初等数论总复习题及知识点总结(2020年8月整理).pdf
《初等数论》习题集
第1章
第 1 节
1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为
a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）
的形式。
第 2 节
1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？
6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节
1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1
223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
初中数学专题典型例题训练（2020年8月整理）.pdf
第一讲：实数与代数专题典型例题讲解
一实数
1. 例：在14−和1
5
−之间，请写出两个有理数： .
2. 有理数2
2
3
1
2, (2), 2, 2
−−−−
按从小到大的顺序排列是（ ） A ．322122< (2) 2−<−−<−，B .2231
2< (2) 22
−<−−<−
C .22312< (2) 22−<−−<−,
D .23212< 2(2)2
−<−−<−
3. 将一刻度尺如图所示放在数轴上
（数轴的单位长度是1CM ），刻度尺上的“0cm ”和
“15cm ”分别对应数轴上的－3.6和x ，则（ ）
A ．9＜x ＜10；
B ．10＜x ＜11；
C ．11＜x ＜12；
D ．12＜x ＜13； 4. 下列说法正确的是（ ）
A ．互为相反数的两个数一定不相等；
B ．互为倒数的两个数一定不相等；
C ．互为相反数的两个数的绝对值相等；
D ．互为倒数的两个数的绝对值相等；
5. 若3x −和7x −是某个实数的平方根，则x = .
6. 若函数()f x 、()g x 满足()()0f x g x +=，当2()f x x x =−+，则函数()g x 的最小值为：
7. 有理数A 、B 、C 在数轴上的位置如图所示，则式子|A |+|B |+|A +B |+|B -C |化简结果为.[]. .A ．2A +3B -C...B ．3B -C..C ．B +C....D ．C --
8. 若|A -2|＝2-A ，求A 的取值范围。
9. 已知：|x -2|+x -2＝0，.求：(1)x +2的最大值； 10. 单项式3x y
初等数论知识点总结
《初等数论》总结
姓名 xxx
学号 xxxxxxxx
院系 xxxxxxxxxxxxxxx
专业 xxxxxxxxxxxxxxx
个人感想
初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结
第一章整数的可除性
1.
2性质：
(1)
传递性质)；
(2)
闭。若反复运用这
一性质，易
则对
于任意的整
更一般，
(3)
若p 是质数，若n a p |，则a p |；
(6)(带余数除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，
1-b 。若0=r ，即为a 被b 整除的情形；
易知，带余除法中的商实际上为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡b a （不超过b a 的最大整数），而带余除法的核
心是关于余数r 的不等式：b r <≤0。证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中
初等数论总复习题及知识点总结
初等数论学习总结
本课程只介绍初等数论的的基本内容。由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系，因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的．一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练,这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此,许多高等院校，特别是高等师范院校，都开设了数论课程。
最后,给大家提一点数论的学习方法,即一定不能忽略习题的作用,通过做习题来理解数论的方法和技巧,华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异.
