面积，冰箱、洗衣机的占地面积……3、正方体体积=棱长×棱长×棱长长方体体积=长×宽×高通用体积公式：体积=底面积×高【精选例题】1、一个长方体，长12厘米，宽8厘米，高6厘米。
（1）如果从这个长方体上切下一个最大的正方体，这个正方体的体积应该是多少？（2）如果将这个长方体切成若干个大小一样的正方体（不许有剩余），最少能切多少块？（3）如果用若干个这样相同的长方体拼成一个更大的正方体，至少需要多少个长方体？2、把一个长16厘米，宽6厘米，高8厘米的大长方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积的和最大是多少平方厘米?最小是多少平方厘米？3、一个长方体，如果长减少2厘米，就成为一个正方体，这时，正方体的表面积是96平方厘米，原来长方体的体积是多少？4、一个长方体纸盒，长8厘米，宽是长的43，高是宽的一半。
这个长方体的棱长总和是多少厘米？5、一个体积为160立方厘米的长方体中两个侧面的面积分别为20厘米，32厘米，如图，求这个长方体底面的面积（即图中阴影部分的面积）。
6、一个底面长为25厘米，宽为20厘米的长方体容器，里面盛有水。
当把一个正方体木块放入水中时，木块的12部分没入水中，此时水面升高了1厘米。
长方体正方体讲义
小巨人学科教师辅导讲义学生: 杨恺睿教师: 赵常巨日期: 2015/04/12 家长签名：课题长方体正方体教学目标1.熟记长方体正方体的特征，表面积和体积公式并能灵活运用公式解决问题。
2.关于长方体正方体的高低变化类，分解转化类，组合类问题的理解。
重点、难点1.长方体正方体的组合问题,不规则物体的体积；2.生活类实际问题（鱼缸等），水面增高与降低。
考点及考试要求熟记公式及变形公式，常考应用类问题教学内容1、一个长方体木块的表面积是60平方厘米，现在正好把它锯成两个相等的正方体。
每个正方体的表面积是（）平方厘米。
2.一个长2米长方体木料锯成3段，表面积增加160平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？3做一个20米的通风管道，管道口是正方形，边长是0.4米，做这个管道至少需要用铁皮多少平方米？（接缝处不计）4.个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为3dm，向容器中倒入13L水，再把一个苹果放入水中，这时量得容器内的水深是15cm。
这个苹果的体积是多少？5.把两块棱长5厘米的正方体的拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
长方体特点：（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。
（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。
2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。
正方体特点：（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。
（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。
（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
3、长方体、正方体有关棱长计算公式：长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4 L=（a＋b＋h）×4长=棱长总和÷4－宽－高 a=L÷4－b－h宽=棱长总和÷4－长－高 b=L÷4－a－h高=棱长总和÷4－长－宽 h=L÷4－a－b正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷124、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
奥数班三年级下册第13讲 正方形和长方形的面积(全文
13
【课堂精练】 5. 教室南面的墙壁，长8米，宽3米。墙上有3个3平方米的窗户。现在要 粉刷这面墙壁，要粉刷的面积是多少平方米?
