初等数论知识点汇总
初等数论总复习题及知识点总结
初等数论总复习题及知识点总结最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。
数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。
初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法最大公因数和辗转相除法整除的进一步性质和最小公倍数素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求：2，3 ；：4 ；：1；：1，2，5；：1。
第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程多元一次不定方程勾股数费尔马大定理。
习题要求：1，2，4；：2，3。
第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质剩余类和完全剩余系欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用习题要求：2，6；：1；：2，3；1，2。
第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念孙子定理高次同余方程的解数和解法素数模的同余方程威尔逊定理。
习题要求：1；：1，2；：1，2。
第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时二次同余式单素数的平方剩余与平方非剩余勒让德符号二次互反律雅可比符号、素数模同余方程的解法习题要求：2；：1，2，3；：1，2；：2；：1。
第一章：原根与指标（2学时）自学8学时指数的定义及基本性质原根存在的条件指标及n次乘余模2及合数模指标组、特征函数习题要求：3。
第一章整除一、主要内容整除的定义、带余除法定理、余数、最大公因数、最小公倍数、辗转相除法、互素、两两互素、素数、合数、算术基本定理、Eratosthesen筛法、[x]和{x}的性质、n！的标准分解式。
二、基本要求通过本章的学习，能了解引进整除概念的意义，熟练掌握整除整除的定义以及它的基本性质，并能应用这些性质，了解解决整除问题的若干方法，熟练掌握本章中二个著名的定理：带余除法定理和算术基本定理。
高中数学：“初等数论”
高中数学：“初等数论”一、知识点概述初等数论是研究自然数的性质及其相互关系的一门数学学科，其研究对象是自然数和它们的运算。
初等数论主要研究质数、公因数和最大公因数、同余、数的分解、勒让德符号、二次剩余等数论基础知识。
二、重点概念解释1. 质数：大于1的自然数，除1和它本身外，不能被其它自然数整除的数字称为质数。
2. 素数：素数是指只有1和它本身两个约数的数。
3. 最大公因数：指两个或两个以上整数共有约数中，最大的一个。
4. 同余：对于任意整数a、b、n（n≠0），若n|(a-b)，则称a与b在模n条件下同余，记作a≡b(mod n)。
5. 勒让德符号：勒让德符号（Legendre Symbol）是一种特殊的符号，用来判断一个整数是否是二次剩余，即其是否满足某些特殊性质。
三、典型例题分析例题1：求最大公因数gcd(100, 80)。
答案：首先列出100=2^2×5^2，80=2^4×5，公共因子为2^2×5，即gcd(100,80)=20。
例题2：判断71^25与81在模10下是否同余。
答案：将71=7×10+1，用费马小定理得7^4≡1(mod 10)，于是71^25≡(7×10+1)^25≡7^25≡7(mod 10)。
又81≡1(mod 10)，因此不同余。
例题3：判断21与31在模5下是否有逆元。
答案：首先求21与31分别除以5的余数为1和1，因为1和5互素，所以1有逆元，然后判断31在模5下是否有逆元：31除以5余1，31与5不互素，因此31在模5下没有逆元。
例题4：求解同余方程3x≡4(mod 5)。
答案：gcd(3,5)=1，因此同余方程有解。
将方程两边乘以3的逆元2（即2×3≡1(mod 5)）得到6x≡8(mod 5)，即x≡3(mod 5)。
因此，同余方程的解为x≡3(mod 5)。
例题5：对于勒让德符号(a/p)，当p为素数，a为整数时，有以下性质：i. (a/p)=0当且仅当a≡0(modp)。
初等数论的性质与定理总结
初等数论的性质与定理总结初等数论是数论中的一个基础分支，研究整数的性质和整数运算规律。
本文将总结初等数论中的一些重要性质与定理。
一、整数的整除性质1. 整数的除法基本性质：对于任意整数a、b和非零整数c，存在唯一的整数q使得a = bq + c。
2. 整除关系的传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。
3. 整除关系的辗转相除法：对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的整数q和r使得a = bq + r（其中0 ≤ r < |b|）。
二、质数与合数1. 质数的定义：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
2. 质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数的性质：对于任意整数a和b，记a和b 的最大公约数为gcd(a, b)，最小公倍数为lcm(a, b)，则有以下性质： - gcd(a, b) = gcd(b, a)- gcd(a, 0) = |a|- lcm(a, b) = |ab| / gcd(a, b)三、模运算与同余1. 模运算的基本性质：对于任意整数a、b和正整数n，有以下性质：- (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n- (a - b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n- (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n2. 同余关系的性质：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b模n同余（记作a ≡ b (mod n)），则有以下性质：- a + c ≡ b + c (mod n)- ac ≡ bc (mod n)- 如果a ≡ b (mod n)，则a^k ≡ b^k (mod n)对于任意正整数k四、费马小定理与欧拉定理1. 费马小定理：如果p是质数，a是任意正整数且p不整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
初等数论的基本概念与计算
素数的分布
素数定理 Goldbach猜想
Euler猜想 孪生素数猜想
由Riemann猜想推出 偶数可以表示为两个素数之和
费马多边形数是素数 相差为2的素数对
素数对
01 勒让德猜想
素数对的分布规律
02 孪生素数
相差为2的一对素数
03 素数对是否有无穷多
目前尚未解决的问题
费马小定理
定理内容
若p为质数，a是整数且a与p互质，则a^(p-1) ≡ 1 (mod
02
数论推导
狄利克雷卷积在数论中具有深远的影响
03
有助于解决各种与算术函数相关的问题
莫比乌斯反演公式
01 函数关系
莫比乌斯反演公式用于描述莫比乌斯函数与其反函 数的关系
02 广泛应用
在数论中有着广泛的应用，可推导出一些重要的结 论和定理
03 数学推导
莫比乌斯反演公式对于解决一些复杂的数论问题具 有重要作用
Unified fonts make reading more fluent.Байду номын сангаас
Theme color makes PPT more convenient to change.