数论有丰富的知识和悠久的历史,作为数论的学习者,应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想"和费马大定理的阅读材料。
初等数论自学安排
第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时
整除的定义、带余数除法
最大公因数和辗转相除法
整除的进一步性质和最小公倍数
素数、算术基本定理
［x]和｛x｝的性质及其在数论中的应用
习题要求：2，3 ；：4 ；：1；：1,2，5；：1。
第二章：不定方程（4学时）自学12学时
二元一次不定方程
多元一次不定方程
勾股数
费尔马大定理。
习题要求:1,2,4；:2,3。
第三章：同余(4学时)自学12学时
同余的定义、性质
剩余类和完全剩余系
欧拉函数、简化剩余系
欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用
习题要求：2，6；：1；：2，3； 1，2。
初等数论知识点整理
初等数论知识点整理 1. 整数的基本性质：
- 整数的定义与整数集的基本运算
- 整数的大小与比较
- 整数的不同表示形式（十进制、二进制、八进制等） 2. 整除与约数：
- 整除的定义与性质
- 素数的定义与判定方法
- 约数的定义与性质
- 最大公约数与最小公倍数的概念与计算方法
3. 同余与模运算：
- 同余的定义与性质
- 同余的基本运算性质
- 模运算的基本性质
- 剩余类和完全剩余系的概念与性质
4. 质数与素数：
- 质数与素数的定义
- 质数与素数的性质和特性
- 素数的测试方法与算法
- 质因数分解的方法与应用
5. 数论基本定理：
- 唯一分解定理（素因数分解定理）
- 辗转相除法与欧几里得算法
- 欧拉函数与欧拉定理
- 费马小定理与扩展欧几里得算法
6. 数论问题的应用：
- 同余方程与线性同余方程
- 不定方程的整数解与应用
- 素数分布与素数定理
- 模重复性与周期性问题
注意：本整理的所有内容仅供参考，请勿将其作为官方教材或其他正式场合使用。
初等数论知识点总结
《初等数论》总结
姓名 xxx
学号 xxxxxxxx
院系 xxxxxxxxxxxxxxx
专业 xxxxxxxxxxxxxxx
个人感想
初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结
第一章 整数的可除性
1. 定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除 2性质：
(1)若且，则(传递性质)；
(2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。更一般，若都是的倍数，则。或着，则其中；
(3)若，则或者，或者，因此若且，则； (4)互质，若，则；
(5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若
b a ,0≠b
c bc a =b a a b |b a a b c b a c b |a c |a b |a b |c b |)(|c a b ±a b |c b |v u ,)(|cv au b ±n a a a ,,,21 b )(|21n a a a b +++ i b a |∑=n
初等数论复习资料
初等数论
一、计算题
求解不定方程9x +21y =144.
解：因为（9，21）=3，3，所以有解；
化简得3x +7y =48；
考虑3x +7y =1，有x =-2, y =1，
所以原方程的特解为x =-96, y =48，
因此，所求的解是x =-96+7t , y =48-3t , t ∈Z 。
求不定方程x + 2y + 3z = 41的所有正整数解。
解：分别解x + 2y = t
t + 3z = 41
得x = t - 2u
y = u u∈Z，
t = 41 - 3v
z = v v∈Z，
消去t得x = 41 - 3v - 2u
y = u
z = v u，v∈Z。
由此得原方程的全部正整数解为
(x, y, z) = (41 - 3v - 2u, u, v)，u > 0，v > 0，41 - 3v - 2u > 0。求[136,221,391]=?
设n 的十进制表示是z xy 4513，若792∣n ，求x ，y ，z 。
解：因为792 = 8⋅9⋅11，故792∣n ⇔ 8∣n ，9∣n 及11∣n 。
我们有8∣n ⇔ 8∣z 45 ⇒ z = 6，以及
9∣n ⇔ 9∣1 + 3 + x + y + 4 + 5 + z = 19 + x + y ⇔ 9∣x + y + 1， (1) 11∣n ⇔ 11∣z - 5 + 4 - y + x - 3 + 1 = 3 - y + x ⇔ 11∣3 - y + x 。 (2) 由于0 ≤ x, y ≤ 9，所以由式(1)与式(2)分别得出
初等数论知识点总结
《初等数论》总结
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个人感想
初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结
第一章 整数的可除性
1. 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 2性质：
(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；
(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。更一般，若n a a a ,,,21Λ都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++Λ。或着i b a |，则∑=n
i i
i b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1,Λ=∈；
(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=； (4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一
一、填空题
1、τ（2420）=27；ϕ（2420)=_880_
2、设a ，n 是大于1的整数，若a n —1是质数,则a=_2.
3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4,-3，—2,-1，0,1，2,3,4}。
4、同余方程9x+12≡0（mod 37）的解是x ≡11(mod 37）。
5、不定方程18x —23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。.
6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_.