游泳池的面积÷方砖的面积=块数 游泳池的面积：60 × 30=1800m2
1800m2=180000dm2 块数： 180000÷9=20000块
答：需要20000块。
17
【杯赛试题】 9. 一根铁丝长12米能围成一个长方形，如果长是4米，那么这个长方形 的面积是多少？
长方形的宽=周长 ÷ 2 - 长 宽： 12÷2 - 4=2m
第13讲 正方形和长方形的面积（1）
三年级奥数班
【知识点拨】 一、公式：
长方形的面积=长×宽
正方形的面积=边长×边长
二、基本方法： 公式的使用 分割
拼补
【典型例题】
【典型例题】
例1：从一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪出一个面积最大的正方 形，那么剪下的剩余部分的面积是多少？
8cm 2cm
6×2=12cm2
6
4
方法三：
6×8÷4=12cm2
答：第四个长方形的面积是12平方厘米。
8
【典型例题】 例6：一个长方形，长是5米，宽4米，若长扩大3倍，宽扩大2倍，现 在面积是多少平方米？面积扩大多少倍？ 现在的长： 5×3=15cm 现在的宽： 4×2=8cm 现在的面积： 15×8=120cm2 原来的面积： 5×4=20cm2 扩大的倍数： 120÷20=6 答：现在的面积是120平方厘米；面积扩大6倍。
长方体和正方体知识点汇总
长方体和正方体知识点汇总长方体和正方体是几何学中重要的概念，它们都是由特定的几何元素构成的立体图形。
本文将对长方体和正方体的定义、性质、公式以及应用进行详细的介绍。
一、长方体长方体是一种由六个矩形面组成的立体图形，其中相对的两个矩形面的边长相等且平行，其余四个矩形面的边长也相等且平行。
长方体的六个面包括一个底面、一个顶面和四个侧面，底面和顶面的形状相同。
1. 性质：- 六个面都是矩形，且相互平行。
- 六个面两两相交的边互相垂直。
- 相邻面的边相等。
- 相对的面的边长相等。
2. 公式：- 表面积（S）= 2(长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)- 体积（V）= 长 ×宽 ×高3. 应用：长方体广泛应用于建筑、包装、储存等领域。
在建筑中，长方体常用于房屋的设计与施工；在包装中，长方体的形状利于物品的堆放与运输；在储存中，长方体的体积可最大化储存空间的利用率。
二、正方体正方体是一种特殊的长方体，其六个面都是正方形。
正方体的特点是所有的边长相等，所有面的角度都为90度。
1. 性质：- 六个面都是正方形，且相互平行。
- 六个面两两相交的边互相垂直。
- 相邻面的边相等。
2. 公式：- 表面积（S）= 6 × (边长)^2- 体积（V）= (边长)^33. 应用：正方体在数学和几何学中具有重要的地位，常用于建模、计量和结构设计。
此外，正方体还可以用于儿童教育，帮助他们理解三维几何的概念。
总结：长方体和正方体是平面几何学中的重要概念，它们具有明确的定义、性质和公式。
长方体是由六个矩形面组成的立体图形，而正方体是一种特殊的长方体，其六个面都是正方形。
了解这些知识点有助于我们更好地理解和应用几何学在日常生活和工作中的各个领域。
如需进一步研究和应用，请参考相关的几何学教材和资源。
《正方体与长方体》(讲义)
《正方体与长方体》（讲义）一、教学目标：1. 知识目标：（1）理解正方体与长方体的定义及特点。
（2）了解正方体与长方体的面积、体积计算公式。
（3）掌握正方体与长方体的绘制方法。
2. 能力目标：（1）运用所学知识，解决有关正方体与长方体的问题。
（2）能够在实践中灵活应用所学知识。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决问题的能力，培养学生的创新思维和实际运用的能力。
二、教学重点和难点：1. 教学重点：（1）正方体与长方体的定义及特点。
（2）正方体与长方体的面积、体积计算公式。
（3）正方体与长方体的绘制方法。
2. 教学难点：（1）如何清楚地理解正方体与长方体的概念。
（2）如何运用所学知识进行计算。
三、教学方法：以讲解、示例、练习的方式进行教学。
示例要具体实际，力求生动形象，练习要求考虑到不同多样的情况。
四、教学过程：1.引入：（1）利用教具让学生感受一下长方体和正方体的形状，了解它们的特点。
（2）引导学生讨论长方体和正方体的定义及区别。
（3）通过实例展示长方体与正方体应用场景，引导学生对其认知。
2.讲授正方体与长方体的表面积和体积公式：（1）引导学生推导出正方形的面积和体积公式。
（2）描述长方体的形式和表示方法，并给出长方体的表面积和体积的公式。
（3）通过对比，介绍正方体与长方体的体积和表面积公式的异同之处。
3. 讲授正方体和长方体的绘制方法：（1）借助教具、展板等教学资源，示范如何画出正方体与长方体。
（2）引导学生逐步掌握正方体与长方体的绘制方法。
4. 练习：（1）练习正方体与长方体的表面积和体积计算公式。
（2）绘制不同形状的正方体和长方体，掌握其面积和体积的计算方法。
（3）组织学生小组合作，运用所学知识，设计长方体和正方体的应用场景，进行探究、创新。