Adjust the spacing to adapt to Chinese typesetting, use the reference line in PPT.
结束语
01 数论的多样性
初等数论研究内容丰富多样，涵盖广泛
02 数学的美感
初等数论展现了数学的美感和深度
03 感谢
感谢观看者的耐心阅读和关注
THANKS FOR WATCH 谢谢观看
数论函数综述
重要性 研究方向
初等数论知识点整理
初等数论知识点整理 1. 整数的基本性质：
- 整数的定义与整数集的基本运算
- 整数的大小与比较
- 整数的不同表示形式（十进制、二进制、八进制等） 2. 整除与约数：
- 整除的定义与性质
- 素数的定义与判定方法
- 约数的定义与性质
- 最大公约数与最小公倍数的概念与计算方法
3. 同余与模运算：
- 同余的定义与性质
- 同余的基本运算性质
- 模运算的基本性质
- 剩余类和完全剩余系的概念与性质
4. 质数与素数：
- 质数与素数的定义
- 质数与素数的性质和特性
- 素数的测试方法与算法
- 质因数分解的方法与应用
5. 数论基本定理：
- 唯一分解定理（素因数分解定理）
- 辗转相除法与欧几里得算法
- 欧拉函数与欧拉定理
- 费马小定理与扩展欧几里得算法
6. 数论问题的应用：
- 同余方程与线性同余方程
- 不定方程的整数解与应用
- 素数分布与素数定理
- 模重复性与周期性问题
注意：本整理的所有内容仅供参考，请勿将其作为官方教材或其他正式场合使用。
初等数论知识点总结
初等数论知识点总结初等数论是数论中的一个分支，它主要研究自然数的整除性质以及其它基本性质。
初等数论主要包括素数与合数、整数表示、整数方程、模运算、同余方程、数乘次幂循环节等内容。
下面将对初等数论的关键知识点进行总结。
1.素数与合数：素数（质数）是只能被1和自身整除的自然数，合数是除了1和自身以外还能被其它数整除的自然数。
质数有无穷多个，这个结论由欧几里得证明。
常见的质数有2、3、5、7等。
2.素因子分解：任何一个自然数都可以唯一分解成若干个素数的乘积形式，这个分解过程称为素因子分解。
例如，24可以分解为2^3*3，其中2和3是24的素因子。
3.最大公约数与最小公倍数：最大公约数（GCD）是指两个或多个数中最大的能够整除所有这些数的自然数，最小公倍数（LCM）是指两个或多个数中最小的能够被这些数整除的自然数。
GCD可以通过欧几里得算法进行计算，而LCM可以通过两个数的乘积除以它们的GCD得到。
4.模运算与同余方程：模运算是将一个数除以另一个数所得到的余数，同余方程是指具有相同余数的整数关系。
例如，如果a除以n与b除以n得到相同的余数，即a≡b (mod n)，则称a与b在模n下是同余的。
5.素数定理与欧拉定理：素数定理是指当自然数x趋于无穷大时，小于等于x的素数的数量约等于x / ln(x)，其中ln(x)是自然对数。
欧拉定理是指当正整数a与自然数n互质时，a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)是小于n且与n互质的自然数的个数。
6.立方与四方数：立方数是指一个数的立方，四方数是指一个数可以表示为四个整数的平方和。
高斯数学说是指四方数的性质，它由高斯证明，表示为四个整数的平方和的非负整数解的个数等于该数的除以8的余数。
7.费马小定理与小费马定理：费马小定理是费马定理的一个特殊情况，它表明如果p是一个素数，a是一个与p互质的整数，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
小费马定理是费马小定理的推广，它表明如果a是一个整数，m是一个大于1的自然数，且a与m互质，那么a^φ(m) ≡ 1 (mod m)，其中φ(m)是小于m且与m 互质的自然数的个数。
(完整word版)初等数学知识点汇总,推荐文档
初等数学知识点汇总一、绝对值1、非负性：即|a| ≥ 0，任何实数a 的绝对值非负。
归纳：所有非负性的变量（1） 正的偶数次方（根式） 0,,,,412142≥a a a a Λ（2） 负的偶数次方（根式） 112424,,,,0a a a a---->L（3） 指数函数 a x(a > 0且a ≠1)>0考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。
2、三角不等式，即|a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| 左边等号成立的条件：ab ≤ 0且|a| ≥ |b|右边等号成立的条件：ab ≥ 03、 要求会画绝对值图像 二、比和比例1、%(1%)ap a p −−−→+原值增长率现值 %)1(%p a p a-−−→−现值下降率原值 %%%%p p p p ⋅=⇔=-⇔乙甲，甲是乙的乙乙甲注意：甲比乙大 2、 合分比定理：d b ca m mdb mc ad c b a ±±=±±==1等比定理：.a c e a c e a b d f b d f b++==⇒=++ 3、增减性1>b a b a m b m a <++ (m>0) , 01a b << ba mb m a >++ (m>0) 4、 注意本部分的应用题（见专题讲义） 三、平均值1、当n x x x ，⋯⋯,,21为n 个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即),1 0( ·2121n i x x x x nx x x i nn n ，＝＞＋＋＋⋯⋯≥⋯当且仅当时，等号成立＝n x x x ⋯⋯==21。
2、 2ab b a ≥＋⎪⎩⎪⎨⎧>>等号能成立另一端是常数，00b a3、2(0)a bab ab b a≥>＋ ，同号 4、n 个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这n 个正数相等，且等于算术平均值。