7
8、⎪⎭
⎫ ⎝⎛10365 =—1。 9、若p 是素数,则同余方程x
p - 1≡1(mod p ）的解数为二、计算题
1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 （mod 105）。
解:因105 = 3⋅5⋅7，
同余方程3x 2+11x -20≡0 （mod 3）的解为x ≡1 (mod 3），
同余方程3x 2+11x -38 ≡0 （mod 5）的解为x ≡0，3 (mod 5),
同余方程3x 2+11x -20≡0 （mod 7）的解为x ≡2，6 (mod 7），
故原同余方程有4解。
作同余方程组：x ≡b 1 （mod 3),x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)，
其中b 1 = 1,b 2 = 0，3,b 3 = 2,6，
由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13,55，58，100 (mod 105）。 2、判断同余方程x 2≡42（mod 107）是否有解？
11074217
271071107713231071107311072107
初等数论试题库
初等数论
一、填空
1、d （1000）= 。φ（1000）= 。(10174
)=______ 。 2、ax+bY=c 有解的充要条件是 。
3、2002
2002被3除后余数为 。
4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X —2Y+3Z]可能的值为 。
5、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（n
P ）= 。 6、高斯互反律是 。
7、两个素数的和为31，则这两个素数是 。 8、带余除法定理是 。
9、d （37）= 。σ（37）= 。
10、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（n
P ）= 。
11、不能表示成5X+3Y （X 、Y 非负）的最大整数为 。 12、7在2004！中的最高幂指数是 。 13、（1501 ，300）= 。
14、)(mod m b ax ≡有解的充要条件是 。
15、威尔逊定理是 。
16、写出6的一个绝对值最小的简化系 。
17、
50506666688888⨯被7除后的余数为 。
18、d （31）= 。σ（3600）= 。
19、四位数13AA 被9整除，则A= 。 20、17X+2Y=3通解为 。 21、费尔马大定理是 。
22、写出12的一个简化系，要求每项都是5的倍数 。 23、{}4.2-= 。
24、128574
.0 化为分数是 。 25、15！的标准分解是 。
26、1000到2003的所有整数中13的倍数有 个。 27、 σ（29）= .
28、不能表示成y x 45+（y x ,为非负整数）的最大整数为 .
29、7在2008！的标准分解式中的最高幂指数是 . 30、2005和2006的最小公倍数是 . 31、威尔逊定理是 .
初等数论知识点汇总高中数学
第一节 整数的p 进位制及其应用
正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为
021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且01
≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作
021a
a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
大学初等数论知识点汇总
第一节 整数的p 进位制及其应用
正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识
给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即
012211101010a a a a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且
01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。在我们的日常
生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：
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第二十章 初等数论
本章简要地介绍了初等数论的基础知识.共分六节.前五节讨论了整数的性质与辗转相除法,连分数与费波那奇序列,同余式与孙子定理,介绍了几种重要的数论函数和麦比乌斯变换,并列出几类不可约多项式的判别方法.最后一节对代数数等基本概念和性质作了简单的介绍.
§1 整数
[整数部分与分数部分] 设α为一实数,不超过α的最大整数称为α的整数部分,记作[]α.而{}[]ααα=−称为α的分数部分. 例如 [],[11=.]232=,[等等 .]−=−354 整数部分具有下列关系式: [][]ααα≤<+1
[][]n n αα⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥=,n 为自然数 [][ααααn n n n =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡−+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11L ]]，n 为自然数 [][][][][22αβααββ+≥+++ [][][]αβαβ−=− 或 []αβ−+1
注意,在计算机程序中的“取整运算”与这里的“整数部分”意义是有差别的:当α≥0时
是一致的;当α<0时不一致,例如[.]−=−35
4,但计算机上−35.取整后为−3. [整除性] 若有一整数c ,使得整数a 与b 之间适合于
bc a =
则称b 可整除a ,记作b a 。这时a 称为b 的倍数,b 称为a 的因数(或约数). 若b 不能整除a ,则记作b a .