五、课堂小结：通过本节课的学习，学生成功掌握了正方体与长方体的定义和特点，掌握了正方体与长方体的面积、体积计算公式，掌握了正方体和长方体的绘制方法，增加了数学思维的能力，也培养了学生的实际动手能力。
长方体和正方体典型精讲
长方体和正方体典型精讲
长方体和正方体是几何中常见的立体图形，它们在数学和现实
生活中都有着重要的应用。
让我们先来看看它们的定义和特点。
首先，长方体是一种三维图形，它有六个面，每个面都是矩形，相对的两个面积相等。
长方体的所有边都是直角，也就是说，每个
面都是矩形，而且相对的两个面积相等。
长方体的八个顶点上有六
个直角。
长方体的体积可以用公式V = lwh来表示，其中l、w和h
分别代表长方体的长度、宽度和高度。
正方体是一种特殊的长方体，它的所有边长都相等，也就是说，它的所有面都是正方形。
正方体有六个面，每个面都是正方形，所
有的面都相等。
正方体的每个顶点上有四个直角。
正方体的体积可
以用公式V = a³来表示，其中a代表正方体的边长。
长方体和正方体在日常生活中有着广泛的应用。
例如，建筑工
程中的房屋、箱子和货物包装等都使用长方体的形状。
而正方体则
常常出现在骰子、立方体家具和一些建筑结构中。
从数学角度来看，长方体和正方体的性质和计算方法也有一些
共同点和差异点。
例如，它们的体积计算公式不同，但都可以通过测量边长来求解。
此外，它们的表面积计算方法也有所不同，但都可以通过测量各个面的长宽高来求解。
总的来说，长方体和正方体是几何中重要的立体图形，它们在数学和现实生活中都有着重要的意义和应用价值。
我们需要理解它们的定义、特点和计算方法，才能更好地应用它们解决实际问题。
希望我的回答能够帮助你更全面地理解长方体和正方体。
第13讲--长方体和正方体小学三年级奥数讲义
第13讲长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。
解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。
因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。
3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
长方体和正方体知识分享
学习资料《长方体和正方体》单元知识整理（一） 长方体和正方体的认识1、 长方体或正方体面和面相交的线段叫做（棱） ，棱和棱相交的点叫做（顶点）。
2、 长方体和正方体都有 6个面，12条棱，8个顶点。
长方体相对的面完全相同、相对 的棱长度相等；正方体 6个面都相同，12条棱的长度都相等。
3、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高（各4条）。
4、 长方体的棱长和 =4条长+4条宽+4条高=长乂 4+宽X 4+高X 4=（长+宽+高）X 4正方体的棱长和=12条相同长度的棱长的和=棱长X 12 （二） 长方体和正方体的表面积1、长方体或正方体 6个面的总面积，叫做它的表面积。
长方体的上面、下面的面积 =长乂宽前、后面的面积=长乂高 左、右面的面积=宽X 高长方体的表面积=（长X 宽+长X 高+宽X 高）X 2 正方体的表面积=棱长X 棱长X6（三） 长方体和正方体的体积1、 物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、 长方体的体积=长X 宽X 高 用字母表示为 V=abh 。
从这个公式还可以变型出：长 = 体积+（宽X 高） 宽=体积+（长X 高） 高=体积+（长X 宽）3、 正方体的体积=棱长X 棱长X 棱长 用字母表示为 V=aaa , —般写成V=a 34、 长方体或正方体的底面的面积叫做底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积X 高，可以写成V=sh5、 相邻的两个长度单位 （米、分米、厘米）之间的进率是10;相邻的两个面积单位 （平 方米、平方分米、平方厘米）之间的进率是100;相邻的两个体积单位 （立方米、立方分米、 立方厘米）之间的进率是 1000;（四） 容积和容积单位1、 箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
计量容积，一般 就用体积单位（立方厘米立方分米立方米），计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成 L 和ML 。
1L=1000ML2、 测量不规则物体的体积可以用排水法。
长方体和正方体课件课件
高 宽
长
12条棱可以
分成4组长\
宽\高.
第18页，幻灯片共36页
第19页，幻灯片共36页
说一说长方体的特征
面
有6个面，都是长方形，（有 时相对的两个面是正方形），
相对的面形状相同，面积相等
。
棱 有12条棱。相对的棱长度相
等。
顶点
8个顶点
第20页，幻灯片共36页
我们以前还认识过正方体.