初等数论
第一章 整除理论§1.1 整数与自然数及整除的基本性质整数集},3,2,1,0,1,2,3,{ ---=Z ，整数中的四则运算我们已在中小学学习过，需要注意的是，任何下有界的非空整数集总含有它的最小元，这一性质也称为最小整数原理.同样地，一个上有界的非空整数集总含有它的最大元，自然数即是正整数，全体自然数集用N 表示.定义1.1.1 设0,,≠∈a Z b a ,如Z d ∈∃使得b ad =，则称a 整除b ，记为b a ，这里a 称为b 的约数或因数(或因子),b 称为a 的倍数.如果a 不能整除b ,则记为b a |/.例如3|1010|312|924|6,15|536|126|3///--，，，，，等等。
值得注意的是，由于Z a ∈∀，有00=⋅a ,若,0≠a 则0|a ,所以0被任何整数整除.定理1.1.1 (i ) .||||b a b a b a b a ⇔-⇔-⇔(ii )(传递性) c a c b b a ||,|⇒.(iii ) 若b d a d |,|,则by ax d Z y x +∈∀|,,有.(iv ) bn an b a n ||,0⇔≠∀(v ) b a a b b a ±=则若,|,|.(vi ) b a b b a ≤≠则且若,0,|.证明 仅证(iii ).因为,,|,|2,1Z d d b d a d ∈∃故使得a dd =1,b dd =2,⇒∀)(,,2121y d x d d y dd x dd by ax Z y x +=+=+∈有,而Z y d x d ∈+21,故by ax d +|.证毕.在此定理中的(iii )显然有如下推广:定理1.1.2 若Z x m i a d i i ∈∀=则),,,2,1(| ,有∑=mi i i x a d 1|.例1 证明 若2|n, 3|n, 则6|n.证明 由于2|n,得n=2k(Z k ∈),由条件知3|2n,又由定理1.1.1中(iv )与(ii )可得3|3k,所以由定理1.1.1(iii )知3|(3k-2k),即3|k,再由定理1.1.1(iv )知k ⨯⨯2|32,即6|n.证毕.定理1.1.3 设b a ,是两个整数,其中0>b ,则存在两个唯一得整数r q 和,使得r bq a +=, b r <≤0 (1)成立证明 考虑数列,3,2,,0,,2,3,b b b b b b ---那么a 必在上述序列的某两之间,或是其中某一项,即存在一个整数q 使得b q a qb )1(+<≤ 成立.令.0,b r r qb a <≤=-则有故有(1)成立.再证唯一性.设11,r q 是满足(1)的另一对整数,因为r bq r q b +=+111,于是r r q q b -=-11)(.所以r r q q b -=-11.由于1r r 与都是小于b 的非负整数.故上式右边小于b ,如果q q ≠1,则上式左边b ≥,这不可能,故必q q =1.由此及上式知r r =1.证毕.定义1.1.2 我们把(1)式中q 叫做a 被b 除得出的不完全商,r 叫做a 被b 除所得到的余数.也叫做非负最小剩余.常记作r a b =><.以后总假定除数0>b 以及因数为正.在不致引起混淆的情况下,b a ><中的b 常略去不写.显然有如下结论:定理1.1.4 对于整数0,,,21>b b a a 其中,有(i ) 〉〉〈+〉〈〈=〉+〈2121a a a a .(ii ) 〉〉〈-〉〈〈=〉-〈2121a a a a .(iii ) 〉〉〉〈〈〈=〉〈2121,a a a a .证明 仅证(i )与(iii ).(ii )读者自证.设〉〈+=111a bq a ,〉〈+=222a bq a . 〉〉〈+〉〈〈+=〉〈+〉〈21321a a bq a a .于是〉〉〈+〉〈〈+++=〉〈+〉〈++=+21321212121)()(a a q q q b a a q q b a a .所以由定理1.1.3知(i )成立.又设 〉〈+=2121,a a bq a a ,于是))((221121〉〈+〉〈+=a bd a bd a a〉〉〈〈+-〉〈+〉〈+=21122121)(a a q a d a d d bd b从而 〉〉〉〈〈〈=〉〉〈〈2121,a a a a ,由定义知〉〉〉〈〈〈=〉〉〉〈〈〈=〉〈212121,a a a a a a由此(iii )得证.§2 最大公因数与辗转相除法定义1.2.1 设n a a a ,,,21 是n 个不全为零的整数.若整数d 是它们之中每一个因数,那么d 就叫做n a a a ,,,21 的一个公因数(或称为公约数).整数n a a a ,,,21 的公因数中最大的一个叫做最大公因数(或称为最大公约数),记作(n a a a ,,,21 ),若(n a a a ,,,21 )=1,我们称n a a a ,,,21 互素.注: n(n>1)个整数的公因数必有限.由最大公因数的定义知(n a a a ,,,21 )=),,,(21n a a a .而一组不全为零的整数的最大公因数等于它们当中全体不为零的整数的最大公因数,所以只须讨论全体正整数的最大公因数.首先将介绍辗转相除法求最大公因数.定理1.2.1 设c b a ,,是任意三个不全为零的整数,且c bq a +=,其中q 是整数,则),(),(c b b a =.证明 b d a d |,|∀,则由定理1.1.1知c d bq a d |).(|即-+,由d 的任意性知c b a |),(,故),(),(c b b a ≤.反之,c d b d |,|∀,由定理1.1.1知a d |,由d 的任意性知a c b |),(,于是),(),(b a c b ≤.综上),(),(c b b a =.证毕.