整除性具有下列性质(下列各式0,0≠≠c b ): 1° 若b a ,c b , 则c a ; 2° 若b a , 则bc ac ;
3° 若c d ,c e ,则对于任意整数m,n 有
c d m ea +
初等数论知识点总结
《初等数论》总结
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初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结
第一章 整数的可除性
1. 定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除 2性质：
(1)若且，则(传递性质)；
(2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。更一般，若都是的倍数，则。或着，则其中；
(3)若，则或者，或者，因此若且，则； (4)互质，若，则；
(5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若
b a ,0≠b
c bc a =b a a b |b a a b c b a c b |a c |a b |a b |c b |)(|c a b ±a b |c b |v u ,)(|cv au b ±n a a a ,,,21Λb )(|21n a a a b +++Λi b a |∑=n
初等数论 pdf
初等数论 pdf
初等数论是数学中的一个分支，它研究自然数及其基本性质，被
认为是数学中最古老、最基础的部分之一。本文将围绕初等数论的PDF 进行阐述。
第一步，初步了解初等数论
初等数论主要的研究方向包括质数、素数、数的因数、最大公因数、同余方程以及二次剩余等等。入门的初学者可以通过阅读初等数
论的相关书籍和学习资料来了解这个领域的基础知识。
第二步，了解初等数论的PDF
初等数论的PDF是学习初等数论的重要辅助工具。初学者可以通
过网络或者书店购买相关的PDF，这些PDF中往往包含有详细的介绍、演算过程和习题等。
第三步，如何阅读初等数论的PDF
在阅读初等数论的PDF时，我们应该先阅读其中的知识点和概念，了解其基本原理、特点和规律。然后，我们可以通过演算过程来深入
理解这些知识点。最后就是做习题，通过做例题和习题来考验自己是
否真正理解了这些知识点。
第四步，初等数论应用
初等数论在日常生活和各个领域中都有广泛的应用。例如，在加
密技术中，RSA算法就利用了初等数论中的同余方程和欧拉函数等概念。又例如，在计算机科学中，素数和快速模幂等概念也被广泛应用。
总结：
初等数论虽然是数学中的一个基础分支，但其应用十分广泛。学
习初等数论的过程中，我们可以通过PDF来辅助学习，从而掌握基本
知识和做习题的方法。同时，初等数论的应用也是多方面的，可以在
各个领域中得到运用。
中考数学总复习资料(2020年整理).pdf
中考数学总复习资料---代数部分
第一章：实数
基础知识点：
一、实数的分类：
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q
p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如
1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念
1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0
2、倒数：
（1）实数a （a ≠0）的倒数是a
1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：
（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：
⎪⎩⎪⎨⎧−==0
,0,
00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、n 次方根
（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
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初等数论学习总结
本课程只介绍初等数论的的基本内容。由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系，因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的．一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此，许多高等院校，特别是高等师范院校，都开设了数论课程。
最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。
数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。
初等数论自学安排
第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时
