初等数论知识点汇总

第一节 整数的p 进位制及其应用

正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。

基础知识

给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。

由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即

012211101010a a a a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且

01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。在我们的日常

生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：

012211a p a p a p a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且

01≠-m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。

第二节 整数的性质及其应用（1）

基础知识

整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。

1．整除的概念及其性质

在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。

由整除的定义，容易推出以下性质：

(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；

(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。更一般，若

n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++ 。或着i b a |，则∑=n

i i i b c a 1

|其中

n i Z c i ,,2,1, =∈；

(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=； (4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；

(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是质数，若n

a p |，则a p |；

(6)(带余除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，

并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1-b 。若0=r ，即为a 被b 整除的情形；

易知，带余除法中的商实际上为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡b a （不超过b a

的最大整数），而带余除法的核心是关

于余数r 的不等式：b r <≤0。证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个

分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。

若n 是正整数，则))((1221

----++++-=-n n n n n

n

y xy y x x y x y x ；

若n 是正奇数，则))((1221

----+-+-+=+n n n n n

n

y xy y x x y x y x ；（在上式中用y

-代y ）

(7)如果在等式

∑∑===m

k k

n i i b

a 1

1

中取去某一项外，其余各项均为c 的倍数，则这一项也是c 的

倍数；

(8)n 个连续整数中，有且只有一个是n 的倍数；

(9)任何n 个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；

2．奇数、偶数有如下性质：

(1)奇数±奇数=偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数⨯偶数＝偶数，奇数⨯

偶数＝偶数，奇数⨯奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；

（2）奇数的平方都可以表示成18+m 的形式，偶数的平方可以表示为m 8或48+m 的形式； （3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m 2=的形式，其中m 为负整数，l 为奇数。 （4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。

3．完全平方数及其性质

能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论： （1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；

（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；

（3）奇数平方的十位数字是偶数；

（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；

（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；

（6）平方数的约数的个数为奇数；

（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。 （8）设正整数b a ,之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若（b a ,）＝1，则b a ,都是整数的k 次方幂。一般地，设正整数c b a ,,, 之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若c b a ,,, 两两互素，则c b a ,,, 都是正整数的k 次方幂。 4．整数的尾数及其性质

整数a 的个位数也称为整数a 的尾数，并记为)(a G 。)(a G 也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质：

（1）=))((a G G )(a G ；（2）)(21n a a a G +++ ＝)]()()([21n a G a G a G G +++ ； （3）=⋅⋅⋅)(21n a a a G )]()()([21n a G a G a G G ⋅⋅⋅ ；（4）0)10(=a G ；

)()10(b G b a G =+；

（5）若c b a 10=-，则)()(b G a G =；（6）+∈=N k a a G a G k

,),()(44；

（7）++∈<<≥=N r k a r k a G a

G r r

k ,,,40,0),()(4；

（8）⎪⎩

⎪

⎨⎧

=同为奇数时当同时为偶数时为奇数或为偶数，当是偶数为奇数，当212121421,),(,),(),()(121b b a G b b b b a G b b a G a

G b b n

b b