设0,0>>b a ,由定理1.1.3(带余数除法)则有11r bq a +=, )|(01a b b r /<<221r q r b +=, )|(0112b r r r /<<3321r q r r +=, )|(01223r r r r /<<(1) n n n n r q r r +=--12, )|(0211---/<<n n n n r r r r 11+-=n n n q r r , )|(1-/n n r r 由于余数)1(n i r i ≤≤是正整数且逐次减小,所以经有限步后必有一个余数为零.即01=+n r .由(1)及定理1.2.1则得下述结论: 定理1.2.2 若任给整数0,0>>b a ,则n r b a =),(. 证明 由定理1.2.1得),(),(),(),(),0(2111b a r r r r r r r r n n n n n n n n ======---+ . 证毕.定理1.2.3 设0,0>>b a ,对于如上辗转相除法(1).有 n k r b U a V k k k k ,,2,1,)1(1 =-=-- (2) 这里⎩⎨⎧+===+===----211021110,1,1,,1k k k k k k k k V V q V V V U U q U q U U (3) 证明 可用数学归纳法来证明.由(1) 11r bq a +=,可写成 11111)1(r b U a V --=-. 由b q q a q r r b q a q r q r b )1()(1222212221+-=-+-=+=得,即21222)1(r b U a V --=-. 所以当2,1==k k 定理成立.下证由1+k k 到也成立.由于 111-k +++=k k k r r q r , )()1()()1(111121b U a V q b U a V r k k k k k k k k -----=-+---+ 所以)()1(1111b U a V q b U a V r k k k k k k k -+-=-+--+ b U a V b U U q a V V q k k k k k k k k 111111)()(++-+-+-=+-+=证毕.例1.2.1 求(299,247) 解.013339,1339152,39524247,522471299+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=故 13)247,299(=由定理1.2.3即得如下推论: 推论1.2.1 若Z y x d b a ∈=,,),(则有使得 d by ax =+.证明 令k k k k U y V x )1(,)1(1-=-=-则有 d r by ax k ==+. 证毕.由例1.2.1知 13,3,247,299====k r n b a .由上面的等式 333b b U a V =-.而1,4,1321===q q q ,由(3)可得6,533==U V ,即1324762995=⨯-⨯. 所以d by ax y x =+-==有6,5.推论1.2.2b a 与的因数是),(b a 的因数. 证明 b a ,∀的公因数d ',则.|,|.|,|d d by ax d b d a d '+'''即所以证毕.定理1.2.4 设),(),(,1),(c b c ab c a ==则. 证明 设1),(,,,),(1111====c b d c c d b b d c b 且则(否则,若1),(11>c b ;反证d 不是b a 与的最大公因数),于是),(),(),(1111c ab d d c d ab c ab ==. 再证若.1),(11=c ab .|,|.1),(111c d ab d d c ab ''>'=则若d '无大于1的因子整除1b .则a d |',又c c |'.c d c d |,|1''于是.所以1),(>'≥d c a .此与1),(11=c b 矛盾.总之,.1),(11=c ab 于是d c ab d c ab ==),(),(11.证毕.推论1.2.3 设b c ab c c a |,|,1),(则=. 证明 因为.|,),(),(b c c c b c ab 即==证毕.。
初等数论-第一章
有可能是不唯一的。
例 当 a5, b2时 ， 可 有 5 （ 2） （ 3） （ 1） ， 即 q3,r1; 或 5 （ 2） （ 2） 1， 即 q2,r1
证明分析：作序列
，- 3 b ,- 2 b ,- b ,0,b ,2 b ,3 b , 2 2 2 22 2
则a必满足q b a<(q+1) b , 其中qZ,
(i)m是任一正整数，则
(am,bm) (a,b)m
(ii)若
是a,
b的任一公因数，则
a
,
b
a,
b
，
特别
a (a, b)
,
b (a, b)
1
对于两个以上整数的最大公因数问题，不妨设
a1,a2, ,an是 任 意 n个 正 整 数 ， 令 (a1,a2)d2,(d2,a3)d3, ,(dn1,an)dn.
3、带余数除法
定 理 4 若 a,b是 两 个 整 数 ， 其 中 b0， 则 存 在 着 两 个 整 数 q及 r， 使 得 abqr， 0rb () 成 立 ， 而 且 q及 r是 唯 一 的 。 ()式 中 的 q及 r分 别 叫 a被 b除 所 得 的 不 完 全 商 和 余 数 。
证明分析：作整数序列 ，-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,
,b)
2
即当a与b是正整数时，只要使用被2除的除法运算和 减法运算就可以计算出(a,b)
例1、求（12345,678）
解： （12345,678）=（12345，339） =（12006,339）=（6003,339） =（5664,339） =（177,339） =（177,162） =（177，81） =（96,81） =（3,81）=3