整除的定义、带余数除法 最大公因数和辗转相除法 整除的进一步性质和最小公倍数 素数、算术基本定理
[x]和{x}的性质及其在数论中的应用
习题要求3p ：2，3；8p ：4；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。
第二章：不定方程（4学时）自学12学时
二元一次不定方程c by ax =+
多元一次不定方程c x a x a x a n n =++ 2211 勾股数 费尔马大定理。
习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。
第三章：同余（4学时）自学12学时
同余的定义、性质 剩余类和完全剩余系 欧拉函数、简化剩余系
欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用 习题要求43p ：2，6；46p ：1；49p ：2，3；53p 1，2。
第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时
同余方程概念 孙子定理
高次同余方程的解数和解法 素数模的同余方程 威尔逊定理。
习题要求60p ：1；64p ：1，2；69p ：1，2。 第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时
二次同余式
单素数的平方剩余与平方非剩余 勒让德符号 二次互反律 雅可比符号、
素数模同余方程的解法
习题要求78p ：2；81p ：1，2，3；85p ：1，2；89p ：2；93p ：1。 第一章：原根与指标（2学时）自学8学时
指数的定义及基本性质 原根存在的条件 指标及n 次乘余 模2
及合数模指标组、
特征函数
p：3。
习题要求
123
➢第一章整除
一、主要内容
筛法、[x]和{x}的性质、n！的标准分解式。
二、基本要求
通过本章的学习，能了解引进整除概念的意义，熟练掌握整除整除的定义以及它的基本性质，并能应用这些性质，了解解决整除问题的若干方法，熟练掌握本章中二个著名的定理：带余除法定理和算术基本定理。认真体会求二个数的最大公因数的求法的理论依据，掌握素数的定义以及证明素数有无穷多个的方法。能熟练求出二个整数的最大公因数和最小公倍数，掌握高斯函数[x]的性质及其应用。
三、重点和难点
（1）素数以及它有关的性质，判别正整数a为素数的方法，算术基本定理及其应用。（2）素数有无穷多个的证明方法。
（3）整除性问题的若干解决方法。
（4）[x]的性质及其应用，n！的标准分解式。
四、自学指导
整除是初等数论中最基本的概念之一，b∣a的意思是存在一个整数q，使得等式a=bq 成立。因此这一标准作为我们讨论整除性质的基础。也为我们提供了解决整除问题的方法。即当我们无法用整除语言来叙述或讨论整除问题时，可以将其转化为我们很熟悉的等号问题。
读者要熟练掌握并能灵活应用。特别要注意，数论的研究对象是整数集合，比小学数学中非负整数集合要大。
本章中最重要的定理之一为带余除法定理，即为
它可以重作是整除的推广。同时也可以用带余除法定理来定义整除性，（即当余数r=0
时）
种很重要的思想方法，它为我们解决整除问题提供了又一条常用的方法。同时也为我们建立同余理论建立了基础。读者应熟知常用的分类方法，例如把整数可分成奇数和偶数，特别对素数的分类方法。例全体奇素数可以分成4k+1，4k+3；或6k+1，6k+5等类型。
和整除性一样，二个数的最大公约数实质上也是用等号来定义的，因此在解决此类问题
题的常用方法之一。读者应有尽有认真体会该定理的证明过程。
既有联系，又有区别。要认真体会这些相关的性质，
a1,b1使用相应的定理，要注意，相关定理及推论中互素的条件是经常出现的。读者必须注意定理成
立的条件，也可以例举反例来进行说明以加深影响。顺便指出，若
最小公倍数实际上与最大公因数为对偶命题。特别要指出的是a和b的公倍数是有无穷多个。所以一般地在无穷多个数中寻找一个最小数是很困难的，为此在定义中所有公倍数中
的最小的正整数。即自然数的任何一个子集一定有一个最小自然数有在。最小公倍数的问题一般都可以通过以下式子转化为最大公因数的问题。两者的关系为
上述仅对二个正整数时成立。当个数大于2时，上述式子不再成立。证明这一式子的关键是寻找a,b的所有公倍数的形式，然后从中找一个最小的正整数。
解决了两个数的最小公倍数与最大公因数问题后，就可以求出
素数是数论研究的核心，许多中外闻名的题目都与素数有关。除1外任何正整数不是质数即为合数。判断一个已知的正整数是否为质数可用判别定理去实现。判别定理又是证明素数无穷的关键。实际上，对于任何正整数n>1，由判别定理一定知存在素数p，使得p∣n。即任何大于1的整数一定存在一个素因数p。素数有几个属于内在本身的性质，这些性质是
算术基本定理是整数理论中最重要的定理之一，即任何整数一定能分解成一些素数的乘积，而且分解是唯一的，不是任何数集都能满足算术基本定理的，算术基本定理为我们提供
了解决其它问题的理论保障。它有许多应用，
例如可求最大公约数，正整数正约数的个数等方面问题，对具体的n，真正去分解是件
不容易的事。对于较特殊的n，例如
[x]的性质又提供了解决带有乘除符号的整