第29页，幻灯片共36页
填空：
3、正方体有（ ）个面、（ ）条 棱、（ ）个顶点。
4、长方体（
）面相等，正
方体（ ）面相等。
5、长方体（ ，正方体（
）棱长度相等 ）棱长度相等。
第30页，幻灯片共36页
1、判断
①正方体和长方体都是6个面、12条棱、8个顶点
。
(
)√
②正方体的6个面一定是正方形。
(√ )
面
，相对的面形状 相同，面积相等
。
正方体
6个面都是正方 形，6个面的面 积相等。
12条棱，相对 12条棱的长度相等 棱 的棱长度相等 。
顶 8个 点
8个
第24页，幻灯片共36页
4．比较长方体、正方体的特征，说说它们 的相同点和不同点。
第25页，幻灯片共36页
形体
相同点
不同点
关系
面 棱 点 面的形状 面积 棱长
关于长方体和正方体课件
第1页，幻灯片共36页
—————平面图形
——————立体图形
第2页，幻灯片共36页
第3页，幻灯片共36页
北京
上海制笔销售公司 宜兴洋新兴化工厂
（ 新兴）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第13讲长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。
解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。
因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。
3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
练习2：1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。
（单位：厘米）。
2.有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？【例题3】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。
原正方体的表面积是多少平方厘米？【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积，每块正方形的面积是50÷4=12.5（平方厘米）。
正方体有6个这样的面，所以，原来正方体的表面积是12.5×6=75（平方厘米）。
练习3：1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。
如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？2.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？【例题4】把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。
已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。
【思路导航】要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。
我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a，砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。
由1/6a3=288可知，a=12.b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8＋3=11厘米，表面积就不难求了。
练习4：1.一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？2.一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。
3.有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？用图画出来。
第14讲长方体和正方体（二）一、知识要点在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：1.将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；2.两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；3.物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
二、精讲精练【例题1】有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。
从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。
将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×水面的高度。
这样，我们只要先求出原来甲水箱中的体积：40×32×20=25600（立方厘米），再除以两只水箱的底面积和：40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。
练习1：1.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。
现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。
问水面高多少？2.有一个长方体水箱，从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。
放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。
这时水面高多少厘米？3.一段钢材长15分米，横截面面积是1.2平方分米。
如果把它煅烧成一横截面面积是0.1平方分米的钢筋，求这根据钢筋的长。
【例题2】将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。
【思路导航】因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以这个正方体的棱是3厘米。
用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6×（4×4），棱长是4厘米；150=6×（5×5），棱长是5厘米。
知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于它们的体积和。
练习2：1.有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。
现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。
2.将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，求它的高。
3.把8块边长是1分米的正方体铁块熔成一个大正方体，这个大正方体的表面积是多少平方分米？【例题3】有一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米。
如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？【思路导航】铁块的体积是2×2×2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空间，因此，水上升的体积也就是8立方分米，用这个体积除以底面积（5×4）就能得到水上升的高度了。
练习3：1.有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分米、水深2分米。
把一块假山石浸入水中后，水面上升0.8分米。
这块假山石的体积是多少立方分米？2.有一个正方体容器，边长是24厘米，里面注满了水。
有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的长方形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。
问：会溶出多少立方厘米的水？3.有一块边长是5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。
取出铁后，水面下降了0.5厘米。
这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？【例题4】有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。
如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？【思路导航】首先求出水的体积：30×20×6=3600（立方厘米）。
当容器竖起来以后，水流动了，但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体。
只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。
练习4：1.有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米；乙缸长4分米、宽2分米，里面的水深1.5分米。
现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲缸里深几分米？2.有一块边长2分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方体，这长方体的截面是一个长4厘米、宽2厘米的长方形，求它的长。
3.像例题中所说，如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下，这时的水深又是多少厘米？第15讲长方体和正方体(三)一、知识要点解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算方法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
二、精讲精练【例题1】一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，表面积增加多少厘米？【思路导航】把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体，可以按下图中的线共锯6次，每锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的面，锯6次共增加36×2×6=432平方厘米的面积。
因此，锯好后表面积增加432平方厘米。
练习1：1.把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米？2.有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加多少平方米？3.把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样的小长方体，没有涂颜色的面积是60平方厘米。
求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？【例题2】有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米？【思路导航】把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的面积是24÷2=12平方厘米，而正方体有6个这样的面。