初等数论完整资料整合。
第一章考点1、会求最大公因数与最小公倍数解法：最大公因数用辗转相除法最小公倍数为两个数的乘积除以两者的最大公约数，所以也是要先求出两者的最大公约数2、判别一个数是为质数还是合数判别法：用小于√x的所有质数除此数，看能否被整除3、证明整除（最好用同余证）例1证：73|8n+2+92n+1（n∈N）解：法一 8n+2+92n+1=64×8n+9×81n=64×8n+9×（73+8）n=64×8n+9×（C0n73n+C1n73n-1×8+…+C n n8n）=64×8n+9(73q+8n)( q∈Z)=73×8n+9q×73所以73|8n+2+92n+1法二 8n+2+92n+1≡64×8n+9×81n≡64×8n+9×8n≡73×8n≡0（mod73）所以73|8n+2+92n+1例2已知17|2x+3y,证明17|9x+5y解：因为9x+5y=17（x+y）- 4(2x+3y) 且17|2x+3y所以17|9x+5y例3设k为正奇数，证：1+2+3+....+9|1k+2k+3k+ (9)证：记S=1k+2k+3k+ (9)则2S=（1k+9k）+（2k+8k）+…+（9k+1k）=（1+9）q1 （q1∈Z)所以10|2S又因为2S=（0k+9k）+（1k+8k）+…+(9k+0k)=（0+9）q2（q2∈Z）所以9|2S又因为（9,10）=1所以90|2S 即45|S从而1+2+3+....+9|1k+2k+3k+ (9)4、证明某种类型的质数有无穷多个例：证明4n+1形的质数的个数为无穷。
（最后一节课讲的）第三章同余考点：1、同余的性质；（应用在同余解题中）P482、简化剩余系和欧拉函数；（求简化剩余系的个数）P583、欧拉定理和费马定理对循环小数的应用；（利用欧拉定理解题；判断是纯循环还是混循环，若是混循环，从第几位开始）P61具体分析：一、同余的性质1、a≡a (mod m)2、若a≡b (mod m),则b≡a (mod m)3、若a≡b (mod m) b≡c (mod m) 则 a≡c (mod m)4、i.若a1≡b1 (mod m) a2≡b2 (mod m) 则 a1+a2≡b1+b2 (mod m)ii. a+b≡c (mod m) 则 a≡c-b (mod m)5、a1≡b1 (mod m) a2≡b2 (mod m) 则 a1a2≡b1b2 (mod m)特别的，若a≡b (mod m) 则 ak≡bk (mod m)6、若a≡b (mod m) 且a=a1d b=b1d (d,m)=1 则 a1≡b1 (modm)7、i.若a≡b (mod m) k>0 则 ak≡bk （mod mk）ii.若a≡b (mod m) d为a,b及m的任一正公因数，则a/d≡b/d (mod m/d)8、若a≡b (mod m) i=1、2…k 则a≡b(mod m1m2…m k)例：一个小于4000的四位数，被3、4、5、7、9除皆余2，求这个数。
初等数论的基础知识及其应用
初等数论的基础知识及其应用数论是关于数的性质和关系的研究领域，其基础知识为我们理解和使用数学提供了重要的支持。
初等数论，是数论中的一部分，主要涉及整数的基础性质和运算法则等内容。
本文将从“质数与合数”、“同余与模运算”、“欧几里得算法及其扩展”、“RSA加密算法”四个方面介绍初等数论的基础知识及其应用。
质数与合数在整数中，如果一个大于1的自然数，除1和它本身外没有其他的因数，那么它就是一个质数，否则它就是一个合数。
质数在数学和计算机科学中有着广泛的应用，如加密算法和密码学、素性测试、识别算法分解素数等领域。
而合数则在一些数学问题中发挥了重要作用，如奇怪的函数、数感猜想等。
同余与模运算同余是数论中一个重要的概念，指两个整数除以某个正整数所得的余数相同。
其基本概念是模运算，即在计算时只考虑整数除以某个正整数的余数，而忽略商的部分。
同余关系可以用“≡”符号表示，如a ≡ b (mod m)表示a与b模m同余。
同余关系在计算机科学中广泛应用，如哈希函数、散列函数等。
欧几里得算法及其扩展欧几里得算法是一种寻找两个自然数最大公约数的方法。
其基本思想是：对于两个自然数a和b，如果a大于b，则a除以b得余数r，那么a与b的最大公约数等于b与r的最大公约数。
反之，如果b大于a，则将a和b互换位置。
欧几里得算法还可以扩展为求解不定方程ax + by = gcd(a, b)，其中a、b为两个自然数，x、y为一组自然数。
RSA加密算法RSA加密算法是一种公钥加密算法，它使用两个不同的密钥来实现加密和解密。
该算法基于数论，利用质数分解的难度来保证密钥的安全性。
其加密过程包含如下步骤：1. 生成两个不同的质数p和q，并计算它们的乘积N = p * q。
2. 计算φ(N) = (p-1) * (q-1)。
3. 选择一个大于1小于φ(N)的整数e，使其与φ(N)互质。
4. 找到一个整数d，使其满足de ≡ 1 (mod φ(N))。
最新关于初等数论的解析
3. 欧拉函数和莫比乌斯函数在数论研究中有着广泛的应用，如 素数分布、同余方程等。
2. 狄利克雷卷积公式
01
1. 狄利克雷卷积公式 是数学中的一个重要工 具，用于计算两个函数 的卷积。
02
2. 狄利克雷卷积公式 在信号处理、图像处理 等领域有广泛的应用。
三、因数分解
1. 质因数分解方法
1. 质因数分解方法是将一个合数分解为若干个质数的乘积，这是数 论中的基本操作之一。
1
2. 常用的质因数分解方法有试除法、更相减损术、辗转相除法等， 这些方法都基于数学的基本性质和定理。
2
3. 质因数分解在密码学、计算机科学等领域有着广泛的应用，例如
3
RSA公钥加密算法就是基于大整数的质因数分解问题。
感谢观看!
3. 1既不是素数也不是合数 ，因为素数定义要求有且仅 有两个正因数，而1只有一个 正因数。
3. 最大公约数与最小公倍数
1. 最大公约数（GCD）是指两个或多个整数共有约数中最大的一个，例如 12和16的最大公约数是4。
01
2. 最小公倍数（LCM）是指两个或多个整数的公倍数中最小的一个，例如 8和12的最小公倍数是24。
03
3. 整数在数学中具有重要 的地位，它们可以表示数量 、顺序、位置等概念，同时 也是许多数学定理和公式的 基础。
2. 素数与合数的定义
01
1. 素数是只有两个正因数（ 1和本身）的自然数，如2、3 、5、7等。
02
2. 合数则是除了1和本身之 外还有其他正因数的自然数 ，如4、6、8、9等。
03
03
3. 狄利克雷卷积公式 的推导过程涉及到傅立 叶变换和拉普拉斯变换 等数学知识。
初等数论.pdf
第二十章 初等数论本章简要地介绍了初等数论的基础知识.共分六节.前五节讨论了整数的性质与辗转相除法,连分数与费波那奇序列,同余式与孙子定理,介绍了几种重要的数论函数和麦比乌斯变换,并列出几类不可约多项式的判别方法.最后一节对代数数等基本概念和性质作了简单的介绍.§1 整数[整数部分与分数部分] 设α为一实数,不超过α的最大整数称为α的整数部分,记作[]α.而{}[]ααα=−称为α的分数部分. 例如 [],[11=.]232=,[等等 .]−=−354 整数部分具有下列关系式: [][]ααα≤<+1[][]n n αα⎡⎣⎢⎤⎦⎥=,n 为自然数 [][ααααn n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11L ]]，n 为自然数 [][][][][22αβααββ+≥+++ [][][]αβαβ−=− 或 []αβ−+1注意,在计算机程序中的“取整运算”与这里的“整数部分”意义是有差别的:当α≥0时是一致的;当α<0时不一致,例如[.]−=−354,但计算机上−35.取整后为−3. [整除性] 若有一整数c ,使得整数a 与b 之间适合于bc a =则称b 可整除a ,记作b a 。
这时a 称为b 的倍数,b 称为a 的因数(或约数). 若b 不能整除a ,则记作b a .整除性具有下列性质(下列各式0,0≠≠c b ): 1° 若b a ,c b , 则c a ; 2° 若b a , 则bc ac ;3° 若c d ,c e ,则对于任意整数m,n 有c d m ea +4° 若b 是a 的真因数(即b ),则a ≠1, 1<<b a[素数与爱拉托斯散筛法] 恰有1和本身两个自然数为其因数的大于1的整数称为素数,记作.除2为偶素数外,其余素数都是奇数. p 素数具有性质:1° 素数有无限多个. 如果不超过自然数n 的素数个数记作 π(n),则当时,有n ≥21812⋅≤≤⋅n n n n nlog ()log π*,进一步有 1log )(lim =∞→nnn n π*数论中通常把自然对数记作.x ln x log2° 设p 为素数,若p ab ,则p a 或pb . 3° 中含素数p 的方次数等于n ! [][][]n p n p np+++23L4° 若n N ≤为正整数,它不能被不超过N 的所有素数所整除,则n 必为素数.这种判别自然数是否为素数的方法称为爱拉托斯散筛法.由此法可建立素数表.[唯一分解定理] 大于1的自然数都可唯一地分解为素数幂的积.设n ,为自然数,则n 可唯一地表为>1s a s a a p p p n L 2121⋅= (为自然数) 0,,0,021>>>s a a a L (为素数)s p p p <<<L 21这称为n 的标准分解式。
初等数论总复习题与知识点总结
初等数论学习总结本课程只介绍初等数论的的基本容。
由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系， 因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础容是有益的．一方面通过这些容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此，许多高等院校，特别是高等师院校，都开设了数论课程。
最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。
数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。
初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法 最大公因数和辗转相除法 整除的进一步性质和最小公倍数 素数、算术基本定理[x]和{x}的性质与其在数论中的应用习题要求3p ：2，3 ； 8p ：4 ；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。
第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程c by ax =+多元一次不定方程c x a x a x a n n =++ 2211 勾股数 费尔马大定理。
习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。
第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质 剩余类和完全剩余系 欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理与在循环小数中的应用 习题要求43p ：2，6；46p ：1；49p ：2，3；53p 1，2。
第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念 子定理高次同余方程的解数和解法 素数模的同余方程 威尔逊定理。
初等数论自学考试大纲
初等数论自学考试大纲第一章整除理论（一）重点整除、整除的性质、素数的性质、素数的相关定理、带余数除法、最大公约数（最大公因数）、最大公约数的性质、素数的性质的求法、最小公倍数的性质、最小公倍数的求法、辗转相除法的运用、算术基本定理、标准分解式、函数[x]、函数{x}、函数[x]和{x}的性质、!n的质因数分解式。
识记：整除、整除的性质、素数的性质、素数的相关定理、带余数除法、最大公约数（最大公因数）、最大公约数的性质、素数的性质的求法、最小公倍数的性质、最小公倍数的求法、辗转相除法的运用、算术基本定理、标准分解式、函数[x]、函数{x}、函数[x]和{x}的性质、!n的质因数分解式。
理解：整除、素数的性质、素数的相关定理、带余数除法、最大公约数（最大公因数）、最大公约数的性质、素数的性质的求法、最小公倍数的性质、最小公倍数的求法、算术基本定理、标准分解式、函数[x]、函数{x}、函数[x]和{x}的性质、!n的质因数分解式。
应用：整除、整除的性质、素数的相关定理、带余数除法、最大公约数、素数的性质的求法、最小公倍数、最小公倍数的求法、辗转相除法、辗转相除法的运用、标准分解式、函数[x]和{x}的性质、!n的质因数分解式。
（二）次重点平凡约数、非平凡约数、公因数、两两互质、素数、最小公倍数、辗转相除法。
识记：平凡约数、非平凡约数、公因数、两两互质、素数、最小公倍数、辗转相除法。
理解：平凡约数、公因数、两两互质、最小公倍数、辗转相除法。
应用：素数性质、最小公倍数、辗转相除法等的应用。
（三）一般不整除、素约数、互质、合数。
识记：不整除、素约数、互质、合数。
理解：素约数、互质、合数。
应用：素约数、互质、合数的应用。
第二章不定方程（一）重点不定方程、整数解、特解、一般解、二元一次不定方程有解条件、二元一次不定方程解的一般形式、二元一次不定方程的解法、辗转相除法、逐步回代法、余数分析法、因数（式）分析法、不等分析法、勾股数、无穷递降法。
大一初等数论知识点总结
大一初等数论知识点总结数论，作为数学的一个分支，是研究整数的性质和结构的学科。
在高等数学中，数论是一个重要的基础学科，也是培养数学思维和证明能力的重要内容之一。
下面将总结一些大一初等数论中的重要知识点。
一、素数与因数分解1. 素数定义：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外没有其他因数的数被称为素数。
2. 质因数分解定理：任何一个大于1的自然数都可以表示为一系列素数的乘积，且这个分解方式是唯一的。
3. 最大公因数与最小公倍数：最大公因数是两个数同时能整除的最大的自然数，最小公倍数是能同时被两个数整除的最小的自然数。
二、模运算1. 同余：对于给定的正整数m，如果两个整数a和b满足a-b 能被m整除，则称a和b在模m下同余，记作a≡b (mod m)。
2. 同余性质：同余具有如下性质：- a ≡ b (mod m) 且c ≡ d (mod m)，则a±c ≡ b±d (mod m)。
- a ≡ b (mod m) 且c ≡ d (mod m)，则ac ≡ bd (mod m)。
3. 模运算法则：模运算具有如下法则：- (a+b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m- (a-b) mod m = (a mod m - b mod m) mod m- (ab) mod m = (a mod m)(b mod m) mod m三、整除性与剩余类1. 整除性定义：如果a能被b整除，则称a是b的倍数，b是a 的因数。
2. 剩余类定义：对于给定的正整数m，将整数a分成m个不同的等价类，每个等价类都与m同余的整数被称为模m的一个剩余类。
3. 剩余类的运算：模m的剩余类满足如下运算规则：- 模m的剩余类可以进行加法和乘法运算。
- 模m的剩余类乘法满足交换律和结合律。
四、欧几里得算法与最大公因数1. 欧几里得算法：欧几里得算法用于求两个正整数的最大公因数，具体步骤如下：- 设a和b是两个正整数，其中a>b。
初等数论知识点汇总
第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且01≠-m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。
初等数论知识点总结
《初等数论》总结姓名 xxx学号 xxxxxxxx院系 xxxxxxxxxxxxxxx专业 xxxxxxxxxxxxxxx个人感想初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。
这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结第一章整数的可除性1.2性质：(1)传递性质)；(2)闭。
若反复运用这一性质，易则对于任意的整更一般，(3)若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余数除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1-b 。
若0=r ，即为a 被b 整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a （不超过b a 的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r <≤0。
证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生若n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n n n y xy y x x y x y x Λ；若n 是正奇数，则))((1221----+-+-+=+n n n n n n y xy y x x y x y x Λ；（在上式中用y -代y ）(7)如果在等式∑∑===mk k ni i b a 11中取去某一项外，其余各项均为c 的倍数，则这一项也是c 的倍数；(8)个连续整数中，有且只有一个是n 的倍数；(9)任何n 个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；第二章 不定方程1. 定义：二元一次不定方程的一般形式是ax +by = c ，其中a ,b ,c 是整数2. 定理：(1) 不定方程有整数解的充要条件为 (a,b) | c. (2) 设是方程的一组解，则不定方程有无穷解，其一切解可表示成⎩⎨⎧+=-=t a yy t b x x 1010 Λ,2,1,0±±=t 其中),(,),(11b a b b b a a a ==3. 不定方程的解法：（1）观察法：当a,b 的绝对值较小时可直接观察不定方程的一组特解，然后用⎩⎨⎧+=-=ta y y tb x x 1010得到其所有解（2）公式法：当a,b 的绝对值较小时，可用公式211021110,,1,0,,1----+===+===k k k k k k k k P Q q Q Q Q P P q P q P P 得到特解n n n n P y Q x )1(,)1(010-=-=-，然后用公式写出一切解。
初等数论知识点
初等数论知识点数论是一门数学分支，主要研究整数（和实数）的性质和相互关系，以及它们的数学结构。
在数论中，初等数论是一门基础学科。
它主要探讨正整数的基本性质、算术运算规则、因数分解、最大公约数和最小公倍数等知识点的理论和应用。
本文将对初等数论的常见知识点进行详细介绍。
一、质数与合数任何一个大于1的自然数，如果它的因数除了1和它本身外，再没有其他因数，那么称这个数是质数。
否则，这个数就是合数。
例如，2、3、5、7、11、13等等，都是质数。
而4、6、8、9、10等等，都是合数。
在初等数论中，质数是一个非常重要的概念。
以下是一些质数的基本性质和定理：（1）2是最小的质数，它是唯一的偶质数。
（2）除2以外的任何偶数都是合数。
（3）如果一个整数p>1不能被2到√p之间的任何整数整除，那么它一定是质数。
（4）如果一个数是质数，则它不能表示成两个较小的正整数相乘。
（5）如果p是质数，且a、b是任意两个整数，那么a^p-b^p可以因式分解成(a-b)和另外一个整数的积。
（6）费马小定理：如果p是质数，a是任意整数且p不整除a，那么a^(p-1)除以p的余数为1。
以上定理在证明和应用上都非常重要，其中费马小定理还有广泛的应用，例如用于RSA加密算法中。
二、因数分解因数分解是指将一个正整数分解成若干个质数乘积的形式。
例如，24可以分解成2^3 * 3，而30可以分解成2 * 3 * 5。
因数分解在初等数论和高等数学中都是非常常见的操作，因为它在求解最大公约数、最小公倍数等问题时非常关键。
以下是一些因数分解的常见方法和技巧：（1）试除法：从小到大枚举质数，依次判断是否为该数的因数，如果是，则将该因数除掉，继续枚举，直到该数变成1为止。
（2）质因数分解法：先将一个数的因子分解成若干个质数的乘积，然后将质数按照大小递增的顺序尝试分解该数，最终得到因子分解式。
（3）辗转相除法：用较小的数去除较大的数，得到商和余数，然后用余数去除已经得到的商，继续得到商和余数，重复上述操作，直到余数为0为止。
初等数论知识点
初等数论知识点数论是数学的一个重要分支，而初等数论则是数论中较为基础的部分，它主要研究整数的性质和相互关系。
下面让我们一起来了解一些初等数论的重要知识点。
一、整除整除是初等数论中的一个核心概念。
如果整数 a 除以整数 b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b ｜ a。
例如，15÷3 ＝ 5，没有余数，所以 3 ｜ 15。
整除具有一些基本的性质：1、如果 a ｜ b 且 b ｜ c，那么 a ｜ c。
2、如果 a ｜ b 且 a ｜ c，那么对于任意整数 m、n，有 a ｜（mb＋ nc)。
二、素数与合数素数（质数）是指一个大于 1 的整数，除了 1 和它自身外，不能被其他正整数整除。
例如 2、3、5、7 等都是素数。
合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。
比如 4、6、8、9 等。
素数具有重要的地位，有一个著名的定理叫做“算术基本定理”，它指出任何一个大于 1 的整数都可以唯一地分解成素数的乘积。
三、最大公因数与最小公倍数两个或多个整数共有的因数中最大的一个，称为它们的最大公因数，记作（a, b)。
例如，12 和 18 的公因数有 1、2、3、6，其中最大的是 6，所以（12, 18) ＝ 6。
两个或多个整数共有的倍数中最小的一个，称为它们的最小公倍数，记作 a, b。
对于 12 和 18，它们的公倍数有 36、72 等，其中最小的是 36，所以 12, 18 ＝ 36。
求最大公因数和最小公倍数可以使用质因数分解法或辗转相除法。
四、同余同余是指两个整数 a 和 b 除以正整数 m 所得的余数相同，就说 a 和b 对模 m 同余，记作a ≡ b （mod m)。
同余有很多性质，比如如果a ≡ b （mod m)，c ≡ d （mod m)，那么a ＋c ≡b ＋ d （mod m)，ac ≡ bd （mod m)，ac ≡ bd （mod m)等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且01≠-m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。
第二节 整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。
由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。
更一般，若n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++ 。
或着i b a |，则∑=ni i i b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1, =∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=； (4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是质数，若na p |，则a p |；(6)(带余除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1-b 。
若0=r ，即为a 被b 整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a （不超过b a的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r <≤0。
证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。
若n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n nny xy y x x y x y x ；若n 是正奇数，则))((1221----+-+-+=+n n n n nny xy y x x y x y x ；（在上式中用y-代y ）(7)如果在等式∑∑===mk kn i i ba 11中取去某一项外，其余各项均为c 的倍数，则这一项也是c 的倍数；(8)n 个连续整数中，有且只有一个是n 的倍数；(9)任何n 个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；2．奇数、偶数有如下性质：(1)奇数±奇数=偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数⨯偶数＝偶数，奇数⨯偶数＝偶数，奇数⨯奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；（2）奇数的平方都可以表示成18+m 的形式，偶数的平方可以表示为m 8或48+m 的形式； （3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m 2=的形式，其中m 为负整数，l 为奇数。
（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
3．完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
平方数有以下性质与结论： （1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；（3）奇数平方的十位数字是偶数；（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。
因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；（6）平方数的约数的个数为奇数；（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数b a ,之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若（b a ,）＝1，则b a ,都是整数的k 次方幂。
一般地，设正整数c b a ,,, 之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若c b a ,,, 两两互素，则c b a ,,, 都是正整数的k 次方幂。
4．整数的尾数及其性质整数a 的个位数也称为整数a 的尾数，并记为)(a G 。
)(a G 也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质：（1）=))((a G G )(a G ；（2）)(21n a a a G +++ ＝)]()()([21n a G a G a G G +++ ； （3）=⋅⋅⋅)(21n a a a G )]()()([21n a G a G a G G ⋅⋅⋅ ；（4）0)10(=a G ；)()10(b G b a G =+；（5）若c b a 10=-，则)()(b G a G =；（6）+∈=N k a a G a G k,),()(44；（7）++∈<<≥=N r k a r k a G aG r rk ,,,40,0),()(4；（8）⎪⎩⎪⎨⎧=同为奇数时当同时为偶数时为奇数或为偶数，当是偶数为奇数，当212121421,),(,),(),()(121b b a G b b b b a G b b a G aG b b nb b5．整数整除性的一些数码特征（即常见结论）（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能； （2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能； （3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能； （5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。
6．质数与合数及其性质 1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。
2．有关质（素）数的一些性质 （1）若1,>∈a Z a ，则a 的除1以外的最小正因数q 是一个质（素）数。
如果a q ≠，则a q ≤；（2）若p 是质（素）数，a 为任一整数，则必有a p |或（p a ,）＝1；（3）设n a a a ,,,21 为n 个整数，p 为质（素）数，且n a a a p 21|，则p 必整除某个i a （n i ≤≤1）； （4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数a ，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；（5）任何大于1的整数a 能唯一地写成k i p p p a k a k aa ,,,2,1,2121 == ①的形式，其中i p 为质（素）数（)(j i p p j i <<）。
上式叫做整数a 的标准分解式； （6）若a 的标准分解式为①，a 的正因数的个数记为)(a f ，则)1()1)(1()(21+++=k a a a a f 。
第三节 整数的性质及其应用（2）基础知识最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。
定义1.（最大公约数）设不全为零，同时整除的整数（如）称为它们的公约数。
因为不全为零，故只有有限多个，我们将其中最大一个称为的最大公约数，用符号（）表示。
显然，最大公约数是一个正整数。
当（）＝1（即的公约数只有）时，我们称与互素（互质）。
这是数论中的非常重要的一个概念。
同样，如果对于多个（不全为零）的整数，可类似地定义它们的最大公约数（）。
若（）＝1，则称互素。
请注意，此时不能推出两两互素；但反过来，若（）两两互素，则显然有（）＝1。
由最大公约数的定义，我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变的符号，不改变（）的值，即；（）可以交换，（）＝（）；（）作为的函数，以为周期，即对于任意的实数，有（）＝（）等等。